Approximating properties of biharmonic Poisson operators in the classes $\hat{L}^{\psi}_{\beta, 1}$
We obtain the asymptotic equalities for the least upper bounds of the approximations of functions from the classes $\hat{L}^{\psi}_{\beta, 1}$ by biharmonic Poisson operators in the integral metric.
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1724 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507570207195136 |
|---|---|
| author | Zhyhallo, T. V. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, Т. В. Харкевич, Ю. І. |
| author_facet | Zhyhallo, T. V. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, Т. В. Харкевич, Ю. І. |
| author_sort | Zhyhallo, T. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:24:56Z |
| description | We obtain the asymptotic equalities for the least upper bounds of the approximations of functions from the classes $\hat{L}^{\psi}_{\beta, 1}$
by biharmonic Poisson operators in the integral metric. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Т. В. Жигалло, Ю. I. Харкевич (Схiдноєвроп. нац. ун-т, Луцьк)
АПРОКСИМАТИВНI ВЛАСТИВОСТI
БIГАРМОНIЧНИХ ОПЕРАТОРIВ ПУАССОНА НА КЛАСАХ \^\bfitL \bfitpsi \bfitbeta ,\bfone
We obtain the asymptotic equalities for the least upper bounds of the approximations of functions from the classes \^L\psi \beta ,1
by biharmonic Poisson operators in the integral metric.
Получены асимптотические равенства для точных верхних граней приближений функций из классов \^L\psi \beta ,1 бигар-
моническими операторами Пуассона в интегральной метрике.
1. Постановка задачi та деякi допомiжнi твердження. Нехай \^L1 — множина функцiй \varphi ,
заданих на всiй дiйснiй осi \BbbR iз скiнченною нормою \| \varphi \| \^1 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}a\in R
\int a+2\pi
a
| \varphi (t)| dt, \^L\infty —
множина вимiрних i суттєво обмежених на всiй дiйснiй осi функцiй iз скiнченною нормою
\| \varphi \| \^\infty = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in \BbbR | \varphi (t)| . Через \^C позначають множину неперервних, заданих на дiйснiй осi
функцiй iз скiнченною нормою \| f\| \^C = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x\in R| f (x)| .
У 1988 р. О. I. Степанцем [1, 2] означено множини \^L\psi \beta локально сумовних функцiй, якi
заданi на всiй числовiй осi i в загальному випадку не є перiодичними. Нехай \beta \in \BbbR i неперервна
при всiх v \geq 0 функцiя \psi (v) такi, що перетворення \^\psi \beta (t) вигляду
\^\psi \beta (t) = \^\psi (t, \beta ) =
1
\pi
\infty \int
0
\psi (v) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
vt+
\beta \pi
2
\biggr)
dv
є сумовним на всiй дiйснiй осi. Через \^L\psi \beta позначають множину функцiй f(x) \in \^L1, якi майже
для всiх x \in \BbbR можна записати у виглядi
f(x) = A0 +
\infty \int
- \infty
\varphi (x+ t) \^\psi \beta (t)dt, (1)
де A0 — деяка стала, \varphi \in \^L1, а iнтеграл слiд розумiти як границю iнтегралiв по симетричних
промiжках, що розширюються.
Якщо f \in \^L\psi \beta i при цьому \varphi \in \frakN , \frakN \subset \^L1, то кажуть, що f \in \^L\psi \beta \frakN ,
\^L\psi \beta ,1 =
\Bigl\{
f \in \^L\psi \beta : \| \varphi \| \^1 \leq 1
\Bigr\}
, \^C\psi \beta ,\infty =
\Bigl\{
f \in \^L\psi \beta \cap \^C : \| \varphi \| \^\infty \leq 1
\Bigr\}
.
Функцiю \varphi (\cdot ) iз (1) називають (\psi , \beta )-похiдною функцiї f(\cdot ) (див., наприклад, [3, c. 170]) i
позначають f\psi \beta (\cdot ).
Через \frakM позначають [4] множину додатних неперервних опуклих донизу функцiй \psi (v),
v \geq 1, для яких \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}v\rightarrow \infty \psi (v) = 0. Кожну функцiю \psi \in \frakM продовжимо на промiжок [0, 1)
таким чином, щоб:
1) отримана функцiя (яку, як i ранiше, будемо позначати через \psi (v)) була неперервною при
всiх v \geq 0, \psi (0) = 0;
2) похiдна \psi \prime (v) = \psi \prime (v + 0) мала обмежену варiацiю на промiжку [0,\infty ) i \psi (v) мала
неперервну другу похiдну на [0,\infty ) скрiзь, за винятком точки v = 1;
c\bigcirc Т. В. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ, 2017
650 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
АПРОКСИМАТИВНI ВЛАСТИВОСТI БIГАРМОНIЧНИХ ОПЕРАТОРIВ ПУАССОНА НА КЛАСАХ \^L\psi \beta ,1 651
3) \psi (v) була зростаючою та опуклою донизу на [0, 1] .
Множину таких функцiй позначимо через \frakA . Пiдмножину функцiй \psi \in \frakA , для яких\int \infty
1
\psi (t)
t
dt < \infty , позначимо через \frakA \prime . Далi, з множини \frakM видiлимо пiдмножину \frakM 0 :
\frakM 0 =
\biggl\{
\psi \in \frakM : 0 <
t
\eta (t) - t
\leq K \forall t \geq 1
\biggr\}
,
де \eta (t) = \eta (\psi , t) = \psi - 1
\biggl(
1
2
\psi (t)
\biggr)
, а \psi - 1 — функцiя, обернена до функцiї \psi . Тут i далi домо-
вимося через K, Ki позначати сталi, взагалi кажучи, не однi i тi ж у рiзних спiввiдношеннях,
якi можуть залежати вiд \psi . Якщо \psi \in \frakA i при цьому на промiжку [1,\infty ) \psi \in \frakM 0, то будемо
записувати \psi \in \frakA 0. Покладемо також \frakA 0 \cap \frakA \prime = \frakA \prime
0.
Оператор B\sigma , \sigma \in (0,\infty ), що дiє на функцiю f \in \^L\psi \beta за правилом
B\sigma (f ;x) = A0+
+
\infty \int
- \infty
f\psi \beta (x+ t)
1
\pi
\infty \int
0
\psi (v)
\Bigl[
1 +
v
2
\Bigl(
1 - e - 2/\sigma
\Bigr) \Bigr]
e - v/\sigma \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
vt+
\beta \pi
2
\biggr)
dvdt, (2)
де \psi (v) — неперервна при всiх v \geq 0 функцiя, \beta \in \BbbR , будемо називати [5] бiгармонiчним
оператором Пуассона. Повторюючи мiркування, використанi при доведеннi твердження 9.1.1
роботи [3, с. 169], неважко переконатися в тому, що за умови перiодичностi функцiй f оператор
B\sigma є вiдомим бiгармонiчним iнтегралом Пуассона (див., наприклад, [6, 7]).
У данiй роботi вивчається асимптотична поведiнка при \sigma \rightarrow \infty величини
\scrE
\Bigl(
\^L\psi \beta ,1, B\sigma
\Bigr)
\^1
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \^L\psi \beta ,1
\| f(\cdot ) - B\sigma (f ; \cdot )\| \^1 , (3)
коли \psi \in \frakA \prime
0, \beta \in \BbbR .
Апроксимативнi характеристики лiнiйних методiв пiдсумовування iнтегралiв Фур’є на кла-
сах локально сумовних функцiй вивчались О. I. Степанцем [1 – 4] та його послiдовниками (див.,
наприклад, [8 – 10]).
У перiодичному випадку задача про наближення на класах диференцiйовних функцiй у рiв-
номiрнiй метрицi за допомогою бiгармонiчних iнтегралiв Пуассона дослiджувалась С. Канiєвим
[11], P. Pych [12], Л. П. Фалалєєвим [13], а також у роботах [14 – 21].
Апроксимативнi властивостi бiгармонiчних операторiв Пуассона на класi \^C\psi \beta ,\infty у рiвномiр-
нiй метрицi у випадку, коли функцiя \psi (v) спадає до нуля при v \rightarrow \infty швидше за функцiю
1
v2
,
яка визначає порядок насичення лiнiйного методу, породженого оператором B\sigma , дослiджено
авторами в роботi [5]. Метою даної роботи є дослiдження асимптотичної поведiнки величин
(3) в iнтегральнiй метрицi у випадку функцiй малої гладкостi, тобто таких функцiй \psi (\cdot ), для
яких
\int \infty
1
v\psi (v) = \infty .
2. Наближення функцiй iз класiв \^\bfitL \bfitpsi \bfitbeta ,\bfone бiгармонiчними операторами Пуассона. По-
кладемо
\tau (v) = \tau \sigma (v;\psi ) =
\bigl(
1 - [1 + \gamma v] e - v
\bigr) \psi (\sigma v)
\psi (\sigma )
, \sigma \geq 1, (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
652 Т. В. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
\gamma :=
\sigma
2
\Bigl(
1 - e - 2/\sigma
\Bigr)
, (5)
де функцiя \psi \in \frakA є визначеною та неперервною при всiх v \geq 0. Для бiгармонiчного оператора
Пуассона вигляду (2), на пiдставi леми роботи [22], отримуємо наступне твердження.
Лема. Нехай \psi \in \frakA \prime , iнтеграл A(\tau \sigma ) вигляду
A(\tau \sigma ) =
1
\pi
\infty \int
- \infty
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
\tau (v) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
vt+
\beta \pi
2
\biggr)
dv
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt (6)
збiгається. Тодi при \sigma \rightarrow \infty має мiсце рiвнiсть
\scrE
\Bigl(
\^L\psi \beta ,1;B\sigma
\Bigr)
\^1
= \psi (\sigma )A(\tau \sigma ) + \psi (\sigma )\omega (\sigma ), (7)
де \omega (\sigma ) \leq 0 i
| \omega (\sigma )| = O
\left( \int
| t| \geq \sigma \pi /2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
\tau \sigma (v) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
vt+
\beta \pi
2
\biggr)
dv
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt
\right) . (8)
Основним результатом роботи є наступне твердження.
Теорема. Нехай \psi \in \frakA \prime
0, функцiя g(v) = v2\psi (v) опукла вгору або донизу на [b,\infty ) , b \geq 1.
Тодi при \sigma \rightarrow \infty має мiсце рiвнiсть
\scrE
\Bigl(
\^L\psi \beta ,1, B\sigma
\Bigr)
\^1
= \psi (\sigma )A(\tau \sigma ) +O
\left( 1
\sigma 2
+
1
\sigma 3
\sigma \int
1
v\psi (v)dv
\right) , (9)
де величина A(\tau \sigma ) визначена рiвнiстю (6), i для неї справджується асимптотична рiвнiсть
A(\tau \sigma ) =
1
\pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \beta \pi 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\left( 1
\sigma 2\psi (\sigma )
\sigma \int
1
v\psi (v)dv +
2
\psi (\sigma )
\infty \int
\sigma
\psi (v)
v
dv
\right) +O
\left( 1 +
1
\sigma 2\psi (\sigma )
\sigma \int
1
\psi (v)dv
\right) .
(10)
Доведення. Як випливає з леми 1, рiвнiсть (7) має мiсце в тому випадку, коли iнтеграл A(\tau \sigma ),
заданий формулою (6), є збiжним. Згiдно з теоремою 1 роботи [23], для збiжностi iнтеграла
A(\tau \sigma ) необхiдно i достатньо, щоб збiгались iнтеграли
1
2\int
0
v| d\tau \prime (v)| ,
\infty \int
1
2
| v - 1| | d\tau \prime (v)| , (11)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \beta \pi 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
| \tau (v)|
v
dv,
1\int
0
| \tau (1 - v) - \tau (1 + v)|
v
dv, (12)
де \tau (v) — неперервна при всiх v \geq 0 функцiя вигляду (4).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
АПРОКСИМАТИВНI ВЛАСТИВОСТI БIГАРМОНIЧНИХ ОПЕРАТОРIВ ПУАССОНА НА КЛАСАХ \^L\psi \beta ,1 653
Дотримуючись схеми встановлення оцiнок для iнтегралiв (11), (12), яку наведено у роботi
[24], неважко переконатися в тому, що для функцiй \psi \in \frakA \prime
0, з урахуванням опуклостi g(v) =
= v2\psi (v), при \sigma \rightarrow \infty мають мiсце рiвностi
1
2\int
0
v| d\tau \prime (v)| = O
\left( 1 +
1
\sigma 2\psi (\sigma )
\sigma \int
1
\psi (v)dv
\right) , (13)
\infty \int
1
2
| v - 1| | d\tau \prime (v)| = O(1), (14)
\infty \int
0
| \tau (v)|
v
dv =
1
2\sigma 2\psi (\sigma )
\sigma \int
1
v\psi (v)dv +
1
\psi (\sigma )
\infty \int
\sigma
\psi (v)
v
dv +O
\left( 1 +
1
\sigma 2\psi (\sigma )
\sigma \int
1
\psi (v)dv
\right) , (15)
1\int
0
| \tau (1 - v) - \tau (1 + v)| dv
v
= O
\left( 1 +
1
\sigma 2\psi (\sigma )
\sigma \int
1
\psi (v)dv
\right) . (16)
На пiдставi формул (2.14), (2.15) iз роботи [23] з урахуванням оцiнок (13) – (15) переконуємось
у справедливостi рiвностi (10).
Далi оцiнимо iнтеграл iз (8), записавши його у виглядi
\infty \int
0
\tau \sigma (v) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
vt+
\beta \pi
2
\biggr)
dv =
\Biggl( 1/\sigma \int
0
+
\infty \int
1/\sigma
\Biggr)
\tau (v) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
vt+
\beta \pi
2
\biggr)
dv. (17)
Двiчi iнтегруючи частинами обидва iнтеграли з правої частини рiвностi (17) та враховуючи,
що \tau (0)=\tau \prime (0) = 0 i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}v\rightarrow \infty \tau (v) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}v\rightarrow \infty \tau \prime (v) = 0, отримуємо
1
\pi
\infty \int
0
\tau (v) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
vt+
\beta \pi
2
\biggr)
dv =
1
\pi t2
\biggl(
\tau \prime
\biggl(
1
\sigma
- 0
\biggr)
- \tau \prime
\biggl(
1
\sigma
\biggr) \biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
t
\sigma
+
\beta \pi
2
\biggr)
-
- 1
\pi t2
1/\sigma \int
0
\tau \prime \prime (v) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
vt+
\beta \pi
2
\biggr)
dv - 1
\pi t2
\infty \int
1/\sigma
\tau \prime \prime (v) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
vt+
\beta \pi
2
\biggr)
dv,
де, згiдно з (4),
\tau \prime \prime (v) = e - v ( - 1 + 2\gamma - \gamma v)
\psi (\sigma v)
\psi (\sigma )
+
+2e - v (1 - \gamma + \gamma v)
\sigma \psi \prime (\sigma v)
\psi (\sigma )
+
\bigl(
1 - [1 + \gamma v] e - v
\bigr) \sigma 2\psi \prime \prime (\sigma v)
\psi (\sigma )
. (18)
Враховуючи, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
654 Т. В. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
\tau \prime
\biggl(
1
\sigma
- 0
\biggr)
- \tau \prime
\biggl(
1
\sigma
\biggr)
=
\Bigl(
1 -
\Bigl(
1 +
\gamma
\sigma
\Bigr)
e -
1
\sigma
\Bigr) \sigma (\psi \prime (1 - 0) - \psi \prime (1))
\psi (\sigma )
,
а також беручи до уваги нерiвнiсть
1 - e - v - \gamma ve - v \leq v
\sigma
+ v2, v \geq 0, (19)
маємо \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1\pi
\infty \int
0
\tau (v) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
vt+
\beta \pi
2
\biggr)
dv
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq K
t2\sigma \psi (\sigma )
+
1
\pi t2
\left( 1/\sigma \int
0
+
1\int
1/\sigma
+
\infty \int
1
\right) | \tau \prime \prime (v)| dv. (20)
Оскiльки, згiдно з (5), при достатньо великих \sigma має мiсце нерiвнiсть
1
\sigma
<
2\gamma - 1
\gamma
, то для
v \in
\biggl[
0,
1
\sigma
\biggr]
виконується нерiвнiсть v <
2\gamma - 1
\gamma
, або, що те саме,
- 1 + 2\gamma - \gamma v > 0. (21)
Далi, для 0 < \gamma < 1
1 - \gamma + \gamma v > 0, v \geq 0. (22)
На пiдставi (22) для функцiї k(v) = 1 - [1 + \gamma v] e - v маємо k\prime (v) > 0. Звiдси
1 - [1 + \gamma v] e - v > 0, v \geq 0. (23)
Iз спiввiдношень (18), (21) – (23), враховуючи, що функцiя \psi (\sigma v) є додатною, зростаючою,
опуклою донизу на вiдрiзку
\biggl[
0,
1
\sigma
\biggr]
, при достатньо великих \sigma отримуємо
\tau \prime \prime (v) > 0, v \in
\biggl[
0,
1
\sigma
\biggr]
. (24)
З нерiвностей \gamma < 1, 1 - \gamma <
1
\sigma
, а також (19), (24) випливає
1/\sigma \int
0
| \tau \prime \prime (v)| dv = \tau \prime
\biggl(
1
\sigma
- 0
\biggr)
= O
\biggl(
1
\sigma \psi (\sigma )
\biggr)
, \sigma \rightarrow \infty . (25)
Оцiнимо другий та третiй iнтеграли з правої частини спiввiдношення (20). Скориставшись
розробленим у [24] методом, неважко показати справедливiсть при \sigma \rightarrow \infty оцiнок
1\int
1/\sigma
| \tau \prime \prime (v)| dv = O
\left( 1
\sigma \psi (\sigma )
+
1
\sigma 2\psi (\sigma )
\sigma \int
1
v\psi (v)dv
\right) , (26)
\infty \int
1
| \tau \prime \prime (v)| dv = O (1) . (27)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
АПРОКСИМАТИВНI ВЛАСТИВОСТI БIГАРМОНIЧНИХ ОПЕРАТОРIВ ПУАССОНА НА КЛАСАХ \^L\psi \beta ,1 655
Об’єднавши формули (20), (25) – (27), при \sigma \rightarrow \infty отримаємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1\pi
\infty \int
0
\tau (v) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
vt+
\beta \pi
2
\biggr)
dv
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = O
\left( 1
\sigma \psi (\sigma )
+
1
\sigma 2\psi (\sigma )
\sigma \int
1
v\psi (v)dv
\right) 1
t2
.
Звiдси, з огляду (8), знаходимо оцiнку величини \omega (\sigma ):\int
| t| \geq \sigma \pi
2
| \^\tau \beta (t)| dt = O
\left( 1
\sigma 2\psi (\sigma )
+
1
\sigma 3\psi (\sigma )
\sigma \int
1
v\psi (v)dv
\right) .
Враховуючи останню оцiнку та спiввiдношення (7), отримуємо рiвнiсть (9).
Теорему доведено.
Зауважимо, що оцiнки для верхнiх меж наближень функцiй iз класiв \^C\psi \beta ,\infty за допомогою
бiгармонiчних операторiв Пуассона в метрицi простору \^C встановлено в роботi авторiв [5].
Iз теореми випливають наступнi твердження.
Наслiдок 1. Нехай виконуються умови теореми, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\beta \pi
2
\not = 0 i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}v\rightarrow \infty
\psi (v)
v | \psi \prime (v)|
= \infty ,
\psi \prime (v) = \psi \prime (v + 0). Тодi при \sigma \rightarrow \infty має мiсце асимптотична рiвнiсть
\scrE
\Bigl(
\^L\psi \beta ,1, B\sigma
\Bigr)
\^1
=
2
\pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \beta \pi 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
\sigma
\psi (v)
v
dv +O (\psi (\sigma )) .
Наслiдок 2. Нехай \psi \in \frakA 0, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\beta \pi
2
\not = 0, функцiя v2\psi (v) опукла вгору або донизу на
[b,\infty ) , b \geq 1,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
v\rightarrow \infty
v2\psi (v) = \infty , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\sigma \rightarrow \infty
1
\sigma 2\psi (\sigma )
\sigma \int
1
v\psi (v)dv = \infty .
Тодi при \sigma \rightarrow \infty має мiсце асимптотична рiвнiсть
\scrE
\Bigl(
\^L\psi \beta ,1, B\sigma
\Bigr)
\^1
=
1
\pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \beta \pi 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
\sigma 2
\sigma \int
1
v\psi (v)dv +O (\psi (\sigma )) .
Наслiдок 3. Нехай \psi \in \frakA 0, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\beta \pi
2
\not = 0, функцiя v2\psi (v) опукла донизу на [b,\infty ) , b \geq 1,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
v\rightarrow \infty
v2\psi (v) = K <\infty , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\sigma \rightarrow \infty
\sigma \int
1
v\psi (v)dv = \infty .
Тодi при \sigma \rightarrow \infty має мiсце асимптотична рiвнiсть
\scrE
\Bigl(
\^L\psi \beta ,1, B\sigma
\Bigr)
\^1
=
1
\pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \beta \pi 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
\sigma 2
\sigma \int
1
v\psi (v)dv +O
\biggl(
1
\sigma 2
\biggr)
.
Зауважимо, що при виконаннi умов наслiдкiв 1 – 3 асимптотичнi рiвностi, що в них наведенi,
дають розв’язок задачi Колмогорова – Нiкольського для бiгармонiчних операторiв Пуассона B\sigma
на класах \^L\psi \beta ,1 у метрицi простору \^L1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
656 Т. В. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Лiтература
1. Степанец А. И. Классы функций, заданные на действительной оси, и их приближение целыми функциями.
I // Укр. мат. журн. – 1990. – 42, № 1. – С. 102 – 112.
2. Степанец А. И. Классы функций, заданные на действительной оси, и их приближение целыми функциями.
II // Укр. мат. журн. – 1990. – 42, № 2. – С. 210 – 222.
3. Степанец А. И. Методы теории приближения. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – Ч. 2. – 468 с.
4. Степанец А. И. Методы теории приближения. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – Ч. I. – 427 с.
5. Kharkevych Yu. I., Zhyhallo T. V. Approximation of functions from the class \^C\psi \beta ,\infty by Poisson biharmonic operators
in the uniform metric // Ukr. Math. J. – 2008. – 60, № 5. – P. 769 – 798.
6. Петров В. А. Бигармонический интеграл Пуассона // Лит. мат. сб. – 1967. – 7, № 1. – С. 137 – 142.
7. Hembars’ka S. B. Tangential limit values of a biharmonic Poisson integral in a disk // Ukr. Math. J. – 1997. –
49, № 9. – P. 1317 – 1323.
8. Rukasov V. I. Approximations of functions defined on the real axis by means of de la Vallee-Poussin operators // Ukr.
Math. J. – 1992. – 44, № 5. – P. 615 – 623.
9. Rukasov V. I., Chaichenko S. O. Approximation by de la Vallee-Poussin operators on the classes of functions locally
summable on the real axis // Ukr. Math. J. – 2010. – 62, № 7. – P. 1126 – 1138.
10. Kal’chuk I. V. Approximation of (\psi , \beta )-differentiable functions defined on the real axis by Weierstrass operators //
Ukr. Math. J. – 2007. – 59, № 9. – P. 1342 – 1363.
11. Каниев С. Об уклонении бигармонических в круге функций от их граничных значений // Докл. АН СССР. –
1963. – 153, № 5. – С. 995 – 998.
12. Pych P. On a biharmonic function in unit dise // Ann. pol. math. – 1968. – 20, № 3. – P. 203 – 213.
13. Фалалеев Л. П. Полное асимптотическое разложение для верхней грани уклонения функций из \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}11 от
одного сингулярного интеграла // Теоремы вложения и их приложения: Мат. всесоюз. симп. – Алма-Ата: Наука
КазССР, 1976. – С. 163 – 167.
14. Zhigallo K. M., Kharkevych Yu. I. On the approximation of functions of the Hölder class by biharmonic Poisson
integrals // Ukr. Math. J. – 2000. – 52, № 7. – P. 1113 – 1117.
15. Zhyhallo K. M., Kharkevych Yu. I. Approximation of differentiable periodic functions by their biharmonic Poisson
integrals // Ukr. Math. J. – 2002. – 54, № 9. – P. 1462 – 1470.
16. Kharkevych Yu. I., Kal’chuk I. V. Asymptotics of the values of approximations in the mean for classes of differentiable
functions by using biharmonic Poisson integrals // Ukr. Math. J. – 2007. – 59, № 8. – P. 1224 – 1237.
17. Zhyhallo K. M., Kharkevych Yu. I. Approximation of conjugate differentiable functions by biharmonic Poisson
integrals // Ukr. Math. J. – 2009. – 61, № 3. – P. 399 – 413.
18. Zhyhallo K. M., Kharkevych Yu. I. Approximation of functions from the classes C\psi \beta ,\infty by biharmonic Poisson
integrals // Ukr. Math. J. – 2011. – 63, № 7. – P. 1083 – 1844.
19. Канiєв С. Точна оцiнка вiдхилення в середньому бiгармонiчних в крузi функцiй вiд їх граничних значень //
Доп. АН УРСР. – 1964. – № 4. – С. 451 – 453.
20. Заставный В. П. Точная оценка приближения некоторых классов дифференцируемых функций сверточными
операторами // Укр. мат. вiсн. – 2010. – 7, № 3. – С. 409 – 433.
21. Кальчук I. В., Харкевич Ю. I. Апроксимативнi властивостi бiгармонiчних iнтегралiв Пуассона на класах
W r
\beta H
\alpha // Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 11. – С. 1493 – 1504.
22. Kharkevych Yu. I., Zhyhallo T. V. Approximation of functions defined on the real axis by operators generated by
\lambda -methods of summation of their Fourier integrals // Ukr. Math. J. – 2004. – 56, № 9. – P. 1509 – 1525.
23. Баусов Л. И. Линейные методы суммирования рядов Фурье с заданными прямоугольными матрицами. I // Изв.
вузов. Математика. – 1965. – 46, № 3. – С. 15 – 31.
24. Zhyhallo K. M., Kharkevych Yu. I. Approximation of (\psi , \beta )-differentiable functions of low smoothness by biharmonic
Poisson integrals // Ukr. Math. J. – 2012. – 63, № 12. – P. 1820 – 1107.
Одержано 27.11.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1724 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:25Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/1e/554fcc7cc9095e60db79747ec0230d1e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17242019-12-05T09:24:56Z Approximating properties of biharmonic Poisson operators in the classes $\hat{L}^{\psi}_{\beta, 1}$ Апроксимативні властивості бігармонічних операторів Пуассона на класах $\hat{L}^{\psi}_{\beta, 1}$ Zhyhallo, T. V. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, Т. В. Харкевич, Ю. І. We obtain the asymptotic equalities for the least upper bounds of the approximations of functions from the classes $\hat{L}^{\psi}_{\beta, 1}$ by biharmonic Poisson operators in the integral metric. Получены асимптотические равенства для точных верхних граней приближений функций из классов $\hat{L}^{\psi}_{\beta, 1}$ бигармоническими операторами Пуассона в интегральной метрике. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1724 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 5 (2017); 650-656 Український математичний журнал; Том 69 № 5 (2017); 650-656 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1724/706 Copyright (c) 2017 Zhyhallo T. V.; Kharkevych Yu. I. |
| spellingShingle | Zhyhallo, T. V. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, Т. В. Харкевич, Ю. І. Approximating properties of biharmonic Poisson operators in the classes $\hat{L}^{\psi}_{\beta, 1}$ |
| title | Approximating properties of biharmonic Poisson operators in the classes $\hat{L}^{\psi}_{\beta, 1}$
|
| title_alt | Апроксимативні властивості бігармонічних операторів
Пуассона на класах $\hat{L}^{\psi}_{\beta, 1}$
|
| title_full | Approximating properties of biharmonic Poisson operators in the classes $\hat{L}^{\psi}_{\beta, 1}$
|
| title_fullStr | Approximating properties of biharmonic Poisson operators in the classes $\hat{L}^{\psi}_{\beta, 1}$
|
| title_full_unstemmed | Approximating properties of biharmonic Poisson operators in the classes $\hat{L}^{\psi}_{\beta, 1}$
|
| title_short | Approximating properties of biharmonic Poisson operators in the classes $\hat{L}^{\psi}_{\beta, 1}$
|
| title_sort | approximating properties of biharmonic poisson operators in the classes $\hat{l}^{\psi}_{\beta, 1}$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1724 |
| work_keys_str_mv | AT zhyhallotv approximatingpropertiesofbiharmonicpoissonoperatorsintheclasseshatlpsibeta1 AT kharkevychyui approximatingpropertiesofbiharmonicpoissonoperatorsintheclasseshatlpsibeta1 AT žigallotv approximatingpropertiesofbiharmonicpoissonoperatorsintheclasseshatlpsibeta1 AT harkevičûí approximatingpropertiesofbiharmonicpoissonoperatorsintheclasseshatlpsibeta1 AT zhyhallotv aproksimativnívlastivostíbígarmoníčnihoperatorívpuassonanaklasahhatlpsibeta1 AT kharkevychyui aproksimativnívlastivostíbígarmoníčnihoperatorívpuassonanaklasahhatlpsibeta1 AT žigallotv aproksimativnívlastivostíbígarmoníčnihoperatorívpuassonanaklasahhatlpsibeta1 AT harkevičûí aproksimativnívlastivostíbígarmoníčnihoperatorívpuassonanaklasahhatlpsibeta1 |