On one boundary-value problem for elliptic differential-operator equations of the second order with quadratic spectral parameter
The problem of solvability of a boundary-value problem for a differential-operator equation of the second order on a finite interval is studied in a complex separable Hilbert space H in the case where the same spectral parameter appears in the equation in the form of a quadratic function and in the...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1732 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507581088268288 |
|---|---|
| author | Aliev, B. A. Kurbanova, N. K. Yakubov, Ya. Алиев, Б. А. Курбанова, Н. К. Якубов, Я. Алиев, Б. А. Курбанова, Н. К. Якубов, Я. |
| author_facet | Aliev, B. A. Kurbanova, N. K. Yakubov, Ya. Алиев, Б. А. Курбанова, Н. К. Якубов, Я. Алиев, Б. А. Курбанова, Н. К. Якубов, Я. |
| author_sort | Aliev, B. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:25:15Z |
| description | The problem of solvability of a boundary-value problem for a differential-operator equation of the second order on a
finite interval is studied in a complex separable Hilbert space H in the case where the same spectral parameter appears
in the equation in the form of a quadratic function and in the boundary conditions in the form of a linear function and,
moreover, the boundary conditions are not separated. The asymptotic behavior of the eigenvalues of one homogeneous
abstract boundary-value problem is also investigated. The asymptotic formulas for the eigenvalues are obtained and an
application of the obtained results to partial differential equations is analyzed. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
Б. А. Алиев, Н. К. Курбанова (Ин-т математики и механики НАН Азербайджана, Баку),
Я. Якубов (Школа мат. наук, Ун-т Тель-Авива, Израиль)
ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА С КВАДРАТИЧНЫМ СПЕКТРАЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ
The problem of solvability of a boundary-value problem for a differential-operator equation of the second order on a
finite interval is studied in a complex separable Hilbert space H in the case where the same spectral parameter appears
in the equation in the form of a quadratic function and in the boundary conditions in the form of a linear function and,
moreover, the boundary conditions are not separated. The asymptotic behavior of the eigenvalues of one homogeneous
abstract boundary-value problem is also investigated. The asymptotic formulas for the eigenvalues are obtained and an
application of the obtained results to partial differential equations is analyzed.
У сепарабельному комплексному гiльбертовому просторi H вивчаються питання розв’язностi однiєї крайової задачi
для диференцiально-операторного рiвняння другого порядку на скiнченному вiдрiзку у випадку, коли один i той же
спектральний параметр входит у рiвняння квадратично, а в крайовi умови лiнiйно i крайовi умови не вiдокремленi.
Вивчено асимптотичну поведiнку власних значень однiєї абстрактної однорiдної крайової задачi. Отримано асимп-
тотичнi формули для власних значень i наведено одне застосування цих результатiв до диференцiальних рiвнянь з
частинними похiдними.
1. Введение. Краевые задачи для эллиптических дифференциально-операторных уравнений
второго порядка в случае, когда один и тот же спектральный параметр входит и в уравнение,
и в граничные условия, в различных аспектах изучались во многих работах (см., например,
[1 – 10]).
Отметим, что все указанные работы характеризуются тем, что, во-первых, порядок спект-
рального параметра, входящего в уравнение и в граничные условия, одинаков, т. е. спектраль-
ный параметр линейно входит и в уравнение, и в граничное условие; во-вторых, граничные
условия являются разделенными, т. е. на каждом конце отрезка задается граничное условие, в
которое входят искомая функция и ее первая производная на том же конце.
В отличие от работ [1 – 10] в данной работе изучается краевая задача для эллиптических
дифференциально-операторных уравнений второго порядка в случае, когда один и тот же спект-
ральный параметр входит в уравнение квадратично, а в граничные условия линейно и гранич-
ные условия являются неразделенными.
Итак, в сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве H будем рассматривать
следующую краевую задачу для эллиптического дифференциально-операторного уравнения
второго порядка:
L (\lambda ,D)u := \lambda 2u(x) - u\prime \prime (x) +Au(x) = f(x), x \in (0, 1) , (1.1)
L1 (\lambda )u := \alpha u\prime (0) + \lambda u(1) = f1,
L2 (\lambda )u := \beta u\prime (1) + \lambda u(0) = f2,
(1.2)
где \lambda — спектральный параметр; A — линейный, неограниченный, самосопряженный, положи-
тельно определенный оператор в H; \alpha , \beta — некоторые положительные числа; D :=
d
dx
.
c\bigcirc Б. А. АЛИЕВ, Н. К. КУРБАНОВА, Я. ЯКУБОВ, 2017
734 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫХ . . . 735
Отметим, что всюду далее речь идет о сепарабельных комплексных гильбертовых простран-
ствах, даже если об этом явно не сказано.
В данной работе найдены простые достаточные условия для разрешимости задачи (1.1),
(1.2) (а именно, доказана теорема об изоморфизме) и установлены некоторые оценки (относи-
тельно u и \lambda ) для решения этой задачи в пространстве Lp ((0, 1) ;H) , 1 < p <\infty .
Кроме того, изучается асимптотическое поведение собственных значений одной однородной
краевой задачи, похожей на краевую задачу (1.1), (1.2). Найдены асимптотические формулы для
собственных значений.
Отметим, что случай, когда краевые условия (1.2) разделены и \lambda входит только в одно
граничное условие, был рассмотрен в работе авторов [11]. Этот случай охватывает частный
случай задачи Редже.
Задачи с достаточно общими краевыми условиями (1.2), но без \lambda в краевых условиях, были
рассмотрены в монографии [12] (глава V). При изучении разрешимости краевых задач (1.1),
(1.2) мы используем технику, разработанную в монографии [12], а при исследовании асимпто-
тики собственных значений однородной краевой задачи, соответствующей краевой задаче (1.1),
(1.2), — идею и технику, имеющиеся в работах [1, 2].
Введем определения и понятия, используемые в данной работе.
Пусть E1 и E2 — банаховы пространства. Множество E1 \.+E2 всех векторов вида (u, v) ,
где u \in E1, v \in E2, с обычными координатно-линейными операциями и c нормой
\| (u, v)\| E1 \.+E2
:= \| u\| E1
+ \| v\| E2
является банаховым пространством и называется прямой суммой банаховых пространств E1
и E2.
Пусть E1 и E — банаховы пространства. Через B (E1, E) обозначим банахово пространство
всех линейных ограниченных операторов, действующих из E1 в E, с обычной операторной
нормой. В частном случае полагаем B (E) := B (E,E) .
Определение 1.1. Линейный замкнутый оператор A в гильбертовом пространстве H
будем называть сильно позитивным, если область определения D (A) плотна в H, при неко-
тором \varphi \in [0, \pi ) для всех точек из угла | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mu | \leq \varphi (включая \mu = 0) существуют операторы
(A+ \mu I) - 1 и имеет место оценка\bigm\| \bigm\| \bigm\| (A+ \mu I) - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
B(H)
\leq C (1 + | \mu | ) - 1 ,
где I — единичный оператор в H, C = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0.
При \varphi = 0 оператор A называется позитивным.
Простейшим примером сильно позитивных операторов являются самосопряженные, поло-
жительно определенные операторы, действующие в гильбертовом пространстве.
Отметим, что из сильной позитивности оператора A следует сильная позитивность опе-
ратора A\alpha , \alpha \in (0, 1) . Пусть A — сильно позитивный оператор в H. Поскольку обратный
оператор A - 1 ограничен в H, то
H (An) :=
\Bigl\{
u : u \in D (An) , \| u\| H(An) = \| Anu\| H
\Bigr\}
, n \in \BbbN ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
736 Б. А. АЛИЕВ, Н. К. КУРБАНОВА, Я. ЯКУБОВ
— гильбертово пространство, норма которого эквивалентна норме графика оператора An. Если
оператор A сильно позитивен в H, то оператор - A является генератором аналитической при
t > 0 полугруппы e - tA, и эта полугруппа экспоненциально убывает, т. е. существуют два таких
числа C > 0, \sigma 0 > 0, что
\bigm\| \bigm\| e - tA\bigm\| \bigm\| \leq Ce - \sigma 0 t, 0 \leq t < +\infty .
В силу теоремы 1.5.5 [13] оператор - A1/2 порождает аналитическую полугруппу при t > 0,
убывающую на бесконечности.
Определение 1.2 ([14], теорема 1.14.5). Пусть A — сильно позитивный оператор в H.
Тогда интерполяционные пространства (H (An) , H)\theta ,p гильбертовых пространств H (An) и
H определяются равенством
(H (An) , H)\theta ,p :=
\left\{ u : u \in H, \| u\| (H(An),H)\theta ,p
:=
+\infty \int
0
t - 1+n\theta p
\bigm\| \bigm\| Ane - tAu\bigm\| \bigm\| p
H
dt <\infty
\right\} ,
\theta \in (0, 1) , p > 1, n \in \BbbN . При этом (H (An) , H)0,p := H (An) и (H (An) , H)1,p := H.
Через Lp ((0, 1) ;H) , 1 < p <\infty , обозначим банахово пространство (при p = 2 — гильбер-
тово пространство) функций x\rightarrow u (x) : [0, 1] \rightarrow H, сильно измеримых и суммируемых в p-й
степени, с нормой
\| u\| Lp((0,1);H)
:=
\left( 1\int
0
\| u\| pH dx
\right) 1/p
<\infty ,
а через Wn
p ((0, 1) ;H (An) , H) :=
\bigl\{
u : Anu, u(n) \in Lp ((0, 1) ;H)
\bigr\}
— пространство вектор-
функций с нормой
\| u\| Wn
p ((0,1);H(An), H) := \| Anu\| Lp((0,1);H) +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| u(n)\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp((0,1);H)
.
Известно [14] (теорема 1.8.2), что если u \in Wn
p ((0, 1) ;H (An) , H) , то
u(j) (\cdot ) \in (H (An) , H) j+1/p
n
,p
, j = 0, n - 1.
Наконец, введем обозначение Hk := (H(A), H) k
2
+ 1
2p
,p , k = 0, 1.
2. Однородное уравнение. Рассмотрим сначала следующую краевую задачу в сепарабель-
ном гильбертовом пространстве H :
L (\lambda ,D)u := \lambda 2u(x) - u\prime \prime (x) +Au(x) = 0, x \in (0, 1) , (2.1)
L1 (\lambda )u := \alpha u\prime (0) + \lambda u(1) = f1,
L2 (\lambda )u := \beta u\prime (1) + \lambda u(0) = f2,
(2.2)
Теорема 2.1. Пусть выполнены следующие условия:
1) A является самосопряженным, положительно определенным оператором (A = A\ast \geq
\geq \gamma 2I) в H;
2) \alpha , \beta — некоторые положительные числа.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫХ . . . 737
Тогда для fk \in H1 и достаточно больших | \lambda | из угла | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
задача (2.1),
(2.2) имеет единственное решение u(x), принадлежащее W 2
p ((0, 1) ;H (A) , H), для которого
справедлива оценка
| \lambda | 2 \| u\| Lp((0,1);H) +
\bigm\| \bigm\| u\prime \prime \bigm\| \bigm\|
Lp((0,1);H)
+ \| Au\| Lp((0,1);H) \leq
\leq C\varphi
2\sum
k=1
\Bigl(
\| fk\| H1
+ | \lambda | 1 -
1
p \| fk\| H
\Bigr)
. (2.3)
Доказательство. Поскольку A = A\ast \geq \gamma 2I в H, то согласно спектральной теореме (см.,
например, [15], глава V, разделы 5,6 и глава VI, раздел 5) существует операторнозначная функ-
ция f (A) =
\int +\infty
\gamma 2
f (\mu ) dE\mu для любых измеримых, ограниченных, комплекснозначных функ-
ций f (\mu ) . Более того, f (A) — ограниченный оператор в H и \| f (A)\| \leq \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\gamma 2\leq \mu <\infty
| f (\mu )| . Тогда
из условий 1 следует, что для любого \psi , 0 \leq \psi < \pi , существует такое C\psi > 0, что
\| R (\lambda ,A)\| \leq C\psi (1 + | \lambda | ) - 1 , | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \geq \pi - \psi ,
где R (\lambda ,A) := (\lambda I - A) - 1 — резольвента оператора A. Отсюда в силу леммы 5.4.2/6 [12]
для | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
существует аналитическая при x > 0 и сильно непрерывная для x \geq 0
полугруппа e - x(A+\lambda
2I)
1/2
. В силу леммы 5.3.2/1 [12] для того, чтобы функция u (x) была
решением уравнения (2.1) при | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
, принадлежащим W 2
p ((0, 1) ;H (A) , H) , 1 <
< p <\infty , необходимо и достаточно, чтобы
u (x) = e - x(A+\lambda
2I)
1/2
g1 + e - (1 - x)(A+\lambda 2I)
1/2
g2, (2.4)
где gk \in H0, k = 1, 2.
Потребуем, чтобы функция u (x) вида (2.4) удовлетворяла условиям (2.2). Тогда получим
следующую систему для элементов g1 и g2 :\biggl[
- \alpha
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) 1/2
+\lambda e - (A+\lambda
2I)
1/2
\biggr]
g1+
\Bigl[
\alpha
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) 1/2
e - (A+\lambda 2I)1/2+\lambda I
\Bigr]
g2 = f1,\biggl[
- \beta
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) 1/2
e - (A+\lambda
2I)
1/2
+\lambda
\biggr]
g1+
\Bigl[
\beta
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) 1/2
+\lambda e - (A+\lambda 2I)1/2
\Bigr]
g2 = f2.
(2.5)
Систему (2.5) в пространстве \BbbH := H1 \.+H1 запишем в виде операторного уравнения
(A (\lambda ) +R (\lambda ))
\biggl(
g1
g2
\biggr)
=
\biggl(
f1
f2
\biggr)
, (2.6)
где A (\lambda ) и R (\lambda ) — операторные матрицы размера 2\times 2:
A (\lambda ) :=
\left( - \alpha
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) 1/2
\lambda
\lambda \beta
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) 1/2
\right) ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
738 Б. А. АЛИЕВ, Н. К. КУРБАНОВА, Я. ЯКУБОВ
D (A (\lambda )) := H0 \.+H0
и
R (\lambda ) :=
\left( \lambda e - (A+\lambda 2I)1/2 \alpha
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) 1/2
e - (A+\lambda
2I)
1/2
- \beta
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) 1/2
e - (A+\lambda
2I)
1/2
\lambda e - (A+\lambda
2I)
1/2
\right) ,
D (R (\lambda )) := \BbbH .
Покажем, что оператор A (\lambda ) в пространстве \BbbH для \lambda из угла | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
имеет ограни-
ченный обратный A (\lambda ) - 1 , действующий из \BbbH в H0 \.+H0, и справедлива оценка\bigm\| \bigm\| \bigm\| A (\lambda ) - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
B(\BbbH ,H0 \.+H0)
\leq C, (2.7)
где C > 0 — некоторая константа, не зависящая от \lambda . Заметим, что формально A (\lambda ) - 1 имеет
вид
A (\lambda ) - 1 =
\biggl[
I +
1
\alpha \beta
\lambda 2
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1
\biggr] - 1
\left( - 1
\alpha
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1/2 1
\alpha \beta
\lambda
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1
1
\alpha \beta
\lambda
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1 1
\beta
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1/2
\right) . (2.8)
Сначала покажем, что оператор
\biggl[
I +
1
\alpha \beta
\lambda 2
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1
\biggr] - 1
для | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
ограниченно
действует из H в H.
Рассмотрим функцию f (\mu ) =
\biggl(
1 +
1
\alpha \beta
\lambda 2
\bigl(
\mu + \lambda 2
\bigr) - 1
\biggr) - 1
. Докажем, что для | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq
\leq \varphi <
\pi
2
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\gamma 2\leq \mu <\infty
\bigm| \bigm| \bigm| (f (\mu )) - 1
\bigm| \bigm| \bigm| = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\gamma 2\leq \mu <\infty
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( 1 + 1
\alpha \beta
\lambda 2
\bigl(
\mu + \lambda 2
\bigr) - 1
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \geq C, C > 0. (2.9)
Действительно, если 0 < \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda \leq \varphi <
\pi
2
и \gamma 2 \leq \mu < \infty , то 0 \leq \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}
\bigl(
\mu + \lambda 2
\bigr)
\leq 2\varphi и
- 2\varphi \leq \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}
\bigl(
\mu + \lambda 2
\bigr) - 1 \leq 0. Следовательно, - 2\varphi \leq \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}
\biggl(
1
\alpha \beta
\lambda 2
\bigl(
\mu + \lambda 2
\bigr) - 1
\biggr)
\leq 2\varphi . Если - \pi
2
<
< - \varphi \leq \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda \leq 0 и \gamma 2 \leq \mu < \infty , то - 2\varphi \leq \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}
\bigl(
\mu + \lambda 2
\bigr)
\leq 0. Отсюда 0 \leq \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}
\bigl(
\mu + \lambda 2
\bigr) - 1 \leq
\leq 2\varphi . Следовательно, - 2\varphi \leq \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}
\biggl(
1
\alpha \beta
\lambda 2
\bigl(
\mu + \lambda 2
\bigr) - 1
\biggr)
\leq 2\varphi . Итак, для | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
и
\gamma 2 \leq \mu <\infty имеем \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\biggl( 1
\alpha \beta
\lambda 2
\bigl(
\mu + \lambda 2
\bigr) - 1
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 2\varphi < \pi . (2.10)
Если бы (2.9) не имело место, то существовали бы последовательности \mu n и \lambda n такие, что
\gamma 2 \leq \mu n < \infty , | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda n| \leq \varphi и
1
\alpha \beta
\lambda 2n
\bigl(
\mu n + \lambda 2n
\bigr) - 1
+ 1 \rightarrow 0 или
1
\alpha \beta
\lambda 2n
\bigl(
\mu n + \lambda 2n
\bigr) - 1 \rightarrow - 1, а
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫХ . . . 739
это противоречит (2.10). Следовательно, имеет место (2.9). Отсюда следует, что функция f (\mu )
является ограниченной на
\bigl[
\gamma 2,+\infty
\bigr)
, равномерно по \lambda из угла | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
. Тогда согласно
замечанию, приведенному в начале доказательства, существует такое C > 0, что\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl[
I +
1
\alpha \beta
\lambda 2
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1
\biggr] - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
B(H)
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\gamma 2\leq \mu <\infty
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 + 1
\alpha \beta
\lambda 2
\bigl(
\mu + \lambda 2
\bigr) - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| - 1
\leq C (2.11)
равномерно по \lambda , | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
. Отметим, что \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}, так как f (\mu ) — непрерывная
функция. Итак, утверждение, сформулированное после (2.8), доказано.
Заметим, что в силу замечания, приведенного в начале доказательства, для \lambda из угла
| \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
имеем
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigl( A+ \lambda 2I
\bigr) - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
B(H)
\leq C\varphi
1 + | \lambda | 2
, (2.12)
а также \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigl( A+ \lambda 2I
\bigr) - 1
2
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
B(H)
\leq C\varphi
1 + | \lambda |
. (2.13)
Теперь докажем оценку (2.7). Согласно представлению оператора A (\lambda ) - 1 (2.8), для этого
достаточно показать, что:
a) оператор
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1/2
для \lambda из угла | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
ограниченно действует из H1 в
H0 и справедлива оценка \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigl( A+ \lambda 2I
\bigr) - 1/2
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
B(H1,H0)
\leq C, (2.14)
где C > 0 — некоторая константа, не зависящая от \lambda ;
b) оператор \lambda
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1
для \lambda из угла | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
ограниченно действует из H1 в
H0 и имеет место оценка \bigm\| \bigm\| \bigm\| \lambda \bigl( A+ \lambda 2I
\bigr) - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
B(H1,H0)
\leq C, (2.15)
где C > 0 — некоторая константа, не зависящая от \lambda ;
c) оператор
\biggl(
I +
1
\alpha \beta
\lambda 2
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1
\biggr) - 1
для \lambda из угла | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
ограниченно
действует из H0 в H0 и справедлива оценка\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl[
I +
1
\alpha \beta
\lambda 2
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1
\biggr] - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
B(H0)
\leq C, (2.16)
где C > 0 — некоторая константа, не зависящая от \lambda .
Утверждение а) доказано в [16]. Докажем утверждение b). Представим оператор
\lambda
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1
в виде
\lambda
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1
= \lambda
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1/2 \bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1/2
. (2.17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
740 Б. А. АЛИЕВ, Н. К. КУРБАНОВА, Я. ЯКУБОВ
Из оценки (2.13) следует, что оператор \lambda
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1/2
для \lambda из угла | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
ограни-
ченно действует из H в H и справедлива оценка
| \lambda |
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigl( A+ \lambda 2I
\bigr) - 1/2
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
B(H)
\leq C, C > 0. (2.18)
Очевидно, что этот оператор для \lambda из угла | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
ограниченно действует из H (A) в
H (A) и имеет место оценка\bigm\| \bigm\| \bigm\| \lambda \bigl( A+ \lambda 2I
\bigr) - 1/2
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
B(H(A))
\leq C, C > 0. (2.19)
Тогда, согласно интерполяционной теореме [14] (теорема 1.3.3(а)) (см. также [12], раздел 1.7.9),
из оценок (2.18) и (2.19) следует, что для \lambda из угла | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
оператор \lambda
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1/2
ограниченно действует из (H (A) , H)\theta ,p в (H (A) , H)\theta ,p при любом \theta \in (0, 1) и, в частности,
при \theta =
1
2p
имеет место оценка
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \lambda \bigl( A+ \lambda 2I
\bigr) - 1/2
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
B(H0)
\leq
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \lambda \bigl( A+ \lambda 2I
\bigr) - 1/2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| 1 - 1
2p
B(H(A))
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \lambda \bigl( A+ \lambda 2I
\bigr) - 1/2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| 1
2p
B(H)
\leq C. (2.20)
Тогда в силу оценок (2.14) и (2.20) из представления (2.17) следует, что для \lambda из угла | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq
\leq \varphi <
\pi
2
справедлива оценка (2.15). Это доказывает утверждение b). Аналогично доказывается
утверждение с). Действительно, согласно интерполяционной теореме [14] (теорема 1.3.3/(а)), из
оценки (2.11) следует, что для \lambda из угла | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
оператор
\biggl[
I +
1
\alpha \beta
\lambda 2
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1
\biggr] - 1
ограниченно действует из (H (A) , H)\theta ,p в (H (A) , H)\theta ,p при любом \theta \in (0, 1) и имеет место
оценка \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl[
I +
1
\alpha \beta
\lambda 2
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1
\biggr] - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
B((H(A),H)\theta ,p)
\leq C, (2.21)
где C > 0 — некоторая константа, не зависящая от \lambda .
Возьмем в (2.21) \theta =
1
2p
. Тогда получим (2.16), т. е. утверждение с) доказано. Из оценок
(2.14) – (2.16) следует, что для \lambda из угла | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
оператор A(\lambda ) - 1 ограниченно
действует из \BbbH в H0 \.+H0 и имеет место оценка (2.7). Тогда из уравнения (2.6) имеем\Bigl(
I +A (\lambda ) - 1R (\lambda )
\Bigr) \biggl( g1
g2
\biggr)
= A (\lambda ) - 1
\biggl(
f1
f2
\biggr)
. (2.22)
Используя лемму 5.4.2/6 [12] и интерполяционную теорему [14] (теорема 1.3.3/(a)), можно
показать, что все операторы, фигурирующие в оператор-матрице A (\lambda ) - 1R (\lambda ) , при достаточно
больших | \lambda | из угла | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
ограниченно действуют из H0 в H0 и для этих \lambda
операторная норма меньше единицы, т. е.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫХ . . . 741\bigm\| \bigm\| \bigm\| A (\lambda ) - 1R (\lambda )
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
B(H0 \.+H0)
< 1. (2.23)
Отсюда по тождеству Неймана для | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
и | \lambda | \rightarrow \infty получаем
\Bigl(
I +A (\lambda ) - 1R (\lambda )
\Bigr) - 1
= I +
\infty \sum
k=1
\Bigl(
- A (\lambda ) - 1R (\lambda )
\Bigr) k
, (2.24)
где ряд в правой части сходится по норме пространства ограниченных операторов в H0 \.+H0.
Тогда из (2.22) при достаточно больших | \lambda | из угла | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
имеем\biggl(
g1
g2
\biggr)
=
\Bigl(
I +A (\lambda ) - 1R (\lambda )
\Bigr) - 1
A (\lambda ) - 1
\biggl(
f1
f2
\biggr)
.
Следовательно, используя представления A (\lambda ) - 1 , R (\lambda ) и (2.24), для достаточно больших
| \lambda | из угла | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
элементы g1 и g2 можно представить в виде
gk = (Ck1 (\lambda ) +Rk1 (\lambda )) f1 + (Ck2 (\lambda ) +Rk2 (\lambda )) f2, k = 1, 2, (2.25)
где
C11 (\lambda ) = - 1
\alpha
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1/2
\biggl[
I +
1
\alpha \beta
\lambda 2
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1
\biggr] - 1
,
C12 (\lambda ) =
1
\alpha \beta
\lambda
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1
\biggl[
I +
1
\alpha \beta
\lambda 2
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1
\biggr] - 1
,
C21 (\lambda ) =
1
\alpha \beta
\lambda
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1
\biggl[
I +
1
\alpha \beta
\lambda 2
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1
\biggr] - 1
,
C22 (\lambda ) =
1
\beta
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1/2
\biggl[
I +
1
\alpha \beta
\lambda 2
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1
\biggr] - 1
и Rkj (\lambda ) — некоторые ограниченные операторы, действующие из H0 в H0. Более того, из
оценок (2.7) и (2.23) следует, что для | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
и | \lambda | \rightarrow \infty
\| Rkj (\lambda )\| B(H0)
\leq Ce - \omega | \lambda | , C, \omega > 0. (2.26)
Из представлений A (\lambda ) - 1 и R (\lambda ) также следует, что при достаточно больших | \lambda | из угла
| \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
для операторов Rkj (\lambda ) имеем
\| Rkj (\lambda )\| B(H) \leq Ce - \omega | \lambda | , C, \omega > 0. (2.27)
Подставляя (2.25) в (2.4), получаем
u (x)=
2\sum
k=1
\biggl\{
e - x(A+\lambda
2I)
1/2
(C1k (\lambda ) +R1k (\lambda ))+e
- (1 - x)(A+\lambda 2I)
1/2
(C2k (\lambda )+R2k (\lambda ))
\biggr\}
fk.
(2.28)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
742 Б. А. АЛИЕВ, Н. К. КУРБАНОВА, Я. ЯКУБОВ
Далее, для того чтобы установить оценку (2.3), необходимо оценить, для достаточно боль-
ших | \lambda | из угла | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
, некоторое конечное число интегралов в пространстве
Lp ((0, 1) ;H) . В этих интегралах подынтегральные выражения являются функциями от u (x) ,
u\prime \prime (x) , Au (x) , причем u (x) определено равенством (2.28). При этом существенно использу-
ются теорема 5.4.2/1 [12], оценки (2.11) – (2.13), (2.21) при \theta =
1
2
+
1
2p
, (2.26) и (2.27).
Оценим один из этих интегралов, например интеграл
| \lambda | 2
\left( 1\int
0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| e - x(A+\lambda 2I)1/2C11 (\lambda ) f1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| p
H
dx
\right) 1/p
.
В силу теоремy 5.4.2/1 [12] и оценок (2.11), (2.13) и (2.21) при \theta =
1
2
+
1
2p
для достаточно
больших | \lambda | из угла | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
имеем
| \lambda | 2
\left( 1\int
0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| e - x(A+\lambda 2I)1/2C11 (\lambda ) f1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| p
H
dx
\right) 1/p
=
= | \lambda | 2
\left( 1\int
0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| e - x(A+\lambda 2I)1/2 1\alpha \bigl( A+ \lambda 2I
\bigr) - 1/2
\biggl[
I +
1
\alpha \beta
\lambda 2
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1
\biggr] - 1
f1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
H
dx
\right) 1/p
\leq
\leq C
\Biggl( \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl[
I +
1
\alpha \beta
\lambda 2
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1
\biggr] - 1
f1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
H1
+
+ | \lambda | 2
\Bigl(
1
2
- 1
2p
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl[
I +
1
\alpha \beta
\lambda 2
\bigl(
A+ \lambda 2I
\bigr) - 1
\biggr] - 1
f1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
H
\Biggr)
\leq
\leq C
\Bigl(
\| f1\| H1
+ | \lambda | 1 -
1
p \| f1\| H
\Bigr)
.
3. Неоднородное уравнение. Рассмотрим теперь краевую задачу для неоднородного урав-
нения с параметром в сепарабельном гильбертовом пространстве H, т. е. задачу (1.1), (1.2).
Теорема 3.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.1.
Тогда оператор \BbbL (\lambda ) : u \rightarrow \BbbL (\lambda )u := (L (\lambda ,D)u, L1 (\lambda )u, L2 (\lambda )u) для достаточно
больших | \lambda | из угла | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
является изоморфизмом из W 2
p ((0, 1) ;H (A) , H) в
Lp ((0, 1) ;H) \.+H1 \.+H1, p \in (1,\infty ) и для этих \lambda справедлива следующая оценка для решения
задачи (1.1), (1.2):
| \lambda | 2 \| u\| Lp((0,1);H) +
\bigm\| \bigm\| u\prime \prime \bigm\| \bigm\|
Lp((0,1);H)
+ \| Au\| Lp((0,1);H) \leq
\leq C
\Biggl[
| \lambda | \| f\| Lp((0,1);H) +
2\sum
k=1
\Bigl(
\| fk\| H1
+ | \lambda | 1 -
1
p \| fk\| H
\Bigr) \Biggr]
. (3.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫХ . . . 743
Доказательство. Инъективность отображения \BbbL (\lambda ) следует из теоремы 2.1. Таким обра-
зом, достаточно показать, что \BbbL (\lambda ) сюрьективно, т. е. для любого f \in Lp ((0, 1) ;H) и любых
f1, f2 \in H1 существует решение задачи (1.1), (1.2), принадлежащее W 2
p ((0, 1) ;H (A) , H) .
Определим \~f (x) := f (x) , если x \in (0, 1) , и \~f (x) = 0, если x /\in (0, 1) . Решение задачи
(1.1), (1.2) представляется в виде суммы u (x) = u1 (x)+ u2 (x) , где u1 (x) — сужение на (0, 1)
решения \~u1 (x) уравнения
L (\lambda ,D) \~u1 (x) = \~f (x) , x \in \BbbR = ( - \infty ,+\infty ) , (3.2)
а u2 (x) — решение задачи
L (\lambda ,D)u2 (x) = 0, x \in (0, 1) , L1 (\lambda )u2 = f1 - L1 (\lambda )u1, L2 (\lambda )u2 = f2 - L2 (\lambda )u1.
(3.3)
Доказано [12] (теорема 5.4.4), что сужение решения (3.2) u1 принадлежит W 2
p ((0, 1);H(A),
H) и для | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
справедлива оценка
| \lambda | 2 \| u1\| Lp((0,1);H) + \| u1\| W 2
p ((0,1);H(A),H) \leq C \| f\| Lp((0,1);H) . (3.4)
В силу теоремы 1.7.7/1 [12] (см. также теорему 1.8.2 [14]) и неравенства (3.4) имеем
u
(s)
1 (x0) \in Hs \forall x0 \in [0, 1] , s = 0, 1.
Отсюда L1 (\lambda )u1 \in H1, L2 (\lambda )u1 \in H1, так как H0 \subset H1.
Таким образом, в силу теоремы 2.1 для достаточно больших | \lambda | из угла | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
задача (3.3) имеет единственное решение u2 (x) , которое принадлежит W 2
p ((0, 1) ;H (A) , H) .
Более того, используя технику, имеющуюся в [12] (теорема 5.4.4), можно показать, что для
решения задачи (3.3) при | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \lambda | \leq \varphi <
\pi
2
, | \lambda | \rightarrow \infty , имеет место оценка
| \lambda | 2 \| u2\| Lp((0,1);H) +
\bigm\| \bigm\| u\prime \prime 2\bigm\| \bigm\| Lp((0,1);H)
+ \| Au2\| Lp((0,1);H) \leq
\leq C
\Biggl[
| \lambda | \| f\| Lp((0,1);H) +
2\sum
k=1
\Bigl(
\| fk\| H1
+ | \lambda | 1 -
1
p \| fk\| H
\Bigr) \Biggr]
. (3.5)
Далее, из (3.4) и (3.5) следует (3.1), так как u = u1 + u2.
Теорема 3.1 доказана.
4. Асимптотика собственных значений. В сепарабельном гильбертовом пространстве H
рассмотрим следующую краевую задачу для эллиптического дифференциально-операторного
уравнения второго порядка:
- u\prime \prime (x) +Au (x) = \lambda 2u (x) , x \in (0, 1) , (4.1)
u\prime (0) - \lambda u (1) = 0,
u\prime (1) + \lambda u (0) = 0,
(4.2)
где \lambda — спектральный параметр, A — линейный, неограниченный, самосопряженный, положи-
тельно определенный оператор в H, A - 1 вполне непрерывен в H.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
744 Б. А. АЛИЕВ, Н. К. КУРБАНОВА, Я. ЯКУБОВ
Лемма. Собственные значения краевой задачи (4.1), (4.2) вещественны.
Доказательство. Собственные элементы оператора A, соответствующие собственным зна-
чениям \mu k \rightarrow +\infty , обозначим через \varphi k, k = 1, 2, 3, . . . . Известно, что \{ \varphi k\} образует полный
ортонормированный базис в H. Тогда из разложения u (x) =
\sum \infty
k=1
(u (x) , \varphi k)H \varphi k для коэф-
фициентов Фурье uk (x) = (u (x) , \varphi k)H получим спектральную задачу
- u\prime \prime k (x) + \mu kuk (x) = \lambda 2uk (x) , x \in (0, 1) , (4.3)
u\prime k (0) - \lambda uk (1) = 0,
u\prime k (1) + \lambda uk (0) = 0.
(4.4)
Таким образом, изучение собственных значений краевой задачи (4.1), (4.2) сводится к изу-
чению собственных значений краевой задачи (4.3), (4.4) для различных натуральных k. Спектр
краевой задачи (4.1), (4.2) состоит из тех \lambda , при которых задача (4.3), (4.4) имеет нетривиальное
решение uk (x) хотя бы при одном k. Число \lambda = \pm \surd
\mu k, \mu k \not = 4, не может быть собственным
значением задачи (4.3), (4.4) для достаточно больших k (напомним, что \mu \rightarrow +\infty , поэтому
\mu k \not = 4), так как в данном случае эта задача имеет только тривиальное решение.
Пусть \lambda — собственное значение краевой задачи (4.3), (4.4) и uk (x, \lambda ) — соответствующая
собственная функция. Умножая обе части равенства (4.3) на функцию uk (x, \lambda ) и интегрируя
полученное тождество по x от 0 до 1, получаем
-
1\int
0
u\prime \prime k (x, \lambda )uk (x, \lambda )dx+ \mu k
1\int
0
| uk (x, \lambda )| 2 dx = \lambda 2
1\int
0
| uk (x, \lambda )| 2 dx. (4.5)
Используя формулу интегрирования по частям и краевые условия (4.4), находим
1\int
0
u\prime \prime k (x, \lambda )uk (x, \lambda )dx = uk (x, \lambda )u
\prime
k (x, \lambda ) |
1
0 -
1\int
0
u\prime k (x, \lambda )u
\prime
k (x, \lambda )dx =
= uk (1, \lambda )u
\prime
k (1, \lambda ) - uk (0, \lambda )u
\prime
k (0, \lambda ) -
1\int
0
\bigm| \bigm| u\prime k (x, \lambda )\bigm| \bigm| 2 dx =
= - \lambda
\Bigl[
uk (1, \lambda )uk (0, \lambda ) + uk (0, \lambda )uk (1, \lambda )
\Bigr]
-
1\int
0
\bigm| \bigm| u\prime k (x, \lambda )\bigm| \bigm| 2 dx =
= - \lambda
\Bigl[
uk (1, \lambda )uk (0, \lambda ) + uk (0, \lambda )uk (1, \lambda )
\Bigr]
-
1\int
0
\bigm| \bigm| u\prime k (x, \lambda )\bigm| \bigm| 2 dx =
= - \lambda 2\mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl[
uk (0, \lambda )uk (1, \lambda )
\Bigr]
-
1\int
0
\bigm| \bigm| u\prime k (x, \lambda )\bigm| \bigm| 2 dx .
Отсюда и из (4.5) следует, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫХ . . . 745
\lambda 2
1\int
0
| uk (x, \lambda )| 2 dx - \lambda 2\mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl[
uk (0, \lambda )uk (1, \lambda )
\Bigr]
-
- \mu k
1\int
0
| uk (x, \lambda )| 2 dx -
1\int
0
\bigm| \bigm| u\prime k (x, \lambda )\bigm| \bigm| 2 dx = 0 . (4.6)
Обозначим
ak (\lambda ) =
1\int
0
| uk (x, \lambda )| 2 dx, bk (\lambda ) = - 2\mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl[
uk (0, \lambda )uk (1, \lambda )
\Bigr]
,
ck (\lambda ) = - \mu k
1\int
0
| uk (x, \lambda )| 2 dx -
1\int
0
\bigm| \bigm| u\prime k (x, \lambda )\bigm| \bigm| 2 dx.
Тогда уравнение (4.6) можно представить в виде
ak (\lambda )\lambda
2 + bk (\lambda )\lambda + ck (\lambda ) = 0. (4.7)
Поскольку ak (\lambda ) > 0, ck (\lambda ) < 0 при каждом k, то b2k (\lambda ) - 4ak (\lambda ) ck (\lambda ) > 0.
Следовательно, уравнение (4.7) при каждом k имеет только вещественные корни.
Лемма доказана.
Теорема 4.1. Пусть A — самосопряженный, положительно определенный оператор в се-
парабельном гильбертовом пространстве H и A - 1 вполне непрерывен в H.
Тогда краевая задача (4.1), (4.2) имеет четыре серии собственных значений1:
\lambda
(1)
k \sim
\sqrt{}
\mu k
2
, \lambda
(2)
k \sim -
\sqrt{}
\mu k
2
, k \rightarrow \infty ,
и
\lambda (3,k)n =
\surd
\mu k + \gamma n, \lambda (4,k)n = -
\sqrt{}
\mu k + \delta n,
где \mu k \rightarrow +\infty — собственные значения оператора A, \gamma n \sim 4n2\pi 2 и \delta n \sim 4n2\pi 2 при n\rightarrow +\infty .
Доказательство. Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения (4.3) име-
ет вид
uk (x, \lambda ) = c1e
- x
\surd
\mu k - \lambda 2 + c2e
- (1 - x)
\surd
\mu k - \lambda 2 , (4.8)
где ci, i = 1, 2, — произвольные константы. Подставив (4.8) в (4.4), получим систему относи-
тельно ci, i = 1, 2, определитель которой имеет вид
D(\lambda ) = -
\Bigl( \sqrt{}
\mu k - \lambda 2 + \lambda e -
\surd
\mu k - \lambda 2
\Bigr) 2
+
\Bigl( \sqrt{}
\mu k - \lambda 2e -
\surd
\mu k - \lambda 2 - \lambda
\Bigr) 2
.
Таким образом, собственные значения краевой задачи (4.3), (4.4), а следовательно, и краевой
задачи (4.1), (4.2) — это нули следующего уравнения (относительно \lambda , \lambda \not = \pm \surd
\mu k ) хотя бы при
1Под асимптотикой \lambda n \sim f(n), n \rightarrow \infty , мы понимаем стандартное обозначение, т. е. \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty
\lambda n
f(n)
= 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
746 Б. А. АЛИЕВ, Н. К. КУРБАНОВА, Я. ЯКУБОВ
одном k: \Bigl( \sqrt{}
\mu k - \lambda 2 + \lambda e -
\surd
\mu k - \lambda 2
\Bigr) 2
-
\Bigl( \sqrt{}
\mu k - \lambda 2e -
\surd
\mu k - \lambda 2 - \lambda
\Bigr) 2
= 0. (4.9)
Запишем уравнение (4.9) в виде системы уравнений
e -
\surd
\mu k - \lambda 2
\Bigl(
\lambda +
\sqrt{}
\mu k - \lambda 2
\Bigr)
-
\Bigl(
\lambda -
\sqrt{}
\mu k - \lambda 2
\Bigr)
= 0, (4.10)
e -
\surd
\mu k - \lambda 2
\Bigl(
\lambda -
\sqrt{}
\mu k - \lambda 2
\Bigr)
+
\Bigl(
\lambda +
\sqrt{}
\mu k - \lambda 2
\Bigr)
= 0. (4.11)
Следовательно, собственные значения краевой задачи (4.3), (4.4), а значит, и краевой задачи
(4.1), (4.2) состоят из тех вещественных \lambda \not = \pm \surd
\mu k, которые хотя бы при одном k удовлетво-
ряют, по крайней мере, одному из уравнений (4.10) или (4.11).
Запишем систему (4.10), (4.11) в виде\sqrt{}
\mu k - \lambda 2 \mathrm{c}\mathrm{h}
\biggl(
1
2
\sqrt{}
\mu k - \lambda 2
\biggr)
- \lambda \mathrm{s}\mathrm{h}
\biggl(
1
2
\sqrt{}
\mu k - \lambda 2
\biggr)
= 0, (4.12)
\sqrt{}
\mu k - \lambda 2 \mathrm{s}\mathrm{h}
\biggl(
1
2
\sqrt{}
\mu k - \lambda 2
\biggr)
+ \lambda \mathrm{c}\mathrm{h}
\biggl(
1
2
\sqrt{}
\mu k - \lambda 2
\biggr)
= 0. (4.13)
Исследуем уравнение (4.12). В работе [11] при исследовании собственных значений некоторых
краевых задач, отличных от краевых задач (4.1), (4.2), получено трансцендентное уравнение\sqrt{}
\mu k - \lambda 2 \mathrm{c}\mathrm{h}
\Bigl( \sqrt{}
\mu k - \lambda 2
\Bigr)
+ \lambda \mathrm{s}\mathrm{h}
\Bigl( \sqrt{}
\mu k - \lambda 2
\Bigr)
= 0. (4.14)
Аналогичными рассуждениями, приведенными в работе [11] для уравнения (4.14), исследуя
уравнение (4.12), можно убедиться, что для собственных значений краевых задач (4.1), (4.2)
имеют место асимптотические формулы
\lambda
(1)
k \sim
\sqrt{}
\mu
2
, k \rightarrow \infty , \lambda (3,k)n =
\surd
\mu k + \gamma n, \lambda (4,k)n = -
\sqrt{}
\mu k + \delta n,
где \gamma n \sim 4n2\pi 2, \delta n \sim 4n2\pi 2, n\rightarrow \infty .
Исследуем теперь уравнение (4.13) тем же способом, которым исследовано уравнение
(4.12). Найдем те собственные значения \lambda , для которых \lambda 2 < \mu k. Положим
\sqrt{}
\mu k - \lambda 2 = y\bigl(
0 < y \leq \surd
\mu k
\bigr)
. Отсюда \lambda = \pm
\sqrt{}
\mu k - y2.
Сначала в уравнении (4.13) возьмем \lambda =
\sqrt{}
\mu k - y2. Тогда уравнение (4.13) примет вид
y \mathrm{s}\mathrm{h}
\Bigl( y
2
\Bigr)
+
\sqrt{}
\mu k - y2 \mathrm{c}\mathrm{h}
\Bigl( y
2
\Bigr)
= 0, 0 < y \leq \surd
\mu k. (4.15)
Рассмотрим функцию \eta k (y) = y \mathrm{s}\mathrm{h}
\Bigl( y
2
\Bigr)
+
\sqrt{}
\mu k - y2 \mathrm{c}\mathrm{h}
\Bigl( y
2
\Bigr)
, y \in
\bigl(
0,
\surd
\mu k
\bigr]
. Очевидно, что
\eta k (y) > 0 при каждом фиксированном k и при всех y \in
\bigl(
0,
\surd
\mu k
\bigr]
. Поэтому уравнение (4.15)
для каждого k не имеет решений на интервале
\bigl(
0,
\surd
\mu k
\bigr]
.
Теперь в уравнении (4.13) возьмем \lambda = -
\sqrt{}
\mu k - y2. Тогда уравнение (4.13) примет вид
y \mathrm{s}\mathrm{h}
\Bigl( y
2
\Bigr)
-
\sqrt{}
\mu k - y2 \mathrm{c}\mathrm{h}
\Bigl( y
2
\Bigr)
= 0, 0 < y \leq \surd
\mu k . (4.16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫХ . . . 747
Уравнение (4.16) эквивалентно уравнению
y \mathrm{t}\mathrm{h}
\Bigl( y
2
\Bigr)
-
\sqrt{}
\mu k - y2, y \in (0,
\surd
\mu k] . (4.17)
Рассмотрим функцию \psi k (y) = y \mathrm{t}\mathrm{h}
\Bigl( y
2
\Bigr)
-
\sqrt{}
\mu k - y2 = 0, y \in
\bigl(
0,
\surd
\mu k
\bigr]
.
Производная \psi \prime
k (y) =
\mathrm{s}\mathrm{h}(y) + y
2 \mathrm{c}\mathrm{h}2
\Bigl( y
2
\Bigr) +
y\sqrt{}
\mu k - y2
> 0. Значит, \psi k (y) строго монотонно воз-
растает на
\bigl(
0,
\surd
\mu k
\bigr]
при каждом k. Очевидно, что
\psi k
\biggl( \sqrt{}
\mu k
2
\biggr)
=
\sqrt{}
\mu k
2
\biggl(
\mathrm{t}\mathrm{h}
\biggl(
1
2
\sqrt{}
\mu k
2
\biggr)
- 1
\biggr)
< 0
для любого k. С другой стороны, легко можно показать, что
\psi k
\biggl( \sqrt{}
\mu k
2
+
1
\mu k
\biggr)
=
\sqrt{}
\mu k
2
+
1
\mu k
\left( \left( 1 - 2
e
\sqrt{}
\mu k
2
+ 1
\mu k + 1
\right) -
\sqrt{}
1 - 4
\mu 2k + 2
\right) > 0,
начиная с некоторого k. Поэтому заключаем, что в интервале
\biggl( \sqrt{}
\mu k
2
,
\sqrt{}
\mu k
2
+
1
\mu k
\biggr)
уравнение
(4.17), начиная с некоторого k, имеет точно один нуль yk, т. е. yk \sim
\sqrt{}
\mu k
2
. Отсюда и из равен-
ства \lambda = -
\sqrt{}
\mu k - y2 для собственных значений краевой задачи (4.3), (4.4), удовлетворяющих
условию \lambda 2 < \mu k, получаем асимптотическую формулу
\lambda
(2)
k \sim -
\sqrt{}
\mu k
2
, k \rightarrow \infty .
Исследуем теперь уравнение (4.13) в случае, когда \lambda 2 > \mu k. Положим z =
\sqrt{}
\lambda 2 - \mu k, 0 <
< z < \infty . Если учесть эту замену в уравнении (4.13) и вместо \lambda использовать \lambda =
\sqrt{}
z2 + \mu k,
то уравнение (4.13) примет вид\sqrt{}
z2 + \mu k \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
z
2
- z \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
z
2
= 0, z \in (0,+\infty ) . (4.18)
Пусть z \not = (2n+ 1)\pi , n = 0, 1, 2, . . . . Тогда уравнение (4.18) эквивалентно уравнению
z\sqrt{}
z2 + \mu k
\mathrm{t}\mathrm{g}
z
2
- 1 = 0, z \in (0,+\infty ) , z \not = (2n+ 1)\pi , n = 0, 1, 2, . . . . (4.19)
Рассмотрим функцию
\Phi k (z) =
z\sqrt{}
z2 + \mu k
\mathrm{t}\mathrm{g}
z
2
- 1, z \in (0,+\infty ) , z \not = (2n+ 1)\pi , n = 0, 1, 2, . . . .
Поскольку в каждом интервале ((2n - 1)\pi , (2n+ 1)\pi ) , n = 1, 2, . . . , функция \Phi k (z) пробе-
гает от - \infty до +\infty , а ее производная
\Phi \prime
k (z) =
\mu k (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} z + z) + z3
2 (z2 + \mu k)
3/2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2
z
2
> 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
748 Б. А. АЛИЕВ, Н. К. КУРБАНОВА, Я. ЯКУБОВ
то в нем при каждом k функция \Phi k (z) имеет только один нуль z(k)n :
(2n - 1)\pi < z(k)n < (2n+ 1)\pi .
Найдем асимптотические формулы для z(k)n при каждом k, когда n\rightarrow \infty .
Из (4.19) имеем
\mathrm{t}\mathrm{g}
z
2
=
\sqrt{}
z2 + \mu k
z
, z \in (0,+\infty ) , z \not = (2n+ 1)\pi , n = 0, 1, 2, . . . .
Рассмотрим функцию qk (z) =
\sqrt{}
z2 + \mu k
z
, z \in (0,+\infty ) . Легко можно показать, что при каждом
k qk (z) — положительная, убывающая, строго выпуклая вниз функция. Кроме того, прямая z =
= 1 является горизонтальной асимптотой функции qk (z) при каждом k и \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}z\rightarrow 0+ qk (z) = +\infty .
С другой стороны, точки z(k)n при каждом k являются абсциссами точек пересечения функции
qk (z) и ветвей функции \mathrm{t}\mathrm{g}
z
2
, z > 0. При увеличении n точки z
(k)
n будут приближаться к
абсциссе точки пересечения ветвей функции \mathrm{t}\mathrm{g}
z
2
с прямой z = 1, т. е. z(k)n — приблизительное
решение уравнения \mathrm{t}\mathrm{g}
z
2
= 1 на интервале (2 (n - 1)\pi , 2 (n+ 1)\pi ) . Итак, для каждого k
z(k)n \sim 2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}1 + 2n\pi =
\pi
2
+ 2n\pi =
\biggl(
2n+
1
2
\biggr)
\pi .
Поскольку \lambda =
\sqrt{}
z2 + \mu k, то полученная серия собственных значений краевой задачи (4.3),
(4.4) имеет такую же асимптотику, как \lambda (3,k)n .
Теперь в уравнении (4.13) возьмем \lambda = -
\sqrt{}
z2 + \mu k. Тогда уравнение (4.13) примет вид\sqrt{}
z2 + \mu k \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
z
2
+ z \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
z
2
= 0, z \in (0,+\infty ) . (4.20)
Аналогично уравнению (4.18), исследуя уравнение (4.20), можно получить что последняя
серия собственных значений краевой задачи (4.3), (4.4) асимптотически совпадает с \lambda (4,k)n при
каждом k.
Теорема 4.1 доказана.
Пример. Рассмотрим в квадрате [0, 1]\times [0, 1] задачу на собственные значения
- \partial
2v (x, y)
\partial x2
+
\partial 4v (x, y)
\partial y4
+ \omega v (x, y) = \lambda 2v (x, y) , (4.21)
\partial v (0, y)
\partial x
- \lambda v (1, y) = 0,
\partial v (1, y)
\partial x
+ \lambda v (0, y) = 0,
(4.22)
v(j)y (x, 0) = v(j)y (x, 1) , j = 0, 1, 2, 3, (4.23)
где \omega > 0 — некоторое число.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫХ . . . 749
Запишем задачу (4.21) – (4.23) в операторной форме
- u\prime \prime (x) +Au (x) = \lambda 2u (x) , x \in (0, 1) ,
u\prime (0) - \lambda u (1) = 0,
u\prime (1) + \lambda u (0) = 0,
где u (x) = v (x, \cdot ) — вектор-функция со значениями в гильбертовом пространстве H =
= L2 (0, 1) , оператор A определен следующим образом:
D (A) =W 4
2 ((0, 1)) , u(j) (0) = u(j) (1) , j = 0, 1, 2, 3, Au =
d4u
dy4
+ \omega u. (4.24)
Очевидно, что оператор A, определенный формулой (4.24), самосопряженный и при доста-
точно больших \omega > 0 положительно определенный, а A - 1 вполне непрерывен в L2 (0, 1) ,
так как вложение D (A) \subset L2 (0, 1) является компактным. Простые вычисления показывают,
что собственные значения оператора A имеют вид \mu k (A) = 16k4\pi 4 + \omega , k = 0, 1, 2, . . . . Тог-
да в силу теоремы 4.1 для собственных значений краевой задачи (4.21) – (4.23) имеют место
асимптотические формулы
\lambda
(1)
k \sim 2
\surd
2k2\pi 2, \lambda
(2)
k \sim - 2
\surd
2k2\pi 2, k \rightarrow +\infty ,
\lambda (3,k)n =
\sqrt{}
16k4\pi 4 + \gamma n , \lambda (4,k)n = -
\sqrt{}
16k4\pi 4 + \delta n , k \rightarrow +\infty ,
где \gamma n \sim 4n2\pi 2, \delta n \sim 4n2\pi 2 при n \rightarrow \infty . Используя, например, [17] (см. также [18]), можно
записать последние две формулы как асимптотические формулы относительно одного индекса
вместо двух:
\lambda (3)m \sim
\biggl(
4\pi 2
\gamma
\biggr) 2/3
m2/3, \lambda (4)m \sim -
\biggl(
4\pi 2
\gamma
\biggr) 2/3
m2/3, m\rightarrow +\infty ,
где \gamma =
\int \pi /2
0
(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)3/2 dt.
Литература
1. Горбачук В. И., Рыбак М. А. О граничных задачах для уравнения Штурма – Лиувилля со спектральным пара-
метром в уравнении и в граничном условии // Прямые и обратные задачи теории рассеяния. – Киев, 1981. –
С. 3 – 16.
2. Рыбак М. А. Об асимптотическом распределении собственных значений некоторых граничных задач для опе-
раторного уравнения Штурма – Лиувилля // Укр. мат. журн. – 1980. – 32, № 2. – С. 248 – 252.
3. Олейник Л. А. Неоднородные граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений со спектраль-
ным параметром в граничных условиях // Спектральная теория дифференциально-операторных уравнений. –
Киев, 1986. – С. 25 – 28.
4. Denche M. Abstract differential equation with a spectral parameter in the boundary conditions // Res. Math. – 1999. –
35. – P. 216 – 227.
5. Aliev B. A. Asymptotic behavior of eigenvalues of a boundary value problem with spectral parameter in the boundary
conditions for the second order elliptic differential-operator equation // Trans. Nat. Acad. Sci. Azerbaijan. Ser. Phys.-
Tech. and Math. Sci. – 2005. – 25, № 7. – P. 3 – 8.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
750 Б. А. АЛИЕВ, Н. К. КУРБАНОВА, Я. ЯКУБОВ
6. Алиев Б. А. Асимптотическое поведение собственных значений одной краевой задачи для эллиптического
дифференциально-операторного уравнения второго порядка // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 8. – С. 1146 –
1152.
7. Алиев Б. А. Разрешимость краевой задачи для эллиптического дифференциально-операторного уравнения вто-
рого порядка со спектральным параметром в уравнении и в граничных условиях // Укр. мат. журн. – 2010. –
62, № 1. – С. 3 – 14.
8. Aliev B. A., Yakubov Ya. Elliptic differential-operator problems with a spectral parameter in both the equation and
boundary-operator conditions // Adv. Different. Equat. – 2006. – 11, № 10. – P. 1081 – 1110. (Erratum. – 2007. – 12,
№ 9. – P. 1079).
9. Байрамоглы М., Асланова Н. М. Распределение собственных значений и формула следа операторного уравнения
Штурма – Лиувилля // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 7. – С. 867 – 877.
10. Aibeche A., Favini A., Mezoued Ch. Deficient coerciveness estimate for an abstract differential equation with a
parameter dependent boundary conditions // Boll. Unione mat. ital. Ser. B. – 2007. – 10(8), № 3. – P. 535 – 547.
11. Aliev B. A., Kurbanova N. K., Yakubov Ya. Solvability of the abstract Regge boundary value problem and asymptotic
behavior of eigenvalues of one abstract spectral problem // Riv. mat. Univ. Parma. – 2015. – 6. – P. 241 – 265.
12. Yakubov S., Yakubov Ya. Differential-operator equations. Ordinary and partial differential equations. – Boca Raton:
Chapman and Hall/CRC, 2000. – 541 p.
13. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. – М.: Наука, 1967. – 464 c.
14. Трибель Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. – М.: Мир,
1980. – 664 c.
15. Морен К. Методы гильбертова пространства. – М.: Мир, 1965. – 570 c.
16. Aliev B. A., Yakubov Ya. Second order elliptic differential operator equations with unbounded operator boundary
conditions in UMD Banach spaces // Inteqral Equat. and Oper. Theory. – 2011. – 69. – P. 269 – 300.
17. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. О некоторых классах граничных задач для уравнения Штурма – Лиувилля с
операторным потенциалом // Укр. мат. журн. – 1972. – 24, № 3. – С. 291 – 305.
18. Мамедов К. С. Асимптотика функции распределения собственных чисел абстрактного дифференциального
оператора // Мат. заметки. – 1982. – 31, № 1. – С. 41 – 51.
Получено 10.05.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1732 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:35Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7e/7c474e784a61be170e10505920ba3a7e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17322019-12-05T09:25:15Z On one boundary-value problem for elliptic differential-operator equations of the second order with quadratic spectral parameter Об одной краевой задаче для эллиптических дифференциально-операторных уравнений второго порядка с квадратичным спектральным параметром Aliev, B. A. Kurbanova, N. K. Yakubov, Ya. Алиев, Б. А. Курбанова, Н. К. Якубов, Я. Алиев, Б. А. Курбанова, Н. К. Якубов, Я. The problem of solvability of a boundary-value problem for a differential-operator equation of the second order on a finite interval is studied in a complex separable Hilbert space H in the case where the same spectral parameter appears in the equation in the form of a quadratic function and in the boundary conditions in the form of a linear function and, moreover, the boundary conditions are not separated. The asymptotic behavior of the eigenvalues of one homogeneous abstract boundary-value problem is also investigated. The asymptotic formulas for the eigenvalues are obtained and an application of the obtained results to partial differential equations is analyzed. У сепарабельному комплексному гiльбертовому просторi H вивчаються питання розв’язностi однiєї крайової задачi для диференцiально-операторного рiвняння другого порядку на скiнченному вiдрiзку у випадку, коли один i той же спектральний параметр входит у рiвняння квадратично, а в крайовi умови лiнiйно i крайовi умови не вiдокремленi. Вивчено асимптотичну поведiнку власних значень однiєї абстрактної однорiдної крайової задачi. Отримано асимптотичнi формули для власних значень i наведено одне застосування цих результатiв до диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1732 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 6 (2017); 734-750 Український математичний журнал; Том 69 № 6 (2017); 734-750 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1732/714 Copyright (c) 2017 Aliev B. A.; Kurbanova N. K.; Yakubov Ya. |
| spellingShingle | Aliev, B. A. Kurbanova, N. K. Yakubov, Ya. Алиев, Б. А. Курбанова, Н. К. Якубов, Я. Алиев, Б. А. Курбанова, Н. К. Якубов, Я. On one boundary-value problem for elliptic differential-operator equations of the second order with quadratic spectral parameter |
| title | On one boundary-value problem for elliptic
differential-operator equations of the second order with quadratic spectral parameter |
| title_alt | Об одной краевой задаче для эллиптических дифференциально-операторных уравнений второго порядка с квадратичным спектральным параметром |
| title_full | On one boundary-value problem for elliptic
differential-operator equations of the second order with quadratic spectral parameter |
| title_fullStr | On one boundary-value problem for elliptic
differential-operator equations of the second order with quadratic spectral parameter |
| title_full_unstemmed | On one boundary-value problem for elliptic
differential-operator equations of the second order with quadratic spectral parameter |
| title_short | On one boundary-value problem for elliptic
differential-operator equations of the second order with quadratic spectral parameter |
| title_sort | on one boundary-value problem for elliptic
differential-operator equations of the second order with quadratic spectral parameter |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1732 |
| work_keys_str_mv | AT alievba ononeboundaryvalueproblemforellipticdifferentialoperatorequationsofthesecondorderwithquadraticspectralparameter AT kurbanovank ononeboundaryvalueproblemforellipticdifferentialoperatorequationsofthesecondorderwithquadraticspectralparameter AT yakubovya ononeboundaryvalueproblemforellipticdifferentialoperatorequationsofthesecondorderwithquadraticspectralparameter AT alievba ononeboundaryvalueproblemforellipticdifferentialoperatorequationsofthesecondorderwithquadraticspectralparameter AT kurbanovank ononeboundaryvalueproblemforellipticdifferentialoperatorequationsofthesecondorderwithquadraticspectralparameter AT âkubovâ ononeboundaryvalueproblemforellipticdifferentialoperatorequationsofthesecondorderwithquadraticspectralparameter AT alievba ononeboundaryvalueproblemforellipticdifferentialoperatorequationsofthesecondorderwithquadraticspectralparameter AT kurbanovank ononeboundaryvalueproblemforellipticdifferentialoperatorequationsofthesecondorderwithquadraticspectralparameter AT âkubovâ ononeboundaryvalueproblemforellipticdifferentialoperatorequationsofthesecondorderwithquadraticspectralparameter AT alievba obodnojkraevojzadačedlâélliptičeskihdifferencialʹnooperatornyhuravnenijvtorogoporâdkaskvadratičnymspektralʹnymparametrom AT kurbanovank obodnojkraevojzadačedlâélliptičeskihdifferencialʹnooperatornyhuravnenijvtorogoporâdkaskvadratičnymspektralʹnymparametrom AT yakubovya obodnojkraevojzadačedlâélliptičeskihdifferencialʹnooperatornyhuravnenijvtorogoporâdkaskvadratičnymspektralʹnymparametrom AT alievba obodnojkraevojzadačedlâélliptičeskihdifferencialʹnooperatornyhuravnenijvtorogoporâdkaskvadratičnymspektralʹnymparametrom AT kurbanovank obodnojkraevojzadačedlâélliptičeskihdifferencialʹnooperatornyhuravnenijvtorogoporâdkaskvadratičnymspektralʹnymparametrom AT âkubovâ obodnojkraevojzadačedlâélliptičeskihdifferencialʹnooperatornyhuravnenijvtorogoporâdkaskvadratičnymspektralʹnymparametrom AT alievba obodnojkraevojzadačedlâélliptičeskihdifferencialʹnooperatornyhuravnenijvtorogoporâdkaskvadratičnymspektralʹnymparametrom AT kurbanovank obodnojkraevojzadačedlâélliptičeskihdifferencialʹnooperatornyhuravnenijvtorogoporâdkaskvadratičnymspektralʹnymparametrom AT âkubovâ obodnojkraevojzadačedlâélliptičeskihdifferencialʹnooperatornyhuravnenijvtorogoporâdkaskvadratičnymspektralʹnymparametrom |