Padé approximants for some classes of multivariate functions
We extend Dzyadyk’s method of generalized moment representations to the multidimensional case and, on this basis, construct and investigate the Pad´e-type approximants for some classes of multivariate functions.
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1722 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507568189734912 |
|---|---|
| author | Holub, A. P. Lysenko, L. O. Голуб, А. П. Лисенко, Л. О. |
| author_facet | Holub, A. P. Lysenko, L. O. Голуб, А. П. Лисенко, Л. О. |
| author_sort | Holub, A. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:24:56Z |
| description | We extend Dzyadyk’s method of generalized moment representations to the multidimensional case and, on this basis,
construct and investigate the Pad´e-type approximants for some classes of multivariate functions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.53
А. П. Голуб, Л. О. Лисенко (Iн-т математики НАН України, Київ)
АПРОКСИМАНТИ ТИПУ ПАДЕ
ДЕЯКИХ КЛАСIВ ФУНКЦIЙ КIЛЬКОХ ЗМIННИХ
We extend Dzyadyk’s method of generalized moment representations to the multidimensional case and, on this basis,
construct and investigate the Padé-type approximants for some classes of multivariate functions.
С помощью распространения метода обобщенных моментных представлений В. К. Дзядыка на многомерный случай
построены и исследованы аппроксиманты типа Паде для некоторых классов функций нескольких переменных.
Одним iз найбiльш ефективних i поширених апаратiв рацiональної апроксимацiї аналiтичних
функцiй є апроксиманти Паде. Питанням побудови та дослiдження апроксимацiй типу Паде
функцiй багатьох змiнних займаються вже понад сорок рокiв. Їхньому вивченню i застосуванню
присвячено велику кiлькiсть робiт (див., наприклад, [1, 2], а також бiблiографiю в [3]).
У 1981 р. В. К. Дзядик [4] запропонував метод узагальнених моментних зображень, який
дозволив з єдиних позицiй розглядати питання, пов’язанi з вивченням апроксимант Паде ба-
гатьох важливих спецiальних функцiй, зокрема, таких, що не належать до класу марковських
функцiй. Даний пiдхiд було розвинуто А. П. Голубом в [5, 6].
Вказаний пiдхiд було поширено на багатовимiрний випадок (див. [7]). Метою даної статтi
є побудова апроксимант типу Паде для деяких класiв функцiй кiлькох змiнних спецiального
вигляду.
Наведемо вiдповiдне означення.
Означення 1 [7]. Узагальненим моментним зображенням d-вимiрної числової послiдов-
ностi \{ sk\} k\in \BbbZ d
+
на добутку лiнiйних просторiв X та Y за означеною на цьому добутку
бiлiнiйною формою \langle , \rangle називається сукупнiсть рiвностей
sk+j = \langle xk, yj\rangle , \bfk , \bfj \in \BbbZ d
+, (1)
де \{ xk\} k\in \BbbZ d
+
\subset X , \{ yj\} j\in \BbbZ d
+
\subset Y .
Розглянемо формальний степеневий ряд за d змiнними
f(\bfz ) =
\sum
k\in \BbbZ d
+
sk\bfz
k, (2)
де \bfz = (z1, z2, . . . , zd) \in \BbbC d, \bfk = (k1, k2, . . . , kd) \in \BbbZ d
+, \bfz
k = zk11 zk22 . . . zkdd .
Введемо для зручностi ряд позначень.
Для p = 0, 1, . . . , d позначимо \Omega p =
\bigl\{
\omega \subseteq \{ 1, 2, . . . , d
\bigr\}
: | \omega | = p\} . Впорядкуємо елемен-
ти кожної з множин \omega \in \Omega p : \omega = \{ l1(\omega ), l2(\omega ), . . . , lp(\omega )\} так, що 1 \leq l1(\omega ) < l2(\omega ) < . . .
. . . < lp(\omega ) \leq d. Те ж саме зробимо з елементами доповнення
\omega = \{ 1, 2, . . . , d\} \setminus \omega = \{ m1(\omega ),m2(\omega ), . . . ,md - p(\omega )\} \in \Omega d - p
так, що
1 \leq m1(\omega ) < m2(\omega ) < . . . < md - p(\omega ) \leq d.
c\bigcirc А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЛИСЕНКО, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5 631
632 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЛИСЕНКО
Для кожної множини \omega \in \Omega p, p = 1, . . . , d, введемо позначення
\bfitdelta (\omega ) = (\delta 1(\omega ), \delta 2(\omega ), . . . , \delta d(\omega )),
де
\delta i(\omega ) =
\left\{ 0 при i \in \omega ,
1 при i \not \in \omega ,
\bfitvarepsilon (\omega ) = (\varepsilon 1(\omega ), \varepsilon 2(\omega ), . . . , \varepsilon d(\omega )).
Тут
\varepsilon i(\omega ) =
\left\{ - 1 при i \in \omega ,
1 при i \not \in \omega ,
так що
\delta i(\omega ) =
\varepsilon i(\omega ) + 1
2
, i = 1, 2, . . . , d.
Позначимо також \bfzero = (0, 0, . . . , 0) \in \BbbZ d
+, \bfone = (1, 1, . . . , 1) \in \BbbZ d
+, так що \bfone = \bfitdelta (\varnothing ), \bfzero =
= \bfitdelta
\bigl(
\{ 1, 2, . . . , d\}
\bigr)
.
Для векторiв \bfa ,\bfb \in \BbbZ d
+, \bfa = (a1, a2, . . . , ad), \bfb = (b1, b2, . . . , bd), через \bfa \circ \bfb позначимо
покоординатний добуток векторiв \bfa та \bfb : \bfa \circ \bfb = (a1b1, a2b2, . . . , adbd).
Для кожного вектора \bfa = (a1, a2, . . . , ad) \in \BbbZ d
+ позначимо
\Delta (\bfa ) =
\Bigl\{
\bfj = (j1, j2, . . . , jd) \in \BbbZ d
+ : ji \in \{ 0, 1, . . . , ai\} , i = 1, 2, . . . , d
\Bigr\}
.
Розглянемо при фiксованому \bfN \in \BbbZ d
+ деяку неперервну функцiю \Phi N : \BbbR d
+ \rightarrow \BbbR , яка має
такi властивостi:
1) множина D\Phi N
= \{ \bfx \in \BbbR d
+| \Phi N(\bfx ) \leq 0\} є обмеженою в \BbbR d
+;
2) потужнiсть множини D\Phi N
\bigcap
\{ \bfx \in \BbbZ d
+| xi \geq Ni, i = 1, 2, . . . , d\} дорiвнює
\prod d
i=1
(Ni +
+ 1) - 1;
3) для всiх i = 1, 2, . . . , d iснують однозначно визначенi функцiї
xi = \varphi i(x1, x2, . . . , xi - 1, xi+1, . . . , xd)
для (x1, x2, . . . , xi - 1, xi+1, . . . , xd) \in Di := \{ (x1, x2, . . . , xi - 1, xi+1, . . . , xd) \in \BbbR d - 1
+ | \exists xi \in \BbbR + :
\Phi N(\bfx ) \leq 0\} такi, що \Phi N(x1, x2, . . . , xi - 1, \varphi i(x1, x2, . . . , xi - 1, xi+1, . . . , xd), xi+1, . . . , xd) \equiv 0;
4) при кожному i = 1, 2, . . . , d
\varphi i(x1, x2, . . . , xi - 1, xi+1, . . . , xd) \geq Ni \forall (x1, x2, . . . , xi - 1, xi+1, . . . , xd) \in Di.
З урахуванням цих позначень встановлено результат, що дозволяє для рядiв вигляду (2)
з коефiцiєнтами, для яких справедливими є зображення вигляду (1), будувати їх d-вимiрнi
апроксиманти типу Паде.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
АПРОКСИМАНТИ ТИПУ ПАДЕ ДЕЯКИХ КЛАСIВ ФУНКЦIЙ КIЛЬКОХ ЗМIННИХ 633
Теорема 1 [7]. Нехай для коефiцiєнтiв формального степеневого ряду вигляду (2) справ-
джується узагальнене моментне зображення вигляду (1). Якщо для деякого \bfN \in \BbbN d iснує
узагальнений полiном вигляду
YN =
\sum
j\in \Delta (N)
c
(N)
j yj
такий, що c
(N)
N \not = 0, i при \bfk \in \{ \bfk \in \BbbZ d
+ : \bfk +\bfN \in D\Phi N
\} виконуються умови бiортогональностi
\langle xk, YN\rangle = 0,
то рацiональна функцiя
[M /N ]f (\bfz ) =
P (\bfz )
Q(z)
,
де
Q(z) =
\sum
j\in \Delta (N)
c
(N)
N - j\bfz
j,
а
P (\bfz ) =
=
d - 1\sum
p=0
\sum
\omega \in \Omega p
p\prod
r=1
z
Nlr(\omega )
lr(\omega )
\sum
0\leq kmi(\omega )\leq Nmi(\omega ) - 1,i=1,2,...,d - p
\Phi N(k)\leq 0
\bfz k
\sum
j\in \Delta (\bfitdelta (\omega )\circ N+\bfitdelta (\omega )\circ k)
c\bfitdelta (\omega )\circ N+\bfitvarepsilon (\omega )\circ jsk+\bfitvarepsilon (\omega )\circ j,
має розвинення у степеневий ряд, коефiцiєнти якого збiгаються з коефiцiєнтами ряду (2) для
всiх \bfk \in D\Phi N
\cap \BbbZ d
+, а отже, ця рацiональна функцiя є d-вимiрною апроксимантою типу
Паде ряду (2) порядку [M /N ], де M = D\Phi N
\cap \BbbZ d
+ \setminus \{ \bfx \in \BbbZ d
+ : xi \geq Ni, i = 1, 2, . . . , d\} ,
а N = \Delta (\bfN ).
Узагальненi моментнi зображення вигляду (1) можна записати також в операторному вигля-
дi. Припустимо, що лiнiйнi простори X та Y є нормованими, бiлiнiйна форма \langle \cdot , \cdot \rangle — нарiзно
неперервною i у просторi X задано попарно комутуючi мiж собою обмеженi лiнiйнi оператори
Ai : X \rightarrow X , i = 1, 2, . . . , d, такi, що
Aixk = xk+ei,, i = 1, 2, . . . , d,
для кожного \bfk \in \BbbZ d
+, де \bfe i = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) = \bfone - \bfitdelta (\{ i\} ), i = 1, 2, . . . , d, а у просторi
Y iснують обмеженi лiнiйнi оператори A \star
i : Y \rightarrow Y , i = 1, 2, . . . , d, спряженi вiдповiдно до
операторiв Ai, i = 1, 2, . . . , d, вiдносно бiлiнiйної форми \langle \cdot , \cdot \rangle .
Тодi зображення (1) можна записати у виглядi
sk =
\bigl\langle
xk, y0
\bigr\rangle
=
\Biggl\langle
d\prod
i=1
Aki
i x0, y0
\Biggr\rangle
, \bfk \in \BbbZ d
+,
i ряд (2) буде збiжним в околi початку координат до аналiтичної функцiї, що має зображення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
634 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЛИСЕНКО
f(\bfz ) =
\Biggl\langle
d\prod
i=1
Rzi(Ai)x0, y0
\Biggr\rangle
,
де Rz(A) = (I - zA) - 1 — резольвентна функцiя оператора A.
Нехай X = Y = L2 ([0, 1], d\mu ) для деякої мiри, що визначається неспадною функцiєю \mu ,
яка має нескiнченну кiлькiсть точок зростання на [0, 1]. Задамо на добутку просторiв X \times Y
бiлiнiйну форму
\langle x, y\rangle =
1\int
0
x(t)y(t)d\mu (t),
яка буде нарiзно неперервною.
Розглянемо у просторi X при деякому фiксованому d1, 1 < d1 < d, обмеженi попарно
комутуючi мiж собою лiнiйнi оператори A1, A2, . . . , Ad : X \rightarrow X :
(Ap\varphi )(t) = t\varphi (t), p = 1, d1,
(Al\varphi )(t) = (1 - t)\varphi (t), l = d1 + 1, d.
У цьому випадку при x0(t), y0(t) \equiv 1 функцiю (2) запишемо у виглядi
f(\bfz ) =
\Biggl\langle
d1\prod
k=1
Rzk(A1)
d\prod
m=d1+1
Rzm(Ad)x0, y0
\Biggr\rangle
=
=
1\int
0
d\mu (t)\prod d1
k=1
(1 - zkt)
\prod d
k=d1+1
(1 - zk(1 - t))
. (3)
Очевидно,
1
1 - zm(1 - t)
=
1
1 - zm
1
1 - zmt
zm - 1
=
1
1 - zm
1
1 - \widetilde zmt
,
де \widetilde zm =
zm
zm - 1
.
В [1] було використано спiввiдношення
1\prod d
k=1
(1 - wkt)
=
1\prod
k<j
(wk - wj)
\left\{
d\sum
k=1
wd - 1
k ( - 1)k+1
\prod
p<q
p,q \not =k
(wp - wq)
1
1 - wkt
\right\} =
= ( - 1)d - 1
d\sum
k=1
wd - 1
k\prod d
p=1
p \not =k
(wp - wk)
1
1 - wkt
.
Враховуючи це та покладаючи
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
АПРОКСИМАНТИ ТИПУ ПАДЕ ДЕЯКИХ КЛАСIВ ФУНКЦIЙ КIЛЬКОХ ЗМIННИХ 635
wk =
\left\{
zk при k = 1, d1,
\widetilde zk =
zk
zk - 1
при k = d1 + 1, d,
oтримуємо
1\prod d1
k=1
(1 - zkt)
\prod d
k=d1+1
(1 - zk(1 - t))
=
=
\prod d
k=d1+1
1
1 - zk
1\prod d1
k=1
(1 - zkt)
\prod d
k=d1+1
(1 - \widetilde zkt) =
=
1\prod d
k=d1+1
(1 - zk)
( - 1)d - 1
\left\{
d1\sum
k=1
zd - 1
k\prod d1
p=1
p\not =k
(zp - zk)
\prod d
p=d1+1
(\widetilde zp - zk)
1
1 - zkt
+
+
d\sum
k=d1+1
\widetilde zd - 1
k\prod d1
p=1
(zp - \widetilde zk)\prod d
p=d1+1
p \not =k
(\widetilde zp - \widetilde zk)
1
1 - \widetilde zkt
\right\} =
= ( - 1)d - 1
\left\{
d1\sum
k=1
zd - 1
k\prod d1
p=1
p\not =k
(zp - zk)
\prod d
p=d1+1
(zp + zk - zpzk)
1
1 - zkt
+
+( - 1)d1
d\sum
k=d1+1
zd - 1
k\prod d1
p=1
(zp + zk - zpzk)
\prod d
p=d1+1
p\not =k
(zk - zp)
1
1 - zk(1 - t)
\right\} .
Коефiцiєнти sk в розвиненнi функцiї f в формальний степеневий ряд d змiнних мають
вигляд
sk = \langle xk, y0\rangle = \langle Ak1+k2+...+kd1
1 A
kd1+1+...+kd
d x0, y0\rangle =
=
1\int
0
tk1+k2+...+kd1 (1 - t)kd1+1+...+kdd\mu (t).
Для знаходження апроксиманти типу Паде для функцiї (2) за теоремою 1 нам потрiбно
побудувати полiноми
XN(t) =
N1\sum
k1=0
. . .
Nd\sum
kd=0
c
(N1,...,Nd)
k1,k2,...,kd
tk1+k2+...+kd1 (1 - t)kd1+1+...+kd ,
для яких виконуються умови бiортогональностi
\langle XN, yj\rangle = 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
636 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЛИСЕНКО
при \bfj \in
\bigl\{
(j1, j2, . . . , jd) \in \BbbZ d
+| ji \in [0, Ni], i = 1, d
\bigr\}
\setminus
\bigl\{
(N1, N2, . . . , Nd)
\bigr\}
.
Оскiльки в даному випадку XN(t) буде алгебраїчним многочленом степеня N1 +N2 + . . .
. . . + Nd, який ортогональний до многочленiв степеня, що не перевищує N1 + . . . + Nd - 1,
то вiн збiгатиметься з точнiстю до сталого множника з многочленом степеня N1 + . . . + Nd,
ортонормованим на [0, 1] за мiрою d\mu (див. [8, c. 268]):
N1\sum
k1=0
. . .
Nd\sum
kd=0
c
(N1,...,Nd)
k1,...,kd
tk1+k2+...+kd1 (1 - t)kd1+1+...+kd = PN1+N2+...+Nd
(t). (4)
З рiвностi (4) коефiцiєнти c
(N1,...,Nd)
k1,...,kd
, \bfk \in \Delta (\bfN ), можна визначити багатьма способами.
Оскiльки функцiї вигляду (2) є симетричними за своїми змiнними тодi i тiльки тодi, коли
d\mu (t) \equiv d\mu (1 - t), то потрiбно розглянути два випадки.
Випадок 1. В несиметричному випадку як один iз варiантiв знаходження коефiцiєнтiв
c
(N1,...,Nd)
k1,...,kd
, \bfk \in \Delta (\bfN ), розглянемо такий:
N1+...+Nd\sum
i=0
p
(N1+...+Nd)
i ti =
N1 - 1\sum
k1=0
ck1,0,...,0t
k1 + tN1
N2 - 1\sum
k2=0
cN1,k2,0,...,0t
k2+
+tN1+N2
N3 - 1\sum
k3=0
cN1,N2,k3,0,...,0t
k3 + . . .+ tN1+...+Nd1 - 1
Nd1
- 1\sum
kd1=0
cN1,N2,...,Nd1 - 1,kd1 ,0,...,0
tkd1+
+tN1+...+Nd1
Nd1+1 - 1\sum
kd1+1=0
cN1,...,Nd1
,kd1+1,0,...,0(1 - t)kd1+1+
+tN1+...+Nd1 (1 - t)Nd1+1
Nd1+2 - 1\sum
kd1+2=0
cN1,...,Nd1
,Nd1+1,kd1+2,0,...,0(1 - t)kd1+2 + . . .
. . .+ tN1+...+Nd1 (1 - t)Nd1+1+...+Nd - 2
Nd - 1 - 1\sum
kd - 1=0
cN1,...,Nd1
,Nd1+1,...,kd - 1,0(1 - t)kd - 1+
+tN1+...+Nd1 (1 - t)Nd1+1+...+Nd - 1
Nd\sum
kd=0
cN1,...,Nd1
,Nd1+1,...,Nd - 1,kd(1 - t)kd .
Отже, при k1 = 0, N1 - 1, k2 = . . . = kd = 0 маємо
c
(N1,...,Nd)
k1,...,kd
= p
(N1+...+Nd)
k1
.
При k1 = N1, k2 = 0, N2 - 1, k3 = . . . = kd = 0
c
(N1,...,Nd)
N1,k2,0,...,0
= p
(N1+...+Nd)
N1+k2
,
а при k1 = N1, k2 = N2, k3 = 0, N3 - 1, k4 = . . . = kd = 0
c
(N1,...,Nd)
N1,N2,k3,0,...,0
= p
(N1+...+Nd)
N1+N2+k3
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
АПРОКСИМАНТИ ТИПУ ПАДЕ ДЕЯКИХ КЛАСIВ ФУНКЦIЙ КIЛЬКОХ ЗМIННИХ 637
Продовжуючи аналогiчно, з тих самих мiркувань записуємо:
при k1 = N1, k2 = N2, . . . , kd1 - 1 = Nd1 - 1, kd1 = 0, Nd1 - 1, kd1+1 = . . . = kd = 0
c
(N1,...,Nd)
N1,N2,...,Nd1 - 1,kd1 ,0,...,0
= p
(N1+...+Nd)
N1+N2+...+Nd1 - 1+kd1
,
при k1 = N1, k2 = N2, . . . , kd1 = Nd1 , kd1+1 = 0, Nd1+1 - 1, kd1+2 = . . . = kd = 0
c
(N1,...,Nd)
N1,N2,...,Nd1
,kd1+1,0,...,0
= ( - 1)kd1+1
Nd1+1 - 1\sum
i=kd1+1
p
(N1+...+Nd)
i+N1+N2+...+Nd1
\biggl(
i
kd1+1
\biggr)
,
при k1 = N1, . . . , kd1 = Nd1 , kd1+1 = Nd1+1, kd1+2 = 0, Nd1+2 - 1, kd1+3 = . . . = kd = 0
c
(N1,...,Nd)
N1,N2,...,Nd1
,Nd1+1,kd1+2,0,...,0
= ( - 1)kd1+2
Nd1+2 - 1\sum
i=kd1+2
p
(N1+...+Nd)
i+N1+N2+...+Nd1+1
\biggl(
i
kd1+2
\biggr)
,
при k1 = N1, . . . , kd1 = Nd1 , kd1+1 = Nd1+1, kd1+2 = 0, Nd1+2 - 1, kd1+3 = . . . = kd = 0
c
(N1,...,Nd)
N1,N2,...,Nd1
,Nd1+1,kd1+2,0,...,0
= ( - 1)kd1+2
Nd1+2 - 1\sum
i=kd1+2
p
(N1+...+Nd)
i+N1+N2+...+Nd1+1
\biggl(
i
kd1+2
\biggr)
i так далi. Запишемо останнi двi рiвностi:
при k1 = N1, . . . , kd - 2 = Nd - 2, kd - 1 = 0, Nd - 1 - 1, kd = 0
c
(N1,...,Nd)
N1,N2,...,Nd - 2,kd - 1,0
= ( - 1)kd - 1
Nd - 1 - 1\sum
i=kd - 1
p
(N1+...+Nd)
i+N1+N2+...+Nd - 2
\biggl(
i
kd - 1
\biggr)
,
при k1 = N1, . . . , Nd - 1, kd = 0, Nd - 1
c
(N1,...,Nd)
N1,N2,...,Nd - 1,kd
= ( - 1)kd
Nd - 1\sum
i=kd
p
(N1+...+Nd)
i+N1+N2+...+Nd - 1
\biggl(
i
kd
\biggr)
.
Випадок 2. У симетричному випадку будемо вважати, що
N1 = N2 = . . . = Nd1 ,
Nd1+1 = Nd1+2 = . . . = Nd,
i при цьому
N1 +N2 + . . .+Nd1 = Nd1+1 +Nd1+2 + . . .+Nd.
Нехай N1 = N2 = . . . = Nd1 = N, Nd1+1 = Nd1+2 = . . . = Nd = M . Тодi d1N = (d - d1)M i
XN(t) =
N\sum
k1=0
. . .
N\sum
kd1=0
M\sum
kd1+1=0
. . .
M\sum
kd=0
c
(N1,...,Nd)
k1,...,kd
tk1+...+kd1 (1 - t)kd1+1+...+kd = P2d1N (t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
638 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЛИСЕНКО
Покладемо
ck1,k2,...,kd = 0 при k1 + k2 + . . .+ kd1 \not = kd1+1 + . . .+ kd,
ck1,k2,...,kd = \widetilde c| k| /2 при k1 + k2 + . . .+ kd1 = kd1+1 + . . .+ kd = | \bfk | /2.
Тодi
XN(t) =
2d1N\sum
m=0
\widetilde c| k| /2t\sum d1
i=1 ki(1 - t)
\sum d
i=d1+1 ki = P2d1N (t) =
2d1N\sum
i=0
p
(2d1N)
i ti.
Згiдно з лемою 3.1 (див. [9]), коефiцiєнти \widetilde cm мають вигляд
\widetilde cm =
\left\{
p
(2d1N)
0 при m = 0,
m\sum
j=1
(2m - j - 1)!j
m!(m - j)!
p
(2d1N)
j при m \geq 1.
(5)
У випадку мiри d\mu (t) = t\nu (1 - t)\sigma dt коефiцiєнти степеневого розвинення функцiї (3) є
такими:
sk =
\Gamma (k1 + k2 + . . .+ kd1 + \nu + 1)\Gamma (kd1+1 + . . .+ kd + \sigma + 1)
\Gamma (| \bfk | + \nu + \sigma + 2)
=
=
\Gamma
\biggl( \sum d1
i=1
ki + \nu + 1
\biggr)
\Gamma
\biggl( \sum d
i=d1+1
ki + \sigma + 1
\biggr)
\Gamma (| \bfk | + \nu + \sigma + 2)
. (6)
Отже, отримаємо функцiю
f(\bfz ) =
\infty \sum
k1,k2,...,kd=0
\Gamma
\biggl( \sum d1
i=1
ki + \nu + 1
\biggr)
\Gamma
\biggl( \sum d
i=d1+1
ki + \sigma + 1
\biggr)
\Gamma (| \bfk | + \nu + \sigma + 2)
zk11 . . . zkdd ,
яка буде гiпергеометричним рядом другого порядку (див. [10]).
У цьому випадку полiном XN(t) буде збiгатися з точнiстю до сталого множника з ортонор-
мованим зсунутим на [0, 1] многочленом Якобi P (\nu ,\sigma )\ast
| N| (t) степеня | \bfN | .
Запишемо явний вираз для коефiцiєнтiв ортогональних многочленiв Якобi (див. [11, с. 581],
п. 22.3.3) (сталу для зручностi покладемо рiвною 1)
P
(\nu ,\sigma )\ast
N1+...+Nd
(t) =
N1+...+Nd\sum
m=0
( - 1)m
\biggl(
N1 +. . .+Nd
m
\biggr)
\Gamma (N1 +. . .+Nd + \nu + \sigma +m+ 1)
\Gamma (\nu +m+ 1)
tm.
У випадку, коли \nu = \sigma , що вiдповiдає симетричному випадку, полiном XN буде збiгатися з
точнiстю до сталого множника з ортонормованим зсунутим на [0, 1] многочленом Гегенбауера
C
(\nu +1/2)
2d1N
.
Коефiцiєнти цього многочлена можна обчислити зi спiввiдношення зв’язку з многочленом
Якобi (див. [11, с. 584], п. 22.5.27):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
АПРОКСИМАНТИ ТИПУ ПАДЕ ДЕЯКИХ КЛАСIВ ФУНКЦIЙ КIЛЬКОХ ЗМIННИХ 639
C
(\nu )
N (t) =
(2\nu )N\biggl(
\nu +
1
2
\biggr)
N
P
(\nu - 1/2,\nu - 1/2)
N (t).
В результатi отримаємо
p
(2d1N)
i = ( - 1)i
(2\nu + 1)2d1N
(\nu + 1)2d1N
\biggl(
2d1N
i
\biggr)
\Gamma (2d1N + 2\nu + 1 + i)
\Gamma (\nu + 1 + i)
. (7)
Пiдставляючи (7) у (5), маємо
\widetilde cm=
\left\{
\Gamma 2(2d1N + 2\nu + 1)
\Gamma (2d1N + \nu + 1)\Gamma (2\nu + 1)
, m = 0,
m\sum
j=1
( - 1)j
\biggl(
2d1N
j
\biggr)
(2\nu + 1)2d1N
(\nu + 1)2d1N
(2m - j - 1)!j
m!(m - j)!
\Gamma (2d1N + 2\nu + 1 + j)
\Gamma (\nu + 1 + j)
, m \geq 1.
(8)
Отже, для багатовимiрних гiпергеометричних рядiв другого порядку вигляду
f(\bfz ) =
\infty \sum
k1,k2,...,kd=0
\Gamma
\biggl( \sum d1
i=1
ki + \nu + 1
\biggr)
\Gamma
\biggl( \sum d
i=d1+1
ki + \nu + 1
\biggr)
\Gamma (| \bfk | + 2\nu + 2)
zk11 . . . zkdd (9)
на основi теореми 1 можна побудувати апроксиманти типу Паде, а саме, має мiсце такий
результат.
Теорема 2. При кожному \bfN = (N, . . . , N,M, . . . ,M) \in \BbbN d рацiональна функцiя
[M /N ]f (\bfz ) =
P (\bfz )
Q(\bfz )
,
де
Q(\bfz ) =
\sum
j\in \Delta (N)
c
(N)
N - j\bfz
j,
P (\bfz ) =
d - 1\sum
p=0
\sum
\omega \in \Omega p
p\prod
r=1
z
Nlr(\omega )
lr(\omega )
\sum
0\leq kmi(\omega )\leq Nmi(\omega ) - 1,i=1,2,...,d - p
\Phi N(k)\leq 0
\bfz k\times
\times
\sum
j\in \Delta (\bfitdelta (\omega )\circ N+\bfitdelta (\omega )\circ k)
c\bfitdelta (\omega )\circ N+\bfitvarepsilon (\omega )\circ jsk+\bfitvarepsilon (\omega )\circ j,
\Phi N(\bfk ) = k1 + k2 + . . .+ kd - 2d1N + 1,
коефiцiєнти c
(N)
j обчислюються за формулами (8), а sk — за формулами (6), має розвинення у
степеневий ряд, коефiцiєнти якого збiгаються з коефiцiєнтами ряду Тейлора – Маклорена для
функцiї f вигляду (9) для всiх \bfk \in \{ \bfk \in \BbbZ d
+ : | \bfk | \leq 4d1N - 1\} , а отже, ця рацiональна функцiя
є d-вимiрною апроксимантою типу Паде функцiї (9) порядку [M /N ], де M = \{ \bfk \in \BbbZ d
+ :
| \bfk | \leq 4d1N - 1\} \setminus \{ \bfk \in \BbbZ d
+ : k1 \geq N1, . . . , kd \geq Nd\} , а N = \Delta (\bfN ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
640 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЛИСЕНКО
Лiтература
1. Бейкер Дж. (мл.), Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде: Пер. с англ. – М.: Мир, 1986. – 502 c.
2. Cuyt A. Padé approximants for operators: theory and applications. – Berlin: Springer-Verlag, 1984. – 138 p.
3. Голуб А. П., Чернецька Л. О. Двовимiрнi узагальненi моментнi зображення та рацiональнi апроксимацiї функцiй
двох змiнних // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 8. – С. 1035 – 1058.
4. Дзядик В. К. Про узагальнення проблеми моментiв // Доп. АН УРСР. – 1981. – № 6. – С. 8 – 12.
5. Голуб А. П. Узагальненi моментнi зображення та апроксимацiї Паде. – Київ: Iн-т математики НАН України,
2002. – 222 c.
6. Голуб А. П. Метод узагальнених моментних зображень в теорiї рацiональної апроксимацiї // Укр. мат. журн. –
2003. – 55, № 3. – С. 307 – 359.
7. Голуб А. П., Чернецька Л. О. Багатовимiрнi узагальненi моментнi зображення та апроксимацiї типу Паде для
функцiй багатьох змiнних // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 9. – С. 1166 – 1174.
8. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1979. – 416 c.
9. Голуб А. П., Чернецька Л. О. Побудова апроксимацiй Паде для деяких гiпергеометричних рядiв Аппеля за
допомогою методу узагальнених моментних зображень // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб.
праць Iн-ту математики НАН України. – 2013. – 10, № 3. – С. 69 – 94.
10. Садыков Т. М., Цих А. К. Гипергеометрические и алгебраические функции многих переменных. – М.: Наука,
2014. – 408 c.
11. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 832 c.
Одержано 29.06.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1722 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:23Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a7/249cfc122f7466a1fa42aff44cc5c4a7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17222019-12-05T09:24:56Z Padé approximants for some classes of multivariate functions Апроксиманти типу Паде деяких класів функцій кількох змінних Holub, A. P. Lysenko, L. O. Голуб, А. П. Лисенко, Л. О. We extend Dzyadyk’s method of generalized moment representations to the multidimensional case and, on this basis, construct and investigate the Pad´e-type approximants for some classes of multivariate functions. С помощью распространения метода обобщенных моментных представлений В. К. Дзядыка на многомерный случай построены и исследованы аппроксиманты типа Паде для некоторых классов функций нескольких переменных. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1722 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 5 (2017); 631-640 Український математичний журнал; Том 69 № 5 (2017); 631-640 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1722/704 Copyright (c) 2017 Holub A. P.; Lysenko L. O. |
| spellingShingle | Holub, A. P. Lysenko, L. O. Голуб, А. П. Лисенко, Л. О. Padé approximants for some classes of multivariate functions |
| title | Padé approximants for some classes of multivariate functions |
| title_alt | Апроксиманти типу Паде деяких класів функцій кількох
змінних |
| title_full | Padé approximants for some classes of multivariate functions |
| title_fullStr | Padé approximants for some classes of multivariate functions |
| title_full_unstemmed | Padé approximants for some classes of multivariate functions |
| title_short | Padé approximants for some classes of multivariate functions |
| title_sort | padé approximants for some classes of multivariate functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1722 |
| work_keys_str_mv | AT holubap padeapproximantsforsomeclassesofmultivariatefunctions AT lysenkolo padeapproximantsforsomeclassesofmultivariatefunctions AT golubap padeapproximantsforsomeclassesofmultivariatefunctions AT lisenkolo padeapproximantsforsomeclassesofmultivariatefunctions AT holubap aproksimantitipupadedeâkihklasívfunkcíjkílʹkohzmínnih AT lysenkolo aproksimantitipupadedeâkihklasívfunkcíjkílʹkohzmínnih AT golubap aproksimantitipupadedeâkihklasívfunkcíjkílʹkohzmínnih AT lisenkolo aproksimantitipupadedeâkihklasívfunkcíjkílʹkohzmínnih |