Kolmogorov widths and entropy numbers in the Orlich spaces with the Luxembourg norm
We obtain the exact-order estimates of the Kolmogorov widths and entropy numbers of unit balls from the binary Besov spaces \$\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d} B^{0,\gamma}_{ p,\theta}$ compactly embedded in the exponential Orlich $\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} L^{\nu}$ spaces equipped with...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1727 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507576471388160 |
|---|---|
| author | Romanyuk, V. S. Романюк, В. С. Романюк, В. С. |
| author_facet | Romanyuk, V. S. Романюк, В. С. Романюк, В. С. |
| author_sort | Romanyuk, V. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:24:56Z |
| description | We obtain the exact-order estimates of the Kolmogorov widths and entropy numbers of unit balls from the binary Besov
spaces \$\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d} B^{0,\gamma}_{ p,\theta}$ compactly embedded in the exponential Orlich $\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} L^{\nu}$ spaces equipped with the Luxembourg norm. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. С. Романюк (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
КОЛМОГОРОВСКИЕ ПОПЕРЕЧНИКИ И ЭНТРОПИЙНЫЕ ЧИСЛА
В ПРОСТРАНСТВАХ ОРЛИЧА С НОРМОЙ ЛЮКСЕМБУРГА
We obtain the exact-order estimates of the Kolmogorov widths and entropy numbers of unit balls from the binary Besov
spaces \mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B0,\gamma
p,\theta compactly embedded in the exponential Orlich \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L\nu spaces equipped with the Luxembourg norm.
Встановлено точнi за порядком оцiнки колмогоровських поперечникiв та ентропiйних чисел одиничних куль iз
двiйкових просторiв Бєсова \mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B0,\gamma
p,\theta , компактно вкладених в експоненцiальнi простори Орлiча \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L\nu , що надi-
ленi нормою Люксембурга.
Введение. Мы рассматриваем функции, заданные на торе \BbbT = \BbbR \diagup \BbbZ , идентифицируя их 1-пе-
риодическими функциями на \BbbR . Через Lp(\BbbT ), 1 \leq p \leq \infty , обозначим пространства Лебега
измеримых на \BbbT функций с конечной нормой
\| f\| p = \| f\| Lp(\BbbT ) :=
\left( \int
\BbbT
| f(x)| pdx
\right) 1/p , 1 \leq p <\infty ,
\| f\| \infty = \| f\| L\infty (\BbbT ) := \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \BbbT
| f(x)| .
Обозначение \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L\nu (\BbbT ), \nu > 0 (или, сокращенно, \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L\nu ), используется для пространства
Орлича всех измеримых на \BbbT функций u : \BbbT \rightarrow \BbbC таких, что для \Phi \nu (t) = t2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} t\nu , t \geq 0,
\nu > 0, интеграл
\int
\BbbT
\Phi \nu (| u(x)| )dx конечен. Это пространство снабдим нормой Люксембурга
\| u\| expL\nu (\BbbT ) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\left\{ \lambda > 0 :
\int
\BbbT
\Phi \nu
\biggl(
| u(x)|
\lambda
\biggr)
dx \leq 1
\right\} . (1)
Больше информации о нормированных пространствах Орлича, определяемых подобным
образом, можно найти, например, в монографиях [1, 2].
Известно, что
\| u\| expL\nu (\BbbT ) \sim \| u\| (1)expL\nu (\BbbT ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
1\leq p<\infty
p - 1/\nu \| u\| Lp(\BbbT ). (2)
Пусть \Phi = \phi 0 — четная бесконечно дифференцируемая на вещественной прямой функция
(пишем \Phi \in C\infty (\BbbR )) такая, что \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\Phi = ( - 2, 2) и \Phi (s) = 1 при | s| \leq 1.
Положим
\phi k(s) = \Phi (2 - ks) - \Phi (2 - k+1s), k \in \BbbN ,
и для f \in L1(\BbbT )
Lkf(x) = \phi k(D)f(x) :=
\sum
n\in \BbbZ
\phi k(n) \widehat fne2\pi inx, x \in \BbbR , k \in \BbbZ +, (3)
где \widehat fn, n \in \BbbZ , — коэффициенты Фурье функции f по системе \{ e2\pi inx\} n\in \BbbZ на торе \BbbT :
c\bigcirc В. С. РОМАНЮК, 2017
682 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
КОЛМОГОРОВСКИЕ ПОПЕРЕЧНИКИ И ЭНТРОПИЙНЫЕ ЧИСЛА . . . 683
\widehat fn =
\int
\BbbT
f(x)e - 2\pi inxdx.
В дальнейшем для любой функции \psi \in C\infty (\BbbR ) через \psi (\alpha D), \alpha > 0, обозначаем оператор,
действующий подобно оператору \phi k(D) по формуле (3) с заменой \phi k(n) на \psi (\alpha n).
Для 1 \leq q \leq \infty , 1 \leq \theta <\infty и \gamma \geq 0 определим пространства типа Бесова заданием нормы
выражением, характеризующим степень убывания величин \| Lkf\| q :
B0,\gamma
q,\theta =
\left\{ f \in L1(\BbbT ) : \| f\|
B0,\gamma
q,\theta
:=
\Biggl( \infty \sum
k=0
(k + 1)\theta \gamma \| Lkf\| \theta q
\Biggr) 1/\theta
<\infty
\right\} . (4)
Известно, что пространства B0,\gamma
q,\theta при таком определении не зависят от выбора функции
\Phi в выражении для Lkf и, очевидно, B0,\gamma
q1,\theta 1
\subset B0,\gamma
q2,\theta 2
, если 1 \leq q2 \leq q1 \leq \infty и \theta 1 \leq \theta 2.
Пространство B0,0
\infty ,\theta (т. е. при \gamma = 0 и q = \infty ) состоит из локально интегрируемых функций
тогда и только тогда, когда 1 \leq \theta \leq 2 [3, c. 112]. Более того, как следует из определения (4),
распространенного на любые положительные значения \theta > 0, пространство B0,0
\infty ,\theta вложено в
L\infty (\BbbT ), если 0 < \theta \leq 1, а при 1 < \theta \leq 2 имеет место вложение B0,0
\infty ,\theta \lhook \rightarrow \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L\theta \prime , \theta \prime =
\theta
\theta - 1
[4] (теорема 1.1).
Здесь и далее запись X \lhook \rightarrow Y для нормированных пространств X и Y означает непрерывное
вложение X в Y.
Введем в рассмотрение так называемые двоичные пространства типа Бесова, заменив опе-
раторы Lk в определении пространств B0,\gamma
p,\theta операторами \BbbD k иного вида (см. [4]). Итак, пусть
k \in \BbbZ +. Для функции f, заданной на отрезке [0, 1], положим
\BbbE kf(x) = 2k
m2 - k\int
(m - 1)2 - k
f(t)dt, (m - 1)2 - k \leq x < m2 - k, m = 1, . . . , 2k, (5)
и определим
\BbbD 0f(x) = \BbbE 0f(x) и \BbbD kf(x) = \BbbE kf(x) - \BbbE k - 1f(x), k \in \BbbN . (6)
Заметим, что функции \BbbD kf являются кусочно-постоянными с разрывами в точках m2 - k,
m = 0, . . . , 2k - 1. Далее будем рассматривать 1-периодические продолжения функций \BbbE kf и
\BbbD kf с интервала [0, 1) на \BbbR как функции, заданные на \BbbT , и соответственно операторы \BbbE k и \BbbD k,
определенные на L1(\BbbT ), со значениями в L\infty (\BbbT ). Отметим, что для любой функции f \in L1(\BbbT )
почти для всех x \in \BbbT справедливо равенство f(x) =
\sum \infty
k=0
\BbbD kf(x).
Теперь для 1 \leq q \leq \infty , 1 \leq \theta <\infty и \gamma \geq 0 определим двоичные пространства Бесова
\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B0,\gamma
q,\theta =
\left\{ f \in L1(\BbbT ) : \| f\|
dyadB0,\gamma
q,\theta
:=
\Biggl( \infty \sum
k=0
(k + 1)\theta \gamma \| \BbbD kf\| \theta q
\Biggr) 1/\theta
<\infty
\right\} . (7)
Приведем некоторые сведения, касающиеся связи пространств B0,\gamma
q,\theta и \mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B0,\gamma
q,\theta с другими
известными пространствами.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
684 В. С. РОМАНЮК
Б. С. Кашин и В. Н. Темляков в [5] ввели нормированные пространства LG\gamma , \gamma > 0,
функций f из L1(\BbbT ), для которых \| Lkf\| \infty = O((k + 1) - \gamma ), k \rightarrow +\infty , полагая
LG\gamma (\BbbT ) =
\Biggl\{
f \in L1(\BbbT ) : \| f\| LG\gamma (\BbbT ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\geq 0
(k + 1)\gamma \| Lkf\| \infty <\infty
\Biggr\}
. (8)
Очевидно, что при \gamma >
1
2
пространство LG\gamma (\BbbT ) вложено в B0,\gamma
\infty ,2. Более того, при \gamma > 1
LG\gamma (\BbbT ) \subset L\infty (\BbbT ), а при
1
2
< \gamma \leq 1 LG\gamma (\BbbT ) \subset \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L\nu (\BbbT ) для \nu <
1
1 - \gamma
[4] (теорема 1.1).
Отметим также, что при \gamma >
1
2
, \nu < 2 или \nu \geq 2, \gamma > 1 - 1
\nu
последнее вложение компактно
[4] (теорема 1.3).
С определенной точки зрения пространства LG\gamma (\BbbT ) можно рассматривать как граничные
в шкале пространств B0,\gamma
\infty ,\theta , соответствующие „предельному значению” \infty показателя \theta . В
этом же смысле в качестве граничных в шкале пространств \mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B0,\gamma
\infty ,\theta являются пространства
LG\gamma
dyad, введенные в [4]:
LG\gamma
dyad =
\Biggl\{
f \in L1(\BbbT ) : \| f\| LG\gamma
dyad
:= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\geq 0
(k + 1)\gamma \| \BbbD kf\| \infty <\infty
\Biggr\}
. (9)
Обратим внимание на некоторые отличительные особенности в структуре функций из про-
странств LG\gamma и LG\gamma
dyad. Так, при \gamma > 1 пространства LG\gamma состоят из непрерывных функций,
а пространствам LG\gamma
dyad в этом случае могут принадлежать и разрывные функции. Более того,
при \gamma >
1
2
LG\gamma \lhook \rightarrow LG\gamma
dyad (10)
(см. [4], лемма 3.2).
Дополнив шкалу пространств B0,\gamma
p,\theta и \mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B0,\gamma
p,\theta при 1 \leq \theta < \infty соответственно простран-
ствами
B0,\gamma
p,\infty =
\Biggl\{
f \in L1(\BbbT ) : \| f\|
B0,\gamma
p,\infty
:= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\geq 0
(k + 1)\gamma \| Lkf\| p <\infty
\Biggr\}
и
\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B0,\gamma
p,\infty =
\Biggl\{
f \in L1(\BbbT ) : \| f\|
dyadB0,\gamma
p,\infty
:= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\geq 0
(k + 1)\gamma \| \BbbD kf\| p <\infty
\Biggr\}
,
а также заметив, что в таких обозначениях B0,\gamma
\infty ,\infty \equiv LG\gamma и \mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B0,\gamma
\infty ,\infty \equiv LG\gamma
dyad, докажем в
пункте 3, что подобное (10) вложение сохраняется и между пространствами B0,\gamma
p,\theta и \mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B0,\gamma
p,\theta
при всех 1 \leq \theta \leq \infty .
Укажем также на связь между пространствами B0,\gamma
p,\theta , \mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B
0,\gamma
p,\theta и \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L\theta (\BbbT ) в случае \gamma = 0:
в [4] (предложение 2.2) показано, что при p = \infty и 1 \leq \theta \leq 2
B0,0
p,\theta \lhook \rightarrow \mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B0,0
p,\theta ; (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
КОЛМОГОРОВСКИЕ ПОПЕРЕЧНИКИ И ЭНТРОПИЙНЫЕ ЧИСЛА . . . 685
там же [4] (предложение 2.5) доказано, что при 1 \leq \theta \leq 2
\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B0,0
\infty ,\theta \lhook \rightarrow \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L\theta \prime (\BbbT ). (12)
В заключение этого пункта обратим внимание на одно свойство операторов \BbbD k и одну
особенность операторов \BbbE k.
Лемма ST [4]. Существует постоянная C такая, что для 1 \leq s \leq 2, s\prime =
s
s - 1
, 2 \leq p \leq
\leq \infty и любой системы \{ fk\} \infty k=1 функций из Lp(\BbbT ) выполняется неравенство\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
k=0
\BbbD kfk
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq Cp1/s
\prime
\Biggl( \infty \sum
k=0
\| fk\| sp
\Biggr) 1/s
. (13)
Касательно оператора \BbbE k, определенного формулой (5), ограничимся только констатацией
того факта, что при каждом k \in \BbbZ + он тождествен оператору Pk : L1(\BbbT ) \rightarrow Vn ортогонального
проектирования пространства L1(\BbbT ) на пространство
Vn := \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n} \{ hk\} 2
n - 1
k=0 =
\Biggl\{
u : u(x) =
2n - 1\sum
k=0
ckhk(x), ck \in \BbbR
\Biggr\}
,
порожденное первыми 2n функциями базисной системы Хаара \mathrm{H} = \{ hk\} \infty k=0 (см., например, [6,
c. 78 – 80]). Этот факт вскрывает множество свойств оператора \BbbD k (и оператора \BbbE k ), тождест-
венных известным свойствам оператора Pk, установленных при изучении базиса \mathrm{H}, а также
кратного базиса \mathrm{H}d, d \geq 1 [7]. Однако использование этих свойcтв целью настоящей работы
не предполагается.
1. О классах \BbbB 0,\bfitgamma
\bfitp ,\bfittheta и \bfd \bfy \bfa \bfd \BbbB 0,\bfitgamma
\bfitp ,\bfittheta в пространствах \bfitL \bfitq и \bfe \bfx \bfp \bfitL \bfitnu . Формулировка основ-
ного результата. Приведем вначале определение исследуемых величин. Пусть X — линейное
нормированное пространство с нормой \| \cdot \| X , F \subset X и \scrL m — совокупность всех линейных
подпространств Lm в X, \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}Lm = m, m \in \BbbN .
Определение 1. m-поперечником по Колмогорову центрально-симметричного множест-
ва F в пространстве X называется величина
dm(F,X) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
Lm\in \scrL m
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in Lm
\| f - u\| X .
Пусть теперь X содержит подпространство Y, снабженное нормой \| \cdot \| Y .
Определение 2. m-м энтропийным числом пространства Y относительно пространст-
ва X называется величина
\epsilon m(Y,X) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\left\{ \varepsilon > 0 : \exists \{ uj\} 2
m - 1
j=1 , BY \subset
2m - 1\bigcup
j=1
\{ uj + \varepsilon BX\}
\right\} ,
где BX (BY ) — единичный шар в X (Y ).
Проведем краткий обзор и анализ известных результатов, касающихся решения задач о
нахождении порядковых (по параметру m) значений определенных выше величин в преде-
лах обозначенных во введении пространств функций. Отметим только, что для классических
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
686 В. С. РОМАНЮК
пространств Никольского и Бесова Br
p,\theta периодических функций многих переменных, опреде-
ляемых подобно пространствам B0,\gamma
p,\theta с заменой множителя (k+ 1)\theta \gamma на 2kr\theta , изучаемые здесь
характеристики \epsilon n и dn в пространствах Lq(\BbbT d) довольно полно исследованы в [8, 9] (см.
также приведенную там библиографию).
Единичные шары в пространствах B0,\gamma
p,\theta , \mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B0,\gamma
p,\theta , LG
\gamma и \mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}LG\gamma будем обозначать
соответственно через \BbbB 0,\gamma
p,\theta , \mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}\BbbB
0,\gamma
p,\theta , \BbbL \BbbG
\gamma и \mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}\BbbL \BbbG \gamma .
В [5] (теорема 3.1) установлено следующее утверждение.
Теорема КТ. При \gamma > 1 справедливы соотношения1
\epsilon n(LG
\gamma , Lp) \asymp dn(\BbbL \BbbG \gamma , Lp) \asymp
\left\{ (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2 n)
- \gamma +1, если p = \infty ,
(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2 n)
- \gamma +1/2, если 1 \leq p <\infty .
Ключевым моментом на завершающем этапе доказательства теоремы КТ (заключении о
совпадении по порядку величин \epsilon n и dn) явилось применение следующей леммы, вытекающей
из одного неравенства Карла (см. [10]).
Лемма А. Пусть X — сепарабельное банахово пространство, Y компактно вложено в
X и BY — единичный шар в Y. Предположим, что для пары (r, b), где либо r > 0, b \in \BbbR , либо
r = 0, b < 0, выполнены соотношения
dm(BY , X) \ll m - r(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2m)b,
\epsilon m(Y,X) \gg m - r(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2m)b.
Тогда
\epsilon m(Y,X) \asymp dm(BY , X) \asymp m - r (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2m)b .
В [4] A. Seeger и W. Trebels, исследуя в теореме KT скачкообразный характер изменения
порядковых значений энтропийных чисел при переходе от метрики в Lp(\BbbT ), 1 \leq p < \infty , к
метрике в L\infty (\BbbT ) и устраняя этот эффект, задействовали пространства \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} L\nu и установили
порядковые значения величин \epsilon m(LG\gamma , \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L\nu ) в виде следующего утверждения.
Теорема ST. Вложение LG\gamma (\BbbT ) \subset \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L\nu (\BbbT ) компактно, если либо \gamma > 1/2, \nu < 2 либо
\nu \geq 2, \gamma > 1 - 1
\nu
.
Имеют место оценки:
1) для \gamma > 1/2 и \nu < 2
\epsilon m (LG\gamma , \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L\nu ) \asymp (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2m)1/2 - \gamma ;
2) для \nu \geq 2 и \gamma > 1 - 1
\nu
\epsilon m (LG\gamma , \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L\nu ) \asymp (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2m)1 - 1/\nu - \gamma .
1Для положительных последовательностей \alpha (n) и \beta (n) запись \alpha (n) \asymp \beta (n) означает, что существует такая
постоянная C > 0, не зависящая от n, что
1
C
\leq \alpha (n)
\beta (n)
\leq C. Если \alpha (n) \leq C\beta (n)
\biggl(
\alpha (n) \geq 1
C
\beta (n)
\biggr)
, то пишем
\alpha (n) \ll \beta (n) (\alpha (n) \gg \beta (n)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
КОЛМОГОРОВСКИЕ ПОПЕРЕЧНИКИ И ЭНТРОПИЙНЫЕ ЧИСЛА . . . 687
Отметим, что в методе установления оценок сверху для энтропийных чисел в теореме ST
главная идея состояла во вложении пространства LG\gamma в более широкое пространство LG\gamma
dyad.
В другом направлении результаты Б. С. Кашина и В. Н. Темлякова (теорема КТ) были
распространены С. А. Стасюком [11] на пространства B0,\gamma
p,\theta . А именно, доказаны следующие
теоремы.
Теорема С1. Пусть 1 \leq \theta <\infty , r > 1 - 1
\theta
. Тогда
\epsilon m(B0,r
\infty ,\theta , L\infty ) \asymp dm
\Bigl(
\BbbB 0,r
\infty ,\theta , L\infty
\Bigr)
\asymp (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2m) - r+1 - 1/\theta .
Теорема С2. Пусть 1 \leq q < \infty , q \leq p, r >
1
2
- 1
\theta
. Тогда при 2 \leq p \leq \infty , 2 \leq \theta < \infty или
2 \leq p <\infty , \theta = \infty имеют место порядковые равенства
\epsilon m
\Bigl(
B0,r
p,\theta , Lq
\Bigr)
\asymp dm
\Bigl(
\BbbB 0,r
p,\theta , Lq
\Bigr)
\asymp (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2m) - r+1/2 - 1/\theta .
Целью настоящей работы, в развитие результатов из [4, 11], является установление точных
по порядку оценок величин \epsilon m
\Bigl(
B0,\gamma
p,\theta , \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L
\nu
\Bigr)
и dm
\Bigl(
\BbbB 0,\gamma
p,\theta , \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L
\nu
\Bigr)
при различных соотноше-
ниях между параметрами p, \theta , \gamma и \nu , включая те, которые охвачены теоремами ST, C1 и C2.
Чтобы сформулировать основной результат, введем дополнительные обозначения.
На плоскости \BbbR 2 выделим множество
\Omega := \{ (\gamma , \nu ) : 0 < \gamma <\infty и 0 < \nu <\infty \}
и определим следующие его подмножества:
D1 :=
\biggl\{
(\gamma , \nu ) \in \Omega :
1
2
< \gamma < 1, \nu <
1
\gamma - 1
\biggr\}
,
D2 := \{ (\gamma , \nu ) \in \Omega : \gamma \geq 1, 0 < \nu <\infty \} ,
G1 :=
\biggl\{
(\gamma , \nu ) \in \Omega : \nu \leq 2, \gamma >
1
2
\biggr\}
,
G2 :=
\biggl\{
(\gamma , \nu ) \in \Omega : \nu \geq 2, \gamma > 1 - 1
\nu
\biggr\}
.
Заметим, что D1 \cup D2 = G1 \cup G2.
Теорема 1. Пусть (\gamma , \nu ) \in D1\cup D2 и \Lambda n(q, \theta , \gamma , \nu ) обозначает либо \epsilon n
\Bigl(
\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B0,\gamma
q,\theta , \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L
\nu
\Bigr)
,
либо dn
\Bigl(
\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}\BbbB 0,\gamma
q,\theta , \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L
\nu
\Bigr)
. Тогда
а) если (\gamma , \nu ) \in G1 и 2 \leq q \leq \infty , \theta = \infty , то
\Lambda n(q, \theta , \gamma , \nu ) \asymp (\mathrm{l}\mathrm{n}n)1/2 - \gamma ; (14)
b) если (\gamma , \nu ) \in G2 и 2 \leq q \leq \infty , \theta = \infty , то
\Lambda n(q, \theta , \gamma , \nu ) \asymp (\mathrm{l}\mathrm{n}n)1 - 1/\nu - \gamma ; (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
688 В. С. РОМАНЮК
c) если (\gamma , \nu ) \in \Omega и q = \infty , 1 \leq \theta <\infty , \gamma > 1 - 1
\theta
, то
\Lambda n(q, \theta , \gamma , \nu ) \asymp (\mathrm{l}\mathrm{n}n)1 - 1/\theta - \gamma ; (16)
d) если (\gamma , \nu ) \in \Omega и 2 \leq q <\infty , 2 \leq \theta <\infty , \gamma >
1
2
- 1
\theta
, то
\Lambda n(q, \theta , \gamma , \nu ) \asymp (\mathrm{l}\mathrm{n}n)1/2 - 1/\theta - \gamma . (17)
Доказательство теоремы 1 проведем в три этапа:
I. Оценка сверху величин \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \BbbB 0,\gamma
q,\theta
\| f - EMf\| expL\nu , которая будет служить оценкой сверху
для dn
\Bigl(
\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}\BbbB 0,\gamma
q,\theta , \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L
\nu
\Bigr)
.
II. Оценка снизу для \epsilon n(\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B
0,\gamma
q,\theta , \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L
\nu ).
III. Фактическое применение леммы А и заключение о точных по порядку оценках в теоре-
ме 1.
Второй этап включает в себя доказательство ряда вспомогательных утверджений (лемм),
которые вынесены в отдельный пункт.
2. Вспомогательные утверждения.
Лемма 1. Пусть \lambda \geq 1 и k \geq 0, \psi \in C\infty (\BbbR ) — четная функция с носителем на\biggl(
- 2, - 1
2
\biggr)
\cup
\biggl(
1
2
, 2
\biggr)
и \scrL \lambda := \psi (\lambda - 1D). Тогда при 1 \leq q \leq \infty
\| \BbbE k\scrL \lambda \| Lq\rightarrow Lq \leq C\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl\{
\lambda - 12k, 1
\Bigr\}
, k \geq 0, (18)
\| \BbbD k\scrL \lambda \| Lq\rightarrow Lq \leq C\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl\{
\lambda - 12k, \lambda 2 - k
\Bigr\}
, k \geq 1, (19)
где C — некоторая положительная постоянная.
Доказательство. В случае q = \infty лемма 1 доказана в [4]. В случае 1 \leq q <\infty достаточно
фактически воспроизвести доказательство в случае q = \infty , внеся незначительные поправки.
Итак, наряду с функцией \psi 0(s) := \psi (s) рассмотрим функции \psi - 1(s) = s - 1\psi (s) и \psi 1(s) =
= s\psi (s) и заметим, что все они являются функциями из C\infty (\BbbR ) с компактными носителями,
отделенными от начала координат.
По определению
\psi j(\lambda
- 1D)f(x) :=
\sum
n\in \BbbZ
\psi j(\lambda
- 1n) \widehat fne2\pi inx, f \in Lq(\BbbT ), j = - 1, 0, 1.
Обозначим через \scrF g преобразование Фурье функции g \in L1(\BbbR ):
\scrF g(u) :=
\infty \int
- \infty
e - 2\pi itug(t)dt,
а через \scrF - 1g — обратное преобразование Фурье.
Тогда, используя представление [12]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
КОЛМОГОРОВСКИЕ ПОПЕРЕЧНИКИ И ЭНТРОПИЙНЫЕ ЧИСЛА . . . 689
\sum
n\in \BbbZ
\psi j(\lambda
- 1n) \widehat fne2\pi inx =
\infty \int
- \infty
\scrF - 1\psi j
\bigl(
\lambda - 1y
\bigr)
f(x - y)dy,
с учетом свойств свертки [13, c. 33], при любом 1 \leq q \leq \infty имеем
\| \psi j(\lambda
- 1D)f\| q \leq \| \scrF - 1\psi j(\lambda
- 1\cdot )\| 1\| f\| q \leq C\| f\| q, j = - 1, 0, 1. (20)
Теперь, очевидно, при любом k \geq 0 и \lambda \geq 1 (и, в частности, при \lambda \leq 2k )
\| \BbbE k\scrL \lambda \| Lq\rightarrow Lq \leq C. (21)
Далее, фиксируем k и пусть \lambda > 2k. Положим xm,k = m2 - k. Тогда для x \in [xm,k, xm+1,k)
\BbbE k\scrL \lambda f(x) = 2k
xm+1,k\int
xm,k
\left( \sum
l\in \BbbZ
\psi 0(\lambda
- 1l)
1\int
0
e2\pi ilyf(y)dye2\pi ilx
\right) dx =
= 2k
\sum
l\in \BbbZ
\psi 0(\lambda
- 1l)\lambda - 1
1\int
0
e2\pi il(xm+1,k - y) - e2\pi il(xm,k - y)
2\pi il\lambda - 1
f(y)dy =
= 2k\lambda - 1(\psi - 1(\lambda
- 1D)f(xm+1,k) - \psi - 1(\lambda
- 1D)f(xm,k)) (22)
и \left( xm+1,k\int
xm,k
| \BbbE k\scrL \lambda f(x)| qdx
\right)
1/q
\leq
\leq 2k\lambda - 1
\left( xm+1,k\int
xm,k
| \psi - 1(D/\lambda )f(xm+1,k) - \psi - 1(D/\lambda )f(xm,k)| qdx
\right)
1/q
. (23)
Теперь заметим, что правая часть (23) в силу неравенства | a + b| q \leq 2q - 1(| a| q + | b| q),
a, b \in \BbbR , q \geq 1, не превышает C(1)
q 2k\lambda - 1\omega (q)
\biggl(
\psi - 1(D/\lambda )f,
1
2k
\biggr)
c некоторой постоянной C(1)
q ,
зависящей от q (здесь \omega (q)(\varphi , \cdot ) обозначает q-интегральный при 1 \leq q <\infty модуль непрерыв-
ности функции \varphi на интервале [xm,k, xm+1,k)).
Последнее утверждение в сочетании с неравенством (23) и с учетом известных свойств
модуля непрерывности \omega (q)(\varphi , \cdot ) приводит к неравенству\left( xm+1,k\int
xm,k
| \BbbE k\scrL \lambda f(x)| qdx
\right)
1/q
\leq C(2)
q 2k\lambda - 1
\left( xm+1,k\int
xm,k
| \psi - 1(D/\lambda )f(x)| qdx
\right)
1/q
,
следствием которого является неравенство
\| \BbbE k\scrL \lambda f\| q \leq C2k\lambda - 1\| \psi - 1(D/\lambda )f\| q (24)
при \lambda > 2k. Из неравенств (20) и (24) получаем (18).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
690 В. С. РОМАНЮК
Неравенство (19) достаточно доказать в случае k \geq 1, \lambda \leq 2k. Зафиксируем x. Тогда
\BbbE k\scrL \lambda f(x) является усреднением \scrL \lambda f по некоторому интервалу [xm,k, xm+1,k) длины 2 - k,
содержащему x. По теореме о среднем значении, примененной к \BbbE k\scrL \lambda f(x) и \BbbE k - 1\scrL \lambda f(x) для
k \geq 1, можем записать
\BbbD k\scrL \lambda f(x) = \scrL \lambda f(x
\prime ) - \scrL \lambda f(x
\prime \prime ) = (\scrL \lambda f)
\prime (\widetilde x)(x\prime - x\prime \prime ),
где x\prime , x\prime \prime , \widetilde x отстоят от x на расстояние, не превышающее 2 - k+1. Далее, (\scrL \lambda f)
\prime = \lambda \psi 1(D/\lambda )f,
и тогда при 1 \leq q \leq \infty с учетом (20) имеем
\| \BbbD k\scrL \lambda f\| q \leq 2 - k+1\| (\scrL \lambda f)
\prime \| q \leq C\lambda 2 - k\| f\| q.
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть 1 \leq q \leq \infty , 1 \leq \theta \leq \infty и \gamma >
1
2
. Тогда
B0,\gamma
q,\theta \lhook \rightarrow \mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B0,\gamma
q,\theta . (25)
Доказательство. В [4] (лемма 3.2) доказано, что при \gamma >
1
2
справедливо вложение LG\gamma \lhook \rightarrow
\lhook \rightarrow LG\gamma
dyad. В принятых нами обозначениях это означает, что B0,\gamma
q,\theta \lhook \rightarrow \mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B0,\gamma
q,\theta при q = \infty и
\theta = \infty . В случае 1 \leq q < \infty и \theta = \infty схема доказательства такая же, как и в случае q = \infty и
\theta = \infty . При этом используем лемму 1 для 1 \leq q <\infty (вместо q = \infty ).
Итак, придерживаясь схемы доказательства леммы 3.2 из [4], докажем (25) в случае 1 \leq
\leq q \leq \infty , 1 \leq \theta < \infty . Предварительно установим одно неравенство, связывающее последо-
вательности норм \| \BbbD kf\| q, k \in \BbbZ +, и \| Lnf\| q, n \in \BbbZ +, при 1 \leq q < \infty , по аналогии с таким
неравенством из [4, c. 151], полученным для q = \infty .
С этой целью рассмотрим последовательность функций (\Psi n(s))
\infty
n=0, s \in \BbbR , определенную
следующим образом:
1) \Psi 0 — четная функция из C\infty (\BbbR ) такая, что \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\Psi 0 = ( - 4, 4) и \Psi 0(s) = 1 при s \in
\in ( - 2, 2);
2) \Psi n(s) := \Psi (2 - ns), n \in \BbbN , где \Psi — четная функция из C\infty (\BbbR ), удовлетворяющая
условиям \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\Psi =
\biggl(
- 8, - 1
8
\biggr)
\cup
\biggl(
1
8
, 8
\biggr)
и \Psi (s) = 1 при | s| \in
\biggl(
1
2
, 4
\biggr)
.
Тогда, очевидно, \Psi n\phi n = \phi n для всех n \in \BbbZ + и соответственно этому \Psi n(D)Ln = Ln.
Cледовательно, учитывая, что f(x) =
\sum \infty
n=0
Lnf(x) почти для всех x \in \BbbR , для 1 \leq q \leq \infty
можем записать
\| \BbbD kf\| q =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \BbbD k
\infty \sum
n=0
\Psi n(D)Lnf
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
n=0
\BbbD n\Psi n(D)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lq\rightarrow Lq
\| Lnf\| q. (26)
Но согласно определению \Psi n(D) — это \psi (\lambda - 1D) с \lambda = 2n+2 и функцией \psi (s) = \Psi (s1/3)
(а значит, \psi (s3) = \Psi (s)). Поэтому в силу леммы 1
\| \BbbD k\Psi n(D)\| Lq\rightarrow Lq \leq C2 - | k - n| ,
и из (26) получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
КОЛМОГОРОВСКИЕ ПОПЕРЕЧНИКИ И ЭНТРОПИЙНЫЕ ЧИСЛА . . . 691
\| \BbbD kf\| q \leq C
\infty \sum
n=0
2 - | k - n| \| Lnf\| q. (27)
Используя неравенство (27), для f \in B0,\gamma
q,\theta , 1 \leq q \leq \infty , при \theta = 1 имеем
\| f\|
dyadB0,\gamma
\infty ,\theta
=
\infty \sum
k=0
(k + 1)\gamma \| \BbbD kf\| q \leq C
\infty \sum
k=0
(k + 1)\gamma
\infty \sum
n=0
2 - | k - n| \| Lnf\| q \leq
\leq C1
\infty \sum
n=0
\| Lnf\| q
\infty \sum
k=0
(k + 1)\gamma 2 - | k - n| \leq C2
\infty \sum
n=0
\| Lnf\| q(n+ 1)\gamma = C2\| f\| B0,\gamma
q,\theta
.
В случае 1 < \theta <\infty и 1 \leq q \leq \infty
\| f\|
dyadB0,\gamma
q,\theta
=
\Biggl( \infty \sum
k=0
(k + 1)\gamma \theta \| \BbbD kf\| \theta q
\Biggr) 1/\theta
\leq
\leq C
\left( \infty \sum
k=0
(k + 1)\gamma \theta
\Biggl( \infty \sum
n=0
2 - | k - n| \| Lnf\| q
\Biggr) \theta
\right) 1/\theta \leq
\leq C1
\infty \sum
m=0
2 - m
\Biggl( \infty \sum
k= - m
(k +m+ 1)\gamma \theta \| Lk+m\| \theta q
\Biggr) 1/\theta
\leq C2\| f\| B0,\gamma
q,\theta
.
Лемма 2 доказана.
3. Доказательство теоремы 1. I. Оценка сверху величин \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \BbbB 0,\gamma
q,\theta
\| f - \BbbE Mf\| expL\nu . Пусть
f \in \BbbB 0,\gamma
q,\theta , 2 \leq q \leq \infty , 1 \leq \theta \leq \infty . Тогда из (6), учитывая, что последовательность операторов
(\BbbD n)
\infty
n=0 обладает тем свойством, что для f \in Lq(\BbbT ) имеем \BbbD k\BbbD lf(x) = 0 при k \not = l и
\BbbD k\BbbD lf(x) = \BbbD lf(x) при k = l, получаем
f(x) - \BbbE Mf(x) =
\infty \sum
k=M+1
\BbbD k\BbbD lf(x), (28)
и это равенство выполняется почти всюду на \BbbR .
Установим оценку сверху величин \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \BbbB 0,\gamma
q,\theta
\| f - \BbbE Mf\| expL\nu и, как следствие, оценку
сверху в теореме 1 для dn(\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}\BbbB 0,\gamma
q,\theta , \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L
\nu ) отдельно в каждом из трех случаев:
(i) 2 \leq q \leq \infty , \theta = \infty ;
(ii) q = \infty , 1 \leq \theta <\infty , \gamma > 1 - 1
\theta
;
(iii) 2 \leq q <\infty , 2 \leq \theta <\infty , \gamma >
1
2
- 1
\theta
.
В случае (i) при 2 \leq q < \infty , используя (28), а также лемму ST при 2 \leq p < \infty (полагая
при этом p = q) и 1 \leq s \leq 2 (тогда s\gamma > 1), имеем
p - 1/\nu \| f - \BbbE Mf\| p \leq C1p
1/s\prime - 1/\nu
\Biggl( \infty \sum
k=M+1
\| \BbbD kf\| sp
\Biggr) 1/s
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
692 В. С. РОМАНЮК
= C1p
1/s\prime - 1/\nu
\Biggl( \infty \sum
k=M+1
\| \BbbD kf\| sq
\Biggr) 1/s
\leq C2p
1/s\prime - 1/\nu
\Biggl( \infty \sum
k=M+1
(k + 1) - s\gamma
\Biggr) 1/s
\leq
\leq C(s, \gamma )p1 - 1/\nu - 1/sM1/s - \gamma . (29)
В последнем из неравенств в (29) мы воспользовались тем, что при \alpha > 1
\infty \sum
k=M
k - \alpha \leq
\infty \int
M
t - \alpha dt \leq C(\alpha )M1 - \alpha . (30)
Если \nu \leq 2, то из (29) при s = 2, \gamma >
1
2
\biggl(
тогда 1 - 1
\nu
- 1
s
< 0
\biggr)
, имеем
\| f - \BbbE Mf\| expL\nu \ll M
1
2
- \gamma .
Если же \nu > 2, то из (29) при s =
\nu
\nu - 1
\biggl(
тогда s \in (1, 2), 1 - 1
\nu
- 1
s
= 0, а условие
s\gamma > 1 влечет \gamma > 1 - 1
\nu
\biggr)
получаем
\| f - \BbbE Mf\| expL\nu \ll M1 - 1
\nu
- \gamma .
Для доказательства оценки сверху величин \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \BbbB 0,\gamma
q,\theta
\| f - \BbbE Mf\| expL\nu в случае (i) при
q = \infty достаточно повторить ее доказательство при 2 \leq q < \infty , отправляясь от (29), заменив
в нем знак = на знак < .
Таким образом, в случае (i) оценка сверху в теореме 1 доказана.
В случае (ii) при q = \infty , 1 \leq \theta < \infty , используя (28) и лемму ST при s = 1, а затем
учитывая условие \gamma > 1 - 1
\theta
, т. е. \gamma \theta \prime > 1, при любом 1 \leq p <\infty имеем
p - 1/\nu \| f - \BbbE Mf\| p \leq Cp - 1/\nu
\infty \sum
k=M+1
\| \BbbD kf\| p \leq
\leq Cp - 1/\nu
\infty \sum
k=M+1
\| \BbbD kf\| \infty \leq Cp - 1/\nu
\infty \sum
k=M+1
(k + 1) - \gamma \| \BbbD kf\| \infty (k + 1)\gamma \leq
\leq Cp - 1/\nu
\Biggl( \infty \sum
k=M+1
(k + 1) - \gamma \theta \prime
\Biggr) 1/\theta \prime \Biggl( \infty \sum
k=M+1
(k + 1)\gamma \theta \| \BbbD kf\| \theta \infty
\Biggr) 1/\theta
\leq
\leq C(\gamma )M - \gamma +1 - 1/\theta . (31)
Здесь, в последнем неравенстве, мы снова воспользовались соотношением (30).
Из (31) заключаем, что для f \in \BbbB 0,\gamma
q,\theta , q = \infty , 1 \leq \theta <\infty и \gamma > 1 - 1
\theta
\| f - \BbbE Mf\| expL\nu \ll M - \gamma +1 - 1/\theta . (32)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
КОЛМОГОРОВСКИЕ ПОПЕРЕЧНИКИ И ЭНТРОПИЙНЫЕ ЧИСЛА . . . 693
В случае (iii) при 2 < \theta <\infty и \gamma >
1
2
- 1
\theta
рассуждения аналогичны случаям (i) и (ii). А именно,
используя лемму ST при 2 \leq p <\infty и s = 2, полагая при этом p = q, для f \in \mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B0,\gamma
q,\theta имеем
p - 1/\nu \| f - \BbbE Mf\| p \leq Cp - 1/\nu
\Biggl( \infty \sum
k=M+1
\| \BbbD kf\| 2p
\Biggr) 1/2
\leq
\leq Cp - 1/\nu
\Biggl( \infty \sum
k=M+1
(k + 1) - 2\gamma [(k + 1)2\gamma \| \BbbD kf\| 2p]
\Biggr) 1/2
\leq
\leq Cp - 1/\nu
\Biggl( \infty \sum
k=M+1
(k + 1) -
2\gamma \theta
\theta - 2
\Biggr) (1 - 2/\theta )/2\Biggl( \infty \sum
k=M+1
(k + 1)\gamma \theta \| \BbbD kf\| \theta q
\Biggr) 1/\theta
\leq
\leq C0(\gamma )M
- \gamma +1/2 - 1/\theta \| f\|
dyadB0,\gamma
q,\theta
. (33)
В третьем неравенстве соотношения (33) мы воспользовались неравенством Гельдера
\infty \sum
k=1
akbk \leq
\Biggl( \infty \sum
k=1
a\mu k
\Biggr) 1/\mu \Biggl( \infty \sum
k=1
b\mu
\prime
k
\Biggr) 1/\mu \prime
,
1
\mu
+
1
\mu \prime
= 1,
с \mu =
\theta
2
\biggl(
тогда
1
\mu \prime
= 1 - 2
\theta
и \mu \prime =
\theta
\theta - 2
\biggr)
, полагая ak = (k+1) - 2\gamma , bk = (k+1)2\gamma \| \BbbD kf\| 2p
при k = M + 1,M + 2, . . . и ak = bk = 0 при k = 1, . . . ,M. Последнее же неравенство в (33)
— следствие соотношения (30).
Теперь для любого \nu > 0 и f \in dyad\BbbB 0,\gamma
q,\theta из (33) с учетом условия \gamma >
1
2
- 1
\theta
получаем
\| f - \BbbE Mf\| expL\nu \ll M - \gamma +1/2 - 1/\theta .
В случае (iii) при \theta = 2 и \gamma > 0 аналогичным образом приходим к соотношению
p - 1/\nu \| f - \BbbE Mf\| p \leq C1p
- 1/\nu M - \gamma
\Biggl( \infty \sum
k=M+1
(k + 1)\gamma \theta \| \BbbD kf\| \theta q
\Biggr) 1/\theta
\leq
\leq C1p
- 1/\nu M - \gamma \| f\|
dyadB0,\gamma
q,\theta
,
откуда для f \in \mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}\BbbB 0,\gamma
q,\theta имеем
\| f - \BbbE Mf\| expL\nu \ll M - \gamma .
Теперь, учитывая, что для любой функции f \in \mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B0,\gamma
q,\theta имеет место вложение \BbbE Mf \subset
\subset Xm, где Xm — пространство, порожденное характеристическими функциями gj , j =
= 0, 1, . . . , 2M - 1, интервалов [j2 - M , (j + 1)2 - M ] и \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}Xm = 2M , и полагая n = 2M + j,
j = 0, 1, . . . , 2M - 1, как следствие установленных оценок сверху величин \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \BbbB 0,\gamma
q,\theta
\| f -
- \BbbE Mf\| expL\nu получаем искомые оценки сверху величин dn
\Bigl(
\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}\BbbB 0,\gamma
q,\theta , \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L
\nu
\Bigr)
в теореме 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
694 В. С. РОМАНЮК
II. Оценка снизу для \epsilon n(\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B
0,\gamma
q,\theta , \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L
\nu ). В случае q = \infty , \theta = \infty оценка снизу, с учетом
отождествления B0,\gamma
\infty ,\infty и LG\gamma , а также вложения B0,\gamma
\infty ,\infty \lhook \rightarrow \mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B0,\gamma
\infty ,\infty при \gamma >
1
2
, известна
(см. теорему ST):
\epsilon n
\bigl(
\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B0,\gamma
\infty ,\infty , \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L
\nu
\bigr)
\gg
\left\{ (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2 n)
- \gamma +1/2, \gamma >
1
2
, \nu < 2,
(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2 n)
- \gamma +1 - 1/\nu , \gamma > 1 - \nu - 1, \nu \geq 2.
В случае 2 \leq q < \infty , \theta = \infty (даже при 1 \leq q \leq \infty ), учитывая, что B0,\gamma
\infty ,\infty \lhook \rightarrow B0,\gamma
q,\infty \lhook \rightarrow
\lhook \rightarrow \mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B0,\gamma
q,\infty , оценку снизу для \epsilon n
\Bigl(
\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B0,\gamma
q,\infty , \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L\nu
\Bigr)
получаем автоматически из оценки
снизу для \epsilon n(B
0,\gamma
\infty ,\infty , \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L\nu ), установленной в [4].
Оценку снизу в случаях q = \infty , 1 \leq \theta < \infty и 2 \leq q \leq \infty , 2 \leq \theta < \infty снова получаем как
следствие оценок снизу для \epsilon n
\Bigl(
B0,\gamma
q,\infty , Lp
\Bigr)
, 1 \leq p \leq \infty , в теоремах С1 и С2, с учетом вложения
B0,\gamma
q,\theta \lhook \rightarrow \mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B0,\gamma
q,\theta (см. лемму 2) и неравенства
\epsilon n
\Bigl(
\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B0,\gamma
q,\theta , \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L
\nu
\Bigr)
\geq \epsilon n
\Bigl(
\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B0,\gamma
q,\theta , Lp
\Bigr)
\geq C\epsilon n
\Bigl(
B0,\gamma
q,\theta , Lp
\Bigr)
.
III. Заключение. Применяя лемму А в ситуации установленных в пункте I оценок сверху
величин dn
\Bigl(
\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}\BbbB 0,\gamma
q,\theta , \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L
\nu
\Bigr)
и в пункте II оценок снизу величин \epsilon n
\Bigl(
\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d}B0,\gamma
q,\theta , \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}L
\nu
\Bigr)
,
окончательно получаем утверждение теоремы 1.
Литература
1. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. – М.: Мир, 1965. – Т. 1. – 615 c.
2. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1977. – 744 c.
3. Horoske D. D. Enveloppes and sharp embedding of function spaces. – Chapman Hill, 2007.
4. Seeger A., Trebels W. Low regularity classes and entropy numbers // Arch. Math. – 2009. – 92. – P. 147 – 157.
5. Кашин Б. С., Темляков В. Н. Об одной норме и аппроксимационных характеристиках классов функций многих
переменных // Соврем. математика. Фундам. направления. – 2007. – 25. – С. 58 – 79.
6. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. – М.: Наука, 1984. – 495 c.
7. Романюк В. С. Кратный базис Хаара и его свойства // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 9. – С. 1253 – 1264.
8. Романюк А. С. Оценки энтропийных чисел и колмогоровских поперечников классов Никольского – Бесова
периодических функций многих переменных // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 11. – С. 1540 – 1556.
9. Романюк А. С. Энтропийные числа и поперечники классов B0
p,\theta периодических функций многих переменных //
Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 10. – С. 1403 – 1417.
10. Pisier G. The volume of convex bodies and Banach space geometry. – Gambridge: Cambridge Univ. Press, 1989. –
251 p.
11. Стасюк С. А. Колмогоровские поперечники аналогов классов Никольского – Бесова с логарифмической глад-
костью // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 11. – С. 1640 – 1645.
12. Schmeisser H.-J., Triebel H. Topic in Fourier analysis and function spaces. – Chichester: Wiley, 1987.
13. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1969. – 480 c.
Получено 10.02.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1727 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:31Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/51/37e19d0c39f7a2c369b090334e39f851.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17272019-12-05T09:24:56Z Kolmogorov widths and entropy numbers in the Orlich spaces with the Luxembourg norm Колмогоровские поперечники и энтропийные числа в пространствах Орлича с нормой Люксембурга Romanyuk, V. S. Романюк, В. С. Романюк, В. С. We obtain the exact-order estimates of the Kolmogorov widths and entropy numbers of unit balls from the binary Besov spaces \$\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d} B^{0,\gamma}_{ p,\theta}$ compactly embedded in the exponential Orlich $\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} L^{\nu}$ spaces equipped with the Luxembourg norm. Встановлено точнi за порядком оцiнки колмогоровських поперечникiв та ентропiйних чисел одиничних куль iз двiйкових просторiв Бєсова $\mathrm{d}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{d} B^{0,\gamma}_{ p,\theta}$, компактно вкладених в експоненцiальнi простори Орлiча $\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} L^{\nu}$, що надiленi нормою Люксембурга. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1727 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 5 (2017); 682-694 Український математичний журнал; Том 69 № 5 (2017); 682-694 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1727/709 Copyright (c) 2017 Romanyuk V. S. |
| spellingShingle | Romanyuk, V. S. Романюк, В. С. Романюк, В. С. Kolmogorov widths and entropy numbers in the Orlich spaces with the Luxembourg norm |
| title | Kolmogorov widths and entropy numbers in the Orlich spaces with the
Luxembourg norm |
| title_alt | Колмогоровские поперечники и энтропийные числа в пространствах Орлича
с нормой Люксембурга |
| title_full | Kolmogorov widths and entropy numbers in the Orlich spaces with the
Luxembourg norm |
| title_fullStr | Kolmogorov widths and entropy numbers in the Orlich spaces with the
Luxembourg norm |
| title_full_unstemmed | Kolmogorov widths and entropy numbers in the Orlich spaces with the
Luxembourg norm |
| title_short | Kolmogorov widths and entropy numbers in the Orlich spaces with the
Luxembourg norm |
| title_sort | kolmogorov widths and entropy numbers in the orlich spaces with the
luxembourg norm |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1727 |
| work_keys_str_mv | AT romanyukvs kolmogorovwidthsandentropynumbersintheorlichspaceswiththeluxembourgnorm AT romanûkvs kolmogorovwidthsandentropynumbersintheorlichspaceswiththeluxembourgnorm AT romanûkvs kolmogorovwidthsandentropynumbersintheorlichspaceswiththeluxembourgnorm AT romanyukvs kolmogorovskiepoperečnikiiéntropijnyečislavprostranstvahorličasnormojlûksemburga AT romanûkvs kolmogorovskiepoperečnikiiéntropijnyečislavprostranstvahorličasnormojlûksemburga AT romanûkvs kolmogorovskiepoperečnikiiéntropijnyečislavprostranstvahorličasnormojlûksemburga |