Nikol’skii – Stechkin-type inequalities for the increments of trigonometric polynomials in metric spaces
In the spaces $L_{\Psi} [0, 2\pi ]$ with the metric $$\rho (f, 0)\Psi = \frac1{2\pi }\int^{2\pi }_0 \Psi (| f(x)| ) dx,$$ where $\Psi$ is a function of the modulus-ofcontinuity type, we investigate an analog of the Nikol’skii – Stechkin inequalities for the increments and derivatives of trigonome...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1730 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507577929957376 |
|---|---|
| author | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. |
| author_facet | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. |
| author_sort | Pichugov, S. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:24:56Z |
| description | In the spaces $L_{\Psi} [0, 2\pi ]$ with the metric $$\rho (f, 0)\Psi = \frac1{2\pi }\int^{2\pi }_0 \Psi (| f(x)| ) dx,$$
where $\Psi$ is a function of the modulus-ofcontinuity
type, we investigate an analog of the Nikol’skii – Stechkin inequalities for the increments and derivatives of
trigonometric polynomials. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
С. А. Пичугов (Днепропетр. нац. ун-т ж.-д. трансп.)
НЕРАВЕНСТВА ТИПА НИКОЛЬСКОГО – СТЕЧКИНА
ДЛЯ ПРИРАЩЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ
В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
In the spaces L\Psi [0, 2\pi ] with the metric \rho (f, 0)\Psi =
1
2\pi
\int 2\pi
0
\Psi (| f(x)| )dx, where \Psi is a function of the modulus-of-
continuity type, we investigate an analog of the Nikol’skii – Stechkin inequalities for the increments and derivatives of
trigonometric polynomials.
У просторах L\Psi [0, 2\pi ] з метрикою \rho (f, 0)\Psi =
1
2\pi
\int 2\pi
0
\Psi (| f(x)| ) dx, де \Psi — функцiя типу модуля неперерв-
ностi, дослiджуються аналоги нерiвностей Нiкольського – Стєчкiна для приростiв та похiдних тригонометричних
полiномiв.
Введение. В пространствах Lp[0, 2\pi ], 1 \leq p \leq \infty , для известного неравенства С. Н. Берн-
штейна для производных порядка k, k = 1, 2, тригонометрических полиномов Tn(x) порядка
не выше n,
\| T (k)
n \| p \leq nk\| Tn\| p, (1)
есть различные обобщения и аналоги.
В частности, в [1] получены точные неравенства
\| T (k)
n \| p \leq
\Bigl( n
2
\Bigr) k
\| \Delta k
\pi /nTn\| p, (2)
где \Delta hTn(x) = Tn(x+ h) - Tn(x), \Delta
k
hTn(x) = \Delta h
\bigl(
\Delta k - 1
h Tn(x)
\bigr)
— приращение Tn(x) порядка
k с шагом h, а в [2] доказано точное неравенство
\| T (k)
n \| \infty \leq
\left( n
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
nh
2
\right)
k
\| \Delta k
hTn\| \infty , (3)
где 0 < h <
2\pi
n
.
Из (1) и (2) следует неравенство
\omega k
\Bigl(
Tn,
\pi
n
\Bigr)
p
\leq
\Bigl( \pi
2
\Bigr) k
\| \Delta k
\pi /nTn\| p, (4)
где
\omega k(Tn, h)p = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| t| \leq h
\| \Delta k
t Tn\| p
— значение в точке h модуля непрерывности Tn порядка k. Для метрических пространств
Lp[0, 2\pi ], 0 < p < 1, с метрикой
\rho (f, 0)p := \| f\| p :=
1
2\pi
2\pi \int
0
| f(x)| pdx
c\bigcirc С. А. ПИЧУГОВ, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5 711
712 С. А. ПИЧУГОВ
аналог неравенства (1) доказан в [3, 4] в виде
\| T (k)
n \| p \leq (Cpn)
kp\| Tn\| p, (5)
а в [5] доказано неравенство (5) с постоянной Cp = 1, и в этом случае неравенство является
точным. В [6] получены аналоги неравенств (2), (4) в метрических пространствах Lp[0, 2\pi ],
0 < p < 1, в виде
\| T (k)
n \| p \leq (C1(p)n)
kp\| \Delta k
\alpha n,p
Tn\| p, (6)
\omega k
\biggl(
Tn,
2\pi
n+ 1
\biggr)
\leq C2(p)\| \Delta k
\beta n,p
Tn\| p, (7)
где
\beta n,p =
2\pi
2d
(l)
n + 1
, d(l)n = n(l + 1) - l, l =
\biggl[
2
p
\biggr]
, (8)
\alpha n,p =
2\pi
2d
(l)
s + 1
, s = d(l)n . (9)
Заметим, что величины \alpha n,p и \beta n,p имеют порядок
1
n
.
Мы установим аналоги неравенств (6), (7) в метрических пространствах L\Psi [0, 2\pi ]. Пусть
\Omega — множество функций \Psi : R1
+ \rightarrow R1
+, являющихся модулями непрерывности,
\| Tn\| \Psi :=
1
2\pi
2\pi \int
0
\Psi (| Tn(x)| ) dx.
Для функции \Psi \in \Omega поведение ее функции растяжения
M\Psi (s) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<t<\infty
\Psi (st)
\Psi (t)
, s \in R1
+,
в случае s \in [0, 1] характеризуется нижним показателем растяжения \gamma \Psi , имеющим следующие
свойства [7]:
а) \gamma \Psi \in [0, 1];
б) M\Psi (s) \geq s\gamma \Psi , s \in [0, 1];
в) \forall \varepsilon > 0 \exists C\varepsilon > 0 \forall s \in (0, 1]:
M\Psi (s) \leq C\varepsilon s
\gamma \Psi - \varepsilon .
В [8] установлен следующий аналог неравенства С. Н. Бернштейна (5): если \gamma \Psi > 0, то
C3M\Psi (n
k) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
Tn \not =0
\| T (k)
n \| \Psi
\| Tn\| \Psi
\leq C4M\Psi (n
k), (10)
где постоянные C3, C4 зависят от k и \Psi , но не зависят от n.
Докажем следующую теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
НЕРАВЕНСТВА ТИПА НИКОЛЬСКОГО – СТЕЧКИНА ДЛЯ ПРИРАЩЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ . . . 713
Теорема 1. Пусть \Psi \in \Omega , \gamma \Psi > 0, k, n = 1, 2. Тогда для всех тригонометрических
полиномов Tn(x) выполняются неравенства
\| \Delta k
hTn\| \Psi \leq C5(k,\Psi )
\bigm\| \bigm\| \Delta k
\beta 2n - 1,\gamma \Psi
Tn
\bigm\| \bigm\|
\Psi
, (11)
\| T (k)
n \| \Psi \leq C6(k,\Psi )M\Psi (n
k)
\bigm\| \bigm\| \Delta k
\alpha 2n - 1,\gamma \Psi
Tn
\bigm\| \bigm\|
\Psi
(12)
для всех h \in (0, \beta 2n - 1,\gamma \Psi ), где постоянные C5, C6 не зависят от n, а величины \alpha n,p и \beta n,p
определены в (8), (9).
Доказательство. С помощью функции \upsilon (s) : R \rightarrow R такой, что:
1) \upsilon (s) = 1 для s \in [ - 1, 1], \upsilon (s) = 0 для | s| \geq 2;
2) \upsilon ( - s) = \upsilon (s);
3) \upsilon \in C\infty (R),
определим тригонометрический полином
Vn(x) :=
\sum
| k| <2n
\upsilon
\biggl(
k
n
\biggr)
eikx
степени не выше 2n - 1, который является аналогом классических полиномов Валле Пуссена.
Для произвольного натурального N,N \geq 3n, построим на периоде [0, 2\pi ] систему рав-
ноотстоящих точек xj = 2\pi
j
N
, j = 1, . . . , N. Тогда для любого полинома Tn справедлива
интерполяционная формула
Tn(x) =
1
N
N\sum
j=1
Tn(xj)Vn(x - xj),
которая использовалась в [6, 8] при установлении неравенств для полиномов.
Пусть \tau t : f(x) \rightarrow f(x+ t) — оператор сдвига на параметр t и A — произвольный линейный
оператор, перестановочный c операторами сдвига \tau t, т. е. \tau tA = A\tau t для всех операторов \tau t.
Тогда
\tau tATn(x) = A\tau tTn(x) =
1
N
N\sum
j=1
Tn(t+ xj)AVn(x - xj). (13)
Пусть еще A1 = 0. Поскольку
1
N
N\sum
j - 1
Vn(x - xj) = 1,
то с помощью преобразования Абеля из (13) получаем
\tau tATn(x) = -
N - 1\sum
j=1
\Delta x1Tn(t+ xj)A
\Biggl(
1
N
j\sum
i=1
Vn(x - xj)
\Biggr)
. (14)
Из определения функции растяжения следует, что \Psi (st) \leq \Psi (s)M\Psi (t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
714 С. А. ПИЧУГОВ
Вследствие полуаддитивности функции \Psi из (14) следует, что
\Psi
\bigl(
| \tau tATn(x)|
\bigr)
\leq
N - 1\sum
j=1
\Psi
\bigl(
| \Delta x1Tn(t+ xj)|
\bigr)
M\Psi
\Biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| A 1
N
j\sum
i=1
Vn(x - xj)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Biggr)
.
Так как \Psi -метрика инвариантна относительно сдвигов, то
\| ATn\| \Psi =
1
2\pi
2\pi \int
t=0
\| \tau tATn\| \Psi dt \leq
\leq \| \Delta 2\pi /NTn\| \Psi
N - 1\sum
j=1
1
2\pi
2\pi \int
x=0
M\Psi
\Biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| A 1
N
j\sum
i=1
Vn(x - xj)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Biggr)
dx. (15)
Это неравенство выполняется для всех N,N \geq 3n, и линейных операторов A, A\tau t = \tau tA,
A1 = 0.
Перейдем к установлению неравенства (11). Ясно, что достаточно ограничиться случаем
k = 1.
Пуcть в (15) A = \Delta h, h \in
\biggl(
0,
2\pi
N
\biggr)
. Тогда совокупность
\bigl\{
(x - xi+h, x - xi), i = 1, . . . , N
\bigr\}
является системой непересекающихся интервалов, поэтому для всех x и j, j \leq N - 1,\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Delta h
1
N
j\sum
i=1
Vn(x - xi)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 1
N
j\sum
i=1
| \Delta hVn(x - xi)| \leq \mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}
\biggl(
1
N
Vn
\biggr)
=
=
1
N
1
2\pi
2\pi \int
0
| V \prime
n(s)| ds \leq
2n - 1
N
1
2\pi
2\pi \int
0
| Vn(s)| ds \leq K,
где постоянная K не зависит от n. Мы использовали неравенство С. Н. Бернштейна в L1[0, 2\pi ]
и равномерную ограниченность L1-норм полиномов Валле Пуссена.
Поскольку M\Psi (st) \leq M\Psi (s)M\Psi (t), то
M\Psi (K) - 1M\Psi
\Biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Delta h
1
N
j\sum
i=1
Vn(x - xi)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Biggr)
\leq M\Psi
\Biggl(
1
K
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Delta h
1
N
j\sum
i=1
Vn(x - xi)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Biggr)
, (16)
и аргумент M\Psi в правой части не превышает единицу.
По условию \gamma \Psi > 0, поэтому для любого \varepsilon , \varepsilon \in (0, \gamma \Psi ), существует такое C\varepsilon > 0, что
M\Psi
\Biggl(
1
K
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Delta h
1
N
j\sum
i=1
Vn(x - xi)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Biggr)
\leq C\varepsilon
1
K\gamma \Psi - \varepsilon
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Delta h
1
N
j\sum
i=1
Vn(x - xi)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\gamma \Psi - \varepsilon
,
1
2\pi
2\pi \int
0
M\Psi
\Biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Delta h
1
N
j\sum
i=1
Vn(x - xi)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Biggr)
dx \leq C\varepsilon
M\Psi (K)
K\gamma \Psi - \varepsilon
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \Delta h
1
N
j\sum
i=1
Vn(x - xi)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L\gamma \Psi - \varepsilon
. (17)
Теперь применим соответствующее Lp-неравенство (7) при p = \gamma \Psi - \varepsilon .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
НЕРАВЕНСТВА ТИПА НИКОЛЬСКОГО – СТЕЧКИНА ДЛЯ ПРИРАЩЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ . . . 715
Полагаем \varepsilon настолько малым, чтобы выполнялось равенство
\biggl[
2
\gamma \Psi - \varepsilon
\biggr]
=
\biggl[
2
\gamma \Psi
\biggr]
, и пусть
N = 2d
(l)
2n - 1 + 1, d
(l)
2n - 1 = (2n - 1)(l + 1) - l, l =
\biggl[
2
\gamma \Psi
\biggr]
. Заметим, что условие N \geq 3n
выполнено. Тогда для всех j \leq N - 1\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \Delta h
1
N
j\sum
i=1
Vn(x - xi)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L\gamma \Psi - \varepsilon
\leq C2(\gamma \Psi - \varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \Delta x1
1
N
j\sum
i=1
Vn(x - xi)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L\gamma \Psi - \varepsilon
=
= C2(\gamma \Psi - \varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1
N
\bigl(
Vn(x) - Vn(x - xj)
\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L\gamma \Psi - \varepsilon
\leq C2(\gamma \Psi - \varepsilon )
2
N\gamma \Psi - \varepsilon
\| Vn\| L\gamma \Psi - \varepsilon . (18)
Так как \upsilon (s) \in C\infty , то для любого \gamma \Psi > 0 [6, 8]
\| Vn\| L\gamma \Psi - \varepsilon \leq C(\gamma \Psi , \varepsilon )n
\gamma \Psi - \varepsilon - 1. (19)
Теперь из (15) – (19) следует, что
\| \Delta hTn\| \Psi
\| \Delta \beta 2n - 1,\gamma \Psi
\| \Psi
\leq
N - 1\sum
j=1
C\varepsilon
M\Psi (K)
K\gamma \Psi - \varepsilon
C2(\gamma \Psi - \varepsilon )
2
N\gamma \Psi - \varepsilon
C(\gamma \Psi , \varepsilon )n
\gamma \Psi - \varepsilon - 1 \leq C7(\gamma \Psi ).
Неравенство (7) установлено.
Установим неравенство (12) при k = 1. Пусть в (15) A = D — оператор дифференцирова-
ния. Поскольку
1
2\pi
2\pi \int
0
M\Psi
\Biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| D 1
N
j\sum
i=1
Vn(x - xi)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Biggr)
dx \leq M\Psi (N)
1
2\pi
2\pi \int
0
M\Psi
\Biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| D 1
N2
j\sum
i=1
Vn(x - xi)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Biggr)
dx,
то достаточно доказать, что для любого j \leq N - 1
1
2\pi
2\pi \int
0
M\Psi
\Biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| D 1
N2
j\sum
i=1
Vn(x - xi)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Biggr)
dx \leq C8(\Psi )
1
N
. (20)
Из (2) при k = 1 и p = \infty следует, что\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| D 1
N2
j\sum
i=1
Vn(x - xi)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq N
2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \Delta x1
\Biggl(
1
N2
j\sum
i=1
Vn(x - xi)
\Biggr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq N
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| Vn
N2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq C9
n
N
\leq C10,
поэтому для любого \varepsilon , \varepsilon \in (0, \gamma \Psi ), существует такое C\varepsilon , что
1
2\pi
2\pi \int
0
M\Psi
\Biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| D 1
N2
j\sum
i=1
Vn(x - xi)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Biggr)
dx \leq C\varepsilon M\Psi (C10)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1
C10
D
1
N2
j\sum
i=1
Vn(x - xi)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L\gamma \Psi - \varepsilon
. (21)
Используем неравенство (6) при p = \gamma \Psi - \varepsilon и положим N = 2d
(l)
s + 1 при s = d2n - 1(l),
l =
\biggl[
2
\gamma \Psi
\biggr]
. Тогда при достаточно малом \varepsilon
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
716 С. А. ПИЧУГОВ\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| D
\Biggl(
1
N2
j\sum
i=1
Vn(x - xi)
\Biggr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L\gamma \Psi - \varepsilon
\leq
\leq C1(\gamma \Psi )(2n - 1)\gamma \Psi - \varepsilon
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \Delta x1
\Biggl(
1
N2
j\sum
i=1
Vn(x - xi)
\Biggr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L\gamma \Psi - \varepsilon
\leq
\leq C11(\gamma \Psi )
n\gamma \Psi - \varepsilon
N2(\gamma \Psi - \varepsilon )
\| Vn\| L\gamma \Psi - \varepsilon \leq
\leq C12(\gamma \Psi )
n\gamma \Psi - \varepsilon
N2(\gamma \Psi - \varepsilon )
n\gamma \Psi - \varepsilon - 1 < C12(\gamma \Psi )
1
n
. (22)
Так как N имеет порядок роста n, то из (21), (22) следует (20).
В случае k > 1 неравенство (12) устанавливается аналогично; для этого к формуле (13)
нужно применить преобразование Абеля k раз.
Литература
1. Никольский С. М. Обобщение одного неравенства С. Н. Бернштейна // Докл. АН СССР. – 1948. – 60, № 9. –
С. 1507 – 1510.
2. Стечкин С. Б. Обобщение некоторых неравенств С. Н. Бернштейна // Докл. АН СССР. – 1948. – 60, № 9. –
С. 1511 – 1514.
3. Иванов В. И. Некоторые неравенства для тригонометрических полиномов и их производных в разных метри-
ках // Мат. заметки. – 1975. – 18, № 4. – С. 489 – 498.
4. Стороженко Э. А., Кротов В. Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространствах
Lp, 0 < p < 1 // Мат. сб. – 1975. – 98, № 3. – С. 395 – 415.
5. Арестов В. В. О неравенствах С. Н. Бернштейна для алгебраических и тригонометрических полиномов //
Докл. АН СССР. – 1979. – 246, № 6. – С. 1289 – 1292.
6. Руновский К. В. О приближении семействами линейных полиномиальных операторов в пространствах Lp,
0 < p < 1 // Мат. сб. – 1994. – 185, № 8. – С. 81 – 102.
7. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. – М.: Наука, 1978. – 400 с.
8. Пичугов С. А. Неравенства для тригонометрических полиномов в пространствах с интегральной метрикой //
Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 12. – С. 1657 – 1671.
Получено 26.10.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1730 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:32Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/29/8ba11ad63d47e680e1afc3f2e6dd6829.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17302019-12-05T09:24:56Z Nikol’skii – Stechkin-type inequalities for the increments of trigonometric polynomials in metric spaces Неравенства типа Никольского – Стечкина для приращений тригонометрических полиномов в метрических пространствах Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. In the spaces $L_{\Psi} [0, 2\pi ]$ with the metric $$\rho (f, 0)\Psi = \frac1{2\pi }\int^{2\pi }_0 \Psi (| f(x)| ) dx,$$ where $\Psi$ is a function of the modulus-ofcontinuity type, we investigate an analog of the Nikol’skii – Stechkin inequalities for the increments and derivatives of trigonometric polynomials. У просторах $L_{\Psi} [0, 2\pi ]$ з метрикою $$\rho (f, 0)\Psi = \frac1{2\pi }\int^{2\pi }_0 \Psi (| f(x)| ) dx,$$ де $\Psi$ — функцiя типу модуля неперервностi, дослiджуються аналоги нерiвностей Нiкольського – Стєчкiна для приростiв та похiдних тригонометричних полiномiв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1730 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 5 (2017); 711-716 Український математичний журнал; Том 69 № 5 (2017); 711-716 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1730/712 Copyright (c) 2017 Pichugov S. A. |
| spellingShingle | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. Nikol’skii – Stechkin-type inequalities for the increments of trigonometric polynomials in metric spaces |
| title | Nikol’skii – Stechkin-type inequalities for the increments of trigonometric polynomials in metric spaces |
| title_alt | Неравенства типа Никольского – Стечкина для приращений
тригонометрических полиномов в метрических пространствах |
| title_full | Nikol’skii – Stechkin-type inequalities for the increments of trigonometric polynomials in metric spaces |
| title_fullStr | Nikol’skii – Stechkin-type inequalities for the increments of trigonometric polynomials in metric spaces |
| title_full_unstemmed | Nikol’skii – Stechkin-type inequalities for the increments of trigonometric polynomials in metric spaces |
| title_short | Nikol’skii – Stechkin-type inequalities for the increments of trigonometric polynomials in metric spaces |
| title_sort | nikol’skii – stechkin-type inequalities for the increments of trigonometric polynomials in metric spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1730 |
| work_keys_str_mv | AT pichugovsa nikolskiistechkintypeinequalitiesfortheincrementsoftrigonometricpolynomialsinmetricspaces AT pičugovsa nikolskiistechkintypeinequalitiesfortheincrementsoftrigonometricpolynomialsinmetricspaces AT pičugovsa nikolskiistechkintypeinequalitiesfortheincrementsoftrigonometricpolynomialsinmetricspaces AT pichugovsa neravenstvatipanikolʹskogostečkinadlâpriraŝenijtrigonometričeskihpolinomovvmetričeskihprostranstvah AT pičugovsa neravenstvatipanikolʹskogostečkinadlâpriraŝenijtrigonometričeskihpolinomovvmetričeskihprostranstvah AT pičugovsa neravenstvatipanikolʹskogostečkinadlâpriraŝenijtrigonometričeskihpolinomovvmetričeskihprostranstvah |