Exact constant in the Dzyadyk inequality for the derivative of an algebraic polynomial
For natural $k$ and $n \geq 2k$, we determine the exact constant $c(n, k)$ in the Dzyadyk inequality $$|| P^{\prime}_n\varphi^{1-k}_n ||_{C[ 1,1]} \leq c(n, k)n\| P_n\varphi^{-k}_n \|_{C[ 1,1]}$$ for the derivative $P^{\prime}_n$ of an algebraic polynomial $P_n$ of degree $\leq n$, where $$\varph...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1721 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507566229946368 |
|---|---|
| author | Galan, V. D. Shevchuk, I. A. Галан, В. Д. Шевчук, І. О. |
| author_facet | Galan, V. D. Shevchuk, I. A. Галан, В. Д. Шевчук, І. О. |
| author_sort | Galan, V. D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:24:56Z |
| description | For natural $k$ and $n \geq 2k$, we determine the exact constant $c(n, k)$ in the Dzyadyk inequality
$$|| P^{\prime}_n\varphi^{1-k}_n ||_{C[ 1,1]} \leq c(n, k)n\| P_n\varphi^{-k}_n \|_{C[ 1,1]}$$
for the derivative $P^{\prime}_n$ of an algebraic polynomial $P_n$ of degree $\leq n$, where
$$\varphi_n(x) := \sqrt{n^{-2} + 1 - x_2,} .$$
Namely,
$$c(n, k) = \biggl( 1 + k \frac{\sqrt{ 1 + n^2} - 1}{n}
\biggr)^2 - k.$$ |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
В. Д. Галан (Терноп. нац. пед. ун-т),
I. О. Шевчук (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ТОЧНА СТАЛА В НЕРIВНОСТI ДЗЯДИКА
ДЛЯ ПОХIДНОЇ ВIД АЛГЕБРАЇЧНОГО ПОЛIНОМА
For natural k and n \geq 2k, we determine the exact constant c(n, k) in the Dzyadyk inequality
\| P \prime
n\varphi
1 - k
n \| C[ - 1,1] \leq c(n, k)n\| Pn\varphi
- k
n \| C[ - 1,1]
for the derivative P \prime
n of an algebraic polynomial Pn of degree \leq n, where
\varphi n(x) :=
\sqrt{}
n - 2 + 1 - x2.
Namely,
c(n, k) =
\biggl(
1 + k
\surd
1 + n2 - 1
n
\biggr) 2
- k.
Для натуральных k и n \geq 2k найдена точная постоянная c(n, k) в неравенстве Дзядыка
\| P \prime
n\varphi
1 - k
n \| C[ - 1,1] \leq c(n, k)n\| Pn\varphi
- k
n \| C[ - 1,1]
для производной P \prime
n многочлена Pn степени не больше n, где
\varphi n(x) :=
\sqrt{}
n - 2 + 1 - x2,
а именно,
c(n, k) =
\biggl(
1 + k
\surd
1 + n2 - 1
n
\biggr) 2
- k.
1. Вступ. Нехай
\| f\| := \| f\| C[ - 1,1] = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in [ - 1,1]
| f(x)|
— рiвномiрна норма функцiї f \in C[ - 1, 1], \scrP n — простiр алгебраїчних полiномiв степеня не
вищого за n з дiйсними коефiцiєнтами,
\varphi (x) :=
\sqrt{}
1 - x2 та \varphi n(x) :=
\sqrt{}
n - 2 + 1 - x2.
Для кожного полiнома Pn \in \scrP n iз класичних нерiвностей Маркова
\| P \prime
n\| \leq n2\| Pn\| ,
Бернштейна
\| P \prime
n\varphi \| \leq n\| Pn\|
та оцiнки \varphi n(x) \leq
1
n
+ \varphi (x), x \in [ - 1, 1], безпосередньо випливає нерiвнiсть
\| P \prime
n\varphi n\| \leq 1
n
\| P \prime
n\| + \| P \prime
n\varphi \| \leq 2n\| Pn\| .
Узагальненням цiєї нерiвностi на довiльне s \in \BbbR є класична нерiвнiсть Дзядика [1, 2, c. 262],
яку запишемо у виглядi
c\bigcirc В. Д. ГАЛАН, I. О. ШЕВЧУК, 2017
624 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
ТОЧНА СТАЛА В НЕРIВНОСТI ДЗЯДИКА ДЛЯ ПОХIДНОЇ ВIД АЛГЕБРАЇЧНОГО ПОЛIНОМА 625
\| P \prime
n\varphi
1 - s
n \| \leq c(s)n\| Pn\varphi
- s
n \| , (1.1)
де c(s) — стала, що залежить лише вiд s.
Основним результатом статтi є знаходження точної сталої в нерiвнoстi (1.1) для випадку
s \in \BbbN . Цiєю точною сталою є число
1 + s+ s2.
Бiльш того, в цьому випадку ми знаходимо точну сталу для кожної пари (s, n).
Позначимо
bn :=
\sqrt{}
1 +
1
n2
- 1
n
.
Теорема 1.1. Для кожних натуральних чисел k i n \geq 2k та кожного полiнома Pn \in \scrP n
виконується нерiвнiсть
\| P \prime
n\varphi
1 - k
n \| \leq
\bigl(
(1 + kbn)
2 - k
\bigr)
n\| Pn\varphi
- k
n \| . (1.2)
Теорема 1.2. Для кожних натуральних чисел k i n \geq 2k знайдеться полiном Pn \in \scrP n
такий, що
\| P \prime
n\varphi
1 - k
n \| =
\bigl(
(1 + kbn)
2 - k
\bigr)
n\| Pn\varphi
- k
n \| . (1.3)
Оскiльки bn < 1 та bn \rightarrow 1 при n \rightarrow \infty , то безпосереднiми наслiдками теорем 1 i 2 є,
вiдповiдно, теореми 1.3 та 1.4.
Теорема 1.3. Для кожних натуральних чисел k i n \geq 2k та кожного полiнома Pn \in \scrP n
виконується нерiвнiсть
\| P \prime
n\varphi
1 - k
n \| \leq (1 + k + k2)n\| Pn\varphi
- k
n \| . (1.4)
Теорема 1.4. Для кожнoго \varepsilon > 0 та кожного натурального числа k iснує номер N(k, \varepsilon )
такий, що при кожному n \geq N(k, \varepsilon ) знайдеться такий полiном Pn \in \scrP n, що
\| P \prime
n\varphi
1 - k
n \| > (1 + k + k2 - \varepsilon )n\| Pn\varphi
- k
n \| . (1.5)
2. Допомiжнi твердження. Зафiксуємо a \in (0, 1), k \in \BbbN та n \in \BbbN , n \geq 2k. Позначимо
через \scrT n простiр тригонометричних полiномiв
Tn(t) = a0 +
n\sum
m=1
(am \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}mt+ bm \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}mt)
степеня не вищого за n з дiйсними коефiцiєнтами. Нехай
w = eit, t \in \BbbR ,
та
\rho (t) := | w2 - a| =
\sqrt{}
(1 - a)2 + 4a \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 t.
Позначимо
S(w) := wn - 2k(w2 - a)k
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
626 В. Д. ГАЛАН, I. О. ШЕВЧУК
та
Q(t) := \mathrm{R}\mathrm{e}S(eit),
а також
A(t) :=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| e2it - \biggl(
1 - 2k
n
\biggr)
a
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
\sqrt{} \biggl(
1 -
\biggl(
1 - 2k
n
\biggr)
a
\biggr) 2
+ 4a
\biggl(
1 - 2k
n
\biggr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 t.
Має мiсце таке твердження.
Лема 2.1. Для полiнома Q справджуються нерiвностi
| Q(t)| \leq | S(eit)| = \rho k(t), t \in \BbbR , (2.1)
та
| Q\prime (t)| \leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ddtS(eit)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = n\rho k - 1(t)A(t), t \in \BbbR . (2.2)
Доведення. Справдi,
| Q(t)| = | \mathrm{R}\mathrm{e}S(w)| \leq | S(w)| = | w2 - a| k = \rho k(t),
тобто нерiвнiсть (2.1) доведено. Тепер, оскiльки
Q\prime (t) =
\bigl(
\mathrm{R}\mathrm{e}S(eit)
\bigr) \prime
= \mathrm{R}\mathrm{e}
d
dt
S(eit) = \mathrm{R}\mathrm{e} iw
d
dw
S(w),
то
| Q\prime (t)| \leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d
dw
S(w)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = n| w2 - a| k - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| w2 -
\biggl(
1 - 2k
n
\biggr)
a
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ,
що зумовлює (2.2).
Лему 2.1 доведено.
Нам буде потрiбна наступна теорема Бернштейна [3, с. 498]. Нехай Hl — алгебраїчний
полiном степеня l, який не має нулiв зовнi одиничного круга.
Теорема 2.1. Якщо тригонометричний полiном Tn степеня n \geq l задовольняє нерiвнiсть
| Tn(t)| \leq | Hl(e
it)|
для всiх дiйсних значень t, то
| T \prime
n(t)| \leq | (n - l)Hl(e
it) + eitH \prime
l(e
it)| .
Наслiдком теореми 2.1 є така лема.
Лема 2.2. Якщо для полiнома Tn \in \scrT n виконується нерiвнiсть
| Tn(t)| \leq \rho k(t), t \in \BbbR , (2.3)
то
| T \prime
n(t)| \leq n\rho k - 1(t)A(t), t \in \BbbR .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
ТОЧНА СТАЛА В НЕРIВНОСТI ДЗЯДИКА ДЛЯ ПОХIДНОЇ ВIД АЛГЕБРАЇЧНОГО ПОЛIНОМА 627
Доведення. Вiзьмемо l = 2k та Hl := S. Оскiльки S\prime (w) = 2kw(w2 - a)k - 1, то за теоре-
мою 2.1
| T \prime
n(t)| \leq | (n - 2k)(e2it - a)k + 2ke2it(e2it - a)k - 1| =
= n| e2it - a| k - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| e2it - \biggl(
1 - 2k
n
\biggr)
a
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = n\rho k - 1(t)A(t).
Лема 2.3. Для похiдної Q\prime полiнома Q на промiжку (0, 2\pi ] iснують 2n точок альтернансу
\eta j , тобто таких, що
0 < \eta 1 < \eta 2 < . . . < \eta 2n - 1 < \eta 2n \leq 2\pi ,
| Q\prime (\eta j)| = n\rho k - 1(\eta j)A(\eta j), j = 1, . . . , 2n,
та
Q\prime (\eta j)Q
\prime (\eta j - 1) < 0, j = 2, . . . , 2n. (2.4)
Доведення. Позначимо
S\ast (w) := iw
d
dw
S(w) = inwn - 2k(w2 - a)k - 1
\biggl(
w2 -
\biggl(
1 - 2k
n
\biggr)
a
\biggr)
.
Нагадаємо, що Q\prime (t) = \mathrm{R}\mathrm{e}S\ast (w). Рiзниця мiж кiлькiстю всiх нулiв та всiх полюсiв функ-
цiї S\ast , якi мiстяться у вiдкритому одиничному крузi, дорiвнює n або - n. Мiркуючи так само,
як в [4, с. 21, 22], помiчаємо, що внаслiдок принципу аргументу, при обходi точкою w один
раз одиничне коло проти годинникової стрiлки, аргумент функцiї S\ast збiльшується (або змен-
шується) на величину, що дорiвнює добутку числа 2\pi на рiзницю мiж кiлькiстю всiх нулiв
та всiх полюсiв функцiї S\ast , якi мiстяться у вiдкритому одиничному крузi. Тобто в даному
випадку аргумент функцiї S збiльшується (або зменшується) на 2\pi n. Iншими словами, для
функцiї f(t) := \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}S\ast (eit), t \in [0, 2\pi ], справджується рiвнiсть | f(2\pi ) - f(0)| = 2\pi n. Оскiльки
S\ast (w) \not = 0 на колi | w| = 1, то функцiя f є неперервною на [0, 2\pi ], i, отже, iснують 2n точок
\eta j , 0 < \eta 1 < \eta 2 < . . . < \eta 2n - 1 < \eta 2n \leq 2\pi , таких, що f(\eta j) = (j - j0)\pi (або f(\eta j) = (j0 - j)\pi ),
де j0 \in \BbbZ — деяке число. В цих точках | Q\prime (\eta j)| = | S\ast (\eta j)| = n\rho k - 1(\eta j)A(\eta j) та має мiсце (2.4).
Лему 2.3 доведено.
Позначимо \eta := \eta 1 i зауважимо, що Q\prime (t) \not = 0 при t \in (0, \eta ), оскiльки iнакше непарний
полiном Q\prime степеня не вищого за n на промiжку [0, 2\pi ) мав би принаймнi 2n+ 1 нуль, серед
яких точка 0, та 2n - 1 нуль на кожному з iнтервалiв (\eta j , \eta j+1), j = 1, . . . , 2n - 1. Зауважимо
також, що \eta n = \pi - \eta .
Лема 2.4. Якщо для парного полiнома Tn \in \scrT n виконується нерiвнiсть (2.3), то
| T \prime
n(t)| \leq | Q\prime (t)| , t \in [0, \eta ] \cup [\pi - \eta , \pi ].
Доведення. Припустимо вiд супротивного, що iснують парний полiном Tn \in \scrT n та точка
t0 \in (0, \eta ) такi, що має мiсце нерiвнiсть
| Tn(t)| \leq \rho k(t), t \in \BbbR ,
але
| T \prime
n(t
0)| > | Q\prime (t0)| ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
628 В. Д. ГАЛАН, I. О. ШЕВЧУК
при цьому T \prime
n(t
0) та Q\prime (t0) мають однаковий знак. Позначимо
T := T \prime
n - Q\prime .
Iз лем 2.3 та 2.4 випливає, що T (\eta j)T (\eta j+1) < 0 для всiх j = 1, . . . , 2n - 1, отже, на кожному
iнтервалi (\eta j , \eta j+1), j = 1, . . . , 2n - 1, полiном T має принаймнi один нуль. Поза тим, за
припущенням вiд супротивного та лемами 2.3 та 2.4, T (t0)T (\eta ) < 0, отже, T має ще один нуль
на iнтервалi (t0, \eta ). Нарештi, ще один нуль полiном T має в точцi 0, позаяк T є непарною
функцiєю. Таким чином, нетривiальний тригонометричний полiном степеня не вищого за n на
перiодi [0, 2\pi ) має принаймнi 2n+ 1 нуль, що неможливо. Враховуючи, що полiном T\ast (x) :=
:= T (x - \pi ) також є непарною функцiєю i \rho (t) \equiv \rho (t - \pi ), аналогiчно мiркуємо у випадку
t0 \in (\pi - \eta , \pi ).
Лему 2.4 доведено.
Лема 2.5. Виконується нерiвнiсть\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| Q\prime (t)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t\rho k - 1(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq | Q\prime \prime (0)|
\rho k - 1(0)
, t \in (0, \pi ). (2.5)
Доведення. Якщо t \in [\eta , \pi - \eta ], то, враховуючи (2.2), маємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| Q\prime (t)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t\rho k - 1(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| nA(t)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
= n
\sqrt{} \bigl(
1 -
\bigl(
1 - 2k
n
\bigr)
a
\bigr) 2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 t
+ 4a
\biggl(
1 - 2k
n
\biggr)
\leq n
A(\eta )
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \eta
=
| Q\prime (\eta )|
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \eta \rho k - 1(\eta )
,
де остання рiвнiсть є безпосереднiм наслiдком леми 2.3. Тому (2.5) досить довести для t \in (0, \eta )
(для t \in (\pi - \eta , \pi ) доведення аналогiчне). Для цього позначимо через T \in \scrT n - 1 полiном, що
заданий на ( - \pi , \pi ) рiвнiстю
T (u) :=
\left\{
Q\prime (u)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}u
, якщо u \not = 0,
Q\prime \prime (0), якщо u = 0,
та покажемо, що | T | є спадною функцiєю на промiжку (0, t\ast ), де t\ast — нуль полiнома Q\prime
(а отже, i полiнома T ), що мiститься мiж точками \eta 1 та \eta 2. Зауважимо, що Q\prime є непарною
функцiєю, тому T \prime є непарним полiномом. Оскiльки T разом з Q\prime чергує знаки в точках \eta j ,
j = 1, . . . , n - 1, то T має принаймнi n - 3 нулi на промiжку [\eta 2, \eta n - 1]. Отже, T має принаймнi
n - 1 нуль на промiжку [t\ast , \pi - t\ast ], тому похiдна T \prime має принаймнi n - 2 нулi на промiжку
(t\ast , \pi - t\ast ). Ще принаймнi n - 2 нулi похiдна T \prime має на симетричному промiжку (t\ast - \pi , - t\ast ).
Разом з нулями в точках 0 та \pi знайдено всi нулi полiнома T \prime на перiодi ( - \pi , \pi ], i iнших нулiв
бути не може. Тобто T є монотонною функцiєю на промiжку (0, t\ast ), i, отже, | T | є спадною
функцiєю на промiжку (0, t\ast ), що зумовлює нерiвнiсть
| T (t)| \leq | T (0)| = | Q\prime \prime (0)| , t \in [0, \eta ] \subset [0, t\ast ],
яка разом з оцiнкою \rho (t) \geq \rho (0) доводить (2.5).
Лему 2.5 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
ТОЧНА СТАЛА В НЕРIВНОСТI ДЗЯДИКА ДЛЯ ПОХIДНОЇ ВIД АЛГЕБРАЇЧНОГО ПОЛIНОМА 629
Лема 2.6. Справджується рiвнiсть
| Q\prime \prime (0)| = (1 - a)k - 2| (n(1 - a) + 2ka)2 - 4ak| .
Доведення. Оскiльки
Q\prime (t) = (\mathrm{R}\mathrm{e} S(eit))\prime = \mathrm{R}\mathrm{e}S\prime (eit) = \mathrm{R}\mathrm{e} iw
d
dw
S(w) =
= \mathrm{R}\mathrm{e} i
\Bigl(
(n - 2k)wn - 2k(w2 - a)k + 2kwn - 2k+2(w2 - a)k - 1
\Bigr)
,
то
Q\prime \prime (t) = - \mathrm{R}\mathrm{e}w
d
dw
\Bigl(
(n - 2k)wn - 2k(w2 - a)k + 2kwn - 2k+2(w2 - a)k - 1
\Bigr)
=
= - \mathrm{R}\mathrm{e}wn - 2k(w2 - a)k - 2
\Bigl(
(n - 2k)2(w2 - a)2+
+4k(n - 2k + 1)w2(w2 - a) + 4k(k - 1)w4
\Bigr)
=: - \mathrm{R}\mathrm{e} \~S(w).
Оскiльки
\~S(1) = (1 - a)k - 2
\Bigl(
(n - 2k)2(1 - a)2 + 4k(n - 2k + 1)(1 - a) + 4k(k - 1)
\Bigr)
=
= (1 - a)k - 2
\Bigl(
(n(1 - a) + 2ka)2 - 4ka
\Bigr)
i, зокрема, \~S(1) є дiйсним числом, то \mathrm{R}\mathrm{e} \~S(1) = \~S(1), отже, | Q\prime \prime (0)| = | \~S(1)| .
Лему 2.6 доведено.
3. Доведення теорем 2.1 та 2.2. Далi x = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t, t \in \BbbR . Позначимо
b := bn =
\sqrt{}
1 +
1
n2
- 1
n
та a := b2n.
Тодi
1 - a =
2b
n
,
\surd
a
1 - a
=
n
2
, \rho (t) = 2b
\sqrt{}
1
n2
+ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 t = 2b\varphi n(x)
та
| Q\prime \prime (0)| = (1 - a)kn2
\bigl(
(1 + bk)2 - k
\bigr)
.
Доведення теореми 2.1. Нехай Pn – довiльний алгебраїчний полiном степеня не вищого
за n з дiйсними коефiцiєнтами такий, що
| Pn(x)| \leq \varphi k
n(x), x \in [ - 1, 1].
Pозглянемо тригонометричний полiном
Tn(t) := Pn(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)
степеня не вищого за n. Зрозумiло, що
| Tn(t)| = | Pn(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)| \leq
\biggl(
\rho (t)
2b
\biggr) k
(3.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
630 В. Д. ГАЛАН, I. О. ШЕВЧУК
та
| T \prime
n(t)| = | P \prime
n(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)| | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t| .
Отже, для завершення доведення потрiбно перевiрити нерiвнiсть
| T \prime
n(t)| \leq n\varphi k - 1
n (t)
\bigl(
(1 + kb)2 - k
\bigr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t, t \in [0, \pi ],
або, що те ж саме, нерiвнiсть
(2b)k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| T \prime
n(t)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t\rho k - 1(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq | Q\prime \prime (0)|
\rho k - 1(0)
, t \in (0, \pi ). (3.2)
Для цього запишемо оцiнку (3.1) у виглядi
(2b)k| Tn(t)| \leq \rho k(t), t \in \BbbR ,
що уможливлює застосування лем 2.2 та 2.4 до полiнома (2b)kTn. Отже, якщо t \in (0, \eta ], то за
лемою 2.4 (2b)k| T \prime
n(t)| \leq | Q\prime
n(t)| , i нерiвнiсть (3.2) випливає з леми 2.5. Так само перевiряєть-
ся (3.2) для t \in [\pi - \eta , \pi ).
Нарештi, якщо t \in (\eta , \pi - \eta ), то внаслiдок (3.1) та леми 2.2
(2b)k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| T \prime
n(t)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t\rho k - 1(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| nA(t)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
= n
\sqrt{} \bigl(
1 -
\bigl(
1 - 2k
n
\bigr)
a
\bigr) 2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 t
+ 4a
\biggl(
1 - 2k
n
\biggr)
\leq n
A(\eta )
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \eta
=
| Q\prime (\eta )|
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \eta \rho k - 1(\eta )
,
де остання рiвнiсть є безпосереднiм наслiдком леми 2.3. Тепер нерiвнiсть (3.2) знову випливає
з леми 2.5.
Теорему 2.1 доведено.
Доведення теореми 2.2. За шуканий алгебраїчний полiном Pn можно взяти такий, що
Pn(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t) = Q(t), тобто для x \in [ - 1, 1]
Pn(x) := Q(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x).
Справдi, за лемою 2.1 та рiвнiстю \rho (t) = 2b\varphi n(x), x = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t,
\| Pn\varphi
- k
n \| = (2b)k,
а за лемами 2.5 та 2.6
\| P \prime
n\varphi
1 - k
n \| = (2b)k - 1 | Q\prime \prime (0)|
\rho k - 1(0)
= (2b)k - 1 (1 - a)kn2((1 + bk)2 - k)
\rho k - 1(0)
=
=
\bigl(
(1 + kb)2 - k
\bigr)
n\| Pn\varphi
- k
n \| .
Теорему 2.2 доведено.
Лiтература
1. Дзядык В. К. О конструктивной характеристике функций, удовлетворяющих условию Lip\alpha (0 < \alpha < 1) на
конечном отрезке действительной оси // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1966. – 20. – С. 623 – 642.
2. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. – М.: Наука, 1977. – 512 с.
3. Бернштейн С. Н. Об оценках производных многочленов // Собр. соч. – М., 1952. – Т. 1. – С. 497 – 499.
4. Дзядык В. К. Аппроксимационные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. – Киев:
Наук. думка, 1988. – 304 с.
Одержано 27.03.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1721 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:21Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/46/9354e9f8635b6998bac7fea8a6567c46.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17212019-12-05T09:24:56Z Exact constant in the Dzyadyk inequality for the derivative of an algebraic polynomial Точна стала в нерiвностi Дзядика для похiдної вiд алгебраїчного полiнома Galan, V. D. Shevchuk, I. A. Галан, В. Д. Шевчук, І. О. For natural $k$ and $n \geq 2k$, we determine the exact constant $c(n, k)$ in the Dzyadyk inequality $$|| P^{\prime}_n\varphi^{1-k}_n ||_{C[ 1,1]} \leq c(n, k)n\| P_n\varphi^{-k}_n \|_{C[ 1,1]}$$ for the derivative $P^{\prime}_n$ of an algebraic polynomial $P_n$ of degree $\leq n$, where $$\varphi_n(x) := \sqrt{n^{-2} + 1 - x_2,} .$$ Namely, $$c(n, k) = \biggl( 1 + k \frac{\sqrt{ 1 + n^2} - 1}{n} \biggr)^2 - k.$$ Для натуральных $k$ и $n \geq 2k$ найдена точная постоянная $c(n, k)$ в неравенстве Дзядыка $$|| P^{\prime}_n\varphi^{1-k}_n ||_{C[ 1,1]} \leq c(n, k)n\| P_n\varphi^{-k}_n \|_{C[ 1,1]}$$ для производной $P^{\prime}_n$ многочлена $P_n$ степени не больше $n$, где $$\varphi_n(x) := \sqrt{n^{-2} + 1 - x_2,} $$ а именно, $$c(n, k) = \biggl( 1 + k \frac{\sqrt{ 1 + n^2} - 1}{n} \biggr)^2 - k.$$ Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1721 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 5 (2017); 624-630 Український математичний журнал; Том 69 № 5 (2017); 624-630 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1721/703 Copyright (c) 2017 Galan V. D.; Shevchuk I. A. |
| spellingShingle | Galan, V. D. Shevchuk, I. A. Галан, В. Д. Шевчук, І. О. Exact constant in the Dzyadyk inequality for the derivative of an algebraic polynomial |
| title | Exact constant in the Dzyadyk inequality for the derivative of an
algebraic polynomial |
| title_alt | Точна стала в нерiвностi Дзядика для похiдної вiд алгебраїчного полiнома |
| title_full | Exact constant in the Dzyadyk inequality for the derivative of an
algebraic polynomial |
| title_fullStr | Exact constant in the Dzyadyk inequality for the derivative of an
algebraic polynomial |
| title_full_unstemmed | Exact constant in the Dzyadyk inequality for the derivative of an
algebraic polynomial |
| title_short | Exact constant in the Dzyadyk inequality for the derivative of an
algebraic polynomial |
| title_sort | exact constant in the dzyadyk inequality for the derivative of an
algebraic polynomial |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1721 |
| work_keys_str_mv | AT galanvd exactconstantinthedzyadykinequalityforthederivativeofanalgebraicpolynomial AT shevchukia exactconstantinthedzyadykinequalityforthederivativeofanalgebraicpolynomial AT galanvd exactconstantinthedzyadykinequalityforthederivativeofanalgebraicpolynomial AT ševčukío exactconstantinthedzyadykinequalityforthederivativeofanalgebraicpolynomial AT galanvd točnastalavnerivnostidzâdikadlâpohidnoívidalgebraíčnogopolinoma AT shevchukia točnastalavnerivnostidzâdikadlâpohidnoívidalgebraíčnogopolinoma AT galanvd točnastalavnerivnostidzâdikadlâpohidnoívidalgebraíčnogopolinoma AT ševčukío točnastalavnerivnostidzâdikadlâpohidnoívidalgebraíčnogopolinoma |