Approximation of the classes of generalized Poisson integrals by Fourier sums in metrics of the spaces $L_s$
In metrics of the spaces $L_s,\; 1 \leq s \leq \infty$, we establish asymptotic equalities for the upper bounds of approximations by Fourier sums in the classes of generalized Poisson integrals of periodic functions that belong to the unit ball of space $L_1$.
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1728 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507575561224192 |
|---|---|
| author | Serdyuk, A. S. Stepanyuk, T. A. Сердюк, А. С. Степанюк, Т. А. |
| author_facet | Serdyuk, A. S. Stepanyuk, T. A. Сердюк, А. С. Степанюк, Т. А. |
| author_sort | Serdyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:24:56Z |
| description | In metrics of the spaces $L_s,\; 1 \leq s \leq \infty$, we establish asymptotic equalities for the upper bounds of approximations by
Fourier sums in the classes of generalized Poisson integrals of periodic functions that belong to the unit ball of space $L_1$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
А. С. Сердюк (Iн-т математики НАН України, Київ),
Т. А. Степанюк (Схiдноєвроп. нац. ун-т iм. Л. Українки, Луцьк; Техн. ун-т м. Грацi, Австрiя)
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ УЗАГАЛЬНЕНИХ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА
СУМАМИ ФУР’Є В МЕТРИКАХ ПРОСТОРIВ \bfitL \bfits *
In metrics of the spaces Ls, 1 \leq s \leq \infty , we establish asymptotic equalities for the upper bounds of approximations by
Fourier sums in the classes of generalized Poisson integrals of periodic functions that belong to the unit ball of space L1.
В метриках пространств Ls, 1 \leq s \leq \infty , найдены асимптотические равенства для верхних граней приближений
суммами Фурье на классах обобщенных интегралов Пуассона периодических функций, принадлежащих единичному
шару пространства L1.
Дана стаття тiсно пов’язана з роботами авторiв [1, 2]. В нiй продовжуються дослiдження
апроксимативних властивостей сум Фур’є на класах узагальнених iнтегралiв Пуассона C\alpha ,r
\beta ,p .
Нехай Ls, 1 \leq s < \infty , — простiр 2\pi -перiодичних сумовних в s-й степенi на [0, 2\pi )
функцiй f, в якому норму задано формулою \| f\| s =
\biggl( \int 2\pi
0
| f(t)| sdt
\biggr) 1/s
; L\infty — простiр 2\pi -
перiодичних вимiрних i суттєво обмежених функцiй f з нормою \| f\| \infty = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t
| f(t)| ; C —
простiр 2\pi -перiодичних неперервних функцiй f, у якому норма задається за допомогою рiвнос-
тi \| f\| C = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t
| f(t)| .
Позначимо через C\alpha ,r
\beta ,p , \alpha > 0, r > 0, 1 \leq p \leq \infty , множину всiх 2\pi -перiодичних функцiй,
котрi при всiх x \in \BbbR зображуються за допомогою згортки (див., наприклад, [3, с. 144])
f(x) =
a0
2
+
1
\pi
\pi \int
- \pi
P\alpha ,r,\beta (x - t)\varphi (t)dt, a0 \in \BbbR , \varphi \in B0
p , (1)
B0
p =
\bigl\{
\varphi : \| \varphi \| p \leq 1, \varphi \bot 1
\bigr\}
, 1 \leq p \leq \infty ,
з узагальненими ядрами Пуассона вигляду
P\alpha ,r,\beta (t) =
\infty \sum
k=1
e - \alpha kr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
kt - \beta \pi
2
\biggr)
, \alpha > 0, r > 0, \beta \in \BbbR .
Функцiї f вигляду (1) називають узагальненими iнтегралами Пуассона функцiй \varphi . При r = 1
класи C\alpha ,r
\beta ,p є вiдомими класами iнтегралiв Пуассона.
При довiльних r > 0 класи C\alpha ,r
\beta ,p належать до множини D\infty нескiнченно диференцiйовних
2\pi -перiодичних функцiй, тобто C\alpha ,r
\beta ,p \subset D\infty (див., наприклад, [3, с. 139; 4, с. 1408]). Бiльш того,
як випливає з теореми 1 роботи [5], при довiльних r > 0, \alpha > 0, \beta \in \BbbR i 1 \leq p \leq \infty має мiсце
вкладення C\alpha ,r
\beta ,p \subset \scrJ 1/r, де \scrJ a, a > 0, — вiдомi класи Жевре
\scrJ a =
\left\{ f \in D\infty : \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\in \BbbN
\Biggl(
\| f (k)\| C
(k!)a
\Biggr) 1/k
< \infty
\right\} .
* Частково пiдтримано проектом F5503 Австрiйського наукового фонду FWF (частина спецiальної програми
дослiджень (SFB) „Методи квазi-Монте-Карло: теорiя i застосування”).
c\bigcirc А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5 695
696 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
При r \geq 1 класи C\alpha ,r
\beta ,p складаються з функцiй f, якi допускають регулярне продовження у смугу
| \mathrm{I}\mathrm{m} z| \leq c, c > 0, комплексної площини (див., наприклад, [3, с. 141]), тобто є класами аналi-
тичних функцiй. При r > 1 класи C\alpha ,r
\beta ,p складаються з функцiй, регулярних в усiй комплекснiй
площинi, тобто є класами цiлих функцiй (див., наприклад, [3, с. 142]).
Розглянемо апроксимативнi характеристики вигляду
\scrE n(C\alpha ,r
\beta ,p )s = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in C\alpha ,r
\beta ,p
\bigm\| \bigm\| f(\cdot ) - Sn - 1(f ; \cdot )
\bigm\| \bigm\|
s
, r > 0, \alpha > 0, \beta \in \BbbR , 1 \leq p, s \leq \infty , (2)
де Sn - 1(f ; \cdot ) — частиннi суми Фур’є порядку n - 1 функцiї f.
На даний час порядковi оцiнки величин \scrE n(C\alpha ,r
\beta ,p )s вигляду (2) вiдомi при всiх допустимих
значеннях параметрiв \alpha , r, \beta , p i s (див. роботи [6, с. 60; 7 – 9] i наведену в них бiблiографiю).
У данiй роботi будемо дослiджувати величини (2) при p = 1 i r \in (0, 1) з метою одержання
для них асимптотичних при n \rightarrow \infty рiвностей.
При s = \infty асимптотичнi рiвностi для величин вигляду (2) вiдомi при всiх r > 0, \alpha > 0,
\beta \in \BbbR i 1 \leq p \leq \infty (див. [1, 2]). В зазначеному випадку норму \| \cdot \| \infty у (2) можна замiнити на
\| \cdot \| C , тобто \scrE n(C\alpha ,r
\beta ,p )\infty = \scrE n(C\alpha ,r
\beta ,p )C .
Щодо питання про сильну асимптотику при n \rightarrow \infty величини (2) у випадку p = 1 зазначимо
наступне.
Випадок r = 1, s = 1 дослiдив С. М. Нiкольський [10, с. 221], встановивши асимптотичну
рiвнiсть
\scrE n
\bigl(
C\alpha ,1
\beta ,1
\bigr)
1
= e - \alpha n
\biggl(
8
\pi 2
\bfK (e - \alpha ) +O(1)n - 1
\biggr)
, (3)
де
\bfK (q) :=
\pi /2\int
0
dt\sqrt{}
1 - q2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 t
, q \in (0, 1),
— повний елiптичний iнтеграл першого роду, а O(1) — величина, рiвномiрно обмежена вiдносно
параметрiв n i \beta .
Згодом рiвнiсть (3) уточнив С. Б. Стєчкiн в [11, с. 139], встановивши асимптотичну формулу
\scrE n
\bigl(
C\alpha ,1
\beta ,1
\bigr)
1
= e - \alpha n
\biggl(
8
\pi 2
\bfK (e - \alpha ) +O(1)
e - \alpha
(1 - e - \alpha )n
\biggr)
, \alpha > 0, \beta \in \BbbR , (4)
в якiй величина O(1) рiвномiрно обмежена вiдносно всiх розглядуваних параметрiв.
У роботi [12] при r = 1 i довiльних 1 \leq s \leq \infty для величин \scrE n
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
s
, \alpha > 0, \beta \in \BbbR ,
встановлено рiвнiсть
\scrE n
\bigl(
C\alpha ,1
\beta ,1
\bigr)
s
= e - \alpha n
\biggl(
2
\pi 1+1/s
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| sK(s, e - \alpha ) +O(1)
e - \alpha
n(1 - e - \alpha )\sigma (s)
\biggr)
, (5)
де
\sigma (s) :=
\left\{ 1, s = 1,
2, s \in (1,\infty ],
(6)
K(s, q) :=
1
21+1/s
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (1 - 2q \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t+ q2) - 1/2
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
s
, q \in (0, 1), (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ УЗАГАЛЬНЕНИХ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА СУМАМИ ФУР’Є В МЕТРИКАХ . . . 697
a величина O(1) рiвномiрно обмежена вiдносно n, s, \alpha i \beta . При s = 1, з урахуванням рiвностi
K(1, q) = \bfK (q), оцiнка (5) збiгається з оцiнкою (4).
Як показано у [13], при 1 \leq s < \infty має мiсце рiвнiсть
K(s, q) =
\pi 1/s
2
F 1/s
\Bigl( s
2
,
s
2
; 1; q2
\Bigr)
, q \in (0, 1),
де F (a, b; c; z) — гiпергеометрична функцiя Гаусса
F (a, b; c; z) = 1 +
\infty \sum
k=1
(a)k(b)k
(c)k
zk
k!
,
(x)k := x(x+ 1)(x+ 2) . . . (x+ k - 1).
У [14, с. 250] доведено, що для величин \scrE n
\bigl(
C\alpha ,1
\beta ,1
\bigr)
s
при s = 2 виконується рiвнiсть
\scrE n
\bigl(
C\alpha ,1
\beta ,1
\bigr)
2
=
1\sqrt{}
\pi (1 - e - 2\alpha )
e - \alpha n, \alpha > 0, \beta \in \BbbR , n \in \BbbN . (8)
Рiвнiсть (8) уточнює асимптотичну рiвнiсть (5) при s = 2 в такому сенсi: зазначена рiв-
нiсть (5) при s = 2 залишається правильною, якщо в нiй обнулити залишковий член. Отже,
взявши до уваги формули (6) – (8) та очевидну рiвнiсть F (1, 1; 1; q2) =
1
1 - q2
, q \in (0, 1), для
всiх \alpha > 0, \beta \in \BbbR i 1 \leq s \leq \infty можемо записати формулу
\scrE n
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
s
=
\left\{
e - \alpha n
\biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| s
\pi
F 1/s
\Bigl( s
2
,
s
2
; 1; e - \alpha
\Bigr)
+O(1)
\xi (s)e - \alpha
n(1 - e - \alpha )\sigma (s)
\biggr)
, 1 \leq s < \infty ,
e - \alpha n
\biggl(
1
\pi (1 - e - \alpha )
+O(1)
e - \alpha
n(1 - e - \alpha )2
\biggr)
, s = \infty ,
в якiй
\xi (s) =
\left\{ 0, s = 2,
1, s \in [1, 2) \cup (2,\infty ),
\sigma (s) означена формулою (6), a O(1) — величина, що рiвномiрно обмежена вiдносно всiх роз-
глядуваних параметрiв.
Крiм того, як випливає з [14], при всiх r > 0 має мiсце рiвнiсть
\scrE n
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
2
=
1\surd
\pi
\Biggl( \infty \sum
k=n
e - 2\alpha kr
\Biggr) 1/2
, \alpha > 0, r > 0, \beta \in \BbbR , n \in \BbbN . (9)
У випадку r > 1 i s = 1 асимптотично точнi оцiнки для величин \scrE n
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
s
, \alpha > 0, \beta \in \BbbR ,
були одержанi О. I. Степанцем [15, с. 155], який показав, що для довiльних n \in \BbbN
\scrE n
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
1
=
\biggl(
4
\pi
+ \gamma n
\biggr)
e - \alpha nr
, (10)
де
| \gamma n| < 2
\biggl(
1 +
1
\alpha rnr - 1
\biggr)
e - \alpha rnr - 1
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
698 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
Згодом С. О. Теляковський [16, с. 517] при r > 1, \alpha > 0 i \beta \in \BbbR встановив асимптотичну
рiвнiсть
\scrE n
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
1
=
4
\pi
e - \alpha nr
+O(1)
\biggl(
e - \alpha (2(n+1)r - nr) +
\biggl(
1 +
1
\alpha r(n+ 2)r
\biggr)
e - \alpha (n+2)r
\biggr)
, (11)
де O(1) — величина, що рiвномiрно обмежена вiдносно всiх розглядуваних параметрiв. Фор-
мула (11) мiстить бiльш точну оцiнку залишкового члена в асимптотичному розкладi величин
\scrE n
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
1
у порiвняннi з оцiнкою (10).
При r > 1 i довiльних 1 \leq s \leq \infty асимптотичнi рiвностi для величин \scrE n
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
s
, \alpha > 0,
\beta \in \BbbR , знайденi в [12, с. 1408] i мають вигляд
\scrE n
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
s
= e - \alpha nr
\biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| s
\pi
+O(1)
\biggl(
1 +
1
\alpha rnr - 1
\biggr)
e - \alpha rnr - 1
\biggr)
, (12)
де величина O(1) рiвномiрно обмежена вiдносно всiх розглядуваних параметрiв. При s = 1
формула (12) випливає iз (10) i (11).
Що ж стосується випадку 0 < r < 1, то асимптотичнi рiвностi для величин \scrE n
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
s
,
\alpha > 0, \beta \in \BbbR , за винятком наведеного випадку s = 2, були вiдомi у випадку s = 1 (див.
[15, с. 153])
\scrE n
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
1
=
4
\pi 2
e - \alpha nr
\mathrm{l}\mathrm{n}n1 - r +O(1)e - \alpha nr
, (13)
а також у випадку s = \infty (див. [1, 2])
\scrE n
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
\infty = e - \alpha nr
n1 - r
\biggl(
1
\pi \alpha r
+O(1)
\biggl(
1
(\alpha r)2
1
nr
+
1
n1 - r
\biggr) \biggr)
,
де O(1) — величини, що рiвномiрно обмеженi вiдносно параметрiв n i \beta .
Зауважимо, що на класах C\alpha ,r
\beta ,1 , \alpha > 0, \beta \in \BbbR , при 0 < r < 1 у випадку наближень у
метриках просторiв Ls, 1 < s \leq \infty , суми Фур’є забезпечують порядок найкращих наближень
тригонометричними полiномами, тобто (див., наприклад, [7, 8])
\scrE n
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
s
\asymp En
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
s
\asymp e - \alpha nr
n(1 - r)/s\prime ,
1
s
+
1
s\prime
= 1,
де
En
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
s
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in C\alpha ,r
\beta ,1
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
tn - 1\in \scrT 2n - 1
\| f - tn - 1\| s,
\scrT 2n - 1 — пiдпростiр усiх тригонометричних полiномiв tn - 1 порядку не вищого за n - 1.
У данiй роботi встановлено асимптотично непокращуванi оцiнки величин \scrE n
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
s
, \alpha > 0,
\beta \in \BbbR , при довiльних 0 < r < 1 i 1 \leq s \leq \infty . При цьому в отриманих асимптотичних рiвностях
в явному виглядi записано оцiнки залишкового члена через параметри задачi, що може бути
корисним для практичного застосування.
При довiльних фiксованих \alpha > 0, r \in (0, 1) i 1 \leq p \leq \infty через n0 = n0(\alpha , r, p) позначимо
найменший iз номерiв n такий, що
1
\alpha r
1
nr
+
\alpha r\chi (p)
n1 - r
\leq
\left\{
1
14
, p = 1,
1
(3\pi )3
p - 1
p
, 1 < p < \infty ,
1
(3\pi )3
, p = \infty ,
(14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ УЗАГАЛЬНЕНИХ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА СУМАМИ ФУР’Є В МЕТРИКАХ . . . 699
де \chi (p) = p при 1 \leq p < \infty i \chi (p) = 1 при p = \infty ; через n1 = n1(\alpha , r) — найменший iз
номерiв n такий, що
1
\alpha r
1
nr
\biggl(
1 + \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
\pi n1 - r
\alpha r
\biggr) \biggr)
+
\alpha r
n1 - r
\leq 1
(3\pi )3
. (15)
Також при довiльних \upsilon > 0 i 1 \leq s \leq \infty покладемо
Js(\upsilon ) :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1\surd
t2 + 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Ls[0,\upsilon ]
,
де
\| f\| Ls[a,b] =
\left\{
\left( b\int
a
| f(t)| sdt
\right) 1/s
, 1 \leq s < \infty ,
\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [a,b]
| f(t)| , s = \infty .
У прийнятих позначеннях має мiсце наступне твердження.
Теорема 1. Нехай 0 < r < 1, 1 \leq s \leq \infty , \alpha > 0 i \beta \in \BbbR . Тодi при n \geq n0(\alpha , r, s
\prime ),
1
s
+
1
s\prime
= 1, справджується оцiнка
\scrE n
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
s
= e - \alpha nr
n(1 - r)/s\prime
\Biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| s
\pi 1+1/s(\alpha r)1/s\prime
Js
\biggl(
\pi n1 - r
\alpha r
\biggr)
+
+\gamma (1)n,s
\biggl(
1
(\alpha r)1+1/s\prime
Js
\biggl(
\pi n1 - r
\alpha r
\biggr)
1
nr
+
1
n(1 - r)/s\prime
\biggr) \Biggr)
, (16)
де для величини \gamma
(1)
n,s = \gamma
(1)
n,s(\alpha , r, \beta ) виконується нерiвнiсть
\bigm| \bigm| \gamma (1)n,s
\bigm| \bigm| \leq (14\pi )2.
Доведення. Згiдно з (1) i (2)
\scrE n
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
s
=
1
\pi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in B0
1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\pi \int
- \pi
P
(n)
\alpha ,r,\beta (x - t)\varphi (t)dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
s
, 1 \leq s \leq \infty , (17)
де
P
(n)
\alpha ,r,\beta (t) :=
\infty \sum
k=n
e - \alpha kr \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
kt - \beta \pi
2
\biggr)
, 0 < r < 1, \alpha > 0, \beta \in \BbbR .
Далi скористаємось наступним твердженням з роботи [12, с. 1398].
Лема 1. Нехай K \in Ls, 1 \leq s \leq \infty . Тодi для величини
\scrE (K)s := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in B0
1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1\pi
\pi \int
- \pi
\varphi (\cdot - t)K(t)dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
s
виконуються спiввiдношення
1
2\pi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
h\in \BbbR
\bigm\| \bigm\| K(\cdot ) - K(\cdot + h)
\bigm\| \bigm\|
s
\leq \scrE (K)s \leq
1
\pi
\| K\| s. (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
700 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
Покладаючи в умовах леми 1 K(t) = P
(n)
\alpha ,r,\beta (t) i враховуючи рiвнiсть (17), з (18) отримуємо
спiввiдношення
1
2\pi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
h\in \BbbR
\bigm\| \bigm\| \bigm\| P (n)
\alpha ,r,\beta (\cdot ) - P
(n)
\alpha ,r,\beta (\cdot + h)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
s
\leq \scrE
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
s
\leq 1
\pi
\bigm\| \bigm\| \bigm\| P (n)
\alpha ,r,\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
s
, 1 \leq s \leq \infty . (19)
Згiдно з [1, 2], при довiльних r \in (0, 1), \alpha > 0, \beta \in \BbbR , 1 \leq s \leq \infty ,
1
s
+
1
s\prime
= 1 i n \in \BbbN при
n \geq n0(\alpha , r, s
\prime ) мають мiсце спiввiдношення
1
\pi
\bigm\| \bigm\| P (n)
\alpha ,r,\beta
\bigm\| \bigm\|
s
= e - \alpha nr
n(1 - r)/s\prime
\biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| s
\pi 1+1/s(\alpha r)1/s\prime
Js
\biggl(
\pi n1 - r
\alpha r
\biggr)
+
+\delta (1)n,s
\biggl(
1
(\alpha r)1+1/s\prime
Js
\Bigl( \pi n1 - r
\alpha r
\Bigr) 1
nr
+
1
n(1 - r)/s\prime
\biggr) \biggr)
, (20)
1
\pi
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\lambda \in \BbbR
\bigm\| \bigm\| P (n)
\alpha ,r,\beta (\cdot ) - \lambda )
\bigm\| \bigm\|
s
= e - \alpha nr
n(1 - r)/s\prime
\biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| s
\pi 1+1/s(\alpha r)1/s\prime
Js
\biggl(
\pi n1 - r
\alpha r
\biggr)
+
+\delta (2)n,s
\biggl(
1
(\alpha r)1+1/s\prime
Js
\Bigl( \pi n1 - r
\alpha r
\Bigr) 1
nr
+
1
n(1 - r)/s\prime
\biggr) \biggr)
, (21)
1
2\pi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
h\in \BbbR
\bigm\| \bigm\| P (n)
\alpha ,r,\beta (\cdot ) - P
(n)
\alpha ,r,\beta (\cdot + h)
\bigm\| \bigm\|
s
= e - \alpha nr
n(1 - r)/s\prime
\biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| s
\pi 1+1/s(\alpha r)1/s\prime
Js
\biggl(
\pi n1 - r
\alpha r
\biggr)
+
+\delta (3)n,s
\biggl(
1
(\alpha r)1+1/s\prime
Js
\biggl(
\pi n1 - r
\alpha r
\biggr)
1
nr
+
1
n(1 - r)/s\prime
\biggr) \biggr)
, (22)
де для величин \delta
(i)
n,s = \delta
(i)
n,s(\alpha , r, \beta ), i = 1, 3, виконується нерiвнiсть
\bigm| \bigm| \delta (i)n,s
\bigm| \bigm| \leq (14\pi )2.
З формул (19), (20) i (22) випливає (16).
Теорему 1 доведено.
Наведемо деякi наслiдки з теореми 1.
При 1 < s < \infty з теореми 1 випливає таке твердження.
Теорема 2. Нехай 0 < r < 1, 1 < s < \infty , \alpha > 0 i \beta \in \BbbR . Тодi при n \geq n0(\alpha , r, s
\prime ),
1
s
+
1
s\prime
= 1, справджується оцiнка
\scrE n
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
s
= e - \alpha nr
n(1 - r)/s\prime
\biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| s
\pi 1+1/s(\alpha r)1/s\prime
F 1/s
\biggl(
1
2
,
3 - s
2
;
3
2
; 1
\biggr)
+
+ \gamma (2)n,s
\Biggl( \Biggl(
1 +
(\alpha r)(s - 1)/s\prime
s - 1
\Biggr)
1
n(1 - r)/s\prime
+
(s\prime )1/s
(\alpha r)1+1/s\prime
1
nr
\Biggr) \Biggr)
, (23)
де F (a, b; c; z) — гiпергеометрична функцiя Гаусса, а для величини \gamma
(2)
n,s = \gamma
(2)
n,s(\alpha , r, \beta ) викону-
ється нерiвнiсть
\bigm| \bigm| \gamma (2)n,s
\bigm| \bigm| \leq (14\pi )2.
Доведення. Згiдно з теоремою 1, для всiх 1 < s < \infty , 0 < r < 1, \alpha > 0, \beta \in \BbbR при
n \geq n0(\alpha , r, s
\prime ),
1
s
+
1
s\prime
= 1, має мiсце оцiнка
\scrE n
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
s
= e - \alpha nr
n(1 - r)/s\prime
\left( \| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| s
(\alpha r)1/s\prime \pi 1+1/s
\left( \pi n1 - r/\alpha r\int
0
dt
(t2 + 1)s/2
\right)
1/s
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ УЗАГАЛЬНЕНИХ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА СУМАМИ ФУР’Є В МЕТРИКАХ . . . 701
+ \gamma (1)n,s
\left( 1
(\alpha r)1+1/s\prime
\left( \pi n1 - r/\alpha r\int
0
dt
(t2 + 1)s/2
\right)
1/s
1
nr
+
1
n(1 - r)/s\prime
\right)
\right) , (24)
де
1
s
+
1
s\prime
= 1 i величина \gamma
(1)
n,s = \gamma
(1)
n,s(\alpha , r, \beta ) така, що
\bigm| \bigm| \gamma (1)n,s
\bigm| \bigm| \leq (14\pi )2.
У [2] доведено, що при n \geq n0(\alpha , r, s
\prime ) виконується оцiнка\left( \pi n1 - r/\alpha r\int
0
dt
(t2 + 1)s/2
\right)
1/s
=
\left( \infty \int
0
dt
(t2 + 1)s/2
\right) 1/s + \Theta
(1)
\alpha ,r,s\prime ,n
s - 1
\Bigl( \alpha r
\pi n1 - r
\Bigr) s - 1
, (25)
де
\bigm| \bigm| \Theta (1)
\alpha ,r,s\prime ,n
\bigm| \bigm| < 2.
Легко бачити, що (див., наприклад, [17, с. 962])
\infty \int
0
dt
(t2 + 1)s/2
=
1
2
\infty \int
0
t - 1/2dt
(t+ 1)s/2
=
1
2
B
\biggl(
1
2
,
s - 1
2
\biggr)
, 1 < s < \infty , (26)
де
B(x, y) :=
\infty \int
0
ux - 1du
(u+ 1)x+y
, x, y > 0,
— ейлеровий iнтеграл 1-го роду.
Враховуючи формулу [17, с. 964]
B(x, y) =
\Gamma (x)\Gamma (y)
\Gamma (x+ y)
= B(y, x),
де
\Gamma (z) =
\infty \int
0
tz - 1e - tdt, \mathrm{R}\mathrm{e} z > 0,
— ейлеровий iнтеграл 2-го роду, на пiдставi теореми Гаусса [17, с. 1056]
F (a, b; c; 1) =
\Gamma (c)\Gamma (c - a - b)
\Gamma (c - a)\Gamma (c - b)
при a =
1
2
, b =
3 - s
2
, c =
3
2
з (26) отримуємо
\infty \int
0
dt
(t2 + 1)s/2
=
1
2
\Gamma
\biggl(
1
2
\biggr)
\Gamma
\biggl(
s - 1
2
\biggr)
\Gamma
\Bigl( s
2
\Bigr) =
\surd
\pi
2
\Gamma
\biggl(
s - 1
2
\biggr)
\Gamma
\Bigl( s
2
\Bigr) =
=
\Gamma
\biggl(
3
2
\biggr)
\Gamma
\biggl(
s - 1
2
\biggr)
\Gamma
\Bigl( s
2
\Bigr) = F
\biggl(
1
2
,
3 - s
2
;
3
2
; 1
\biggr)
.
Отже, для довiльних 1 < s < \infty має мiсце рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
702 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК\left( \infty \int
0
dt
(t2 + 1)s/2
\right) 1/s
= F 1/s
\biggl(
1
2
,
3 - s
2
;
3
2
; 1
\biggr)
. (27)
Враховуючи оцiнку\left( \pi n1 - r/\alpha r\int
0
dt
(t2 + 1)s/2
\right)
1/s
\leq
\left( \infty \int
0
dt
(t2 + 1)s/2
\right) 1/s <
\left( 1 +
\infty \int
1
dt
ts
\right) 1/s < (s\prime )1/s, (28)
з формул (24), (25), (27) i (28) отримуємо
\scrE n
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
s
= e - \alpha nr
n(1 - r)/s\prime
\biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| s
\pi 1+1/s(\alpha r)1/s\prime
F 1/s
\biggl(
1
2
,
3 - s
2
;
3
2
; 1
\biggr)
+
+ \gamma (3)n,s
\Biggl(
1
s - 1
(\alpha r)(s - 1)/s\prime
n(1 - r)(s - 1)
+
(s\prime )1/s
(\alpha r)1+1/s\prime
1
nr
+
1
n(1 - r)/s\prime
\Biggr) \Biggr)
, (29)
де для величини \gamma
(3)
n,s = \gamma
(3)
n,s(\alpha , r, \beta ) виконується нерiвнiсть
\bigm| \bigm| \gamma (3)n,s
\bigm| \bigm| \leq (14\pi )2.
Оскiльки
1
n(1 - r)/s\prime
=
1
n(1 - r)(s - 1)/s
>
1
n(1 - r)(s - 1)
,
то
1
s - 1
(\alpha r)(s - 1)/s\prime
n(1 - r)(s - 1)
+
1
n(1 - r)/s\prime
\leq
\Biggl(
1 +
(\alpha r)(s - 1)/s\prime
s - 1
\Biggr)
1
n(1 - r)/s\prime
. (30)
З (29) i (30) випливає (23).
Теорему 2 доведено.
З теореми 2 при s = 2 одержуємо таке твердження.
Наслiдок 1. Нехай 0 < r < 1, \alpha > 0 i \beta \in \BbbR . Тодi при n \geq n0(\alpha , r, 2) справджується
оцiнка
\scrE n
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
2
=
e - \alpha nr
\surd
2\pi \alpha r
n(1 - r)/2
\Biggl(
1 + \gamma (1)n
\Biggl( \bigl(
\alpha r +
\surd
\alpha r
\bigr) 1
n(1 - r)/2
+
\surd
2
\alpha r
1
nr
\Biggr) \Biggr)
, (31)
де для величини \gamma
(1)
n = \gamma
(1)
n (\alpha , r, \beta ) виконується нерiвнiсть
\bigm| \bigm| \gamma (1)n
\bigm| \bigm| \leq 392\pi 5/2.
Доведення. Дiйсно, покладаючи в рiвностi (23) s = s\prime = 2 та враховуючи, що
F
\biggl(
1
2
,
1
2
;
3
2
; 1
\biggr)
=
\pi
2
, при n \geq n0(\alpha , r, 2) отримуємо
\scrE n
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
2
= e - \alpha nr
n(1 - r)/2
\biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| 2
\pi 3/2(\alpha r)1/2
\biggl(
F 1/2
\biggl(
1
2
,
1
2
;
3
2
; 1
\biggr)
+
+ \gamma
(2)
n,2
\Biggl( \bigl(
1 +
\surd
\alpha r
\bigr) 1
n(1 - r)/2
+
\surd
2
(\alpha r)3/2
1
nr
\Biggr) \Biggr)
=
=
e - \alpha nr
\surd
2\pi \alpha r
n(1 - r)/2
\Biggl(
1 + \gamma
(2)
n,2
\surd
2\pi
\Biggl( \bigl(
1 +
\surd
\alpha r
\bigr) \surd
\alpha r
n(1 - r)/2
+
\surd
2
\alpha r
1
nr
\Biggr) \Biggr)
.
Наслiдок 1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ УЗАГАЛЬНЕНИХ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА СУМАМИ ФУР’Є В МЕТРИКАХ . . . 703
Утiм бiльш точну, нiж (31), оцiнку можна одержати виходячи з рiвностi (9). А саме, з
урахуванням (9), а також формули (10) з роботи [1] при \alpha > 0, r \in (0, 1), \beta \in \BbbR i n \geq n0(\alpha , r, 2)
має мiсце оцiнка
\scrE n
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
2
=
1\surd
\pi
\Biggl( \infty \sum
k=n
e - 2\alpha kr
\Biggr) 1/2
=
e - \alpha nr
\surd
2\pi \alpha r
n(1 - r)/2
\biggl(
1 + \gamma (2)n
\biggl(
1
2\alpha r
1
nr
+
\alpha r
n1 - r
\biggr) \biggr)
,
в якiй для величини \gamma
(2)
n = \gamma
(2)
n (\alpha , r) виконується нерiвнiсть
\bigm| \bigm| \gamma (2)n
\bigm| \bigm| \leq \sqrt{} 54\pi 3
54\pi 3 - 1
.
При s = 1 теорема 1 дозволяє уточнити асимптотичну рiвнiсть (13). Має мiсце таке твер-
дження.
Теорема 3. Нехай 0 < r < 1, \alpha > 0 i \beta \in \BbbR . Тодi при n \geq n1(\alpha , r) справджується оцiнка
\scrE n
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
1
=
4
\pi 2
e - \alpha nr
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
\pi n1 - r
\alpha r
\biggr)
+ \gamma
(2)
n,1e
- \alpha nr
, (32)
де для величини \gamma
(2)
n,1 = \gamma
(2)
n,1(\alpha , r, \beta ) виконується нерiвнiсть
\bigm| \bigm| \gamma (2)n,1
\bigm| \bigm| \leq 20\pi 4.
Доведення. Iз (14) i (15) випливає, що n1(\alpha , r) > n0(\alpha , r, 1). Тому, поклавши в рiвностi (16)
s = 1 та врахувавши оцiнку
\pi n1 - r/\alpha r\int
0
dt\surd
t2 + 1
=
\pi n1 - r/\alpha r\int
1
dt
t
+
\left( \pi n1 - r/\alpha r\int
0
dt\surd
t2 + 1
-
\pi n1 - r/\alpha r\int
1
dt
t
\right) =
= \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
\pi n1 - r
\alpha r
\biggr)
+\Theta \alpha ,r,n, 0 < \Theta \alpha ,r,n < 1,
при n \geq n1(\alpha , r) отримаємо
\scrE n
\bigl(
C\alpha ,r
\beta ,1
\bigr)
1
= e - \alpha nr
\left( 4
\pi 2
\pi n1 - r/\alpha r\int
0
dt\surd
t2 + 1
+ \gamma (1)n,\infty
\left( 1
\alpha r
1
nr
\pi n1 - r/\alpha r\int
0
dt\surd
t2 + 1
+ 1
\right)
\right) =
= e - \alpha nr
\biggl(
4
\pi 2
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
\pi n1 - r
\alpha r
\biggr)
+
4
\pi 2
\Theta \alpha ,r,n + \gamma (1)n,\infty
\biggl(
1
\alpha r
1
nr
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
\pi n1 - r
\alpha r
\biggr)
+
\Theta \alpha ,r,n
\alpha rnr
+ 1
\biggr) \biggr)
. (33)
Пiдрахунки показують, що при n \geq n1(\alpha , r)
4
\pi 2
\Theta \alpha ,r,n + | \gamma (1)n,\infty |
\biggl(
1
\alpha r
1
nr
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
\pi n1 - r
\alpha r
\biggr)
+
\Theta \alpha ,r,n
\alpha rnr
+ 1
\biggr)
\leq 20\pi 4, (34)
а тому з (33) i (34) отримуємо (32).
Теорему 3 доведено.
Зi спiввiдношення (32) випливає встановлена О. I. Степанцем асимптотична рiвнiсть (13).
Насамкiнець зауважимо, що з урахуванням формул (27) i (30) один iз основних результатiв
роботи [1] — оцiнку (8) з теореми 2 — можна сформулювати у виглядi такого твердження.
Теорема 4. Нехай 0 < r < 1, 1 < p < \infty , \alpha > 0 i \beta \in \BbbR . Тодi при n \geq n0(\alpha , r, p)
справджується оцiнка
\scrE n(C\alpha ,r
\beta ,p )\infty = e - \alpha nr
n(1 - r)/p
\biggl(
\| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t\| p\prime
\pi 1+1/p\prime (\alpha r)1/p
F 1/p\prime
\biggl(
1
2
,
3 - p\prime
2
;
3
2
; 1
\biggr)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
704 А. С. СЕРДЮК, Т. А. СТЕПАНЮК
+ \gamma (2)n,p
\Biggl( \Biggl(
1 +
(ar)(p
\prime - 1)/p
p\prime - 1
\Biggr)
1
n(1 - r)/p
+
(p)1/p
\prime
(\alpha r)1+1/p
1
nr
\Biggr) \Biggr)
,
в якiй
1
p
+
1
p\prime
= 1, F (a, b; c; z) — гiпергеометрична функцiя Гаусса, а для величини \gamma
(2)
n,p =
= \gamma
(2)
n,p(\alpha , r, \beta ) виконується нерiвнiсть
\bigm| \bigm| \gamma (2)n,p
\bigm| \bigm| \leq (14\pi )2.
Лiтература
1. Сердюк А. С., Степанюк Т. А. Рiвномiрнi наближення сумами Фур’є на класах згорток з узагальненими ядрами
Пуассона // Доп. НАН України. – 2016. – № 11. – С. 10 – 16.
2. Serdyuk A. S., Stepaniuk T. A. Uniform approximations by Fourier sums on classes of generalized Poisson integrals //
Arxiv preprint, arXiv:1603.01891. – 2016. – 31 p.
3. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Пр. Iн-ту математики НАН України. – 2002. – 40, ч. I. –
427 с.
4. Степанець О. I., Сердюк А. С., Шидлiч А. Л. Про деякi новi критерiї нескiнченної диференцiйовностi перiо-
дичних функцiй // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 10. – С. 1399 – 1409.
5. Степанец А. И., Сердюк А. С., Шидлич А. Л. О связи классов (\psi , \beta )-дифференцируемых функций с классами
Жевре // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 1. – С. 140 – 145.
6. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Пр. Iн-ту математики НАН України. – 2002. – 40, ч. II. –
427 с.
7. Сердюк А. С., Степанюк Т. А. Порядковi оцiнки найкращих наближень i наближень сумами Фур’є класiв
нескiнченно диференцiйовних функцiй // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту
математики НАН України. – 2013. – 10, № 1. – С. 255 – 282.
8. Сердюк А. С., Степанюк Т. А. Оцiнки найкращих наближень класiв нескiнченно диференцiйовних функцiй у
рiвномiрнiй та iнтегральнiй метриках // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 9. – С. 1244 – 1256.
9. Serdyuk A. S., Stepanyuk T. A. Estimates for approximations by Fourier sums, best approximations and best orthogonal
trigonometric approximations of the classes of (\psi , \beta )-differentiable functions // Bull. Soc. Sci. et Lett. Łódź. – 2016. –
66, № 2.
10. Никольский С. М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем // Изв. АН СССР. Сер.
мат. – 1946. – 10, № 3. – С. 207 – 256.
11. Стечкин С. Б. Оценка остатка ряда Фурье для дифференцируемых функций // Тр. Мат. ин-та АН СССР. –
1980. – 145. – С. 126 – 151.
12. Сердюк А. С. Наближення класiв аналiтичних функцiй сумами Фур’є в метрицi простору Lp // Укр. мат.
журн. – 2005. – 57, № 10. – С. 1395 – 1408.
13. Сердюк А. С. Наближення iнтерполяцiйними тригонометричними полiномами на класах перiодичних аналi-
тичних функцiй // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 5. – С. 698 – 712.
14. Сердюк А. С., Соколенко I. В. Наближення лiнiйними методами класiв (\psi , \beta )-диференцiйовних функцiй //
Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2013. – 10, № 1. –
С. 245 – 254.
15. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка, 1987. – 268 c.
16. Теляковский С. А. О приближении суммами Фурье функций высокой гладкости // Укр. мат. журн. – 1989. – 41,
№ 4. – С. 510 – 518.
17. Грандштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Физматгиз, 1963. –
1100 с.
Одержано 09.12.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1728 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:30Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/01/e36fcf311f1a436de45f97bf39805901.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17282019-12-05T09:24:56Z Approximation of the classes of generalized Poisson integrals by Fourier sums in metrics of the spaces $L_s$ Наближення класів узагальнених інтегралів Пуассона сумами Фур’є в метриках просторів $L_s$ Serdyuk, A. S. Stepanyuk, T. A. Сердюк, А. С. Степанюк, Т. А. In metrics of the spaces $L_s,\; 1 \leq s \leq \infty$, we establish asymptotic equalities for the upper bounds of approximations by Fourier sums in the classes of generalized Poisson integrals of periodic functions that belong to the unit ball of space $L_1$. В метриках пространств $L_s,\; 1 \leq s \leq \infty$, найдены асимптотические равенства для верхних граней приближений суммами Фурье на классах обобщенных интегралов Пуассона периодических функций, принадлежащих единичному шару пространства $L_1$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1728 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 5 (2017); 695-704 Український математичний журнал; Том 69 № 5 (2017); 695-704 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1728/710 Copyright (c) 2017 Serdyuk A. S.; Stepanyuk T. A. |
| spellingShingle | Serdyuk, A. S. Stepanyuk, T. A. Сердюк, А. С. Степанюк, Т. А. Approximation of the classes of generalized Poisson integrals by Fourier sums in metrics of the spaces $L_s$ |
| title | Approximation of the classes of generalized Poisson integrals by
Fourier sums in metrics of the spaces $L_s$ |
| title_alt | Наближення класів узагальнених інтегралів Пуассона сумами
Фур’є в метриках просторів $L_s$
|
| title_full | Approximation of the classes of generalized Poisson integrals by
Fourier sums in metrics of the spaces $L_s$ |
| title_fullStr | Approximation of the classes of generalized Poisson integrals by
Fourier sums in metrics of the spaces $L_s$ |
| title_full_unstemmed | Approximation of the classes of generalized Poisson integrals by
Fourier sums in metrics of the spaces $L_s$ |
| title_short | Approximation of the classes of generalized Poisson integrals by
Fourier sums in metrics of the spaces $L_s$ |
| title_sort | approximation of the classes of generalized poisson integrals by
fourier sums in metrics of the spaces $l_s$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1728 |
| work_keys_str_mv | AT serdyukas approximationoftheclassesofgeneralizedpoissonintegralsbyfouriersumsinmetricsofthespacesls AT stepanyukta approximationoftheclassesofgeneralizedpoissonintegralsbyfouriersumsinmetricsofthespacesls AT serdûkas approximationoftheclassesofgeneralizedpoissonintegralsbyfouriersumsinmetricsofthespacesls AT stepanûkta approximationoftheclassesofgeneralizedpoissonintegralsbyfouriersumsinmetricsofthespacesls AT serdyukas nabližennâklasívuzagalʹnenihíntegralívpuassonasumamifurêvmetrikahprostorívls AT stepanyukta nabližennâklasívuzagalʹnenihíntegralívpuassonasumamifurêvmetrikahprostorívls AT serdûkas nabližennâklasívuzagalʹnenihíntegralívpuassonasumamifurêvmetrikahprostorívls AT stepanûkta nabližennâklasívuzagalʹnenihíntegralívpuassonasumamifurêvmetrikahprostorívls |