On the moduli of continuity and fractional-order derivatives in the problems of best mean-square approximations by entire functions of the exponential type on the entire real axis
The exact Jackson-type inequalities with modules of continuity of a fractional order $\alpha \in (0,\infty )$ are obtained on the classes of functions defined via the derivatives of a fractional order $\alpha \in (0,\infty )$ for the best approximation by entire functions of the exponential type...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1720 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507566910472192 |
|---|---|
| author | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. |
| author_facet | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. |
| author_sort | Vakarchuk, S. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:24:56Z |
| description | The exact Jackson-type inequalities with modules of continuity of a fractional order $\alpha \in (0,\infty )$ are obtained on the classes
of functions defined via the derivatives of a fractional order $\alpha \in (0,\infty )$ for the best approximation by entire functions of
the exponential type in the space $L_2(R)$. In particular, we prove the inequality
$$2^{- \beta /2}\sigma^{- \alpha} (1 - \cos t)^{- \beta /2} \leq \sup \{ \scr {A}_\sigma (f) / \omega_{\beta }(\scr{D}^{\alpha} f, t/\sigma ) : f \in L^{\alpha}_2 (R)\} \leq \sigma^{-\alpha} (1/t^2 + 1/2)^{\beta /2},$$
where $\beta \in [1,\infty ), t \in (0, \pi ], \sigma \in (0,\infty ).$
The exact values of various mean $\nu$ -widths of the classes of functions
determined via the fractional modules of continuity and majorant satisfying certain conditions are also determined. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
С. Б. Вакарчук (Днепропетр. ун-т им. А. Нобеля)
О МОДУЛЯХ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫХ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
В ЗАДАЧАХ НАИЛУЧШЕЙ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ
ЦЕЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА
НА ВСЕЙ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ
The exact Jackson-type inequalities with modules of continuity of a fractional order \beta \in (0,\infty ) are obtained on the classes
of functions defined via the derivatives of a fractional order \alpha \in (0,\infty ) for the best approximation by entire functions of
the exponential type in the space L2(\BbbR ). In particular, we prove the inequality
2 - \beta /2\sigma - \alpha (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t) - \beta /2 \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \{ \scrA \sigma (f)/\omega \beta (\scrD \alpha f, t/\sigma ) : f \in L\alpha
2 (\BbbR )\} \leq \sigma - \alpha (1/t2 + 1/2)\beta /2,
where \beta \in [1,\infty ), t \in (0, \pi ], \sigma \in (0,\infty ). The exact values of various mean \nu -widths of the classes of functions
determined via the fractional modules of continuity and majorant satisfying certain conditions are also determined.
На класах функцiй, означених за допомогою похiдних дробового порядку \alpha \in (0,\infty ), отримано точнi нерiвностi
типу Джексона з модулем неперервностi дробового порядку \beta \in (0,\infty ) у випадку найкращої апроксимацiї цiлими
функцiями експоненцiального типу у просторi L2(\BbbR ). Зокрема, доведено спiввiдношення
2 - \beta /2\sigma - \alpha (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t) - \beta /2 \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \{ \scrA \sigma (f)/\omega \beta (\scrD \alpha f, t/\sigma ) : f \in L\alpha
2 (\BbbR )\} \leq \sigma - \alpha (1/t2 + 1/2)\beta /2,
де \beta \in [1,\infty ), t \in (0, \pi ], \sigma \in (0,\infty ). Також обчислено точнi значення низки середнiх \nu -поперечникiв класiв
функцiй, означених за допомогою дробового модуля неперервностi та мажоранти, яка задовольняє певнi умови.
1. Введение. Модули непрерывности дробного порядка 2\pi -периодических функций впервые
были рассмотрены в работах [1, 2]. В последующем указанные характеристики гладкости изу-
чались во многих работах (см., например, [3 – 7]). Для функций, заданных на всей вещественной
оси, модули непрерывности дробного порядка рассматривались в работах [8, 9]. Данную ста-
тью в определенном смысле можно рассматривать как дальнейшее продолжение указанной
тематики.
Приведем необходимые понятия и определения. Пусть L2(\BbbR ), где \BbbR := \{ x : - \infty < x <
<\infty \} , — пространство всех измеримых функций f, заданных на вещественной оси \BbbR , квадрат
модуля которых интегрируем по Лебегу на любом конечном промежутке, а норма определяется
формулой \| f\| :=
\biggl\{ \int \infty
- \infty
| f(x)| 2dx
\biggr\} 1/2
<\infty .
Для \beta \in (0,\infty ) запишем биномиальные коэффициенты\biggl(
\beta
0
\biggr)
:= 1,
\biggl(
\beta
1
\biggr)
:= \beta ,
\biggl(
\beta
j
\biggr)
:=
\beta (\beta - 1) . . . (\beta - j + 1)
j!
, (1.1)
где j \in \BbbN \setminus \{ 1\} . Отметим, что в случае \beta = m, m \in \BbbN , соотношение (1.1) принимает вид\biggl(
m
j
\biggr)
:=
\biggl\{
m!
j!(m - j)!
, если j = 0, . . . ,m; 0, если j = m+ 1,m+ 2, . . .
\biggr\}
. (1.2)
Поскольку (см., например, [10], глава 4, § 20)
\sum \infty
j=0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( \beta j
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < \infty , то разность дробного
порядка \beta функции f \in L2(\BbbR ) с шагом h \in \BbbR , т. е.
c\bigcirc С. Б. ВАКАРЧУК, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5 599
600 С. Б. ВАКАРЧУК
\Delta \beta
hf(x) :=
\infty \sum
j=0
( - 1)j
\biggl(
\beta
j
\biggr)
f(x - jh), (1.3)
определена почти всюду на \BbbR и принадлежит L2(\BbbR ). Разность (1.3) называют левосторонней,
если h > 0, и правосторонней, если h < 0.
Модулем непрерывности функции f \in L2(\BbbR ) дробного порядка \beta \in (0,\infty ) называют
величину
\omega \beta (f, t) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{ \bigm\| \bigm\| \Delta \beta
hf
\bigm\| \bigm\| : | h| \leq t
\Bigr\}
, t > 0. (1.4)
При \beta = m, m \in \BbbN , из (1.1) – (1.4) получаем обычный модуль непрерывности m-го порядка
для f \in L2(\BbbR ). Напомним (см., например, [8]), что характеристика гладкости (1.4) имеет
следующие свойства:
1) функция \omega \beta (f, t) является неубывающей, неотрицательной и такой, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow 0+ \omega \beta (f, t) = 0;
2) \omega \beta (f, t) \leq 2\beta - \lambda \omega \lambda (f, t), где 0 < \lambda \leq \beta , 0 < t <\infty ;
3) \omega \beta (f + \varphi , t) \leq \omega \beta (f, t) + \omega \beta (\varphi , t), где f, \varphi \in L2(\BbbR ), 0 < t <\infty .
Следуя работе [2], в [8] для функций, заданных на вещественной оси, было рассмотрено
понятие производной дробного порядка \alpha \in (0,\infty ), которое приведем для рассматриваемого
нами случая L2(\BbbR ). Пусть функция g \in L2(\BbbR ) такова, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \Delta \alpha
hf
h\alpha
- g
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| = 0.
Тогда, согласно [10, 11], функцию g будем называть сильной производной Лиувилля – Грюнваль-
да – Летникова дробного порядка \alpha для функции f \in L2(\BbbR ) и обозначать символом \scrD \alpha f, т. е.
g = \scrD \alpha f. Из приведенного выше равенства, в частности, получаем \| \scrD \alpha f\| =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}h\rightarrow 0+ \| \Delta \alpha
hf/h
\alpha \| .
Через L\alpha
2 (\BbbR ), где \alpha \in (0,\infty ), обозначим класс функций f \in L2(\BbbR ), которые имеют произ-
водные дробного порядка \scrD \alpha f \in L2(\BbbR ). Отметим, что L\alpha
2 (\BbbR ) является банаховым простран-
ством с нормой \| f\| +\| \scrD \alpha f\| . В случае \alpha = r, r \in \BbbN , под Lr
2(\BbbR ) будем понимать класс функций
f \in L2(\BbbR ), у которых производные (r - 1)-го порядка локально абсолютно непрерывны, а про-
изводные r-го порядка f (r) принадлежат пространству L2(\BbbR ). Очевидно, что в данном случае
\scrD rf = f (r) почти всюду на \BbbR .
2. Некоторые дополнительные сведения о модуле непрерывности дробного порядка
в \bfitL 2(\BbbR ). Предварительно напомним необходимые нам сведения. Для произвольной функции
f \in L2(\BbbR ) рассмотрим последовательность функций \{ \scrF k(f)\} k\in \BbbN вида
\scrF k(f, x) :=
1\surd
2\pi
k\int
- k
f(t)e - ixtdt.
Важную роль в теории интеграла Фурье играет теорема Планшереля (см., например, [12],
глава II, § 2.3, теорема 3): если f \in L2(\BbbR ), то последовательность функций \{ \scrF k(f)\} k\in \BbbN
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
О МОДУЛЯХ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫХ ДРОБНОГО ПОРЯДКА В ЗАДАЧАХ . . . 601
сходится в среднеквадратическом к некоторой функции \scrF (f), интегрируемой в квадрате на
всей вещественной оси \BbbR , т. е. \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty
\int \infty
- \infty
| \scrF k(f, x) - \scrF (f, x)| 2dx = 0.
Напомним, что функцию \scrF (f) \in L2(\BbbR ) называют преобразованием Фурье функции f в
пространстве L2(\BbbR ). При этом
\scrF (f, x) =
1\surd
2\pi
\infty \int
- \infty
f(t)e - ixtdt (2.1)
и функция f \in L2(\BbbR ) может быть представлена через ее преобразование Фурье, т. е.
f(x) =
1\surd
2\pi
\infty \int
- \infty
\scrF (f, t)eixtdt. (2.2)
Отметим, что в формулах (2.1), (2.2), которые называют формулами обращения Фурье, ин-
тегралы понимают сходящимися в среднеквадратическом. Данный факт принято обозначать
следующим образом:
\scrF (f, x) = l.i.m
\left\{ 1\surd
2\pi
m\int
- m
f(t)e - ixtdt : m\rightarrow \infty
\right\}
и
f(t) = l.i.m
\left\{ 1\surd
2\pi
m\int
- m
\scrF (f, x)eixtdt : m\rightarrow \infty
\right\} ,
где под l.i.m понимают предел в среднем в пространстве L2(\BbbR ). Также имеет место фундамен-
тальная формула Парсеваля – Планшереля
\infty \int
- \infty
| f(x)| 2dx =
\infty \int
- \infty
| \scrF (f, x)| 2dx. (2.3)
Используя определение преобразования Фурье и соотношение (1.3), получаем
\scrF
\Bigl(
\Delta \beta
hf, x
\Bigr)
=
\Bigl(
1 - e - ihx
\Bigr) \beta
\scrF (f, x). (2.4)
Из формул (2.3), (2.4) имеем
\bigm\| \bigm\| \Delta \beta
hf
\bigm\| \bigm\| 2 = \infty \int
- \infty
\bigm| \bigm| \scrF \Bigl(
\Delta \beta
hf, x
\Bigr) \bigm| \bigm| 2dx = 2\beta
\infty \int
- \infty
| \scrF (f, x)| 2(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (hx))\beta dx. (2.5)
Тогда согласно формулам (1.4), (2.5) модуль непрерывности дробного порядка \beta \in (0,\infty ) для
функции f \in L2(\BbbR ) имеет вид
\omega \beta (f, t) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| h| \leq t
\left\{ 2\beta
\infty \int
- \infty
| \scrF (f, x)| 2(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (hx))\beta dx
\right\}
1/2
, t > 0. (2.6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
602 С. Б. ВАКАРЧУК
Поскольку в случае \beta = m, m \in \BbbN ,
2m(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (hx))m =
\biggl(
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
hx
2
\biggr) 2m
=
=
\biggl(
2m
m
\biggr)
+ 2
m - 1\sum
j=0
( - 1)m - j
\biggl(
2m
j
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ((m - j)hx)
(см., например, [13], пункт 1.320, формула 1), то в силу (2.6) для обыкновенного модуля непре-
рывности m-го порядка имеем
\omega m(f, t) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| h| \leq t
\left\{
\infty \int
- \infty
| \scrF (f, x)| 2
\left[ \biggl( 2m
m
\biggr)
- 2
m\sum
j=1
( - 1)j+1
\biggl(
2m
m - j
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (jhx)
\right] dx
\right\}
1/2
. (2.7)
В работе [14] было получено описание модуля непрерывности (2.7) в L2(\BbbR ) при m = 1.
Указанный результат на общий случай m = 2, 3, . . . был распространен в работе [15].
Продолжим данную тематику для модулей непрерывности дробного порядка \beta \in \BbbR +\setminus \BbbZ +, где
\BbbR + := \{ x : 0 \leq x < \infty \} , \BbbZ + := \{ 0, 1, 2, . . .\} . Для этого запишем формулу разложения бинома
(1 + t)\beta в ряд Тейлора в окрестности точки t = 0 [16] (глава I, § 4, пункт 3):
(1 + t)\beta = 1 +
\infty \sum
j=1
\biggl(
\beta
j
\biggr)
tj . (2.8)
Ряд, расположенный в правой части формулы (2.8), сходится абсолютно и равномерно для
всех | t| < 1. При этом в случае t = 1 и t = - 1 указанный ряд также является сходящимся.
Используя равенство (2.8), получаем
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (hx))\beta = 1 +
\infty \sum
j=1
\biggl\{ \biggl(
\beta
2j
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2j(hx) -
\biggl(
\beta
2j - 1
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2j - 1(hx)
\biggr\}
. (2.9)
В силу формул 5 и 7 из [13] (пункт 1.320) запишем
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2j(hx) =
1
22j
\Biggl\{ \biggl(
2j
j
\biggr)
+ 2
j\sum
k=1
\biggl(
2j
j - k
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (2khx)
\Biggr\}
, (2.10)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2j - 1(hx) =
1
22j - 2
j\sum
k=1
\biggl(
2j - 1
j - k
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ((2k - 1)hx). (2.11)
Используя формулы (2.6) и (2.9) – (2.11), имеем
\omega \beta (f, t) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| h| \leq t
\left\{
\infty \int
- \infty
| \scrF (f, x)| 2
\left[ 2\beta +
\infty \sum
j=1
1
22j - \beta
\biggl(
\beta
2j
\biggr) \biggl(
2j
j
\biggr)
+
+
\infty \sum
j=1
j\sum
k=1
\biggl(
1
22j - 1 - \beta
\biggl(
\beta
2j
\biggr) \biggl(
2j
j - k
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (2khx) -
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
О МОДУЛЯХ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫХ ДРОБНОГО ПОРЯДКА В ЗАДАЧАХ . . . 603
- 1
22j - 2 - \beta
\biggl(
\beta
2j - 1
\biggr) \biggl(
2j - 1
j - k
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ((2k - 1)hx)
\biggr) \right] dx
\right\}
1/2
, t > 0. (2.12)
Прежде чем сформулировать одно утверждение, напомним, что под L1(\BbbR ) понимают про-
странство измеримых функций f, модуль которых интегрируем по Лебегу на любом конечном
промежутке и
\int \infty
- \infty
| f(x)| dx <\infty . Символом L+
1 (\BbbR ) обозначим множество всех неотрицатель-
ных и неэквивалентных нулю функций из L1(\BbbR ).
Утверждение 1. Для того чтобы функция \omega \beta была модулем непрерывности дробного
порядка \beta \in \BbbR +\setminus \BbbZ + некоторой функции из пространства L2(\BbbR ), необходимо и достаточно,
чтобы существовала функция \rho , которая удовлетворяет следующим условиям:
1) \rho — косинус-преобразование Фурье некоторой функции \zeta \in L+
1 (\BbbR ), т. е.
\rho (x) =
\infty \int
- \infty
\zeta (\tau ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (x\tau )d\tau ; (2.13)
2) имеет место представление
\omega \beta (t) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| h| \leq t
\left\{ 2\beta
\infty \int
- \infty
\zeta (\tau )(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (h\tau ))\beta d\tau
\right\}
1/2
=
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| h| \leq t
\left\{
\left[ 2\beta +
\infty \sum
j=1
1
22j - \beta
\biggl(
\beta
2j
\biggr) \biggl(
2j
j
\biggr) \right] \rho (0)+
+
\infty \sum
j=1
j\sum
k=1
\Biggl[
1
22j - 1 - \beta
\biggl(
\beta
2j
\biggr) \biggl(
2j
j - k
\biggr)
\rho (2kh) -
- 1
22j - 2 - \beta
\biggl(
\beta
2j - 1
\biggr) \biggl(
2j - 1
j - k
\biggr)
\rho ((2k - 1)h)
\Biggr] \right\}
1/2
. (2.14)
Доказательство. Достаточность. Пусть существует функция \rho , удовлетворяющая усло-
виям 1, 2 данного утверждения. Исходя из вида соотношения (2.13), рассмотрим функцию f0,
для преобразования Фурье которой имеем \scrF (f0, x) =
\sqrt{}
\zeta (x). Здесь функция \zeta удовлетворяет
требованиям условия 1. Следовательно, f0(x) =
1\surd
2\pi
\int \infty
- \infty
\sqrt{}
\zeta (t) eixtdt. Учитывая соотноше-
ния (2.12) – (2.14), для f0 \in L2(\BbbR ) получаем \omega \beta (t) = \omega \beta (f0, t), где t > 0.
Необходимость. Полагаем, что существует функция f1 \in L2(\BbbR ), для которой при любом
t > 0 справедливо равенство \omega \beta (t) = \omega \beta (f1, t). Пусть \zeta (x) := | \scrF (f1, x)| 2 . Тогда \zeta \in L+
1 (\BbbR ) и
\rho (x) =
\infty \int
- \infty
| \scrF (f1, \tau )| 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (x\tau )d\tau . (2.15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
604 С. Б. ВАКАРЧУК
Поскольку, в силу соотношения (2.15), правая часть формулы (2.12), где f = f1, может
быть представлена в виде правой части равенства (2.14), отсюда получаем выполнение условия
2, что и завершает доказательство утверждения 1.
Далее напомним, что из результатов, полученных в работе [8], следует, что для произволь-
ной функции f \in L\alpha
2 (\BbbR ), \alpha \in (0,\infty ), почти всюду на \BbbR имеет место равенство
\scrF (\scrD \alpha f) = (ix)\alpha \scrF (f, x). (2.16)
Воспользовавшись данным результатом, сделаем одно замечание. Из формулы (2.4) следует
соотношение
\scrF (\Delta \alpha
hf/h
\alpha , x) =
\Bigl(
(1 - e - ihx)/h
\Bigr) \alpha
\scrF (f, x),
из которого имеем
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0+
\scrF (\Delta \alpha
hf/h
\alpha , x) = (ix)\alpha \scrF (f, x).
Тогда в силу формулы (2.16) для почти всех x \in \BbbR получаем \scrF (\scrD \alpha f, x) =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}h\rightarrow 0+\scrF (\Delta \alpha
hf/h
\alpha , x) . Используя обратное преобразование Фурье в L2(\BbbR ) (см., напри-
мер, [17], глава III, пункт 3.11.21) и данное равенство, для почти всех x \in \BbbR записываем
\scrD \alpha f(x) =
1\surd
2\pi
d
dx
\infty \int
- \infty
\scrF (\scrD \alpha f, t)
e - itx - 1
- it
dt =
=
1\surd
2\pi
d
dx
\infty \int
- \infty
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0+
\scrF
\biggl(
\Delta \alpha
hf
h\alpha
, t
\biggr)
e - itx - 1
- it
dt =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0+
1\surd
2\pi
d
dx
\infty \int
- \infty
\scrF
\biggl(
\Delta \alpha
hf
h\alpha
, t
\biggr)
e - itx - 1
- it
dt = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0+
\Delta \alpha
hf(x)
h\alpha
.
Таким образом, если существует в указанном ранее смысле сильная производная Лиувилля –
Грюнвальда – Летникова \scrD \alpha f, то почти всюду на \BbbR имеем \scrD \alpha f(x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}h\rightarrow 0+\Delta \alpha
hf(x)/h
\alpha .
Дополним свойства модуля непрерывности дробного порядка, использовав для этого по-
нятие сильной производной Лиувилля – Грюнвальда – Летникова, представление \omega \beta (f) в ви-
де (2.6) и соотношение (2.16):
4) пусть f \in L\beta
2 (\BbbR ), где \beta \in (0,\infty ), тогда \omega \beta (f, t) \leq t\beta \| \scrD \beta f\| , t > 0;
5) пусть \alpha , \beta \in (0,\infty ) и f \in L\alpha
2 (\BbbR ), тогда \omega \alpha +\beta (f, t) \leq t\alpha \omega \beta (\scrD \alpha f, t), t > 0.
Докажем свойство 4. Поскольку 1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (hx) \leq 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2(hx/2) \leq (hx)2/2, то для произвольной
функции f \in L\beta
2 (\BbbR ) в силу формул (2.3), (2.6) и (2.16) имеем
\omega \beta (f, t) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| h| \leq t
\left\{
\infty \int
- \infty
| \scrF (f, x)| 2 | hx| 2\beta dx
\right\}
1/2
\leq
\leq t\beta
\left\{
\infty \int
- \infty
| \scrF (f, x)| 2 | x| 2\beta dx
\right\}
1/2
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
О МОДУЛЯХ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫХ ДРОБНОГО ПОРЯДКА В ЗАДАЧАХ . . . 605
= t\beta
\left\{
\infty \int
- \infty
| \scrF (\scrD \beta f, x)| 2dx
\right\}
1/2
= t\beta \| \scrD \beta f\| .
Далее докажем свойство 5. Пусть f \in L\alpha
2 (\BbbR ). Тогда
\omega \alpha +\beta (f, t) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| h| \leq t
\left\{ 2\alpha +\beta
\infty \int
- \infty
| \scrF (f, x)| 2(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (hx))\beta
\bigl(
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2(hx/2)
\bigr) \alpha
dx
\right\}
1/2
\leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| h| \leq t
\left\{ 2\beta
\infty \int
- \infty
| \scrF (f, x)| 2 | hx| 2\alpha (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (hx))\beta dx
\right\}
1/2
\leq
\leq t\alpha \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| h| \leq t
\left\{ 2\beta
\infty \int
- \infty
| \scrF (\scrD \alpha f, x)| 2(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (hx))\beta dx
\right\}
1/2
= t\alpha \omega \beta (\scrD \alpha f, t).
3. Наилучшая среднеквадратическая аппроксимация целыми функциями экспонен-
циального типа \bfitsigma \in (\bfzero ,\infty ) на классах \bfitL \bfitalpha
2 (\BbbR ), где \bfitalpha \in (\bfzero ,\infty ), в пространстве \bfitL 2(\BbbR ).
Начало исследованиям, связанным с аппроксимацией функций, заданных на всей вещественной
оси, было положено в работе [18]. Средством приближения при этом служило пространство
целых функций конечного экспоненциального типа. В последующем это направление исследо-
ваний получило дальнейшее развитие во многих работах (см., например, [18 – 35]). При этом
особый интерес, по мнению автора, представляет получение точных в том или ином смысле
результатов, связанных с решением экстремальных задач теории аппроксимации функций на
прямой \BbbR (см., например, [21 – 24, 27 – 35]).
Через \BbbB \sigma ,2, где \sigma \in (0,\infty ), обозначим множество, элементами которого являются сужения
на \BbbR всех целых функций экспоненциального типа \sigma , принадлежащих пространству L2(\BbbR ).
Для произвольной функции f \in L2(\BbbR ) величину \scrA \sigma (f) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \| f - g\| : g \in \BbbB \sigma ,2\} называют
наилучшим приближением f элементами множества \BbbB \sigma ,2 в метрике пространства L2(\BbbR ).
Введем следующие обозначения:
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} x)\ast := \{ 1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} x, если | x| \leq \pi ; 2, если | x| \geq \pi \} , (3.1)
\gamma u,\beta ,\alpha ,p(\psi , t) := 2\beta /2| u| \alpha
\left\{
t\int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (u\tau ))\beta p/2\psi (\tau )d\tau
\right\}
1/p
, (3.2)
\chi \sigma ,\beta ,\alpha ,p(\psi , t) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\scrA \sigma (f)\biggl\{ \int t
0
\omega p
\beta (\scrD
\alpha f, \tau )\psi (\tau )d\tau
\biggr\} 1/p
. (3.3)
Теорема 1. Пусть \alpha , \beta , \sigma \in (0,\infty ), 0 < p \leq 2, 0 < t \leq \pi /\sigma , \psi — неотрицательная,
измеримая, суммируемая на отрезке [0, t] функция, которая не эквивалентна нулю. Тогда имеет
место двойное неравенство
1
\gamma \sigma ,\beta ,\alpha ,p(\psi , t)
\leq \chi \sigma ,\beta ,\alpha ,p(\psi , t) \leq
1
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \gamma u,\beta ,\alpha ,p(\psi , t) : \sigma \leq u <\infty \}
. (3.4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
606 С. Б. ВАКАРЧУК
Доказательство. В работе [21] было установлено, что для произвольной функции f \in
\in L2(\BbbR ) целая функция
\Lambda \sigma (f, t) :=
1\surd
2\pi
\sigma \int
- \sigma
\scrF (f, \tau )eix\tau d\tau , (3.5)
принадлежащая \BbbB \sigma ,2, является элементом наилучшего приближения f в смысле метрики про-
странства L2(\BbbR ), т. е.
\scrA \sigma (f) = \| f - \Lambda \sigma (f)\| =
\left\{
\int
| \tau | \geq \sigma
| \scrF (f, \tau )| 2d\tau
\right\}
1/2
. (3.6)
Используя формулы (2.4) и (2.16), имеем
\scrF (\Delta \beta
h\scrD
\alpha f, x) = (1 - e - ihx)\beta \scrF (\scrD \alpha f, x) = (1 - e - ihx)\beta (ix)\alpha \scrF (f, x). (3.7)
На основании соотношений (2.3) и (3.7) получаем
\bigm\| \bigm\| \Delta \beta
h\scrD
\alpha f
\bigm\| \bigm\| 2 = 2\beta
\infty \int
- \infty
| \scrF (f, u)| 2 | u| 2\alpha (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (hu))\beta du. (3.8)
Из определения модуля непрерывности дробного порядка (1.4) и формулы (3.8) имеем
\omega 2
\beta (\scrD \alpha f, \tau ) \geq
\bigm\| \bigm\| \Delta \beta
\tau \scrD \alpha f
\bigm\| \bigm\| 2 \geq 2\beta
\int
| u| \geq \sigma
| \scrF (f, u)| 2 | u| 2\alpha (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\tau u))\beta du, (3.9)
где \tau > 0. Полагаем
G(f ;u, \tau ) := 2p\beta /2| \scrF (f, u)| p | u| \alpha p(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\tau u))p\beta /2\psi (\tau ).
Используя соотношение (3.9), обозначение (3.2) и обобщенное неравенство Минковского (см.,
например, [20]), глава I, § 1.3), для 0 < t \leq \pi /\sigma записываем\left\{
t\int
0
\omega p
\beta (\scrD
\alpha f, \tau )\psi (\tau )d\tau
\right\}
1/p
\geq
\geq
\left\{
t\int
0
\left[ 2\beta \int
| u| \geq \sigma
| \scrF (f, u)| 2 | u| 2\alpha (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\tau u))\beta du
\right]
p/2
\psi (\tau )d\tau
\right\}
1/p
=
=
\left\{
t\int
0
\left[ \int
| u| \geq \sigma
G2/p(f ;u, \tau )du
\right]
p/2
d\tau
\right\}
1/p
\geq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
О МОДУЛЯХ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫХ ДРОБНОГО ПОРЯДКА В ЗАДАЧАХ . . . 607
\geq
\left\{
\int
| u| \geq \sigma
\left[ t\int
0
G(f ;u, \tau )d\tau
\right] 2/p
du
\right\}
1/2
=
=
\left\{
\int
| u| \geq \sigma
| \scrF (f, u)| 2
\left[ 2p\beta /2 | u| \alpha p
t\int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\tau u))p\beta /2\psi (\tau )d\tau
\right] 2/p
du
\right\}
1/2
=
=
\left\{
\int
| u| \geq \sigma
| \scrF (f, u)| 2 \gamma 2u,\beta ,\alpha ,p(\psi , t)du
\right\}
1/2
. (3.10)
Из формулы (3.10) с учетом (3.6) получаем\left\{
t\int
0
\omega p
\beta (\scrD
\alpha f, \tau )\psi (\tau )d\tau
\right\}
1/p
\geq \scrA \sigma (f) \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \gamma u,\beta ,\alpha ,p(\psi , t) : \sigma \leq u <\infty \} .
Используя данное неравенство и обозначение (3.3), находим
\chi \sigma ,\beta ,\alpha ,p(\psi , t) \leq
1
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \gamma u,\beta ,\alpha ,p(\psi , t) : \sigma \leq u <\infty \}
. (3.11)
Для получения оценки снизу экстремальной характеристики (3.3), где 0 < t \leq \pi /\sigma , рассмот-
рим функцию q\varepsilon (x) : =
\sqrt{}
2
\pi
(\lambda \sigma +\varepsilon (x) - \lambda \sigma (x)) экспоненциального типа \sigma +\varepsilon . Здесь 0 < \varepsilon < \sigma \ast ,
где \sigma \ast := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \sigma , 1/\sigma \} , \lambda a(x) := \{ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(ax)/x, если x \not = 0; a, если x = 0\} , a > 0 (см., напри-
мер, [28 – 33]). При этом для преобразования Фурье функции q\varepsilon имеем \scrF (q\varepsilon , x) = \{ 1, если
\sigma < | x| < \sigma + \varepsilon ; 0, если | x| < \sigma или | x| > \sigma + \varepsilon \} . Тогда, согласно формуле (3.6), получаем
\scrA \sigma (q\varepsilon ) =
\surd
2\varepsilon . (3.12)
Используя соотношения (2.5), (2.16) и (3.1), для функции q\varepsilon имеем
\| \Delta \beta
h\scrD
\alpha q\varepsilon \| 2 = 2\beta +1
\sigma +\varepsilon \int
\sigma
x2\alpha (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (hx))\beta dx \leq 2\beta +1\varepsilon (\sigma + \varepsilon )2\alpha (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ((\sigma + \varepsilon )h))\beta \ast . (3.13)
На основании формул (1.4) и (3.13) для модуля непрерывности дробного порядка функции
\scrD \alpha q\varepsilon запишем оценку сверху
\omega p
\beta (\scrD
\alpha q\varepsilon , \tau ) \leq 2p(\beta +1)/2 \varepsilon p/2(\sigma + \varepsilon )\alpha p(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ((\sigma + \varepsilon )\tau ))
p\beta /2
\ast . (3.14)
Умножая обе части неравенства (3.14) на функцию \psi и интегрируя левую и правую части
полученного таким образом соотношения по переменной \tau в пределах от 0 до t, где 0 < t \leq
\leq \pi /\sigma , получаем
t\int
0
\omega p
\beta (\scrD
\alpha q\varepsilon , \tau )\psi (\tau )d\tau \leq 2p(\beta +1)/2 \varepsilon p/2(\sigma + \varepsilon )\alpha p
t\int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ((\sigma + \varepsilon )\tau ))
p\beta /2
\ast \psi (\tau )d\tau .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
608 С. Б. ВАКАРЧУК
На основании обозначения (3.2) далее полагаем
\gamma \ast \sigma +\varepsilon ,\beta ,\alpha ,p(\psi , t) := 2\beta /2(\sigma + \varepsilon )\alpha
\left\{
t\int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ((\sigma + \varepsilon )\tau ))
p\beta /2
\ast \psi (\tau )d\tau
\right\}
1/p
. (3.15)
Тогда с учетом формул (3.12), (3.14) и (3.15) запишем
\scrA \sigma (q\varepsilon )
\Big/ \left\{
t\int
0
\omega p
\beta (\scrD
\alpha q\varepsilon , \tau )\psi (\tau )d\tau
\right\}
1/p
\geq 1
\Big/
\gamma \ast \sigma +\varepsilon ,\beta ,\alpha ,p(\psi , t).
Поскольку, как нетрудно проверить, q\varepsilon \in L\alpha
2 (\BbbR ), то согласно соотношению (3.3) имеем
\chi \sigma ,\beta ,\alpha ,p(\psi , t) \geq 1/\gamma \ast \sigma +\varepsilon ,\beta ,\alpha ,p(\psi , t), 0 < t \leq \pi /\sigma . (3.16)
Из формулы (3.15) следует, что величина \gamma \ast \sigma +\varepsilon ,\beta ,\alpha ,p(\psi , t) при \varepsilon \rightarrow 0+ монотонно убывает
при фиксированных значениях остальных параметров, при этом \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\varepsilon \rightarrow 0+ \gamma
\ast
\sigma +\varepsilon ,\beta ,\alpha ,p(\psi , t) =
= \gamma \sigma ,\beta ,\alpha ,p(\psi , t). Отсюда следует, что для произвольного сколь угодно малого числа \delta > 0
существует такое значение \widehat \varepsilon := \widehat \varepsilon (\delta ) \in (0, \sigma \ast ), для которого выполняется неравенство
1/\gamma \ast \sigma +\widehat \varepsilon ,\beta ,\alpha ,p(\psi , t) > 1/\gamma \sigma ,\beta ,\alpha ,p(\psi , t) - \delta . (3.17)
Из формулы (3.17) и из определения верхней грани числового множества имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
1/\gamma \ast \sigma +\varepsilon ,\beta ,\alpha ,p(\psi , t) : 0 < \varepsilon < \sigma \ast
\bigr\}
= 1/\gamma \sigma ,\beta ,\alpha ,p(\psi , t). (3.18)
Поскольку левая часть неравенства (3.16) не зависит от \varepsilon , то после вычисления верхней грани
по \varepsilon \in (0, \sigma \ast ) от его правой части с учетом (3.18) получаем
\chi \sigma ,\beta ,\alpha ,p(\psi , t) \geq 1/ \gamma \sigma ,\beta ,\alpha ,p(\psi , t). (3.19)
Требуемое двойное неравенство (3.4) следует из соотношений (3.11) и (3.19).
Теорема 1 доказана.
4. Некоторые следствия из теоремы 1.
Следствие 1. Пусть \beta , \sigma \in (0,\infty ), \alpha \in [1/2,\infty ), t \in (0, \pi /\sigma ], \psi — неотрицательная,
измеримая, суммируемая на отрезке [0, t] функция, которая не эквивалентна нулю и диффе-
ренцируема почти всюду на интервале (0, t). Если существует такое значение \widetilde p \in [1/\alpha , 2],
что для почти всех \tau \in [0, t] справедливо соотношение
(\alpha \widetilde p - 1)\psi (\tau ) - \tau \psi \prime (\tau ) \geq 0, (4.1)
то имеет место равенство
\chi \sigma ,\beta ,\alpha ,\widetilde p(\psi , t) = 1/\gamma \sigma ,\beta ,\alpha ,\widetilde p(\psi , t). (4.2)
Доказательство. Чтобы убедиться в справедливости формулы (4.2), нужно показать вы-
полнение равенства
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \gamma u,\beta ,\alpha ,\widetilde p(\psi , t) : \sigma \leq u <\infty \} = \gamma \sigma ,\beta ,\alpha ,\widetilde p(\psi , t). (4.3)
В связи с этим рассмотрим вспомогательную функцию
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
О МОДУЛЯХ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫХ ДРОБНОГО ПОРЯДКА В ЗАДАЧАХ . . . 609
Q(u) := 2 - \widetilde p\beta /2\gamma \widetilde pu,\beta ,\alpha ,\widetilde p(\psi , t) = u\alpha \widetilde p
t\int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\tau u))\widetilde p\beta /2\psi (\tau )d\tau ,
где \sigma \leq u <\infty , и вычислим ее первую производную
Q\prime (u) = \alpha \widetilde pu\alpha \widetilde p - 1
t\int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\tau u))\widetilde p\beta /2\psi (\tau )d\tau + u\alpha \widetilde p
t\int
0
\partial
\partial u
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\tau u))\widetilde p\beta /2\psi (\tau )d\tau .
Полагая, что переменные \tau и u принимают положительные значения из множества \BbbR +\setminus \{ 0\} ,
путем непосредственной проверки можно убедиться в справедливости равенства
1
\tau
\partial
\partial u
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\tau u))\widetilde p\beta /2 = 1
u
\partial
\partial \tau
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\tau u))\widetilde p\beta /2 .
С учетом этого для Q\prime получаем
Q\prime (u) = u\alpha \widetilde p - 1
\left\{ \alpha \widetilde p
t\int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\tau u))\widetilde p\beta /2\psi (\tau )d\tau +
t\int
0
\tau \psi (\tau )
\partial
\partial \tau
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\tau u))\widetilde p\beta /2d\tau
\right\} .
Вычисляя второй интеграл путем интегрирования по частям, записываем
Q\prime (u) = u\alpha \widetilde p - 1
\left\{ t\psi (t)(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (tu))\widetilde p\beta /2 +
t\int
0
\bigl[
\alpha \widetilde p\psi (\tau ) - (\tau \psi (\tau ))\prime
\bigr]
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\tau u))\widetilde p\beta /2d\tau
\right\} .
(4.4)
Учитывая соотношение (4.1), из (4.4) заключаем, что для любого u \in [\sigma ,\infty ) выполнено нера-
венство Q\prime (u) \geq 0, т. е. функция Q является неубывающей на рассматриваемом множестве.
Следовательно, имеет место равенство (4.3) и (4.2) вытекает из формулы (3.4).
Следствие 1 доказано.
Далее приведем несколько примеров весовых функций, удовлетворяющих условию (4.1).
Пусть \alpha \in [1/2,\infty ), \widetilde p \in [1/\alpha , 2] и \xi \in [0, \alpha \widetilde p - 1]. Тогда для весовой функции \psi 0(\tau ) := \tau \xi
условие (4.1) имеет место, поскольку в указанном случае оно принимает вид \alpha \widetilde p - 1 \geq \xi . В
частности, при \xi = 0 из формул (3.2), (3.3) и (4.2) получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int t
0
\omega \widetilde p
\beta (\scrD
\alpha f, \tau )d\tau
\biggr\} 1/\widetilde p =
1
2\beta /2
\biggl\{ \int t
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\sigma \tau ))\widetilde p\beta /2d\tau
\biggr\} 1/\widetilde p , (4.5)
где t \in (0, \pi /\sigma ], \beta \in (0,\infty ). В качестве второго примера рассмотрим весовую функцию
\psi 1(\tau ) := \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\xi (b\tau /t), где b \in (0, \pi ], \tau \in (0, t], t \in (0, \pi /\sigma ], \sigma \in (0,\infty ), \xi \in [0, \alpha \widetilde p - 1],
\alpha \in [1/2,\infty ), \widetilde p \in [1/\alpha , 2]. Полагаем \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}x := \{ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)/x, если x \not = 0; 1, если x = 0\} . Усло-
вие (4.1) для функции \psi 1 принимает вид
(\alpha \widetilde p - 1)\psi 1(\tau ) - \tau \psi
\prime
1(\tau ) = (\alpha \widetilde p - 1) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\xi (b\tau /t) - \xi (b\tau /t) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\xi - 1(b\tau /t) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (b\tau /t) =
= (b\tau /t) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\xi - 1(b\tau /t) \{ (\alpha \widetilde p - 1)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (b\tau /t) - \xi \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (b\tau /t)\} . (4.6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
610 С. Б. ВАКАРЧУК
Поскольку при x \in [0, \pi ] имеем \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}x \geq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} x, то из соотношения (4.6) получаем
(\alpha \widetilde p - 1)\psi 1(\tau ) - \tau \psi
\prime
1(\tau ) \geq (b\tau /t) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\xi - 1(b\tau /t)(\alpha \widetilde p - 1 - \xi )\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (b\tau /t) \geq 0,
т. е. условие (4.1) для функции \psi 1 выполнено. В указанном случае равенство (4.2) принимает
вид
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int t
0
\omega \widetilde p
\beta (\scrD
\alpha f, \tau ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\xi (b\tau /t)d\tau
\biggr\} 1/\widetilde p =
=
1
2\beta /2
\biggl\{ \int t
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\sigma \tau ))\widetilde p\beta /2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\xi (b\tau /t)d\tau
\biggr\} 1/\widetilde p ,
где \beta \in (0,\infty ). Очевидно, что при \xi = 0 непосредственно получаем соотношение (4.5).
Следствие 2. Пусть \alpha , \sigma \in (0,\infty ), \beta \in [1,\infty ), p = 2/\beta , t \in (0, 3\pi /(4\sigma )], \psi \equiv 1. Тогда
имеет место равенство
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int t
0
\omega
2/\beta
\beta (\scrD \alpha f, \tau )d\tau
\biggr\} \beta /2
=
\biggl\{
1
2t(1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (\sigma t))
\biggr\} \beta /2
. (4.7)
Доказательство. Для получения соотношения (4.7) покажем справедливость равенства
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \gamma u,\beta ,\alpha ,2/\beta (1, t) : \sigma \leq u <\infty \} = \gamma \sigma ,\beta ,\alpha ,2/\beta (1, t). (4.8)
С этой целью, используя формулу (3.2), рассматриваем функцию
\widetilde Q(u) := \gamma u,\beta ,\alpha ,2/\beta (1, t) = 2\beta /2u\alpha
\left\{
t\int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (u\tau ))d\tau
\right\}
\beta /2
= u\alpha \{ 2t(1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (ut))\} \beta /2 ,
где \sigma \leq u <\infty . Поскольку при 0 < t \leq 3\pi /(4\sigma ) в силу поведения функции \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}x [31] имеем
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\sigma \leq u<\infty
(1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (ut))\beta /2 =
\biggl(
1 - \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\sigma \leq u<\infty
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (ut)
\biggr) \beta /2
= (1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (\sigma t))\beta /2 ,
то \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \widetilde Q(u) : \sigma \leq u < \infty \} = \widetilde Q(\sigma ), т. е. формула (4.8) имеет место. В силу соотношения (3.4)
и равенства (4.8) получаем требуемый результат (4.7), что и завершает доказательство след-
ствия 2.
Отметим, что существуют такие \beta \in [1,\infty ), при которых значение p := 2/\beta не будет
принадлежать отрезку [1/\alpha , 2], где \alpha \in [1/2,\infty ). Указанное получаем, когда \beta \in (2\alpha ,\infty ),
поскольку для определенных отмеченным выше образом p = 2/\beta имеем 0 < p < 1/\alpha . Таким
образом, следствие 2 является результатом, который не может рассматриваться как частный
случай, вытекающий из следствия 1 при \psi \equiv 1.
Пусть далее t := z/\sigma и \psi \ast (\tau ) := \eta (\sigma \tau ), где z \in (0, \pi ]; \tau \in (0, z/\sigma ]; \sigma \in (0,\infty ). Тогда,
используя формулу (3.2), для \sigma \leq u <\infty записываем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
О МОДУЛЯХ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫХ ДРОБНОГО ПОРЯДКА В ЗАДАЧАХ . . . 611
\gamma u,\beta ,\alpha ,p(\psi \ast , z/\sigma ) = 2\beta /2u\alpha
\left\{
z/\sigma \int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (u\tau ))p\beta /2\eta (\sigma \tau )d\tau
\right\}
1/p
=
= 2\beta /2\sigma \alpha - 1/p
\left\{ (u/\sigma )\alpha p
z\int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (u\tau /\sigma ))p\beta /2\eta (\tau )d\tau
\right\}
1/p
.
Полагая x := u/\sigma , отсюда получаем
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\sigma \leq u<\infty
\gamma u,\beta ,\alpha ,p(\psi \ast , z/\sigma ) \geq \sigma \alpha - 1/p \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
1\leq x<\infty
\left\{ 2p\beta /2x\alpha p
z\int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (x\tau ))p\beta /2\eta (\tau )d\tau
\right\}
1/p
. (4.9)
Введем обозначение
\theta \beta ,\alpha ,p(\eta , z;x) := 2p\beta /2x\alpha p
z\int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (x\tau ))p\beta /2\eta (\tau )d\tau . (4.10)
Тогда в силу (4.9), (4.10) из теоремы 1 получаем такое следствие.
Следствие 3. Пусть \alpha , \beta , \sigma \in (0,\infty ), 0 < p \leq 2, z \in (0, \pi ], \eta — измеримая, сумми-
руемая на отрезке [0, z] функция, которая неотрицательна и не эквивалентна нулю. Тогда
выполняется двойное неравенство
1
\{ \theta \beta ,\alpha ,p(\eta , z; 1)\} 1/p
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int z
0
\omega p
\beta (\scrD
\alpha f, \tau /\sigma )\eta (\tau )d\tau
\biggr\} 1/p
\leq 1\biggl\{
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
1\leq x<\infty
\theta \beta ,\alpha ,p(\eta , z;x)
\biggr\} 1/p
.
Если же функция \eta такова, что
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
1\leq x<\infty
\theta \beta ,\alpha ,p(\eta , z;x) = \theta \beta ,\alpha ,p(\eta , z; 1), (4.11)
то имеет место равенство
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int z
0
\omega p
\beta (\scrD
\alpha f, \tau /\sigma )\eta (\tau )d\tau
\biggr\} 1/p
=
1
\{ \theta \beta ,\alpha ,p(\eta , z; 1)\} 1/p
.
Приведенное далее утверждение можно рассматривать как своеобразную конкретизацию
второй части следствия 3.
Следствие 4. Пусть \alpha , \beta , \sigma \in (0,\infty ), 0 < p \leq 2, z \in (0, \pi ], \eta \ast (\tau ) := \tau \alpha p - 1\eta 1(\tau ), где
\eta 1 — измеримая, суммируемая, невозрастающая на отрезке [0, z] функция, которая является
неотрицательной и не эквивалентной нулю. Тогда имеет место равенство
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
1\leq x<\infty
\theta \beta ,\alpha ,p(\eta \ast , z;x) = \theta \beta ,\alpha ,p(\eta \ast , z; 1) (4.12)
и справедливо соотношение
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int z
0
\omega p
\beta (\scrD
\alpha f, \tau /\sigma )\tau \alpha p - 1\eta 1(\tau )d\tau
\biggr\} 1/p
=
1
\{ \theta \beta ,\alpha ,p(\eta \ast , z; 1)\} 1/p
. (4.13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
612 С. Б. ВАКАРЧУК
Доказательство. Покажем, что имеет место формула (4.12), поскольку тогда, на основании
следствия 3, будет выполнено и равенство (4.13). Учитывая, что \eta 1 является невозрастающей
функцией, и используя обозначение (4.10), для любого x \in [1,\infty ) получаем
\theta \beta ,\alpha ,p(\eta \ast , z;x) = 2p\beta /2x\alpha p
z\int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (x\tau ))p\beta /2\tau \alpha p - 1\eta 1(\tau )d\tau =
= 2p\beta /2
zx\int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \tau )p\beta /2\tau \alpha p - 1\eta 1(\tau /x)d\tau \geq 2p\beta /2
zx\int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \tau )p\beta /2\tau \alpha p - 1\eta 1(\tau )d\tau \geq
\geq 2p\beta /2
z\int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \tau )p\beta /2\tau \alpha p - 1\eta 1(\tau )d\tau = \theta \beta ,\alpha ,p(\eta \ast , z; 1).
Таким образом, равенство (4.12) выполнено для функции \eta \ast , что и завершает доказательство
следствия 4.
5. Оценка констант в неравенствах Джексона для модулей непрерывности дробного
порядка. Определенный интерес, с точки зрения автора, представляет изучение поведения
констант в неравенствах Джексона в пространстве L2(\BbbR ), а именно
\scrA \sigma (f) \leq K\sigma ,\beta ,\alpha (x)\omega \beta (\scrD \alpha f, x/\sigma ), x > 0,
для модулей непрерывности дробного порядка \beta \in (0,\infty ) на классах функций L\alpha
2 (\BbbR ), где
\alpha \in (0,\infty ), т. е. исследование величин
K\sigma ,\beta ,\alpha (x) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\scrA \sigma (f)
\omega \beta (\scrD \alpha f, x/\sigma )
. (5.1)
Теорема 2. Пусть \alpha , \sigma \in (0,\infty ), \beta \in [1,\infty ). Тогда для любого x \in (0, \pi ] выполняется
двойное неравенство
1
2\beta /2\sigma \alpha (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} x)\beta /2
\leq K\sigma ,\beta ,\alpha (x) \leq
1
\sigma \alpha
\biggl\{
1
x2
+
1
2
\biggr\} \beta /2
. (5.2)
Доказательство. Используя соотношения (3.6), (1.4), (3.8), (3.9), а также применяя нера-
венство Гельдера, поскольку 1 \leq \beta <\infty , получаем
\scrA 2
\sigma (f) -
\int
| \tau | \geq \sigma
| \scrF (f, \tau )| 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (u\tau )d\tau =
=
\int
| \tau | \geq \sigma
| \scrF (f, \tau )| 2(1 - 1/\beta )| \scrF (f, \tau )| 2/\beta (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (u\tau ))d\tau \leq
\leq
\left\{
\int
| \tau | \geq \sigma
| \scrF (f, \tau )| 2d\tau
\right\}
1 - 1/\beta \left\{
\int
| \tau | \geq \sigma
| \scrF (f, \tau )| 2(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (u\tau ))\beta d\tau
\right\}
1/\beta
\leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
О МОДУЛЯХ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫХ ДРОБНОГО ПОРЯДКА В ЗАДАЧАХ . . . 613
\leq \{ \scrA \sigma (f)\} 2(1 - 1/\beta )(2\sigma 2\alpha /\beta ) - 1
\left\{ 2\beta
\int
| \tau | \geq \sigma
| \scrF (f, \tau )| 2 | \tau | 2\alpha (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (u\tau ))\beta d\tau
\right\}
1/\beta
\leq
\leq (2\sigma 2\alpha /\beta ) - 1\{ \scrA \sigma (f)\} 2(1 - 1/\beta )\omega
2/\beta
\beta (\scrD \alpha f, u). (5.3)
Интегрируя левую и правую части соотношения (5.3) по переменной u в пределах от 0 до v, а
затем интегрируя полученное указанным образом неравенство по переменной v в пределах от
0 до t, где t \in (0, \pi /\sigma ], имеем
t2
2
\scrA 2
\sigma (f) \leq
\int
| \tau | \geq \sigma
| \scrF (f, \tau )| 2(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (t\tau ))
d\tau
\tau 2
+
+
1
2\sigma 2\alpha /\beta
\{ \scrA \sigma (f)\} 2(1 - 1/\beta )
t\int
0
v\int
0
\omega
2/\beta
\beta (\scrD \alpha f, u)dudv. (5.4)
Установим оценку сверху первого интеграла в формуле (5.4), использовав с этой целью нера-
венство Гельдера, определение модуля непрерывности дробного порядка (1.4), а также соотно-
шения (3.6), (3.8), (3.9): \int
| \tau | \geq \sigma
| \scrF (f, \tau )| 2(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (t\tau ))
d\tau
\tau 2
\leq
\leq 1
\sigma 2
\int
| \tau | \geq \sigma
| \scrF (f, \tau )| 2(1 - 1/\beta )
\Bigl\{
| \scrF (f, \tau )| 2(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (t\tau ))\beta
\Bigr\} 1/\beta
d\tau \leq
\leq 1
\sigma 2
\left\{
\int
| \tau | \geq \sigma
| \scrF (f, \tau )| 2d\tau
\right\}
1 - 1/\beta \left\{
\int
| \tau | \geq \sigma
| \scrF (f, \tau )| 2(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (t\tau ))\beta d\tau
\right\}
1/\beta
\leq
\leq 1
2\sigma 2(1+\alpha /\beta )
\{ \scrA \sigma (f)\} 2(1 - 1/\beta )
\left\{ 2\beta
\int
| \tau | \geq \sigma
| \scrF (f, \tau )| 2 | \tau | 2\alpha (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (t\tau ))\beta d\tau
\right\}
1/\beta
\leq
\leq 1
2\sigma 2(1+\alpha /\beta )
\{ \scrA \sigma (f)\} 2(1 - 1/\beta ) \omega
2/\beta
\beta (\scrD \alpha f, t) . (5.5)
Из формул (5.4), (5.5) получаем
t2\beta \scrA 2
\sigma (f) \leq
1
\sigma 2(\alpha +\beta )
\left\{ \omega 2/\beta
\beta (\scrD \alpha f, t) + \sigma 2
t\int
0
v\int
0
\omega
2/\beta
\beta (\scrD \alpha f, u)dudv
\right\}
\beta
. (5.6)
После интегрирования по частям интеграла в неравенстве (5.6) имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
614 С. Б. ВАКАРЧУК
t2\beta \scrA 2
\sigma (f) \leq
1
\sigma 2(\alpha +\beta )
\left\{ \omega 2/\beta
\beta (\scrD \alpha f, t) + \sigma 2
t\int
0
(t - v)\omega
2/\beta
\beta (\scrD \alpha f, v)dv
\right\}
\beta
.
Учитывая, что модуль непрерывности \omega \beta — неубывающая функция, отсюда получаем
t\beta \scrA \sigma (f) \leq \sigma - (\alpha +\beta )\{ 1 + (\sigma t)2/2\} \beta /2\omega \beta (\scrD \alpha f, t) . (5.7)
Использовав соотношение (5.7), в котором полагаем t := x/\sigma , запишем оценку сверху экстре-
мальной характеристики (5.1):
K\sigma ,\beta ,\alpha (x) \leq \sigma - \alpha \{ 1/x2 + 1/2\} \beta /2. (5.8)
Для установления оценки снизу величины (5.1) рассмотрим функцию q\varepsilon \in L\alpha
2 (\BbbR ), где
0 < \varepsilon < \sigma \ast := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\sigma , 1/\sigma ), введенную в ходе доказательства теоремы 1. Очевидно, что
K\sigma ,\beta ,\alpha (x) \geq \scrA \sigma (q\varepsilon )/\omega \beta (\scrD \alpha q\varepsilon , x/\sigma ) . (5.9)
Введя обозначения
\theta y,\beta ,\alpha (x) := y\alpha (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (xy/\sigma ))\beta /2, (5.10)
\theta
\ast
y,\beta ,\alpha (x) := y\alpha (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (xy/\sigma ))
\beta /2
\ast (5.11)
и использовав формулы (3.12), (3.14) и (5.9), запишем
K\sigma ,\beta ,\alpha (x) \geq 1/(2\beta /2 \theta
\ast
\sigma +\varepsilon ,\beta ,\alpha (x)). (5.12)
Из формул (5.10) и (5.11) следует, что величина \theta
\ast
\sigma +\varepsilon ,\beta ,\alpha (x) возрастает по \varepsilon при постоянных
значениях остальных параметров и \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\varepsilon \rightarrow 0+ \theta
\ast
\sigma +\varepsilon ,\beta ,\alpha (x) = \theta \sigma ,\beta ,\alpha (x). Учитывая это, из опреде-
ления верхней грани числового множества получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{
1/\theta
\ast
\sigma +\varepsilon ,\beta ,\alpha (x) : \varepsilon \in (0, \sigma \ast )
\Bigr\}
= 1/\theta \sigma ,\beta ,\alpha (x) . (5.13)
Вычисляя верхнюю грань по \varepsilon \in (0, \sigma \ast ) от правой части неравенства (5.12) и используя фор-
мулу (5.13), записываем оценку снизу величины (5.1):
K\sigma ,\beta ,\alpha (x) \geq
1
2\beta /2\sigma \alpha (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} x)\beta /2
. (5.14)
Теперь (5.2) следует из неравенств (5.8) и (5.14).
Теорема 2 доказана.
Следствие 5. При выполнении условий теоремы 2 имеет место двойное неравенство
1
\sigma \alpha x\beta
\leq K\sigma ,\beta ,\alpha (x) \leq
1
\sigma \alpha
\biggl\{
1
x2
+
1
2
\biggr\} \beta /2
.
Теорему 2 и вытекающее из нее следствие 5 можно рассматривать как распространение
одного результата Л. В. Тайкова [36] на случай модулей непрерывности и производных дроб-
ных порядков в задачах наилучшей среднеквадратической аппроксимации целыми функциями
экспоненциального типа в пространстве L2(\BbbR ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
О МОДУЛЯХ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫХ ДРОБНОГО ПОРЯДКА В ЗАДАЧАХ . . . 615
6. Точные значения средних \bfitnu -поперечников классов функций, определенных с по-
мощью модулей непрерывности и производных дробных порядков. В работах [34, 35]
было введено определение средней размерности, которое является некоторой модификацией
соответствующего понятия, приведенного ранее [37]. Это позволило определить асимптоти-
ческие экстремальные характеристики, подобные поперечникам, где в качестве размерности
использована средняя размерность. В результате этого стало возможным сравнение аппрок-
симативных свойств подпространств \BbbB \sigma ,2, где \sigma \in (0,\infty ), с аналогичными свойствами иных
подпространств из L2(\BbbR ), имеющих ту же среднюю размерность, и решение в L2(\BbbR ) ряда
экстремальных задач теории аппроксимации функций оптимизационного содержания.
Напомним необходимые далее понятия и определения, приведенные в [34, 35]. Пусть
BL2(\BbbR ) — единичный шар в L2(\BbbR ), \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n} (L2(\BbbR )) — совокупность всех линейных подпро-
странств в L2(\BbbR );
\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n} n(L2(\BbbR )) := \{ \scrL \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n} (L2(\BbbR )) : \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\scrL \leq n\} , n \in \BbbZ +,
d(\frakM , A, L2(\BbbR )) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \| x - y\| : y \in A\} : x \in \frakM \}
— наилучшее приближение множества \frakM \subset L2(\BbbR ) множеством A \subset L2(\BbbR ). Под AT , T > 0,
понимаем сужение множества A \subset L2(\BbbR ) на отрезок [ - T, T ], а через \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}CL2(\BbbR ) обозначим
совокупность таких подпространств \scrL \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n} (L2(\BbbR )), для которых множество (\scrL \cap BL2(\BbbR ))T
предкомпактно в L2([ - T, T ]) при любом T > 0.
Если \scrL \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}C(L2(\BbbR )) и T, \varepsilon > 0, то существуют такие n \in \BbbZ + и \scrM \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}n(L2(\BbbR )), для
которых d((\scrL \cap BL2(\BbbR ))T ,\scrM , L2([ - T, T ])) < \varepsilon . Пусть
D\varepsilon (T,\scrL , L2(\BbbR )) := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ n \in \BbbZ + : \exists \scrM \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}n(L2([ - T, T ])),
d((\scrL \cap BL2(\BbbR ))T ,\scrM , L2([ - T, T ])) < \varepsilon \} .
Данная величина не убывает по T и не возрастает по \varepsilon . Величину
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m} (\scrL , L2(\BbbR )) := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\{ \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} \{ D\varepsilon (T,\scrL , L2(\BbbR ))/(2T ) : T \rightarrow \infty \} : \varepsilon \rightarrow 0\} ,
где \scrL \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}C(L2(\BbbR )), называют средней размерностью подпространства \scrL в L2(\BbbR ). В [34]
было показано, что
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m} (\BbbB \sigma ,2;L2(\BbbR )) = \sigma /\pi . (6.1)
Пусть \frakM — центрально-симметричное подмножество из L2(\BbbR ) и \nu > 0 является произ-
вольным числом. Тогда под средним \nu -поперечником по Колмогорову множества \frakM в L2(\BbbR )
понимают величину
d\nu (\frakM , L2(\BbbR )) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \| f - \varphi \| : \varphi \in \scrL \} : f \in \frakM \} :
\scrL \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}C(L2(\BbbR )),\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(\scrL , L2(\BbbR )) \leq \nu \} .
Подпространство, на котором достигается внешняя нижняя грань, называется экстремальным.
Средним линейным \nu -поперечником множества \frakM в L2(\BbbR ) называют величину
\delta \nu (\frakM , L2(\BbbR )) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| f - V (f)\| : f \in \frakM \} : (X,V )\} ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
616 С. Б. ВАКАРЧУК
где нижняя грань берется по всем парам (X,V ) таким, что X — нормированное пространство,
непосредственно вложенное в L2(\BbbR ), а V : X \rightarrow L2(\BbbR ) является непрерывным линейным
оператором, для которого \mathrm{I}\mathrm{m}V \subset \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}C(L2(\BbbR )) и выполнено неравенство \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m} (\mathrm{I}\mathrm{m}V,L2(\BbbR )) \leq
\leq \nu , \frakM \subset X. Здесь \mathrm{I}\mathrm{m}V — образ оператора V. Пару, на которой достигается нижняя грань,
называют экстремальной.
Величину
b\nu (\frakM , L2(\BbbR )) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \{ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \{ \rho > 0 : \scrL \cap \rho BL2(\BbbR ) \subset \frakM \} :
\scrL \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}C(L2(\BbbR )),\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m} (\scrL , L2(\BbbR )) > \nu , d\nu (\scrL \cap BL2(\BbbR ), L2(\BbbR )) = 1\}
называют средним \nu -поперечником по Бернштейну множества \frakM в L2(\BbbR ). Последнее условие,
налагаемое на \scrL при вычислении внешней верхней грани, означает, что рассматриваются только
те подпространства, для которых справедлив аналог теоремы В. М. Тихомирова о поперечнике
шара. Этому требованию удовлетворяет, например, подпространство \BbbB \sigma ,2, если \sigma > \nu \pi , т. е.
d\nu (\BbbB \sigma ,2 \cap BL2(\BbbR ), L2(\BbbR )) = 1.
Для множества \frakM \subset L2(\BbbR ) между перечисленными выше его экстремальными характерис-
тиками имеют место неравенства
b\nu (\frakM , L2(\BbbR )) \leq d\nu (\frakM , L2(\BbbR )) \leq \delta \nu (\frakM , L2(\BbbR )). (6.2)
Отметим, что точные значения средних \nu -поперечников некоторых классов функций впер-
вые были получены в работах [34, 35]. В последующем данная тематика была продолжена
в работах других авторов (см., например, [28 – 33]). Краткий обзор, касающийся вычисления
точных значений указанных экстремальных характеристик, можно найти в работе [38].
Пусть \alpha , \beta \in (0,\infty ), p \in (0, 2], H — некоторая положительная константа, \psi — неот-
рицательная, измеримая и суммируемая на отрезке [0, H] функция, которая не эквивалентна
нулю. Символом HW\alpha
2,p(\omega \beta , \psi ) обозначим класс функций f \in L\alpha
2 (\BbbR ), для каждой из которых
выполняется неравенство
H\int
0
\omega p
\beta (\scrD
\alpha f, \tau )\psi (\tau )d\tau \leq
H\int
0
\psi (\tau )d\tau .
Напомним, что в случае 2\pi -периодических функций при p = 2 и \alpha , \beta \in \BbbN в определенном
смысле подобные классы впервые были рассмотрены в работе [36].
Теорема 3. Пусть \beta , \nu \in (0,\infty ), \alpha \in [1/2,\infty ), H \in (0, 1/\nu ], \psi — неотрицательная,
измеримая и суммируемая на отрезке [0, H] функция, которая дифференцируема почти всюду
на интервале (0, H) и не эквивалентна нулю. Если для некоторого значения \widetilde p \in [1/\alpha , 2] и для
почти всех \tau \in [0, H] имеет место неравенство (4.1), то справедливы следующие равенства:
q\nu (HW
\alpha
2,\widetilde p(\omega \beta , \psi );L2(\BbbR )) = \scrA \nu \pi (HW
\alpha
2,\widetilde p(\omega \beta , \psi )) =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| f - \Lambda \nu \pi (f)\| : f \in HW\alpha
2,\widetilde p(\omega \beta , \psi )\} =
= 2 - \beta /2 (\nu \pi ) - \alpha
\left\{
H\int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\nu \pi \tau ))\widetilde p\beta /2\psi (\tau )d\tau
\right\}
- 1/\widetilde p\left\{
H\int
0
\psi (\tau )d\tau
\right\}
1/\widetilde p
, (6.3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
О МОДУЛЯХ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫХ ДРОБНОГО ПОРЯДКА В ЗАДАЧАХ . . . 617
где q\nu — любой из средних \nu -поперечников: колмогоровский d\nu , бернштейновский b\nu , ли-
нейный \delta \nu ; \scrA \nu \pi (\frakM ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \scrA \nu \pi (f) : f \in \frakM \} , \frakM \subset L2(\BbbR ). При этом пара (L\alpha
2 (\BbbR ),\Lambda \nu \pi ),
где линейный оператор \Lambda \nu \pi определяется формулой (3.5), когда \sigma := \nu \pi , является экс-
тремальной для \delta \nu (HW
\alpha
2,\widetilde p(\omega \beta , \psi );L2(\BbbR )), а подпространство \BbbB \nu \pi ,2 — экстремальным для
d\nu (HW
\alpha
2,\widetilde p(\omega \beta , \psi );L2(\BbbR )).
Доказательство. Используя следствие 1, для произвольной функции f \in L\alpha
2 (\BbbR ) при 0 <
< t \leq \pi /\sigma имеем
\scrA \sigma (f) = \| f - \Lambda \sigma (f)\| \leq
\leq 2 - \beta /2 \sigma - \alpha
\left\{
t\int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\sigma \tau ))\widetilde p\beta /2\psi (\tau )d\tau
\right\}
- 1/\widetilde p\left\{
t\int
0
\omega \widetilde p
\beta (\scrD
\alpha f, \tau )\psi (\tau )d\tau
\right\}
1/\widetilde p
. (6.4)
Полагая в формуле (6.4) \sigma := \nu \pi и t := H, в силу определения класса HW\alpha
2,\widetilde p(\omega \beta , \psi ) и
соотношений (6.1), (6.2) получаем оценки сверху
q\nu (HW
\alpha
2,\widetilde p(\omega \beta , \psi );L2(\BbbR )) \leq d\nu (HW
\alpha
2,\widetilde p(\omega \beta , \psi );L2(\BbbR )) \leq
\leq \scrA \nu \pi (HW
\alpha
2,\widetilde p(\omega \beta , \psi )) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| f - \Lambda \nu \pi (f)\| : f \in HW\alpha
2,p(\omega \beta , \psi )\} \leq
\leq 2 - \beta /2 (\nu \pi ) - \alpha
\left\{
H\int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\nu \pi \tau ))\widetilde p\beta /2\psi (\tau )d\tau
\right\}
- 1/\widetilde p\left\{
H\int
0
\psi (\tau )d\tau
\right\}
1/\widetilde p
. (6.5)
Для установления оценок снизу рассматриваемых средних \nu -поперечников класса
HW\alpha
2,\widetilde p(\omega \beta , \psi ) рассмотрим множество целых функций \frakB \widehat \sigma (\rho ) := \BbbB \widehat \sigma ,2 \cap \rho BL2(\BbbR ) = \{ g \in \BbbB \widehat \sigma ,2 :
\| g\| \leq \rho \} , где \widehat \sigma := \nu \pi (1 + \varepsilon ), \varepsilon \in (0, \widetilde \nu ) — произвольное число, \widetilde \nu := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\nu , 1/\nu ),
\rho := 2 - \beta /2 (\widehat \sigma ) - \alpha
\left\{
H\int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\widehat \sigma \tau ))\widetilde p\beta /2\ast \psi (\tau )d\tau
\right\}
- 1/\widetilde p\left\{
H\int
0
\psi (\tau )d\tau
\right\}
1/\widetilde p
. (6.6)
Покажем, что множество \frakB \widehat \sigma (\rho ) принадлежит классу HW\alpha
2,\widetilde p(\omega \beta , \psi ). Для этого, воспользо-
вавшись неравенством С. Н. Бернштейна \| \scrD \alpha g\| \leq (\widehat \sigma )\alpha \| g\| , где g \in \BbbB \widehat \sigma ,2, формулой (2.6) и
обозначением (3.1), запишем
\omega \beta (\scrD \alpha g, t) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\left( 2\beta
\widehat \sigma \int
- \widehat \sigma
| \scrF (\scrD \alpha g, x)| 2(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (hx))\beta dx
\right) 1/2
: | h| \leq t
\right\} \leq
\leq 2\beta /2(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (t\widehat \sigma ))\beta /2\ast \| \scrD \alpha g\| \leq 2\beta /2(\widehat \sigma )\alpha (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (t\widehat \sigma ))\beta /2\ast \| g\| . (6.7)
Тогда для произвольной функции g \in \frakB \widehat \sigma (\rho ) на основании соотношения (6.7) получаем
H\int
0
\omega \widetilde p
\beta (\scrD
\alpha g, t)\psi (t)dt \leq 2\widetilde p\beta /2(\widehat \sigma )\alpha \widetilde p\| g\| \widetilde p H\int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (t\widehat \sigma ))\widetilde p\beta /2\ast \psi (t)dt \leq
H\int
0
\psi (t)dt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
618 С. Б. ВАКАРЧУК
Следовательно, \frakB \widehat \sigma (\rho ) \subset HW\alpha
2,\widetilde p(\omega \beta , H). Отметим, что подпространство \BbbB \widehat \sigma ,2 удовлетворяет
всем требованиям, предъявляемым к подпространствам, участвующим в определении среднего
бернштейновского \nu -поперечника, т. е. \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m} (\BbbB \widehat \sigma ,2;L2(\BbbR )) = \nu (1 + \varepsilon ) и d\nu (\BbbB \widehat \sigma ,2 \cap BL2(\BbbR );
L2(\BbbR )) = 1. Тогда согласно формулам (6.2) и (6.6) имеем
q\nu (HW
\alpha
2,\widetilde p(\omega \beta , \psi );L2(\BbbR )) \geq b\nu (\frakB \widehat \sigma (\rho );L2(\BbbR )) \geq
\geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \{ \rho > 0 : \BbbB \widehat \sigma ,2 \cap \rho BL2(\BbbR ) \subset HW\alpha
2,\widetilde p(\omega \beta , \psi )\} \geq \rho =
= 2 - \beta /2(\nu \pi (1 + \varepsilon )) - \alpha
\left\{
H\int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\nu \pi \tau (1 + \varepsilon )))
\widetilde p\beta /2
\ast \psi (\tau )d\tau
\right\}
- 1/\widetilde p\left\{
H\int
0
\psi (\tau )d\tau
\right\}
1/\widetilde p
. (6.8)
Поскольку правая часть соотношения (6.8), как функция от \varepsilon , при фиксированных значениях
остальных параметров и \varepsilon \rightarrow 0+ является монотонно возрастающей и ограниченной сверху,
то, вычисляя от нее верхнюю грань по \varepsilon \in (0, \widetilde \nu ), имеем
q\nu (HW
\alpha
2,\widetilde p(\omega \beta , \psi );L2(\BbbR )) \geq
\geq 2 - \beta /2(\nu \pi ) - \alpha
\left\{
H\int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\nu \pi \tau ))\widetilde p\beta /2\psi (\tau )d\tau
\right\}
- 1/\widetilde p\left\{
H\int
0
\psi (\tau )d\tau
\right\}
1/\widetilde p
. (6.9)
Требуемые равенства (6.3) следуют из соотношений (6.5) и (6.9).
Теорема 3 доказана.
Отметим, что, полагая, например, \beta := 2/\widetilde p и \psi \equiv 1, из формулы (6.3) получаем
q\nu (HW
\alpha
2,\widetilde p(\omega 2/\widetilde p, 1);L2(\BbbR )) = \scrA \nu \pi (HW
\alpha
2,\widetilde p(\omega 2/\widetilde p, 1)) =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \{ \| f - \Lambda \nu \pi (f)\| : f \in HW\alpha
2,\widetilde p(\omega 2/\widetilde p, 1)\} = (\nu \pi ) - \alpha \{ 2(1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (\nu \pi H))\} - 1/\widetilde p.
Возрастающую и непрерывную на множестве [0,\infty ) функцию \Phi назовем мажорантой, если
\Phi (0) = 0. Символом \scrW \alpha
2,p(\omega \beta ,\Phi ), где \alpha , \beta \in (0,\infty ), 0 < p \leq 2, \Phi — мажоранта, обозначим
класс функций, состоящий из элементов f \in L\alpha
2 (\BbbR ), у которых дробные производные порядка
\alpha удовлетворяют условию
\int t
0
\omega p
\beta (\scrD
\alpha f, \tau )d\tau \leq \Phi (t) для любого t \in (0,\infty ).
Теорема 4. Пусть \beta \in (0,\infty ), \alpha \in [1/2,\infty ), p \in [1/\alpha , 2], \nu \in (0,\infty ), мажоранта \Phi для
любого конечного числа \sigma > \nu \pi удовлетворяет условию
\Phi (t)
\pi \int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \tau )p\beta /2d\tau \geq \Phi (\pi /\sigma )
t\sigma \int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \tau )
p\beta /2
\ast d\tau , (6.10)
где 0 \leq t <\infty — произвольное число. Тогда имеют место следующие равенства:
q\nu (\scrW \alpha
2,p(\omega \beta ,\Phi );L2(\BbbR )) = \scrA \nu \pi (\scrW \alpha
2,p(\omega \beta ,\Phi )) =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| f - \Lambda \nu \pi (f)\| : f \in \scrW \alpha
2,p(\omega \beta ,\Phi )\} =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
О МОДУЛЯХ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫХ ДРОБНОГО ПОРЯДКА В ЗАДАЧАХ . . . 619
= 2 - \beta /2(\nu \pi )1/p - \alpha
\left\{
\pi \int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \tau )p\beta /2d\tau
\right\}
- 1/p
\Phi 1/p(1/\nu ), (6.11)
где q\nu — любой из рассмотренных выше средних \nu -поперечников. При этом пара (L\alpha
2 (\BbbR ),\Lambda \nu \pi )
является экстремальной для среднего линейного \nu -поперечника \delta \nu (\scrW \alpha
2,p(\omega \beta ,\Phi );L2(\BbbR )), а под-
пространство \BbbB \nu \pi ,2 будет экстремальным для среднего колмогоровского \nu -поперечника
d\nu (\scrW \alpha
2,p(\omega \beta ,\Phi );L2(\BbbR )). Множество мажорант, удовлетворяющих условию (6.10), не пусто.
Доказательство. Полагая \psi \equiv 1, для произвольной функции f \in L\alpha
2 (\BbbR ) из следствия 1
получаем неравенство
\scrA \sigma (f) = \| f - \Lambda \sigma (f)\| \leq
\leq 2 - \beta /2\sigma - \alpha
\left\{
t\int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\sigma \tau ))p\beta /2d\tau
\right\}
- 1/p\left\{
t\int
0
\omega p
\beta (\scrD
\alpha f, \tau )d\tau
\right\}
1/p
, (6.12)
где 0 < t \leq \pi /\sigma , \sigma \in (0,\infty ). Полагая \sigma := \nu \pi , t := \pi /\sigma = 1/\nu и используя формулы (6.1),
(6.2), а также определение класса \scrW \alpha
2,p(\omega \beta ,\Phi ), записываем оценки сверху
q\nu (\scrW \alpha
2,p(\omega \beta ,\Phi );L2(\BbbR )) \leq d\nu (\scrW \alpha
2,p(\omega \beta ,\Phi );L2(\BbbR )) \leq
\leq \scrA \nu \pi (\scrW \alpha
2,p(\omega \beta ,\Phi )) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| f - \Lambda \nu \pi (f)\| :
f \in \scrW \alpha
2,p(\omega \beta ,\Phi )\} \leq 2 - \beta /2(\nu \pi )1/p - \alpha
\left\{
\pi \int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \tau )p\beta /2d\tau
\right\}
- 1/p
\Phi 1/p(1/\nu ). (6.13)
Для получения оценок снизу средних \nu -поперечников класса \scrW \alpha
2,p(\omega \beta ,\Phi )) рассмотрим
множество целых функций \frakB \widehat \sigma (\widetilde \rho ) := \BbbB \widehat \sigma ,2\cap \widetilde \rho BL2(\BbbR ) = \{ g \in \BbbB \widehat \sigma ,2 : \| g\| \leq \widetilde \rho \} , где \widehat \sigma := \nu \pi (1+\varepsilon ),
\varepsilon \in (0, \widetilde \nu ), \widetilde \nu := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\nu , 1/\nu ),
\widetilde \rho := 2 - \beta /2(\widehat \sigma )1/p - \alpha
\left\{
\pi \int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \tau )p\beta /2d\tau
\right\}
- 1/p
\Phi 1/p(\pi /\widehat \sigma ). (6.14)
Далее покажем, что \frakB \widehat \sigma (\widetilde \rho ) является подмножеством класса \scrW \alpha
2,p(\omega \beta ,\Phi ). Используя неравен-
ство (6.7) и соотношения (6.10), (6.14), для произвольной функции g \in \frakB \widehat \sigma (\widetilde \rho ) имеем
t\int
0
\omega p
\beta (\scrD
\alpha g, \tau )d\tau \leq 2p\beta /2(\widehat \sigma )\alpha p - 1\| g\| p
t\widehat \sigma \int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \tau )
p\beta /2
\ast d\tau \leq
\leq \Phi (\pi /\widehat \sigma )
\left\{
t\widehat \sigma \int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \tau )
p\beta /2
\ast d\tau
\right\} \Big/ \left\{
\pi \int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \tau )p\beta /2d\tau
\right\} \leq \Phi (t)
для любого t \in (0,\infty ). Следовательно, \frakB \widehat \sigma (\widetilde \rho ) \subset \scrW \alpha
2,p(\omega \beta ,\Phi ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
620 С. Б. ВАКАРЧУК
Используя определение среднего бернштейновского \nu -поперечника и формулы (6.2), (6.14),
получаем
q\nu (\scrW \alpha
2,p(\omega \beta ,\Phi );L2(\BbbR )) \geq b\nu (\frakB \widehat \sigma (\widetilde \rho );L2(\BbbR )) \geq
\geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \rho > 0 : \BbbB \widehat \sigma ,2 \cap \rho BL2(\BbbR ) \subset \scrW \alpha
2,p(\omega \beta ,\Phi )\} \geq
\geq \widetilde \rho = 2 - \beta /2(\nu \pi (1 + \varepsilon ))1/p - \alpha
\left\{
\pi \int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \tau )p\beta /2d\tau
\right\}
- 1/p
\Phi 1/p(1/(\nu (1 + \varepsilon ))). (6.15)
В цепочке неравенств (6.15) ее левая часть не зависит от \varepsilon . Поэтому, вычисляя верхнюю грань
по \varepsilon \in (0, \widetilde \nu ) от ее правой части, имеем оценку снизу
q\nu (\scrW \alpha
2,p(\omega \beta ,\Phi );L2(\BbbR )) \geq 2 - \beta /2(\nu \pi )1/p - \alpha
\left\{
\pi \int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \tau )p\beta /2d\tau
\right\}
- 1/p
\Phi 1/p(1/\nu ). (6.16)
Равенства (6.11) непосредственно следуют из соотношений (6.13), (6.16).
В завершение доказательства данной теоремы покажем, что множество мажорант, удовле-
творяющих условию (6.10), не пусто. Для этого предварительно запишем неравенство (6.10) в
эквивалентном ему виде
\Phi (t)
\pi \int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}p\beta (\tau /2)d\tau \geq \Phi (\pi /\sigma )
t\sigma \int
0
(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\tau /2))p\beta \ast d\tau , (6.17)
где 0 \leq t <\infty , (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t)\ast := \{ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t, если 0 \leq t \leq \pi /2; 1, если t \geq \pi /2\} . Покажем, что мажоранта
\Phi 0(t) := ty, где
y := \pi
\Big/ \left\{
\pi \int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}p\beta (\tau /2)d\tau
\right\} , (6.18)
удовлетворяет соотношению (6.17). Прежде всего оценим величину y сверху и снизу, восполь-
зовавшись двойным неравенством \tau /\pi < \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\tau /2) < 1, где 0 < \tau < \pi . С учетом этого из (6.18)
получаем
1 < y < p\beta + 1. (6.19)
Заменив в формуле (6.17) \Phi на \Phi 0 и использовав обозначение (6.18), запишем неравенство
(t\sigma /\pi )y \geq y
\pi
t\sigma \int
0
(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\tau /2))p\beta \ast d\tau , (6.20)
которое необходимо доказать. Полагая v := t\sigma /\pi , из (6.20) получаем
vy \geq y
\pi
\pi v\int
0
(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\tau /2))p\beta \ast d\tau . (6.21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
О МОДУЛЯХ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫХ ДРОБНОГО ПОРЯДКА В ЗАДАЧАХ . . . 621
Введем вспомогательную функцию
G(v) := vy - y
\pi
\pi v\int
0
(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\tau /2))p\beta \ast d\tau , (6.22)
где v \in [0,\infty ), и покажем ее неотрицательность. На множестве 0 \leq v \leq \varepsilon бесконечно малой
длины \varepsilon в силу (6.22) имеем
G(v) \geq vy - y
\pi
\pi v\int
0
(\tau /2)p\beta d\tau = vy
\biggl[
1 - y(\pi /2)p\beta vp\beta +1 - y
p\beta + 1
\biggr]
. (6.23)
Из (6.23) и (6.19) следует, что G(v) \geq 0 при v \rightarrow 0+ . Осталось доказать этот факт для любого
0 < v <\infty . Для этого рассмотрим два случая: 0 \leq v \leq 1 и 1 \leq v <\infty .
Пусть 0 \leq v \leq 1. Проведем рассуждения методом от противного, полагая, что на интервале
(0, 1) существует некоторая точка, в которой функция G меняет свой знак. Используя форму-
лы (6.18) и (6.22), записываем G(0) = G(1) = 0. Тогда, в силу теоремы Ролля, производная
первого порядка
G\prime (v) = y
\Bigl(
vy - 1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}p\beta (\pi v/2)
\Bigr)
(6.24)
должна иметь на интервале (0, 1) не менее двух различных нулей. Из (6.24) следует, что
функция
G1(v) := v(y - 1)/(p\beta ) - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} (\pi v/2) (6.25)
также будет иметь на (0, 1) не менее двух различных нулей в тех же точках, что и функция G.
Учитывая (6.19), из (6.25) получаем G1(0) = G1(1) = 0. Следовательно, производная первого
порядка
G\prime
1(v) =
(y - 1)v(y - 1 - p\beta )/(p\beta )
p\beta
- \pi \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (\pi v/2)
2
(6.26)
должна иметь на (0, 1) не менее трех различных нулей. Однако, согласно формулам (6.19) и
(6.26), это не так, поскольку G\prime
1, как разность положительной выпуклой вниз и положительной
монотонно убывающей выпуклой вверх функций, может иметь на интервале (0, 1) не более
двух различных нулей. Полученное противоречие показывает, что функция G не меняет свой
знак на интервале (0, 1), т. е. G(v) > 0 для любого v \in (0, 1).
Пусть далее 1 \leq v <\infty . Тогда согласно формуле (6.22) записываем
G(v) = vy - y(v - 1) - 1. (6.27)
Из (6.27) получаем
G\prime (v) = y(vy - 1 - 1). (6.28)
В силу соотношений (6.19) и (6.28) имеем G\prime (v) \geq 0 для любого v \in [1,\infty ). Поскольку
G(1) = 0, то G(v) \geq 0 на рассматриваемом точечном множестве.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
622 С. Б. ВАКАРЧУК
Таким образом, условие (6.10) имеет место для мажоранты \Phi 0(t) при 0 \leq t <\infty и теорема
4 полностью доказана.
Если, например, в теореме 4 полагаем \beta := 2/p, то условие (6.10) и равенства (6.11) примут
соответственно вид
\Phi (t)
\Phi (\pi /\sigma )
\geq
\left\{ t\sigma (1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (t\sigma )) /\pi , если 0 \leq t \leq \pi /\sigma ,
1 + 2 (t\sigma /\pi - 1) , если \pi /\sigma \leq t <\infty ,
(6.29)
q\nu
\bigl(
\scrW \alpha
2,p(\omega 2/p,\Phi );L2(\BbbR )
\bigr)
= \scrA \nu \pi
\bigl(
\scrW \alpha
2,p(\omega 2/p,\Phi )
\bigr)
=
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
| | f - \Lambda \nu \pi (f)| | : f \in \scrW \alpha
2,p(\omega 2/p,\Phi )
\bigr\}
=
= (2\pi ) - 1/p (\nu \pi )1/p - \alpha \Phi 1/p(1/\nu ).
Отметим, что в указанном случае одним из примеров мажорант, удовлетворяющих усло-
вию (6.29), в силу формулы (6.18) может быть функция \widetilde \Phi 0(t) = t2.
Литература
1. Butzer P. L., Westphal U. An access to fractional differentiation via fractional defference quotiens // Lect. Notes
Math. – 1975. – 457. – P. 116 – 145.
2. Butzer P. L., Dyckhoff H., Gorlich E., Stens R. L. Best trigonometric approximation, fractional order derivatives and
Lipschitz classes // Can. J. Math. – 1977. – l29, № 4. – P. 781 – 793.
3. Taberski R. Differences, moduli and derivatives of fractional orders // Comment. Math. – 1976 – 1977. — 19. –
P. 389 – 400.
4. Ivanov K. G. On the rates of convergence of two moduli of functions // Pliska Stud. Math. Bulg. – 1983. – 5. –
P. 97 – 104.
5. Бугров Я. С. Дробные разностные операторы и классы функций // Теория приближения функций: Тр. Между-
нар. конф. по теории приближения функций. – М.: АН СССР, 1987. – С. 75 – 78.
6. Пономаренко В. Г. Модули гладкости дробного порядка и наилучшие приближения в Lp (1 < p < \infty ) //
Конструктивная теория функций: Тр. Междунар. конф. по конструктивной теории функций. – София, 1983. –
C. 129 – 133.
7. Самко С. Г., Якубов А. Я. Оценка Зигмунда для модулей непрерывности дробного порядка сопряженной
функции // Изв. вузов. Математика. – 1985. – № 12. – C. 49 – 53.
8. Гаймназаров Г. О модулях гладкости дробного порядка функций, заданных на всей вещественной оси // Докл.
АН ТаджССР. – 1981. – 24, № 3. – C. 148 – 150.
9. Гаймназаров Г. Некоторые соотношения для модулей гладкости дробного порядка в пространстве
Lp( - \infty ,\infty ) // Изв. АН ТаджССР. Отд. физ.-мат., хим. и геол. наук. – 1985. – № 3. – C. 8 – 13.
10. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их
приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 c.
11. Butzer P. L., Westphal U. An introduction to fractional calculus // Application Fractional Calculus in Physics. –
Singapore: World Sci. Publ., 2000. – P. 1 – 85.
12. Хургин Я. И., Яковлев В. П. Финитные функции в физике и технике. – М.: Наука, 1971. – 408 c.
13. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Наука, 1971. – 1108 c.
14. Бесов О. В., Стечкин С. Б. Описание модулей непрерывности в L2 // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1975. – 134. –
C. 23 – 25.
15. Тайков Л. В. Структурные и конструктивные характеристики функций из L2 // Мат. заметки. – 1979. – 25,
№ 2. – C. 217 – 223.
16. Сачков В. Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики. – М.: Наука, 1982. – 384 c.
17. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. – М.: Физматгиз, 1960. – 624 c.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
О МОДУЛЯХ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ПРОИЗВОДНЫХ ДРОБНОГО ПОРЯДКА В ЗАДАЧАХ . . . 623
18. Бернштейн С. Н. О наилучшем приближении непрерывных функций на всей вещественной оси при помощи
целых функций данной степени (1912). – Собр. соч. – М.: АН СССР, 1952. – Т. 2. – C. 371 – 375.
19. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. – М.; Л.: Гостехиздат, 1947. – 324 c.
20. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1977. – 456 c.
21. Ибрагимов И. И., Насибов Ф. Г. Об оценке наилучшего приближения суммируемой функции на вещественной
оси посредством целых функций конечной степени // Докл. АН СССР. – 1970. – 194, № 5. – C. 1013 – 1016.
22. Попов В. Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального
типа // Изв. вузов. Математика. – 1972. – № 6. – C. 65 – 73.
23. Arestov V. V. On Jackson inequalities for approxination in L2 of periodic functions by trigonometric polynomials and
of functions on the line by entire functions // Approxim. Theory (A volume dedicated to Borislaw Bojanov). – Sofia:
Marin Drinov Acad. Publ. House, 2004. – P. 1 – 19.
24. Бабенко А. Г. Точное неравенство Джексона – Стечкина в пространстве L2(\BbbR m) // Тр. Ин-та математики и
механики УрО РАН. – 1998. – № 5. – С. 3 – 7.
25. Степанец А. И. Классы функций, заданных на действительной оси, и их приближения целыми функция-
ми. I // Укр. мат. журн. – 1990. – 42, № 1. – C. 102 – 112.
26. Степанец А. И. Классы функций, заданных на действительной оси, и их приближения целыми функция-
ми. II // Укр. мат. журн. – 1990. – 42, № 2. – C. 210 – 222.
27. Лигун А. А., Доронин В. Г. Точные константы в неравенствах типа Джексона для L2 -аппроксимации на пря-
мой // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 1. – C. 92 – 98.
28. Vakarchuk S. B. Exact constant in an inequality of Jackson type for L2 -approximation on the line and exact values
of mean widths of functional classes // East J. Approxim. – 2004. – 10, № 1-2. – P. 27 – 39.
29. Vakarchuk S. B. On some extremal problems of approximation theory of functions on the real axis. I // J. Math. Sci. –
2013. – 188, № 2. – P. 146 – 166.
30. Вакарчук С. Б. Наилучшее среднеквадратическое приближение функций, заданных на вещественной оси,
целыми функциями экспоненциального типа // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 5. – C. 604 – 615.
31. Вакарчук С. Б. Неравенства типа Джексона для специальных модулей непрерывности на всей вещественной
оси и точные значения средних \nu -поперечников классов функций в пространстве L2(\BbbR ) // Укр. мат. журн. –
2014. – 66, № 6. – C. 740 – 766.
32. Вакарчук С. Б. Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями экспоненциального типа
и средние \nu -поперечники классов функций на прямой // Мат. заметки. – 2014. – 96, № 6. – C. 827 – 848.
33. Вакарчук С. Б., Шабозов М. Ш., Лангаршоев М. Р. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми
функциями экспоненциального типа в L2(\BbbR ) и средних \nu -поперечниках некоторых функциональных клас-
сов // Изв. вузов. Математика. – 2014. – № 7. – C. 1 – 19.
34. Магарил-Ильяев Г. Г. Средняя размерность, поперечники и оптимальное восстановление соболевских классов
функций на прямой // Мат. сб. – 1991. – 182, № 11. – C. 1635 – 1656.
35. Магарил-Ильяев Г. Г. Средняя размерность и поперечники классов функций на прямой // Докл. АН СССР. –
1991. – 318, № 1. – C. 35 – 38.
36. Тайков Л. В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций // Мат.
заметки. – 1976. – 20, № 3. – C. 433 – 438.
37. Тихомиров В. М. Об аппроксимативных характеристиках гладких функций многих переменных // Теория
кубатурных формул и вычислительная математика. – Новосибирск: Наука, 1980. – C. 183 – 188.
38. Vakarchuk S. B. On some extremal problems of approximation theory of functions on the real axis. II // J. Math.
Sci. – 2013. – 190, № 4. – P. 613 – 630.
Получено 07.10.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1720 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:21Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/aa/5c201fcfbd765cdf8a3b2808c259d1aa.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17202019-12-05T09:24:56Z On the moduli of continuity and fractional-order derivatives in the problems of best mean-square approximations by entire functions of the exponential type on the entire real axis О модулях непрерывности и производных дробного порядка в задачах наилучшей среднеквадратической аппроксимации целыми функциями экспоненциального типа на всей вещественной оси Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. The exact Jackson-type inequalities with modules of continuity of a fractional order $\alpha \in (0,\infty )$ are obtained on the classes of functions defined via the derivatives of a fractional order $\alpha \in (0,\infty )$ for the best approximation by entire functions of the exponential type in the space $L_2(R)$. In particular, we prove the inequality $$2^{- \beta /2}\sigma^{- \alpha} (1 - \cos t)^{- \beta /2} \leq \sup \{ \scr {A}_\sigma (f) / \omega_{\beta }(\scr{D}^{\alpha} f, t/\sigma ) : f \in L^{\alpha}_2 (R)\} \leq \sigma^{-\alpha} (1/t^2 + 1/2)^{\beta /2},$$ where $\beta \in [1,\infty ), t \in (0, \pi ], \sigma \in (0,\infty ).$ The exact values of various mean $\nu$ -widths of the classes of functions determined via the fractional modules of continuity and majorant satisfying certain conditions are also determined. На класах функцiй, означених за допомогою похiдних дробового порядку $\alpha \in (0,\infty )$, отримано точнi нерiвностi типу Джексона з модулем неперервностi дробового порядку $\beta \in (0,\infty )$ у випадку найкращої апроксимацiї цiлими функцiями експоненцiального типу у просторi $L_2(R)$. Зокрема, доведено спiввiдношення $$2^{- \beta /2}\sigma^{- \alpha} (1 - \cos t)^{- \beta /2} \leq \sup \{ \scr {A}_\sigma (f) / \omega_{\beta }(\scr{D}^{\alpha} f, t/\sigma ) : f \in L^{\alpha}_2 (R)\} \leq \sigma^{-\alpha} (1/t^2 + 1/2)^{\beta /2},$$ де $\beta \in [1,\infty ), t \in (0, \pi ], \sigma \in (0,\infty ).$ Також обчислено точнi значення низки середнiх $\nu$ -поперечникiв класiв функцiй, означених за допомогою дробового модуля неперервностi та мажоранти, яка задовольняє певнi умови. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1720 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 5 (2017); 599-623 Український математичний журнал; Том 69 № 5 (2017); 599-623 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1720/702 Copyright (c) 2017 Vakarchuk S. B. |
| spellingShingle | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. On the moduli of continuity and fractional-order derivatives in the problems of best mean-square approximations by entire functions of the exponential type on the entire real axis |
| title | On the moduli of continuity and fractional-order derivatives in the problems of
best mean-square approximations by entire functions of the exponential type on the entire
real axis |
| title_alt | О модулях непрерывности и производных дробного порядка в задачах наилучшей среднеквадратической аппроксимации целыми функциями экспоненциального типа на всей вещественной оси |
| title_full | On the moduli of continuity and fractional-order derivatives in the problems of
best mean-square approximations by entire functions of the exponential type on the entire
real axis |
| title_fullStr | On the moduli of continuity and fractional-order derivatives in the problems of
best mean-square approximations by entire functions of the exponential type on the entire
real axis |
| title_full_unstemmed | On the moduli of continuity and fractional-order derivatives in the problems of
best mean-square approximations by entire functions of the exponential type on the entire
real axis |
| title_short | On the moduli of continuity and fractional-order derivatives in the problems of
best mean-square approximations by entire functions of the exponential type on the entire
real axis |
| title_sort | on the moduli of continuity and fractional-order derivatives in the problems of
best mean-square approximations by entire functions of the exponential type on the entire
real axis |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1720 |
| work_keys_str_mv | AT vakarchuksb onthemoduliofcontinuityandfractionalorderderivativesintheproblemsofbestmeansquareapproximationsbyentirefunctionsoftheexponentialtypeontheentirerealaxis AT vakarčuksb onthemoduliofcontinuityandfractionalorderderivativesintheproblemsofbestmeansquareapproximationsbyentirefunctionsoftheexponentialtypeontheentirerealaxis AT vakarčuksb onthemoduliofcontinuityandfractionalorderderivativesintheproblemsofbestmeansquareapproximationsbyentirefunctionsoftheexponentialtypeontheentirerealaxis AT vakarchuksb omodulâhnepreryvnostiiproizvodnyhdrobnogoporâdkavzadačahnailučšejsrednekvadratičeskojapproksimaciicelymifunkciâmiéksponencialʹnogotipanavsejveŝestvennojosi AT vakarčuksb omodulâhnepreryvnostiiproizvodnyhdrobnogoporâdkavzadačahnailučšejsrednekvadratičeskojapproksimaciicelymifunkciâmiéksponencialʹnogotipanavsejveŝestvennojosi AT vakarčuksb omodulâhnepreryvnostiiproizvodnyhdrobnogoporâdkavzadačahnailučšejsrednekvadratičeskojapproksimaciicelymifunkciâmiéksponencialʹnogotipanavsejveŝestvennojosi |