Convergence of the spectral decomposition of a function from the class $W_{p,m}^1 (G),\; p > 1$, in the vector eigenfunctions of a differential operator of the third order
We consider, a third-order differential operator with matrix coefficients. The absolute and uniform convergence of the orthogonal expansion of a vector function from the class $W_{p,m}^1 (G),\; p > 1$, in the vector eigenfunctions of this operator is studied and the rate of uniform convergenc...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1731 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507580584951808 |
|---|---|
| author | Abbasova, Yu. G. Kurbanov, V. M. Аббасова, Ю. Г. Курбанов, В. М. Аббасова, Ю. Г. Курбанов, В. М. |
| author_facet | Abbasova, Yu. G. Kurbanov, V. M. Аббасова, Ю. Г. Курбанов, В. М. Аббасова, Ю. Г. Курбанов, В. М. |
| author_sort | Abbasova, Yu. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:25:15Z |
| description | We consider, a third-order differential operator with matrix coefficients. The absolute and uniform convergence of the
orthogonal expansion of a vector function from the class $W_{p,m}^1 (G),\; p > 1$, in the vector eigenfunctions of this operator is
studied and the rate of uniform convergence of this expansion on $G = [0, 1]$ is estimated. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
Ю. Г. Аббасова, В. М. Курбанов
(Ин-т математики и механики НАН Азербайджана, Азерб. гос. пед. ун-т, Баку)
СХОДИМОСТЬ СПЕКТРАЛЬНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ
ИЗ КЛАССА \bfitW \bfone
\bfitp ,\bfitm (\bfitG ), \bfitp > \bfone , ПО СОБСТВЕННЫМ ВЕКТОР-ФУНКЦИЯМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
We consider, a third-order differential operator with matrix coefficients. The absolute and uniform convergence of the
orthogonal expansion of a vector function from the class W 1
p,m(G), p > 1, in the vector eigenfunctions of this operator is
studied and the rate of uniform convergence of this expansion on G = [0, 1] is estimated.
Розглядається диференцiальний оператор третього порядку з матричними коефiцiєнтами. Дослiджується абсолютна
та рiвномiрна збiжнiсть ортогонального розкладу вектор-функцiї з класу W 1
p,m(G), p > 1, за власними вектор-
функцiями цього оператора i оцiнюється швидкiсть рiвномiрної збiжностi даного розкладу на G = [0, 1].
1. Формулировка результатов. Рассмотрим на интервале G = (0, 1) дифференциальный
оператор
L\Psi = \Psi (3) + U1(x)\Psi
(2) + U2(x)\Psi
(1) + U3(x)\Psi
с матричными коэффициентами Ul(x) = (ulij(x))
m
i,j=1, l = 1, 3, где ulij(x) \in L1(G) — комп-
лекснозначные функции.
Обозначим через D(G) класс m-компонентных вектор-функций, абсолютно непрерыв-
ных вместе со своими производными до второго порядка включительно на отрезке G =
= [0, 1] (D(G) = W 3
1,m(G)).
Под собственной вектор-функцией оператора L, соответствующей собственному значе-
нию \lambda , будем понимать любую тождественно не равную нулю вектор-функцию \Psi (x) =
= (\Psi 1(x),\Psi 2(x), . . . ,\Psi m(x))T \in D(G), удовлетворяющую почти всюду в G уравнению (см. [1])
L\Psi + \lambda \Psi = 0.
Пусть Lm
p (G), p \geq 1, — пространство m-компонентных вектор-функций f(x) = (f1(x),
f2(x), . . . , fm(x))T с нормой
\| f\| p,m =
\left\{
\int
G
| f (x)| p dx
\right\}
1/p
=
\left\{
\int
G
\Biggl(
m\sum
i=1
| fl (x)| 2
\Biggr) p/2
dx
\right\}
1/p
.
Будем говорить, что вектор-функция f(x) принадлежит W 1
p,m(G), 1 \leq p \leq \infty , если f(x)
абсолютно непрерывна на \=G и f \prime (x) принадлежит Lm
p (G). Норма вектор-функции f(x) \in
\in W 1
p,m(G) определяется равенством
\| f\| W 1
p,m(G) = \| f\| p,m + \| f \prime \| p,m.
c\bigcirc Ю. Г. АББАСОВА, В. М. КУРБАНОВ, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6 719
720 Ю. Г. АББАСОВА, В. М. КУРБАНОВ
Предположим, что \{ \Psi k(x)\} \infty k=1 — полная ортонормированная в Lm
2 (G) система, состоящая
из собственных вектор-функций оператора L. Обозначим через \{ \lambda k\} \infty k=1 соответствующую
систему собственных значений, причем предполагаем, что \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda k = 0. Наряду со спектральным
параметром \lambda k будем рассматривать параметр \mu k :
\mu k =
\Biggl\{
( - i\lambda k)
1/3, если \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda k \geq 0,
(i\lambda k)
1/3, если \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda k < 0.
Введем частичную сумму ортогонального разложения вектор-функции f(x) \in W 1
p,m(G) по
системе \{ \Psi k(x)\} \infty k=1 :
\sigma \nu (x, f) =
\sum
\mu k\leq \nu
fk\Psi k(x), \nu > 0,
где
fk = (f,\Psi k) =
1\int
0
\langle f(x),\Psi k(x)\rangle dx =
1\int
0
m\sum
l=1
fl(x)\Psi kl(x)dx,
\Psi k(x) = (\Psi k1(x),\Psi k2(x), . . . ,\Psi km(x))T ,
а также разность R\nu (x, f) = f(x) - \sigma \nu (x, f).
В работе доказываются следующие утверждения.
Теорема 1.1. Пусть U1(x) \equiv 0, Ur(x) \in L1(G), r = 2, 3, f(x) \in W 1
p,m(G), p > 1, и
выполняется условие\bigm| \bigm| \bigm| \langle f(x),\Psi (2)
k (x)\rangle
\bigm| \bigm| \bigm| 1
0
\bigm| \bigm| \bigm| \leq C1(f)\mu
\alpha
k\| \Psi k\| \infty ,m, 0 \leq \alpha < 2, \mu k \geq 1, (1.1)
где C1(f) — постоянная, зависящая от f(x).
Тогда спектральное разложение вектор-функции f(x) по системе
\{ \Psi k(x)\} \infty k=1 сходится абсолютно и равномерно на отрезке G = [0, 1] и справедлива оценка
\| R\nu (\cdot , f)\| C[0,1] \leq
\leq C
\Biggl\{
C1(f)\nu
\alpha - 2 + \nu - \beta \| f \prime \| p,m + \nu - 1(\| f\| \infty ,m + \| f \prime \| 1,m)
3\sum
r=2
\nu 2 - r\| Ur\| 1
\Biggr\}
, (1.2)
где \beta = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl\{ 1
2
,
1
q
\Bigr\}
, p - 1 + q - 1 = 1, \nu \geq 2, постоянная C не зависит от f(x) : \| Ur\| 1 =
=
\sum m
i,j=1 \| urij\| 1.
Следствие 1.1. 1. Если в теореме 1.1 вектор-функция f(x) удовлетворяет условию f(0) =
= f(1) = 0, то заведомо выполняется условие (1.1) и справедлива оценка
\| R\nu (\cdot , f)\| C[0,1] \leq C\nu - \beta \| f \prime \| p,m, \nu \geq 2,
где постоянная C не зависит от f(x);
2. Если C1(f) = 0 или 0 \leq \alpha < 2 - \beta , то справедлива оценка
\| R\nu (\cdot , f)\| C[0,1] = o(\nu - \beta ), \nu - \rightarrow +\infty ,
где символ \prime \prime o\prime \prime зависит от f(x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
СХОДИМОСТЬ СПЕКТРАЛЬНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ИЗ КЛАССА W 1
p,m(G), p > 1, . . . 721
Теорема 1.2. Пусть U1(x) \in L2(G), Ur(x) \in L1(G), r = 2, 3, f(x) \in W 1
2,m(G) и вы-
полняется условие (1.1). Тогда спектральное разложение вектор-функции f(x) по системе
\{ \Psi k(x)\} \infty k=1 сходится абсолютно и равномерно на G = [0, 1] и справедлива оценка
\| R\nu (\cdot , f)\| C[0,1] \leq C
\Biggl\{
C1(f)\nu
\alpha - 2+
+\nu -
1
2 (\| U\ast
1 f\| 2,m + \| f \prime \| 2,m) + \nu - 1\| f\| \infty ,m
3\sum
r=2
\nu 2 - r\| Ur\| 1
\Biggr\}
, \nu \geq 2, (1.3)
где постоянная C не зависит от f(x), U\ast
1 — матрица, сопряженная к матрице U1.
Следствие 1.2. 1. Если в теореме 1.2 вектор-функция f(x) удовлетворяет условию f(0) =
= f(1) = 0, то заведомо выполняется условие (1.1) и справедлива оценка
\| R\nu (\cdot , f)\| C[0,1] \leq C\nu -
1
2 (\| U\ast
1 f\| 2,m + \| f \prime \| 2,m), \nu \geq 2, (1.3\prime )
где постоянная C не зависит от f(x).
2. Если C1(f) = 0 или 0 \leq \alpha < 3/2, то справедлива оценка
\| R\nu (\cdot , f)\| C[0,1] = o
\biggl(
\nu -
1
2
\biggr)
, \nu - \rightarrow +\infty , (1.3\prime \prime )
где символ \prime \prime o\prime \prime зависит от f(x).
Теорема 1.3. Пусть U1(x) \in L2(G), Ur(x) \in L1(G), r = 2, 3, f(x) \in W 1
p,m(G), 1 < p < 2,
выполняется условие (1.1) и система \{ \Psi k(x)\} \infty k=1 равномерно ограничена. Тогда спектральное
разложение вектор-функции f(x) по системе \{ \Psi k(x)\} \infty k=1 сходится абсолютно и равномерно
на G = [0, 1] и справедлива оценка
\| R\nu (\cdot , f)\| C[0,1] \leq C
\Biggl\{
C1(f)\nu
\alpha - 2+
+\nu -
1
2 \| U\ast
1 f\| 2,m + \nu
- 1
q \| f \prime \| p,m + \nu - 1\| f\| \infty ,m
3\sum
r=2
\nu 2 - r\| Ur\| 1
\Biggr\}
, \nu \geq 2, (1.4)
где p - 1 + q - 1 = 1, а постоянная C не зависит от f(x).
Следствие 1.3. 1. Если в теореме 1.3 вектор-функция f(x) удовлетворяет условию f(0) =
= f(1) = 0, то заведомо выполняется условие (1.1) и справедлива оценка
\| R\nu (\cdot , f)\| C[0,1] \leq C(\nu -
1
2 \| U\ast
1 f\| 2,m + \nu
- 1
q \| f \prime \| p,m), \nu \geq 2, (1.4\prime )
где постоянная C не зависит от f(x).
2. Eсли в теореме 1.3 C1(f) = 0 или 0 \leq \alpha < 2 - q - 1, то
\| R\nu (\cdot , f)\| C[0,1] = o
\biggl(
\nu -
1
2
\biggr)
, \nu - \rightarrow +\infty , (1.4\prime \prime )
где символ \prime \prime o\prime \prime зависит от f(x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
722 Ю. Г. АББАСОВА, В. М. КУРБАНОВ
Подобные результаты для оператора Шредингера получены в работах [2 – 4], а для операторов
третьего и четвертого порядка в случае f(x) \in W 1
1,m(G) — в работах [5, 6] при некоторых
дополнительных условиях.
Напомним, что для вектор-функции f(x) из области определения самосопряженного диф-
ференциального оператора равномерная сходимость спектрального разложения известнa из
монографии [7] (глава III, § 9).
2. Некоторые вспомогательные леммы. Для собственной вектор-функции \Psi k(x) спра-
ведливы представления (\lambda k \not = 0) [5]
\mu - l
k \Psi
(l)
k (t) =
2\sum
j=1
( - i\omega j)
lX -
j (0) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - i\omega j\mu kt) + ( - i\omega j)
lB -
3 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i\omega 3\mu k(1 - t)) -
-
2\sum
j=1
( - i)l\omega l+1
j
t\int
0
M(\Psi k(\xi )) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i\omega j\mu k(\xi - t))d\xi +
+( - i)l\omega l+1
3
1\int
t
M(\Psi k(\xi )) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i\omega 3\mu k(\xi - t))d\xi (2.1)
при \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda k > 0,
\mu - l
k \Psi
(l)
k (t) =
3\sum
j=1,j \not =2
(i\omega j)
lX+
j (0) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i\omega j\mu kt) + (i\omega 2)
lB+
2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - i\omega 2\mu k(1 - t)) -
-
3\sum
j=1,j \not =2
(i)l\omega l+1
j
t\int
0
M(\Psi k(\xi )) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - i\omega j\mu k(\xi - t))d\xi +
+(i)l\omega l+1
2
1\int
t
M(\Psi k(\xi )) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - i\omega 2\mu k(\xi - t))d\xi (2.2)
при \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda k < 0. При этом l = 0, 2, \omega 1 = - 1, \omega 2 = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - i\pi \diagup 3), \omega 3 = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i\pi \diagup 3),
B -
3 = X -
3 (0) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - i\omega 3\mu k) - \omega 3
1\int
0
M(\Psi k(\xi )) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - i\omega 3\mu k(\xi - 1))d\xi ,
B+
2 = X+
2 (0) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i\omega 2\mu k) - \omega 2
1\int
0
M(\Psi k(\xi )) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i\omega 2\mu k(\xi - 1))d\xi ,
X\pm
j (x) =
1
3\mu 2
k
2\sum
l=0
(\mp i\mu k)
l\omega l+1
j \Psi
(2 - l)
k (x),
M(\Psi k(\xi )) =
1
3\mu 2
k
3\sum
r=1
Ur(\xi )\Psi
(3 - r)
k (\xi ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
СХОДИМОСТЬ СПЕКТРАЛЬНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ИЗ КЛАССА W 1
p,m(G), p > 1, . . . 723
Для коэффициентoв в формулах (2.1) и (2.2) выполняются оценки
| X\pm
1 (0)| \leq C\| \Psi k\| 2,m, | X\pm
1 (0)| \leq C\| \Psi k\| \infty ,m,
| B+
2 | \leq C\| \Psi k\| \infty ,m, | B -
3 | \leq C\| \Psi k\| \infty ,m, (2.3)
где C — некоторая постоянная.
Лемма 2.1. Пусть вектор-функция f(x) \in W 1
p,m(G), p > 1, и система \{ \Psi k(x)\} \infty k=1 удо-
влетворяют условию (1.1). Тогда для коэффициентов Фурье fk справедливы оценки (\mu k \geq 1)
| fk| \leq
\Biggl\{
C1(f)\mu
\alpha - 3
k \| \Psi k\| \infty ,m + \mu - 1
k
\bigm| \bigm| \bigm| (U\ast
1 f, \mu
- 2
k \Psi
(2)
k )
\bigm| \bigm| \bigm| +
+\mu - 1
k
\bigm| \bigm| \bigm| (f \prime , \mu - 2
k \Psi
(2)
k )
\bigm| \bigm| \bigm| + \mu - 2
k
\Biggl(
3\sum
r=2
\mu 2 - r
k \| Ur\| 1
\Biggr)
\| f\| \infty ,m\| \Psi k\| \infty ,m
\Biggr\}
, (2.4)
где C — некоторая постоянная,
| fk| \leq C
\left\{
\left[ C1(f)\mu
\alpha - 3
k + \mu - 1
k
\left( m\sum
l=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
f \prime
l (t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i\omega 3\mu kt)dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+
m\sum
l=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
f \prime
l (1 - t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - i\omega 2\mu kt)dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\right) + (\| f\| \infty ,m + \| f \prime \| 1,m)\mu - 2
k \times
\times
3\sum
r=2
\mu 2 - r
k \| Ur\| 1
\right] \| \Psi k\| \infty ,m + \mu - 1
k
m\sum
l=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
f \prime
l (t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - i\mu kt)dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\right\} , (2.5)
если U1(x) \equiv 0, \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda k < 0,
| fk| \leq C
\left\{
\left[ C1(f)\mu
\alpha - 3
k + \mu - 1
k
\left( m\sum
l=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
f \prime
l (t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - i\omega 2\mu kt)dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+
m\sum
l=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
f \prime
l (1 - t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i\omega 3\mu kt)dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\right) + (\| f\| \infty ,m + \| f \prime \| 1,m)\mu - 2
k \times
\times
3\sum
r=2
\mu 2 - r
k \| Ur\| 1
\right] \| \Psi k\| \infty ,m + \mu - 1
k
m\sum
l=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
f \prime
l (t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i\mu kt)dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\right\} , (2.6)
если U1(x) \equiv 0, \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda k > 0.
Доказательство. По определению собственной функции \Psi k(x) коэффициенты Фурье fk
вектор-функции f(x) вычисляются по формуле
fk = (f,\Psi k) = - 1
\lambda k
(f, Lu\Psi k) = - 1
\lambda k
\Bigl(
f,\Psi
(3)
k
\Bigr)
- 1
\lambda k
\Bigl(
f, U1\Psi
(2)
k
\Bigr)
-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
724 Ю. Г. АББАСОВА, В. М. КУРБАНОВ
- 1
\lambda k
\Bigl(
f, U2\Psi
(1)
k
\Bigr)
- 1
\lambda k
(f, U3\Psi k). (2.7)
В силу оценки (см. [8, 9])\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Psi (s)
k
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty ,m
\leq C(1 + \mu k)
s+
1
p \| \Psi k\| p,m \forall p \geq 1, s = 0, 2, (2.8)
находим
1
| \lambda k|
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( f, U2\Psi
(1)
k
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| + 1
| \lambda k|
| (f, U3\Psi k)| \leq
\leq C\| f\| \infty ,m\mu - 2
k
\Biggl(
3\sum
r=2
\mu 2 - r
k \| Ur\| 1
\Biggr)
\| \Psi k\| \infty ,m, (2.9)
где C — некоторая постоянная.
Проводя интегрирование по частям в первом слагаемом в правой части равенства (2.7) и
учитывая условие (1.1), получаем
1
| \lambda k|
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( f,\Psi (3)
k
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \leq C1(f)\mu
(\alpha - 3)
k \| \Psi k\| \infty ,m + \mu - 3
k
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( f \prime ,\Psi
(2)
k
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| . (2.10)
Из (2.7), (2.9) и (2.10) следует оценка (2.4).
Теперь оценим выражение \mu - 3
k
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( f \prime ,\Psi
(2)
k
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| в случае U1(x) \equiv 0. С этой целью воспользуемся
формулами (2.1) и (2.2) в зависимости от знака \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda k. Для определенности рассмотрим случай
\mathrm{I}\mathrm{m}\lambda k > 0 и применим формулу (2.1) при l = 2. Тогда в силу оценок (2.3), (2.8) и
| M(\Psi k(\xi ))| \leq
1
3
\mu - 2
k
3\sum
r=2
\bigm| \bigm| \bigm| Ur(\xi )\Psi
(3 - r)
k (\xi )
\bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq C\mu - 1
k
\Biggl(
3\sum
r=2
\mu 2 - r
k \| Ur(\xi )\|
\Biggr)
\| \Psi k\| \infty ,m,
где
\| Ur(\xi )\| =
m\sum
i,j=1
| urij(\xi )| ,
имеем
\mu - 3
k
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( f \prime ,\Psi
(2)
k
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| = \mu - 1
k
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( f \prime , \mu - 2
k \Psi
(2)
k
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq \mu - 1
k
2\sum
j=1
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( f \prime , X -
j (0) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - i\omega j\mu kt)
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| + \mu - 1
k
\bigm| \bigm| \bigl( f \prime , B -
3 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i\omega 3\mu k (1 - t))
\bigr) \bigm| \bigm| +
+\mu - 1
k
2\sum
j=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\left( f \prime ,
t\int
0
M (\Psi k (\xi )) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (i\omega j\mu k (\xi - t)) d\xi
\right) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+\mu - 1
k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\left( f \prime ,
1\int
t
M (\Psi k (\xi )) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (i\omega 3\mu k (\xi - t)) d\xi
\right) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
СХОДИМОСТЬ СПЕКТРАЛЬНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ИЗ КЛАССА W 1
p,m(G), p > 1, . . . 725
\leq \mu - 1
k
2\sum
j=1
m\sum
l=1
\bigm| \bigm| \bigm| X -
j (0)
\bigm| \bigm| \bigm|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
f \prime
l (t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - i\omega j\mu kt) dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+\mu - 1
k
\bigm| \bigm| B -
3
\bigm| \bigm| m\sum
l=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
f \prime
l (1 - t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (i\omega 3\mu kt) dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+C\mu - 2
k
\Biggl(
3\sum
r=2
\mu 2 - r
k \| Ur\| 1
\Biggr)
\| \Psi k\| \infty ,m
\bigm\| \bigm\| f \prime \bigm\| \bigm\|
1,m
\leq C\mu - 1
k \times
\times
\left\{
m\sum
l=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
f \prime
l (t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (i\mu kt) dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
m\sum
l=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
f \prime
l (t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - i\omega 2\mu kt) dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \| \Psi k\| \infty ,m+
+
m\sum
l=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
f \prime
l (1 - t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (i\omega 3\mu kt) dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \| \Psi k\| \infty ,m+
+\mu - 1
k
\Biggl(
3\sum
r=2
\mu 2 - r
k \| Ur\| 1
\Biggr)
\| \Psi k\| \infty ,m
\bigm\| \bigm\| f \prime \bigm\| \bigm\|
1,m
\right\} .
Учитывая сначала последнюю оценку в неравенстве (2.10), а затем объединяя полученное
с оценкой (2.9), из равенства (2.7) получаем неравенство (2.6).
Лемма 2.1 доказана.
Лемма 2.2 (см. [9]). Пусть U1(x) \in L2(G), Ur(x) \in L1(G), r = 2, 3. Тогда для орто-
нормированной системы собственных вектор-функций \{ \Psi k(x)\} \infty k=1 и числа \mu k выполняются
оценки \sum
\tau \leq \mu k\leq \tau +1
1 \leq C для любого \tau \geq 0, (2.11)
\sum
0\leq \mu k\leq \tau
\| \Psi k\| 2\infty ,m \leq C (1 + \tau ) для любого \tau > 0, (2.12)
где C — некоторая постоянная.
Лемма 2.3 (см. [10]). Если выполнены условия леммы 2.2, то система \{ \mu - 2
k \Psi
(2)
k (x)\} \infty k=1,
\mu k \geq 1, бесселева, т. е. для любой вектор-функции g(x) \in Lm
2 (G) выполняется неравенство\sum
\mu k\geq 1
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( g, \mu - 2
k \Psi
(2)
k
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| 2 \leq C \| g\| 22,m , (2.13)
где C — некоторая постоянная.
Лемма 2.4. При выполнении условия (2.11) система \{ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - i\mu kt)\} при \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda k < 0 и система
\{ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i\mu kt)\} при \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda k > 0 удовлетворяют неравенству Рисса при 1 < p \leq 2.
Доказательство. Поскольку каждая из этих систем является бесселевой в L2(G) (см.
[1]) при выполнении условия (2.11) и, кроме того, для любого g(x) \in L1(G) выполняется
неравенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
726 Ю. Г. АББАСОВА, В. М. КУРБАНОВ\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
g (x)\varphi k (x)dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq C \| g\| 1 ,
где \{ \varphi k(x)\} — любая из вышеуказанных систем, то в силу теоремы Рисса – Торина (см. [11],
гл. XII, п. 1) для этих систем имеет место неравенство Рисса, т. е. для любой функции g(x) \in
\in Lp(G), 1 < p \leq 2, выполняется неравенство
\sum
k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
g (x)\varphi k (x)dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
q
\leq C \| g\| qp , (2.14)
где q = p\diagup (p - 1).
Лемма 2.4 доказана.
Лемма 2.5. Пусть выполняются условия леммы 2.2. Тогда для ортонормированной систе-
мы \{ \Psi k(x)\} \infty k=1 справедлива оценка
\sum
\mu k\geq \mu
\| \Psi k\| 2\infty ,m
\mu \delta +1
k
\leq C (\delta )\mu - \delta \forall \mu \geq 2, \delta > 0, (2.15)
где C(\delta ) — постоянная, не зависящая от \mu .
Доказательство. Зафиксируем произвольное натуральное число n0. Применяя преобра-
зование Абеля и оценки (2.11), (2.12), имеем
\sum
\mu \leq \mu k\leq [\mu ]+n0
\| \Psi k\| 2\infty ,m
\mu 1+\delta
k
\leq
[\mu ]+n0\sum
n=[\mu ]
1
n1+\delta
\left( \sum
n\leq \mu k<n+1
\| \Psi k\| 2\infty ,m
\right) \leq
\leq
[\mu ]+n0 - 1\sum
n=[\mu ]
\left( \sum
n\leq \mu k<n+1
\| \Psi k\| 2\infty ,m
\right) \Biggl( 1
n1+\delta
- 1
(n+ 1)1+\delta
\Biggr)
+
+
\left( \sum
1\leq \mu k\leq [\mu ]+n0
\| \Psi k\| 2\infty ,m
\right) ([\mu ] + n0)
- (1+\delta ) +
\left( \sum
1\leq \mu k\leq [\mu ] - 1
\| \Psi k\| 2\infty ,m
\right) [\mu ] - (1+\delta ) \leq
\leq C
[\mu ]+n0 - 1\sum
n=[\mu ]
(n+ 1)
(1 + \delta ) (n+ 1)\delta
(n (n+ 1))1+\delta
+ C ([\mu ] + n0)
- \delta + C [\mu ] - \delta \leq
\leq C
\left\{ (1 + \delta )
\infty \sum
n=[\mu ]
n - (1+\delta ) + [\mu ] - \delta
\right\} \leq C (\delta )\mu - \delta .
Отсюда в силу произвольности натурального числа n0 получaeм оценку (2.15).
Лемма 2.5 доказана.
Лемма 2.6. Пусть выполняются условия леммы 2.2. Тогда для ортонормированной систе-
мы \{ \Psi k(x)\} \infty k=1 справедлива оценка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
СХОДИМОСТЬ СПЕКТРАЛЬНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ИЗ КЛАССА W 1
p,m(G), p > 1, . . . 727
\sum
\mu k\geq \mu
\| \Psi k\| p\infty ,m
\mu p
k
\leq C1 (p)\mu
1 - p \forall \mu \geq 2, 1 < p \leq 2, (2.16)
где C1(p) не зависит от \mu .
Доказательство. При p = 2 оценка (2.16) следует из (2.15) при \delta = 1. В случае 1 < p < 2
применим неравенство Гельдера при p\prime = 2/p, q\prime = 2/(2 - p):
\sum
\mu k\geq \mu
\| \Psi k\| p\infty ,m
\mu p
k
=
\sum
\mu k\geq \mu
\| \Psi k\| p\infty ,m
\mu
p - 1
2
k
1
\mu
1
2
k
\leq
\leq
\left( \sum
\mu k\geq \mu
\| \Psi k\| p\infty ,m
\mu
2 - 1
p
k
\right)
p
2
\left( \sum
\mu k\geq \mu
1
\mu
1
2 - p
k
\right)
2 - p
2
\leq
\leq
\left( \sum
\mu k\geq \mu
\| \Psi k\| 2\infty ,m
\mu
2 - 1
p
k
\right)
p
2
\left( \infty \sum
n=[\mu ]
1
n
1
2 - p
\left( \sum
n\leq \mu k\leq n+1
1
\right) \right)
2 - p
2
.
Применяя здесь лемму 2.5 при \delta = 1 - 1
p
и оценку (2.11), получаем
\sum
\mu k\geq \mu
\| \Psi k\| p\infty ,m
\mu p
n
\leq C
\biggl(
\mu
-
\Bigl(
1 - 1
p
\Bigr) \biggr) p/2
[\mu ]
1 - p
2 \leq C1 (p)\mu
1 - p.
Лемма 2.6 доказана.
Лемма 2.7 (см. [10]). Пусть последовательность \{ \alpha k\} \infty k=0, \alpha k \geq 0, для любого номера
N = 1, 2, . . . удовлетворяет условию
\sum N
k=1 \alpha k \leq CN, где C — некоторая постоянная. Тогда
для любой f(x) \in Lp(G), 1 < p \leq 2, выполняется неравенство\left( \infty \sum
k=0
\alpha k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
f (x) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - k\beta x) dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
q\right) 1/q
\leq Mp \| f\| p ,
где \beta — комплексное число, для которого \mathrm{R}\mathrm{e}\beta > 0, p - 1 + q - 1 = 1, Mp не зависит от f(x).
Лемма 2.8. При условиях леммы 2.2 для каждой системы
\biggl\{
\| \Psi k\|
2
q
\infty ,m \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i\omega 3\mu kt)
\biggr\} \infty
k=1
и
\biggl\{
\| \Psi k\|
2
q
\infty ,m \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - i\omega 2\mu kt)
\biggr\} \infty
k=1
при \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda k < 0, для каждой системы\biggl\{
\| \Psi k\|
2
q
\infty ,m \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - i\omega 2\mu kt)
\biggr\} \infty
k=1
и
\biggl\{
\| \Psi k\|
2
q
\infty ,m \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i\omega 3\mu kt)
\biggr\} \infty
k=1
при \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda k > 0 выполняется нера-
венство Рисса при 1 < p \leq 2, где p - 1 + q - 1 = 1.
Доказательство. Рассмотрим первую из этих систем и докажем для нее неравенство Рисса
(остальные системы рассматриваются аналогичным образом). Очевидно, что | \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(i\omega 3\mu kt)| =
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl(
-
\surd
3
2
\mu kt
\Biggr)
. Поэтому для любой функции f(x) \in Lp(G) получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
728 Ю. Г. АББАСОВА, В. М. КУРБАНОВ
\sum
Im\lambda k<0
\| \Psi k\| 2\infty ,m
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
f (x) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (i\omega 3\mu kt) dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
q
\leq
\leq
\infty \sum
k=1
\| \Psi k\| 2\infty ,m
\left( 1\int
0
| f (x)| \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl(
-
\surd
3
2
\mu kt
\Biggr)
dt
\right) q
=
=
\infty \sum
n=0
\sum
n\leq \mu k<n+1
\| \Psi k\| 2\infty ,m
\left( 1\int
0
| f (x)| \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl(
-
\surd
3
2
\mu kt
\Biggr)
dt
\right) q
\leq
\leq
\infty \sum
n=0
\left( \sum
n\leq \mu k<n+1
\| \Psi k\| 2\infty ,m
\right) \left( 1\int
0
| f (x)| \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl(
-
\surd
3
2
nt
\Biggr)
dt
\right) q
=
=
\infty \sum
n=0
\alpha n
\left( 1\int
0
| f (x)| \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl(
-
\surd
3
2
nt
\Biggr)
dt
\right) q
, (2.17)
где \alpha n =
\sum
n\leq \mu k<n+1
\| \Psi \| 2\infty ,m.
В силу неравенствa (2.12) для любого натурального числа N находим
N\sum
n=0
\alpha n =
\sum
0\leq \mu k<N+1
\| \Psi k\| 2\infty ,m \leq CN.
Следовательно, выполняется условие леммы 2.7. Поэтому имеет место неравенство\left\{
\infty \sum
n=0
\alpha n
\left( 1\int
0
| f (x)| \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl(
-
\surd
3
2
nt
\Biggr)
dt
\right) q\right\}
1/q
\leq Mp \| f\| p .
Отсюда и из (2.17) получаем, что система
\biggl\{
\| \Psi k\|
2
q
\infty ,m \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (i\omega 3\mu kt)
\biggr\} \infty
k=1
при \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda k < 0 удовле-
творяет неравенству Рисса.
Лемма 2.8 доказана.
3. Доказательствa теорем 1.1 – 1.3. Доказательствo теоремы 1.1. Рассмотрим случай 1 <
< p \leq 2. Докажем равномерную сходимость ряда
\sum \infty
k=1
| fk| | \Psi k(x)| на \=G. Для этого разобьем
этот ряд на две суммы:
\sum
0\leq \mu k\leq 2
| fk| | \Psi k(x)| и
\sum
\mu k>2
| fk| | \Psi k(x)| . Первая сумма в силу оценки
(2.12) не превышает величину \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\| f\| 1. Для исследования второго ряда применим лемму 2.1,
т. е. оценки (2.5) и (2.6) в зависимости от знака \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda k. Для этого представим данный ряд в
виде \sum
\mu k>2
| fk| | \Psi k (x)| =
\sum
k\in I1
| fk| | \Psi k (x)| +
\sum
k\in I2
| fk| | \Psi k (x)| = \scrJ 1 + \scrJ 2,
где I1 = \{ k : \mu k > 2, \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda k < 0\} , I2 = \{ k : \mu k > 2, \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda k > 0\} .
В силу оценки (2.5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
СХОДИМОСТЬ СПЕКТРАЛЬНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ИЗ КЛАССА W 1
p,m(G), p > 1, . . . 729
\scrJ 1 =
\sum
k\in I1
| fk| | \Psi k (x)| \leq C C1 (f)
\sum
k\in I1
\mu \alpha - 3
k \| \Psi k\| 2\infty ,m+
+C
\sum
k\in I1
\mu - 1
k
m\sum
l=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
f \prime
l (t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (i\omega 3\mu kt) dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \| \Psi k\| 2\infty ,m+
+C
\sum
k\in I1
\mu - 1
k
m\sum
l=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
f \prime
l (1 - t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - i\omega 2\mu kt) dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \| \Psi k\| 2\infty ,m+
+C
\Bigl(
\| f\| \infty ,m +
\bigm\| \bigm\| f \prime \bigm\| \bigm\|
1,m
\Bigr) \sum
k\in I1
\mu - 2
k
\Biggl(
m\sum
r=1
\mu 2 - r
k \| Ur\| 1
\Biggr)
\| \Psi k\| 2\infty ,m+
+C
\sum
k\in I1
\mu - 1
k
m\sum
l=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
f \prime
l (t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - i\mu kt) dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \| \Psi k\| \infty ,m =
= C
\bigl(
\scrJ 1
1 + \scrJ 2
1 + \scrJ 3
1 + \scrJ 4
1 + \scrJ 5
1
\bigr)
.
Докажем сходимость рядов \scrJ j
1 , j = 1, 5. В силу лемму 2.5 и условия 0 \leq \alpha < 2 находим
\scrJ 1
1 = C1 (f)
\sum
k\in I1
\mu \alpha - 3
k \| \Psi k\| 2\infty ,m \leq
\leq C1 (f)
\sum
k\in I1
\| \Psi k\| 2\infty ,m
\mu
1+(2 - \alpha )
k
\leq C C1 (f) 2
\alpha - 2 < \infty . (3.1)
Для оценки ряда \scrJ 2
1 сначала применим неравенство Гельдера для суммы, а затем леммы 2.5
и 2.8:
\scrJ 2
1 =
m\sum
l=1
\sum
k\in I1
\mu - 1
k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
f \prime
l (t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (i\omega 3\mu kt) dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \| \Psi k\| 2\infty ,m \leq
\leq
m\sum
l=1
\left( \sum
k\in I1
\| \Psi k\| 2\infty ,m
\mu p
k
\right) 1/p\left\{ \sum
k\in I1
\| \Psi k\| 2\infty ,m
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
f \prime
l (t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (i\omega 3\mu kt) dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
q\right\}
1/q
\leq
\leq C Mp2
- 1
q
m\sum
l=1
\bigm\| \bigm\| f \prime
l
\bigm\| \bigm\|
p
\leq C 2
- 1
q
\bigm\| \bigm\| f \prime \bigm\| \bigm\|
p,m
< \infty .
Ряд \scrJ 3
1 оценивается так же, как ряд \scrJ 2
1 . Для оценки ряда \scrJ 4
1 применим лемму 2.5:
\scrJ 4
1 =
\Bigl(
\| f\| \infty ,m +
\bigm\| \bigm\| f \prime \bigm\| \bigm\|
1,m
\Bigr) \sum
k\in I1
\mu - 2
k
\Biggl(
3\sum
r=2
\mu 2 - r
k \| Ur\| 1
\Biggr)
\| \Psi k\| 2\infty ,m \leq
\leq C
\Bigl(
\| f\| \infty ,m +
\bigm\| \bigm\| f \prime \bigm\| \bigm\|
1,m
\Bigr) \Biggl( 3\sum
r=2
\| Ur\| 1 2
1 - r
\Biggr)
< \infty . (3.2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
730 Ю. Г. АББАСОВА, В. М. КУРБАНОВ
Теперь оценим ряд \scrJ 5
1 . Для этого сначала применим неравенство Гельдера, а затем леммы 2.4
и 2.6:
\scrJ 5
1 =
m\sum
l=1
\sum
k\in I1
\mu - 1
k \| \Psi k\| \infty ,m
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
f \prime
l (t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - i\mu kt) dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
m\sum
l=1
\left( \sum
k\in I1
\mu - p
k \| \Psi k\| p\infty ,m
\right) 1/p\left\{ \sum
k\in I1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
f \prime
l (t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - i\mu kt) dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
q\right\}
1/q
\leq
\leq C2
- 1
q
\bigm\| \bigm\| f \prime \bigm\| \bigm\|
p,m
< \infty .
Таким образом, ряд \scrJ 1 равномерно сходится на G. Применяя оценку (2.6) для коэффициентов
fk, точно так же доказывается равномерная сходимость ряда \scrJ 2 на G. Следовательно, ряд\sum \infty
k=1 | fk| | \Psi k(x)| равномерно сходится на G. В силу полноты системы \{ \Psi k(x)\} \infty k=1 в Lm
2 (G) и
непрерывности f(x) на G ряд
\sum \infty
k=1 fk\Psi k(x) равномерно сходится именно к f(x), т. е. имеет
место равенство
f (x) =
\infty \sum
k=1
fk\Psi k (x) , x \in G. (3.3)
Теперь убедимся в справедливости оценки (1.2). В силу равенства (3.3)
| R\nu (x, f)| = | f (x) - \sigma \nu (x, f)| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \sum
\mu k>\nu
fk\Psi k (x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\sum
\mu k\geq \nu
| fk| \| \Psi k\| \infty ,m =
\sum
k\in B1(\nu )
| fk| \| \Psi k\| \infty ,m+
+
\sum
k\in B2(\nu )
| fk| \| \Psi k\| \infty ,m = K1 (\nu ) +K2 (\nu ) ,
где B1 (\nu ) = \{ k : \mu k \geq \nu , \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda k < 0\} , B2 (\nu ) = \{ k : \mu k \geq \nu , \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda k > 0\} .
Ряды K1(\nu ) и K2(\nu ) оцениваются по схеме, аналогичной оцениванию рядов \scrJ 1 и \scrJ 2. В
результате получаем
Kj (\nu ) \leq C
\Biggl\{
C1 (f) \nu
\alpha - 2 + \nu
- 1
q
\bigm\| \bigm\| f \prime \bigm\| \bigm\|
p,m
+
+\nu - 1
\Bigl(
\| f\| \infty ,m + \| f\| 1,m
\Bigr) 3\sum
r=2
\nu 2 - r \| Ur\| 1
\Biggr\}
, j = 1, 2.
Следовательно, при 1 < p \leq 2 справедлива оценка (1.2). Теорема 1.1 в случае 1 < p \leq 2
доказана. При p > 2 справедливость теоремы 1.1 следует из вложения Lm
p (G) \subset Lm
2 (G).
Теорема 1.1 доказана.
Доказательствo теоремы 1.2. Пустъ U1(x) \in L2(G), Ur(x) \in L1(G), r = 2, 3, f(x) \in
\in W 1
2,m(G) и выполняется условие (1.1). Докажем равномерную сходимость ряда\sum
\mu k\geq 2 | fk| | \Psi k(x)| на G. В силу оценки (2.4) находим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
СХОДИМОСТЬ СПЕКТРАЛЬНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ИЗ КЛАССА W 1
p,m(G), p > 1, . . . 731
\sum
\mu k\geq 2
| fk| | \Psi k| \infty ,m \leq C
\left\{ C1 (f)
\sum
\mu k\geq 2
\mu \alpha - 3
k \| \Psi k\| 2\infty ,m+
+
\sum
\mu k\geq 2
\mu - 1
k
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( U\ast
1 f, \mu
- 2
k \Psi
(2)
k
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \| \Psi k\| \infty ,m +
\sum
\mu k\geq 2
\mu - 1
k \| \Psi k\| \infty ,m
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( f \prime , \mu - 2
k \Psi
(2)
k
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| +
+ \| f\| \infty ,m
\sum
\mu k\geq 2
\mu - 2
k \| \Psi k\| 2\infty ,m
\Biggl(
3\sum
r=2
\mu 2 - r
k \| Ur\| 1
\Biggr) \right\} = C\{ A1 +A2 +A3 +A4\} .
Ряды A1 и A4 оцениваются так же, как ряды \scrJ 1
1 и \scrJ 4
1 . Для A1 выполняется оценка (3.1), а
для A4 — оценка (3.2) c заменой множителя \| f\| \infty ,m + \| f \prime \| 1,m на множитель \| f\| \infty ,m.
Для оценивания рядов A2 и A3 применим лемму 2.3 для системы \{ \mu - 2
k \Psi
(2)
k (x)\} , \mu k \geq 2, а
также лемму 2.5 при \delta = 1, \mu = 2. В результате получим
A2 =
\sum
\mu k\geq 2
\mu - 1
k \| \Psi k\| \infty ,m
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( U\ast
1 f, \mu
- 2
k \Psi
(2)
k
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\left( \sum
\mu k\geq 2
\mu - 2
k \| \Psi k\| 2\infty ,m
\right) 1/2
\times
\times
\left( \sum
\mu k\geq 2
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( U\ast
1 f, \mu
- 2
k \Psi
(2)
k
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| 2
\right) 1/2
\leq C2 -
1
2 \| U\ast
1 f\| 2,m ,
A3 =
\sum
\mu k\geq 2
\mu - 1
k \| \Psi k\| \infty ,m
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( f \prime , \mu - 2
k \Psi
(2)
k
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\left( \sum
\mu k\geq 2
\mu - 2
k \| \Psi k\| 2\infty ,m
\right) 1/2
\times
\times
\left( \sum
\mu k\geq 2
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( f \prime , \mu - 2
k \Psi
(2)
k
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| 2
\right) 1/2
\leq C 2 -
1
2
\bigm\| \bigm\| f \prime \bigm\| \bigm\|
2,m
.
Следовательно, ряд
\sum \infty
k=1 | fk| | \Psi k(x)| сходится равномерно на G. Отсюда следует равномерная
сходимость ряда
\sum \infty
k=1 fk\Psi k(x) . В силу полноты системы \{ \Psi k(x)\} \infty k=1 в Lm
2 (G) и непрерыв-
ности вектор-функции f(x) будем иметь
f (x) =
\infty \sum
k=1
fk\Psi k (x) , x \in G.
Нетрудно заметить, что для остатка R\nu (x, f) этого ряда будет справедлива оценка (в остатке
суммирование ведется по номерам k, для которых \mu k > \nu )
\| R\nu (\cdot , f)\| C[0,1] \leq C
\Biggl\{
C1 (f) \nu
\alpha - 2 + \nu -
1
2
\Bigl(
\| U\ast
1 f\| 2,m +
\bigm\| \bigm\| f \prime \bigm\| \bigm\|
2,m
\Bigr)
+
+\nu - 1
3\sum
r=2
\nu 2 - r \| Ur\| 1
\Biggr\}
, \nu \geq 2.
Теорема 1.2 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
732 Ю. Г. АББАСОВА, В. М. КУРБАНОВ
Для обоснования оценки (1.3\prime \prime ) достаточно в доказательстве теоремы 1.2 учесть, что после-
довательность остатков сходящегося ряда стремится к нулю, т. е.\sum
\mu k\geq \nu
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( U\ast
1 f, \mu
- 2
k \Psi
(2)
k
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| 2 = o (1) , \nu \rightarrow +\infty ,
\sum
\mu k\geq \nu
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( f \prime , \mu - 2
k \Psi
(2)
k
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| 2 = o (1) , \nu \rightarrow +\infty .
Доказательствo теоремы 1.3. В силу ортонормированности системы \{ \Psi k(x)\} \infty k=1 в Lm
2 (G)
выполняется условие (2.11). С другой стороны,
1 = | (\Psi k,\Psi k)| \leq \| \Psi k\| p,m\| \Psi k\| q,m \leq \| \Psi k\| \infty ,m\| \Psi k\| q,m.
Отсюда следует, что \| \Psi k\| - q
q,m \leq \| \Psi k\| q\infty ,m. Поэтому в силу неравенства (2.11) и равномерной
ограниченности системы \{ \Psi k(x)\} \infty k=1 для любого \tau > 0 получаем\sum
0\leq \mu k\leq \tau
\| \Psi \| q\infty ,m\| \Psi \| - q
q,m \leq
\sum
0\leq \mu k\leq \tau
\| \Psi \| 2q\infty ,m \leq
\leq C
\sum
0\leq \mu k\leq \tau
1 \leq C\tau .
Таким образом, для системы \{ \Psi k(x)\} \infty k=1 выполняются все условия достаточной части теоремы
3 работы [10]. Поэтому система \{ \mu - 2
k \Psi
(2)
k (x)\} , \mu k \geq 1, удовлетворяет неравенству Рисса при
1 < p < 2.
Для доказательства теоремы 1.3 достаточно оценить ряд A3
\bigl(
все остальные ряды A1, A2, A4
оценены в теореме 1.2 без требования равномерной ограниченности системы \{ \Psi k(x)\} \infty k=1
\bigr)
.
Применим неравенство Гельдера, неравенство Рисса для системы
\Bigl\{
\mu - 2
k \Psi
(2)
k (x)
\Bigr\}
, \mu k \geq 1, и
лемму 2.6. В результате этого для ряда A3 и его остатка получим
A3 =
\sum
\mu k\geq 2
\mu - 1
k \| \Psi k\| \infty ,m
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( f \prime , \mu - 2
k \Psi
(2)
k
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\left( \sum
\mu k\geq 2
\mu - p
k \| \Psi k\| p\infty ,m
\right) 1/p
\times
\times
\left( \sum
\mu k\geq 2
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( f \prime , \mu - 2
k \Psi
(2)
k
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| q
\right) 1/q
\leq C2
- 1
q
\bigm\| \bigm\| f \prime \bigm\| \bigm\|
p,m
,
\sum
\mu k\geq \nu
\mu - 1
k \| \Psi k\| \infty ,m
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( f \prime , \mu - 2
k \Psi
(2)
k
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\left( \sum
\mu k\geq \nu
\mu - p
k \| \Psi k\| p\infty ,m
\right) 1/p
\times
\times
\left( \sum
\mu k\geq \nu
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( f \prime , \mu - 2
k \Psi
(2)
k
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| q
\right) 1/q
\leq C\nu
- 1
q
\bigm\| \bigm\| f \prime \bigm\| \bigm\|
p,m
.
Теорема 1.3 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
СХОДИМОСТЬ СПЕКТРАЛЬНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ИЗ КЛАССА W 1
p,m(G), p > 1, . . . 733
Литература
1. Ильин В. А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных
функций дифференциального оператора второго порядка // Докл. АН СССР. – 1983. – 273, № 5. – С. 1048 –
1053.
2. Lazetic N. L. On uniform convergence on closed intervals of spectral expansions and their derivatives for functions
from W
(1)
p // Mat. Vestnik. – 2004. – 56. – P. 91 – 104.
3. Kurbanov V. M., Safarov R. A. Uniform convergence of expansion responding to the Schrödinger operator // Proc.
Inst. Math. and Mech. Nat. Acad. Sci. Azerbaijan. – 2004. – 20. – P. 63 – 70.
4. Kurbanov V. M. Garayeva A. T. Absolute and uniform convergence of expansion in root-vector functions of the
Schrödinger operator with matrix potential // Dokl. Math. – 2013. – 87, № 3. – P. 304 – 306.
5. Kurbanov V. M., Akhundova E. B. Absolute convergence of spectral expansion in eigenfunctions of third order
ordinary differential operator // Proc. Inst. Math. and Mech. Nat. Acad. Sci. Azerbaijan. Special Issue. – 2014. – 40. –
P. 264 – 274.
6. Kurbanov V. M., Huseynova Y. I. On convergence of spectral expansion of absolutely continuous vector-function in
eigen vector-functions of fourth order differential operator // Trans. Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys.-Tech. Math. Sci. –
2014. – 34, № 1. – P. 83 – 90.
7. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. – М.: Наука, 1969. – 528 с.
8. Керимов Н. Б. Некоторые свойства собственных и присоединенных функций обыкновенных дифференциаль-
ных операторов // Докл. АН СССР. – 1986. – 291, № 5. – C. 1054 – 1055.
9. Курбанов В. М. О неравенстве Хаусдорфа – Юнга для систем корневых вектор-функций дифференциального
оператора n-го порядка // Дифференц. уравнения. – 1997. – 33, № 3. – C. 356 – 367.
10. Курбанов В. М. Об аналоге теоремы Рисса и базисности в Lp системы корневых функций дифференциального
оператора. I, II // Дифференц. уравнения. – 2013. – 49, № 1. – C. 7 – 19; № 4. – C. 437 – 449.
11. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. – М.: Мир, 1965. – Т. 2. – 537 с.
Получено 15.07.16,
после доработки — 14.12.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1731 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:34Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/be/4f7cf1b498072ded47872eb9aabff4be.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17312019-12-05T09:25:15Z Convergence of the spectral decomposition of a function from the class $W_{p,m}^1 (G),\; p > 1$, in the vector eigenfunctions of a differential operator of the third order Сходимость спектрального разложения функции из класса $W_{p,m}^1 (G),\; p > 1$, по собственным вектор-функциям дифференциального оператора третьего порядка Abbasova, Yu. G. Kurbanov, V. M. Аббасова, Ю. Г. Курбанов, В. М. Аббасова, Ю. Г. Курбанов, В. М. We consider, a third-order differential operator with matrix coefficients. The absolute and uniform convergence of the orthogonal expansion of a vector function from the class $W_{p,m}^1 (G),\; p > 1$, in the vector eigenfunctions of this operator is studied and the rate of uniform convergence of this expansion on $G = [0, 1]$ is estimated. Розглядається диференцiальний оператор третього порядку з матричними коефiцiєнтами. Дослiджується абсолютна та рiвномiрна збiжнiсть ортогонального розкладу вектор-функцiї з класу $W_{p,m}^1 (G),\; p > 1$, за власними вектор-функцiями цього оператора i оцiнюється швидкiсть рiвномiрної збiжностi даного розкладу на $G = [0, 1]$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1731 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 6 (2017); 719-733 Український математичний журнал; Том 69 № 6 (2017); 719-733 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1731/713 Copyright (c) 2017 Abbasova Yu. G.; Kurbanov V. M. |
| spellingShingle | Abbasova, Yu. G. Kurbanov, V. M. Аббасова, Ю. Г. Курбанов, В. М. Аббасова, Ю. Г. Курбанов, В. М. Convergence of the spectral decomposition of a function from the class $W_{p,m}^1 (G),\; p > 1$, in the vector eigenfunctions of a differential operator of the third order |
| title | Convergence of the spectral decomposition of a function from
the class $W_{p,m}^1 (G),\; p > 1$, in the vector eigenfunctions of a differential operator
of the third order |
| title_alt | Сходимость спектрального разложения функции из класса
$W_{p,m}^1 (G),\; p > 1$, по собственным вектор-функциям дифференциального оператора
третьего порядка |
| title_full | Convergence of the spectral decomposition of a function from
the class $W_{p,m}^1 (G),\; p > 1$, in the vector eigenfunctions of a differential operator
of the third order |
| title_fullStr | Convergence of the spectral decomposition of a function from
the class $W_{p,m}^1 (G),\; p > 1$, in the vector eigenfunctions of a differential operator
of the third order |
| title_full_unstemmed | Convergence of the spectral decomposition of a function from
the class $W_{p,m}^1 (G),\; p > 1$, in the vector eigenfunctions of a differential operator
of the third order |
| title_short | Convergence of the spectral decomposition of a function from
the class $W_{p,m}^1 (G),\; p > 1$, in the vector eigenfunctions of a differential operator
of the third order |
| title_sort | convergence of the spectral decomposition of a function from
the class $w_{p,m}^1 (g),\; p > 1$, in the vector eigenfunctions of a differential operator
of the third order |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1731 |
| work_keys_str_mv | AT abbasovayug convergenceofthespectraldecompositionofafunctionfromtheclasswpm1gpgt1inthevectoreigenfunctionsofadifferentialoperatorofthethirdorder AT kurbanovvm convergenceofthespectraldecompositionofafunctionfromtheclasswpm1gpgt1inthevectoreigenfunctionsofadifferentialoperatorofthethirdorder AT abbasovaûg convergenceofthespectraldecompositionofafunctionfromtheclasswpm1gpgt1inthevectoreigenfunctionsofadifferentialoperatorofthethirdorder AT kurbanovvm convergenceofthespectraldecompositionofafunctionfromtheclasswpm1gpgt1inthevectoreigenfunctionsofadifferentialoperatorofthethirdorder AT abbasovaûg convergenceofthespectraldecompositionofafunctionfromtheclasswpm1gpgt1inthevectoreigenfunctionsofadifferentialoperatorofthethirdorder AT kurbanovvm convergenceofthespectraldecompositionofafunctionfromtheclasswpm1gpgt1inthevectoreigenfunctionsofadifferentialoperatorofthethirdorder AT abbasovayug shodimostʹspektralʹnogorazloženiâfunkciiizklassawpm1gpgt1posobstvennymvektorfunkciâmdifferencialʹnogooperatoratretʹegoporâdka AT kurbanovvm shodimostʹspektralʹnogorazloženiâfunkciiizklassawpm1gpgt1posobstvennymvektorfunkciâmdifferencialʹnogooperatoratretʹegoporâdka AT abbasovaûg shodimostʹspektralʹnogorazloženiâfunkciiizklassawpm1gpgt1posobstvennymvektorfunkciâmdifferencialʹnogooperatoratretʹegoporâdka AT kurbanovvm shodimostʹspektralʹnogorazloženiâfunkciiizklassawpm1gpgt1posobstvennymvektorfunkciâmdifferencialʹnogooperatoratretʹegoporâdka AT abbasovaûg shodimostʹspektralʹnogorazloženiâfunkciiizklassawpm1gpgt1posobstvennymvektorfunkciâmdifferencialʹnogooperatoratretʹegoporâdka AT kurbanovvm shodimostʹspektralʹnogorazloženiâfunkciiizklassawpm1gpgt1posobstvennymvektorfunkciâmdifferencialʹnogooperatoratretʹegoporâdka |