Weakly perturbed operator equations in Banach spaces
We obtain the conditions of bifurcation of the solutions of weakly perturbed operator equations in Banach spaces from the point $\varepsilon = 0$ and propose a convergent iterative procedure for finding the solutions in the form of parts of the series in powers of $\varepsilon$ with pole at the po...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1733 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507581809688576 |
|---|---|
| author | Zhuravlev, V. F. Журавлев, В. Ф. Журавлев, В. Ф. |
| author_facet | Zhuravlev, V. F. Журавлев, В. Ф. Журавлев, В. Ф. |
| author_sort | Zhuravlev, V. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:25:15Z |
| description | We obtain the conditions of bifurcation of the solutions of weakly perturbed operator equations in Banach spaces from the
point $\varepsilon = 0$ and propose a convergent iterative procedure for finding the solutions in the form of parts of the series in
powers of $\varepsilon$ with pole at the point $\varepsilon = 0$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.983
В. Ф. Журавлев (Житомир. нац. агроэкол. ун-т)
СЛАБОВОЗМУЩЕННЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
We obtain the conditions of bifurcation of the solutions of weakly perturbed operator equations in Banach spaces from the
point \varepsilon = 0 and propose a convergent iterative procedure for finding the solutions in the form of parts of the series in
powers of \varepsilon with pole at the point \varepsilon = 0.
Отримано умови бiфуркацiї з точки \varepsilon = 0 розв’язкiв слабкозбурених операторних рiвнянь у банахових просторах.
Запропоновано збiжну iтерацiйну процедуру побудови розв’язкiв у виглядi частини ряду за ступенями \varepsilon з полюсом
у точцi \varepsilon = 0.
Анализ слабовозмущенных уравнений
(Lz)(t) = f(t) + \varepsilon (Az)(t) (1)
в банаховых пространствах продолжает развитие методов теории возмущений и существенным
образом опирается на метод Вишика – Люстерника [1] и метод малого параметра Ляпунова –
Пуанкаре [2].
Эти методы были обобщены на случай нетеровых краевых задач для систем обыкновенных
дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений [3 – 5].
Дальнейшим обобщением этих задач стало их рассмотрение в банаховых пространствах,
когда конечномерное евклидово пространство значений функции заменялось общим банаховым
пространством. Слабовозмущенные краевые задачи в случае, когда L — дифференциальный
оператор, действующий в банаховом пространстве, исследовали А. А. Бойчук и Е. В. Пана-
сенко [6]. Важной особенностью этих задач является то, что уравнение Lz = f линейной
порождающей краевой задачи (\varepsilon = 0) имеет решения при любой правой части, т. е. оператор
L является везде разрешимым [7].
Исследование слабовозмущенных не везде разрешимых сингулярных дифференциальных и
интегро-дифференциальных уравнений в конечномерных пространствах проводили А. А. Бой-
чук, Л. М. Шегда и И. А. Головацкая [8, 9].
Постановка задачи. Пусть \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) — банахово пространство ограниченных вектор-функ-
ций z(t), определенных на конечном промежутке \scrI , со значениями в банаховом пространстве
\bfB 1, z(\cdot ) : \scrI \rightarrow \bfB 1 с равномерной нормой | | | z(t)| | | = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in \scrI \| z(t)\| B1 , а \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) — банахово
пространство ограниченных вектор-функций f(t), определенных на том же промежутке \scrI , со
значениями в банаховом пространстве \bfB 2, f(\cdot ) : \scrI \rightarrow \bfB 2 с равномерной нормой | | | f(t)| | | =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in \scrI \| f(t)\| B2 [10].
Рассмотрим слабовозмущенное уравнение (1), где L — линейный ограниченный обобщен-
но-обратимый [11], A — линейный ограниченный операторы, которые действуют из банахова
пространства \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) в банахово пространство \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2), f(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2), \varepsilon — малый
параметр.
Обобщенная обратимость оператора L означает, что ядро N(L) и образ R(L) оператора
L дополняемы [12] в банаховых пространствах \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) и \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) соответственно. С каж-
c\bigcirc В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6 751
752 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
дой парой взаимно дополняемых подпространств связаны ограниченные проекторы \scrP N(L) :
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) \rightarrow N(L) и \scrP R(L) : \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) \rightarrow R(L), которые индуцируют разбиения \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) и
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) в прямые топологические суммы
\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) = N(L)\oplus XL, \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) = YL \oplus R(L).
Дополнительные ограниченные проекторы на подпространства XL и YL соответственно будем
обозначать \scrP XL
= Il\infty (\scrI ,B1) - \scrP N(L) и \scrP YL
= Il\infty (\scrI ,B2) - \scrP R(L).
В дальнейшем класс линейных ограниченных обобщенно-обратимых операторов, дейст-
вующих из банахова пространства \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) в банахово пространство \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2), будем обозна-
чать \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)). Очевидно, что оператор из \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)) является
нормально разрешимым.
Предположим, что порождающее уравнение
(Lz)(t) = f(t), (2)
которое получается из (1) при \varepsilon = 0, не имеет решений при произвольной неоднородности
f(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2).
Возникает вопрос: можно ли с помощью малого линейного возмущения сделать уравнение
(2) разрешимым, а если можно, то каким условиям должен удовлетворять оператор A в уравне-
нии (1)?
В этой работе, применив теорию обобщенного обращения операторов в банаховых про-
странствах [4, 5], а также теоремы о разрешимости операторных уравнений с обобщенно-об-
ратимыми операторами L [14], рассмотрим задачу об условиях существования и способах
построения решений слабовозмущенных операторных уравнений в банаховых пространствах
с обобщенно-обратимым оператором в линейной части.
Предварительные сведения. Для порождающего уравнения (2) справедлива следующая
теорема.
Теорема 1 [14]. Пусть L \in \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)).
Тогда соответствующее (2) однородное (f(t) = 0) операторное уравнение имеет се-
мейство решений
z(t) = (\scrP N(L)\^z)(t),
где \scrP N(L) — ограниченный проектор, \^z(t) — произвольный элемент банахова пространст-
ва \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1).
Неоднородное операторное уравнение (2) разрешимо для тех и только тех f(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2),
для которых выполняется условие
(\scrP YL
f)(t) = 0, (3)
и при этом имеет семейство решений
z(t) = (\scrP N(L)\^z)(t) + (L - f)(t), (4)
где \scrP YL
— ограниченный проектор, L - — ограниченный обобщенно-обратный оператор к
оператору L.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
СЛАБОВОЗМУЩЕННЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 753
Из теоремы 1 имеем два „крайних” случая, когда уравнение (2) однозначно и везде разре-
шимо [7].
Следствие 1. Пусть L \in \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)) — n-нормальный оператор и N(L) \equiv
\equiv 0. Операторное уравнение (2) разрешимо для тех и только тех f(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2), для
которых выполняется условие (3), и при этом имеет единственное решение
z(t) = (L - 1
l f)(t),
где L - 1
l — ограниченный левый обратный оператор к оператору L.
Действительно, если N(L) \equiv 0, то \scrP N(L) = 0. Тогда обобщенно-обратный оператор L -
будет левым обратным оператором L - 1
l [13], а из (4) следует, что уравнение (2) однозначно
разрешимо.
Следствие 2. Пусть L \in \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)) — d-нормальный оператор и YL \equiv
\equiv 0. Операторное уравнение (2) разрешимо для любых f(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) и при этом имеет
семейство решений
z(t) = (\scrP N(L)\^z)(t) +
\bigl(
L - 1
r f
\bigr)
(t),
где L - 1
r — ограниченный правый обратный оператор к оператору L.
Действительно, если YL \equiv 0, то \scrP YL
= 0. Тогда обобщенно-обратный оператор L - будет
правым обратным оператором L - 1
r [13], а из (3) следует, что уравнение (2) везде разрешимо.
Основной результат. Пусть порождающее уравнение (2) не имеет решений при произволь-
ной неоднородности f(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2). По теореме 1 это означает, что условие разрешимости
(3) не выполняется, т. е.
(\scrP YL
f)(t) \not = 0.
Для решения поставленной задачи используем метод Вишика – Люстерника [1]. Решение
уравнения (1) будем искать в виде части ряда по степеням малого параметра \varepsilon с полюсом в
точке \varepsilon = 0:
z(t, \varepsilon ) =
+\infty \sum
i= - 1
\varepsilon izi(t). (5)
Подставим ряд (5) в уравнение (1) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях \varepsilon .
Приравнивая коэффициенты при \varepsilon - 1, приходим к однородному уравнению
(Lz - 1)(t) = 0 (6)
для определения z - 1(t).
По теореме 1 однородное уравнение (6) имеет решение
z - 1(t) = (\scrP N(L)\^z - 1)(t), (7)
где \scrP N(L) : \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) \rightarrow N(L) — ограниченный проектор, а \^z - 1(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) — произволь-
ный элемент, который будет определен ниже.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
754 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
Приравнивая коэффициенты при \varepsilon 0, получаем уравнение
(Lz0)(t) = f - 1(t) (8)
для определения коэффициента z0(t), где
f - 1(t) = f(t) + (Az - 1)(t).
По теореме 1 критерий разрешимости линейного неоднородного уравнения (8) имеет вид
(\scrP YL
[f(\cdot ) + (Az - 1)(\cdot )]) (t) = 0.
Подставив z - 1(t) из (7), получим операторное уравнение
(B0\^z - 1)(t) = - (\scrP YL
f)(t) (9)
относительно элемента \^z - 1 \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), где
B0 = \scrP YL
A\scrP N(L). (10)
Пусть оператор B0 \in \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), YL). Тогда он нормально разрешим и существуют
ограниченные проекторы \scrP N(B0) : \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) \rightarrow N(B0), \scrP YB0
: YL \rightarrow YB0 .
Уравнение (9) может быть [7]: однозначно разрешимым (\scrP N(B0) \equiv 0), везде разрешимым
(\scrP YB0
\equiv 0), неоднозначно и не везде разрешимым (\scrP N(B0) \not = 0,\scrP YB0
\not = 0). Тривиальный
случай, когда \scrP N(B0) \equiv 0 (\scrP YB0
\equiv 0) (существует B - 1
0 ), мы рассматривать не будем.
1. Построение единственного решения. Рассмотрим сначала случай, когда уравнение (9)
однозначно разрешимо, т. е. \scrP N(B0) \equiv 0. В этом случае оператор B0 будет n-нормальным с
нулевым ядром. Тогда по следствию 1 уравнение (9) разрешимо тогда и только тогда, когда его
правая часть удовлетворяет условию
(\scrP YB0
\scrP YL
f)(t) = 0.
Последнее условие будет выполняться, если выполнено условие
\scrP YB0
\scrP YL
= 0, (11)
а операторное уравнение (9) при этом будет иметь единственное решение [13]
\^z - 1(t) = -
\bigl(
(B0)
- 1
l \scrP YL
f
\bigr)
(t).
Подставляя \^z - 1(t) в (7), получаем решение однородного уравнения (6)
z - 1(t) = -
\bigl(
\scrP N(L)(B0)
- 1
l \scrP YL
f
\bigr)
(t) =
\Bigl(
( \widetilde B0)
- 1
l f
\Bigr)
(t),
где
\Bigl( \widetilde B0
\Bigr) - 1
l
= - \scrP N(L)(B0)
- 1
l \scrP YL
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
СЛАБОВОЗМУЩЕННЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 755
При этом уравнение (8) по теореме 1 имеет семейство решений
z0(t) =
\bigl(
\scrP N(L)\^z0
\bigr)
(t) + \=z0(t), (12)
где
\=z0(t) =
\bigl(
L - f - 1
\bigr)
(t) =
\bigl(
L - [f(\cdot ) +Az - 1(\cdot )]
\bigr)
(t) =
\Bigl(
L -
\Bigl[
I +A( \widetilde B0)
- 1
l
\Bigr]
f
\Bigr)
(t),
\^z0(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) — произвольный элемент пространства \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), который будет опреде-
лен на следующем шаге итерационного процесса, L - — ограниченный обобщенно-обратный
оператор [4, 5, 13, 14] к оператору L.
Приравнивая коэффициенты при \varepsilon 1, приходим к уравнению для определения коэффициента
z1(t)
(Lz1)(t) = f0(t), (13)
где
f0(t) =
\bigl(
A
\bigl[
(\scrP N(L)\^z0)(\cdot ) + \=z0(\cdot )
\bigr] \bigr)
(t),
\^z0 \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) — произвольный элемент, который будет определен из критерия разрешимости
уравнения (13).
По теореме 1 уравнение (13) имеет решение тогда и только тогда, когда выполняется условие
(\scrP YL
f0)(t) =
\bigl(
\scrP YL
A
\bigl[
(\scrP N(L)\^z0)(\cdot ) + \=z0(\cdot )
\bigr] \bigr)
(t) = 0.
Из последнего соотношения получаем операторное уравнение относительно элемента \^z0 \in
\in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1):
(B0\^z0)(t) = - (\scrP YL
A\=z0)(t). (14)
По предположению оператор B0 обобщенно обратим. По теореме 1 операторное уравнение
(14) разрешимо тогда и только тогда, когда выполняется условие\Bigl(
\scrP YB0
\scrP YL
A\=z0
\Bigr)
(t) = 0,
при выполнении которого оно имеет единственное (\scrP N(B0) = 0) решение
\^z0(t) = -
\bigl(
(B0)
- 1
l \scrP YL
A\=z0
\bigr)
(t). (15)
Подставляя (15) в (12), получаем
z0(t) = - (\scrP N(L)(B0)
- 1
l \scrP YL
A\=z0(\cdot ))(t) + \=z0(t) =
= (( \widetilde B0)
- 1
l A\=z0)(t) + \=z0(t) = ([I + ( \widetilde B0)
- 1
l A]\=z0)(t).
При выполнении (14) уравнение (13) по теореме 1 имеет семейство решений
z1(t) = (\scrP N(L)\^z1)(t) + \=z1(t), (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
756 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
где \^z1(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) — произвольный элемент, который будет определен на следующем шаге
итерационного процесса,
\=z1(t) =
\bigl(
L - f0
\bigr)
(t) =
\bigl(
L - Az0
\bigr)
(t) =
\Bigl(
L - A
\Bigl[
I + ( \widetilde B0)
- 1
l A
\Bigr]
\=z0
\Bigr)
(t).
Действуя по индукции, для определения коэффициентов zi(t) при \varepsilon i ряда (5) приходим к
операторным уравнениям
(Lzi)(t) = fi - 1(t), (17)
где
fi - 1(t) = (Azi - 1)(t) =
\bigl(
A
\bigl[
(\scrP N(L)\^zi - 1)(\cdot ) + \=zi - 1(\cdot )
\bigr] \bigr)
(t),
\^zi - 1(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) — произвольные элементы, которые будут определяться из критериев
разрешимости операторных уравнений (17).
При условии (11) произвольные элементы \^zi(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) находятся по формулам
\^zi(t) = -
\bigl(
(B0)
- 1
l \scrP YL
A\=zi
\bigr)
(t).
При этом каждое из операторных уравнений (17) имеет семейство решений
zi(t) = (\scrP N(L)\^zi)(t) + \=zi(t),
где \=zi(t) имеют вид
\=zi(t) =
\bigl(
L - Azi - 1
\bigr)
(t) =
\Bigl(
L - A
\Bigl[
I + ( \widetilde B0)
- 1
l A
\Bigr]
\=zi - 1
\Bigr)
(t).
Таким образом, имеем итерационный алгоритм построения решения уравнения (1):
zi(t) =
\left\{
\Bigl(
( \widetilde B0)
- 1
l f
\Bigr)
(t), если i = - 1,\Bigl( \Bigl[
I + ( \widetilde B0)
- 1
l A
\Bigr]
\=zi
\Bigr)
(t), если i = 0,\infty ,
\=zi(t) =
\left\{
\Bigl(
L -
\Bigl[
I +A( \widetilde B0)
- 1
l
\Bigr]
f
\Bigr)
(t), если i = 0,\Bigl(
L - A
\Bigl[
I + ( \widetilde B0)
- 1
l A
\Bigr]
\=zi - 1
\Bigr)
(t), если i = 1,\infty .
(18)
Докажем сходимость ряда (5) при фиксированном \varepsilon \in (0, \varepsilon \ast ].
Пусть
| | | ( \widetilde B0)
- 1
l | | | l\infty (\scrI ,B2) =
\~b0 < \infty , | | | L - | | | l\infty (\scrI ,B2) = l < \infty ,
| | | A| | | l\infty (\scrI ,B1) = a < \infty , | | | f(t)| | | l\infty (\scrI ,B2) = f < \infty .
(19)
Запишем ряд (5) в виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
СЛАБОВОЗМУЩЕННЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 757
z(t, \varepsilon ) =
+\infty \sum
i= - 1
\varepsilon izi(t) = \varepsilon - 1z - 1(t) + z0(t) +
+\infty \sum
i=1
\varepsilon izi(t).
Сначала оценим коэффициенты первых двух членов ряда:
| | | z - 1(t)| | | l\infty (\scrI ,B1) = | | | (( \widetilde B0)
- 1
l f)(t)| | | l\infty (\scrI ,B1) \leq \~b0| | | f(t)| | | l\infty (\scrI ,B1). (20)
Следовательно, первый коэффициент z - 1(t) ряда (5) ограничен по норме.
Для оценки второго коэффициента z0(t) ряда (5) сначала оценим \=z0(t):
| | | \=z0(t)| | | l\infty (\scrI ,B1) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \scrI
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( L -
\Bigl[
I +A( \widetilde B0)
- 1
l
\Bigr]
f
\Bigr)
(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq l(1 + a\~b0)| | | f(t)| | | l\infty (\scrI ,B2).
Тогда для z0(t) имеем
| | | z0(t)| | | l\infty (\scrI ,B1) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \scrI
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( \Bigl[ I + ( \widetilde B0)
- 1
l A
\Bigr]
\=z0
\Bigr)
(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq
\Bigl(
1 + a\~b0
\Bigr)
| | | \=z0(t)| | | l\infty (\scrI ,B1) \leq l
\Bigl(
1 + a\~b0
\Bigr) 2
| | | f(t)| | | l\infty (\scrI ,B2),
откуда следует ограниченность по норме z0(t).
Далее докажем сходимость ряда
\sum +\infty
i=1 \varepsilon izi(t). Для всех i = 1,\infty имеем
| | | \=zi(t)| | | l\infty (\scrI ,B1) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \scrI
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( L - A
\Bigl[
I + ( \widetilde B0)
- 1
l A
\Bigr]
\=zi - 1
\Bigr)
(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq al(1 + a\~b0)| | | \=zi - 1(t)| | | l\infty (\scrI ,B1).
Тогда для zi(t) получим оценку по норме
| | | zi(t)| | | l\infty (\scrI ,B1) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \scrI
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( \Bigl[ I + ( \widetilde B0)
- 1
l A
\Bigr]
\=zi
\Bigr)
(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq (1 + a\~b0)| | | \=zi(t)| | | l\infty (\scrI ,B1).
Таким образом, имеем
| | | z1(t)| | | l\infty (\scrI ,B1) \leq al(1 + a\~b0)
2| | | \=z0(t)| | | l\infty (\scrI ,B1) \leq al2(1 + a\~b0)
3| | | f(t)| | | l\infty (\scrI ,B1),
| | | z2(t)| | | l\infty (\scrI ,B1) \leq (1 + a\~b0)| | | \=z2(t)| | | l\infty (\scrI ,B1) \leq al(1 + a\~b0)
2| | | \=z1(t)| | | l\infty (\scrI ,B1) \leq
\leq (al)2(1 + a\~b0)
3| | | \=z0(t)| | | l\infty (\scrI ,B1) \leq a2l3(1 + a\~b0)
4| | | f(t)| | | l\infty (\scrI ,B2).
Продолжая этот процесс далее, по индукции получаем
| | | zi(t)| | | l\infty (\scrI ,B1) \leq aili+1(1 + a\~b0)
i+2| | | f(t)| | | l\infty (\scrI ,B2).
Из полученных оценок следует, что ряд (5) мажорируется рядом
+\infty \sum
i= - 1
\varepsilon izi(t) \leq \varepsilon - 1\~b0| | | f(t)| | | l\infty (\scrI ,B1) +
+\infty \sum
i=0
\varepsilon iaili+1(1 + a\~b0)
i+2| | | f(t)| | | l\infty (\scrI ,B2),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
758 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
в котором первый член ограничен, а ряд
+\infty \sum
i=0
\varepsilon iaili+1(1 + a\~b0)
i+2| | | f(t)| | | l\infty (\scrI ,B2)
равномерно сходится для всех \varepsilon \in (0, \varepsilon \ast ], где \varepsilon \ast <
\Bigl[
al(1 + a\~b0)
\Bigr] - 1
.
Таким образом, для слабовозмущенного операторного уравнения (1) с обобщенно-обратимым
оператором в линейной части справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть L \in \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)) и порождающее уравнение (2) (\varepsilon = 0)
при произвольной неоднородности f(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) не имеет решений.
Тогда если оператор B0 \in \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), YL) и
\scrP N(B0) = 0, \scrP YB0
\scrP YL
= 0,
то слабовозмущенное уравнение (1) при произвольной неоднородности f(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) имеет
единственное решение в виде ряда
z(t, \varepsilon ) =
+\infty \sum
i= - 1
\varepsilon izi(t),
абсолютно сходящегося при произвольных фиксированных \varepsilon \in (0, \varepsilon \ast ], а коэффициенты ряда
определяются с помощью итерационного алгоритма (18).
2. Построение семейства решений. Рассмотрим более общий случай, когда уравнение (9)
неоднозначно (\scrP N(B0) \not = 0) и не везде разрешимо (\scrP YB0
\not = 0). Тогда по теореме 1, в результате
нормальной разрешимости оператора B0, при выполнении условия (11) операторное уравнение
(9) будет иметь семейство решений
\^z - 1(t) = (\scrP N(B0)\^z)(t) + \^\=z - 1(t),
где \^z(t) — произвольный элемент банахова пространства \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1),
\^\=z - 1(t) = -
\bigl(
B -
0 \scrP YL
f
\bigr)
(t).
Подставляя \^z - 1(t) в (7), получаем решение однородного уравнения (6):
z - 1(t) = (\scrP N(L)\scrP N(B0)\^z)(t) - (\scrP N(L)\^\=z - 1)(t) = (\scrP N(L)\scrP N(B0)\^z)(t) + \=z - 1(t),
где \=z - 1(t) = - (\scrP N(L)\^\=z - 1)(t) = - (\scrP N(L)B
-
0 \scrP YL
f)(t).
Обозначив \widetilde B -
0 = - \scrP N(L)B
-
0 \scrP YL
, получим
z - 1(t) = (\scrP N(L)\scrP N(B0)\^z)(t) + ( \widetilde B -
0 f)(t).
При этом уравнение (8) по теореме 1 имеет семейство решений
z0(t) = (\scrP N(L)\^z0)(t) + F - 1(t), (21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
СЛАБОВОЗМУЩЕННЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 759
где \^z0(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) — произвольный элемент пространства \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), который будет опре-
делен на следующем шаге итерационного процесса,
F - 1(t) =
\bigl(
L - f - 1
\bigr)
(t) =
\bigl(
L - [f(\cdot ) +Az - 1(\cdot )]
\bigr)
(t) =
=
\bigl(
L - f
\bigr)
(t) +
\Bigl(
L - A
\Bigl[
(\scrP N(L)\scrP N(B0)\^z)(t) + ( \widetilde B -
0 f)
\Bigr] \Bigr)
(t) =
= \widetilde F - 1(t) + (H - 1\scrP N(B0)\^z(\cdot ))(t), (22)
L - — ограниченный обобщенно-обратный оператор к оператору L,
\widetilde F - 1(t) =
\bigl(
L - f
\bigr)
(t) +
\Bigl(
L - A \widetilde B -
0 f
\Bigr)
(t) =
\Bigl(
L - [I +A \widetilde B -
0 ]f
\Bigr)
(t),
H - 1 = L - A\scrP N(L),
\^z(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) — произвольный элемент пространства \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1).
Приравнивая коэффициенты при \varepsilon 1, получаем уравнение для определения решения z1(t)
(Lz1)(t) = f0(t), (23)
где
f0(t) = (Az0)(t) =
\bigl(
A
\bigl[
(\scrP N(L)\^z0)(\cdot ) + F - 1(\cdot )
\bigr] \bigr)
(t),
\^z0(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) — произвольный элемент, который будет определен из критерия разреши-
мости уравнения (23).
По теореме 1 уравнение (23) имеет решение тогда и только тогда, когда выполняется условие
(\scrP YL
f0)(t) = 0.
С учетом (21) будем иметь \bigl(
\scrP YL
A
\bigl[
(\scrP N(L)\^z0)(\cdot ) + F - 1(\cdot )
\bigr] \bigr)
(t) = 0. (24)
Из последнего соотношения с учетом (22) получим операторное уравнение относительно эле-
мента \^z0 \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1):
(B0\^z0) (t) = -
\Bigl(
\scrP YL
A
\Bigl[
(H - 1\scrP N(B0)\^z)(\cdot ) + \widetilde F - 1(\cdot )
\Bigr] \Bigr)
(t). (25)
По предположению оператор B0 обобщенно-обратим и, как следствие, нормально разре-
шим. В этом случае по теореме 1 операторное уравнение (25) разрешимо тогда и только тогда,
когда выполняется условие\Bigl(
\scrP YB0
\scrP YL
A
\Bigl[
(H - 1\scrP N(B0)\^z)(\cdot ) + \widetilde F - 1(\cdot )
\Bigr] \Bigr)
(t) = 0, (26)
при выполнении которого оно имеет семейство решений
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
760 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
\^z0(t) = (\scrP N(B0)\^z)(t) -
\Bigl(
B -
0 \scrP YL
A
\Bigl[
(H - 1\scrP N(B0)\^z)(\cdot ) + \widetilde F - 1(\cdot )
\Bigr] \Bigr)
(t) =
=
\bigl( \bigl[
I - B -
0 \scrP YL
AH - 1
\bigr]
\scrP N(B0)\^z
\bigr)
(t) -
\Bigl(
B -
0 \scrP YL
A \widetilde F - 1(\cdot )
\Bigr)
(t) =
=
\bigl(
D0\scrP N(B0)\^z
\bigr)
(t) + \^\=z0(t), (27)
где \^z(t) — произвольный элемент банахова пространства \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1),
D0 = I - B -
0 \scrP YL
AH - 1,
\^\=z0(t) = - (B -
0 \scrP YL
A \widetilde F - 1(\cdot ))(t).
Условие (26) будет выполнено, если \scrP YB0
\scrP YL
= 0.
Подставив (27) в (21), получим
z0(t) =
\bigl(
\scrP N(L)
\bigl[
\^\=z0(\cdot ) + (D0\scrP N(B0))\^z(\cdot )
\bigr] \bigr)
(t)+
+ \widetilde F - 1(t) + (H - 1\scrP N(B0)\^z)(t) = (X0\scrP N(B0)\^z)(t) + \=z0(t),
где
\=z0(t) = \widetilde F - 1(t) + \scrP N(L)\^\=z0 =
\Bigl( \Bigl[
I + \widetilde B -
0 A
\Bigr] \widetilde F - 1
\Bigr)
(t),
X0 = H - 1 + \scrP N(L)D0 = H - 1 + \scrP N(L)
\bigl[
I - B -
0 \scrP YL
AH - 1
\bigr]
=
= \scrP N(L) +
\Bigl[
I + \widetilde B -
0 A
\Bigr]
H - 1.
При выполнении (24) уравнение (23) по теореме 1 имеет семейство решений
z1(t) = (\scrP N(L)\^z1)(t) + F0(t), (28)
где \^z1(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) — произвольный элемент, который будет определен на следующем шаге
итерационного процесса,
F0(t) =
\bigl(
L - Az0
\bigr)
(t) =
\bigl(
L - A
\bigl[
\=z0(\cdot ) +X0\scrP N(B0)\^z(\cdot )
\bigr] \bigr)
(t) =
= \widetilde F0(t) +
\bigl(
H0\scrP N(B0)\^z(\cdot )
\bigr)
(t),
\widetilde F0(t) = L - A
\Bigl[
I + \widetilde B -
0 A
\Bigr] \widetilde F - 1(t), H0 = L - AX0.
Действуя по индукции, для определения zi(t) при \varepsilon i, i = 0,\infty , ряда (5) приходим к
операторным уравнениям
(Lzi)(t) = fi - 1(t), (29)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
СЛАБОВОЗМУЩЕННЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 761
где
fi - 1(t) =
\bigl(
A
\bigl[
\scrP N(L)\^zi - 1(\cdot ) + Fi - 2(\cdot )
\bigr] \bigr)
(t),
\^zi - 1(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) — произвольные элементы, которые будут определяться из критериев
разрешимости операторных уравнений (29).
Каждое из операторных уравнений (29), вследствие нормальной разрешимости оператора
L, будет иметь решения тогда и только тогда, когда
(\scrP YL
fi - 1)(t) =
\bigl(
\scrP YL
A
\bigl[
\scrP N(L)\^zi - 1(\cdot ) + Fi - 2(\cdot )
\bigr] \bigr)
(t) = 0
или
(B0\^zi - 1)(t) = -
\Bigl(
\scrP YL
A
\Bigl[ \widetilde Fi - 2(\cdot ) +Hi - 2\scrP N(B0)\^z(\cdot )
\Bigr] \Bigr)
(t). (30)
По предположению оператор B0 обобщенно-обратим, поэтому по теореме 1 при выполне-
нии условий \Bigl(
\scrP YB0
\scrP YL
A
\Bigl[ \widetilde Fi - 2(\cdot ) +Hi - 2\scrP N(B0)\^z(\cdot )
\Bigr] \Bigr)
(t) = 0 (31)
уравнения (30) разрешимы, и каждое из них имеет семейство решений
\^zi - 1(t) = (Di - 1\scrP N(B0)\^z)(\cdot ) + \^\=zi - 1(t),
где
Di - 1 = I - B -
0 \scrP YL
AHi - 2,
\^\=zi - 1(t) = -
\Bigl(
B -
0 \scrP YL
A \widetilde Fi - 2
\Bigr)
(t).
Условия (31) будут всегда выполняться, если \scrP YB0
\scrP YL
= 0.
Тогда уравнения (29) будут иметь общие решения
zi(t) = (Xi\scrP N(B0)\^z)(t) + \=zi(t),
где \^z(t) — произвольный элемент банахова пространства \bfl \infty (\scrI ,\bfB 1),
\=zi(t) =
\Bigl(
[I + \widetilde B -
0 A] \widetilde Fi - 1
\Bigr)
(t),
Xi = \scrP N(L) +
\Bigl[
I + \widetilde B -
0 A
\Bigr]
Hi - 1 = \scrP N(L) + \widetilde Xi,
\widetilde Xi =
\Bigl[
I + \widetilde B -
0 A
\Bigr]
Hi - 1.
Таким образом, имеем итерационный алгоритм построения семейства решений оператор-
ного уравнения (1):
zi(t) =
\bigl(
\scrP N(L)\scrP N(B0)\^z
\bigr)
(t) +
\Bigl( \widetilde Xi\scrP N(B0)\^z
\Bigr)
(t) + \=zi(t),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
762 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
\widetilde Xi =
\left\{
0, если i = - 1,\Bigl[
I + \widetilde B -
0 A
\Bigr]
L - A\scrP N(L), если i = 0,\Bigl[
I + \widetilde B -
0 A
\Bigr]
L - A \widetilde Xi - 1, если i = 1,\infty ,
\=zi(t) =
\left\{
\Bigl( \widetilde B -
0 f
\Bigr)
(t), если i = - 1,\Bigl( \Bigl[
I + \widetilde B -
0 A
\Bigr] \widetilde Fi - 1
\Bigr)
(t), если i = 0,\infty ,
(32)
\widetilde Fi - 1(t) =
\left\{
\Bigl(
L -
\Bigl[
I +A \widetilde B -
0
\Bigr]
f
\Bigr)
(t), если i = 0,\Bigl(
L - A
\Bigl[
I + \widetilde B -
0 A
\Bigr]
Fi - 2
\Bigr)
(t), если i = 1,\infty .
Отсюда следует, что при выполнении условия (11) слабовозмущенное операторное уравнение
(1) имеет семейство решений в виде ряда
z(t, \varepsilon ) =
+\infty \sum
i= - 1
\varepsilon izi(t) =
+\infty \sum
i= - 1
\varepsilon i(\scrP N(L)\scrP N(B0)\^z)(t)+
+
+\infty \sum
i=0
\varepsilon i( \widetilde Xi\scrP N(B0)\^z)(t) +
+\infty \sum
i= - 1
\varepsilon i\=zi(t). (33)
Использовав обозначения (19) и
| | | \widetilde B -
0 | | | l\infty (\scrI ,B2) =
\~b < \infty , | | | \scrP N(L)| | | l\infty (\scrI ,B1) = p < \infty , | | | \scrP N(B0)| | | l\infty (\scrI ,B1) = \~p < \infty ,
докажем равномерную сходимость ряда (33).
Очевидно, что в силу ограниченности операторов проектирования \scrP N(L) и \scrP N(B0) ряд
+\infty \sum
i= - 1
(\scrP N(L)\scrP N(B0)\^z)(t)\varepsilon
i = (\scrP N(L)\scrP N(B0)\^z)(t)
+\infty \sum
i= - 1
\varepsilon i
для \varepsilon < 1 сходится.
Далее докажем сходимость ряда
+\infty \sum
i=0
\varepsilon i( \widetilde Xi\scrP N(B0)\^z)(t). (34)
При i = 0 имеем
| | | \widetilde X0| | | l\infty (\scrI ,B1) \leq ap l(1 + a\~b).
Аналогично при i = 1 получаем
| | | \widetilde X1| | | l\infty (\scrI ,B1) \leq al(1 + a\~b)| | | \widetilde X0| | | l\infty (\scrI ,B1).
Продолжая этот процесс дальше, для операторов \widetilde Xi находим оценки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
СЛАБОВОЗМУЩЕННЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 763
| | | \widetilde Xi| | | l\infty (\scrI ,B1) \leq [al(1 + a\~b)]i| | | \widetilde X0| | | l\infty (\scrI ,B1).
Тогда для каждого t \in \scrI имеем
+\infty \sum
i=0
\varepsilon i( \widetilde Xi\scrP N(B0)\^z)(t) \leq
+\infty \sum
i=0
\varepsilon iKi
1| | | \widetilde X0| | | l\infty (\scrI ,B1)| | | \scrP N(B0)| | | l\infty (\scrI ,B1)| | | \^z(t)| | | l\infty (\scrI ,B1),
где K1 = al(1 + a\~b). Следовательно, при фиксированном \varepsilon \in (0, \varepsilon \ast ], где \varepsilon \ast < K - 1
1 , ряд (34)
равномерно сходится.
Аналогично доказывается сходимость ряда
+\infty \sum
i= - 1
\varepsilon i\=zi(t).
Для оценки \=zi(t), i = 1,\infty , получаем
| | | \=zi(t)| | | l\infty (\scrI ,B1) \leq aili+1(1 + a\~b)i+2| | | f(t)| | | l\infty (\scrI ,B1).
Тогда для каждого t \in \scrI имеем
+\infty \sum
i= - 1
\varepsilon i\=zi(t) \leq \varepsilon - 1\~b| | | f(t)| | | l\infty (\scrI ,B1) +
+\infty \sum
i=0
\varepsilon iaili+1(1 + a\~b)i+2| | | f(t)| | | l\infty (\scrI ,B1) =
= \varepsilon - 1\~b| | | f(t)| | | l\infty (\scrI ,B1) +
+\infty \sum
i=0
\varepsilon iKi
1\alpha | | | f(t)| | | l\infty (\scrI ,B1),
где \alpha = l(1 + a\~b)2.
Таким образом, для фиксированного \varepsilon \in (0, \varepsilon \ast ], где \varepsilon \ast < K - 1
1 , ряд
+\infty \sum
i= - 1
\varepsilon i\=zi(t)
равномерно сходится.
Пусть \varepsilon \ast < \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(1,K - 1
1 ), тогда ряд (33) будет равномерно сходящимся.
Теорема 3. Пусть L \in \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1), \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2)) и порождающее уравнение (2) (\varepsilon = 0)
при произвольной неоднородности f(t) \in \bfl \infty (\scrI ,\bfB 2) не имеет решений.
Тогда если оператор B0 \in \bfG \bfI (\bfl \infty (\scrI ,\bfB 1) \rightarrow YL) и
\scrP N(B0) \not = 0, \scrP YB0
\scrP YL
= 0,
то слабовозмущенное уравнение (1) при произвольной неоднородности f(t) \in \bfC (\scrI ,\bfB 1) имеет
семейство решений в виде ряда
z(t, \varepsilon ) =
+\infty \sum
i= - 1
\varepsilon izi(t),
абсолютно сходящегося при произвольных фиксированных \varepsilon \in (0, \varepsilon \ast ], а коэффициенты ряда
определяются с помощью итерационного алгоритма (32).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
764 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
Замечание 1. Если \scrP N(B0) = 0, то теорема 3 переходит в теорему 2, поскольку оператор-
ные уравнения вида (25) и т. д. на каждом шаге итерационного процесса будут n-нормальными
и по следствию 1 однозначно разрешимыми. При этом оператор B -
0 будет левым обратным
оператором (B0)
- 1
l [13].
Замечание 2. Если \scrP YB0
= 0, то операторные уравнения вида (25) на каждом шаге ите-
рационного процесса будут d-нормальными и по следствию 2 везде разрешимыми. При этом
оператор B -
0 будет правым обратным оператором (B0)
- 1
r [13].
Тогда условие
\scrP YB0
\scrP YL
= 0
будет всегда выполнено и уравнение (1) будет иметь по крайней мере одно решение в виде
ряда (5), коэффициенты которого определяются с помощью итерационного алгоритма (32), в
котором B -
0 = (B0)
- 1
r .
Замечание 3. Условие \scrP YB0
\scrP YL
= 0 является достаточным условием существования ре-
шения уравнения (1). Если это условие не выполняется, то решение уравнения (1) в виде
ряда (5) не существует. Но решение уравнения (1) может существовать в виде ряда (5), где
i = - 2, - 3, . . . .
Литература
1. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач о возмущениях в случае матриц и самосопряженных
и несамосопряженных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. – 1960. – 15, вып. 3. – C. 3 – 80.
2. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. – М.: Гостехиздат, 1950. – 472 с.
3. Бойчук А. А. Конструктивные методы анализа краевых задач. – Киев: Наук. думка, 1990. – 96 с.
4. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы краевые задачи. –
Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. – 319 с.
5. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalised inverse operators and Fredholm boundary-value problems. – Utrecht;
Boston: VSP, 2004. – 323 p.
6. Бойчук А. А., Панасенко Є. В. Слабкозбуренi крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь в банаховому
просторi // Нелiнiйнi коливання. – 2010. – 13, № 3. – C. 291 – 304.
7. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. – М.: Наука, 1971. – 104 с.
8. Boichuk A. A., Shegda L. M. Bifurcation of solutions of singular Fredholm boundary value problems // Different.
Equat. – 2011. – 47, № 4. – P. 453 – 461.
9. Головацька I. А. Слабкозбуренi системи iнтегро-диференцiальних рiвнянь // Нелiнiйнi коливання. – 2012. – 15,
№ 2. – С. 151 – 164.
10. Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. – М.: МЦНМО, 2004. – 552 с.
11. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. –
Кишинев: Штиинца, 1973. – 426 с.
12. Попов М. М. Доповнювальнi простори i деякi задачi сучасної геометрiї просторiв Банаха // Математика
сьогоднi’07. – 2007. – Вип. 13. – C. 78 – 116.
13. Zhuravlev V. F. Solvability criterion and representation of solutions of n-normal and d-normal linear operator
equations in a Banach space // Ukr. Math. J. – 2010. – 62, № 2. – P. 186 – 202.
14. Boichuk A. A., Zhuravlev V. F., Pokutnyi A. A. Normally solvable operator equations in a Banach space // Ukr. Math.
J. – 2013. – 65, № 2. – P. 179 – 192.
Получено 14.11.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1733 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:36Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/39/b4d79c8d0062a87fb898b594b426e739.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17332019-12-05T09:25:15Z Weakly perturbed operator equations in Banach spaces Слабовозмущенные операторные уравнения в банаховых пространствах Zhuravlev, V. F. Журавлев, В. Ф. Журавлев, В. Ф. We obtain the conditions of bifurcation of the solutions of weakly perturbed operator equations in Banach spaces from the point $\varepsilon = 0$ and propose a convergent iterative procedure for finding the solutions in the form of parts of the series in powers of $\varepsilon$ with pole at the point $\varepsilon = 0$. Отримано умови бiфуркацiї з точки $\varepsilon = 0 $ розв’язкiв слабкозбурених операторних рiвнянь у банахових просторах. Запропоновано збiжну iтерацiйну процедуру побудови розв’язкiв у виглядi частини ряду за ступенями $\varepsilon$ з полюсом у точцi $\varepsilon = 0$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1733 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 6 (2017); 751-764 Український математичний журнал; Том 69 № 6 (2017); 751-764 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1733/715 Copyright (c) 2017 Zhuravlev V. F. |
| spellingShingle | Zhuravlev, V. F. Журавлев, В. Ф. Журавлев, В. Ф. Weakly perturbed operator equations in Banach spaces |
| title | Weakly perturbed operator equations in Banach spaces |
| title_alt | Слабовозмущенные операторные уравнения в банаховых пространствах |
| title_full | Weakly perturbed operator equations in Banach spaces |
| title_fullStr | Weakly perturbed operator equations in Banach spaces |
| title_full_unstemmed | Weakly perturbed operator equations in Banach spaces |
| title_short | Weakly perturbed operator equations in Banach spaces |
| title_sort | weakly perturbed operator equations in banach spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1733 |
| work_keys_str_mv | AT zhuravlevvf weaklyperturbedoperatorequationsinbanachspaces AT žuravlevvf weaklyperturbedoperatorequationsinbanachspaces AT žuravlevvf weaklyperturbedoperatorequationsinbanachspaces AT zhuravlevvf slabovozmuŝennyeoperatornyeuravneniâvbanahovyhprostranstvah AT žuravlevvf slabovozmuŝennyeoperatornyeuravneniâvbanahovyhprostranstvah AT žuravlevvf slabovozmuŝennyeoperatornyeuravneniâvbanahovyhprostranstvah |