Pointwise estimation of an almost copositive approximation of continuous functions by algebraic polynomials
In the case where a function continuous on a segment $f$ changes its sign at $s$ points $y_i : 1 < y_s < y_{s-1} < ... < y_1 < 1$, for any $n \in N$ greater then a constant $N(k, y_i)$ that depends only on $k \in N$ and \$\min_{i=1,...,s-1}\{ y_i - y_{i+1}\}$, we...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1723 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507569378820096 |
|---|---|
| author | Dzyubenko, H. A. Дзюбенко, Г. А. |
| author_facet | Dzyubenko, H. A. Дзюбенко, Г. А. |
| author_sort | Dzyubenko, H. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:24:56Z |
| description | In the case where a function continuous on a segment $f$ changes its sign at $s$ points $y_i : 1 < y_s < y_{s-1} < ... < y_1 < 1$,
for any $n \in N$ greater then a constant $N(k, y_i)$ that depends only on $k \in N$ and \$\min_{i=1,...,s-1}\{ y_i - y_{i+1}\}$, we determine
an algebraic polynomial $P_n$ of degree \leq n such that: $P_n$ has the same sign as f everywhere except possibly small neighborhoods of the points $y_i$:
($$(y_i \rho_n(y_i), y_i + \rho_n(y_i)),\quad \rho_n(x) := 1/n2 + \sqrt{1 - x^2}/n,$$
$P_n(y_i) = 0$ and
$$| f(x) P_n(x)| \leq c(k, s)\omega_k(f, \rho_n(x)),\quad x \in [ 1, 1],$$
where $c(k, s)$ is a constant that depends only on $k$ and $s$ and $\omega k(f, \cdot )$ is the modulus of continuity of the function $f$ of
order $k$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Г. А. Дзюбенко (Київ)
ПОТОЧКОВА ОЦIНКА МАЙЖЕ КОПОЗИТИВНОГО НАБЛИЖЕННЯ
НЕПЕРЕРВНИХ ФУНКЦIЙ АЛГЕБРАЇЧНИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ
In the case where a function continuous on a segment f changes its sign at s points yi : - 1 < ys < ys - 1 < . . . < y1 < 1,
for any n \in \BbbN greater then a constant N(k, yi) that depends only on k \in \BbbN and \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
i=1,...,s - 1
\{ yi - yi+1\} , we determine
an algebraic polynomial Pn of degree \leq n such that: Pn has the same sign as f everywhere except possibly small
neighborhoods of the points yi :
(yi - \rho n(yi), yi + \rho n(yi)), \rho n(x) := 1/n2 +
\sqrt{}
1 - x2/n,
Pn(yi) = 0, and
| f(x) - Pn(x)| \leq c(k, s)\omega k(f, \rho n(x)), x \in [ - 1, 1],
where c(k, s) is a constant that depends only on k and s and \omega k(f, \cdot ) is the modulus of continuity of the function f of
order k
В случае, когда непрерывная на отрезке функция f меняет свой знак в s точках yi : - 1 < ys < ys - 1 < . . . < y1 < 1,
для каждого n \in \BbbN , большего некоторой постоянной N(k, yi), зависящей только от k \in \BbbN и \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
i=1,...,s - 1
\{ yi - yi+1\} ,
найден алгебраический многочлен Pn степени не больше n такой, что Pn имеет всюду тот же знак, что и функция f,
за исключением, возможно, малых окрестностей точек yi :
(yi - \rho n(yi), yi + \rho n(yi)), \rho n(x) := 1/n2 +
\sqrt{}
1 - x2/n,
Pn(yi) = 0 и
| f(x) - Pn(x)| \leq c(k, s)\omega k(f, \rho n(x)), x \in [ - 1, 1],
где c(k, s) — постоянная, зависящая только от k и s, \omega k(f, \cdot ) — модуль гладкости k-го порядка функции f.
1. Вступ. Нехай C := C[ - 1,1] — простiр неперервних на [ - 1, 1] функцiй f : [ - 1, 1] \rightarrow \BbbR з
рiвномiрною нормою
\| f\| := \| f\| [ - 1,1] = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in [ - 1,1]
| f(x)| ,
C(r) := \{ f : f (r) \in C\} , r \in \BbbN , \BbbP n — множина алгебраїчних многочленiв Pn(x) =
\sum n
j=0
ajx
j ,
aj \in \BbbR , степеня не вищого за n, n \in \BbbN , i
\rho n(x) :=
1
n2
+
\surd
1 - x2
n
, x \in [ - 1, 1].
Нагадаємо класичну поточкову оцiнку типу Нiкольського, встановлену Тiманом (для k = 1),
Дзядиком (для k = 2), Фройдом (для k = 2) та Брудним (для k \geq 3) (див., наприклад, [1, с. 244 –
256]):
Якщо функцiя f належить C, то для кожного n \in \BbbN , n \geq k - 1, k \in \BbbN , знайдеться
многочлен Pn \in \BbbP n такий, що
| f(x) - Pn(x)| \leq c(k)\omega k(f, \rho n(x)), x \in [ - 1, 1], (1.1)
де c(k) — стала, яка залежить лише вiд k, i \omega k(f, \cdot ) — модуль гладкостi k-го порядку функцiї f,
тобто
c\bigcirc Г. А. ДЗЮБЕНКО, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5 641
642 Г. А. ДЗЮБЕНКО
\omega k(f, t) := \omega k(f, t, [ - 1, 1]) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
h\in [0,t]
\| \sigma k
h(f, \cdot )\| [ - 1,1 - kh], t \in [0, 2/k],
\sigma k
h(f, x) :=
k\sum
i=0
( - 1)k - i
\Biggl(
k
i
\Biggr)
f(x+ ih)
— k-та рiзниця з кроком h функцiї f у точцi x.
Наслiдком (1.1) є рiвномiрна оцiнка
\| f - Pn\| \leq c(k)\omega k(f, 1/n), n \geq k - 1. (1.2)
У 1968 р. Lorentz i Zeller [2] отримали монотонний аналог нерiвностi (1.1) з k = 1 (тобто
для наближення монотонних на вiдрiзку функцiй iз C монотонними многочленами з \BbbP n) i
тим започаткували пошук опуклих, кусково-опуклих або коопуклих, комонотонних та iнших
аналогiв цiєї нерiвностi. У 1995 р. Kopotun [3] отримав копозитивний її аналог з k = 3. Саме
його нерiвнiсть „узагальнюється” у цiй статтi. Для її точного формулювання наведемо необхiднi
позначення.
Нехай Y := Ys позначає набiр з s \in \BbbN фiксованих точок yi :
- 1 < ys < . . . < y1 < 1.
Через \Delta (0)(Y ) позначимо множину функцiй f \in C таких, що f є невiд’ємною на [y1, 1],
недодатною на [y2, y1], невiд’ємною на [y3, y2] i т. д., тобто
f \in \Delta (0)(Y ) \leftrightarrow f(x)\Pi (x) \geq 0, \Pi (x) := \Pi (x, Y ) :=
s\prod
i=1
(x - yi).
Функцiї з \Delta (0)(Y ) називаються копозитивними (одна однiй, або мiж собою).
Теорема 1 [3]. Якщо f \in \Delta (0)(Y ), то для кожного n \in \BbbN , що бiльше за деяку сталу
N(Y ), яка залежить лише вiд \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}i=1,...,s - 1\{ yi - yi+1\} , iснує многочлен Pn \in \BbbP n такий, що
Pn \in \Delta (0)(Y ), тобто
Pn(x)\Pi (x) \geq 0, x \in [ - 1, 1], (1.3)
зокрема Pn(yi) = 0, i = 1, . . . , s, i
| f(x) - Pn(x)| \leq c(s)\omega 3(f, \rho n(x)), x \in [ - 1, 1], (1.4)
де c(s) — стала, яка залежить лише вiд s.
З (1.4) випливає оцiнка
\| f - Pn\| \leq c(s)\omega 3(f, 1/n), n \geq N(Y ), (1.5)
яку (зi сталою C(Y ) замiсть c(s) i n \geq 2) довели також Yu i Hu [4], як наслiдок аналогiчної
нерiвностi для сплайна [4].
Оцiнка (1.5), а отже i (1.4), є остаточною за порядком, тобто в нiй неможливо замiнити \omega 3
на \omega k з k > 3, тому що Zhou [5, 6] побудував функцiю f \in \Delta (0)(Y1)
\bigl(
яка є навiть ще й з C(1)
\bigr)
таку, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
ПОТОЧКОВА ОЦIНКА МАЙЖЕ КОПОЗИТИВНОГО НАБЛИЖЕННЯ НЕПЕРЕРВНИХ ФУНКЦIЙ . . . 643
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}Pn\in \BbbP n\cap \Delta (0)(Y1)
\| f - Pn\|
\omega 4(f, 1/n)
= \infty . (1.6)
Однак з комонотонного наближення (де (1.4) i (1.5) тiльки з \omega 2 замiсть \omega 3 встановлено у [7],
а (1.6) з \omega 3 i \Delta (1) замiсть \omega 4 i \Delta (0) встановлено Wu i Zhou [8]) вiдомо, що якщо послабити
умову комонотонностi для многочленiв у маленьких околах точок змiни монотонностi, то можна
збiльшити порядок комонотонного наближення на одиницю [9] i не бiльше нiж на одиницю [10].
У коопуклому наближеннi (де (1.5) встановлено в [11], (1.4) для рiзних випадкiв — у [12 –
15], а (1.6) з \Delta (2) замiсть \Delta (0) — у [8]) — приблизно така сама ситуацiя: послабивши умову
коопуклостi для многочленiв у маленьких околах точок перегину, ми отримаємо додатковий
порядок наближення, тобто \omega 4 замiсть \omega 3 у (1.5) (див. [16]) i те саме у (1.4) (див. [17]). Здається,
що тут теж бiльше нiж один додатковий порядок отримати неможливо, хоча це припущення
ще не доведено.
Досить несподiваним виявилось те, що у копозитивному наближеннi, при послабленнi умо-
ви зберiгання знака для многочлена у маленьких околах точок змiни знака функцiї, можливо
покращити наближення не на один порядок, а як завгодно, тобто так само, як при наближеннi
без обмежень (1.1). А саме, справедливою є така теорема.
Теорема 2. Якщо f належить \in \Delta (0)(Y ), то для кожного n \in \BbbN , що бiльше за деяку
сталу N(k, Y ), яка залежить лише вiд k \in \BbbN i \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}i=1,...,s - 1\{ yi - yi+1\} , iснує многочлен
Pn \in \BbbP n такий, що
Pn(x)\Pi (x) \geq 0, x \in [ - 1, 1] \setminus
s\bigcup
i=1
(yi - \rho n(yi), yi + \rho n(yi)), (1.7)
Pn(yi) = 0, i = 1, . . . , s, i
| f(x) - Pn(x)| \leq c(k, s)\omega k(f, \rho n(x)), x \in [ - 1, 1], (1.8)
де c(k, s) — стала, яка залежить лише вiд k i s.
Наслiдком (1.8) є оцiнка
\| f - Pn\| \leq c(k, s)\omega k(f, 1/n), n \geq N(k, Y ). (1.9)
Зауважимо, що для диференцiйовних функцiй з \Delta (0)(Y ) має мiсце така теорема.
Теорема 3 [18]. Якщо f належить C(1) \cap \Delta (0)(Y ), то для кожного n \in \BbbN , що бiльше за
деяку сталу N(k, Y ), яка залежить лише вiд k \in \BbbN i \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}i=1,...,s - 1\{ yi - yi+1\} , iснує многочлен
Pn \in \BbbP n такий, що Pn \in \Delta (0)(Y ), тобто
Pn(x)\Pi (x) \geq 0, x \in [ - 1, 1], (1.10)
зокрема Pn(yi) = 0, i = 1, . . . , s, i
| f(x) - Pn(x)| \leq c(k, s) \rho n(x)\omega k(f
\prime , \rho n(x)), x \in [ - 1, 1], (1.11)
\| f - Pn\| \leq c(k, s) (1/n)\omega k(f
\prime , 1/n), (1.12)
де c(k, s) — стала, яка залежить лише вiд k i s.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
644 Г. А. ДЗЮБЕНКО
Для комонотонного та коопуклого наближень диференцiйовних функцiй такi остаточнi за
порядком оцiнки у формi (1.11) (а отже, i у (1.12)) див. у [19] та [20, 21] вiдповiдно, а повний
огляд усiх випадкiв формозберiгаючого наближення алгебраїчними многочленами — у [22].
Також зауважимо, що з нерiвностi Уiтнi (2.1) випливає, що в усiх наведених вище оцiнках
сталi N(k, Y ) та c(k, s) можна замiнити на k - 1 та C(k, Y ) вiдповiдно.
2. Допомiжнi факти. Наступнi двi леми мiстять необхiднi нам властивостi двох важливих
многочленiв: многочлена Дзядика „найкращого” наближення функцiй без обмежень (лема 1) i
одного многочлена(нiв) хорошого розбиття одиницi (лема 2). Вони використовувались у бага-
тьох роботах з наближення, але ми посилатимемось лише на [1, 19, 23].
Нехай k \in \BbbN , \BbbP k \ni Lk(x, g, [a, b]) — многочлен Лагранжа, що iнтерполює g \in C[a,b]
у рiвновiддалених точках a + \nu
b - a
k
, \nu = 0, . . . , k, вiдрiзка [a, b], L0(x, g, [a, b]) := g(a),
Lk(x, g) := Lk(x, g, [ - 1, 1]). Наведемо нерiвнiсть Уiтнi [24]\bigm\| \bigm\| g - Lk - 1(\cdot , g, [a, b])
\bigm\| \bigm\|
[a,b]
\leq 3\omega k
\bigl(
g, (b - a)/k, [a, b]
\bigr)
. (2.1)
Нехай \varphi = \varphi (t) — k-мажоранта, тобто неперервна i неспадна на [0,\infty ) функцiя така, що
\varphi (0) = 0, t - k\varphi (t) не зростає при t > 0 i \Phi k - множина всiх \varphi . Вiдомо (див., наприклад, [23],
теорема 2.1), що для будь-якого k-го модуля неперервностi \omega k(g, t, [a, b]) функцiї g \in C[a,b]
iснує така \varphi \in \Phi k , що
\omega k(g, t, [a, b]) \leq \varphi (t) \leq 2k \omega k(g, t, [a, b]), t \geq 0. (2.2)
Для фiксованого парного n \in \BbbN позначимо \beta := \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x, x \in I; \alpha := \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} y, y \in I;
r := 24ks+ 3k + s+ 3;
D2r+1,n,r(y, x) :=
1
(2r)!
\partial 2r+1
\partial x2r+1
(x - y)2r
\beta +\alpha \int
\beta - \alpha
Jn,r(t)dt
— полiномiальне ядро типу Дзядика (див. [23], § 15), де
Jn,r(t) =
\biggl[
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(nt/2)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(t/2)
\biggr] 2(r+1)\Big/ \pi \int
- \pi
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(nt/2)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(t/2)
\biggr) 2(r+1)
dt
— ядро типу Джексона.
Далi c\nu := c\nu (k, s) — рiзнi невiд’ємнi сталi, що можуть залежати лише вiд фiксованих
k, s \in \BbbN . Нехай
I := [ - 1, 1], \rho := \rho n(x), x \in I.
Лема 1 ([23], лема 15.3). Якщо g \in C, то многочлен
\scrD (x, g) := \scrD n(x, g) :=
1\int
- 1
\bigl(
g(y) - Lk(y, g)
\bigr)
D2r+1,n,r(y, x)dy + Lk(x, g) \in \BbbP (r+1)(n - 1) - 1
для будь-якої \delta > 0 задовольняє нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
ПОТОЧКОВА ОЦIНКА МАЙЖЕ КОПОЗИТИВНОГО НАБЛИЖЕННЯ НЕПЕРЕРВНИХ ФУНКЦIЙ . . . 645
\bigm| \bigm| g(x) - \scrD (x, g)
\bigm| \bigm| \leq c1 \omega k
\bigl(
g, \rho , [x - \delta , x+ \delta ] \cap I
\bigr)
+ c2
\Bigl( \rho
\delta
\Bigr) r - 2k - 2
\varphi (\rho ) \leq
\leq c3\varphi (\rho ), x \in I, (2.3)
i для кожної фiксованої точки x\ast \in I — нерiвнiсть\bigm| \bigm| L\prime
k - 1 (x, g, J
\ast
n) - \scrD \prime (x, g)
\bigm| \bigm| \leq c4
\rho
\varphi (\rho ), x \in J\ast
n, (2.4)
де J\ast
n := [x\ast - \rho n(x
\ast ), x\ast + \rho n(x
\ast )] \cap I.
Нехай xj := xj,n := \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(j\pi /n), j = 0, . . . , n. Для кожного j = 1, . . . , n позначимо
Ij := Ij,n := [xj , xj - 1], hj =: hj,n := xj - 1 - xj .
Виконуються нерiвностi
hj\pm 1 \leq 3hj , \rho n(x) < hj < 5\rho n(x), x \in Ij ,
\rho 2n(y) < 4\rho n(x)
\bigl(
| x - y| + \rho n(x)
\bigr)
, x, y \in I, (2.5)
2
\bigl(
| x - y| + \rho n(x)
\bigr)
> | x - y| + \rho n(y) >
\bigl(
| x - y| + \rho n(x)
\bigr)
/2, x, y \in I.
Для фiксованих n \in \BbbN i Y позначимо (xn+1 := - 1, x - 1 = x - 2 := 1)
Oi := Oi,n,Y := (xj+1, xj - 2), якщо yi \in [xj , xj - 1), O := On,Y :=
s\bigcup
i=1
Oi.
Будемо писати j \in H, Ij \cap O = \varnothing , j = 1, . . . , n. Виберемо число N(Y ) так, що для кожного
n \geq N(Y ) будь-який iнтервал (yi+1, yi), i = 1, . . . , s - 1, мiстить принаймнi сiм рiзних вiдрiз-
кiв Ij . Далi n \geq N(Y ), i тому, зокрема, H \not = \varnothing .
Покладемо
\chi j(x) :=
\left\{ 0, якщо x \leq xj ,
1, якщо x > xj ,
j = 1, . . . , n,
K\ast
n(x, Y ) := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
i=1,...,s
| x - yi|
\rho n(yi)
, K(x) := Kn(x, Y ) := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
1,K\ast
n(x, Y )
\bigr\}
,
tj(x) := tj,n(x) :=
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 2n \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x\Bigl(
x - x0j
\Bigr) 2 +
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 2n \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x
(x - xj)
2 ,
де xj = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
j - 1
2
\biggr)
\pi /n, x0j = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta 0
j , \beta
0
j =
\biggl(
j - 1
4
\biggr)
\pi /n при j \leq n/2 i \beta 0
j =
\biggl(
j - 3
4
\biggr)
\pi /n
при j > n/2. Точки xj i x0j є нулями вiдповiдних чисельникiв i знаходяться точно в серединi
Ij , а tj \in \BbbP 4n - 2 i такi, що
tj(x) \leq
c5\bigl(
| x - xj | + hj
\bigr) 2 \leq c6 tj(x), x \in I, tj(x) \leq
103
h2j
, x \in Ij .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
646 Г. А. ДЗЮБЕНКО
Нехай B\nu := B\nu (k, s, b) — рiзнi невiд’ємнi сталi, що можуть залежати лише вiд фiксованих
k, s, b \in N. Для j \in H позначимо
Vj(x) := Vj,n(x, b, Y ) :=
1
dj
x\int
- 1
tbj(u)\Pi (u)du \in \BbbP b(4n - 2)+s,
dj := dj,n(b, Y ) :=
1\int
- 1
tbj(u)\Pi (u)du,
\Gamma j(x) := \Gamma j,n(x, b) :=
\biggl(
hj
| x - xj | + hj
\biggr) 2b \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Pi (x)\Pi (xj)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
Лема 2 ([19], лема 5.3). Якщо j \in H i b \geq 6s, то
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} dj = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\Pi (xj), B1 h
1 - 2b
j | \Pi (xj)| \leq | dj | \leq B2 h
1 - 2b
j | \Pi (xj)| ,
V \prime
j (x)\Pi (x)sign dj \geq 0, x \in I, (2.6)
B3
1
hj
\Gamma j(x) \leq
\bigm| \bigm| V \prime
j (x)
\bigm| \bigm| \leq B4
1
hj
\Gamma j(x), x \in I, (2.7)
| \chi j(x) - Vj(x)| \leq B5
\biggl(
hj
| x - xj | + hj
\biggr) 2b - s
, x \in I,
i, зокрема, для \varphi \in \Phi k
hj\varphi (hj)
\bigm| \bigm| V \prime
j (x)
\bigm| \bigm| \geq B6\varphi (\rho )
\biggl(
\rho
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x, Ij) + \rho
\biggr) 4b+k+s
K(x), x \in I, (2.8)
hj\varphi (hj)
\bigm| \bigm| V \prime
j (x)
\bigm| \bigm| \geq B6\varphi (\rho ), x \in Ij . (2.9)
Зауважимо, що \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Pi (x)\Pi (y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \biggl( | x - y|
\rho n(y)
+ 1
\biggr) s
, x \in I, y \in I\setminus O. (2.10)
3. Доведення теореми 2. Для кожного i = 1, . . . , s покладемо
Ji,n := [yi - \rho n(yi), yi + \rho n(yi)] \cap I, Jn :=
s\bigcup
i=1
Ji,n,
\scrT i(x) := V \prime
ji,n
\bigl(
x, b, Y \setminus \{ yi\}
\bigr)
,
де ji позначає iндекс j , для якого yi \in Ij (якщо таких iндексiв два, то нехай ji — менший iз
них) i b = 6ks.
Лема 3. Якщо f \in C i f(yi) = 0 при всiх i = 1, . . . , s, то многочлен
\scrQ (x, f) := \scrQ n(x, f, Y ) := \scrD (x, f) -
s\sum
i=1
\scrD (yi, f)
\scrT i(yi)
\scrT i(x) \in \BbbP 25ksn
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
ПОТОЧКОВА ОЦIНКА МАЙЖЕ КОПОЗИТИВНОГО НАБЛИЖЕННЯ НЕПЕРЕРВНИХ ФУНКЦIЙ . . . 647
задовольняє нерiвностi \bigm| \bigm| f(x) - \scrQ (x, f)
\bigm| \bigm| \leq c5 \varphi (\rho ), x \in I, (3.1)
| \Lambda (x)| :=
\bigm| \bigm| Lk - 1(x, f, Ji,n) - Lk - 1(yi, f, Ji,n) - \scrQ (x, f)
\bigm| \bigm| \leq
\leq c6 \varphi (\rho )K(x), x \in Ji,n, i = 1, . . . , s. (3.2)
Зокрема, \scrQ (yi, f) = 0, i = 1, . . . , s.
Доведення. З урахуванням (2.5) для кожного i = 1, . . . , s, згiдно з (2.3) та вiдповiдно (2.7),
(2.10), знаходимо
\bigm| \bigm| \scrD (yi, f)
\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| f(yi) - \scrD (yi; f)
\bigm| \bigm| \leq c3 \varphi (\rho n(yi)) \leq c7
\biggl(
| x - yi| + \rho
\rho
\biggr) k/2
\varphi (\rho ), x \in I, (3.3)
та
| \scrT i(yi)| \geq
c8
hji
. (3.4)
Позначимо
\alpha (x) :=
s\sum
i=1
\scrD (yi, f)
\scrT i(yi)
\scrT i(x).
З (2.5), (2.7), (2.10), (3.3) та (3.4) для будь-яких x \in I випливає нерiвнiсть
| \alpha (x)| \leq c9\varphi (\rho )
s\sum
i=1
\biggl(
| x - yi| + \rho
\rho
\biggr) k/2\biggl( hji
| x - xji | + hji
\biggr) 2b \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Pi (x, Y \setminus \{ yi\} )
\Pi (xji , Y \setminus \{ yi\} )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq c10\varphi (\rho )
s\sum
i=1
\biggl(
hji
| x - xji | + \rho
\biggr) 2b - k - s+1
\leq c11\rho \varphi (\rho )
s\sum
i=1
hji
(| x - xji | + \rho )2
\leq 2c11\varphi (\rho ). (3.5)
Звiдси та з (2.3) випливає (3.1).
З нерiвностi Дзядика для модуля похiдної алгебраїчного многочлена (див. [1], або [23,
с. 120]) випливає, що \bigm| \bigm| \alpha \prime (x)
\bigm| \bigm| \leq c12
\rho
\varphi (\rho ), x \in I. (3.6)
Нехай x \in Ji,n, i = 1, . . . , s. З (2.4), (3.6) i рiвностi \Lambda (yi) = 0 випливає оцiнка
| \Lambda (x)| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x\int
yi
\Lambda \prime (y)dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq | x - yi|
c12 + c4
\rho
\varphi (\rho ) \leq c6 \varphi (\rho )K(x).
Лему 3 доведено.
Зауважимо, що якщо f \in \Delta (0)(Y ), то з (3.1) випливає нерiвнiсть
\scrQ (x, f)\Pi (x) =
\bigl(
f(x) +\scrQ (x, f) - f(x)
\bigr)
\Pi (x) \geq - c5 \varphi (\rho )K(x) | \Pi (x)| , x \in I \setminus Jn, (3.7)
а з (3.2) для кожного i = 1, . . . , s — нерiвнiсть
\scrQ (x, f)\Pi (x) \geq - c6 \varphi (\rho )K(x)| \Pi (x)| +
+
\bigl(
Lk - 1(x, f, Ji,n) - Lk - 1(yi, f, Ji,n)
\bigr)
\Pi (x), x \in Ji,n. (3.8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
648 Г. А. ДЗЮБЕНКО
Лема 4. Многочлен
\scrU (x) := \scrU n(x, Y ) :=
\sum
j\in H
hj\varphi (hj)V
\prime
j,n(x, b, Y ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} dj \in \BbbP 25ksn
для всiх x \in I задовольняє нерiвностi
\scrU (x)\Pi (x) \geq 0, (3.9)
| \scrU (x)| \leq c13\varphi (\rho ), (3.10)
| \scrU (x)| \geq c14\varphi (\rho )K(x). (3.11)
Доведення. З (2.6) випливає (3.9). Нерiвнiсть (3.10) є наслiдком (2.5), (2.7) та (2.10). А саме,
для x \in I маємо
\bigm| \bigm| \scrU (x)\bigm| \bigm| \leq c15
\sum
j\in H
\varphi (hj) \Gamma j(x) \leq c16\varphi (\rho )
\sum
j\in H
\biggl(
| x - xj | + \rho
\rho
\biggr) k/2\biggl( hj
| x - xj | + \rho
\biggr) 2b - s
\leq
\leq c17\varphi (\rho )
\sum
j\in H
\biggl(
hj
| x - xj | + \rho
\biggr) 2b - k - s
\leq c18\rho \varphi (\rho )
n\sum
j=1
hj
(| x - xj | + \rho )2
\leq c13 \varphi (\rho ).
Для фiксованого x \in I \setminus O через j\ast позначимо будь-який (їх може бути два) iндекс j \in H
такий, що x \in Ij . Для x \in Oi, i = 1, . . . , s, покладемо j\ast := ji + 2. Отже, j\ast \in H при всiх
x \in I. З (2.5), (2.8), (2.9) знаходимо (3.11):
| \scrU (x)| \geq c19\varphi (\rho )K(x)
\sum
j\in H
\biggl(
\rho
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x, Ij) + \rho
\biggr) 4b+k+s
\geq
\geq c19\varphi (\rho )K(x)
\biggl(
\rho
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x, Ij\ast ) + \rho
\biggr) 4b+k+s
\geq c14 \varphi (\rho )K(x), x \in I.
З лем 3 i 4 випливає, що многочлен
Pn(x) := \scrQ (x, f) +
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ c5, c6\}
c14
\scrU (x) \in \BbbP 25ksn (3.12)
задовольняє нерiвностi (1.7) i (1.8). Дiйсно, оцiнка (1.8) з c(k, s) = 2k(c5 + c13\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ c5, c6\} /c14)
випливає з (2.2), (3.1), (3.10) та (3.12), а нерiвнiсть (1.7) — з (3.7) – (3.9), (3.11) та (3.12).
Теорему 2 доведено (N(k, Y ) = 25ksN(Y )).
Насамкiнець зауважимо, що нерiвнiсть (3.8) свiдчить про те, що многочлен (3.12) задоволь-
няє також i теорему 1 [3], де k = 3, тому що для будь-якої f \in \Delta (0)(Y ) iснує многочлен L2
(парабола) такий, що
\bigl(
L2(x, f, Ji,n) - L2(yi, f, Ji,n)
\bigr)
\Pi (x) \geq 0, x \in Ji,n, i = 1, . . . , s, тодi як
для k > 3 такого Lk - 1 не iснує.
Лiтература
1. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. – М.: Наука, 1977. – 512 с.
2. Lorentz G. G., Zeller K. L. Degree of approximation by monotone polynomials I // J. Approxim. Theory. – 1968. –
1, № 4. – P. 501 – 504.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
ПОТОЧКОВА ОЦIНКА МАЙЖЕ КОПОЗИТИВНОГО НАБЛИЖЕННЯ НЕПЕРЕРВНИХ ФУНКЦIЙ . . . 649
3. Kopotun K. A. Copositive approximation by algebraic polynomials // Anal. Math. – 1995. – 21, № 4. – P. 269 – 283.
4. Hu Y., Yu X. M. The degree of copositive approximation and a computer algorithm // SIAM J. Numer. Anal. – 1996. –
33, № 1. – P. 388 – 398.
5. Zhou S. P. A counterexample in copositive approximation // Isr. J. Math. – 1992. – 78. – P. 75 – 83.
6. Zhou S. P. On copositive approximation // Approxim. Theory and Appl. – 1993. – 9, № 2. – P. 104 – 110.
7. Дзюбенко Г. А. Поточечная оценка комонотонного приближения // Укр. мат. журн. – 1994. – 46, № 11. –
С. 1467 – 1472.
8. Wu X., Zhou S. P. A counterexample in comonotone approximation in Lp space // Colloq. Math. – 1993. – 64. –
P. 265 – 274.
9. Leviatan D., Shevchuk I. A. Nearly comonotone approximation // J. Approxim. Theory. – 1998. – 95. – P. 53 – 81.
10. Leviatan D., Shevchuk I. A. Nearly comonotone approximation II // Acta Sci. Math. (Szeged). – 2000. – 66. –
P. 115 – 135.
11. Kopotun K. A., Leviatan D., Shevchuk I. A. The degree of coconvex polynomial approximation // Proc. Amer. Math.
Soc. – 1999. – 127. – P. 409 – 415.
12. Дзюбенко Г. А., Залiзко В. Д. Коопукле наближення функцiй, якi мають бiльше однiєї точки перегину // Укр.
мат. журн. – 2004. – 56, № 3. – С. 352 – 365.
13. Dzyubenko G. A., Leviatan D., Shevchuk I. A. Coconvex pointwise approximation // Rend. circ. mat. Palermo. Ser.
II. Suppl. – 2010. – 82. – P. 359 – 374.
14. Dzyubenko G. A., Gilewicz J., Shevchuk I. A. Coconvex pointwise approximation // Укр. мат. журн. – 2002. – 54. –
С. 1200 – 1212.
15. Dzyubenko G. A., Gilewicz J., Shevchuk I. A. New phenomena in coconvex approximation // Anal. Math. – 2006. –
32. – P. 113 – 121.
16. Leviatan D., Shevchuk I. A. Nearly coconvex approximation // Serdica Math. J. – 2002. – 28. – P. 361 – 378.
17. Dzyubenko G. A., Gilewicz J. Nearly coconvex pointwise approximation by cubic splines and polynomials // East J.
Approxim. – 2006. – 12, № 4. – P. 417 – 439.
18. Dzyubenko G. A. Copositive and positive pointwise approximation. – Kyiv, 1994. – 14 p. – (Preprint / Inst. Math.
NAS Ukraine, № 94.38).
19. Dzyubenko G. A., Gilewicz J., Shevchuk I. A. Piecewise monotone pointwise approximation // Constr. Approxim. –
1998. – 14. – P. 311 – 348.
20. Dzyubenko G. A., Leviatan D., Shevchuk I. A. Nikolskii-type estimates for coconvex approximation of functions with
one inflection point // Jaen J. Approxim. – 2010. – 2, № 1. – P. 51 – 64.
21. Dzyubenko G. A., Leviatan D., Shevchuk I. A. Pointwise estimates of coconvex approximation // Jaen J. Approxim. –
2014. – 6, № 2. – P. 261 – 295.
22. Kopotun K. A., Leviatan D., Prymak A., Shevchuk I. A. Uniform and pointwise shape preserving approximation by
algebraic polynomials // Surv. Approxim. Theory. – 2011. – 6. – P. 24 – 74.
23. Шевчук И. А. Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций. – Киев: Наук. думка,
1992. – 225 с.
24. Whitney H. On functions with bouded n-th differences // J. math. pures et appl. – 1957. – 36, № 9. – P. 67 – 95.
Одержано 12.12.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1723 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:24Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/3d/9756ef07465ff40f3d40ebf056e8cf3d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17232019-12-05T09:24:56Z Pointwise estimation of an almost copositive approximation of continuous functions by algebraic polynomials Поточкова оцінка майже копозитивного наближення неперервних функцій алгебраїчними многочленами Dzyubenko, H. A. Дзюбенко, Г. А. In the case where a function continuous on a segment $f$ changes its sign at $s$ points $y_i : 1 < y_s < y_{s-1} < ... < y_1 < 1$, for any $n \in N$ greater then a constant $N(k, y_i)$ that depends only on $k \in N$ and \$\min_{i=1,...,s-1}\{ y_i - y_{i+1}\}$, we determine an algebraic polynomial $P_n$ of degree \leq n such that: $P_n$ has the same sign as f everywhere except possibly small neighborhoods of the points $y_i$: ($$(y_i \rho_n(y_i), y_i + \rho_n(y_i)),\quad \rho_n(x) := 1/n2 + \sqrt{1 - x^2}/n,$$ $P_n(y_i) = 0$ and $$| f(x) P_n(x)| \leq c(k, s)\omega_k(f, \rho_n(x)),\quad x \in [ 1, 1],$$ where $c(k, s)$ is a constant that depends only on $k$ and $s$ and $\omega k(f, \cdot )$ is the modulus of continuity of the function $f$ of order $k$. В случае, когда непрерывная на отрезке функция $f$ меняет свой знак в $s$ точках $y_i : 1 < y_s < y_{s-1} < ... < y_1 < 1$, для каждого $n \in N$, большего некоторой постоянной $N(k, y_i)$, зависящей только от $k \in N$ и $\min_{i=1,...,s-1}\{ y_i - y_{i+1}\}$, найден алгебраический многочлен $P_n$ степени не больше $n$ такой, что $P_n$ имеет всюду тот же знак, что и функция $f$, за исключением, возможно, малых окрестностей точек $y_i$: $$(y_i \rho_n(y_i), y_i + \rho_n(y_i)),\quad \rho_n(x) := 1/n2 + \sqrt{1 - x^2}/n,$$ $P_n(y_i) = 0$ и $$| f(x) P_n(x)| \leq c(k, s)\omega_k(f, \rho_n(x)),\quad x \in [ 1, 1],$$ где $c(k, s)$ — постоянная, зависящая только от $k$ и $s, \omega k(f, \cdot )$ — модуль гладкости $k$-го порядка функции $f$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1723 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 5 (2017); 641-649 Український математичний журнал; Том 69 № 5 (2017); 641-649 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1723/705 Copyright (c) 2017 Dzyubenko H. A. |
| spellingShingle | Dzyubenko, H. A. Дзюбенко, Г. А. Pointwise estimation of an almost copositive approximation of continuous functions by algebraic polynomials |
| title | Pointwise estimation of an almost copositive approximation of continuous
functions by algebraic polynomials |
| title_alt | Поточкова оцінка майже копозитивного наближення неперервних функцій
алгебраїчними многочленами |
| title_full | Pointwise estimation of an almost copositive approximation of continuous
functions by algebraic polynomials |
| title_fullStr | Pointwise estimation of an almost copositive approximation of continuous
functions by algebraic polynomials |
| title_full_unstemmed | Pointwise estimation of an almost copositive approximation of continuous
functions by algebraic polynomials |
| title_short | Pointwise estimation of an almost copositive approximation of continuous
functions by algebraic polynomials |
| title_sort | pointwise estimation of an almost copositive approximation of continuous
functions by algebraic polynomials |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1723 |
| work_keys_str_mv | AT dzyubenkoha pointwiseestimationofanalmostcopositiveapproximationofcontinuousfunctionsbyalgebraicpolynomials AT dzûbenkoga pointwiseestimationofanalmostcopositiveapproximationofcontinuousfunctionsbyalgebraicpolynomials AT dzyubenkoha potočkovaocínkamajžekopozitivnogonabližennâneperervnihfunkcíjalgebraíčnimimnogočlenami AT dzûbenkoga potočkovaocínkamajžekopozitivnogonabližennâneperervnihfunkcíjalgebraíčnimimnogočlenami |