Problem with integral conditions in the time variable for Sobolevtype system of equations with constant coefficients
In a domain obtained as a Cartesian product of an interval $[0, T]$ and the space $R^p, p \in N$, for a system of equations (with constant coefficients) unsolved with respect to the highest time derivative, we study a problem with integral conditions in the time variable in the class of functions a...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1714 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507557545639936 |
|---|---|
| author | Kuz, A. M. Ptashnik, B. I. Кузь, А. М. Пташник, Б. Й. |
| author_facet | Kuz, A. M. Ptashnik, B. I. Кузь, А. М. Пташник, Б. Й. |
| author_sort | Kuz, A. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:24:35Z |
| description | In a domain obtained as a Cartesian product of an interval $[0, T]$ and the space $R^p, p \in N$, for a system of equations (with
constant coefficients) unsolved with respect to the highest time derivative, we study a problem with integral conditions in
the time variable in the class of functions almost periodic in the space variables. A criterion of uniqueness and sufficient
conditions for the existence of the solution of this problem in different functional spaces are established. We use the metric
approach to solve the problem of small denominators encountered in the construction of the solution. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.946
А. М. Кузь, Б. Й. Пташник (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв)
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ
ДЛЯ СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ТИПУ СОБОЛЄВА
ЗI СТАЛИМИ КОЕФIЦIЄНТАМИ
In a domain obtained as a Cartesian product of an interval [0, T ] and the space \BbbR p, p \in \BbbN , for a system of equations (with
constant coefficients) unsolved with respect to the highest time derivative, we study a problem with integral conditions in
the time variable in the class of functions almost periodic in the space variables. A criterion of uniqueness and sufficient
conditions for the existence of the solution of this problem in different functional spaces are established. We use the metric
approach to solve the problem of small denominators encountered in the construction of the solution.
В области, являющейся декартовым произведением отрезка [0, T ] и пространства \BbbR p, p \in \BbbN , для системы уравне-
ний, не разрешенных относительно старшей производной по времени, с постоянными коэффициентами исследована
задача с интегральными условиями по временной координате в классе почти периодических по пространственным
переменным функций. Установлен критерий единственности и достаточные условия существования в различных
функциональных пространствах решения задачи. Для решения проблемы малых знаменателей, которые появились
при построении решения задачи, использован метрический подход.
1. Вступ. Важливим напрямком сучасної теорiї крайових задач для диференцiальних рiвнянь з
частинними похiдними є вивчення задач iз нелокальними (в тому числi iнтегральними) умовами
для некласичних рiвнянь математичної фiзики, зокрема для рiвнянь, не розв’язаних вiдносно
старшої похiдної за часом (рiвнянь типу Соболєва). Такi рiвняння виникають при математич-
ному моделюваннi багатьох задач гiдродинамiки: малi коливання iдеальної рiдини в посудинi,
що обертається [14], фiльтрацiя рiдини в трiщинуватих породах [2], динамiка стратифiкова-
них рiдин [5] та iн. Як приклад можна також навести систему рiвнянь, яка описує динамiку
в’язкопружних рiдин (модель Кельвiна – Фойгта) [22]
(1 - \kappa \Delta )\partial t\vec{}u - \nu \Delta \vec{}u+ (\vec{}u \cdot \nabla \vec{}u) +\nabla p = \vec{}f, \kappa , \nu > 0,
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} \vec{}u = 0,
де \vec{}u := \vec{}u(t, x) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}(u1(t, x), u2(t, x), u3(t, x)) — вектор швидкостей, p := p(t, x) — тиск, x \in
\in \BbbR 3. Багато iнших прикладiв фiзичних процесiв, якi моделюються рiвняннями типу Соболєва,
можна знайти в монографiї [23].
Задачi з локальними та нелокальними умовами для рiвнянь типу Соболєва дослiджувались
багатьма авторами. Зокрема, у працях [3, 4, 8, 10] вивчались задачi з багатоточковими нело-
кальними двоточковими умовами та умовами типу Дiрiхле для рiвнянь та систем рiвнянь, не
розв’язаних вiдносно старшої похiдної за часом, у класах функцiй, перiодичних за просторо-
вими змiнними. Однак задачi з iнтегральними умовами для таких рiвнянь та систем рiвнянь є
малодослiдженими.
При моделюваннi фiзичних процесiв iнтегральнi умови зазвичай використовують у випад-
ках, коли межа областi є недоступною для проведення вимiрювань або неможливо безпосеред-
ньо вимiряти певнi фiзичнi величини, однак вiдомi їхнi усереднення.
Задачi з iнтегральними умовами за часовою змiнною для еволюцiйних рiвнянь почали
вивчати порiвняно недавно (у 80-х роках ХХ столiття). Це обумовлено тим, що такi задачi,
c\bigcirc А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК , 2017
530 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ ДЛЯ СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ТИПУ СОБОЛЄВА . . . 531
взагалi, є некоректними, а їхня розв’язнiсть у багатьох випадках пов’язана з проблемою малих
знаменникiв i не є стiйкою вiдносно малих змiн коефiцiєнтiв задачi та параметрiв областi. В
останнi десятилiття було дослiджено задачi з iнтегральними умовами (див. [9, 21] та наведену
там бiблiографiю) для широких класiв лiнiйних гiперболiчних та параболiчних рiвнянь i систем
рiвнянь, а також для безтипних i псевдодиференцiальних рiвнянь iз частинними похiдними.
Окремi роботи, зокрема [9, 12, 20, 24], стосуються рiвнянь, не розв’язаних вiдносно старшої
похiдної за часом.
У данiй працi результати роботи [9] перенесено на системи диференцiальних рiвнянь типу
Соболєва зi сталими коефiцiєнтами. У (p + 1)-вимiрному шарi вивчається задача про зна-
ходження розв’язку системи рiвнянь у класi функцiй, майже перiодичних за просторовими
змiнними, який за часовою змiнною задовольняє загальнi умови, частинними випадками яких
є iнтегральнi умови у виглядi моментiв довiльного порядку вiд шуканої вектор-функцiї або
двоточковi нелокальнi умови.
2. Основнi позначення. Будемо використовувати такi позначення:
x = (x1, . . . , xp) \in \BbbR p, dx = dx1 . . . dxp,
k = (k1, . . . , kp) \in \BbbZ p, | k| = | k1| + . . .+ | kp| ,
s = (s1, . . . , sp) \in \BbbZ p+, | s| = s1 + . . .+ sp, \eta s = \eta s11 . . . \eta
sp
p , \eta \in \BbbR p,
\^s = (s0, s1, . . . , sp) \in \BbbZ p+1
+ , | \^s| = s0 + s1 + . . .+ sp, | \^s| \ast = 2s0 + s1 + . . .+ sp,
\mu k =
\bigl(
\mu k1 , . . . , \mu kp
\bigr)
\in \BbbR p, \| \mu k\| 2 = \mu 2k1 + . . .+ \mu 2kp , | \mu k| = | \mu k1 | + . . .+
\bigm| \bigm| \mu kp\bigm| \bigm| ,
\mu sk = \mu s1k1 . . . \mu
sp
kp
, (\mu k, x) = \mu k1x1 + . . .+ \mu kpxp,
Dp = \{ (t, x) : 0 < t < T, x \in \BbbR p\} ,
\partial t =
\partial
\partial t
, \partial xj =
\partial
\partial xj
, j \in \{ 1, . . . , p\} , \partial x =
\bigl(
\partial x1 , . . . , \partial xp
\bigr)
, \partial sx = \partial s1x1 . . . \partial
sp
xp ,
Sq — симетpична група всiх перестановок перших q натуральних чисел, \rho \omega — число iн-
версiй у перестановцi \omega = (i1, . . . , iq) \in Sq, \scrJ n, n \in \BbbN , — множина всеможливих набо-
рiв вигляду J = (j1, . . . , jn), jl \in \{ 0, 1\} , l \in \{ 1, . . . , n\} , | \bfA | = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}1\leq j,q\leq n | ajq| — нор-
ма матрицi \bfA = \| ajq\| nj,q=1, \bfI m та \bfO m — одинична та нульова матрицi розмiру m \times m,
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{ a1, a2, . . . , an\} = \| aj\delta ij\| ni,j=1, де \delta ij — символ Кронекера, — дiагональна матриця, Crq
— кiлькiсть усiх комбiнацiй з q елементiв по r, Cj , j = 1, 2, . . . , — додатнi сталi величини, якi
не залежать вiд k та \mu k, [a] — цiла частина числа a \in \BbbR ;
\scrV := \{ \mu n \in \BbbR : \mu - n = - \mu n, d1| n| \theta 1 \leq | \mu n| \leq d2| n| \theta 2 , n \in \BbbZ \} , 0 < d1 \leq d2, 0 < \theta 1 \leq \theta 2,
(1)
\scrM := \{ \mu k \in \BbbR p : \mu kj \in \scrV , j \in \{ 1, . . . , p\} , k \in \BbbZ p\} .
Iз (1) випливає, що для всiх \mu k \in \scrM виконуються оцiнки
D1| k| \theta 1 \leq | \mu k| \leq D2| k| \theta 2 , D1 = d1\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ 1, p1 - \theta 1\} , D2 = d2\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 1, p1 - \theta 2\} . (2)
3. Функцiональнi простори. Будемо використовувати такi простори майже перiодичних
по x1, . . . , xp функцiй [19] iз заданим спектром \scrM :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
532 А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК
W \alpha , \beta ,\gamma
\scrM , \alpha \in \BbbR , \beta , \gamma > 0, — простiр, отриманий шляхом поповнення простору полiномiв
вигляду v(x) =
\sum
k
vk \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i\mu k, x), \mu k \in \scrM , за нормою [16, c. 15]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| v,W\alpha ,\beta ,\gamma
\scrM
\bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\Biggl( \sum
k\in \BbbZ p
| vk| 2 (1 + | \mu k| )2\alpha \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(2\beta | \mu k| \gamma )
\Biggr) 1/2
;
W
\alpha , \beta ,\gamma
\scrM ,m — простiр таких вектор-функцiй \vec{}v(x) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\bigl(
v1(x), . . . , vm(x)
\bigr)
, що vq \in W \alpha , \beta ,\gamma
\scrM ,
q \in \{ 1, . . . ,m\} , iз нормою
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \vec{}v,W \alpha , \beta ,\gamma
\scrM ,m
\bigm\| \bigm\| \bigm\| =
m\sum
q=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| vq,W \alpha , \beta ,\gamma
\scrM
\bigm\| \bigm\| \bigm\| ;
C q
\Bigl(
[0, T ],W
\alpha , \beta ,\gamma
\scrM ,m
\Bigr)
— простiр таких вектор-функцiй \vec{}u(t, x) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}(u1(t, x), . . . , um(t, x)),
що \vec{}u(t, x) =
\sum
k\in \BbbZ p
\vec{}uk(t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (i\mu k, x) , \mu k \in \scrM , i для довiльного фiксованого t \in [0, T ] похiднi
d l\vec{}u(t, x)/dtl =
\sum
k\in \BbbZ p
\vec{}u
(l)
k (t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (i\mu k, x) , l \in \{ 0, 1, . . . , q\} , належать простору W
\alpha , \beta ,\gamma
\scrM ,m та є
неперервними по t у нормi цього простору,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \vec{}u,C q
\Bigl(
[0, T ],W
\alpha , \beta ,\gamma
\scrM ,m
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
q\sum
l=0
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| d l\vec{}udtl ,W \alpha , \beta ,\gamma
\scrM ,m
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| . (3)
4. Постановка задачi. В областi Dp розглядаємо задачу про знаходження майже перiодич-
ного по x зi спектром \scrM розв’язку системи рiвнянь
\bfN (\partial t, \partial x)[\vec{}u] := \bfL (\partial x)\partial
n
t \vec{}u(t, x) +
n - 1\sum
j=0
\bfA j(\partial x)\partial
j
t \vec{}u(t, x) = \vec{}0, (t, x) \in Dp, (4)
який за змiнною t задовольняє умови
Uj [\vec{}u] := \alpha j\partial
j - 1
t \vec{}u(0, x) + \beta j\partial
j - 1
t \vec{}u(T, x)+
+\gamma j
T\int
0
trj\vec{}u(t, x)dt = \vec{}\varphi j(x), j \in \{ 1, . . . , n\} , x \in \BbbR p, (5)
де \vec{}u(t, x) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\bigl(
u1(t, x), . . . , um(t, x)
\bigr)
; \bfL (\partial x) — елiптичний матричний диференцiальний ви-
раз,
\bfL (\partial x) = \| lqr(\partial x)\| mq,r=1, lqr(\partial x) =
\sum
| s| \leq 2N
lqr,s\partial
s
x, lqr,s \in \BbbC , N \in \BbbZ +, (6)
\bfA j(\partial x) = \| ajqr(\partial x)\| mq,r=1,
ajqr(\partial x) =
\sum
| s| \leq Nj
ajqr,s\partial
s
x, ajqr,s \in \BbbC , Nj \in \BbbZ +, j \in \{ 0, 1, . . . , n - 1\} ; (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ ДЛЯ СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ТИПУ СОБОЛЄВА . . . 533
\alpha j , \beta j , \gamma j \in \BbbR , \alpha 2
j + \beta 2j + \gamma 2j \not = 0, rj \in \BbbZ +, j \in \{ 1, . . . , n\} , r1 < r2 < . . . < rn; вектор-
функцiї \vec{}\varphi j(x) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\Bigl(
\varphi 1
j (x), . . . , \varphi
m
j (x)
\Bigr)
, j \in \{ 1, . . . , n\} , є майже перiодичними по x iз заданим
спектром \scrM ,
\vec{}\varphi j(x) =
\sum
k\in \BbbZ p
\vec{}\varphi jk \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (i\mu k, x) , \vec{}\varphi jk = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\bigl(
\varphi 1
jk, . . . , \varphi
m
jk
\bigr)
, j \in \{ 1, . . . , n\} , (8)
до того ж
\vec{}\varphi jk = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
H\rightarrow \infty
1
Hp
\int
[0,H]p
\vec{}\varphi j(x) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - i\mu k, x) dx.
Далi нам знадобляться очевиднi нерiвностi
| \mu k| \sigma < (1 + | \mu k| )\sigma \leq 2\sigma | \mu k| \sigma , \sigma > 0, (9)
якi виконуються для всiх \mu k \in \scrM , | \mu k| \geq 1, тобто для всiх \mu k \in \scrM , | k| > K0, K0 = D
- 1/\theta 1
1 ,
де сталi D1 i \theta взято з оцiнок (2).
5. Побудова та єдинiсть розв’язку. Позначимо
\vec{}V (t, x) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\bigl(
\vec{}u(t, x), \partial t\vec{}u(t, x), . . . , \partial
n - 1
t \vec{}u(t, x)
\bigr)
, \vec{}\Phi (x) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}(\vec{}\varphi 1(x), . . . , \vec{}\varphi n(x)), (10)
\scrA (\partial x) =
\left(
\bfO m \bfI m \bfO m . . . \bfO m
\bfO m \bfO m \bfI m . . . \bfO m
...
...
...
. . .
...
\bfO m \bfO m \bfO m . . . \bfI m
- \bfA 0 (\partial x) - \bfA 1 (\partial x) - \bfA 2 (\partial x) . . . - \bfA n - 1 (\partial x)
\right) , (11)
\scrL (\partial x) =
\left(
\bfI m \bfO m . . . \bfO m \bfO m
\bfO m \bfI m . . . \bfO m \bfO m
...
...
. . .
...
...
\bfO m \bfO m . . . \bfI m \bfO m
\bfO m \bfO m . . . \bfO m \bfL (\partial x)
\right) , \bfR (t) :=
\left( tr1 0 . . . 0
...
...
. . .
...
trn 0 . . . 0
\right) \otimes \bfI m,
(12)
\bfA := \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{ \alpha 1, . . . , \alpha n\} \otimes Im, \bfB := \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{ \beta 1, . . . , \beta n\} \otimes Im, \bfGamma := \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{ \gamma 1, . . . , \gamma n\} \otimes Im,
де \scrA (\partial x) ,\scrL (\partial x) — квадратнi матрицi розмiру mn, \otimes — знак тензорного добутку матриць.
Очевидно, що задача (4), (5) еквiвалентна такiй задачi для системи рiвнянь першого порядку
з невiдомою вектор-функцiєю \vec{}V (t, x) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}(V 1(t, x), . . . , V mn(t, x)):
\scrL (\partial x) \partial t\vec{}V (t, x) = \scrA (\partial x) \vec{}V (t, x), (13)
\bfA \vec{}V (0, x) +\bfB \vec{}V (T, x) + \bfGamma
T\int
0
\bfR (t)\vec{}V (t, x)dt = \vec{}\Phi (x). (14)
Майже перiодичний по x зi спектром \scrM розв’язок задачi (13), (14) шукаємо у виглядi
векторного ряду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
534 А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК
\vec{}V (t, x) =
\sum
k\in \BbbZ p
\vec{}Vk(t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i\mu k, x), \vec{}Vk(t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\bigl(
V 1
k (t), . . . , V
mn
k (t)
\bigr)
, \mu k \in \scrM . (15)
Пiдставивши ряди (8), (15) у систему (13) та умови (14), отримаємо для знаходження кожної з
вектор-функцiй \vec{}Vk(t), k \in \BbbZ p, вiдповiдно таку задачу:
\scrL (i\mu k)
d\vec{}Vk(t)
dt
= \scrA (i\mu k) \vec{}Vk(t), (16)
\bfA \vec{}Vk(0) +\bfB \vec{}Vk(T ) + \bfGamma
T\int
0
\bfR (t)\vec{}Vk(t)dt = \vec{}\Phi k, (17)
де \vec{}\Phi k = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}(\vec{}\varphi 1k, . . . , \vec{}\varphi nk), k \in \BbbZ p.
Лема 1. Iснує така стала C1, що для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв \mu k \in \scrM
виконується оцiнка
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\bfL (i\mu k)| \geq C1| \mu k| 2Nm.
Доведення базується на елiптичностi оператора \bfL (\partial x) i проводиться за схемою доведення
леми 1 у [4].
Зауваження 1. Якщо \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\bfL (i\mu k) = 0 для деякого вектора \mu k = \mu \=k (таких векторiв, згiдно з
лемою 1, може бути лише скiнченна кiлькiсть), то вiдповiдна задача (16), (17) є перевизначеною,
i для її однозначної розв’язностi потрiбно накладати додатковi умови на параметри задачi. Такi
умови можна записати в явнiй формi, як це зроблено в роботi [9] для скалярного випадку.
Далi вважатимемо, що символ диференцiального виразу \bfL (\partial x) справджує умову
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\bfL (i\mu k) \not = 0 \forall \mu k \in \scrM . (18)
За умови (18) для матрицi \scrL (i\mu k) iснує обернена матриця \scrL (i\mu k) - 1 i загальний розв’язок
системи (16) зображується формулою [11, с. 178]
\vec{}Vk(t) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (\scrN (i\mu k)t) \vec{}B, \scrN (i\mu k) = \scrL (i\mu k) - 1\scrA (i\mu k), (19)
де \vec{}B = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l} (B1, . . . , Bmn) — довiльний сталий вектор. Введeмо вектор-функцiї \vec{}Fqk(t) та \vec{}fqk(t),
q \in \{ 1, . . . ,mn\} , визначенi таким чином:
\vec{}Fqk(t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}(F 1
qk(t), . . . , F
mn
qk (t)) := \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (\scrN (i\mu k)t)\vec{}eq, \vec{}eq = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}(
q - 1\underbrace{} \underbrace{}
0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{}
mn
), (20)
\vec{}fqk(t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\bigl(
f1qk(t), . . . , f
m
qk(t)
\bigr)
:= \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\bigl(
F 1
qk(t), . . . , F
m
qk(t)
\bigr)
, (21)
| \vec{}Fqk(t)| := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq mn
| F jqk(t)| , | \vec{}fqk(t)| := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq m
| f jqk(t)| , t \in [0, T ].
Оскiльки за побудовою розв’язок системи (4), (5) утворюють першi m компонент розв’язку
системи (16), (17), то, враховуючи формули (19) i рiвностi (10), (20) та (21), переконуємося, що
виконуються спiввiдношення
\vec{}Fqk(t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\Bigl(
\vec{}fqk(t),
\vec{}f \prime
qk(t),
\vec{}f \prime \prime
qk(t), . . . ,
\vec{}f
(n - 1)
qk (t)
\Bigr)
, q \in \{ 1, . . . ,mn\} . (22)
На пiдставi (19), (20) розв’язок задачi (16), (17) зображується формулою
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ ДЛЯ СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ТИПУ СОБОЛЄВА . . . 535
\vec{}Vk(t) =
mn\sum
q=1
Bqk \vec{}Fqk(t),
вектор коефiцiєнтiв якої \vec{}Bk = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}(B1k, . . . , Bmn,k) визначається iз системи лiнiйних алгебраїч-
них рiвнянь \left( \bfA +\bfB \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (\scrN (i\mu k)T ) + \bfGamma
T\int
0
\bfR (t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (\scrN (i\mu k)t) dt
\right) \vec{}Bk = \vec{}\Phi k. (23)
Визначник \Delta (\mu k, T ) системи рiвнянь (23)
\Delta (\mu k, T ) = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bfA +\bfB \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (\scrN (i\mu k)T ) + \bfGamma
T\int
0
\bfR (t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (\scrN (i\mu k)t) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , \mu k \in \scrM , (24)
збiгається з характеристичним визначником задачi (16), (17) (див. [18, с. 98]).
Отже, для кожного \mu k \in \scrM задача (16), (17) не може мати двох рiзних розв’язкiв тодi i
тiльки тодi, коли, вiдповiдно, \Delta (\mu k, T ) \not = 0 (див. лему 1 в [18, с. 98]).
Теорема 1. Для того щоб задача (4), (5) мала не бiльше одного майже перiодичного по
x зi спектром \scrM розв’язку у просторi Cn
\Bigl(
[0, T ] ,W
\alpha ,\beta ,\gamma
\scrM ,m
\Bigr)
, необхiдно i достатньо, щоб
виконувалась умова
\Delta (\mu k, T ) \not = 0 \forall \mu k \in \scrM . (25)
Доведення. За умови (25) єдинiсть розв’язку задачi (13), (14) доводиться за схемою доведен-
ня теореми 1 у [21]. Iз (10) та еквiвалентностi задач (4), (5) та (13), (14) випливає твердження
теореми.
6. Iснування розв’язку задачi. Далi вважатимемо, що виконується умова (25). Тодi для
кожного \mu k \in \scrM iснує єдиний розв’язок Vk(t) задачi (16), (17), який зображується формулою
\vec{}Vk(t) =
mn\sum
q=1
\left( n\sum
j=1
m\sum
l=1
\Delta m(j - 1)+l,q(\mu k, T )
\Delta (\mu k, T )
\varphi ljk
\right) \vec{}Fqk(t), k \in \BbbZ p, (26)
де \Delta m(j - 1)+l,q(\mu k, T ) — алгебраїчне доповнення елемента (m(j - 1) + l)-го рядка та q-го
стовпця у визначнику \Delta (\mu k, T ). На пiдставi (10), (15), (22) та (26) формальний розв’язок задачi
(4), (5) зображується векторним рядом
\vec{}u(t, x) =
\sum
k\in \BbbZ p
\vec{}uk(t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i\mu k, x) =
=
\sum
k\in \BbbZ p
\left( mn\sum
q=1
\left( n\sum
j=1
m\sum
l=1
\Delta m(j - 1)+l,q(\mu k, T )
\Delta (\mu k, T )
\varphi ljk
\right) \vec{}fqk(t)
\right) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i\mu k, x), (27)
де \vec{}uk(t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}(V 1
k (t), . . . , V
m
k (t)). Ряд (27), взагалi, є розбiжним, бо вираз | \Delta (\mu k, T )| , будучи
вiдмiнним вiд нуля, може набувати як завгодно малих значень для нескiнченної кiлькостi век-
торiв \mu k \in \scrM . Тому iснування розв’язку задачi (4), (5) у шкалi просторiв C n([0, T ],W
\alpha ,\beta ,\gamma
\scrM ,m )
пов’язане, взагалi, з проблемою малих знаменникiв.
6.1. Далi нам знадобляться деякi допомiжнi твердження. Вияснимо поведiнку \lambda -коренiв
характеристичного рiвняння
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
536 А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \| \lambda \bfI mn - \scrN (i\mu k)\| = 0, (28)
яке вiдповiдає системi диференцiальних рiвнянь (16). Позначимо
\kappa 1 := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
| \vec{}p | =m
pn \not =m
\Biggl\{ \sum n - 1
q=0 (Nq - 2N)pq
mn -
\sum n
q=1 qpq
\Biggr\}
, \vec{}p := (p0, p1, . . . , pn) \in \BbbZ n+1
+ , (29)
C2 := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq q,r\leq m
| s| \leq 2N
\{ | lqr,s| \} , C3 := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq j\leq n - 1
\left\{ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq q,r\leq m
| s| \leq Nj
\{ | ajqr,s| \}
\right\} ,
C4 = C2/C1, C5 = C2C3/C1, C6 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 1, (C2C3/C1)
m\} .
Лема 2. Для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв \mu k \in \scrM коренi \lambda jk := \lambda j(\mu k),
j \in \{ 1, . . . , nm\} , рiвняння (28) справджують оцiнки
| \lambda jk| \leq C6 (1 + | \mu k| )\kappa 1 , j \in \{ 1, . . . ,mn\} . (30)
Доведення. На пiдставi (11), (12) та умови (18) рiвняння (28) запишемо у виглядi
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \lambda n\bfI m +
n - 1\sum
j=0
\bfL - 1(i\mu k)\bfA j(i\mu k)\lambda
j
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| = 0. (31)
Iз рiвностей (6), (7) випливає, що елементи матриць \bfL (i\mu k) та \bfA j(i\mu k), j \in \{ 0, 1, . . . , n - 1\} ,
є многочленами за сукупнiстю змiнних \mu k1 , . . . , \mu kp степенiв 2N та Nj , j \in \{ 0, 1, . . . , n - 1\} ,
вiдповiдно. На пiдставi (6), (18) та леми 1 отримуємо, що елементи \~lqr(i\mu k), q, r \in \{ 1, . . . ,m\} ,
матрицi \bfL - 1(i\mu k) є дробово-рацiональними функцiями за сукупнiстю змiнних \mu k1 , . . . , \mu kp ,
причому для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв \mu k \in \scrM виконуються нерiвностi
| \~lqr(i\mu k)| \leq C4(1 + | \mu k| ) - 2N , q, r \in \{ 1, . . . ,m\} . (32)
Iз (7), (32) випливає, що елементи Lq,r,j(i\mu k) =
\sum m
\zeta =1
\~lq\zeta (i\mu k)a
j
\zeta r(i\mu k), r, q \in \{ 1, . . . ,m\} ,
матриць \bfL - 1(i\mu k)\bfA j(i\mu k), j \in \{ 0, 1, . . . , n - 1\} , вiдповiдно, є дробово-рацiональними функ-
цiями за сукупнiстю змiнних \mu k1 , . . . , \mu kp i для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв \mu k \in \scrM
виконуються нерiвностi
| Lq,r,j(i\mu k)| \leq C5(1 + | \mu k| )Nj - 2N , q, r \in \{ 1, . . . ,m\} , j \in \{ 0, 1, . . . , n - 1\} . (33)
Рiвняння (31) запишемо у розгорнутiй формi
\sum
\omega \in Sm
( - 1)\rho \omega
m\prod
q=1
\left( \delta q,iq\lambda n + n - 1\sum
j=0
Lq,iq ,j(i\mu k)\lambda
j
\right) = 0, (34)
де \delta q,iq — символ Кронекера. З (33) випливає, що порядок росту функцiй Lq,iq ,j(i\mu k), q \in
\in \{ 1, . . . ,m\} , по | \mu k| не залежить вiд q. Тому на пiдставi (31), (34) та вiдомої тотожностi [1, с.
626]
(x0 + x1 + . . .+ xn)
m =
\sum
| \vec{}z | =m
m!
z0!z1! . . . zn!
xz00 x
z1
1 . . . xznn , \vec{}z := (z0, z1, . . . , zn) \in \BbbZ n+1
+ ,
рiвняння (28) (пiсля формальної замiни xn = \lambda n, xn - 1 = L1,i1,n - 1(i\mu k)\lambda
n - 1, . . . , x1 =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ ДЛЯ СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ТИПУ СОБОЛЄВА . . . 537
= L1,i1,1(i\mu k)\lambda , x0 = L1,i1,0(i\mu k)) набере вигляду\sum
| \vec{}p | =m
\lambda npn+(n - 1)pn - 1+...+p1Q\vec{}p(i\mu k) = 0, \vec{}p := (p0, p1, . . . , pn) \in \BbbZ n+1
+ , (35)
де Q\vec{}p(i\mu k) — дробово-рацiональнi функцiї за сукупнiстю змiнних \mu k1 , . . . , \mu kp , якi на пiдставi
(33) справджують оцiнки
Q(0,...,0,m)(i\mu k) = 1, Q\vec{}p(i\mu k)| \leq C6(1 + | \mu k| )
\sum n - 1
j=0
pj(Nj - 2N)
, | \vec{}p | = m, pn \not = m, (36)
для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв \mu k \in \scrM . Iз (35), (36) та формул про оцiнку модулiв
коренiв многочлена через його коефiцiєнти [17, с. 101] отримуємо
| \lambda jk| \leq 1 + \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
| \vec{}p | =m
pn \not =m
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| Q\vec{}p(i\mu k)
Q(0,...,0,m)(i\mu k)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1/(mn -
\sum n
q=1 qpq)
= C6 (1 + | \mu k| )\kappa 1 , j \in \{ 1, . . . ,mn\} .
Лему 2 доведено.
6.2. Далi, для спрощення викладок, будемо вважати, що для всiх \mu k \in \scrM коренi рiвняння
(28) є простими та вiдмiнними вiд нуля.
Очевидно, що для деякого \xi \in \{ 0, 1, . . . , n - 1\} справджується рiвнiсть
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq j\leq n - 1
\{ Nj\} = N\xi ,
де Nj — порядки диференцiальних виразiв ajqr(\partial x), q, r \in \{ 1, . . . ,m\} (див. (7)). При дослiд-
женнi розв’язностi задачi (4), (5) будемо розрiзняти два випадки: \bfA ) N\xi < 2N, \bfB ) N\xi \geq 2N.
Випадок А. У цьому випадку \kappa 1 < 0 (див. (29)) i з оцiнок (30) випливає, що | \lambda jk| \rightarrow 0 при
| k| \rightarrow \infty для всiх j \in \{ 1, . . . , nm\} .
Позначимо \vec{}\alpha = (\alpha 1, . . . , \alpha n), \vec{}\beta = (\beta 1, . . . , \beta n), \vec{}\gamma = (\gamma 1, . . . , \gamma n),
\bfE 0(t) =
\left(
\bfI m t\bfI m . . .
tn - 2
(n - 2)!
\bfI m
tn - 1
(n - 1)!
\bfI m
\bfO m \bfI m . . .
tn - 3
(n - 3)!
\bfI m
tn - 2
(n - 2)!
\bfI m
...
...
. . .
...
...
\bfO m \bfO m . . . \bfI m t\bfI m
\bfO m \bfO m . . . \bfO m \bfI m
\right)
, (37)
\vec{}Gq(t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}(G1
q(t), . . . , G
mn
q (t)) := \bfE 0(t)\vec{}eq, \vec{}gq(t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\bigl(
G1
q(t), . . . , G
m
q (t)
\bigr)
, (38)
де \vec{}eq, q \in \{ 1, . . . ,mn\} , визначенi в (20). Iз (37), (38) випливає, що
\vec{}Gq(t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}
\Bigl(
\vec{}gq(t), \vec{}g
\prime
q (t), \vec{}g
\prime \prime
q (t), . . . , \vec{}g (n - 1)
q (t)
\Bigr)
, q \in \{ 1, . . . ,mn\} . (39)
Лема 3. Нехай N\xi < 2N. Тодi для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв \mu k \in \scrM та
для кожного q \in \{ 1, . . . ,mn\} виконуються нерiвностi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
538 А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| djdtj \vec{}fqk(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(C5T ), j \in \{ 0, 1, . . . , n\} , (40)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| djdtj \vec{}fqk(t) - dj
dtj
\vec{}gq(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(C5| \mu k| - (2N - N\xi )T ), j \in \{ 0, 1, . . . , n - 1\} . (41)
Доведення. На пiдставi (11), (12), (19) та (33) отримуємо, що для всiх (крiм скiнченної
кiлькостi) векторiв \mu k \in \scrM справджується нерiвнiсть
| \scrN (i\mu k)| \leq C5(1 + | \mu k| )N\xi - 2N . (42)
Iз (22) випливають такi нерiвностi:\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dn \vec{}fqk(t)dtn
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d\vec{}Fqk(t)dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dj \vec{}fqk(t)dtj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq | \vec{}Fqk(t)| , j \in \{ 0, 1, . . . , n - 1\} . (43)
На пiдставi (20), (21), (42) та (43) отримуємо оцiнки
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| djdtj \vec{}fqk(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\Bigl\{
| \vec{}Fqk(t)| , | \vec{}F \prime
qk(t)|
\Bigr\}
\leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\{ | \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\scrN (i\mu k)t)| , | \scrN (i\mu k) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\scrN (i\mu k)t)| \} \leq
\leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(| \scrN (i\mu k)| T ) \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(C5(1 + | \mu k| ) - (2N - N\xi )T ) \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(C5T ), (44)
де j \in \{ 0, 1, . . . , n\} , q \in \{ 1, . . . ,mn\} .
Подiбним чином, враховуючи (37) – (39), отримуємо
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| djdtj \vec{}fqk(t) - dj
dtj
\vec{}gq(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm| \bigm| \bigm| \vec{}Fqk(t) - \vec{}Gq(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
| \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\scrN (i\mu k)t) - \bfE 0(t)| \leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
| \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\scrN (i\mu k)t)| \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(C5| \mu k| - (2N - N\xi )T ), (45)
де j \in \{ 0, 1, . . . , n - 1\} , q \in \{ 1, . . . ,mn\} . Iз нерiвностей (44), (45) випливає доведення леми.
Позначимо
\Delta 0(\vec{}\alpha , \vec{}\beta ,\vec{}\gamma , T ) := \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \| Uj [\vec{}gq]\| q=1,...,mn
j=1,...,n =
= \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bfA +\bfB \bfE 0(T ) + \bfGamma
T\int
0
\bfR (t)\bfE 0(t)dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \| gjq(\alpha j , \beta j , \gamma j , T )\bfI m\| nj,q=1 , (46)
де
gjq(\alpha j , \beta j , \gamma j , T ) =
\left\{
\alpha j\delta jq + \beta j
\tau q - j
(q - j - 1)!
+ \gamma j
\tau rj+q
(rj + q)(q - 1)!
, q - j \geq 0,
\gamma j
\tau rj+q
(rj + q)(q - 1)!
, q - j < 0.
(47)
Припустимо, що для коефiцiєнтiв умов (5) виконуються такi спiввiдношення:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ ДЛЯ СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ТИПУ СОБОЛЄВА . . . 539
\alpha j = \beta j = 0, j \in \{ j1, . . . , jl\} , 0 \leq l \leq n, (48)
\alpha q \not = - \beta q, q \in \{ q1, . . . , qn - l\} = \{ 1, . . . , n\} \setminus \{ j1, . . . , jl\} . (49)
Вважаємо, що при l = 0 в умовi (48) \{ j1, . . . , jl\} = \varnothing . За умов (48), (49), враховуючи (47) та
елементарнi властивостi визначникiв, iз (46) отримуємо
\Delta 0(\vec{}\alpha , \vec{}\beta ,\vec{}\gamma , T ) =
n - l\prod
s=1
(\alpha qs + \beta qs)
m \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| T ry+z
(ry + z)(z - 1)!
\bfI m
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
y,z\in \{ j1,...,jl\}
=
=
n - l\prod
s=1
(\alpha qs + \beta qs)
m \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} (\bfD (T )\otimes \bfI m) , (50)
де
\bfD (T ) :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| T ry+z
(ry + z)(z - 1)!
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
y,z\in \{ j1,...,jl\}
. (51)
Iз (50), враховуючи властивостi тензорного добутку двох матриць, одержуємо
\Delta 0(\vec{}\alpha , \vec{}\beta ,\vec{}\gamma , T ) =
n - l\prod
s=1
(\alpha qs + \beta qs)
m (\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\bfD (T ))m . (52)
Обчисливши визначник матрицi (51) (див. [13, с. 110]), отримаємо
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}D(T ) = T \eta 0(
\vec{}j)
l\prod
s=1
\gamma js
(js - 1)!
\prod
y,z\in \{ j1,...,jl\}
z<y
((ry - rz)(y - z))
\prod
y,z\in \{ j1,...,jl\}
(ry + z) - 1 := B1T
\eta 0(\vec{}j),
(53)
де
\eta 0(\vec{}j) = rj1 + . . .+ rjl + j1 + . . .+ jl, \vec{}j = (j1, . . . , jl). (54)
На пiдставi (52), (53) маємо
\Delta 0(\vec{}\alpha , \vec{}\beta ,\vec{}\gamma , T ) = B2T
m\eta 0(\vec{}j), B2 = (B1)
m
n - l\prod
s=1
(\alpha qs + \beta qs)
m . (55)
Iз формул (20), (21) i (24) випливає, що
\Delta (\mu k, T ) = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \| Uj [\vec{}fq]\| q=1,...,mn
j=1,...,n . (56)
Правильним є таке твердження.
Теорема 2. Нехай N\xi < 2N та виконуються умови (48), (49). Тодi iснує таке число
K := K(\vec{}\alpha , \vec{}\beta ,\vec{}\gamma , T ) > 0, що для всiх векторiв \mu k \in \scrM , | \mu k| > K, виконується оцiнка
| \Delta (\mu k, T )| \geq C7T
m\eta 0(\vec{}j),
де величина \eta 0(\vec{}j) визначена формулою (54), C7 — деяка стала, що залежить вiд m, n, T та
\alpha j , \beta j , \gamma j , rj , j \in \{ 1, . . . , n\} .
Доведення. На пiдставi формул (46), (56) та леми 3 iз [21] отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
540 А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК
| \Delta (\mu k, T ) - \Delta 0(\vec{}\alpha , \vec{}\beta ,\vec{}\gamma , T )| \leq mn \cdot (mn)! \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq n
1\leq q\leq nm
| Uj [\vec{}fqk] - Uj [\vec{}gq]| \times
\times
\left( \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq n
1\leq q\leq nm
\{ | Uj [\vec{}fqk]| , | Uj [\vec{}gq]| \}
\right) mn - 1
. (57)
Iз (46), (47) випливає, що для довiльного T > 0 виконуються нерiвностi
| Uj [\vec{}gq]| \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq n
\bigl\{
| \alpha j | + | \beta j | Tn + | \gamma j | T rj+n
\bigr\}
, j \in \{ 1, . . . , n\} , q \in \{ 1, . . . ,mn\} . (58)
З огляду на (40) одержуємо, що для довiльного T > 0 виконуються оцiнки
| Uj [\vec{}fqk]| \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(C5T ) \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq n
\{ | \alpha j | + | \beta j | + | \gamma j | T rj+1\} , j \in \{ 1, . . . , n\} , q \in \{ 1, . . . ,mn\} . (59)
На пiдставi оцiнок (58), (59) справджуються нерiвностi
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq n
1\leq q\leq nm
\{ | Uj [\vec{}fqk]| , | Uj [\vec{}gq]| \} \leq C8, (60)
де C8 = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(C5T )\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}1\leq j\leq n
\bigl\{
| \alpha j | + | \beta j | Tn + | \gamma j | T rj+n, | \alpha j | + | \beta j | + | \gamma j | T rj+1
\bigr\}
. Iз (5) та (41)
випливають оцiнки
| Uj [fqk] - Uj [gq]| \leq C9 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(C5| \mu k| - (2N - N\xi )T ), j, q \in \{ 1, . . . , n\} , (61)
де C9 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}1\leq j\leq n\{ | \alpha j | + | \beta j | + | \gamma j | T rj+1\} .
Iз формули (57) на пiдставi (60) i (61) отримуємо
| \Delta (\mu k, T ) - \Delta 0(\vec{}\alpha , \vec{}\beta ,\vec{}\gamma , T )| \leq mn \cdot (mn)!(C8)
mn - 1C9 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(C5| \mu k| - (2N - N\xi )T ). (62)
Позначимо
K(\vec{}\alpha , \vec{}\beta ,\vec{}\gamma , T ) :=
\Biggl(
1
C5T
\mathrm{l}\mathrm{n}
\Biggl(
| B2| Tm\eta 0(\vec{}j)
2mn \cdot (mn)!(C8)mn - 1C9
\Biggr) \Biggr) - 1
2N - N\xi
.
За умов (48), (49), враховуючи (55), iз нерiвностей (62) отримуємо, що для всiх \mu k \in \scrM ,
| \mu k| > K(\vec{}\alpha , \vec{}\beta ,\vec{}\gamma , T ), виконується нерiвнiсть
| \Delta (\mu k, T ) - \Delta 0(\vec{}\alpha , \vec{}\beta ,\vec{}\gamma , T )| \leq
1
2
| \Delta 0(\vec{}\alpha , \vec{}\beta ,\vec{}\gamma , T )| \leq
1
2
| B2| Tm\eta 0(
\vec{}j),
з якої випливає твердження теореми, причому C7 = | B2| /2. Зауважимо, що за умов теореми 2
в задачi (4), (5) вiдсутня проблема малих знаменникiв.
На пiдставi леми 3 та теореми 2 отримуємо наступне твердження, яке доводиться за схемою
доведення теореми 4 у [9].
Теорема 3. Нехай N\xi < 2N i справджуються умови (25), (48), (49). Якщо \vec{}\varphi j \in W
\alpha ,0,0
\scrM ,m,
j \in \{ 1, . . . , n\} , то iснує єдиний розв’язок задачi (4), (5) iз простору Cn
\Bigl(
[0, T ] ,W
\alpha ,0,0
\scrM ,m
\Bigr)
. Цей
розв’язок зображується формулою (27) i справджує оцiнку\bigm\| \bigm\| \bigm\| \vec{}u;Cn \Bigl( [0, T ] ,W \alpha ,0,0
\scrM ,m
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq C10
n\sum
j=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \vec{}\varphi j ;W \alpha ,0,0
\scrM ,m
\bigm\| \bigm\| \bigm\| , C10 = C10(n,m,C5, C7, C9).
Випадок B. Якщо N\xi \geq 2N, то з (29) випливає, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ ДЛЯ СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ТИПУ СОБОЛЄВА . . . 541
\kappa 1 \geq
\sum n - 1
q=0
(Nq - 2N)pq
mn -
\sum n
q=1
qpq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p\xi =m
pj=0,j \not =\xi
=
(N\xi - 2N)m
mn - \xi m
=
N\xi - 2N
n - \xi
\geq 0. (63)
На пiдставi леми 2 знайдеться така стала C\lambda \in \BbbR , що для всiх (крiм скiнченної кiлькостi)
векторiв \mu k \in \scrM виконується нерiвнiсть
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq mn
\mathrm{R}\mathrm{e}\lambda jk \leq C\lambda | \mu k| \varrho , 0 \leq \varrho \leq \kappa 1. (64)
Позначимо C11 = (2mn - 1)Tmn - 1(C5)
mn - 1, C12 = C11\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 1, C5\} .
Лема 4. Нехай N\xi \geq 2N. Тодi для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв \mu k \in \scrM
компоненти вектор-функцiй \vec{}fqk(t), q \in \{ 1, . . . ,mn\} (див. (21)), справджують оцiнки\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| djdtj f lqk(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\Biggl\{
C12 (1 + | \mu k| )(mn - 1)(N\xi - 2N) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (C\lambda | \mu k| \varrho t) , 0 \leq j \leq n - 1,
C12 (1 + | \mu k| )mn(N\xi - 2N) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (C\lambda | \mu k| \varrho t) , j = n,
(65)
де l \in \{ 1, . . . ,m\} , t \in [0, T ], \mu k \in \scrM .
Доведення. Зауважимо, що при всiх \mu k \in \scrM для норми матрицi \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\scrN (i\mu k)t) виконується
оцiнка [6] (глава II, § 6)
| \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\scrN (i\mu k)t)| \leq (2mn - 1)Tmn - 1| \scrN (i\mu k)| mn - 1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
t \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq mn
\mathrm{R}\mathrm{e}\lambda jk
\biggr)
, t \in [0, T ]. (66)
Iз (42), (64) i (66) випливає, що для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв \mu k \in \scrM справ-
джується нерiвнiсть
| \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\scrN (i\mu k)t)| \leq C11 (1 + | \mu k| )(mn - 1)(N\xi - 2N) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (C\lambda | \mu k| \varrho t) . (67)
На пiдставi (20) та (67) отримуємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dr \vec{}Fqk(t)dtr
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq | \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\scrN (i\mu k)t)| | \scrN (i\mu k)| r \leq
\leq C12 (1 + | \mu k| )(mn - 1+r)(N\xi - 2N) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (C\lambda | \mu k| \varrho t) , r \in \{ 0, 1\} . (68)
З нерiвностей (43) одержуємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| djdtj f lqk(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\Biggl\{
| \vec{}Fqk(t)| , 0 \leq j \leq n - 1,
| \vec{}F \prime
qk(t)| , j = n,
l \in \{ 1, . . . ,m\} . (69)
Iз (68) та (69) випливають оцiнки (65).
Лему 4 доведено.
Розглянемо величини \psi j(\gamma j), j \in \{ 1, . . . , n\} , визначенi таким чином:
\psi j(\gamma j) :=
\Biggl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} \{ 0, (mn - 1)(N\xi - 2N) - \varrho rj\} , якщо \gamma j \not = 0,
0, якщо \gamma j = 0,
j \in \{ 1, . . . , n\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
542 А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК
Позначимо
C13 =
\Biggl\{
C12\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 1, T rn\} , C\lambda \geq 0,
C12\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 1, (rn/(2| C\lambda | ))rnT\} , C\lambda < 0,
C14 = 3 \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq n
\{ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | \alpha j | , | \beta j | , | \gamma j | \} \} C13, C15 = (mn - 1)!(C14)
mn - 1.
Лема 5. Нехай N\xi \geq 2N. Тодi для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв \mu k \in \scrM
алгебраїчнi доповнення елементiв визначника \Delta (\mu k, T ) справджують такi оцiнки:
\bigm| \bigm| \Delta m(j - 1)+l,q(\mu k, T )
\bigm| \bigm| \leq \Biggl\{ C15(1 + | \mu k| )(mn - 1)2(N\xi - 2N) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ((mn - 1)C\lambda | \mu k| \varrho T ) , C\lambda \geq 0,
C15 (1 + | \mu k| )(mn - 1)(N\xi - 2N) - \psi j(\gamma j)+m
\sum n
g=1 \psi g(\gamma g) , C\lambda < 0,
де l \in \{ 1, . . . ,m\} , j \in \{ 1, . . . , n\} , q \in \{ 1, . . . ,mn\} .
Доведення. Проведемо спочатку допомiжнi оцiнки. На пiдставi леми 4 отримуємо, що для
всiх k \in \BbbZ p таких, що | k| > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ D - 1/\theta 1
1 ,K1\} , K1 = (rn/(| C\lambda | TD1))
1/(\theta 1h) , виконуються
оцiнки \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
T\int
0
trjf lqk(t)dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq T \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\Bigl\{ \bigm| \bigm| \bigm| trjf lqk(t)\bigm| \bigm| \bigm| \Bigr\} \leq
\leq C12 (1 + | \mu k| )(mn - 1)(N\xi - 2N) \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\{ trj \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (C\lambda | \mu k| \varrho t)\} \leq
\leq
\Biggl\{
C13(1 + | \mu k| )(mn - 1)(N\xi - 2N) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (C\lambda | \mu k| \varrho T ) , C\lambda \geq 0,
C13 (1 + | \mu k| )(mn - 1)(N\xi - 2N) - \varrho rj , C\lambda < 0,
(70)
де j \in \{ 1, . . . , n\} , l \in \{ 1, . . . ,m\} , q \in \{ 1, . . . ,mn\} .
Позначимо через drq(\mu k) := \alpha j\delta rq + \beta jf
l
qk(T ) + \gamma j
\int T
0 trjf lqk(t) dt елемент визначника
\Delta (\mu k, T ), який стоїть на перетинi r-го рядка, r = m(j - 1)+ l, j \in \{ 1, . . . , n\} , l \in \{ 1, . . . ,m\} ,
та q-го стовпця, q \in \{ 1, . . . ,mn\} , де \delta rq — символ Кронекера. З (70) випливає, що для всiх
k \in \BbbZ p, | k| > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ D - 1/\theta 1
1 ,K1\} , виконуються оцiнки
| drq(\mu k)| \leq
\Biggl\{
C14 (1 + | \mu k| )\psi j(\gamma j) , r = q,
C14 (1 + | \mu k| )(mn - 1)(N\xi - 2N) - \varrho rj , r \not = q,
r, q \in \{ 1, . . . ,mn\} , якщо C\lambda < 0,
(71)
| drq(\mu k)| \leq C14(1 + | \mu k| )(mn - 1)(N\xi - 2N) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (C\lambda | \mu k| \varrho T ) , r, q \in \{ 1, . . . ,mn\} , якщо C\lambda \geq 0.
(72)
На пiдставi оцiнок (71), (72) та структури алгебраїчних доповнень визначника \Delta (\mu k, T ) для
всiх k \in \BbbZ p, | k| > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ D - 1/\theta 1
1 ,K1\} , виконуються нерiвностi\bigm| \bigm| \Delta m(j - 1)+l,q(\mu k, T )
\bigm| \bigm| \leq C15 (1 + | \mu k| )(mn - 1)N - \psi j(\gamma j)+m
\sum n
g=1 \psi g(\gamma g) , якщо C\lambda < 0,\bigm| \bigm| \Delta m(j - 1)+l,q(\mu k, T )
\bigm| \bigm| \leq C15(1+| \mu k| )(mn - 1)2(N\xi - 2N) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ((mn - 1)C\lambda | \mu k| \varrho T ) , якщо C\lambda \geq 0.
Лему 5 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ ДЛЯ СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ТИПУ СОБОЛЄВА . . . 543
Встановимо умови iснування розв’язку задачi (4), (5) у шкалi просторiв
Cn
\Bigl(
[0, T ] ,W
\alpha ,\beta ,\kappa 1
\scrM ,m
\Bigr)
у випадку, коли N\xi \geq 2N. Цi умови залежать вiд знаку сталої C\lambda у
нерiвностi (64).
Теорема 4. Нехай N\xi \geq 2N, C\lambda \geq 0, справджується умова (25) та iснують сталi \eta > 0,
\sigma > 0 такi, що для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) \mu k \in \scrM виконується нерiвнiсть
| \Delta (\mu k, T )| \geq (1 + | \mu k| ) - \eta \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - \sigma | \mu k| \kappa 1) . (73)
Якщо \vec{}\varphi j \in W
q1,q2,\kappa 1
\scrM ,m , j \in \{ 1, . . . , n\} , де q1 = \alpha + \eta + (m2n2 - mn + 1)(N\xi - 2N), q2 =
= mnC\lambda T + \sigma + \beta , то iснує розв’язок задачi (4), (5) iз простору Cn
\Bigl(
[0, T ] ,W
\alpha ,\beta ,\kappa 1
\scrM ,m
\Bigr)
. Цей
розв’язок зображується формулою (27) i справджує оцiнку\bigm\| \bigm\| \bigm\| \vec{}u;Cn \Bigl( [0, T ] ,W\alpha ,\beta ,\kappa 1
\scrM ,m
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq C16
n\sum
j=1
\bigm\| \bigm\| \vec{}\varphi j ;W q1,q2,\kappa 1
\scrM ,m
\bigm\| \bigm\| , C16 = C16(n,m,C12, C15). (74)
Доведення. Оцiнимо норму функцiї \vec{}u(t, x), яка зображується рядом (27), у просторi
Cn
\Bigl(
[0, T ] ,W
\alpha ,\beta ,\kappa 1
\scrM ,m
\Bigr)
. На пiдставi (27) отримуємо оцiнку
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \vec{}u;Cn \Bigl( [0, T ] ,W\alpha ,\beta ,\kappa 1
\scrM ,m
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
m\sum
r=1
n\sum
j=0
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\Biggl( \sum
k\in \BbbZ p
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| djdtj V r
k (t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 (1 + | \mu k| )2\alpha \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(2\beta | \mu k| \kappa 1)
\Biggr) 1/2
\leq
\leq
m\sum
r=1
n\sum
j=0
\Biggl( \sum
k\in \BbbZ p
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| djdtj V r
k (t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 (1 + | \mu k| )2\alpha \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(2\beta | \mu k| \kappa 1)
\Biggr) 1/2
, (75)
де функцiї V r
k (t) визначенi формулами
V r
k (t) =
mn\sum
q=1
\left( n\sum
j=1
m\sum
l=1
\Delta m(j - 1)+l,q(\mu k, T )
\Delta (\mu k, T )
\varphi ljk
\right) f rqk(t), r \in \{ 1, . . . ,m\} , \mu k \in \scrM . (76)
На пiдставi лем 3, 4, нерiвностi (73) та формули (76) отримуємо
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| djdtj V r
k (t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq C17
n\sum
s=1
m\sum
l=1
| \varphi lsk| (1 + | \mu k| )(m
2n2 - mn+1)(N\xi - 2N)+\eta \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}((mnC\lambda T + \sigma )| \mu k| \kappa 1),
(77)
де C17 = mnC12C15, j \in \{ 0, 1, . . . , 2n\} , r \in \{ 1, . . . ,m\} .
З (75), (77) випливає оцiнка
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \vec{}u;Cn \Bigl( [0, T ] ,W\alpha ,\beta ,\kappa 1
\scrM ,m
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq C17
n\sum
j=1
m\sum
l=1
\Biggl( \sum
k\in \BbbZ p
\bigm| \bigm| \bigm| \varphi ljk\bigm| \bigm| \bigm| 2 (1 + | \mu k| )2q1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(2q2| \mu k| \kappa 1)
\Biggr) 1/2
=
= mC17
n\sum
j=1
\bigm\| \bigm\| \vec{}\varphi j ;W q1,q2,\kappa 1
\scrM ,m
\bigm\| \bigm\| ,
що й завершує доведення теореми 4.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
544 А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК
Теорема 5. Нехай N\xi \geq 2N, C\lambda < 0, виконуються умови (25) та (73). Якщо \vec{}\varphi j \in
\in W
q1,q2,\kappa 1
\scrM ,m , j \in \{ 1, . . . , n\} , де q1 = \alpha + \eta + (2mn+1)(N\xi - 2N) - \psi j (\gamma j) +m
\sum n
g=1
\psi g (\gamma g) ,
q2 = \sigma + \beta , то iснує єдиний розв’язок задачi (4), (5) iз простору Cn
\Bigl(
[0, T ] ,W
\alpha ,\beta ,\kappa 1
\scrM ,m
\Bigr)
. Цей
розв’язок зображується формулою (27) i справджує оцiнку вигляду (74) з вiдповiдними значен-
нями q1 i q2.
Доведення проводиться за схемою доведення теореми 4.
7. Метричнi оцiнки малих знаменникiв. З’ясуємо можливiсть виконання нерiвностi (73).
Позначимо r = r1+ . . .+rn, \Lambda k = (\lambda 1k, . . . , \lambda mn,k) , (J,\Lambda k) = j1\lambda 1+ . . .+ jmn\lambda mn,k, J \in \scrJ mn,
\vec{}hjk, j \in \{ 1, . . . ,mn\} , — деякий ненульовий стовпець матрицi \bfN \ast (\lambda jk, i\mu k), яка є приєднаною
до матрицi \bfN (\lambda jk, i\mu k) (див. (4)), H(\mu k) := \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigm\| \bigm\| \lambda q - 1
jk
\vec{}hjk
\bigm\| \bigm\| j=1,...,mn
q=1,...,n
, де iндекс j нумерує стовпцi,
а q — рядки,
\Delta 1(\mu k, T ) := \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \vec{}hjk \Bigl( \alpha q\lambda q - 1
jk + \beta q\lambda
q - 1
jk \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda jkT ) + \gamma qIq(\lambda jk)
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| j=1,...,mn
q=1,...,n
, (78)
Iq(z) :=
T\int
0
trq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(zt)dt = Qq(z, T ) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(zT ) - Qq(z, 0), q \in \{ 1, . . . , n\} , (79)
Qq(z, T ) :=
rq+1\sum
l=1
( - 1)l+1rq!
(rq - l + 1)!
T rq - l+1
zl
, q \in \{ 1, . . . , n\} . (80)
Зауважимо, що визначники \Delta (\mu k, T ) i \Delta 1(\mu k, T ) пов’язанi мiж собою спiввiдношенням
\Delta 1(\mu k, T ) = H(\mu k)\Delta (\mu k, T ). (81)
Як i в п. 4 з [21], на пiдставi (78) – (81) показуємо, що \Delta (\mu k, T ) є квазiмногочленом вiдносно
змiнної T i зображується формулою
\Delta (\mu k, T ) =
1
H(\mu k)
\sum
J\in \scrJ nm
FJ(T ) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}((J,\Lambda k)T ), (82)
де FJ(T ) — многочлени з комплексними коефiцiєнтами степеня NJ , NJ \leq mr, J \in \scrJ mn, а кiль-
кiсть доданкiв iз рiзними експонентами не перевищує 2mn. Для кожного \mu k \in
\in \scrM \setminus \{ \vec{}0\} розглянемо функцiю D(\mu k, \tau ) := \Delta (\mu k, \tau ). Для квазiмногочлена D(\mu k, \tau ) введемо
такi позначення:
E(D(\mu k, \tau ), \varepsilon , [0, T0]) := \{ \tau \in [0, T0] : | D(\mu k, \tau )| < \varepsilon \} , T0 > 0,
R :=
\sum
J\in \Im mn
(1 +NJ) \leq 2mn(1 +mr), (83)
B(\mu k) := 1 + \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
J\in \scrJ mn
| (J,\Lambda k)| , \mu k \in \scrM \setminus \{ \vec{}0\} , (84)
\Psi (\mu k) := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\tau \in [0,T0]
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
-
\biggl(
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
J\in \scrJ mn
\mathrm{R}\mathrm{e}(J,\Lambda k)
\biggr)
\tau
\biggr)
, \mu k \in \scrM \setminus \{ \vec{}0\} , (85)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ ДЛЯ СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ТИПУ СОБОЛЄВА . . . 545
G(\mu k) := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq R
\bigl\{
| (\partial /\partial \tau )j - 1D(\mu k, \tau )| \tau =0(B(\mu k))
- j\bigr\} , \mu k \in \scrM \setminus \{ \vec{}0\} . (86)
На пiдставi (84) та леми 2 отримуємо, що для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв \mu k \in \scrM
справджується оцiнка
B(\mu k) \leq 1 +
mn\sum
j=1
| \lambda jk| \leq C18 (1 + | \mu k| )\kappa 1 , C18 = mnC6. (87)
З леми 2 та нерiвностi (9) випливає оцiнка
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
1\leq j\leq mn
\mathrm{R}\mathrm{e}\lambda jk \geq - C6(1 + | \mu k| )\kappa 1 > - 2\kappa 1C6| \mu k| \kappa 1 , (88)
яка справджується для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв \mu k \in \scrM , | \mu k| \geq 1. На пiдставi
(85) та (88) отримуємо, що для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв \mu k \in \scrM , | \mu k| \geq 1,
\Psi (\mu k) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (2\kappa 1mnC6T0 | \mu k| \kappa 1) . (89)
Оцiнимо тепер величину G(\mu k) iз (86). В околi точки t = 0 правильними є розвинення
[11, c. 173]
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\scrN (i\mu k)t) = \bfI mn +\scrN (i\mu k)t+ . . .+ (\scrN (i\mu k))
n - 1 tn - 1
(n - 1)!
+ tn \widetilde \scrN (i\mu k, t), (90)
де
\widetilde \scrN (i\mu k, t) =
\infty \sum
j=0
(\scrN (i\mu k))
n+jtj
(n+ j)!
. (91)
На пiдставi (10) – (12), (19) безпосереднiми обчисленнями знаходимо
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\scrN (i\mu k)t) =
\left(
\bfI m t\bfI m
t2
2
\bfI m . . .
tn - 1
(n - 1)!
\bfI m
\bfO m \bfI m t\bfI m . . .
tn - 2
(n - 2)!
\bfI m
...
...
...
. . .
...
\bfO m \bfO m \bfO m . . . \bfI m
\right)
+ tn \widetilde \scrN (i\mu k, t) =
= \bfE 0(t) + tn \widetilde \scrN (i\mu k, t), (92)
де матриця \bfE 0(t) визначена формулою (37).
За допомогою формул (46), (47), (91) та (92) отримуємо
D(\mu k, \tau ) = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bfA +\bfB \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (\scrN (i\mu k)\tau ) + \bfGamma
\tau \int
0
\bfR (t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (\scrN (i\mu k)t) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
= \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\left( \| gjq(\alpha j , \beta j , \gamma j , \tau )\bfI m\| nj,q=1 + \tau n\bfB \widetilde \scrN (i\mu k, \tau ) + \bfGamma
\tau \int
0
tn\bfR (t) \widetilde \scrN (i\mu k, t)dt
\right) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
546 А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК
= \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\Bigl(
\| gjq(\alpha j , \beta j , \gamma j , \tau )\bfI m\| nj,q=1 +
\widehat \scrN (i\mu k, \tau )
\Bigr)
, (93)
де \widehat \scrN (i\mu k, \tau ) = \tau n\bfB \widetilde \scrN (i\mu k, \tau ) + \bfGamma
\tau \int
0
tn\bfR (t) \widetilde \scrN (i\mu k, t)dt. З (91) випливає, що
\widehat \scrN (i\mu k, \tau ) =
\bigm\| \bigm\| (\beta j\tau n\nu jq(\tau ) + \gamma j\tau
rj+n\omega jq(\tau ))\bfI m
\bigm\| \bigm\| n
j,q=1
, (94)
де \nu jq(\tau ), \omega jq(\tau ) — деякi функцiї, аналiтичнi в околi точки \tau = 0.
З (46), (93) та (94) випливає розвинення
D(\mu k, \tau ) = \Delta 0(\vec{}\alpha , \vec{}\beta ,\vec{}\gamma , \tau ) +D(\mu k, \tau ), (95)
де D(\mu k, \tau ) — аналiтична в околi точки \tau = 0 функцiя, яка має в цiй точцi нуль вищого порядку,
нiж \Delta 0(\vec{}\alpha , \vec{}\beta ,\vec{}\gamma , \tau ). З (55) та (95) випливає, що за умов (48), (49) виконуються рiвностi
dqD(\mu k, \tau )
d\tau q
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\tau =0
=
\Biggl\{
0, q < m\eta 0(\vec{}j),
(m\eta 0(\vec{}j))!B2, q = m\eta 0(\vec{}j).
(96)
З (84), (87) та (96) одержуємо, що для кожного \mu k \in \scrM \setminus \{ \vec{}0\} справджується оцiнка
G(\mu k) \geq
| B2| (m\eta 0(\vec{}j))!
(B(\mu k))
m\eta 0(\vec{}j)+1
\geq C19 (1 + | \mu k| ) - (m\eta 0(\vec{}j)+1)\kappa 1 , C19 =
| B2| (m\eta 0(\vec{}j))!
(C18)m\eta 0(
\vec{}j)+1
. (97)
Теорема 6. Якщо N\xi \geq 2N i виконуються умови (48), (49), то для майже всiх (щодо мiри
Лебега в \BbbR ) чисел T \in [0, T0] , T0 > 0, нерiвнiсть (73) справджується для всiх (крiм скiнченної
кiлькостi) векторiв \mu k \in \scrM , якщо
\sigma = 2\kappa 1mnC6T0, \eta > (m\eta 0(\vec{}j) + 1)\kappa 1 + (p/\theta 1 + 1) (2mn(1 +mr) - 1) , (98)
де величина \eta 0(\vec{}j) визначена формулою (54), а \theta 1 — стала з формули (2).
Доведення. Зафiксуємо вектор \mu k = \mu \=k \in \scrM . Нехай \varepsilon \eta ,\sigma (\mu \=k) := (1+| \mu \=k| ) - \eta \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \sigma | \mu \=k| \kappa 1).
Згiдно з лемою 2 з [7] виконується оцiнка
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}
\BbbR
E(\scrD (\mu \=k, \tau ), \varepsilon \eta ,\sigma (\mu \=k), [0, T0]) \leq C20B(\mu \=k)
\biggl(
4\varepsilon \eta ,\sigma (\mu \=k)\Psi (\mu \=k)
G(\mu \=k)
\biggr) 1
R - 1
, C20 = C17(R, T0).
(99)
На пiдставi (99), враховуючи (2), (9), (87), (89) та (97), отримуємо
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}
\BbbR
E(\scrD (\mu \=k, \tau ), \varepsilon \eta ,\sigma (\mu k), [0, T0]) \leq
\leq C20C18(1 + | \mu \=k| )\kappa 1
\Biggl(
4(1 + | \mu \=k| ) - \eta \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(nmC1T0| \mu \=k| \kappa 1)
C19(1 + | \mu \=k| ) - (m\eta 0(\vec{}j)+1)\kappa 1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\sigma | \mu \=k| \kappa 1)
\Biggr) 1
R - 1
=
= 41/(R - 1)C21(1 + | \mu \=k| )
(m\eta 0(
\vec{}j)+1)\kappa 1 - \eta
R - 1
+1 \leq 41/(R - 1)+pC21D1| \=k|
\biggl(
(m\eta 0(
\vec{}j)+1)\kappa 1 - \eta
R - 1
+1
\biggr)
\theta 1
=
= C22| \=k|
-
\biggl(
\eta - (m\eta 0(
\vec{}j)+1)\kappa 1
R - 1
- 1
\biggr)
\theta 1
. (100)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ ДЛЯ СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ТИПУ СОБОЛЄВА . . . 547
Позначимо z :=
\Biggl(
\eta - (m\eta 0(\vec{}j) + 1)\kappa 1
R - 1
- 1
\Biggr)
\theta 1. Пiдсумовуючи нерiвнiсть (100) за всiма
\mu k \in \scrM , отримуємо\sum
k\in \BbbZ p
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}
\BbbR
E
\Bigl(
\scrD (\mu k, \tau ), \varepsilon \eta ,\sigma (\mu k), [0, T0]
\Bigr)
\leq
\sum
k\in \BbbZ p
C22| k| - z, (101)
де z > ((p/\theta 1 + 1) - 1)\theta 1 > p. Оскiльки ряди в нерiвностi (101) є збiжними, то, згiдно з
лемою Бореля – Кантеллi [15], мiра тих \tau \in (0, T0], якi потрапляють у нескiнченну кiлькiсть
множин E(\scrD (\mu k, \tau ), \varepsilon \eta ,\sigma (\mu k), [0, T0]), дорiвнює нулевi. Тобто нерiвнiсть | \scrD (\mu k, \tau )| > \varepsilon \eta ,\sigma (\mu k)
виконується для майже всiх (щодо мiри Лебега в \BbbR ) чисел \tau \in (0, T0] та всiх (крiм, мож-
ливо, скiнченної кiлькостi) векторiв \mu k \in \scrM . Оскiльки \scrD (\mu k, T ) = \Delta (\mu k, T ), то нерiвнiсть
| \Delta (\mu k, T )| > (1 + | \mu k| ) - \eta \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \sigma | \mu k| ), де \sigma i \eta визначенi у (98), виконується для майже всiх
(щодо мiри Лебега в \BbbR ) чисел T \in (0, T0] та всiх (крiм, можливо, скiнченної кiлькостi) векторiв
\mu k \in \scrM .
Теорему 6 доведено.
Зауваження 2. Якщо для \lambda -коренiв рiвняння (28) виконується умова
\mathrm{R}\mathrm{e}\lambda jk = 0, j = \{ 1, . . . ,mn\} , (102)
то теорема 6 є правильною при \sigma = 0. Цей факт доводиться аналогiчно доведенню теореми 6
з урахуванням того, що за умови (102) \Psi (\mu k) = 1, \mu k \in \scrM .
Зауваження 3. Теорему 6 можна поширити на деякi випадки, коли не виконується умова
(49), зокрема коли коефiцiєнти умов (5) є такими:
\alpha j + \beta j = 0, \alpha 2
j + \beta 2j \not = 0, j \in \{ 1, . . . , n\} . (103)
Покажемо це. За умов (103) на пiдставi (78), (81) та розвинень \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda jk\tau ) = 1+\lambda jk\tau +o(\tau ),
j \in \{ 1, . . . ,mn\} , отримуємо
\Delta (\mu k, \tau ) =
1
H(\mu k)
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \vec{}hjk \Bigl( \alpha q\lambda q - 1
jk + \beta q\lambda
q - 1
jk + \beta q\lambda
q
jk\tau + o(\tau )
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| j=1,...,mn
q=1,...,n
=
=
1
H(\mu k)
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \vec{}hjk \Bigl( \beta q\lambda qjk\tau + \beta qo(\tau )
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| j=1,...,mn
q=1,...,n
= \tau mn
n\prod
q=1
\beta mq
mn\prod
j=1
\lambda jk + o(\tau mn). (104)
Якщо в (64) C\lambda < 0, то виконуються оцiнки
| \lambda jk| \geq | \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda jk| \geq | C\lambda | | \mu k| \varrho , j \in \{ 1, . . . ,mn\} , k \in \BbbZ p. (105)
З’ясуємо можливiсть виконання оцiнки вигляду (105), коли в (64) C\lambda \geq 0. Очевидно, що
вiльний член рiвняння (28) має вигляд \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\bfA 0(i\mu k)/\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\bfL (i\mu k), а з (7) випливає, що \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\bfA 0(i\mu k)
є многочленом вiдносно змiнних \mu k1 , . . . , \mu kp . Позначимо через \vec{}w = (w1, . . . , w\zeta 1) \in \BbbR \zeta 1 та
\vec{}v = (v1, . . . , v\zeta 1) \in \BbbR \zeta 1 вектори, складенi вiдповiдно iз дiйсних та уявних частин коефiцiєнтiв
полiнома \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\bfA 0(i\mu k), де \zeta 1 =
\sum mN0
l=1 Cpp+l+1 — кiлькiсть коефiцiєнтiв цього полiнома.
Твердження 1. Для майже всiх (щодо мiри Лебега в \BbbR \zeta 1 ) векторiв \vec{}w та довiльного фiк-
сованого \vec{}v (або для майже всiх векторiв \vec{}v та довiльного фiксованого \vec{}w) нерiвнiсть
| \lambda jk| \geq C23| \mu k| - 2Nm - \kappa 1(mn - 1) - p/\theta 1 - \varepsilon , C23 = 2 - \kappa 1(mn - 1)C2, \varepsilon > 0,
виконується для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв \mu k \in \scrM .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
548 А. М. КУЗЬ, Б. Й. ПТАШНИК
Доведення проводиться за схемою доведення теореми 5 iз [3] з урахуванням леми 1 та
оцiнок (2), (9) i (30).
Якщо C\lambda < 0, то з (86), (104) i (105) випливає, що для всiх (крiм скiнченної кiлькостi)
векторiв \mu k \in \scrM
G(\mu k) \geq C24(mn)!
mn\prod
j=1
| \lambda jk| (B(\mu k))
- mn - 1 \geq C25 (1 + | \mu k| )mn\varrho - (mn+1)\kappa 1 , (106)
де C24 = | C\lambda | mn
\prod n
q=1
| \beta q| m, C25 = C24(mn)!(C18)
- mn - 1. Якщо C\lambda \geq 0, то на пiдставi твер-
дження 1 та формул (86), (104) отримуємо, що для майже всiх (щодо мiри Лебега в \BbbR \zeta 1 ) векторiв
\vec{}w та довiльного фiксованого \vec{}v (або для майже всiх векторiв \vec{}v та довiльного фiксованого \vec{}w)
оцiнка
G(\mu k) \geq C26 (1 + | \mu k| ) - 2Nm2n - (m2n2+1)\kappa 1 - mnp/\theta 1 - \varepsilon , C26 = (mn)!(C18)
- mn - 1(C23)
mn,
(107)
виконується для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв \mu k \in \scrM . Iз викладеного вище ви-
пливає наступне твердження, яке доводиться за схемою доведення теореми 6 iз урахуванням
нерiвностей (106), (107).
Твердження 2. Нехай виконуються умови (103). Якщо в (64) C\lambda < 0, то для майже всiх
(щодо мiри Лебега в \BbbR ) чисел T \in (0, T0], T0 > 0, нерiвнiсть (73) справджується для всiх
(крiм скiнченної кiлькостi) векторiв \mu k \in \scrM при
\sigma = 2\kappa 1mnC6T0, \eta > (mn+ 1)\kappa 1 - mn\varrho + (p/\theta 1 + 1) (2mn(1 +mr) - 1) .
Якщо в (64) C\lambda \geq 0, то для майже всiх (щодо мiри Лебега в \BbbR ) чисел T \in (0, T0], T0 > 0, та
майже всiх (щодо мiри Лебега в \BbbR \zeta 1 ) векторiв \vec{}w та довiльного фiксованого \vec{}v (або для майже
всiх векторiв \vec{}v та довiльного фiксованого \vec{}w) нерiвнiсть (73) справджується при
\sigma = 2\kappa 1mnC6T0, \eta > 2Nm2n+ (m2n2 + 1)\kappa 1 +mnp/\theta 1 + (p/\theta 1 + 1) (2mn(1 +mr) - 1)
для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв \mu k \in \scrM .
Зауваження 4. Нехай система рiвнянь (4) є розв’язаною вiдносно старшої похiдної за
часовою змiнною, тобто \bfL = \bfI m в системi рiвнянь (4). Якщо при цьому система (4) є гiпербо-
лiчною за Гордiнгом [6, с. 148], то нерiвнiсть (64) виконується для деякого C\lambda \in \BbbR при \varrho = 0,
а якщо система (4) є параболiчною за Шиловим [6, с. 130], то нерiвнiсть (64) виконується для
деякого C\lambda < 0 при \varrho > 0. Всi отриманi вище результати у випадку N\xi > 2N безпосередньо
переносяться, вiдповiдно, на гiперболiчнi за Гордiнгом та параболiчнi за Шиловим системи
рiвнянь i є новими.
8. Висновки. Отриманi результати можна поширити на задачi для систем вигляду (4) з
умовами
\alpha j\vec{}u(tj , x) + \beta j
T\int
0
trj\vec{}u(t, x)dt = \vec{}\varphi j(x), j \in \{ 1, . . . , n\} , 0 \leq t1 < t2 . . . < tn \leq T.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ЗАДАЧА З IНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ ЗА ЧАСОМ ДЛЯ СИСТЕМИ РIВНЯНЬ ТИПУ СОБОЛЄВА . . . 549
Лiтература
1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. – М.: Наука, 1979. – 832 с.
2. Баренблатт Г. И., Желтов Ю. П., Кочина И. Н. Об основних представлениях теории фильтрации в трещин-
новатых средах // Прикл. механика и математика. – 1960. – 24, № 5. – С. 58 – 73.
3. Бiлусяк Н. I., Комарницька Л. I., Пташник Б. Й. Задача типу Дiрiхле для систем рiвнянь iз частинними
похiдними, не розв’язаних вiдносно старшої похiдної за часом // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 12. – С. 1592 –
1602.
4. Власiй О. Д., Пташник Б. Й. Задача з нелокальними умовами для систем рiвнянь з частинними похiдними, не
розв’язаних вiдносно старшої похiдної за часом // Укр. мат. вiсн. – 2004. – 1, № 4. – С. 501 – 517.
5. Габов С. А., Свешников А. Г. Задачи динамики стратифицированной жидкости. – М.: Наука, 1986. – 287 с.
6. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравне-
ний. – М.: Физматгиз, 1958. – 274 с.
7. Медвiдь О. М., Симотюк М. М. Дiофантовi наближення характеристичного визначника iнтегральної задачi для
лiнiйного рiвняння з частинними похiдними // Наук. вiсн. Чернiв. нац. ун-ту. Математика. – 2004. – Вип. 228. –
С. 74 – 85.
8. Клюс I. С., Пташник Б. Й. Багатоточкова задача для рiвнянь iз частинними похiдними, не розв’язаних вiдносно
старшої похiдної за часом // Укр. мат. журн. – 1999. – 51, № 12. – С. 1604 – 1613.
9. Кузь А. М., Пташник Б. Й. Задача з iнтегральними умовами для рiвнянь, не розв’язаних вiдносно старшої
похiдної за часом // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2014. – 11, № 2. – С. 200 – 224.
10. Комарницька Л. I., Пташник Б. Й. Крайовi задачi для диференцiального рiвняння, не розв’язаного вiдносно
старшої похiдної за часом // Укр. мат. журн. – 1995. – 47, № 9. – С. 1197 – 1208.
11. Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука, 1982. – 272 с.
12. Мегралиев Я. Т. Обратная краевая задача для уравнения Буссинеска – Лява с дополнительным интегральным
условием // Сиб. журн. индустр. математики. – 2013. – 16, № 1. – С. 75 – 83.
13. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа: В 2 ч. – М.: Наука, 1978. – Ч. 1. – 391 c.
14. Соболев С. Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1954. – 18, № 1. –
С. 3 – 50.
15. Спринджук В. Г. Метрическая теория диофантовых приближений. – М.: Наука, 1977. – 143 с.
16. Шубин М. А. Почти-периодические функции и дифференциальные операторы с частными производными //
Успехи мат. наук. – 1978. – 33, № 2. – C. 3 – 47.
17. Фаддєєв Д. К., Сомiнський I. С. Збiрник задач з вищої алгебри. – Київ: Вища шк., 1971. – 316 с.
18. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разло-
жении произвольных функций в ряды. – Петроград, 1917. – 308+xiv c.
19. Besicovitch A. S. Almost periodic functions. – Cambridge: Dover Publ., Inc., 1954. – 180 p.
20. Bouziani А., Merazga N. Solution to a semilinear pseudoparabolic problem with integral conditions // Electron. J.
Different. Equat. – 2006. – № 115. – P. 1 – 18.
21. Kuz A. M., Ptashnyk B. Yo. Problem for hyperbolic system of equations having constant coefficients with integral
conditions with respect to the time variable // Carpath. Math. Publ. – 2014. – 6, № 2. – P. 282 – 299.
22. Oskolkov A. P. Nonlocal problems for the equations of Kelvin – Voight fluids and their e-approximations // J. Math.
Sci. – 1997. – 87, № 2. – P. 3393 – 3408.
23. Sviridyuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators. – Utrecht etc.:
VSP, 2003. – 224 p.
24. Shruti A. Dubey. Numerical solution for nonlocal Sobolev-type differential equations // Electron. J. Different. Equat. –
2010. – 19. – P. 75 – 83.
Одержано 22.04.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1714 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:12Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/13/d004a26576d407f30157190f483d9513.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17142019-12-05T09:24:35Z Problem with integral conditions in the time variable for Sobolevtype system of equations with constant coefficients Задача з інтегральними умовами за часом для системи рівнянь типу Соболєва зі сталими коефіцієнтами Kuz, A. M. Ptashnik, B. I. Кузь, А. М. Пташник, Б. Й. In a domain obtained as a Cartesian product of an interval $[0, T]$ and the space $R^p, p \in N$, for a system of equations (with constant coefficients) unsolved with respect to the highest time derivative, we study a problem with integral conditions in the time variable in the class of functions almost periodic in the space variables. A criterion of uniqueness and sufficient conditions for the existence of the solution of this problem in different functional spaces are established. We use the metric approach to solve the problem of small denominators encountered in the construction of the solution. В области, являющейся декартовым произведением отрезка $[0, T]$ и пространства $R^p, p \in N$, для системы уравнений, не разрешенных относительно старшей производной по времени, с постоянными коэффициентами исследована задача с интегральными условиями по временной координате в классе почти периодических по пространственным переменным функций. Установлен критерий единственности и достаточные условия существования в различных функциональных пространствах решения задачи. Для решения проблемы малых знаменателей, которые появились при построении решения задачи, использован метрический подход. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1714 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 4 (2017); 530-549 Український математичний журнал; Том 69 № 4 (2017); 530-549 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1714/696 Copyright (c) 2017 Kuz A. M.; Ptashnik B. I. |
| spellingShingle | Kuz, A. M. Ptashnik, B. I. Кузь, А. М. Пташник, Б. Й. Problem with integral conditions in the time variable for Sobolevtype system of equations with constant coefficients |
| title | Problem with integral conditions in the time variable for Sobolevtype
system of equations with constant coefficients |
| title_alt | Задача з інтегральними умовами за часом для системи рівнянь
типу Соболєва зі сталими коефіцієнтами |
| title_full | Problem with integral conditions in the time variable for Sobolevtype
system of equations with constant coefficients |
| title_fullStr | Problem with integral conditions in the time variable for Sobolevtype
system of equations with constant coefficients |
| title_full_unstemmed | Problem with integral conditions in the time variable for Sobolevtype
system of equations with constant coefficients |
| title_short | Problem with integral conditions in the time variable for Sobolevtype
system of equations with constant coefficients |
| title_sort | problem with integral conditions in the time variable for sobolevtype
system of equations with constant coefficients |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1714 |
| work_keys_str_mv | AT kuzam problemwithintegralconditionsinthetimevariableforsobolevtypesystemofequationswithconstantcoefficients AT ptashnikbi problemwithintegralconditionsinthetimevariableforsobolevtypesystemofequationswithconstantcoefficients AT kuzʹam problemwithintegralconditionsinthetimevariableforsobolevtypesystemofequationswithconstantcoefficients AT ptašnikbj problemwithintegralconditionsinthetimevariableforsobolevtypesystemofequationswithconstantcoefficients AT kuzam zadačazíntegralʹnimiumovamizačasomdlâsistemirívnânʹtipusobolêvazístalimikoefícíêntami AT ptashnikbi zadačazíntegralʹnimiumovamizačasomdlâsistemirívnânʹtipusobolêvazístalimikoefícíêntami AT kuzʹam zadačazíntegralʹnimiumovamizačasomdlâsistemirívnânʹtipusobolêvazístalimikoefícíêntami AT ptašnikbj zadačazíntegralʹnimiumovamizačasomdlâsistemirívnânʹtipusobolêvazístalimikoefícíêntami |