Favard – Amerio theory for almost periodic functional-differential equations without the use of $H$-classes of these equations
The Favard – Amerio theory is constructed for almost periodic functional-differential equations in a Banach space without the use of $\scr H$ -classes of these equations. For linear equations, we present the first example of an almost periodic operator, which has no analogs in the classical Favard –...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1735 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507585165131776 |
|---|---|
| author | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_facet | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_sort | Slyusarchuk, V. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:25:15Z |
| description | The Favard – Amerio theory is constructed for almost periodic functional-differential equations in a Banach space without
the use of $\scr H$ -classes of these equations. For linear equations, we present the first example of an almost periodic operator,
which has no analogs in the classical Favard – Amerio theory. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.929
В. Ю. Слюсарчук (Нац. ун-т водн. госп-ва та природокористування, Рiвне)
ТЕОРIЯ ФАВАРА – АМЕРIО ДЛЯ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНИХ
ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
БЕЗ ВИКОРИСТАННЯ \bfscrH -КЛАСIВ ЦИХ РIВНЯНЬ
The Favard – Amerio theory is constructed for almost periodic functional-differential equations in a Banach space without
the use of \scrH -classes of these equations. For linear equations, we present the first example of an almost periodic operator,
which has no analogs in the classical Favard – Amerio theory.
Построена теория Фавара – Америо для почти периодических функционально-дифференциальных уравнений в ба-
наховом пространстве без использования \scrH -классов этих уравнений. Для линейных уравнений впервые приведен
пример почти периодического оператора, для которого нет аналогов в классической теории Фавара – Америо.
1. Майже перiодичнi функцiї й оператори та основний об’єкт дослiджень. Нехай \BbbN —
множина натуральних чисел, \BbbK — поле \BbbR або \BbbC дiйсних або комплексних чисел вiдповiдно i
E — довiльний банаховий простiр над полем \BbbK з нормою \| \cdot \| E . Позначимо через C0 банаховий
простiр обмежених i неперервних на \BbbR функцiй x = x(t) зi значеннями в E з нормою
\| x\| C0 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR
\| x(t)\| E ,
а через Cn, n \in \BbbN , банаховий простiр функцiй x \in C0, для кожної з яких
dx
dt
, . . . ,
dnx
dtn
\in C0,
з нормою
\| x\| Cn = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\| x\| C0 ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dxdt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
C0
, . . . ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dnxdtn
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
C0
\biggr\}
.
У просторах C0, C1, . . . , Cn визначимо оператор зсуву Sh, h \in \BbbR , за допомогою спiввiд-
ношення
(Shx)(t) = x(t+ h), t \in \BbbR . (1)
Означення 1. Елемент y \in Cn, де n \in \BbbN \cup \{ 0\} , називається майже перiодичним (за
Бохнером, див. [1 – 3]), якщо замикання множини \{ Shy : h \in \BbbR \} у просторi Cn є компактною
пiдмножиною цього простору, тобто з кожної послiдовностi (Shny)n\geq 1 можна видiлити
збiжну в Cn пiдпослiдовнiсть.
Множини майже перiодичних елементiв просторiв C0, C1, . . . , Cn є пiдпросторами цих
просторiв вiдповiдно з нормами \| \cdot \| C0 , \| \cdot \| C1 , . . . , \| \cdot \| Cn . Цi пiдпростори будемо позначати
через B0, B1, . . . , Bn вiдповiдно.
Нехай BCn [a, r] — замкнена куля в Cn з центром у точцi a \in Cn i радiусом r, тобто
множина \{ x \in Cn : \| x - a\| Cn \leq r\} .
Означення 2. Оператор H : Cn \rightarrow Cm, де n,m \in \BbbN \cup \{ 0\} , називається майже перiо-
дичним, якщо для кожних елемента a \in Cn, числа r \in (0,+\infty ) i послiдовностi (hk)k\geq 1 дiйсних
чисел iснує така пiдпослiдовнiсть (hkl)l\geq 1, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
l1\rightarrow \infty , l2\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in BCn [a,r]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| Shl1
HS - hl1
x - Shl2
HS - hl2
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Cm
= 0.
c\bigcirc В. Ю. СЛЮСАРЧУК, 2017
788 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ТЕОРIЯ ФАВАРА – АМЕРIО ДЛЯ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНИХ . . . 789
Це означення у випадку лiнiйного майже перiодичного оператора H рiвносильне озна-
ченню, що використовувалося Е. Мухамадiєвим [4] при дослiдженнi оборотностi лiнiйних
функцiональних операторiв у просторi C0.
Означення 3. Оператор H : Cn \rightarrow Cm, де n,m \in \BbbN \cup \{ 0\} , називається автономним,
якщо для всiх h \in \BbbR
ShHS - h = H.
Очевидно, що автономний оператор є майже перiодичним у сенсi означення 2.
Нехай \scrK — множина всiх непорожнiх компактних пiдмножин K \subset E i R(x) — мно-
жина значень функцiї x = x(t), тобто множина \{ x(t) : t \in \BbbR \} . Для компактних множин
K0,K1, . . . ,Kn \in \scrK позначимо через \frakD K0,K1,...,Kn множину всiх елементiв x \in Cn, для кож-
ного з яких
R(x) \subset K0, R
\biggl(
dx
dt
\biggr)
\subset K1, . . . , R
\biggl(
dnx
dtn
\biggr)
\subset Kn.
Зручним для подальшого є наступне означення майже перiодичного оператора, вперше
наведене автором у випадку дискретних рiвнянь [5].
Означення 4. Оператор H : Cn \rightarrow Cm, де n,m \in \BbbN \cup \{ 0\} , називається майже перiо-
дичним, якщо для кожних множин K0,K1, . . . ,Kn \in \scrK i послiдовностi (hk)k\geq 1 дiйсних чисел
iснує пiдпослiдовнiсть (hkl)l\geq 1, для якої
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
l1\rightarrow \infty , l2\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \frakD K0,K1,...,Kn
\bigm\| \bigm\| \bigm\| Shkl1
HS - hkl1
x - Shkl2
HS - hkl2
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
Cm
= 0.
Зауважимо, що майже перiодичний у сенсi означення 4 оператор H може не бути майже
перiодичним у сенсi означення 2 (вiдповiдний приклад наведено в п. 5).
Розглянемо функцiонально-диференцiальне рiвняння
\frakF x = y, (2)
де \frakF : Cn \rightarrow C0 — майже перiодичний у сенсi означення 4 оператор i y \in B0.
Основним об’єктом дослiджень у статтi є умови майже перiодичностi обмежених неперерв-
них розв’язкiв рiвняння (2), що не використовують елементiв \scrH -класу цього рiвняння.
Очевидно, що окремими випадками рiвняння (2) є звичайнi диференцiальнi рiвняння, лiнiй-
нi i нелiнiйнi функцiонально-диференцiальнi рiвняння загаювального, нейтрального i виперед-
жувального типiв (див. класифiкацiю рiвнянь, наприклад, у [6]), а також рiвняння загального
типу з вiдхильним аргументом, що залежить як вiд часу, так i вiд розв’язку.
При дослiдженнi рiвняння (2) будемо використовувати один функцiонал, визначений на
множинi розв’язкiв цього рiвняння, що є елементами множини
Sn =
\bigcup
K0,K1,...,Kn\in \scrK
\frakD K0,K1,...,Kn . (3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
790 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
2. Функцiонал \bfitdelta . Зафiксуємо множини K0,K1, . . . ,Kn \in \scrK . Позначимо через N(\frakF ,K0,
K1, . . . ,Kn) множину всiх розв’язкiв рiвняння (2), для кожного з яких
R(x) \subset K0, R
\biggl(
dx
dt
\biggr)
\subset K1, . . . , R
\biggl(
dnx
dtn
\biggr)
\subset Kn.
Припустимо, що
N(\frakF ,K0,K1, . . . ,Kn) \not = \varnothing .
Розглянемо елемент x\ast \in N(\frakF ,K0,K1, . . . ,Kn), для якого дiаметр \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}R (x\ast ) множини
R (x\ast ) , тобто число \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| x1 - x2\| E : x1, x2 \in R (x\ast )\} , не дорiвнює 0. Також розглянемо
додатне число
r(x\ast ,K0,K1, . . . ,Kn) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
l\in \{ 0,1,...,n\}
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\biggl\{
\| xl - yl\| E : xl \in R
\biggl(
dlx\ast
dtl
\biggr)
, yl \in Kl
\biggr\}
,
де
d0x\ast
dt0
= x\ast . Зафiксуємо довiльне число \varepsilon \in (0, r(x\ast ,K0,K1, . . . ,Kn)].
Позначимо через \Omega (x\ast ,K0,K1, . . . ,Kn, \varepsilon ) множину всiх елементiв z \in Cn, для кожного з
яких
R(z) \subset K0, R
\biggl(
dz
dt
\biggr)
\subset K1, . . . , R
\biggl(
dnz
dtn
\biggr)
\subset Kn
i
\| z - x\ast \| Cn \geq \varepsilon .
Розглянемо функцiонал
\delta (x\ast ,K0,K1, . . . ,Kn, \varepsilon ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
z\in \Omega (x\ast ,K0,K1,...,Kn,\varepsilon )
\| \frakF z - \frakF x\ast \| C0 . (4)
Тут \frakF x\ast можна замiнити на y, де y — права частина рiвняння (2).
Використаємо функцiонал \delta для дослiдження рiвняння (2).
3. Основний результат. Наведемо умови iснування майже перiодичних розв’язкiв рiвнян-
ня (2), що на вiдмiну вiд теореми Амерiо про майже перiодичнi розв’язки нелiнiйних дифе-
ренцiальних рiвнянь [3, 7] не використовують \scrH -клас рiвняння (2) та умову вiдокремленостi
розв’язкiв рiвнянь \scrH -класу цього рiвняння.
Теорема 1. Нехай K0,K1, . . . ,Kn \in \scrK , x\ast \in N(\frakF ,K0,K1, . . . ,Kn), \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}R (x\ast ) \not = 0 i
\delta (x\ast ,K0,K1, . . . ,Kn, \varepsilon ) > 0 (5)
для кожного \varepsilon \in (0, r(x\ast ,K0,K1, . . . ,Kn)). Тодi x\ast належить Bn.
Зауваження 1. Розв’язок x\ast \in N(\frakF ,K0,K1, . . . ,Kn) рiвняння (2), для якого \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}R (x\ast ) =
= 0, очевидно, майже перiодичний.
Доведення. Припустимо, що розв’язок x\ast \in N(\frakF ,K0,K1, . . . ,Kn) рiвняння (2) не є еле-
ментом простору Bn. Тодi iснує послiдовнiсть
\bigl(
Shpx
\ast \bigr)
p\geq 1
, для якої кожна пiдпослiдовнiсть\bigl(
Skpx
\ast \bigr)
p\geq 1
буде розбiжною в Cn. Отже,\bigm\| \bigm\| Skprx\ast - Skqrx
\ast \bigm\| \bigm\|
Cn \geq \gamma , r \geq 1,
для деяких послiдовностей (pr)r\geq 1, (qr)r\geq 1 натуральних чисел i числа \gamma \in (0, \rho ), де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ТЕОРIЯ ФАВАРА – АМЕРIО ДЛЯ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНИХ . . . 791
\rho = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}
n\bigcup
k=0
R
\biggl(
dkx\ast
dtk
\biggr)
.
Тому
S - kprSkqrx
\ast \in \Omega (x\ast ,K0,K1, . . . ,Kn, \gamma ), r \geq 1.
Не обмежуючи загальностi доведення можна вважати, що на пiдставi включення y \in B0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow \infty
\bigm\| \bigm\| S - kpr y - S - kqr y
\bigm\| \bigm\|
C0 = 0. (6)
Зауважимо, що \rho \leq r(x\ast ,K0,K1, . . . ,Kn). Також можна вважати, що послiдовнiсть
(Skp\frakF S - kpx)p\geq 1 збiгається рiвномiрно по x на \frakD K0,K1,...,Kn . Тому
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
p,q\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \frakD K0,K1,...,Kn
\bigm\| \bigm\| Skp\frakF S - kpx - Skq\frakF S - kqx
\bigm\| \bigm\|
C0 = 0. (7)
Покажемо, що
\delta (x\ast ,K0,K1, . . . ,Kn, \gamma ) = 0. (8)
Очевидно, що на пiдставi (4) i (7)
\delta (x\ast ,K0,K1, . . . ,Kn, \gamma ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
z\in \Omega (x\ast ,K0,K1,...,Kn,\gamma )
\| \frakF z - \frakF x\ast \| C0 \leq
\leq
\bigm\| \bigm\| \frakF S - kprSkqrx
\ast - \frakF x\ast
\bigm\| \bigm\|
C0 , r \geq 1. (9)
Оскiльки \bigm\| \bigm\| \frakF S - kprSkqrx
\ast - \frakF x\ast
\bigm\| \bigm\|
C0 =
=
\bigm\| \bigm\| S - kpr
\bigl(
Skpr\frakF S - kpr
\bigr)
Skqrx
\ast - S - kqr
\bigl(
Skqr\frakF S - kqr
\bigr)
Skqrx
\ast \bigm\| \bigm\|
C0 \leq
\leq
\bigm\| \bigm\| S - kpr
\bigl(
Skpr\frakF S - kpr
\bigr)
Skqrx
\ast - S - kpr
\bigl(
Skqr\frakF S - kqr
\bigr)
Skqrx
\ast \bigm\| \bigm\|
C0 +
+
\bigm\| \bigm\| S - kpr
\bigl(
Skqr\frakF S - kqr
\bigr)
Skqrx
\ast - S - kqr
\bigl(
Skqr\frakF S - kqr
\bigr)
Skqrx
\ast \bigm\| \bigm\|
C0 =
=
\bigm\| \bigm\| \bigl( Skpr\frakF S - kpr
\bigr)
Skqrx
\ast -
\bigl(
Skqr\frakF S - kqr
\bigr)
Skqrx
\ast \bigm\| \bigm\|
C0 +
\bigm\| \bigm\| S - kprSkqr y - S - kqrSkqr y
\bigm\| \bigm\|
C0 \leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \frakD K0,K1,...,Kn
\bigm\| \bigm\| Skpr\frakF S - kprx - Skqr\frakF S - kqrx
\bigm\| \bigm\|
C0 +
\bigm\| \bigm\| S - kpr y - S - kqr y
\bigm\| \bigm\|
C0 , r \geq 1,
то на пiдставi (6), (7) i (9) справджується рiвнiсть (8). Це суперечить спiввiдношенню (5). Отже,
припущення, що розв’язок x\ast \in N(\frakF ,K0,K1, . . . ,Kn) рiвняння (2) не є елементом простору
B0, хибне.
Теорему 1 доведено.
Зауваження 2. Вимога виконання спiввiдношення (5) є суттєвою. У випадку її невиконан-
ня обмеженi розв’язки рiвняння (2) можуть не бути майже перiодичними. Також ця вимога не
є необхiдною для майже перiодичностi розв’язкiв рiвняння (2), що пiдтверджується наступним
прикладом.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
792 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Приклад 1. Розглянемо простори C0 i C1 у випадку E = \BbbR та рiвняння
\scrG x = 0, (10)
де \scrG : C1 \rightarrow C0 — майже перiодичне у сенсi означення 4 вiдображення i 0 — нульовий
елемент простору C0. Припустимо, що також \scrG y = 0, якщо \| y\| C1 \leq 1. Множина та-
ких вiдображень є непорожньою множиною. Елементом цiєї множини є вiдображення \scrH :
C1 \rightarrow C0, що визначається спiвiдношенням
(\scrH x) (t) = H
\biggl(
x(t),
dx(t - 1)
dt
\biggr)
, t \in \BbbR ,
де H : \BbbR 2 \rightarrow \BbbR — неперервна функцiя, для якої H(x, y) = 0, якщо | x| \leq 1 i | y| \leq 1.
Очевидно, що кожна диференцiйовна на \BbbR функцiя x\ast = x\ast (t), для якої R(x\ast ) \subset [ - 1/4, 1/4]
i R (dx\ast /dt) \subset [ - 1/4, 1/4] (ця функцiя може бути елементом множини C1 \setminus B1 або множини
B1), є розв’язком рiвняння (10) i
\delta (x\ast ,K0,K1, \varepsilon ) = 0
для всiх \varepsilon \in (0, r(x\ast ,K0,K1)), де K0 = K1 = [ - 1/2, 1/2] .
4. Випадок лiнiйних рiвнянь. Застосуємо теорему 1 для дослiдження лiнiйних майже
перiодичних функцiонально-диференцiальних рiвнянь.
Позначимо через L(Ck, C l), де k, l \in \BbbN \cup \{ 0\} , банаховий простiр усiх лiнiйних неперервних
операторiв A : Ck \rightarrow C l з нормою
\| A\| L(Ck,Cl) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\|
Ck=1
\| Ax\| Cl .
Розглянемо лiнiйний неперервний i майже перiодичний у сенсi означення 4 оператор \scrL :
Cn \rightarrow C0, що визначається за допомогою рiвностi
\scrL x =
m\sum
k=0
Ak
dkx
dtk
.
Тут Ak : C0 \rightarrow C0, k = 0,m, — лiнiйнi неперервнi та майже перiодичнi у сенсi означення 4
оператори. Також розглянемо лiнiйне рiвняння
\scrL x = h, (11)
де h \in B0. Очевидно, що це рiвняння є окремим випадком рiвняння (2).
На пiдставi теореми 1 справджується наступне твердження.
Теорема 2. Нехай K0,K1, . . . ,Kn належать \scrK . Якщо функцiонально-диференцiальне рiв-
няння (11) має розв’язок x\ast \in N(\scrL ,K0,K1, . . . ,Kn) i виконується спiввiдношення
\delta (x\ast ,K0,K1, . . . ,Kn, \varepsilon ) > 0 (12)
для кожного \varepsilon \in (0, r(x\ast ,K0,K1, . . . ,Kn)), то цей розв’язок є майже перiодичним.
Окремим випадком теореми 2 є наступне твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ТЕОРIЯ ФАВАРА – АМЕРIО ДЛЯ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНИХ . . . 793
Теорема 3. Якщо функцiонально-диференцiальне рiвняння (11) має розв’язок x\ast \in Sn i
виконується спiввiдношення
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
x\in Sn,\| x\| Cn=1
\| \scrL x\| C0 > 0, (13)
то цей розв’язок є майже перiодичним.
Справдi, нехай K0,K1, . . . ,Kn \in \scrK i x\ast \in N(\scrL ,K0,K1, . . . ,Kn). Завдяки (13) та лiнiйностi
оператора \scrL
\delta (x\ast ,K0,K1, . . . ,Kn, \varepsilon ) > 0
для кожного \varepsilon > 0. Тому на пiдставi теореми 2 розв’язок x\ast рiвняння (11) є майже перiодичним.
Зауваження 3. У теоремах 2 i 3 оператор \scrL може не бути майже перiодичним у сенсi
означення 2.
Зауваження 4. Множина необоротних лiнiйних неперервних i майже перiодичних у сенсi
означення 4 операторiв \scrL : Cn \rightarrow C0, що задовольняють спiввiдношення (13), не є порожньою
множиною.
5. Приклад лiнiйного необоротного майже перiодичного у сенсi означення 4 оператора,
що задовольняє спiввiдношення (13) при \bfitn = \bfone . Будемо вважати, що E є банаховим прос-
тором l1 числових послiдовностей a = (a1, a2, . . . , ak, . . .) над полем \BbbK , для кожної з яких\sum \infty
k=1
| ak| <\infty , з нормою
\| a\| l1 =
\infty \sum
k=1
| ak| .
Покажемо, що iснує майже перiодичний у сенсi означення 4 лiнiйний неперервний оператор
\scrL : Cn \rightarrow C0, що не є майже перiодичним у сенсi означення 2, для нього виконується спiввiд-
ношення (13) при n = 1 i \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} \scrL \not = \{ 0\} (тодi оператор \scrL не буде мати неперервного оберненого).
Побудову оператора \scrL виконаємо у пп. 5.1 – 5.5.
5.1. Пiдпростiр S\bfzero . Очевидно, що x + y, \alpha x \in S0, якщо x, y \in S0 i \alpha \in \BbbK (тут
S0 — множина, що визначена за допомогою (3) при n = 0). Тому S0 — векторний простiр. Цей
простiр, очевидно, також є нормованим простором з нормою \| \cdot \| C0 .
Покажемо, що простiр S0 є повним, тобто замикання множини значень кожного елемента
множини S0 — компактна множина.
Нехай z \in S0 i \varepsilon — довiльне додатне число. Iснує елемент w \in S0, для якого
\| z - w\| C0 <
\varepsilon
2
,
i тому
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Bigl\{
\| a - b\| l1 : a \in R(z), b \in R(w)
\Bigr\}
<
\varepsilon
2
. (14)
Нехай M — скiнченна
\varepsilon
2
-сiтка [8] для компактної множини R(w). Тодi на пiдставi (14) множина
M буде скiнченною \varepsilon -сiткою для множини R(z).
Отже, завдяки довiльностi вибору числа \varepsilon > 0 множина R(z) компактна i S0 — пiдпростiр
банахового простору C0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
794 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
5.2. Пiдпростiр \bfs \bfp \bfa \bfn (\bfitY ). Використаємо елементи
xk = (\delta k1, \delta k2, \delta k3, . . .), k \in \BbbN ,
простору l1, де \delta kl — символ Кронекера. Очевидно, що для довiльних чисел p \in \BbbN , \beta 1, . . . , \beta p \in
\in \BbbK i k1, . . . , kp \in \BbbN (ki \not = kj , якщо i \not = j )\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p\sum
l=1
\beta lxkl
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
l1
=
p\sum
l=1
| \beta l| . (15)
Розглянемо попарно неперетиннi промiжки I1 = ( - \infty , 1) i Ik = [ak - 1, ak), k \geq 2, де
ak =
k\sum
l=m
1
m
,
об’єднання яких, очевидно, збiгається з \BbbR .
Визначимо функцiю y : \BbbR \rightarrow l1 рiвнiстю
y =
\sum
n\in \BbbN
\omega n(t)xn, (16)
де
\omega 1(t) =
\left\{
1, якщо t < 0,
1 - t, якщо t \in [0, 1),
0, якщо t \geq 1,
i
\omega n(t) =
\left\{
0, якщо t < an - 1,
n2(t - an - 1), якщо an - 1 \leq t < an - 1 + n - 2,
1, якщо an - 1 + n - 2 \leq t < an - n - 2,
- n2(t - an), якщо an - n - 2 \leq t < an,
0, якщо t \geq an,
n \geq 2. (17)
Очевидно, що ця функцiя є елементом простору C0.
Розглянемо множину Y = \{ Shy : h \in \BbbR \} , де Sh — оператор зсуву, що визначається форму-
лою (1), i лiнiйну оболонку \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n} (Y ) цiєї множини, тобто сукупнiсть усiх елементiв
u =
p\sum
l=1
\beta lShl
y,
де p \in \BbbN , \beta 1, . . . \beta p \in \BbbC i h1, . . . hp \in \BbbR (вважається, що hp > hp - 1 > . . . > h1, якщо p > 1).
Очевидно, що \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n} (Y ) — мiнiмальний векторний пiдпростiр простору C0, що мiстить Y. Цей
простiр є нормованим простором з нормою \| \cdot \| C0 .
Корисним для подальшого є наступне твердження.
Лема. Нехай u =
\sum p
l=1
\beta lShl
y — довiльний ненульовий елемент простору \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n} (Y ) (тут
p \in \BbbN , \beta 1, . . . , \beta p \in \BbbK , h1, . . . , hp \in \BbbR i hi \not = hj , якщо i \not = j ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ТЕОРIЯ ФАВАРА – АМЕРIО ДЛЯ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНИХ . . . 795
Тодi:
1) для кожного числа \varepsilon > 0 iснують такi число \tau \varepsilon i множина M\varepsilon \subset [\tau \varepsilon ,+\infty ), мiра Лебега
\mu (M\varepsilon ) якої менша за \varepsilon , що виконується спiввiдношення\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Biggl(
p\sum
l=1
\beta lShl
y
\Biggr)
(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
l1
=
p\sum
l=1
| \beta l| (18)
для всiх t \in [\tau \varepsilon ,+\infty ) \setminus M\varepsilon ;
2) замикання множини значень елемента u = u(t) у просторi l1 не є компактною множи-
ною в цьому просторi.
Доведення. Зауважимо, що
u(t) =
\Biggl(
p\sum
l=1
\beta lShl
y
\Biggr)
(t) =
p\sum
l=1
\beta ly(t+ hl) (19)
для всiх t \in \BbbR . Iз означень функцiй y = y(t) i \omega n(t), n \geq 2 (див. (16) i (17)), та вимог
до чисел h1, . . . , hp випливає, що для кожного числа \varepsilon > 0 iснують такi достатньо вели-
ке число \tau \varepsilon i множина M\varepsilon \subset [\tau \varepsilon ,+\infty ), мiра Лебега \mu (M\varepsilon ) якої менша за \varepsilon , що кожному
t \in [\tau \varepsilon ,+\infty ) \setminus M\varepsilon вiдповiдають елементи x1,t, . . . , xp,t \in \{ x1, x2, . . . , xk, . . .\} , що попарно не
збiгаються мiж собою, для яких
y(t+ hl) = xl,t, l = 1, p. (20)
Тому на пiдставi (15), (19) i (20) виконується спiввiдношення (18) для всiх t \in [\tau \varepsilon ,+\infty ) \setminus M\varepsilon ,
тобто перше твердження леми доведено.
Для доведення другого твердження леми розглянемо довiльну зростаючу послiдовнiсть
(tn)n\geq 1 елементiв множини [\tau \varepsilon ,+\infty ) \setminus M\varepsilon (тут \varepsilon — число, що розглядалось при обґрунтуваннi
першого твердження леми), для якої
tn+1 - tn > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i \not =j
| hi - hj | , n \geq 1.
Тодi буде виконуватися спiввiдношення
\{ x1,ti , . . . , xp,ti\} \cap \{ x1,tj , . . . , xp,tj\} = \varnothing ,
якщо i \not = j, i \geqslant n, j \geqslant n i число n є достатньо великим. Тому для довiльних достатньо великих
натуральних чисел i i j (i \not = j ) для ненульового елемента u = u(t) виконується спiввiдношення
\| u(ti) - u(tj)\| l1 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p\sum
l=1
\beta ly(ti + hl) -
p\sum
l=1
\beta ly(tj + hl)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
l1
=
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p\sum
l=1
\beta lxl,ti -
p\sum
l=1
\beta lxl,tj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
l1
= 2
p\sum
l=1
| \beta l| > 0.
Звiдси випливає, що замикання множини значень елемента u = u(t) у просторi l1 не є ком-
пактною множиною.
Лему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
796 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Таким чином, на пiдставi леми замикання множини значень кожного ненульового елемента
u =
\sum p
l=1
\beta lShl
y \in \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n} (Y ) не є компактною множиною, тобто u \not \in S0, якщо u \not = 0.
Далi покажемо, що всi елементи множини \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n} (Y ) мають аналогiчнi властивостi.
Нехай z \in \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n} (Y ) i (zk)k\geq 1 — послiдовнiсть елементiв iз \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n} (Y ), для якої
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\| zk - z\| C0 = 0. (21)
Оскiльки для кожного k \geq 1 iснують такi числа pk \in \BbbN , \delta 1,k, . . . , \delta pk,k \in \BbbR i h1,k, . . . , hpk,k \in \BbbR
(hi,k \not = hj,k, якщо i \not = j ), що елемент zk = zk(t) має вигляд
zk(t) =
pk\sum
l=1
\delta l,ky(t+ hl,k),
то на пiдставi леми
\| zk\| C0 =
pk\sum
l=1
| \delta l,k| , k \geq 1.
Аналогiчно, як i при доведеннi другого твердження леми, для кожного k \geq 1 iснує зростаюча
послiдовнiсть (tk,n)n\geq 1, для якої \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty tk,n = +\infty , така, що
\| zk(tk,i) - zk(tk,j)\| l1 \geq 2\| zk\| C0
для всiх натуральних чисел i i j, що не збiгаються мiж собою. Iз цих нерiвностей випливає,
що
\| z(tk,i) - z(tk,j)\| l1 \geq \| zk(tk,i) - zk(tk,j)\| l1 - \| (z(tk,i) - zk(tk,i)) - (z(tk,j) - zk(tk,j))\| l1 \geq
\geq \| zk(tk,i) - zk(tk,j)\| l1 - \| z(tk,i) - zk(tk,i)\| l1 - \| z(tk,j) - zk(tk,j)\| l1 \geq
\geq 2\| zk\| C0 - 2\| z - zk\| C0 , k \geq 1, i \not = j.
Звiдси та з включення z \in \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n} (Y ) на пiдставi (21) отримуємо, що для деякого числа \gamma > 0 i
достатньо великого натурального числа k0
\| z(tk0,i) - z(tk0,j)\| l1 \geq \gamma , i \not = j,
що означає некомпактнiсть множини R(z) у просторi l1.
Отже, \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n} (Y ) — пiдпростiр банахового простору C0.
5.3. Оператор \bfitL \bfone . Побудуємо майже перiодичний у сенсi означення 4 лiнiйний неперерв-
ний оператор L1 : C0 \rightarrow C0, для якого \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}L1 \not = \{ 0\} i виконується спiввiдношення (13) при
n = 0, що не є майже перiодичним у сенсi означення 2.
Спочатку покажемо, що для кожного елемента z = z(t) простору \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n} (Y ) iснує границя
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow - \infty z(t) i для деякого числа \alpha \in \BbbK , що залежить вiд z,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow - \infty
z(t) = \alpha x1. (22)
Очевидно, що на пiдставi (16) i (19) для кожного елемента u = u(t) \in \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n} (Y ) iснує
границя
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ТЕОРIЯ ФАВАРА – АМЕРIО ДЛЯ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНИХ . . . 797
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow - \infty
u(t) =
\Biggl(
p\sum
l=1
\beta l
\Biggr)
x1.
Нехай (zk)k\geq 1 — послiдовнiсть елементiв простору \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n} (Y ), для якої
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\| zk - z\| C0 = 0, (23)
i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow - \infty
zk(t) = \alpha kx1, (24)
де \alpha k \in \BbbK . Припустимо, що послiдовнiсть (\alpha k)k\geq 1 є збiжною (ця вимога не зменшує загаль-
нiсть доведення), тобто для деякого числа \alpha \in \BbbK
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\alpha k = \alpha . (25)
Очевидно, що для всiх t \in \BbbR i k \geq 1
z(t) = (z(t) - zk(t)) + (zk(t) - \alpha kx1) + (\alpha ka - \alpha x1) + \alpha x1.
Тому
\| z(t) - \alpha x1\| l1 \leq \| z(t) - zk(t)\| l1 + \| zk(t) - \alpha kx1\| l1 + \| \alpha kx1 - \alpha x1\| l1 , t \in \BbbR , k \geq 1.
Звiдси та з (24) випливає, що
0 \leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow - \infty
\| z(t) - \alpha x1\| l1 \leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow - \infty
\| z(t) - zk(t)\| l1+
+ \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow - \infty
\| zk(t) - \alpha kx1\| l1 + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow - \infty
\| \alpha kx1 - \alpha x1\| l1 \leq \| z - zk\| C0 + \| (\alpha k - \alpha )x1\| l1 .
Оскiльки цi спiввiдношення виконуються для всiх k \geq 1, то на пiдставi (23) i (25) виконується
спiввiдношення (22).
Розглянемо пiдпростiр X = S0 \oplus \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n} (Y ) простору C0. Зазначимо, що кожний елемент
x \in X єдиним чином зображується у виглядi x = u + v, де u \in S0 i v \in \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n} (Y ). Дiйсно,
якщо iснують два такi зображення
x = u1 + v1, x = u2 + v2 (u1, u2 \in S0, v1, v2 \in \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n} (Y )),
то u1 + v1 = u2 + v2 i, отже, при u1 = u2 отримуємо v1 = v2, а при u1 \not = u2 буде u1 -
- u2 = v2 - v1, що суперечить тому, що u1 - u2 \in S0, оскiльки v2 - v1 \in \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n} (Y ) \setminus \{ 0\} i
S0 \cap
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n} (Y ) \setminus \{ 0\}
\Bigr)
= \varnothing .
Також розглянемо пiдпростiр \scrY = \{ kx1 : k \in \BbbK \} простору l1. Використаємо лiнiйний
неперервний функцiонал \psi : \scrY \rightarrow \BbbK , що визначається рiвнiстю
\psi (kx1) = k.
Очевидно, що \| \psi \| = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
798 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Далi розглянемо лiнiйний функцiонал \varphi : X \rightarrow \BbbC , для якого \| \varphi \| = 1 i який кожному
елементу x = u+ v (u \in S0, v \in \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n} (Y )) ставить у вiдповiднiсть число
\varphi (x) = \varphi (u) + \varphi (v),
де
\varphi (u) = 0
i
\varphi (v) = \psi
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow - \infty
v(t)
\biggr)
.
На пiдставi теореми Сухомлiнова про продовження лiнiйного неперервного функцiонала
в комплексному просторi [9] iснує лiнiйний неперервний функцiонал l : C0 \rightarrow \BbbK , для якого
l(x) = \varphi (x) для всiх x \in X i \| l\| = \| \varphi \| .
Тепер перейдемо до побудови оператора L1. Визначимо лiнiйний неперервний оператор C :
C0 \rightarrow C0 за допомогою формули
Cx = l(x)y, x \in C0. (26)
Покажемо, що цей оператор майже перiодичний у сенсi означення 4 i не є майже перiодич-
ним у сенсi означення 2.
На пiдставi (26)
ShCS - hx = l(S - hx)Shy, h \in \BbbR , (27)
для всiх x \in C0 i
l(S - hx) = 0, h \in \BbbR ,
для всiх x \in S0. Тому для кожної компактної множини K \subset E замикання множини \{ ShCS - hx :
h \in \BbbR , x \in \frakD K\} у просторi C0 компактне в C0, оскiльки ця множина збiгається з \{ 0\} . Отже,
оператор C є майже перiодичним у сенсi означення 4. Однак замикання множини \{ ShCS - h :
h \in \BbbR \} у просторi L(C0, C0) не є компактним в L(C0, C0). Справдi, завдяки (26) i (27) для
елемента y, що визначається за допомогою (16), виконується спiввiдношення
ShCS - hy = Shy, h \in \BbbR ,
i тому
\{ ShCS - h : h \in \BbbR \} y = \{ Shy : h \in \BbbR \} . (28)
Якщо оператор C майже перiодичний у сенсi означення 2, тобто множина \{ ShCS - h : h \in \BbbR \}
передкомпактна у просторi L(C0, C0), то також передкомпактною в C0 є множина \{ ShCS - h :
h \in \BbbR \} y. На пiдставi рiвностi (28) передкомпактною в просторi C0 має бути i множина \{ Shy :
h \in \BbbR \} . Однак множина \{ Shy : h \in \BbbR \} не надiлена такою властивiстю, оскiльки елемент y не
є майже перiодичним.
Оператор L1 : C0 \rightarrow C0 визначимо за допомогою формули
L1x = Ix - Cx, x \in C0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ТЕОРIЯ ФАВАРА – АМЕРIО ДЛЯ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНИХ . . . 799
де I : C0 \rightarrow C0 — одиничний оператор. Оператор I є автономним i, отже, майже перiодичним
у сенсi означення 2. Оскiльки оператор C : C0 \rightarrow C0 майже перiодичний у сенсi означення 4 i
не є майже перiодичним у сенсi означення 2, то аналогiчну властивiсть має й оператор L1.
Оскiльки L1x = Ix для всiх x \in S0, то для L1 виконується спiввiдношення (13) при n = 0.
Iз спiввiдношень Cy = y i L1y = Iy - Cy = y - y = 0 отримуємо, що \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}L1 \not = \{ 0\} .
Отже, побудову оператора L1 з потрiбними властивостями завершено.
5.4. Оператор \bfitL \bftwo . Розглянемо лiнiйний неперервний оператор L2 : C1 \rightarrow C0, що ви-
значається спiввiдношенням
(L2x)(t) =
dx(t)
dt
+ x(t), t \in \BbbR .
Легко перевiрити, що:
1) оператор L2 має неперервний обернений
\bigl(
L - 1
2 z
\bigr)
(t) =
0\int
- \infty
esz(t+ s) ds, t \in \BbbR ;
2) оператори L2 i L - 1
2 автономнi i, отже, майже перiодичнi в сенсi означення 2;
3) L2x \in S0 для всiх x \in S1;
4) L - 1
2 z \in S1 для всiх z \in S0.
5.5. Оператор \bfscrL . Визначимо оператор \scrL : C1 \rightarrow C0 за допомогою рiвностi
\scrL x = L1L2x,
де x \in C1. Очевидно, що для всiх x \in S1
\scrL x = L2x. (29)
Тому на пiдставi властивостей оператора L2 оператор \scrL є майже перiодичним у сенсi означен-
ня 4 при n = 1 i m = 0. Однак оператор \scrL не є майже перiодичним у сенсi означення 2 при тих
самих n i m, оскiльки замикання множини \{ Sh\scrL S - h : h \in \BbbR \} в L(C1, C0) не є компактним в
L(C1, C0). Щоб переконатися в цьому, достатньо показати, що не компактним в C0 є замикання
множини \{ Sh\scrL S - hu
\ast : h \in \BbbR \} в C0, де u\ast = L - 1
2 y i y — елемент простору C0, визначений
рiвнiстю (16). Оскiльки завдяки рiвностi \scrL = L1L2 та автономностi оператора L2
\{ Sh\scrL S - hu
\ast : h \in \BbbR \} = \{ ShL1L2S - hu
\ast : h \in \BbbR \} =
= \{ ShL1S - hShL2S - hu
\ast : h \in \BbbR \} = \{ ShL1S - hL2u
\ast : h \in \BbbR \} =
= \{ ShL1S - hy : h \in \BbbR \} = \{ Sh(I - C)S - hy : h \in \BbbR \} =
= \{ (I - ShCS - h)y : h \in \BbbR \} = \{ y - ShCS - hy : h \in \BbbR \}
i замикання множини \{ ShCS - hy : h \in \BbbR \} у просторi C0 не є компактним у цьому просторi,
що показано в пп. 5.3, то i замикання множини \{ Sh\scrL S - hu
\ast : h \in \BbbR \} в C0 не є компактним в
C0. Отже, оператор \scrL не є майже перiодичним у сенсi означення 2 при n = 1 i m = 0.
Iз (29) (з урахуванням оборотностi оператора L2) також випливає, що для оператора \scrL
виконується спiввiдношення (13) при n = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
800 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Також для \scrL виконується спiввiдношення \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} \scrL \not = \{ 0\} . Дiйсно, для ненульового елемента
u\ast = L - 1
2 y простору C1
\scrL u\ast = L1L2u
\ast = L1y = 0,
тобто u\ast \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} \scrL .
Таким чином, побудову оператора \scrL : C1 \rightarrow C0 з потрiбними властивостями завершено.
6. Умови iснування обмежених розв’язкiв рiвняння (2). При дослiдженнi рiвняння (2)
важливою є вимога, щоб для функцiї y \in B0 множина обмежених розв’язкiв цього рiвняння
не була порожньою.
Розглянемо один випадок, коли ця вимога виконується.
Наведемо умови, коли для множини R(\frakF ) значень оператора \frakF : Cn \rightarrow C0 справджується
рiвнiсть
R(\frakF ) = C0. (30)
Позначимо через \scrE (Cn, C0) множину всiх операторiв \scrA \in L(Cn, C0), кожний з яких має
неперервний обернений \scrA - 1.
Якщо \scrA \in \scrE (Cn, C0), то рiвняння (2) рiвносильне рiвнянню
x = \scrA - 1(\scrA x - \frakF x+ y).
Припустимо, що для кожного числа H \geq 0 iснують такi число rH > 0 i оператор \scrA H \in
\in \scrE (Cn, C0), що
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| x\| Cn\leq rH
\| \frakF x - \scrA Hx\| C0 \leq rH\bigm\| \bigm\| \scrA - 1
H
\bigm\| \bigm\|
L(C0,Cn)
- H.
Легко переконатися, що тодi куля BCn [0, rH ] = \{ x : \| x\| Cn \leq rH\} для кожної функцiї y \in
\in BC0 [0, H] є iнварiантною по вiдношенню до оператора
\scrG Hx = \scrA - 1
H (\scrA Hx - \frakF x+ y).
Отже, задача про iснування обмеженого розв’язку рiвняння (2), якщо \| y\| C0 \leq H, зводиться до
задачi про iснування нерухомої точки оператора \scrG H : BCn [0, rH ] \rightarrow BCn [0, rH ].
Якщо для кожних числа H \geq 0 i функцiї y \in BC0 [0, H] множина нерухомих точок опе-
ратора \scrG H не є порожньою множиною, то буде виконуватися спiввiдношення (30). Ця умова
реалiзується, якщо, наприклад, \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}E <\infty i оператор \frakF : Cn \rightarrow C0 є оператором вигляду
(\frakF x)(t) =
dnx(t)
dtn
+ (Fx)(t), t \in \BbbR ,
де F : Cn \rightarrow C0 — c-цiлком неперервний оператор (див. [10]). У цьому випадку в якостi
множини \scrE (Cn, C0) потрiбно використовувати множину всiх оборотних операторiв вигляду
(\scrA x)(t) = dnx(t)
dtn
+ (Ax)(t), t \in \BbbR ,
де A : Cn \rightarrow C0 — лiнiйний c-цiлком неперервний оператор.
Зазначимо, що у випадку \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}E <\infty умови оборотностi лiнiйних функцiонально-диферен-
цiальних операторiв можна знайти в [11 – 13].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ТЕОРIЯ ФАВАРА – АМЕРIО ДЛЯ МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНИХ . . . 801
7. Додатковi зауваження та лiтературнi вказiвки. Функцiонали, аналогiчнi \delta , використо-
вувались автором у [5, 14 – 26] при дослiдженнi майже перiодичних рiзницевих, дискретних,
функцiональних та диференцiальних рiвнянь, а також диференцiальних рiвнянь з iмпульсним
збуренням.
Твердження про майже перiодичнi розв’язки функцiонально-диференцiальних рiвнянь (2) i
(11) (у пп. 3 i 4) є новими. На вiдмiну вiд теорем Амерiо [3, 7] i Фавара [3, 27] у теоремах 1 – 3
не використовуються \scrH -класи рiвнянь (2) i (11). Також у теоремi 1 не використовуються умова
вiдокремлення розв’язкiв рiвнянь \scrH -класу рiвняння (2).
Наведений у п. 5 приклад лiнiйного неперервного необоротного майже перiодичного в сенсi
означення 4, що не є майже перiодичним у сенсi означення 2, диференцiального оператора, до
якого застосовна теорема 3, також є новим.
Дослiдженню майже перiодичних рiвнянь присвячено багато публiкацiй. Вiдмiтимо час-
тину з них. Для звичайних лiнiйних диференцiальних рiвнянь першi результати про майже
перiодичнi розв’язки отримано Фаваром у роботi [27], а для нелiнiйних диференцiальних рiв-
нянь — Амерiо в роботi [7]. У цих роботах суттєво використовуються \scrH -класи рiвнянь, а в [7]
також використовується вiдокремленiсть обмежених розв’язкiв рiвнянь. Вагомий додаток до
теорiї Фавара зроблено Е. Мухамадiєвим [4]. Узагальнення теорем Мухамадiєва наведено в [11,
12]. Важливi результати з теорiї майже перiодичних рiвнянь також належать Б. М. Левiтану [2],
Амерiо [28] та В. В. Жикову [29].
Лiтература
1. Bochner S. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen // Math. Ann. – 1927. – 96. – I Teil. – P. 119 – 147. II Teil. –
P. 383 – 409.
2. Левитан Б. М. Почти-периодические функции. – М.: Гостехиздат, 1953. – 396 с.
3. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967. – 472 c.
4. Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций //
Мат. заметки. – 1972. – 11, № 3. – С. 269 – 274.
5. Слюсарчук В. Ю. Майже перiодичнi розв’язки нелiнiйних дискретних систем, що можуть не бути майже
перiодичними за Бохнером // Нелiнiйнi коливання. – 2014. – 17, № 3. – С. 407 – 418.
6. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргумен-
том. – М.: Наука, 1971. – 296 c.
7. Amerio L. Soluzioni quasiperiodiche, o limital, di sistemi differenziali non lineari quasi-periodici, o limitati // Ann.
mat. pura ed appl. – 1955. – 39. – P. 97 – 119.
8. Колмогоров А. М., Фомiн С. В. Елементи теорiї функцiй i функцiонального аналiзу. – Київ: Вища шк., 1974. –
456 с.
9. Сухомлинов Г. А. О продолжении линейных функционалов в комплексном и кватернионном линейном
пространстве // Мат. сб. – 1938. – 3. – С. 353 – 358.
10. Слюсарчук В. Е. Ограниченные и периодические решения нелинейных дифференциально-функциональных
уравнений // Мат. сб. – 2012. – 203, № 5. – С. 135 – 160.
11. Слюсарчук В. Е. Обратимость почти периодических c-непрерывных функциональных операторов // Мат. сб. –
1981. – 116, № 4. – С. 483 – 501.
12. Слюсарчук В. Е. Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов // Мат. сб. –
1986. – 130, № 1. – C. 86 – 104.
13. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных функционально-дифферен-
циальных операторов // Мат. заметки. – 1987. – 42, № 2. – С. 262 – 267.
14. Слюсарчук В. Ю. Умови майже перiодичностi обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь з непе-
рервним аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2013. – 16, № 1. – С. 118 – 124.
15. Слюсарчук В. Ю. Умови iснування майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь у
банаховому просторi // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 2. – С. 307 – 312.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
802 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
16. Слюсарчук В. Ю. Умови iснування майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь з дискретним
аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2013. – 16, № 3. – С. 416 – 425.
17. Слюсарчук В. Ю. Умови майже перiодичностi обмежених розв’язкiв, не розв’язаних вiдносно похiдної нелi-
нiйних диференцiальних рiвнянь // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 3. – С. 384 – 393.
18. Slyusarchuk V. Yu. Almost periodic solutions of difference equations with discrete argument on metric space // Miskolc
Math. Notes. – 2014. – 15, № 1. – P. 211 – 215.
19. Слюсарчук В. Е. Исследование нелинейных почти периодических дифференциальных уравнений, не исполь-
зующее \scrH -классы этих уравнений // Мат. сб. – 2014. – 205, № 6. – С. 139 – 160.
20. Слюсарчук В. Е. Условия существования почти периодичности решений нелинейных разностных уравнений
в банаховом пространстве // Мат. заметки. – 2015. – 97, № 2. – С. 277 – 285.
21. Слюсарчук В. Ю. Майже перiодичнi та перiодичнi розв’язки рiзницевих рiвнянь у метричному просторi //
Нелiнiйнi коливання. – 2015. – 18, № 1. – С. 112–119.
22. Слюсарчук В. Ю. Майже перiодичнi розв’язки нелiнiйних рiвнянь, що можуть не бути майже перiодичними
за Бохнером // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 2. – С. 230 – 244.
23. Слюсарчук В. Ю. Критерiй iснування майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь з
iмпульсним збуренням // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 6. – С. 838 – 848.
24. Слюсарчук В. Ю. Майже перiодичнi та стiйкi за Пуассоном розв’язки рiзницевих рiвнянь у метричному
просторi // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 12. – С. 1707 – 1714.
25. Слюсарчук В. Ю. Майже перiодичнi розв’язки функцiональних рiвнянь // Нелiнiйнi коливання. – 2016. – 19,
№ 1. – С. 142 – 148.
26. Слюсарчук В. Е. Почти периодические решения дискретных уравнений // Изв. РАН. Сер. мат. – 2016. – 80,
№ 2. – С. 125 – 138.
27. Favard J. Sur les équations différentielles \`\mathrm{a} coefficients presquepériodiques // Acta math. – 1927. – 51. – P. 31 – 81.
28. Amerio L. Sull equazioni differenziali quasi-periodiche astratte // Ric. mat. – 1960. – 30. – P. 288 – 301.
29. Жиков В. В. Доказательство теоремы Фавара о существовании почти-периодического решения в случае про-
извольного банахова пространства // Мат. заметки. – 1978. – 23, № 1. – С. 121 – 126.
Одержано 19.10.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1735 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:39Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/26/595efe5b36b30216ec7644f096b7ad26.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17352019-12-05T09:25:15Z Favard – Amerio theory for almost periodic functional-differential equations without the use of $H$-classes of these equations Теорія Фавара – Амеріо для майже періодичних функціонально-диференціальних рівнянь без використання $H$-класів цих рівнянь Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. The Favard – Amerio theory is constructed for almost periodic functional-differential equations in a Banach space without the use of $\scr H$ -classes of these equations. For linear equations, we present the first example of an almost periodic operator, which has no analogs in the classical Favard – Amerio theory. Построена теория Фавара – Америо для почти периодических функционально-дифференциальных уравнений в банаховом пространстве без использования $\scr H$ -классов этих уравнений. Для линейных уравнений впервые приведен пример почти периодического оператора, для которого нет аналогов в классической теории Фавара – Америо Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1735 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 6 (2017); 788-802 Український математичний журнал; Том 69 № 6 (2017); 788-802 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1735/717 Copyright (c) 2017 Slyusarchuk V. Yu. |
| spellingShingle | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. Favard – Amerio theory for almost periodic functional-differential equations without the use of $H$-classes of these equations |
| title | Favard – Amerio theory for almost periodic functional-differential equations
without the use of $H$-classes of these equations |
| title_alt | Теорія Фавара – Амеріо для майже періодичних функціонально-диференціальних рівнянь без використання $H$-класів цих рівнянь |
| title_full | Favard – Amerio theory for almost periodic functional-differential equations
without the use of $H$-classes of these equations |
| title_fullStr | Favard – Amerio theory for almost periodic functional-differential equations
without the use of $H$-classes of these equations |
| title_full_unstemmed | Favard – Amerio theory for almost periodic functional-differential equations
without the use of $H$-classes of these equations |
| title_short | Favard – Amerio theory for almost periodic functional-differential equations
without the use of $H$-classes of these equations |
| title_sort | favard – amerio theory for almost periodic functional-differential equations
without the use of $h$-classes of these equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1735 |
| work_keys_str_mv | AT slyusarchukvyu favardameriotheoryforalmostperiodicfunctionaldifferentialequationswithouttheuseofhclassesoftheseequations AT slûsarčukvû favardameriotheoryforalmostperiodicfunctionaldifferentialequationswithouttheuseofhclassesoftheseequations AT slyusarchukvyu teoríâfavaraameríodlâmajžeperíodičnihfunkcíonalʹnodiferencíalʹnihrívnânʹbezvikoristannâhklasívcihrívnânʹ AT slûsarčukvû teoríâfavaraameríodlâmajžeperíodičnihfunkcíonalʹnodiferencíalʹnihrívnânʹbezvikoristannâhklasívcihrívnânʹ |