Direct and inverse theorems on the approximation of 2π -periodic functions by Taylor – Abel – Poisson operators
We obtain direct and inverse theorems on the approximation of 2\pi -periodic functions by Taylor – Abel – Poisson operators in the integral metric.
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1725 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507572985921536 |
|---|---|
| author | Prestin, J. Savchuk, V. V. Shydlich, A. L. Престін, Ю. Савчук, В. В. Шидліч, А. Л. |
| author_facet | Prestin, J. Savchuk, V. V. Shydlich, A. L. Престін, Ю. Савчук, В. В. Шидліч, А. Л. |
| author_sort | Prestin, J. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:24:56Z |
| description | We obtain direct and inverse theorems on the approximation of 2\pi -periodic functions by Taylor – Abel – Poisson operators
in the integral metric. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Ю. Престiн (Iн-т математики, Ун-т м. Любек, Нiмеччина),
В. В. Савчук, А. Л. Шидлiч (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРЯМI ТА ОБЕРНЕНI ТЕОРЕМИ
НАБЛИЖЕННЯ \bftwo \bfitpi -ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ
ОПЕРАТОРАМИ ТЕЙЛОРА – АБЕЛЯ – ПУАССОНА*
We obtain direct and inverse theorems on the approximation of 2\pi -periodic functions by Taylor – Abel – Poisson operators
in the integral metric.
Получены прямые и обратные теоремы приближения 2\pi -периодических функций операторами Тейлора – Абеля –
Пуассона в интегральной метрике.
Вiдомо, що довiльну функцiю f \in Lp, f \not \equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, можна наблизити її середнiми Абеля –
Пуассона f(\varrho , \cdot ) з точнiстю, не кращою за 1 - \varrho . Це пов’язано з так званою властивiстю
насичення цього методу, з якої, зокрема, випливає, що для будь-якої функцiї f \in Lp виконання
спiввiдношення \| f - f(\varrho , \cdot )\| p = o(1 - \varrho ), \varrho \rightarrow 1 - , можливе лише у тривiальному випадку,
коли f \equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}. Тому жодними додатковими обмеженнями на гладкiсть функцiї досягнути
порядку наближення, кращого за 1 - \varrho , не можна. У зв’язку з цим природним є питання про
вiдшукання лiнiйного оператора, подiбного за своїми властивостями до оператора Пуассона,
який би при цьому враховував також гладкiснi властивостi функцiй i був у певному сенсi для
заданого функцiонального класу найкращим. У роботi [1] для класiв згорток з ядрами, що
породжуються моментними послiдовностями, було запропоновано загальний спосiб побудови
таких операторiв, що враховують властивостi таких ядер, а отже, i властивостi функцiй iз
вiдповiдних класiв.
Один iз прикладiв таких операторiв — оператори A\varrho ,r, якi є основним предметом вивчення
у данiй роботi. Оператори A\varrho ,r уперше вивчалися в [2], де в термiнах цих операторiв було сфор-
мульовано структурну характеристику класiв Гардi – Лiпшиця Hr
p \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\alpha функцiй однiєї змiнної,
голоморфних в одиничному крузi комплексної площини. В роботi [3] в термiнах наближень
такими операторами у просторах Sp соболєвського типу було сформульовано конструктивний
опис класiв функцiй багатьох змiнних, узагальненi похiднi яких належать класам SpH\omega . По-
дiбнi оператори полiномiального типу вивчались у багатьох роботах (див., наприклад, [4 – 7]).
Зокрема, в [4] було знайдено порядок збiжностi вiдомих середнiх Ейлера та Тейлора до функцiй
iз деяких пiдмножин класiв Лiпшиця \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}\alpha в рiвномiрнiй метрицi. В [6] отримано аналогiчнi
результати для середнiх Тейлора в iнтегральнiй метрицi.
У цiй роботi ми продовжуємо вивчення апроксимативних властивостей операторiв A\varrho ,r.
Зокрема, встановлено зв’язок цих операторiв iз вiдомими операторами L\varrho ,r та B\varrho ,r, якi роз-
глядались, вiдповiдно, в роботах [8] та [9], а також отримано прямi та оберненi теореми на-
ближення операторами A\varrho ,r у термiнах K -функцiоналiв функцiй, породжених їх радiальними
похiдними.
* Виконано за часткової пiдтримки програми FP7-People-2011-IRSES, номер проекту 295164 (EUMLS: EU-
Ukrainian Mathematicians for Life Sciences).
c\bigcirc Ю. ПРЕСТIН, В. В. САВЧУК, А. Л. ШИДЛIЧ, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5 657
658 Ю. ПРЕСТIН, В. В. САВЧУК, А. Л. ШИДЛIЧ
Нехай Lp = Lp(\BbbT ), 1 \leq p \leq \infty , — простiр усiх функцiй f, заданих на торi \BbbT = [0, 2\pi ], зi
звичайною нормою
\| f\| p := \| f\| Lp(\BbbT ) :=
\left\{
\left( 1
2\pi
2\pi \int
0
| f(x)| pdx
\right) 1/p
, 1 \leq p < \infty ,
\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in [0,2\pi ]
| f(x)| , p = \infty .
Далi, нехай f \in L1 i коефiцiєнти Фур’є f задаються рiвностями
\widehat fk :=
1
2\pi
2\pi \int
0
f(x)e - iktdx, k \in \BbbZ .
Позначимо через f(\varrho , x), 0 \leq \varrho < 1, iнтеграл Пуассона (оператор Пуассона) функцiї f, тобто
f(\varrho , x) :=
1
2\pi
2\pi \int
0
f(t)P (\varrho , x - t)dt, (1)
де P (\varrho , t) =
1 - \varrho 2
| 1 - \varrho eit| 2
— ядро Пуассона.
Р. Лейс [8] розглянув перетворення вигляду
L\varrho ,r(f)(x) :=
r - 1\sum
k=0
dkf(x)
dnk
(1 - \varrho )k
k!
, r \in \BbbN ,
де
df(x)
dn
= - \partial f(\varrho , x)
\partial \varrho
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\varrho =1
— похiдна по нормалi функцiї f, i показав, що коли справджується спiввiдношення
\| f(\varrho , \cdot ) - L\varrho ,r(f)(\cdot )\| p = O
\biggl(
(1 - \varrho )r
r!
\biggr)
, \varrho \rightarrow 1 - ,
то drf/dnr \in Lp, 1 < p < \infty .
Згодом П. Л. Бутцер i Г. Суноучi [9] розглянули перетворення
B\varrho ,r(f)(x) :=
r - 1\sum
k=0
( - 1)
k+1
2 f\{ k\} (x)
( - \mathrm{l}\mathrm{n} \varrho )k
k!
,
де
f\{ k\} (x) =
\left\{ f (k), k \in 2\BbbZ +,\widetilde f (k), k - 1 \in 2\BbbZ +.
Ними доведено таке твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
ПРЯМI ТА ОБЕРНЕНI ТЕОРЕМИ НАБЛИЖЕННЯ 2\pi -ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 659
Теорема А [9]. Нехай f \in Lp, 1 \leq p < \infty . Тодi:
i) якщо похiднi f\{ j\} , j = 0, 1, . . . , r - 1, є абсолютно неперервними i f\{ r\} \in Lp, то
\| f(\varrho , \cdot ) - B\varrho ,r(f)(\cdot )\| p = O
\biggl(
( - \mathrm{l}\mathrm{n} \varrho )r
r!
\biggr)
, \varrho \rightarrow 1 - ; (2)
ii) якщо похiднi f\{ j\} , j = 0, 1, . . . , r - 2, r \geq 2, є абсолютно неперервними, f\{ r - 1\} \in Lp,
1 < p < \infty , i має мiсце (2), то \widetilde f\{ r - 1\} є абсолютно неперервною i \widetilde f\{ r\} \in Lp.
Наведенi результати — це апроксимацiйнi теореми наближення операторами L\varrho ,r та B\varrho ,r у
просторi Lp. Зокрема, результат Р. Лейса i твердження ii) теореми А — це оберненi теореми, а
твердження i) — пряма теорема. Прямi та оберненi теореми є центральними теоремами теорiї
наближень. Вони вивчалися багатьма авторами. Тут згадаємо лише монографiї [10 – 12], в яких
викладено основоположнi результати з цiєї тематики.
Наведенi вище результати спираються на дослiдження, проведенi в [13, 14], прямих та
обернених теорем наближення напiвгруп обмежених лiнiйних однопараметричних перетво-
рень \{ T (t)\} банахового простору X в самого себе за допомогою „многочленiв Тейлора”\sum r - 1
k=0
(tk/k!)Akf, де Af — деякий оператор напiвгрупи \{ T (t)\} .
Перетворення A\varrho ,r, розглянутi в данiй роботi, подiбнi до перетворень L\varrho ,r та B\varrho ,r, оскiльки
також будуються за принципом „многочленiв Тейлора”. Вони означаються таким чином.
Для довiльних \varrho \in [0, 1), r \in \BbbN та f \in L1 позначимо
A\varrho ,r(f)(t) :=
\sum
k\in \BbbZ
\lambda | k| ,r(\varrho ) \widehat fkeikt, (3)
де при k = 0, 1, . . . , r - 1 числа \lambda k,r(\varrho ) \equiv 1 i
\lambda k,r(\varrho ) :=
r - 1\sum
j=0
\biggl(
k
j
\biggr)
(1 - \varrho )j\varrho k - j , k = r, r + 1, . . . , \varrho \in [0, 1]. (4)
Перетворення A\varrho ,r можна розглядати як лiнiйний оператор простору L1 в себе. Дiйсно,
\lambda k,r(0) = 0 i при всiх k = r, r + 1, . . . та \varrho \in (0, 1) маємо
r - 1\sum
j=0
\biggl(
k
j
\biggr)
(1 - \varrho )j\varrho k - j \leq rqkkr - 1, де 0 < q := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 1 - \varrho , \varrho \} < 1.
Тому для довiльної функцiї f \in L1 при всiх 0 < \varrho < 1 ряд у правiй частинi спiввiдношення (3)
мажорується збiжним рядом 2r\| f\| 1
\sum \infty
k=r
qkkr - 1.
Зазначимо, що якщо функцiя f належить L1 i має ряд Фур’є степеневого типу, тобто
f(x) \sim
\sum \infty
k=0
\widehat fkeikx, то f(\varrho , x) = f(z) :=
\sum \infty
k=0
\widehat fkzk, z = \varrho eix.
Зв’язок операторiв A\varrho ,r та „многочленiв Тейлора” видно з такого твердження.
Лема 1. Нехай f належить L1. Тодi для довiльних чисел r \in \BbbN , \varrho \in [0, 1) та x \in \BbbT
A\varrho ,r(f)(x) =
r - 1\sum
k=0
\partial kf(\varrho , x)
\partial \varrho k
(1 - \varrho )k
k!
. (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
660 Ю. ПРЕСТIН, В. В. САВЧУК, А. Л. ШИДЛIЧ
Доведення. Поставимо у вiдповiднiсть функцiї f двi функцiї
f1(z) :=
\widehat f0
2
+
\infty \sum
k=1
\widehat fkzk та f2(z) :=
\widehat f0
2
+
\infty \sum
k=1
\widehat f - kz
k, (6)
голоморфнi у крузi \BbbD := \{ z \in \BbbC : | z| < 1\} .
З леми 4 роботи [2] випливає, що для довiльних z \in \BbbD виконуються рiвностi
\widehat f0
2
+
r - 1\sum
k=1
\widehat fkzk + \infty \sum
k=r
\lambda k,r(\varrho ) \widehat fkzk =
\widehat f0
2
+
r - 1\sum
k=1
zkf
(k)
1 (\varrho z)
(1 - \varrho )k
k!
(7)
та \widehat f0
2
+
r - 1\sum
k=1
\widehat f - kz
k +
\infty \sum
k=r
\lambda k,r(\varrho ) \widehat f - kz
k =
\widehat f0
2
+
r - 1\sum
k=1
zkf
(k)
2 (\varrho z)
(1 - \varrho )k
k!
, (8)
де при r = 1 сума
\sum 0
k=1
покладається рiвною нулю. Насправдi в [2] спiввiдношення вигля-
ду (7) та (8) були встановленi для z \in \BbbD , але данi обмеження не є важливими.
Додавши цi двi рiвностi при z = eix з урахуванням спiввiдношення
eikxf
(k)
1
\bigl(
\varrho eix
\bigr)
+ e - ikxf
(k)
2
\bigl(
\varrho e - ix
\bigr)
=
\partial kf(\varrho , x)
\partial \varrho k
, (9)
отримаємо (5), що i доводить лему.
Сформулюємо тепер прямi та оберненi теореми наближення операторами A\varrho ,r у термiнах
K -функцiоналiв функцiй, породжених їх радiальними похiдними. Наведемо необхiднi означен-
ня. Якщо для даної функцiї f \in L1 i натурального n iснує функцiя g \in L1 така, що
\widehat gk =
\left\{
0 при | k| < n,
| k| !
(| k| - n)!
\widehat fk при | k| \geq n,
k \in \BbbZ ,
то будемо казати, що функцiя f має радiальну похiдну g порядку n, яку позначатимемо че-
рез f [n].
Термiн „радiальна похiдна” ми вибрали з огляду на такий факт.
Якщо функцiя f [r] належить L1, то її iнтеграл Пуассона можна зобразити у виглядi спiв-
вiдношення
f [r](\varrho , x) = (f(\varrho , \cdot ))[r](x) = \varrho r
\partial rf(\varrho , x)
\partial \varrho r
\forall x \in \BbbT , \varrho \in [0, 1). (10)
Звiдси за вiдомими теоремами про граничнi значення iнтеграла Пуассона (див., наприклад, [15,
с. 27]) f [r](x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\varrho \rightarrow 1 - f [r](\varrho , x) для майже всiх x \in \BbbT .
У справедливостi спiввiдношення (10) легко переконатися шляхом почленного диференцi-
ювання по змiннiй \varrho розкладу iнтеграла Пуассона в рiвномiрно збiжний ряд
f(\varrho , x) =
\sum
k\in \BbbZ
\varrho | k| \widehat fkeikx \forall \varrho \in [0, 1), x \in \BbbT . (11)
З означення радiальної похiдної, зокрема, випливає таке правило диференцiювання:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
ПРЯМI ТА ОБЕРНЕНI ТЕОРЕМИ НАБЛИЖЕННЯ 2\pi -ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 661
якщо f(x) =
\sum
| k| \leq m
\widehat fkeikx, m \in \BbbZ +, то
f [n](x) =
\left\{
0, якщо m < n,\sum
n\leq | k| \leq m
| k| !
(| k| - n)!
fke
ikx, якщо m \geq n.
(12)
У просторi Lp K -функцiоналом функцiї f (див., наприклад, [11], гл. 6), породженим її
радiальної похiдною порядку n, називають величину
Kn(\delta , f)p := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\biggl\{
\| f - h\| p + \delta n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| h[n]\bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
: h[n] \in Lp
\biggr\}
, \delta > 0.
Нехай, далi, \omega (t), t \in [0, 1], — довiльна невiд’ємна функцiя, яка задовольняє такi умови:
1) \omega (t) неперервна на [0, 1];
2) \omega (t) \uparrow ;
3) \omega (t) \not = 0 для всiх t \in (0, 1];
4) \omega (t) \rightarrow 0 при t \rightarrow 0;
а також вiдомi умови Зигмунда – Барi – Стєчкiна (див., наприклад, [16])
\delta \int
0
\omega (t)
t
dt = O(\omega (\delta )), \delta > 0, (\scrZ )
1\int
\delta
\omega (t)
tn+1
dt = O
\biggl(
\omega (\delta )
\delta n
\biggr)
, \delta > 0, n \in \BbbN . (\scrZ n)
Основними результатами даної роботи є двi наступнi теореми.
Теорема 1. Нехай f \in Lp, 1 \leq p \leq \infty , n, r \in \BbbN , n \leq r, i функцiя \omega (t), t \in [0, 1],
задовольняє умови 1 – 4 та (\scrZ ). Тодi якщо
Kn
\Bigl(
\delta , f [r - n]
\Bigr)
p
= O(\omega (\delta )), \delta \rightarrow 0+, (13)
то
\| f - A\varrho ,r(f)\| p = O
\bigl(
(1 - \varrho )r - n\omega (1 - \varrho )
\bigr)
, \varrho \rightarrow 1 - . (14)
Теорема 2. Нехай f \in Lp, 1 \leq p \leq \infty , n, r \in \BbbN , n \leq r, i функцiя \omega (t), t \in [0, 1],
задовольняє умови 1 – 4, (\scrZ ) та (\scrZ n). Тодi якщо виконується спiввiдношення (14), то f [r - n] \in
\in Lp i спiввiдношення (13) також виконується.
Зазначимо, що у випадку, коли функцiя \omega (t) степенева: \omega (t) = t\alpha , \alpha > 0, теореми 1, 2 було
анонсовано в [17].
Зауваження 1. При даному n \in \BbbN умова (\scrZ n) забезпечує виконання спiввiдношення
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\delta \rightarrow 0+(\delta
- n\omega (\delta )) > 0 або, що рiвносильно, (1 - \varrho )r - n\omega (1 - \varrho ) \gg (1 - \varrho )r при \varrho \rightarrow 1 - .
Тому за умови (\scrZ n) величина у правiй частинi (14) спадає до нуля при \varrho \rightarrow 1 - не швидше,
нiж функцiя (1 - \varrho )r. Зазначимо, що виконання спiввiдношення \| f - A\varrho ,r(f)\| p = o ((1 - \varrho )r)) ,
\varrho \rightarrow 1 - , можливе лише у тривiальному випадку, коли f(x) =
\sum
| k| \leq r - 1
\widehat fkeikx, для якого данi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
662 Ю. ПРЕСТIН, В. В. САВЧУК, А. Л. ШИДЛIЧ
теореми виконуються. Цей факт пов’язаний з явищем насичення методу наближення, поро-
дженого оператором A\varrho ,r. Зокрема, в [2] показано, що оператор A\varrho ,r породжує лiнiйний метод
наближення голоморфних функцiй, який є насиченим у просторi Hp з порядком насичення
(1 - \varrho )r та класом насичення Hr - 1
p \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p} 1.
Перед доведенням теорем 1 i 2 наведемо низку допомiжних тверджень. Для довiльних
f \in L1, 1 \leq p \leq \infty , 0 \leq \varrho < 1 та r = 0, 1, 2, . . . позначимо
Mp(\varrho , f, r) := \varrho r
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial rf (\varrho , \cdot )
\partial \varrho r
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (f(\varrho , \cdot ))[r](\cdot )\bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
. (15)
Лема 2. Нехай f \in Lp, 1 \leq p \leq \infty . Тодi для довiльних чисел n \in \BbbN та \varrho \in [1/2, 1)
1
2n!
(1 - \varrho )nMp (\varrho , f, n) \leq Kn (1 - \varrho , f)p \leq
\leq \| f - A\varrho ,n(f)\| p +
4n - 1
3
(1 - \varrho )nMp (
\surd
\varrho , f, n) .
Доведення. Насамперед зауважимо, що лема є тривiальною у випадку, коли f — тригоно-
метричний полiном порядку не бiльше нiж n - 1, тобто коли f(x) =
\sum
| k| \leq n - 1
\widehat fkeikx, а також
у випадку, коли \varrho = 0. Тому в доведеннi цi два випадки не розглядаємо.
Нехай g — така довiльна функцiя, що g[n] \in Lp.
Оскiльки
1 - \varrho 2
| 1 - ei(x - t)\varrho | 2
=
1
1 - ei(x - t)\varrho
+
1
1 - e - i(x - t)\varrho
- 1,
то на основi (1) для довiльних чисел \varrho \in [0, 1) та x \in \BbbT маємо
\partial nf(\varrho , x)
\partial \varrho n
=
1
2\pi
2\pi \int
0
(f(t) - g(t))
\partial n
\partial \varrho n
\biggl(
1 - \varrho 2
| 1 - ei(x - t)\varrho | 2
\biggr)
dt+
\partial ng(\varrho , x)
\partial \varrho n
=
=
n!
2\pi
2\pi \int
0
(f(t) - g(t))
\Biggl(
eir(x - t)
(1 - ei(x - t)\varrho )n+1
+
e - ir(x - t)
(1 - e - i(x - t)\varrho )n+1
\Biggr)
dt+
\partial ng(\varrho , x)
\partial \varrho n
=
=
n!
\pi
2\pi \int
0
(f(t) - g(t))\mathrm{R}\mathrm{e}
eir(x - t)
(1 - ei(x - t)\varrho )n+1
dt+
\partial ng(\varrho , x)
\partial \varrho n
.
Звiдси, виконавши замiну змiнних iнтегрування, за iнтегральною нерiвнiстю Мiнковського
отримаємо оцiнку\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial nf(\varrho , \cdot )
\partial \varrho n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq n!
\pi
2\pi \int
0
dt
| 1 - \varrho eit| n+1
\| f - g\| p +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial ng(\varrho , \cdot )
\partial \varrho n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq
\leq 2n!
(1 - \varrho )n
\| f - g\| p +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial ng (\varrho , \cdot )
\partial \varrho n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
.
Враховуючи спiввiдношення (10), (15) та нерiвнiсть \| g[n](\varrho , \cdot )\| p \leq \| g[n]\| p, бачимо, що для
будь-якого \varrho \in (0, 1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
ПРЯМI ТА ОБЕРНЕНI ТЕОРЕМИ НАБЛИЖЕННЯ 2\pi -ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 663
1
2n!
(1 - \varrho )nMp(\varrho , f, n) \leq \| f - g\| p + (1 - \varrho )n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| g[n]\bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
.
Беручи iнфiмум по всiх функцiях g, для яких g[n] \in Lp, робимо висновок, що
1
2n!
(1 - \varrho )nMp(\varrho , f, n) \leq Kn(1 - \varrho , f)p.
З iншого боку, з означення K -функцiонала випливає, що
Kn(1 - \varrho , f)p \leq \| f - A\varrho ,n(f)\| p + (1 - \varrho )n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (A\varrho ,n(f))
[n]
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
. (16)
Внаслiдок (5) та (10)
(A\varrho ,n(f))
[n](x) =
\Biggl(
n - 1\sum
k=0
(f(\varrho , \cdot ))[k](\cdot )
\varrho kk!
(1 - \varrho )k
\Biggr) [n]
(x) =
n - 1\sum
k=0
((f(\varrho , \cdot ))[k](\cdot ))[n](x)
\varrho kk!
(1 - \varrho )k.
Оскiльки для довiльних натуральних чисел k та n\Bigl(
(f(\varrho , \cdot ))[n](\cdot )
\Bigr) [k]
(x) =
\Bigl(
(f(\varrho , \cdot ))[k](\cdot )
\Bigr) [n]
(x), (17)
то
(A\varrho ,n(f))
[n](x) =
n - 1\sum
k=0
\bigl(
(f(\varrho , \cdot ))[n](\cdot )
\bigr) [k]
(x)
\varrho kk!
(1 - \varrho )k.
Звiдси отримуємо \bigm\| \bigm\| \bigm\| (A\varrho ,n(f))
[n]
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq
r - 1\sum
k=0
\bigm\| \bigm\| ((f(\varrho , \cdot ))[n](\cdot ))[k]\bigm\| \bigm\|
p
\varrho kk!
(1 - \varrho )k. (18)
Згiдно з означенням iнтеграла Пуассона для довiльного k = 0, 1, . . . , r - 1 маємо
\Bigl(
(f(\varrho , \cdot ))[n](\cdot )
\Bigr) [k]
(x) =
\left( \sum
| j| \geq n
| j| !
(| j| - n)!
\widehat fj\varrho | j|
2 eijx\varrho
| j|
2
\right) [k]
(x) =
=
\left( 1
2\pi
2\pi \int
0
(f(
\surd
\varrho , \cdot ))[n] (t)P (
\surd
\varrho , t - \cdot )dt
\right) [k]
(x) =
=
1
2\pi
2\pi \int
0
(f(
\surd
\varrho , \cdot ))[n] (t)
\sum
| \nu | \geq k
| \nu | !
(| \nu | - k)!
\varrho
| \nu |
2 ei\nu (t - x)dt =
=
1
2\pi
2\pi \int
0
(f(
\surd
\varrho , \cdot ))[n] (t+ x)
\sum
| \nu | \geq k
| \nu | !
(| \nu | - k)!
\varrho
| \nu |
2 ei\nu tdt =
=
1
2\pi
2\pi \int
0
(f(
\surd
\varrho , \cdot ))[n] (t+ x)
\biggl(
\tau k
\partial k
\partial \tau k
P (\tau , t)
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\tau =
\surd
\varrho
dt.
При k = 0 за iнтегральною нерiвнiстю Мiнковського одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
664 Ю. ПРЕСТIН, В. В. САВЧУК, А. Л. ШИДЛIЧ\bigm\| \bigm\| \bigm\| ((f(\varrho , \cdot ))[n](\cdot ))[k]\bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (f(\varrho , \cdot ))[n]\bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq
\leq Mp(
\surd
\varrho , f, n)
1
2\pi
2\pi \int
0
| P (
\surd
\varrho , t)| dt = Mp(
\surd
\varrho , f, n). (19)
Якщо ж k = 1, 2, . . . , то
\partial k
\partial \tau k
P (\tau , t) =
\partial k
\partial \tau k
\biggl(
1
1 - \tau eit
+
\tau e - it
1 - \tau e - it
\biggr)
=
k!eikt
(1 - \tau eit)k+1
+
k!e - ikt
(1 - \tau e - it)k+1
.
Звiдси аналогiчно отримуємо
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (f [n](\varrho , \cdot ))[k]
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq Mp(
\surd
\varrho , f, n)
1
2\pi
2\pi \int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\biggl(
\tau k
\partial k
\partial \tau k
P (\tau , t)
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\tau =
\surd
\varrho
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt \leq
\leq 2k!Mp(
\surd
\varrho , f, n)
1
2\pi
2\pi \int
0
dt
| 1 - \surd
\varrho eit| k+1
\leq Mp(
\surd
\varrho , f, n)
2kk!
(1 - \varrho )k
. (20)
Об’єднуючи спiввiдношення (18) – (20), бачимо, що для довiльного \varrho \in [1/2, 1)
1\int
\varrho
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (A\varrho ,n(f))
[n]
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq Mp(
\surd
\varrho , f, n) +Mp(
\surd
\varrho , f, n)
n - 1\sum
k=1
4k = Mp(
\surd
\varrho , f, n)
4n - 1
3
. (21)
З огляду на спiввiдношення (21) та (16) робимо висновок, що виконується нерiвнiсть
Kn(1 - \varrho , f)p \leq \| f - A\varrho ,n(f)\| p +
4n - 1
3
(1 - \varrho )nMp(
\surd
\varrho , f, n),
яка доводить лему 2.
Лема 3. Нехай r \in \BbbN , 1 \leq p \leq \infty i \varrho \in [1/2, 1). Тодi для довiльної функцiї f \in Lp
\| (A\varrho ,r(f))
[r]\| p \leq Cr
\| f\| p
(1 - \varrho )r
, (22)
де стала Cr залежить лише вiд r.
Доведення. На пiдставi (10) для довiльної функцiї f \in Lp при всiх x \in \BbbT маємо
(f(\varrho , \cdot ))[r](x) = \varrho r
2\pi
2\pi \int
0
f(t)
\partial r
\partial \varrho r
\biggl(
1 - \varrho 2
| 1 - ei(x - t)\varrho | 2
\biggr)
dt =
=
r!\varrho r
2\pi
2\pi \int
0
f(t)
\Biggl(
eir(x - t)
(1 - ei(x - t)\varrho )r+1
+
e - ir(x - t)
(1 - e - i(x - t)\varrho )r+1
\Biggr)
dt =
=
r!\varrho r
\pi
2\pi \int
0
f(t)\mathrm{R}\mathrm{e}
eir(x - t)
(1 - ei(x - t)\varrho )r+1
dt.
Виконуючи замiну змiнних iнтегрування, за iнтегральною нерiвнiстю Мiнковського отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
ПРЯМI ТА ОБЕРНЕНI ТЕОРЕМИ НАБЛИЖЕННЯ 2\pi -ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 665
Mp (\varrho , f, r) \leq
r!
\pi
2\pi \int
0
dt
| 1 - \varrho eit| r+1
\| f\| p \leq
2r!
(1 - \varrho )r
\| f\| p. (23)
Об’єднуючи останнє спiввiдношення та спiввiдношення (21) при n = r, робимо висновок, що
\| (A\varrho ,r(f))
[r]\| p \leq Mp(
\surd
\varrho , f, r)
4r - 1
3
\leq 2r!(4r - 1)
3(1 - \surd
\varrho )r
\| f\| p \leq
r!
\bigl(
23r+1 - 2r+1
\bigr)
3
\| f\| p
(1 - \varrho )r
.
Лема 4. Нехай r \in \BbbN i 0 \leq \varrho < 1. Тодi для довiльної функцiї f \in Lp, 1 \leq p \leq \infty , такої,
що
1\int
\varrho
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial rf(\zeta , \cdot )
\partial \zeta r
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
(1 - \zeta )r - 1d\zeta < \infty , (24)
при майже всiх x \in \BbbT справджується рiвнiсть
f(x) - A\varrho ,r(f)(x) =
1
(r - 1)!
1\int
\varrho
\partial rf(\zeta , x)
\partial \zeta r
(1 - \zeta )r - 1d\zeta . (25)
Доведення. При фiксованих r \in \BbbN та 0 \leq \varrho < 1 iнтеграл у правiй частинi (25) визначає де-
яку функцiю F (x). На пiдставi (24) та iнтегральної нерiвностi Мiнковського робимо висновок,
що функцiя F належить простору Lp. Знайдемо коефiцiєнти Фур’є функцiї F i порiвняємо їх
з коефiцiєнтами Фур’є функцiї G := f - A\varrho ,r(f). Оскiльки при r \in \BbbN
\partial rf(\zeta , x)
\partial \zeta r
=
\sum
| k| \geq r
| k| !
(| k| - r)!
\widehat fk\zeta | k| - reikx,
то \widehat Fk = 0, якщо | k| < r. Якщо ж | k| \geq r, то, iнтегруючи частинами, бачимо, що
\widehat Fk =
1
2\pi
2\pi \int
0
F (t)e - iktdt = \widehat fk | k| \sum
j=r
\biggl(
| k|
j
\biggr)
(1 - \varrho )j\varrho | k| - j . (26)
З iншого боку, якщо | k| < r, то коефiцiєнти Фур’є \widehat Gk функцiї G дорiвнюють нулю. Якщо
ж | k| \geq r, то з огляду на рiвнiсть
k\sum
j=0
\biggl(
k
j
\biggr)
(1 - \varrho )j\varrho k - j = ((1 - \varrho ) + \varrho )k = 1, k = 0, 1, . . . ,
бачимо, що
\widehat Gk = (1 - \lambda | k| ,r(\varrho )) \widehat fk = \widehat fk | k| \sum
j=r
\biggl(
| k|
j
\biggr)
(1 - \varrho )j\varrho | k| - j .
Таким чином, при всiх k \in \BbbZ маємо \widehat Fk = \widehat Gk. Тому при майже всiх x \in \BbbT виконується
рiвнiсть (25).
Доведення теореми 1. Нехай функцiя f така, що f [r - n] \in Lp i виконується спiввiдношен-
ня (13). Застосуємо першу нерiвнiсть iз леми 2 до функцiї f [r - n]. З огляду на (10) та (15)
отримаємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
666 Ю. ПРЕСТIН, В. В. САВЧУК, А. Л. ШИДЛIЧ
1
2n!
(1 - \varrho )nMp (\varrho , f, r) \leq Kn
\Bigl(
1 - \varrho , f [r - n]
\Bigr)
p
.
Звiдси
Mp (\varrho , f, r) \leq C
\omega (1 - \varrho )
(1 - \varrho )n
, \varrho \rightarrow 1 - . (27)
Використовуючи спiввiдношення (15), (27) та умову (\scrZ ), а також iнтегральну нерiвнiсть
Мiнковського, маємо
1\int
\varrho
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial rf(\zeta , \cdot )
\partial \zeta r
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
(1 - \zeta )r - 1 d\zeta \leq
1\int
\varrho
Mp(\zeta , f, r)
(1 - \zeta )r - 1
\zeta r
d\zeta \leq
\leq 2rC(1 - \varrho )r - n
1\int
\varrho
\omega (1 - \zeta )
1 - \zeta
d\zeta = O
\bigl(
(1 - \varrho )r - n\omega (1 - \varrho )
\bigr)
, \varrho \rightarrow 1 - , (28)
тобто при майже всiх x \in \BbbT виконується спiввiдношення (25). Тодi на пiдставi (25), застосовую-
чи iнтегральну нерiвнiсть Мiнковського та (28), отримуємо оцiнку (14):
\| f - A\varrho ,r(f)\| p \leq
1
(r - 1)!
1\int
\varrho
Mp(\zeta , f, r)
(1 - \zeta )r - 1
\zeta r
d\zeta =
= O
\bigl(
(1 - \varrho )r - n\omega (1 - \varrho )
\bigr)
, \varrho \rightarrow 1 - .
Доведення теореми 2. Насамперед зазначимо, що для довiльної функцiї f \in Lp, 1 \leq p \leq
\leq \infty , при будь-яких фiксованих s, r \in \BbbN та \varrho \in (0, 1)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| A[s]
\varrho ,r(f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
| k| \geq s
| k| !
(| k| - s)!
\omega | k| (\varrho ) \widehat fkeikt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq
\leq 2r\| f\| p
\left( C +
\sum
k\geq max\{ s,r\}
qkks+r - 1
\right) < \infty ,
де 0 < q = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 1 - \varrho , \varrho \} < 1.
Позначимо \varrho k := 1 - 2 - k, k \in \BbbN , i Ak := Ak(f) := A\varrho k,r(f). Для будь-яких x \in \BbbT та s \in \BbbN
розглянемо ряд
A
[s]
0 (f)(x) +
\infty \sum
k=1
\Bigl(
A
[s]
k (f)(x) - A
[s]
k - 1(f)(x)
\Bigr)
. (29)
З огляду на означення оператора A\varrho ,r бачимо, що для довiльних \varrho 1, \varrho 2 \in [0, 1) та r \in \BbbN
A\varrho 1,r (A\varrho 2,r(f)) = A\varrho 2,r (A\varrho 1,r(f)) .
За лемою 3 та спiввiдношенням (14) при всiх k \in \BbbN та s \in \BbbN \bigm\| \bigm\| \bigm\| A[s]
k - A
[s]
k - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| A[s]
k (f - Ak - 1(f)) - A
[s]
k - 1(f - Ak(f))
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
ПРЯМI ТА ОБЕРНЕНI ТЕОРЕМИ НАБЛИЖЕННЯ 2\pi -ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 667
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| A[s]
k (f - Ak - 1(f))
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| A[s]
k - 1(f - Ak(f))
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq
\leq Cs
\| f - Ak - 1(f)\| p
(1 - \varrho k)s
+ Cs
\| f - Ak(f)\| p
(1 - \varrho k - 1)s
=
= O
\biggl(
\omega (1 - \varrho k - 1)
(1 - \varrho k)s - r+n
\biggr)
+O
\biggl(
\omega (1 - \varrho k)
(1 - \varrho k - 1)s - r+n
\biggr)
, k \rightarrow +\infty . (30)
Тому для будь-якого s \leq r - n\bigm\| \bigm\| \bigm\| A[s]
k - A
[s]
k - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
= O (\omega (1 - \varrho k - 1)) = O
\Bigl(
\omega (2 - (k - 1))
\Bigr)
, k \rightarrow +\infty . (31)
Розглянемо суму
\sum N
k=1
\omega (2 - (k - 1)), N \in \BbbN . Враховуючи монотоннiсть функцiї \omega та умову
(\scrZ ), бачимо, що при всiх N \in \BbbN
N\sum
k=1
\omega (2 - (k - 1)) \leq \omega (1) +
N\int
1
\omega (2 - (t - 1))dt = \omega (1) +
1
\mathrm{l}\mathrm{n} 2
1\int
2 - N+1
\omega (\tau )
\tau
d\tau \leq C\omega (1) < \infty . (32)
Об’єднуючи спiввiдношення (31) та (32), робимо висновок, що при всiх 1 \leq p \leq \infty ряд у (29)
збiгається за нормою простору Lp. Тому на пiдставi теореми Банаха – Алаоглу для довiльного
s = 0, 1, . . . , r - n iснує пiдпослiдовнiсть
S
[s]
Nj
(x) = A
[s]
0 (f)(x) +
Nj\sum
k=1
(A
[s]
k (f)(x) - A
[s]
k - 1(f)(x)), j = 1, 2, . . . , (33)
частинних сум цього ряду, яка збiгається до деякої функцiї g \in Lp майже скрiзь на \BbbT при
j \rightarrow +\infty .
Переконаємось, що g = f [s]. Для цього знайдемо коефiцiєнти Фур’є функцiї g. Для довiль-
ного фiксованого k \in \BbbZ при всiх j = 1, 2, . . . маємо
\widehat gk :=
1
2\pi
2\pi \int
0
S
[s]
Nj
(t)e - iktdt+
1
2\pi
2\pi \int
0
(g(t) - S
[s]
Nj
(t))e - iktdt.
Оскiльки послiдовнiсть
\Bigl\{
S
[s]
Nj
\Bigr\} \infty
j=1
збiгається майже скрiзь на \BbbT до функцiї g, то другий iнтеграл
у правiй частинi останнього спiввiдношення прямує до нуля при j \rightarrow +\infty . Внаслiдок (33) та
означення радiальної похiдної при | k| < s перший iнтеграл дорiвнює нулю, а при всiх | k| \geq s
1
2\pi
2\pi \int
0
S
[s]
Nj
(t)e - iktdt = \lambda | k| ,r
\bigl(
1 - 2 - Nj
\bigr) | k| !
(| k| - s)!
\widehat fk - \rightarrow
j\rightarrow +\infty
| k| !
(| k| - s)!
\widehat fk.
Таким чином, дiйсно має мiсце рiвнiсть g = f [s]. Отже, для функцiї f та всiх s = 0, 1, . . . , r -
- n iснують похiднi f [s] i f [s] \in Lp.
Встановимо тепер оцiнку (27). Внаслiдок (15) та (30) для довiльних k \in \BbbN та \varrho \in (0, 1)
Mp (\varrho ,Ak - Ak - 1, r) \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| A[r]
k - A
[r]
k - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
= O
\biggl(
\omega (1 - \varrho k - 1)
(1 - \varrho k)n
\biggr)
+O
\biggl(
\omega (1 - \varrho k)
(1 - \varrho k - 1)n
\biggr)
=
= O
\Bigl(
2kn\omega (2 - k+1) + 2(k - 1)n\omega (2 - k)
\Bigr)
= O
\Bigl(
2(k - 1)n\omega (2 - (k - 1))
\Bigr)
, k \rightarrow +\infty . (34)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
668 Ю. ПРЕСТIН, В. В. САВЧУК, А. Л. ШИДЛIЧ
На пiдставi (23) та (14) для довiльних r \in \BbbN , \varrho \in (0, 1) та x \in \BbbT отримуємо
Mp (\varrho , f - A\varrho ,r(f), r) \leq 2r!
\| f - A\varrho ,r(f)\| p
(1 - \varrho )r
= O
\biggl(
\omega (1 - \varrho )
(1 - \varrho )n
\biggr)
, \varrho \rightarrow 1 - .
Тому для будь-якого натурального N
Mp
\bigl(
\varrho
N
, f - AN (f), r
\bigr)
= O
\Biggl(
\omega (1 - \varrho
N
)
(1 - \varrho
N
)n
\Biggr)
= O
\bigl(
2Nn\omega (2 - N )
\bigr)
, N \rightarrow +\infty . (35)
Розглянемо суму
\sum N
k=1
2(k - 1)n\omega (2 - (k - 1)), N \in \BbbN . Оскiльки функцiя \omega задовольняє умову
(\scrZ n), то функцiя \omega (t)/tn майже спадає на (0, 1] (див., наприклад, [16]). Тому
C1
N\sum
k=1
2(k - 1)n\omega
\Bigl(
2 - (k - 1)
\Bigr)
\leq 2(N - 1)n\omega
\Bigl(
2 - (N - 1)
\Bigr)
+
N\int
1
2(t - 1)n\omega
\Bigl(
2 - (t - 1)
\Bigr)
dt \leq
\leq 2(N - 1)n\omega
\Bigl(
2 - (N - 1)
\Bigr)
+
1
\mathrm{l}\mathrm{n} 2
1\int
2 - N+1
\omega (\tau )/\tau n+1d\tau \leq C22
(N - 1)n\omega
\Bigl(
2 - (N - 1)
\Bigr)
. (36)
Покладаючи \varrho = \varrho
N
i беручи до уваги спiввiдношення (34) – (36) та
A0(x) = Sr - 1(f)(x) =
\sum
| k| \leq r - 1
\widehat fkeikx,
отримуємо
Mp (\varrho N , f, r) = Mp (\varrho N , f - Sr - 1(f), r) = Mp
\Biggl(
\varrho N , f - A\varrho
N
+
N\sum
k=1
(Ak - Ak - 1), r
\Biggr)
=
= O
\Biggl(
N\sum
k=1
2(k - 1)n\omega (2 - (k - 1))
\Biggr)
= O
\bigl(
2Nn\omega (2 - N )
\bigr)
= O
\Biggl(
\omega (1 - \varrho
N
)
(1 - \varrho
N
)n
\Biggr)
, N \rightarrow +\infty . (37)
Якщо функцiя \omega задовольняє умову (\scrZ n), то при всiх t \in [0, 1] виконується нерiвнiсть
\omega (2t) \leq C\omega (t) (див., наприклад, [16]). Крiм того, при всiх \varrho \in [\varrho
N - 1
, \varrho
N
] маємо 1 - \varrho
N
\leq
\leq 1 - \varrho \leq 2(1 - \varrho
N
).
Таким чином, iз спiввiдношення (37) отримуємо оцiнку (27).
Застосовуючи тепер другу нерiвнiсть iз леми 2 до функцiї f [r - n], одержуємо
Kn
\Bigl(
1 - \varrho , f [r - n]
\Bigr)
p
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| f [r - n] - A\varrho ,n(f
[r - n])
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
+
4n - 1
3
(1 - \varrho )nMp(
\surd
\varrho , f, r). (38)
З огляду на (15) та (27) бачимо, що при \varrho \in [1/2, 1) виконується спiввiдношення
1\int
\varrho
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial nf [r - n](\zeta , \cdot )
\partial \zeta n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
(1 - \zeta )n - 1d\zeta =
1\int
\varrho
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (f(\zeta , \cdot ))[r](x)\bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
(1 - \zeta )n - 1
\zeta n
d\zeta =
=
1\int
\varrho
Mp(\zeta , f, r)
(1 - \zeta )n - 1
\zeta n
d\zeta \leq 2nC
1\int
\varrho
\omega (1 - \zeta )
1 - \zeta
d\zeta = O (\omega (1 - \varrho )), \varrho \rightarrow 1 - . (39)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
ПРЯМI ТА ОБЕРНЕНI ТЕОРЕМИ НАБЛИЖЕННЯ 2\pi -ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 669
Тому ми можемо застосувати лему 4 до функцiї f [r - n]. Враховуючи (15), маємо
f [r - n](x) - A\varrho ,n(f
[r - n])(x) =
1
(n - 1)!
1\int
\varrho
(f(\zeta , \cdot ))[r](x)(1 - \zeta )n - 1
\zeta n
d\zeta .
Використовуючи iнтегральну нерiвнiсть Мiнковського i (39), робимо висновок, що
\| f [r - n] - A\varrho ,n(f
[r - n])\| p \leq
1
(n - 1)!
1\int
\varrho
Mp(\zeta , f, r)
(1 - \zeta )n - 1
\zeta n
d\zeta =
= O (\omega (1 - \varrho )), \varrho \rightarrow 1 - . (40)
Об’єднуючи спiввiдношення (27), (38) та (40), отримуємо (13).
Лiтература
1. Заставный В. П., Савчук В. В. Приближение классов сверток линейными операторами специального вида //
Мат. заметки. – 2011. – 90, № 3. – С. 351 – 361.
2. Савчук В. В. Наближення голоморфних функцiй середнiми Тейлора – Абеля – Пуассона // Укр. мат. журн. –
2007. – 59, № 9. – С. 1253 – 1260.
3. Savchuk V. V., Shidlich A. L. Approximation of functions of several variables by linear methods in the space Sp //
Acta Sci. Math. – 2014. – 80, № 3 – 4. – P. 477 – 489.
4. Chui C. K., Holland A. S. B. On the order of approximation by Euler and Taylor means // J. Approxim. Theory. –
1983. – 39, № 1. – P. 24 – 38.
5. Holland A. S. B., Sahney B. N., Mohapatra R. N. Lp approximation of functions by Euler means // Rend. mat. –
1983. – 3(7), № 2. – P. 341 – 355.
6. Mohapatra R. N., Holland A. S. B., Sahney B. N. Functions of class \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}(\alpha , p) and their Taylor mean // J. Approxim.
Theory. – 1985. – 45, № 4. – P. 363 – 374.
7. Chandra P., Mohapatra R. N. Approximation of functions by (J, qn) means of Fourier series // Approxim. Theory
and Appl. – 1988. – 4, № 2. – P. 49 – 54.
8. Leis R. Approximationssätze für stetige Operatoren // Arch. Math. – 1963. – 14. – P. 120 – 129.
9. Butzer P. L., Sunouchi G. Approximation theorems for the solution of Fourier’s problem and Dirichlet’s problem //
Math. Ann. – 1964. – 155. – P. 316 – 330.
10. Butzer P., Nessel R. Fourier analysis and approximation. One-dimentional theory. – Basel; New York, 1971. – 554 p.
11. DeVore R. A., Lorentz G. G. Constructive approximation. – Berlin: Springer-Verlag, 1993. – 449 p.
12. Trigub R. M., Bellinsky E. S. Fourier analysis and approximation of functions. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.,
2004. – 585 p.
13. Butzer P. L., Tillmann H. G. Approximation theorems for semi-groups of bounded linear transformations // Math.
Ann. – 1960. – 140. – P. 256 – 262.
14. Butzer P. L. Beziehungen zwischen den Riemannschen, Taylorschen und gewöhnlichen Ableitungen reellwertiger
Funktionen // Math. Ann. – 1961. – 144. – P. 275 – 298.
15. Рудин У. Теория функций в поликруге. – М.: Мир, 1974. – 160 с.
16. Бари Н. K., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций
// Тр. Моск. мат. о-ва. – 1956. – 5. – С. 483 – 522.
17. Prestin J., Savchuk V. V., Shidlich A. L. Approximation of 2\pi -periodic functions by Taylor – Abel – Poisson operators
in the integral metric // Dop. Nats. Akad. Nauk Ukrainy. – 2017. – № 1. – С. 17 – 20.
Одержано 17.09.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1725 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:27Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e6/a60bed15794c84a3cf48a068945e2de6.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17252019-12-05T09:24:56Z Direct and inverse theorems on the approximation of 2π -periodic functions by Taylor – Abel – Poisson operators Прямі та обернені теореми наближення 2π -періодичних функцій операторами Тейлора – Абеля – Пуассона Prestin, J. Savchuk, V. V. Shydlich, A. L. Престін, Ю. Савчук, В. В. Шидліч, А. Л. We obtain direct and inverse theorems on the approximation of 2\pi -periodic functions by Taylor – Abel – Poisson operators in the integral metric. Получены прямые и обратные теоремы приближения 2\pi -периодических функций операторами Тейлора –Абеля – Пуассона в интегральной метрике. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1725 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 5 (2017); 657 Український математичний журнал; Том 69 № 5 (2017); 657 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1725/707 Copyright (c) 2017 Prestin J.; Savchuk V. V.; Shydlich A. L. |
| spellingShingle | Prestin, J. Savchuk, V. V. Shydlich, A. L. Престін, Ю. Савчук, В. В. Шидліч, А. Л. Direct and inverse theorems on the approximation of 2π -periodic functions by Taylor – Abel – Poisson operators |
| title | Direct and inverse theorems on the approximation of
2π -periodic functions by Taylor – Abel – Poisson operators |
| title_alt | Прямі та обернені теореми наближення
2π -періодичних функцій операторами Тейлора – Абеля – Пуассона |
| title_full | Direct and inverse theorems on the approximation of
2π -periodic functions by Taylor – Abel – Poisson operators |
| title_fullStr | Direct and inverse theorems on the approximation of
2π -periodic functions by Taylor – Abel – Poisson operators |
| title_full_unstemmed | Direct and inverse theorems on the approximation of
2π -periodic functions by Taylor – Abel – Poisson operators |
| title_short | Direct and inverse theorems on the approximation of
2π -periodic functions by Taylor – Abel – Poisson operators |
| title_sort | direct and inverse theorems on the approximation of
2π -periodic functions by taylor – abel – poisson operators |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1725 |
| work_keys_str_mv | AT prestinj directandinversetheoremsontheapproximationof2pperiodicfunctionsbytaylorabelpoissonoperators AT savchukvv directandinversetheoremsontheapproximationof2pperiodicfunctionsbytaylorabelpoissonoperators AT shydlichal directandinversetheoremsontheapproximationof2pperiodicfunctionsbytaylorabelpoissonoperators AT prestínû directandinversetheoremsontheapproximationof2pperiodicfunctionsbytaylorabelpoissonoperators AT savčukvv directandinversetheoremsontheapproximationof2pperiodicfunctionsbytaylorabelpoissonoperators AT šidlíčal directandinversetheoremsontheapproximationof2pperiodicfunctionsbytaylorabelpoissonoperators AT prestinj prâmítaoberneníteoreminabližennâ2pperíodičnihfunkcíjoperatoramitejloraabelâpuassona AT savchukvv prâmítaoberneníteoreminabližennâ2pperíodičnihfunkcíjoperatoramitejloraabelâpuassona AT shydlichal prâmítaoberneníteoreminabližennâ2pperíodičnihfunkcíjoperatoramitejloraabelâpuassona AT prestínû prâmítaoberneníteoreminabližennâ2pperíodičnihfunkcíjoperatoramitejloraabelâpuassona AT savčukvv prâmítaoberneníteoreminabližennâ2pperíodičnihfunkcíjoperatoramitejloraabelâpuassona AT šidlíčal prâmítaoberneníteoreminabližennâ2pperíodičnihfunkcíjoperatoramitejloraabelâpuassona |