Approximation of functions from the classes $W_{β}^r H^{α }$ by Weierstrass integrals
We investigate the asymptotic behavior of the least upper bounds of the approximations of functions from the classes $W_{β}^r H^{α }$ by Weierstrass integrals in the uniform metric.
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1712 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507553381744640 |
|---|---|
| author | Hrabova, U. Z. Kalchuk, I. V. Stepanyuk, T. A. Грабова, У. З. Кальчук, І. В. Степанюк, Т. А. |
| author_facet | Hrabova, U. Z. Kalchuk, I. V. Stepanyuk, T. A. Грабова, У. З. Кальчук, І. В. Степанюк, Т. А. |
| author_sort | Hrabova, U. Z. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:24:35Z |
| description | We investigate the asymptotic behavior of the least upper bounds of the approximations of functions from the classes
$W_{β}^r H^{α }$ by Weierstrass integrals in the uniform metric. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
У. З. Грабова, I. В. Кальчук, Т. А. Степанюк (Схiдноєвроп. нац. ун-т iм. Л. Українки, Луцьк)
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ \bfitW \bfitr
\bfitbeta \bfitH
\bfitalpha
IНТЕГРАЛАМИ ВЕЙЄРШТРАССА
We investigate the asymptotic behavior of the least upper bounds of the approximations of functions from the classes
W r
\beta H
\alpha by Weierstrass integrals in the uniform metric.
Исследовано асимптотическое поведение точных верхних граней приближений функций из классов W r
\beta H
\alpha инте-
гралами Вейерштрасса в равномерной метрике.
Нехай C — простiр 2\pi -перiодичних неперервних функцiй, у якому норма задається за допомо-
гою рiвностi \| f\| C = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t
| f(t)| ; L — простiр 2\pi -перiодичних сумовних на перiодi функцiй, в
якому норма задається рiвнiстю \| f\| L =
\int \pi
- \pi
| f(t)| dt.
Нехай далi f \in L i її ряд Фур’є має вигляд
S[f ] =
a0
2
+
\infty \sum
k=1
(ak \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx+ bk \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kx).
Якщо r \geq 0, \beta — фiксоване дiйсне число, а ряд
a0
2
+
\infty \sum
k=1
kr
\biggl(
ak \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
kx+
\beta \pi
2
\biggr)
+ bk \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
kx+
\beta \pi
2
\biggr) \biggr)
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї \varphi , то функцiю \varphi називають (r, \beta )-похiдною функцiї f
у сенсi Вейля – Надя i позначають через f r\beta . Множину всiх функцiй f, якi мають (r, \beta )-похiдну,
позначають через W r
\beta (див., наприклад, [1], гл. 3, § 6, 7]). При \beta = r похiднi Вейля – Надя f r\beta
майже скрiзь збiгаються з похiдними в сенсi Вейля f rr . Якщо, крiм того, \beta = r, r \in \BbbN , то f r\beta
майже скрiзь збiгаються зi звичайними r-похiдними f (r) функцiї f.
Якщо f \in W r
\beta , i при цьому f r\beta \in H\alpha , тобто f r\beta задовольняє умову Лiпшиця порядку \alpha :
| f r\beta (x+ h) - f r\beta (x)| \leq | h| \alpha , 0 < \alpha \leq 1, 0 \leq h \leq 2\pi , x \in \BbbR ,
то кажуть, що f належить класу W r
\beta H
\alpha . При \alpha = 0 вважають, що W r
\beta H
0 =W r
\beta ,\infty . При r = \beta
отримуємо клас W rH\alpha функцiй f iз похiдною порядку r > 0 в сенсi Вейля, яка задовольняє
умову Лiпшиця порядку \alpha .
Розглянемо крайову задачу (в одиничному крузi) для рiвняння
\partial 2
\partial \rho 2
+
1
\rho
\partial
\partial \rho
- 1
\rho 2
\partial 4
\partial x4
= 0. (1)
Розв’язок рiвняння (1), що задовольняє крайову умову
u (\rho , x)
\bigm| \bigm|
\rho =1
= f(x), - \pi \leq x \leq \pi , (2)
де f(x) — сумовна 2\pi -перiодична функцiя, далi позначатимемо W (\rho ; f ;x) = u(\rho , x). Тодi
розв’язок крайової задачi (1), (2) можемо записати у виглядi
c\bigcirc У. З. ГРАБОВА, I. В. КАЛЬЧУК, Т. А. СТЕПАНЮК, 2017
510 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ W r
\beta H
\alpha IНТЕГРАЛАМИ ВЕЙЄРШТРАССА 511
W (\rho ; f ;x) =
1
\pi
\pi \int
- \pi
f(t+ x)
\Biggl\{
1
2
+
\infty \sum
k=1
\rho k
2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt
\Biggr\}
dt, 0 \leq \rho < 1. (3)
Величину (3) називають iнтегралом Вейєрштрасса функцiї f (див., наприклад, [2, с. 150]).
Поклавши у правiй частинi (3) \rho = e -
1
\delta , величину W (\rho ; f ;x) запишемо у виглядi
W\delta (f ;x) :=
1
\pi
\pi \int
- \pi
f(t+ x)
\Biggl\{
1
2
+
\infty \sum
k=1
e -
k2
\delta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt
\Biggr\}
dt, \delta > 0.
Розглянемо величину
\scrE (F ;W\delta )C = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
\| f(x) - W\delta (f ;x)\| C , (4)
де F \subseteq C — заданий клас функцiй.
Задачу про вiдшукання асимптотичної рiвностi для величини (4) називають задачею Кол-
могорова – Нiкольського для методу W\delta (f ;x) на класi F у рiвномiрнiй метрицi.
Апроксимативнi властивостi iнтегралiв Вейєрштрасса вперше дослiджувались у роботi
П. П. Коровкiна [3]; саме вiн розв’язав задачу Колмогорова – Нiкольського для наближення
iнтегралами Вейєрштрасса на класах Зигмунда Z\alpha , де
Z\alpha :=
\bigl\{
f \in C : | f(x+ h) - 2f(x) + f(x - h)| \leq 2| h| \alpha
\bigr\}
, 0 \leq \alpha \leq 2, | h| \leq 2\pi .
Дослiдження, пов’язанi з розв’язанням даної задачi на класах Зигмунда, були продовженi в ро-
ботах Л. I. Баусова [4] та Л. П. Фалалєєва [5], а на класах Соболєва — в роботах Л. I. Баусова [6]
та В. О. Баскакова [7].
На класах функцiй, якi задаються за допомогою введеного Степанцем поняття (\psi , \beta )-
похiдної (означення класiв див., наприклад, в [1], гл. III, § 7 – 9), задача Колмогорова – Нiколь-
ського в метрицi простору C для методу W\delta (f ;x) у залежностi вiд параметрiв, що визначають
данi класи, розв’язана в роботах [8, 9].
Але до цього часу апроксимативнi властивостi iнтегралiв Вейєрштрасса на класах W r
\beta H
\alpha
не були дослiдженi. Тому метою даної роботи є вивчення асимптотичної поведiнки величин
\scrE (W r
\beta H
\alpha ;W\delta )C при \delta \rightarrow \infty .
Як i в роботi [10], для iнтеграла Вейєрштрасса при r > 0 i \delta > 0 розглянемо функцiю
\tau (u) = \tau \delta (r, u) : =
\left\{
(1 - e - u2
)\delta
r
2 , 0 \leq u \leq 1\surd
\delta
,
(1 - e - u2
)u - r, u \geq 1\surd
\delta
,
(5)
перетворення Фур’є якої
\^\tau \beta (t) :=
1
\pi
\infty \int
0
\tau (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
ut+
\beta \pi
2
\Bigr)
du, \beta \in \BbbR ,
є сумовним на всiй числовiй осi (цей факт доведено в роботi [8]).
Має мiсце таке твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
512 У. З. ГРАБОВА, I. В. КАЛЬЧУК, Т. А. СТЕПАНЮК
Теорема 1. Нехай r > 0, 0 \leq \alpha < 1, r + \alpha \leq 2 i \beta \in \BbbR . Тодi при \delta \rightarrow \infty має мiсце
рiвнiсть
\scrE (W r
\beta H
\alpha ;W\delta )C =
\gamma (\alpha )
\delta
r+\alpha
2
A(\alpha , \tau ) +O
\biggl(
1
\delta
1+r
2
+
1
\delta
\biggr)
, (6)
2\alpha - 1 \leq \gamma (\alpha ) \leq 1,
де величина A(\alpha , \tau ) означена спiввiдношенням
A(\alpha , \tau ) = A(\alpha , \beta , \tau ) :=
1
\pi
\infty \int
- \infty
| t| \alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
\tau (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt, (7)
i для неї справджується оцiнка
A(\alpha , \tau ) =
\left\{ O(1), r + \alpha < 2,
O(\mathrm{l}\mathrm{n} \delta ), r + \alpha = 2.
(8)
Доведення. Згiдно з теоремою 2 з роботи Л. I. Баусова [11], якщо для функцiї \tau (u) iнтег-
рал (7) є збiжним, то при r > 0, r + \alpha \leq 2, \beta \in \BbbR i \delta \rightarrow \infty справджується рiвнiсть
\scrE (W r
\beta H
\alpha ;W\delta )C =
\gamma (\alpha )
\delta
r+\alpha
2
A(\alpha , \tau ) +O
\biggl(
1
\delta
r+\alpha
2
a(\alpha , \tau )
\biggr)
, (9)
2\alpha - 1 \leq \gamma (\alpha ) \leq 1, 0 \leq \alpha < 1,
де
a(\alpha , \tau ) = a(\alpha , \beta , \tau ) :=
\int
| t| \geq
\surd
\delta \pi
2
| t| \alpha | \widehat \tau \beta (t)| dt. (10)
Щоб скористатись рiвнiстю (9), потрiбно довести збiжнiсть iнтеграла (7). Згiдно з теоре-
мою 1 [11, с. 6], для збiжностi iнтеграла (7) необхiдно i достатньо, щоб збiгалися iнтеграли
1
2\int
0
u1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| ,
3
2\int
1
2
| u - 1| 1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| , \infty \int
3
2
(u - 1)
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| , (11)
\infty \int
0
| \tau (u)|
u1+\alpha
du,
1\int
0
| \tau (1 - u) - \tau (1 + u)|
u1+\alpha
du. (12)
Для оцiнювання першого iнтеграла з (11), як i при доведеннi леми 1 [12], розiб’ємо промiжок\biggl[
0;
1
2
\biggr]
на двi частини:
\biggl[
0;
1\surd
\delta
\biggr]
i
\biggl[
1\surd
\delta
;
1
2
\biggr]
. Врахувавши, що при u \in
\biggl[
0;
1\surd
\delta
\biggr]
i \delta > 4
\tau \prime \prime (u) = 2e - u2
\delta
r
2 (1 - 2u2) \geq 0,
а також нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ W r
\beta H
\alpha IНТЕГРАЛАМИ ВЕЙЄРШТРАССА 513
e - u2 \leq 1, u \in \BbbR , (13)
отримаємо спiввiдношення
1\surd
\delta \int
0
u1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| =
1\surd
\delta \int
0
u1 - \alpha d\tau \prime (u) \leq 2\delta
r
2
1\surd
\delta \int
0
(u1 - \alpha - 2u3 - \alpha )du \leq K
\delta 1 -
r+\alpha
2
. (14)
Тут i далi через K будемо позначати сталi, взагалi кажучи, рiзнi в рiзних спiввiдношеннях.
Нехай тепер u \in
\biggl[
1\surd
\delta
;
1
2
\biggr]
. Покладемо
\tau 1(u) =
\Bigl(
1 - e - u2 - u2
\Bigr)
u - r, \tau 2(u) = u2 - r,
тодi \tau (u) = \tau 1(u) + \tau 2(u) i
1
2\int
1\surd
\delta
u1 - \alpha | d\tau \prime (u)| \leq
1
2\int
1\surd
\delta
u1 - \alpha | d\tau \prime 1(u)| +
1
2\int
1\surd
\delta
u1 - \alpha | d\tau \prime 2(u)| . (15)
Оцiнимо перший iнтеграл iз правої частини нерiвностi (15). Оскiльки
\tau \prime \prime 1 (u) = r(r + 1)(1 - e - u2 - u2)u - r - 2 - 4ru - r(e - u2 - 1) + 2(e - u2 - 2u2e - u2 - 1)u - r,
то, враховуючи нерiвностi
e - u2
+ u2 - 1 \leq u4
2
, 1 - e - u2 \leq u2, 2u2e - u2 - e - u2
+ 1 \leq 3u2, u \in \BbbR , (16)
одержуємо
1
2\int
1\surd
\delta
u1 - \alpha | d\tau \prime 1(u)| \leq r(r + 1)
1
2\int
1\surd
\delta
u - 1 - r - \alpha
\Bigl(
- 1 + e - u2
+ u2
\Bigr)
du+
+4r
1
2\int
1\surd
\delta
u1 - r - \alpha
\Bigl(
1 - e - u2
\Bigr)
du+ 2
1
2\int
1\surd
\delta
u1 - r - \alpha
\Bigl(
- e - u2
+ 2u2e - u2
+ 1
\Bigr)
du \leq
\leq r(r + 1)
2
1
2\int
1\surd
\delta
u3 - r - \alpha du+ 4r
1
2\int
1\surd
\delta
u3 - r - \alpha du+ 6
1
2\int
1\surd
\delta
u3 - r - \alpha du \leq K, r + \alpha \leq 2. (17)
Встановимо тепер оцiнку другого iнтеграла з правої частини нерiвностi (15). Враховуючи,
що \tau \prime \prime 2 (u) = (2 - r)(1 - r)u - r, маємо
1
2\int
1\surd
\delta
u1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\tau \prime 2(u)\bigm| \bigm| = (2 - r)(| 1 - r| )
1
2\int
1\surd
\delta
u1 - r - \alpha du =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
514 У. З. ГРАБОВА, I. В. КАЛЬЧУК, Т. А. СТЕПАНЮК
=
\left\{
O(1), r + \alpha < 2,
1
2
(2 - r)(r - 1) \mathrm{l}\mathrm{n} \delta +O(1), r + \alpha = 2.
(18)
Об’єднуючи спiввiдношення (14), (15), (17) i (18), отримуємо оцiнку
1
2\int
0
u1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| =
\left\{
O(1), r + \alpha < 2,
1
2
(2 - r)(r - 1) \mathrm{l}\mathrm{n} \delta +O(1), r + \alpha = 2.
(19)
Оцiнимо другий iнтеграл з (11). Враховуючи, що при u \geq 1\surd
\delta
\tau \prime \prime (u) = (2 - 4r)e - u2
u - r - 4e - u2
u2 - r + r(r + 1)(1 - e - u2
)u - 2 - r, (20)
а також (13) та другу з нерiвностей (16), одержуємо
3
2\int
1
2
| u - 1| 1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| \leq
3
2\int
1
2
u1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| \leq K. (21)
Використовуючи спiввiдношення (20), другу з нерiвностей (16) i нерiвностi
u2e - u2 \leq 1, u4e - u2 \leq 1, u \in \BbbR , (22)
неважко переконатися, що має мiсце така оцiнка третього з iнтегралiв (11):
\infty \int
3
2
(u - 1)
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| \leq \infty \int
3
2
u
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| \leq K. (23)
Як i при встановленнi оцiнки (36) iз [13], для оцiнювання першого iнтеграла iз (12) розiб’ємо
промiжок [0;\infty ) на три частини
\biggl[
0;
1\surd
\delta
\biggr]
,
\biggl[
1\surd
\delta
; 1
\biggr]
та [1;\infty ). Використавши спiввiдношення (5)
i другу з нерiвностей (16), отримаємо
1\surd
\delta \int
0
| \tau (u)|
u1+\alpha
du =
1\surd
\delta \int
0
\Bigl(
1 - e - u2
\Bigr)
\delta
r
2
u1+\alpha
du \leq \delta
r
2
1\surd
\delta \int
0
u1 - \alpha du \leq K
\delta 1 -
r+\alpha
2
. (24)
Далi iз (5), враховуючи першу з нерiвностей (16), маємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
1\surd
\delta
| \tau (u)|
u1+\alpha
du -
1\int
1\surd
\delta
u2 - r
u1+\alpha
du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
1\int
1\surd
\delta
\bigm| \bigm| \bigm| 1 - e - u2 - u2
\bigm| \bigm| \bigm|
u1+\alpha
u - rdu \leq
\leq
1\int
1\surd
\delta
u4
2u1+\alpha
u - rdu \leq K, r + \alpha \leq 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ W r
\beta H
\alpha IНТЕГРАЛАМИ ВЕЙЄРШТРАССА 515
Звiдси
1\int
1\surd
\delta
| \tau (u)|
u1+\alpha
du =
1\int
1\surd
\delta
u1 - r - \alpha du+O(1) =
\left\{
O(1), r + \alpha < 2,
1
2
\mathrm{l}\mathrm{n} \delta +O(1), r + \alpha = 2.
(25)
Нехай u \in [1;\infty ). Iз формули (5) випливає, що
\infty \int
1
| \tau (u)|
u1+\alpha
du \leq
\infty \int
1
u - 1 - r - \alpha du \leq K. (26)
Об’єднуючи формули (24) – (26), отримуємо
\infty \int
0
| \tau (u)|
u1+\alpha
du =
\left\{
O (1) , r + \alpha < 2,
1
2
\mathrm{l}\mathrm{n} \delta +O (1) , r + \alpha = 2.
(27)
Оцiнимо тепер другий iнтеграл iз (12). Як i при встановленнi формули (30) iз роботи [14],
можна показати, що для функцiї \tau (u), заданої за допомогою спiввiдношення (5), має мiсце
рiвнiсть
1\int
0
\bigm| \bigm| \tau (1 - u) - \tau (1 + u)
\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du =
1\int
0
\bigm| \bigm| \lambda (1 - u) - \lambda (1 + u)
\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du+
+O
\left( | \tau (0)| + | \tau (1)| +
1
2\int
0
u1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| +
3
2\int
1
2
| u - 1| 1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| + \infty \int
3
2
(u - 1)
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm|
\right) , (28)
де \lambda (u) = e - u2
. Оскiльки
1\int
0
\bigm| \bigm| \lambda (1 - u) - \lambda (1 + u)
\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du =
1\int
0
\bigm| \bigm| e - (1 - u)2 - e - (1+u)2
\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du = O(1),
то з урахуванням спiввiдношень (19), (21) i (23) iз (28) отримуємо
1\int
0
| \tau (1 - u) - \tau (1 + u)|
u1+\alpha
du =
\left\{ O(1), r + \alpha < 2,
O (\mathrm{l}\mathrm{n} \delta ) , r + \alpha = 2.
(29)
Таким чином, за теоремою 1 роботи [11] iнтеграл A(\alpha , \tau ) є збiжним. Отже, має мiсце
рiвнiсть (9). З нерiвностей (1.12) та (1.13) роботи [11] iз урахуванням формул (19), (21), (23),
(27) та (29) одержимо спiввiдношення (8).
Оцiнимо залишковий член у правiй частинi рiвностi (9). Для цього запишемо перетворення
Фур’є \widehat \tau \beta (t) у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
516 У. З. ГРАБОВА, I. В. КАЛЬЧУК, Т. А. СТЕПАНЮК
\widehat \tau \beta (t) = 1
\pi
\left(
1\surd
\delta \int
0
+
\infty \int
1\surd
\delta
\right) \tau (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du. (30)
Зiнтегруємо двiчi частинами iнтеграли з правої частини рiвностi (30):
1\surd
\delta \int
0
\tau (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du =
1
t
\Bigl(
1 - e -
1
\delta
\Bigr)
\delta
r
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
1\surd
\delta
t+
\beta \pi
2
\biggr)
+
+
1
t2
2\surd
\delta
e -
1
\delta \delta
r
2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
1\surd
\delta
t+
\beta \pi
2
\biggr)
- 1
t2
1\surd
\delta \int
0
\tau \prime \prime (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du, (31)
\infty \int
1\surd
\delta
\tau (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du = - 1
t
\Bigl(
1 - e -
1
\delta
\Bigr)
\delta
r
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
1\surd
\delta
t+
\beta \pi
2
\biggr)
-
- 1
t2
\biggl(
2\surd
\delta
e -
1
\delta \delta
r
2 - r\delta
1+r
2
\bigl(
1 - e -
1
\delta
\bigr) \biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
1\surd
\delta
t+
\beta \pi
2
\biggr)
-
- 1
t2
\infty \int
1\surd
\delta
\tau \prime \prime (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du. (32)
Пiдставляючи (31) i (32) в (30), одержуємо
\widehat \tau \beta (t) = 1
\pi t2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
1\surd
\delta
t+
\beta \pi
2
\biggr)
r\delta
1+r
2
\bigl(
1 - e -
1
\delta
\bigr)
- 1
\pi t2
\infty \int
0
\tau \prime \prime (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du,
звiдки
| \widehat \tau \beta (t)| \leq 1
\pi t2
\left(
1\surd
\delta \int
0
+
1\int
1\surd
\delta
+
\infty \int
1
\right) | \tau \prime \prime (u)| du+
1
t2
K
\delta
1 - r
2
. (33)
Встановимо оцiнки iнтегралiв iз правої частини спiввiдношення (33). Врахувавши, що
\tau \prime \prime (u) \geq 0 на
\biggl[
0;
1\surd
\delta
\biggr]
(\delta > 4), i нерiвнiсть (13), дiстанемо
1\surd
\delta \int
0
| \tau \prime \prime (u)| du =
1\surd
\delta \int
0
\tau \prime \prime (u)du =
= 2\delta
r
2
1\surd
\delta \int
0
e - u2 \bigl(
1 - 2u2
\bigr)
du \leq 2\delta
r
2
1\surd
\delta \int
0
\bigl(
1 - 2u2
\bigr)
du \leq K
\delta
1 - r
2
. (34)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ W r
\beta H
\alpha IНТЕГРАЛАМИ ВЕЙЄРШТРАССА 517
Нехай u \in
\biggl[
1\surd
\delta
; 1
\biggr]
. Мiркуючи, як i при оцiнюваннi першого iнтеграла з (11) на промiжку\biggl[
1\surd
\delta
;
1
2
\biggr]
, можна показати, що
1\int
1\surd
\delta
| \tau \prime \prime (u)| du = O
\biggl(
1 +
1
\delta
1 - r
2
\biggr)
. (35)
Нехай тепер u \in [1;\infty ). Iз спiввiдношення (20) та нерiвностей (22) випливає, що
\infty \int
1
| \tau \prime \prime (u)| du = O(1). (36)
Об’єднуючи формули (33) – (36), одержуємо
| \widehat \tau \beta (t)| = 1
t2
O
\biggl(
1 +
1
\delta
1 - r
2
\biggr)
.
Звiдси
a(\alpha , \tau ) =
\int
| t| \geq
\surd
\delta \pi
2
| t| \alpha | \widehat \tau \beta (t)| dt = O
\biggl(
1
\delta
1 - \alpha
2
+
1
\delta
2 - (r+\alpha )
2
\biggr)
. (37)
Iз спiввiдношень (9) та (37) випливає рiвнiсть (6).
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Нехай 0 < \alpha < 1. Тодi при \delta \rightarrow \infty має мiсце асимптотична рiвнiсть
\scrE (H\alpha ;W\delta )C =
2\alpha \surd
\pi
\Gamma
\biggl(
\alpha + 1
2
\biggr)
1
\delta
\alpha
2
+O
\left( e - \delta \pi 2
16
\surd
\delta
\right) . (38)
Доведення. З теореми 2 роботи Л. I. Баусова [11] випливає, що для 0 < \alpha < 1 при \delta \rightarrow \infty
має мiсце асимптотична рiвнiсть
\scrE (H\alpha ;W\delta )C =
1
\delta
\alpha
2
A(\alpha ) +O
\biggl(
1
\delta
\alpha
2
a\delta (\alpha )
\biggr)
, (39)
де
A(\alpha ) =
1
\pi
\infty \int
- \infty
| t| \alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
e - u2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}utdu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt,
a\delta (\alpha ) =
\int
| t| \geq
\surd
\delta \pi
2
| t| \alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
e - u2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}utdu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt.
Встановимо оцiнку iнтеграла A(\alpha ). Використавши формулу [15, с. 494]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
518 У. З. ГРАБОВА, I. В. КАЛЬЧУК, Т. А. СТЕПАНЮК
\infty \int
0
e - \beta x2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} bxdx =
1
2
\sqrt{}
\pi
\beta
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- b2
4\beta
\biggr)
, \mathrm{R}\mathrm{e} \beta > 0,
та формулу (860.17) [16]
\infty \int
0
t\alpha e -
t2
4 dt = 2\alpha \Gamma
\biggl(
\alpha + 1
2
\biggr)
, \alpha > - 1, (40)
отримаємо
A(\alpha ) =
2
\pi
\infty \int
0
| t| \alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
e - u2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}utdu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt = 1\surd
\pi
\infty \int
0
t\alpha e -
t2
4 dt =
2\alpha \surd
\pi
\Gamma
\biggl(
\alpha + 1
2
\biggr)
. (41)
Встановимо тепер оцiнку iнтеграла a\delta (\alpha ). З урахуванням (40) запишемо
a\delta (\alpha ) = 2
\infty \int
\surd
\delta \pi
2
t\alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
e - u2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}utdu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt = 2
\surd
\pi
\infty \int
\surd
\delta \pi
2
t\alpha e -
t2
4 dt. (42)
Для оцiнки останнього iнтеграла скористаємось рiвнiстю (26) [17]
\infty \int
m
e - \sigma tkt\nu dt =
e - \sigma mk
\sigma k
m\nu +1 - k
\biggl(
1 + \Theta k,\nu
\sigma ,m
| \nu + 1 - k|
\sigma k
1
mk
\biggr)
, | \Theta k,\nu
\sigma ,m| \leq 14
13
, (43)
де \sigma > 0, k > 0, \nu \in \BbbR i m \geq
\biggl(
14| \nu + 1 - k|
\sigma k
\biggr) 1
k
.
З (43) випливає, що при \delta \rightarrow \infty справедливою є оцiнка
\infty \int
\surd
\delta \pi
2
t\alpha e -
t2
4 dt = O
\left( e - 1
4
(
\surd
\delta \pi
2
)2
1
2
\Biggl( \surd
\delta \pi
2
\Biggr) \alpha - 1
\right) = O
\biggl(
e -
\delta \pi 2
16 \delta
\alpha - 1
2
\biggr)
. (44)
На пiдставi формул (39), (41), (42) i (44) отримаємо рiвнiсть (38).
Теорему 2 доведено.
Лiтература
1. Степанец А. И. Методы теории приближения. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – Ч. I. – 427 с.
2. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. – М.: Наука, 1965. – 407 с.
3. Коровкин П. П. О наилучшем приближении функций класса Z2 некоторыми линейными операторами // Докл.
АН СССР. – 1959. – 127, № 3. – С. 143 – 149.
4. Баусов Л. И. О приближении функций класса Z\alpha положительными методами суммирования рядов Фурье //
Успехи мат. наук. – 1961. – 16, № 3. – С. 143 – 149.
5. Фалалеев Л. П. О приближении функций обобщенными операторами Абеля – Пуассона // Сиб. мат. журн. –
2001. – 42, № 4. – С. 926 – 936.
6. Баусов Л. И. Линейные методы суммирования рядов Фурье с заданными прямоугольными матрицами. I // Изв.
вузов. Математика. – 1965. – 46, № 3. – С. 15 – 31.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦIЙ IЗ КЛАСIВ W r
\beta H
\alpha IНТЕГРАЛАМИ ВЕЙЄРШТРАССА 519
7. Баскаков В. А. О некоторых свойствах операторов типа операторов Абеля – Пуассона // Мат. заметки. – 1975. –
17, № 2. – С. 169 – 180.
8. Kharkevych Yu. I., Kal’chuk I. V. Approximation of (\psi , \beta )-differentiable functions by Weierstrass integrals // Ukr.
Math. J. – 2007. – 59, № 7. – P. 1059 – 1087.
9. Kal’chuk I. V. Approximation of (\psi , \beta )-differentiable functions defined on the real axis by Weierstrass operators //
Ukr. Math. J. – 2007. – 59, № 9. – P. 1342 – 1363.
10. Kharkevych Yu. I., Zhyhallo T. V. Approximation of functions defined on the real axis by operators generated by
\lambda -methods of summation of their Fourier integrals // Ukr. Math. J. – 2004. – 56, № 9. – P. 1509 – 1525.
11. Баусов Л. И. Линейные методы суммирования рядов Фурье с заданными прямоугольными матрицами, II //
Изв. вузов. – 1996. – 46, № 3. – С. 3 – 17.
12. Zhyhallo T. V., Kharkevych Yu. I. Approximation of (\psi , \beta )-differentiable functions by Poisson integrals in the uniform
metric // Ukr. Math. J. – 2009. – 61, № 11. – P. 1757 – 1779.
13. Zhyhallo T. V., Kharkevych Yu. I. Approximation of functions from the class C\psi \beta by Poisson integrals in the uniform
metric // Ukr. Math. J. – 2009. – 61, № 12. – P. 1893 – 1914.
14. Кальчук I. В., Харкевич Ю. I. Апроксимативнi властивостi бiгармонiчних iнтегралiв Пуассона на класах
W r
\beta H
\alpha // Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 11. – С. 1493 – 1504.
15. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Физматиз, 1963. –
1100 с.
16. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. – М.: Наука, 1973. – 228 с.
17. Serdyuk A. S., Stepaniuk T. A. Uniform approximations by Fourier sums on classes of generalized Poisson integrals //
Arxiv preprint, arXiv:1603.01891. – 2016. – 31 p.
Одержано 25.10.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1712 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:09Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b4/6ab2a45d1e276efaea471950f9b5cfb4.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17122019-12-05T09:24:35Z Approximation of functions from the classes $W_{β}^r H^{α }$ by Weierstrass integrals Наближення функцій із класів $W_{β}^r H^{α }$ інтегралами Вейєрштрасса Hrabova, U. Z. Kalchuk, I. V. Stepanyuk, T. A. Грабова, У. З. Кальчук, І. В. Степанюк, Т. А. We investigate the asymptotic behavior of the least upper bounds of the approximations of functions from the classes $W_{β}^r H^{α }$ by Weierstrass integrals in the uniform metric. Исследовано асимптотическое поведение точных верхних граней приближений функций из классов $W_{β}^r H^{α }$ интегралами Вейерштрасса в равномерной метрике. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1712 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 4 (2017); 510-519 Український математичний журнал; Том 69 № 4 (2017); 510-519 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1712/694 Copyright (c) 2017 Hrabova U. Z.; Kalchuk I. V.; Stepanyuk T. A. |
| spellingShingle | Hrabova, U. Z. Kalchuk, I. V. Stepanyuk, T. A. Грабова, У. З. Кальчук, І. В. Степанюк, Т. А. Approximation of functions from the classes $W_{β}^r H^{α }$ by Weierstrass integrals |
| title | Approximation of functions from the classes
$W_{β}^r H^{α }$ by Weierstrass integrals |
| title_alt | Наближення функцій із класів $W_{β}^r H^{α }$ інтегралами Вейєрштрасса |
| title_full | Approximation of functions from the classes
$W_{β}^r H^{α }$ by Weierstrass integrals |
| title_fullStr | Approximation of functions from the classes
$W_{β}^r H^{α }$ by Weierstrass integrals |
| title_full_unstemmed | Approximation of functions from the classes
$W_{β}^r H^{α }$ by Weierstrass integrals |
| title_short | Approximation of functions from the classes
$W_{β}^r H^{α }$ by Weierstrass integrals |
| title_sort | approximation of functions from the classes
$w_{β}^r h^{α }$ by weierstrass integrals |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1712 |
| work_keys_str_mv | AT hrabovauz approximationoffunctionsfromtheclasseswbrhabyweierstrassintegrals AT kalchukiv approximationoffunctionsfromtheclasseswbrhabyweierstrassintegrals AT stepanyukta approximationoffunctionsfromtheclasseswbrhabyweierstrassintegrals AT grabovauz approximationoffunctionsfromtheclasseswbrhabyweierstrassintegrals AT kalʹčukív approximationoffunctionsfromtheclasseswbrhabyweierstrassintegrals AT stepanûkta approximationoffunctionsfromtheclasseswbrhabyweierstrassintegrals AT hrabovauz nabližennâfunkcíjízklasívwbrhaíntegralamivejêrštrassa AT kalchukiv nabližennâfunkcíjízklasívwbrhaíntegralamivejêrštrassa AT stepanyukta nabližennâfunkcíjízklasívwbrhaíntegralamivejêrštrassa AT grabovauz nabližennâfunkcíjízklasívwbrhaíntegralamivejêrštrassa AT kalʹčukív nabližennâfunkcíjízklasívwbrhaíntegralamivejêrštrassa AT stepanûkta nabližennâfunkcíjízklasívwbrhaíntegralamivejêrštrassa |