On the fractional integrodifferentiation of complex polynomials in $L_0$
We establish Bernstein-type inequalities for the fractional integroderivatives of arbitrary algebraic polynomials in the space $L_0$.
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1729 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507577904791552 |
|---|---|
| author | Kovalenko, L. G. Storozhenko, E. A. Коваленко, Л. Г. Стороженко, Э. А. Коваленко, Л. Г. Стороженко, Э. А. |
| author_facet | Kovalenko, L. G. Storozhenko, E. A. Коваленко, Л. Г. Стороженко, Э. А. Коваленко, Л. Г. Стороженко, Э. А. |
| author_sort | Kovalenko, L. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:24:56Z |
| description | We establish Bernstein-type inequalities for the fractional integroderivatives of arbitrary algebraic polynomials in the space
$L_0$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.5
Л. Г. Коваленко, Э. А. Стороженко (Одес. нац. ун-т, Ин-т математики, экономики и механики)
О ДРОБНОМ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
КОМПЛЕКСНЫХ ПОЛИНОМОВ В \bfitL \bfzero
We establish Bernstein-type inequalities for the fractional integroderivatives of arbitrary algebraic polynomials in the space
L0.
Встановлено нерiвностi типу Бернштейна для дробових iнтегропохiдних довiльних алгебраїчних полiномiв у прос-
торi L0.
Введение. Пусть Pn(z) =
\sum n
k=0
ckz
k — алгебраический полином степени n с комплексными
коэффициентами. Как обычно, функционалы \| Pn\| p \equiv \| Pn\| Lp для 0 \leq p \leq \infty определяются
значениями полинома на единичной окружности | z| = 1 :
\| Pn\| \infty = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| Pn(z)| , | z| = 1
\bigr\}
,
\| Pn\| p =
\left( 1
2\pi
2\pi \int
0
\bigm| \bigm| Pn(e
i\varphi )
\bigm| \bigm| pd\varphi
\right) 1/p
,
\| Pn\| 0 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
p\rightarrow 0
\| Pn\| p = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( 1
2\pi
2\pi \int
0
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| Pn(e
i\varphi )
\bigm| \bigm| d\varphi
\right) .
Следуя Малеру [1], квазинорму \| Pn\| 0 будем называть мерой полинома Pn(z) и обозна-
чать M(Pn).
Определим дробную производную и дробный интеграл действительного порядка \alpha \geq 0
полинома Pn(z) равенствами
D\alpha Pn(z) =
n\sum
k=1
ckk
\alpha zk - 1 и I\alpha Pn(z) =
n\sum
k=0
ck
zk+1
(k + 1)\alpha
. (1)
Производные и интегралы дробного порядка понимают по-разному в зависимости от класса
рассматриваемых функций и конкретных задач. Наши определения ближе всего к определениям
Флетт из [2, 3] для аналитических внутри единичного круга функций, которые возникли при
изучении потенциалов Бесселя и Рисса.
В настоящей статье изучаются неравенства типа Бернштейна для дробных интегропроиз-
водных порядка 0 \leq \alpha < 1 полиномов Pn(z) в пространстве L0, т. е. неравенства вида
M(D\alpha Pn) \leq A(n, \alpha )M(Pn)
и
c\bigcirc Л. Г. КОВАЛЕНКО, Э. А. СТОРОЖЕНКО, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5 705
706 Л. Г. КОВАЛЕНКО, Э. А. СТОРОЖЕНКО
M(I\alpha Pn) \leq B(n, \alpha )M(Pn),
где A(n, \alpha ) и B(n, \alpha ) не зависят от полинома Pn(z).
При \alpha = 1 это оценки типа Бернштейна для производной P \prime
n(z) и неопределенного ин-
теграла IPn(z) =
\int z
0
Pn(z) dz. Неравенство для интеграла еще называют неравенством типа
Фавара. Обе точные постоянные A(n, 1) и B(n, 1) известны. Значение A(n, 1) = n установлено
Малером в работе [1], а
B(n, 1) =
1
n
\prod
n/6<k<5n/6
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi k
n
\approx (1, 4)n
n
— вторым автором данной статьи в [5].
Основными результатами настоящей статьи являются две теоремы.
Теорема 1. Для любого полинома Pn(z) степени n \geq 2 и его дробной производной D\alpha Pn(z)
порядка 0 \leq \alpha < 1 выполняется неравенство
M(D\alpha Pn) \leq A(n, \alpha )M(Pn), (2)
где
A(n, 0) =
\prod
n/6<k<5n/6
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi k
n
\approx (1, 4)n,
A(n, \alpha ) \leq A\alpha n
2\alpha /3A(n, 0), A\alpha = 1, 6 \cdot 22(1 - \alpha )/3, 0 \leq \alpha < 1.
В случае \alpha = 0 неравенство (2) на полиномах Pn(z) = c(1 + z)n, c \in \BbbC , обращается в
равенство.
Теорема 2. Для любого полинома Pn(z) степени n \geq 1 и его дробного интеграла I\alpha Pn(z)
порядка 0 < \alpha < 1 выполняется неравенство
M(I\alpha Pn) \leq B(n, \alpha )M(Pn), (3)
где
B(n, \alpha ) \leq A1 - \alpha n
- (1+2\alpha )/3(1, 4)n, A1 - \alpha = 1, 6 \cdot 22\alpha /3.
Неравенство (3) ранее было получено авторами в статье [10]. Здесь приводится другой
способ доказательства, улучшающий значение B(n, \alpha ).
Иные результаты относительно дробного интегродифференцирования полиномов авторам
неизвестны. Оценки типа Бернштейна для операторов более общего вида можно найти в рабо-
те [4]. Однако для интегропроизводных (1) применение результатов из [4], по мнению авторов,
не представляется возможным.
Вспомогательные понятия и факты. Напомним некоторые сведения об алгебраических
полиномах. Композицией (по Сеге) полиномов
Qn(z) =
n\sum
k=0
Ck
nakz
k и Rn(z) =
n\sum
k=0
Ck
nbkz
k
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
О ДРОБНОМ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ КОМПЛЕКСНЫХ ПОЛИНОМОВ В L0 707
называют полином
\sum n
k=0
Ck
nakbkz
k = Qn(z)\otimes Rn(z) (см. [6, с. 75], отд. V).
Важную роль в рассуждениях играет неравенство
\| Qn(z)\otimes Rn(z)\| p \leq M(Rn)\| Qn\| p, (4)
впервые полученное де Брюйн и Спрингер [7] для p = 0, а для всех 0 < p \leq \infty — В. В. Арес-
товым [8].
Неравенство (4) при p = 0 является точным на полиномах Qn(z) = c(1 + z)n, c \in \BbbC .
Нам понадобятся также две леммы.
Лемма 1. Для любого 0 < \alpha < 1 справедливо равенство
k\alpha =
\alpha
\Gamma (1 - \alpha )
1\int
0
(1 - tk)
dt
t \mathrm{l}\mathrm{n}1+\alpha (1/t)
, (5)
где \Gamma (\alpha ) — гамма-функция Эйлера.
Доказательство. Проинтегрируем по частям интеграл, определяющий гамма-функцию
Эйлера, при условии на параметр 0 < \alpha < 1 :
\Gamma (\alpha ) =
+\infty \int
0
x\alpha - 1d(1 - e - x) = (1 - \alpha )
+\infty \int
0
1 - e - x
x2 - \alpha
dx =
=
1 - \alpha
k1 - \alpha
+\infty \int
0
1 - e - kx
x2 - \alpha
dx =
1 - \alpha
k1 - \alpha
1\int
0
1 - tk
t \mathrm{l}\mathrm{n}2 - \alpha (1/t)
dt.
Отсюда легко следует (5).
Лемма 2. Для неравных по модулю комплексных чисел a, b \in \BbbC и любого n \in \BbbN выполня-
ются неравенства
| an - bn| \leq | a - b|
n - 1\sum
k=0
| a| n - k - 1| b| k, (6)
| an - bn| \leq | a - b| | a|
n - | b| n
| a| - | b|
. (7)
Оба неравенства не вызывают сомнений.
Доказательство теоремы 1. Чтобы установить связь между полиномами D\alpha Pn(z) и
Pn(z), воспользуемся композицией полиномов (по Сеге). Пусть
Pn(z) =
n\sum
k=0
Ck
nakz
k и D\alpha Pn(z) =
n\sum
k=1
Ck
nakk
\alpha zk - 1.
Тогда
zD\alpha Pn(z) = Pn(z)\otimes R\alpha
n(z), где R\alpha
n(z) =
n\sum
k=1
Ck
nk
\alpha zk = D\alpha (1 + z)n
и M(R\alpha
n), в силу (4), есть A(n, \alpha ), n = 1, 2, 3, . . . . Нас интересует случай n \geq 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
708 Л. Г. КОВАЛЕНКО, Э. А. СТОРОЖЕНКО
При \alpha = 0 (для производной нулевого порядка) R0
n = (1 + z)n - 1. Мера полиномов
(1 + z)n - 1 была подсчитана в [5]:
A(n, 0) = M
\bigl(
(1 + z)n - 1
\bigr)
=
\prod
n/6<k<5n/6
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi k
n
\approx (1, 4)n, n \geq 2.
Перейдем к основному случаю 0 < \alpha < 1. Представим полином R\alpha
n(z) в интегральной
форме, заменив множитель k\alpha интегралом (5):
R\alpha
n(z) =
\alpha
\Gamma (1 - \alpha )
1\int
0
\bigl[
(1 + z)n - (1 + tz)n
\bigr] dt
t \mathrm{l}\mathrm{n}1+\alpha (1/t)
.
Отсюда
\bigm| \bigm| R\alpha
n(z)
\bigm| \bigm| \leq \alpha
\Gamma (1 - \alpha )
1\int
0
\bigm| \bigm| (1 + z)n - (1 + tz)n
\bigm| \bigm| dt
t \mathrm{l}\mathrm{n}1+\alpha (1/t)
. (8)
Мера M(R\alpha
n) определяется значениями полинома R\alpha
n на единичной окружности, поэтому,
оценивая
\bigm| \bigm| R\alpha
n(z)
\bigm| \bigm| , считаем z = ei\varphi , \varphi \in ( - \pi , \pi ). Тогда для любого t \in (0, 1) справедливо
равенство
| 1 + tz| 2 = | 1 + z| 2t+ (1 - t)2. (9)
Дальнейшие рассуждения проведем в два приема: сначала при | 1 + z| > 1, а затем при
| 1 + z| < 1.
Итак, пусть | 1 + z| > 1. По лемме 2 (неравенство (7))
| (1 + z)n - (1 + tz)n| \leq (1 - t)
| 1 + z| n - | 1 + tz| n
| 1 + z| - | 1 + tz|
=
= (1 - t)
| 1 + z| n - | 1 + tz| n
| 1 + z| 2 - | 1 + tz| 2
(| 1 + z| + | 1 + tz| ).
Из (9) следует, что
| 1 + z| 2 - | 1 + tz| 2 = (1 - t)(| 1 + z| 2 - 1 + t) > (1 - t)(| 1 + z| 2 - 1)
и, в частности, | 1 + z| > | 1 + tz| , а также
| 1 + z| n - | 1 + tz| n \leq | 1 + z| n(1 - tn/2)
для любого t \in (0, 1).
Применяя полученные неравенства, продолжаем оценку (8):
| R\alpha
n(z)| \leq
2| 1 + z| n+1
| 1 + z| 2 - 1
\alpha
\Gamma (1 - \alpha )
1\int
0
(1 - t
n
2 )
dt
t \mathrm{l}\mathrm{n}1+\alpha (1/t)
.
Примечательно, что оценку | R\alpha
n(z)| мы начинали, используя интеграл (5), и окончательно
пришли к интегралу того же вида. Далее, по лемме 1 для k = n/2 получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
О ДРОБНОМ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ КОМПЛЕКСНЫХ ПОЛИНОМОВ В L0 709
| R\alpha
n(z)| \leq 21 - \alpha n\alpha | 1 + z| n+1
| 1 + z| 2 - 1
. (10)
Пусть теперь | 1+z| < 1. Для оценки | (1+z)n - (1+tz)n| применим лемму 2 (неравенство (6))
и учтем, что | 1 + tz| 2 < | 1 + z| 2t+ 1 - t < 1 при каждом t \in (0, 1):
| (1 + z)n - (1 + tz)n| < (1 - t)
n - 1\sum
k=0
| 1 + z| n - k - 1 <
1 - t
1 - | 1 + z|
.
Это позволяет продолжить оценку (8) для данного случая:
| R\alpha
n(z)| \leq
\alpha
\Gamma (1 - \alpha )
1\int
0
(1 - t)
dt
t \mathrm{l}\mathrm{n}1+\alpha (1/t)
1
1 - | 1 + z|
.
Тогда по лемме 1 при k = 1 имеем
| R\alpha
n(z)| \leq
1
1 - | 1 + z|
. (11)
Остается перейти к оценке M(R\alpha
n), используя неравенства (10) и (11). По определению
M(R\alpha
n) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( 1
2\pi
2\pi \int
0
\mathrm{l}\mathrm{n} | R\alpha
n(e
i\varphi )| d\varphi
\right) \leq
\leq 2
2(1 - \alpha )
3 n
2
3
\alpha \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( n+ 1
\pi
2\pi
3\int
0
\mathrm{l}\mathrm{n}
\Bigl(
2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\varphi
2
\Bigr)
d\varphi -
- 1
\pi
\pi \int
0
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| 1 - 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\varphi
2
\bigm| \bigm| \bigm| d\varphi - 1
\pi
2\pi
3\int
0
\mathrm{l}\mathrm{n}
\Bigl(
1 + 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\varphi
2
\Bigr)
d\varphi
\right) .
Полученные интегралы выразим посредством функции Лобачевского L(x) и воспользуемся ее
табличными значениями (см. [9]):
L(x) = -
x\int
0
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi d\varphi ,
2
\pi
\pi /3\int
0
\mathrm{l}\mathrm{n}(2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi )d\varphi =
2
3
\mathrm{l}\mathrm{n} 2 - 2
\pi
L(\pi /3) \approx 0,323,
2
\pi
\pi /2\int
0
\mathrm{l}\mathrm{n} | 1 - 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi | d\varphi =
4
\pi
\biggl(
L
\Bigl( \pi
12
\Bigr)
+ L
\biggl(
5\pi
12
\biggr) \biggr)
- 2 \mathrm{l}\mathrm{n} 2 \approx - 0,777,
2
\pi
\pi /3\int
0
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigl(
1 + 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi
\bigr)
d\varphi =
4
3
\mathrm{l}\mathrm{n} 2 - 4
\pi
L
\Bigl( \pi
3
\Bigr)
\approx 0,646.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
710 Л. Г. КОВАЛЕНКО, Э. А. СТОРОЖЕНКО
Окончательно
A(n, \alpha ) = M(R\alpha
n) \leq 1,6 \cdot 22(1 - \alpha )/3n2\alpha /3A(n, 0). (12)
Теорема 1 доказана.
Доказательство теоремы 2. Запишем дробный интеграл I\alpha Pn(z) в виде композиции
1
z
I\alpha Pn(z) = Pn(z)\otimes B\alpha
n (z),
где B\alpha
n (z) =
\sum n
k=0
Ck
n
zk
(k + 1)\alpha
= I\alpha (1+z)n. На основании неравенства (4) B(n, \alpha ) = M(B\alpha
n ).
Заметим также, что между полиномами, составляющими композицию для дробного интеграла
и для дробной производной, существует взаимосвязь
B\alpha
n (z) =
n+1\sum
k=1
Ck - 1
n
zk - 1
k\alpha
=
1
(n+ 1)z
n+1\sum
k=1
Ck
n+1k
1 - \alpha zk =
1
(n+ 1)z
R1 - \alpha
n+1(z).
Но тогда, используя оценку (12) меры M(R\alpha
n), имеем
B(n, \alpha ) = M(B\alpha
n ) =
1
n+ 1
M(R1 - \alpha
n+1) \leq 1, 6 \cdot 22\alpha /3n - (1+2\alpha )/3(1, 4)n,
что и требовалось доказать.
Замечание 1. Теорема 1 доказана в предположении, что n \geq 2. В случае n = 1 полином,
составляющий композицию для производной D\alpha P1(z) при любом 0 < \alpha < 1, имеет простой
вид R\alpha
1 = z и A(1, \alpha ) = M(z) = 1, очевидно, точная постоянная.
Замечание 2. Остался открытым вопрос об окончательности оценок в теоремах 1 и 2
(кроме случая \alpha = 0 в теореме 1). Особое внимание привлекает множитель (1, 4)n. Отметим
только его необходимое наличие для „граничных” коэффициентов A(n, 0) и B(n, 1).
Замечание 3. Благодаря оценке (4), теоремы 1 и 2 обеспечивают выполнение неравенств
\| D\alpha Pn\| p \leq A(n, \alpha )\| Pn\| p и \| I\alpha Pn\| p \leq B(n, \alpha )\| Pn\| p, 0 \leq p \leq \infty .
Литература
1. Mahler K. On the zeros of the derivative of a polynomial // Proc. Roy. Soc. London A. – 1961. – 264. – P. 145 – 154.
2. Flett T. M. Mean values of power series // Pacif. J. Math. – 1968. – 25. – P. 163 – 194.
3. Flett T. M. Temperatures Bessel potentials and Lipschitz spaces // Proc. London Math. Soc. – 1971. – 22, № 3. –
P. 385 – 481.
4. Арестов В. В. Интегральные неравенства для алгебраических многочленов на единичной окружности // Мат.
заметки. – 1990. – 48, № 4. – С. 7 – 18.
5. Стороженко Э. А. К одной задаче Малера о нулях полинома и его производной // Мат. сб. – 1996. – 187,
№ 5. – С. 111 – 120.
6. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. – М.: Наука, 1978. – Т. 1. – 391 с.
7. De Bruijn N. J., Springer T. A. On the zeros of composition polynomials // Jndag. Math. – 1947. – 9. – P. 406 – 414.
8. Арестов В. В. Об интегральных неравенствах для тригонометрических полиномов и их производных // Изв.
АН СССР. Сер. мат. – 1981. – 45. – С. 3 – 22.
9. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм и произведений. – М.: Гостехтеориздат, 1963. –
1100 с.
10. Стороженко Э. А., Коваленко Л. Г. Неравенство для дробных интегралов комплексных полиномов в L0 //
Мат. заметки. – 2014. – 96, № 4. – С. 633 – 636.
Получено 08.11.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1729 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:32Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f9/b507afa03c18977f28ce587c465666f9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17292019-12-05T09:24:56Z On the fractional integrodifferentiation of complex polynomials in $L_0$ О дробном интегродифференцировании комплексных полиномов в $L_0$ Kovalenko, L. G. Storozhenko, E. A. Коваленко, Л. Г. Стороженко, Э. А. Коваленко, Л. Г. Стороженко, Э. А. We establish Bernstein-type inequalities for the fractional integroderivatives of arbitrary algebraic polynomials in the space $L_0$. Встановлено нерiвностi типу Бернштейна для дробових iнтегропохiдних довiльних алгебраїчних полiномiв у просторi $L_0$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1729 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 5 (2017); 705-710 Український математичний журнал; Том 69 № 5 (2017); 705-710 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1729/711 Copyright (c) 2017 Kovalenko L. G.; Storozhenko E. A. |
| spellingShingle | Kovalenko, L. G. Storozhenko, E. A. Коваленко, Л. Г. Стороженко, Э. А. Коваленко, Л. Г. Стороженко, Э. А. On the fractional integrodifferentiation of complex polynomials in $L_0$ |
| title | On the fractional integrodifferentiation of complex
polynomials in $L_0$ |
| title_alt | О дробном интегродифференцировании комплексных
полиномов в $L_0$ |
| title_full | On the fractional integrodifferentiation of complex
polynomials in $L_0$ |
| title_fullStr | On the fractional integrodifferentiation of complex
polynomials in $L_0$ |
| title_full_unstemmed | On the fractional integrodifferentiation of complex
polynomials in $L_0$ |
| title_short | On the fractional integrodifferentiation of complex
polynomials in $L_0$ |
| title_sort | on the fractional integrodifferentiation of complex
polynomials in $l_0$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1729 |
| work_keys_str_mv | AT kovalenkolg onthefractionalintegrodifferentiationofcomplexpolynomialsinl0 AT storozhenkoea onthefractionalintegrodifferentiationofcomplexpolynomialsinl0 AT kovalenkolg onthefractionalintegrodifferentiationofcomplexpolynomialsinl0 AT storoženkoéa onthefractionalintegrodifferentiationofcomplexpolynomialsinl0 AT kovalenkolg onthefractionalintegrodifferentiationofcomplexpolynomialsinl0 AT storoženkoéa onthefractionalintegrodifferentiationofcomplexpolynomialsinl0 AT kovalenkolg odrobnomintegrodifferencirovaniikompleksnyhpolinomovvl0 AT storozhenkoea odrobnomintegrodifferencirovaniikompleksnyhpolinomovvl0 AT kovalenkolg odrobnomintegrodifferencirovaniikompleksnyhpolinomovvl0 AT storoženkoéa odrobnomintegrodifferencirovaniikompleksnyhpolinomovvl0 AT kovalenkolg odrobnomintegrodifferencirovaniikompleksnyhpolinomovvl0 AT storoženkoéa odrobnomintegrodifferencirovaniikompleksnyhpolinomovvl0 |