Affine curvature of plane geodesic lines on affine hypersurfaces
We establish a necessary and sufficient condition for a geodesic line on a nondegenerate hypersurface to be a plane curve. We deduce a formula for the affine curvature of a plane geodesic line on the affine hypersurface in terms of the affine fundamental form and the shape operator. We present the d...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1716 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507559950024704 |
|---|---|
| author | Shuhaylo, O. Шугайло, О. О. |
| author_facet | Shuhaylo, O. Шугайло, О. О. |
| author_sort | Shuhaylo, O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:24:35Z |
| description | We establish a necessary and sufficient condition for a geodesic line on a nondegenerate hypersurface to be a plane curve.
We deduce a formula for the affine curvature of a plane geodesic line on the affine hypersurface in terms of the affine
fundamental form and the shape operator. We present the definition of transverse curvature and determine some of its
elementary properties. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 514.754
О. О. Шугайло (Харкiв. нац. ун-т iм. В. Н. Каразiна)
АФIННА КРИВИНА ПЛОСКИХ ГЕОДЕЗИЧНИХ
НА АФIННИХ ГIПЕРПОВЕРХНЯХ
We establish a necessary and sufficient condition for a geodesic line on a nondegenerate hypersurface to be a plane curve.
We deduce a formula for the affine curvature of a plane geodesic line on the affine hypersurface in terms of the affine
fundamental form and the shape operator. We present the definition of transverse curvature and determine some of its
elementary properties.
Установлено необходимое и достаточное условие того, что геодезическая на невырожденной гиперповерхности
является плоской кривой. Получена формула для вычисления аффинной кривизны плоской геодезической линии
на аффинной гиперповерхности в терминах аффинной фундаментальной формы и оператора Вейнгартена. Дано
определение трансверсальной кривизны и получены некоторые ее свойства.
Вступ. Будемо розглядати афiннi занурення гiперповерхонь за К. Номiдзу, Т. Сасакi. Не-
хай (Mn,\nabla ) — афiнний n-вимiрний многовид зi зв’язнiстю \nabla , a (\BbbR n+1, D) — стандартний
(арифметичний) афiнний простiр з плоскою зв’язнiстю D. Позначимо через X(Mn) мно-
жину гладких дотичних векторних полiв на Mn. У вiдповiдностi з [1, с. 29], занурення f :
(Mn,\nabla ) \rightarrow (\BbbR n+1, D) називається афiнним, якщо вздовж занурення визначено трансверсальне
диференцiйовне векторне поле \xi таке, що в кожнiй точцi x \in Mn для будь-яких X,Y \in X(Mn)
має мiсце розклад
(Df\ast (X)f\ast (Y ))x = (f\ast (\nabla XY ))x + hx(X,Y )\xi (1)
на дотичну i трансверсальну компоненти, який визначає афiнну фундаментальну форму h(X,Y ).
Вiдомо, що ранг афiнної фундаментальної форми не залежить вiд вибору трансверсального век-
торного поля. Гiперповерхня з невиродженою афiнною фундаментальною формою називається
невиродженою гiперповерхнею.
Для трансверсального векторного поля \xi має мiсце також аналогiчний розклад
Df\ast (X)\xi = - f\ast (SX) + \tau (X)\xi , (2)
який визначає оператор Вейнгартена S i форму трансверсальної зв’язностi \tau . (Для спро-
щення позначень у подальшому для позначення диференцiювання дотичних векторних полiв у
зв’язностi D будемо використовувати запис DXY, маючи на увазi зовнiшнi координати X, Y.)
Для занурення f : Mn \rightarrow \BbbR n+1 (без заданої зв’язностi) вибiр трансверсального векторного
поля \xi визначає iндуковану зв’язнiсть \nabla з розкладу (1).
Для афiнного занурення f : Mn \rightarrow \BbbR n+1 iз трансверсальним векторним полем \xi визначимо
iндукований елемент об’єму \theta на Mn таким чином:
\theta (X1, . . . , Xn) = | f\ast (X1), . . . , f\ast (Xn), \xi | . (3)
Для афiнного занурення f : Mn \rightarrow \BbbR n+1 трансверсальне векторне поле \xi називається еквi-
афiнним, якщо \nabla X\theta = 0 для всiх X \in Tx(M
n), x \in Mn. Дана умова еквiвалентна тому, що
c\bigcirc О. О. ШУГАЙЛО, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4 565
566 О. О. ШУГАЙЛО
форма трансверсальної зв’язностi є нульовою \tau (X) \equiv 0 [1, с. 31]. З еквiафiнним векторним
полем \xi ми маємо еквiафiнну структуру (\nabla , \theta ) на Mn.
Для невиродженої гiперповерхнi f : Mn \rightarrow \BbbR n+1 еквiафiнне трансверсальне векторне поле,
для якого елемент об’єму, iндукований афiнною фундаментальною формою, збiгається з \theta ,
називається афiнним нормальним векторним полем, а гiперповерхня — гiперповерхнею Бляшке
[1, с. 40]. Дана умова на \xi є жорсткою: афiнна нормаль визначається єдиним чином з точнiстю
до знака.
Вiдомо [1, с. 42], що якщо для гiперповерхнi Бляшке оператор Вейнгартена має вигляд
S = \lambda I, де \lambda — функцiя, I — тотожний оператор, то \lambda = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.
Гiперповерхня Бляшке називається афiнною гiперсферою, якщо S = \lambda I. Якщо \lambda = 0, то
це невласна афiнна гiперсфера, а якщо \lambda \not = 0, — то власна афiнна гiперсфера.
Має мiсце така теорема [1, с. 43].
Теорема. Гiперповерхня Бляшке є афiнною гiперсферою тодi i тiльки тодi, коли всi її
геодезичнi є плоскими.
Якщо вiдмовитися вiд умови на нормаль Бляшке i розглядати невиродженi афiннi зану-
рення f : (Mn,\nabla ) \rightarrow (\BbbR n+1, D), то з умови, що всi \nabla -геодезичнi є плоскими, випливає, що
оператор Вейнгартена має вигляд S = \lambda I, де \lambda — деяка функцiя. Нагадаємо, що такi занурення
називаються омбiлiчними. Доведено [2], що якщо функцiя \lambda не дорiвнює нулю в усiй областi
визначення, то без змiни зв’язностi можна вибрати \xi = - \vec{}r, де \vec{}r — радiус-вектор, що задає за-
нурення. Нагадаємо, що афiнне занурення гiперповерхнi з \xi = - \vec{}r називається центро-афiнним
[1, с. 37], для нього S = I.
На афiннiй гiперсферi, центро-афiннiй гiперповерхнi i афiннiй омбiлiчнiй гiперповерхнi всi
геодезичнi є плоскими. В роботi отримано необхiдну i достатню умову того, що геодезична на
невиродженiй гiперповерхнi є плоскою кривою.
Якщо розглядати тiльки еквiафiннi перетворення простору, тобто перетворення, якi не змi-
нюють об’єм, то можна говорити про афiнну кривину кривої. Отримано формулу для афiнної
кривини плоскої геодезичної на афiннiй гiперповерхнi з еквiафiнною структурою в термiнах
афiнної фундаментальної форми i оператора Вейнгартена.
Геодезична. Афiннi кривини. Нагадаємо кiлька визначень [1, с. 12]. Нехай \vec{}x(t) — радiус-
вектор кривої \gamma в афiнному просторi \BbbR n. Позначимо через X = \vec{}x\prime (t) дотичне векторне поле
\gamma . Крива \vec{}x(t) називається предгеодезичною, якщо
\nabla tX = \phi (t)X,
де \phi (t) — деяка функцiя (\nabla t означає коварiантне диференцiювання в напрямку дотичного
векторного поля \vec{}x\prime (t)). З новим параметром s, який задовольняє умову
ds
dt
= \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl( \int
\phi (t)dt
\biggr)
,
маємо \nabla sX = 0. Параметр s називається афiнним параметром; вiн визначається однозначно
з точнiстю до афiнного перетворення s \mapsto \rightarrow as + b, a \not = 0. Крива, параметризована афiнним
параметром, називається геодезичною.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
АФIННА КРИВИНА ПЛОСКИХ ГЕОДЕЗИЧНИХ НА АФIННИХ ГIПЕРПОВЕРХНЯХ 567
Потрiбно зауважити, що в афiнному випадку, на вiдмiну вiд евклiдова, афiнний параметр
i афiнний натуральний параметр — це рiзнi параметри.
Гладка крива \vec{}x(t) в афiнному просторi \BbbR n називається невиродженою [3, с. 170], якщо для
будь-якого t
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\Bigl(
\vec{}x \prime (t), \vec{}x \prime \prime (t), . . . , \vec{}x (n)(t)
\Bigr)
\not = 0.
Афiнний натуральний параметр (афiнна довжина дуги) визначається таким чином:
\sigma (t) =
\int
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\Bigl(
\vec{}x \prime (t), \vec{}x \prime \prime (t), . . . , \vec{}x (n)(t)
\Bigr) 2/(n(n+1))
dt,
тобто
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\Bigl(
\vec{}x \prime (\sigma ), \vec{}x \prime \prime (\sigma ), . . . , \vec{}x (n)(\sigma )
\Bigr)
\equiv 1.
Здиференцiювавши останню тотожнiсть по \sigma , отримаємо
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\Bigl(
\vec{}x \prime (\sigma ), \vec{}x \prime \prime (\sigma ), . . . , \vec{}x (n+1)(\sigma )
\Bigr)
\equiv 0.
Таким чином, маємо наступне означення [3, с. 171]. Нехай гладка невироджена крива \vec{}x(\sigma )
в \BbbR n параметризована афiнним натуральним параметром, тодi афiннi кривини кривої \vec{}x(\sigma )
визначаються рiвнiстю
\vec{}x (n+1)(\sigma ) = - k1(\sigma )\vec{}x
\prime (\sigma ) - k2(\sigma )\vec{}x
\prime \prime (\sigma ) - . . . - kn - 1(\sigma )\vec{}x
(n - 1)(\sigma ).
Зауважимо, що афiнна довжина дуги i афiнна кривина iнварiантнi при еквiафiнному пе-
ретвореннi простору: якщо \vec{}r(\sigma ) — крива з афiнною довжиною дуги \sigma , то для будь-якого
еквiафiнного перетворення A крива \vec{}\rho (\sigma ) = A(\vec{}r(\sigma )) є невиродженою кривою, афiнна довжина
дуги якої є \sigma . Крiм того, афiнна кривина \vec{}\rho (\sigma ) дорiвнює афiннiй кривинi \vec{}r(\sigma ) для кожного
значення \sigma .
Плоскi геодезичнi. Аналогiчно евклiдовому випадку в афiнному також можна дати оз-
начення лiнiй кривини. Означення для двовимiрних афiнних гiперповерхонь можна знайти в
[4, с. 171].
Лiнiя на афiннiй гiперповерхнi називається лiнiєю кривини, якщо в кожнiй точцi її дотичний
вектор X є власним вектором оператора Вейнгартена, тобто SX = \lambda X, де \lambda — деяка функцiя
точки.
Теорема 1. Нехай f : (Mn,\nabla ) \rightarrow (\BbbR n+1, D) — афiнна невироджена гiперповерхня. Якщо
\nabla -геодезична є плоскою невиродженою кривою, то вона є лiнiєю кривини, якщо ж \nabla -геодезична
є лiнiєю кривини, то вона є плоскою кривою.
Доведення. Нехай \vec{}\rho (t) = f(u(t)) \in \BbbR n+1 — плоска \nabla -геодезична, f\ast (X) = \vec{}\rho \prime — дотич-
не векторне поле вздовж геодезичної, тобто \nabla XX = 0. Використовуючи розклади (1), (2),
отримуємо
\vec{}\rho \prime \prime = DXX = h(X,X)\xi ,
(4)
\vec{}\rho \prime \prime \prime = DX(DXX) = DX(h(X,X)\xi ) = X(h(X,X))\xi + h(X,X)DX\xi =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
568 О. О. ШУГАЙЛО
= X(h(X,X))\xi + h(X,X)( - f\ast (SX) + \tau (X)\xi ).
Оскiльки \vec{}\rho (t) — плоска геодезична, то \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}[\vec{}\rho \prime , \vec{}\rho \prime \prime , \vec{}\rho \prime \prime \prime ] < 3, а оскiльки крива невироджена,
то \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}[\vec{}\rho \prime , \vec{}\rho \prime \prime ] = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}[f\ast (X), h(X,X)\xi ] = 2, тобто h(X,X) \not = 0. Таким чином,
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}[\vec{}\rho \prime , \vec{}\rho \prime \prime , \vec{}\rho \prime \prime \prime ] = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}[f\ast (X), h(X,X)\xi ,X(h(X,X))\xi + h(X,X)( - f\ast (SX) + \tau (X)\xi )] =
= \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}[f\ast (X), \xi , f\ast (SX)] = 2.
Отже, SX = \lambda X, де \lambda — деяка функцiя, тобто дана геодезична є лiнiєю кривини.
Нехай тепер \vec{}\rho (t) = f(u(t)) \in \BbbR n+1 — \nabla -геодезична, яка є лiнiєю кривини, тобто \nabla XX = 0
та SX = \lambda X, де \lambda — деяка функцiя, f\ast (X) = \vec{}\rho \prime . З (4) у випадку, коли h(X,X) \not = 0 в кожнiй
точцi, випливає, що
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}
\bigl[
\vec{}\rho \prime , \vec{}\rho \prime \prime , \vec{}\rho \prime \prime \prime \bigr] = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}[f\ast (X), h(X,X)\xi ,X(h(X,X))\xi + h(X,X)( - f\ast (\lambda X) + \tau (X)\xi )] =
= \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}[f\ast (X), \xi ] = 2.
Таким чином, в кожнiй точцi крива \vec{}\rho (t) лежить у площинi векторiв f\ast (X), \xi , але з розкладiв
Гаусса DXX = h(X,X)\xi i Вейнгартена DX\xi = - f\ast (\lambda X) + \tau (X)\xi випливає, що ця площина
D-паралельна в \BbbR n+1, тобто \vec{}\rho (t) — плоска крива.
Якщо ж h(X,X) = 0 в кожнiй точцi, то геодезична є асимптотичною лiнiєю, а отже,
прямолiнiйною твiрною. В афiннiй геометрiї пряма — це вироджена крива. Якщо h(X,X) = 0
в деяких точках, то лiнiя \vec{}\rho (t) буде плоскою кривою з особливими точками.
Теорема 2. Невироджена афiнна гiперповерхня f : (Mn,\nabla ) \rightarrow (\BbbR n+1, D) є афiнною
омбiлiчною гiперповерхнею тодi i тiльки тодi, коли всi її \nabla -геодезичнi є плоскими.
Доведення. На омбiлiчнiй гiперповерхнi всi лiнiї є лiнiями кривини, отже, за теоремою 1
всi геодезичнi є плоскими.
Нехай тепер f : (Mn,\nabla ) \rightarrow (\BbbR n+1, D) — невироджена афiнна гiперповерхня, у якої всi
\nabla -геодезичнi є плоскими. З доведеного вище випливає, що SX = \lambda X, де \lambda — деяка функцiя,
що залежить вiд точки та векторного поля X. Зафiксуємо довiльну точку на гiперповерхнi.
Розглянемо двi геодезичнi, якi проходять через дану точку i дотикаються лiнiйно незалежних
напрямкiв X1, X2, якi не є асимптотичними, при цьому SX1 = \lambda 1X1, SX2 = \lambda 2X2 в данiй
точцi. Розглянемо геодезичну з дотичним вектором X3 = \alpha X1 + \beta X2 (\alpha , \beta — довiльнi дiйснi
числа), для неї SX3 = \lambda 3X3. З лiнiйностi оператора Вейнгартена випливає, що
S(\alpha X1 + \beta X2) = \alpha SX1 + \beta SX2 = \alpha \lambda 1X1 + \beta \lambda 2X2 =
= \lambda 3(\alpha X1 + \beta X2) = \alpha \lambda 3X1 + \beta \lambda 3X2.
Оскiльки \alpha , \beta є довiльними, а X1, X2 — лiнiйно незалежними, то \lambda 1 = \lambda 2 = \lambda 3 = \lambda не
залежить вiд напрямку. Тобто оператор Вейнгартена має вигляд S = \lambda I, де \lambda — деяка функцiя
точки.
Наступна теорема є аналогом вiдомої теореми [1, с. 42] для гiперповерхнi Бляшке, оператор
Вейнгартена якої має вигляд S = \lambda I. Доведення також аналогiчне.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
АФIННА КРИВИНА ПЛОСКИХ ГЕОДЕЗИЧНИХ НА АФIННИХ ГIПЕРПОВЕРХНЯХ 569
Теорема 3. Для афiнного омбiлiчного занурення з еквiафiнною структурою оператор
Вейнгартена S = \lambda I, де \lambda = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.
Доведення. Для афiнного омбiлiчного занурення з еквiафiнною структурою виконуються
спiввiдношення S = \lambda I, де \lambda — деяка функцiя точки, \tau \equiv 0. В даному випадку рiвняння
Кодаццi для S [1, с. 33]
(\nabla XS)Y - \tau (X)SY = (\nabla Y S)X - \tau (Y )SX
набирає вигляду
\nabla X(SY ) - S(\nabla XY ) = \nabla Y (SX) - S(\nabla Y X),
\nabla X(\lambda Y ) - \lambda \nabla XY = \nabla Y (\lambda X) - \lambda \nabla Y X,
\lambda (X)Y = \lambda (Y )X.
Оскiльки ця рiвнiсть виконується для довiльних лiнiйно незалежних векторних полiв X, Y, то
X(\lambda ) = 0 для будь-якого X, отже, \lambda = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.
Обчислення афiнної кривини плоскої кривої в довiльнiй параметризацiї. Для неви-
родженої плоскої кривої \vec{}r = \vec{}r(t) \in \BbbR 2 афiнна довжина дуги \sigma та афiнна кривина k(\sigma )
визначаються таким чином:
\sigma =
\int \bigm| \bigm| \vec{}rt \prime \vec{}rt \prime \prime \bigm| \bigm| 13 dt, \vec{}r\sigma
\prime \prime \prime = - k(\sigma ) \vec{}r\sigma
\prime .
Формулу для обчислення афiнної кривини в довiльнiй параметризацiї за допомогою детер-
мiнантiв можна знайти в [4, с. 71; 3, с. 150]. Отримаємо цю формулу в дещо iншiй формi, яка
є бiльш зручною для подальших дослiджень.
Мають мiсце спiввiдношення
\vec{}rt
\prime = \vec{}r\sigma
\prime \sigma \prime
t,
\vec{}rt
\prime \prime = \vec{}r\sigma
\prime \prime \bigl( \sigma \prime
t
\bigr) 2
+ \vec{}r\sigma
\prime \sigma \prime \prime
t ,
\vec{}rt
\prime \prime \prime = \vec{}r\sigma
\prime \prime \prime \bigl( \sigma \prime
t
\bigr) 3
+ 3 \vec{}r\sigma
\prime \prime \sigma \prime
t\sigma
\prime \prime
t + \vec{}r\sigma
\prime \sigma \prime \prime \prime
t .
Оскiльки вектори \vec{}rt
\prime , \vec{}rt
\prime \prime лiнiйно незалежнi та утворюють базис площини, якiй належить
крива, то \vec{}rt
\prime \prime \prime = \lambda 1\vec{}rt
\prime + \lambda 2\vec{}rt
\prime \prime . Враховуючи, що \=r\prime \prime \prime \sigma = - k \cdot \=r\prime \sigma , маємо
\lambda 1
\bigl(
\vec{}r\sigma
\prime \sigma \prime
t
\bigr)
+ \lambda 2
\bigl(
\vec{}r\sigma
\prime \prime (\sigma \prime
t)
2 + \vec{}r\sigma
\prime \sigma \prime \prime
t
\bigr)
= - k \cdot \=r\prime \sigma
\bigl(
\sigma \prime
t
\bigr) 3
+ 3 \vec{}r\sigma
\prime \prime \sigma \prime
t\sigma
\prime \prime
t + \vec{}r\sigma
\prime \sigma \prime \prime \prime
t .
Таким чином, збираючи коефiцiєнти при \vec{}r\sigma
\prime i \vec{}r\sigma
\prime \prime , отримуємо систему
\lambda 1\sigma
\prime
t + \lambda 2\sigma
\prime \prime
t + k
\bigl(
\sigma \prime
t
\bigr) 3 - \sigma \prime \prime \prime
t = 0,
\lambda 2
\bigl(
\sigma \prime
t
\bigr) 2 - 3\sigma \prime
t\sigma
\prime \prime
t = 0.
Отже, формула для обчислення афiнної кривини має вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
570 О. О. ШУГАЙЛО
k(t) =
1
(\sigma \prime
t)
3
\bigl(
\sigma \prime \prime \prime
t - \lambda 1\sigma
\prime
t - \lambda 2\sigma
\prime \prime
t
\bigr)
, (5)
де \vec{}rt
\prime \prime \prime = \lambda 1\vec{}rt
\prime + \lambda 2\vec{}rt
\prime \prime , \sigma \prime
t =
\bigm| \bigm| \vec{}rt\prime \vec{}rt\prime \prime \bigm| \bigm| 13 , \lambda 2 =
3\sigma \prime \prime
t
\sigma \prime
t
.
Афiнна кривина плоскої геодезичної. Нехай \vec{}\rho (t) \in \BbbR n+1 — плоска геодезична на афiннiй
невиродженiй гiперповерхнi f : (Mn,\nabla ) \rightarrow (\BbbR n+1, D) з еквiафiнною структурою. Позначимо
через \{ \vec{}t1,\vec{}t2\} базис площини \alpha в \BbbR n+1, в якiй лежить дана геодезична, тобто \vec{}\rho (t) = \rho 1(t)\vec{}t1 +
+ \rho 2(t)\vec{}t2, а через \vec{}n позначимо сталий мультивектор \vec{}n = \{ \vec{}n1, . . . , \vec{}nn - 1\} , \vec{}ni \in \BbbR n+1, який
задовольняє умову
| \vec{}t1, \vec{}t2, \vec{}n| = 1.
Таким чином, для векторiв \vec{}a = a1\vec{}t1 + a2\vec{}t2, \vec{}b = b1\vec{}t1 + b2\vec{}t2, якi лежать у площинi \alpha , ми
можемо визначити iндукований елемент об’єму таким чином:
| \vec{}a, \vec{}b| \alpha = | \vec{}a, \vec{}b, \vec{}n| . (6)
Для обчислення афiнної кривини геодезичної лiнiї скористаємося формулою (5). Оскiль-
ки \xi — еквiафiнне векторне поле, то \tau = 0. З доведеного вище твердження випливає, що
DX\xi = - \lambda f\ast (X). Таким чином,
\vec{}\rho t
\prime = f\ast (X), \vec{}\rho t
\prime \prime = DXX = h(X,X)\xi ,
\vec{}\rho t
\prime \prime \prime = DX(h(X,X)\xi ) = X(h(X,X))\xi + h(X,X)( - \lambda f\ast (X)).
Отже,
\lambda 1 = - \lambda h(X,X), \lambda 2 =
X(h(X,X))
h(X,X)
.
Далi маємо
\sigma \prime
t =
\bigm| \bigm| \vec{}\rho t\prime , \vec{}\rho t
\prime \prime \bigm| \bigm| 1/3
\alpha
=
\bigm| \bigm| \vec{}\rho t\prime , \vec{}\rho t
\prime \prime , \vec{}n
\bigm| \bigm| 1/3 = | f\ast (X), h(X,X)\xi , \vec{}n| 1/3 =
= h(X,X)1/3 | f\ast (X), \xi , \vec{}n| 1/3 .
Оскiльки X (| f\ast (X), \xi , \vec{}n| ) = 0, то
\sigma t
\prime \prime =
1
3
h - 2/3(X,X)X(h(X,X)) | f\ast (X), \xi , \vec{}n| 1/3 ,
\sigma t
\prime \prime \prime = - 2
9
h - 5/3(X,X)(X(h(X,X)))2 | f\ast (X), \xi , \vec{}n| 1/3+
+
1
3
h - 2/3(X,X)\partial 2
X(h(X,X)) | f\ast (X), \xi , \vec{}n| 1/3 .
Отже, за формулою (5) отримуємо
k =
1
(\sigma t\prime )3
\bigl(
\sigma \prime \prime \prime
t - \lambda 1\sigma
\prime
t - \lambda 2\sigma
\prime \prime
t
\bigr)
=
| f\ast (X), \xi , \vec{}n| 1/3
h(X,X)| f\ast (X), \xi , \vec{}n|
\times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
АФIННА КРИВИНА ПЛОСКИХ ГЕОДЕЗИЧНИХ НА АФIННИХ ГIПЕРПОВЕРХНЯХ 571
\times
\biggl(
- 2
9
h - 5/3(X,X)(X(h(X,X)))2 +
1
3
h - 2/3(X,X)\partial 2
X(h(X,X))+
+\lambda h4/3(X,X) - 1
3
X(h(X,X))
h(X,X)
h - 2/3(X,X)X(h(X,X))
\biggr)
=
=
1
h(X,X)| f\ast (X), \xi , \vec{}n| 2/3
\biggl(
- 5
9
h - 5/3(X,X)(X(h(X,X)))2+
+
1
3
h - 2/3(X,X)\partial 2
X(h(X,X)) + \lambda h4/3(X,X)
\biggr)
.
Таким чином, справедливим є таке твердження.
Твердження. Формула для обчислення афiнної кривини плоскої геодезичної лiнiї на афiн-
нiй гiперповерхнi з еквiафiнною структурою в термiнах афiнної фундаментальної форми i
оператора Вейнгартена має вигляд
k =
- 5(X(h(X,X)))2 + 3h(X,X)\partial 2
X(h(X,X)) + 9\lambda h3(X,X)
9h8/3(X,X)| f\ast (X), \xi , \vec{}n| 2/3
. (7)
Недолiком формули (7) є те, що для обчислень необхiдно перейти до зовнiшнiх координат
i знайти зображення плоскої кривої \vec{}\rho (t) \in \BbbR n+1 у виглядi \vec{}\rho (t) = \rho 1(t)\vec{}t1 + \rho 2(t)\vec{}t2. В такому
випадку простiше безпосередньо скористатися формулою (5) з iндукованим елементом об’єму
(6). Але оскiльки | f\ast (X), \xi , \vec{}n| = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, то ми маємо можливiсть оцiнювати афiнну кривину
плоских геодезичних з точнiстю до додатного сталого множника, не переходячи до зовнiшнiх
координат.
Приклад. Обчислити афiнну кривину геодезичної, яка визначається дотичним вектором
X = (a, 0), на центро-афiннiй гiперповерхнi
\vec{}r(u, v) = (\mathrm{c}\mathrm{h}u \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} v, \mathrm{c}\mathrm{h}u \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} v, \mathrm{s}\mathrm{h}u).
Це однопорожнинний гiперболоїд, ми розглядаємо його як центро-афiнну гiперповерхню, тобто
\xi = ( - \mathrm{c}\mathrm{h}u \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} v, - \mathrm{c}\mathrm{h}u \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} v, - \mathrm{s}\mathrm{h}u) = - \vec{}r(u, v), S = I,
\vec{}r \prime
u = (\mathrm{s}\mathrm{h}u \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} v, \mathrm{s}\mathrm{h}u \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} v, \mathrm{c}\mathrm{h}u), \vec{}r \prime
v = ( - \mathrm{c}\mathrm{h}u \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} v, \mathrm{c}\mathrm{h}u \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} v, 0).
Запишемо розклад Гаусса:
\vec{}r \prime \prime
uu = (\mathrm{c}\mathrm{h}u \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} v, \mathrm{c}\mathrm{h}u \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} v, \mathrm{s}\mathrm{h}u) = - \xi ,
\vec{}r \prime \prime
uv = ( - \mathrm{s}\mathrm{h}u \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} v, \mathrm{s}\mathrm{h}u \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} v, 0) =
\mathrm{s}\mathrm{h}u
\mathrm{c}\mathrm{h}u
\vec{}r \prime
v,
\vec{}r \prime \prime
vv = ( - \mathrm{c}\mathrm{h}u \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} v, - \mathrm{c}\mathrm{h}u \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} v, 0) = \mathrm{s}\mathrm{h}u \mathrm{c}\mathrm{h}u\vec{}r \prime
u + \mathrm{c}\mathrm{h}2u \cdot \xi .
Отже, афiнна фундаментальна форма має вигляд
h =
\biggl(
- 1 0
0 \mathrm{c}\mathrm{h}2u
\biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
572 О. О. ШУГАЙЛО
Скористаємося формулою (7). У даному випадку маємо
h(X,X) =
\bigl(
a 0
\bigr) \biggl( - 1 0
0 \mathrm{c}\mathrm{h}2u
\biggr) \biggl(
a
0
\biggr)
= - a2,
X(h(X,X)) = \partial 2
X(h(X,X)) = 0, \lambda = 1.
Отже,
k =
- a2/3
| f\ast (X), \xi , \vec{}n| 2/3
.
Залишилося обчислити | f\ast (X), \xi , \vec{}n| . Для цього знайдемо зовнiшнє рiвняння геодезичної.
Її внутрiшнє рiвняння u = at, v = c. Отже, зовнiшнє рiвняння
\vec{}r(t) = (\mathrm{c}\mathrm{h}(at) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} c, \mathrm{c}\mathrm{h}(at) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} c, \mathrm{s}\mathrm{h}(at)).
Дана геодезична лежить у площинi \alpha , яка визначається векторами \vec{}t1 = (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} c, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} c, 0),
\vec{}t2 = (0, 0, 1). Знайдемо вектор \vec{}n такий, що | \vec{}t1, \vec{}t2, \vec{}n| = 1. Вiзьмемо \vec{}n = (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} c, - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} c, 0).
Оскiльки f\ast (X) = f\ast ((a, 0)) = a(\mathrm{s}\mathrm{h}(at) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} c, \mathrm{s}\mathrm{h}(at) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} c, \mathrm{c}\mathrm{h}(at)), \xi = - \vec{}r(t), обчислимо
| f\ast (X), \xi , \vec{}n| = a
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\mathrm{s}\mathrm{h}(at) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} c - \mathrm{c}\mathrm{h}(at) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} c \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} c
\mathrm{s}\mathrm{h}(at) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} c - \mathrm{c}\mathrm{h}(at) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} c - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} c
\mathrm{c}\mathrm{h}(at) - \mathrm{s}\mathrm{h}(at) 0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| = a
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{h}2(at) - \mathrm{s}\mathrm{h}2(at)
\bigr)
= a.
Отже, кривина даної геодезичної k =
- a2/3
a2/3
= - 1. Це повнiстю вiдповiдає тому, що афiнна
кривина гiперболи \vec{}\rho (t) = \mathrm{c}\mathrm{h}(at)\vec{}t1 + \mathrm{s}\mathrm{h}(at)\vec{}t2 дорiвнює - 1.
Трансверсальна кривина. У випадку занурення евклiдової гiперповерхнi нормальна кри-
вина в напрямку X, | X| = 1, визначається як ортогональна проекцiя AX (A — оператор
Вейнгартена) на X. Наведемо аналогiчне означення для афiнного занурення гiперповерхнi.
Нехай X,Y \in Tx(M
n). Спочатку визначимо проекцiю Y на X уздовж пiдпростору Tx(M
n),
який задається мультивектором \vec{}n. Нехай \vec{}n — такий трансверсальний до X мультивектор, що
\theta (X, \vec{}n) \not = 0, тодi Y = \alpha X + \beta \vec{}n i
\alpha =
\theta (Y, \vec{}n)
\theta (X, \vec{}n)
, \mathrm{p}\mathrm{r}\vec{}nXY =
\theta (Y, \vec{}n)
\theta (X, \vec{}n)
X.
Наведемо афiнний аналог ортогонального пiдпростору, тобто правило, за яким визначається
мультивектор \vec{}n. Нехай e1, e2, . . . , en — координатний базис Tx(M
n), позначимо
\theta (e1, e2, . . . , en) = | f\ast (e1), . . . , f\ast (en), \xi | = \omega .
Нехай у цьому базисi вектор X має розклад
\sum n
k=1
xkek. Оскiльки вектор X ненульовий, то
iснує xi \not = 0. Визначимо мультивектор \vec{}n таким чином:
\vec{}n =
\biggl\{
e1 -
x1
xi
ei, e2 -
x2
xi
ei, . . . , ei - 1 -
xi - 1
xi
ei, ei+1 -
xi+1
xi
ei, en - x1
xi
en
\biggr\}
. (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
АФIННА КРИВИНА ПЛОСКИХ ГЕОДЕЗИЧНИХ НА АФIННИХ ГIПЕРПОВЕРХНЯХ 573
Обчислимо
\theta (Y, \vec{}n) = \theta
\biggl(
Y, e1 -
x1
xi
ei, e2 -
x2
xi
ei, . . . , ei - 1 -
xi - 1
xi
ei, ei+1 -
xi+1
xi
ei, en - x1
xi
en
\biggr)
=
= ( - 1)i - 1\theta
\Biggl(
e1 -
x1
xi
ei, e2 -
x2
xi
ei, . . . , ei - 1 -
xi - 1
xi
ei,
n\sum
k=1
ykek, ei+1 -
xi+1
xi
ei, en - x1
xi
en
\Biggr)
=
= ( - 1)i - 1
\biggl(
x1y1
xi
+
x2y2
xi
+ . . .+
xi - 1yi - 1
xi
+ yi +
xi+1yi+1
xi
+ . . .+
x1y1
xi
\biggr)
\omega =
=
( - 1)i - 1
xi
n\sum
k=1
xkyk\omega .
Таким чином, для вектора X маємо
\theta (X,\vec{}n) =
( - 1)i - 1
xi
n\sum
k=1
(xk)2\omega .
Отже, формула для обчислення проекцiї вектора Y на напрямок вектора X уздовж пiд-
простору Tx(M
n), який задається мультивектором \vec{}n (8), має вигляд
\mathrm{p}\mathrm{r}\vec{}nXY =
\theta (Y, \vec{}n)
\theta (X, \vec{}n)
X =
\sum n
k=1 x
kyk\sum n
k=1(x
k)2
X. (9)
Трансверсальною кривиною гiперповерхнi f : (Mn,\nabla ) \rightarrow (\BbbR n+1, D) з трансверсальним век-
торним полем \xi в точцi x \in f(Mn) у напрямку X \in TxM
n називається число
\lambda \xi (x, X) =
\theta (SX, \vec{}n)| x
\theta (X, \vec{}n)| x
, (10)
де мультивектор \vec{}nx визначається за правилом (8).
Очевидно, що \lambda \xi (x, aX) = \lambda \xi (x, X) для будь-якого 0 \not = a \in \BbbR .
Звичайно, трансверсальна кривина (10) залежить вiд визначення напрямку проектування \vec{}n.
Ми пропонуємо визначaти \vec{}n за правилом (8), оскiльки в даному випадку формула для проекцiї
(9) має простий i природний вигляд.
Теорема 4. Трансверсальна кривина має такi властивостi:
1. Якщо X є власним вектором оператора Вейнгартена SX = \lambda X, то трансверсальна
кривина \lambda \xi (X) збiгається з власним значенням оператора Вейнгартена \lambda .
2. Якщо трансверсальна кривина тотожно дорiвнює нулю, то оператор Вейнгартена
нульовий i гiперповерхня афiнно еквiвалентна зануренню графiка деякої функцiї.
3. Якщо трансверсальна кривина гiперповерхнi з еквiафiнною структурою не залежить вiд
напрямку, то вона не залежить i вiд точки. Така гiперповерхня є омбiлiчною.
4. Якщо для плоскої геодезичної афiнний параметр збiгається з афiнним натуральним
параметром, то її трансверсальна кривина збiгається з афiнною кривиною.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
574 О. О. ШУГАЙЛО
Доведення. 1. Ця властивiсть є безпосереднiм наслiдком означення.
2. Випливає з означення i вiдомої теореми про афiнне занурення гiперповерхнi з нульовим
оператором Вейнгартена [1, с. 40].
3. Випливає з означення i теореми 3.
4. Нехай X — дотичне векторне поле плоскої геодезичної, тодi з теореми 1 випливає,
що SX = \lambda X. Отже, \lambda \xi (X) = \lambda . Якщо афiнний параметр збiгається з афiнним натуральним
параметром (\sigma \prime
t = 1, X(h(X, X)) = 0), то, оскiльки афiнний параметр визначається з точнiстю
до афiнного перетворення, можна вважати, що h(X, X) \equiv 1. Тодi з формули (7) випливає, що
афiнна кривина геодезичної дорiвнює k = \lambda = \lambda \xi (X).
Лiтература
1. Nomizu K., Sasaki T. Affine differential geometry. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1994. – 264 p.
2. Шугайло Е. А. Об аффинных омбилических погружениях высокой коразмерности // Proc. Int. Geom. Center. –
2013. – 6, № 3. – P. 26 – 39.
3. Guggenheimer H. W. Differential geometry. – New York: Dover Publ., 1977. – 378 p.
4. Широков П. А. Широков А. П. Аффинная дифференциальная геометрия. – М.: Физматгиз, 1959. – 320 с.
Одержано 30.06.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1716 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:15Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7f/f3711c5f89c126fd025ebc0528f8617f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17162019-12-05T09:24:35Z Affine curvature of plane geodesic lines on affine hypersurfaces Афінна кривина плоских геодезичних на афінних гіперповерхнях Shuhaylo, O. Шугайло, О. О. We establish a necessary and sufficient condition for a geodesic line on a nondegenerate hypersurface to be a plane curve. We deduce a formula for the affine curvature of a plane geodesic line on the affine hypersurface in terms of the affine fundamental form and the shape operator. We present the definition of transverse curvature and determine some of its elementary properties. Установлено необходимое и достаточное условие того, что геодезическая на невырожденной гиперповерхности является плоской кривой. Получена формула для вычисления аффинной кривизны плоской геодезической линии на аффинной гиперповерхности в терминах аффинной фундаментальной формы и оператора Вейнгартена. Дано определение трансверсальной кривизны и получены некоторые ее свойства. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1716 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 4 (2017); 565-574 Український математичний журнал; Том 69 № 4 (2017); 565-574 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1716/698 Copyright (c) 2017 Shuhaylo O. |
| spellingShingle | Shuhaylo, O. Шугайло, О. О. Affine curvature of plane geodesic lines on affine hypersurfaces |
| title | Affine curvature of plane geodesic lines on affine hypersurfaces |
| title_alt | Афінна кривина плоских геодезичних на афінних гіперповерхнях |
| title_full | Affine curvature of plane geodesic lines on affine hypersurfaces |
| title_fullStr | Affine curvature of plane geodesic lines on affine hypersurfaces |
| title_full_unstemmed | Affine curvature of plane geodesic lines on affine hypersurfaces |
| title_short | Affine curvature of plane geodesic lines on affine hypersurfaces |
| title_sort | affine curvature of plane geodesic lines on affine hypersurfaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1716 |
| work_keys_str_mv | AT shuhayloo affinecurvatureofplanegeodesiclinesonaffinehypersurfaces AT šugajlooo affinecurvatureofplanegeodesiclinesonaffinehypersurfaces AT shuhayloo afínnakrivinaploskihgeodezičnihnaafínnihgíperpoverhnâh AT šugajlooo afínnakrivinaploskihgeodezičnihnaafínnihgíperpoverhnâh |