Level-crossing intensity for the density of the image of the Lebesgue measure under the action of a Brownian stochastic flow
We compute the level-crossing intensity for the density of the image of the Lebesgue measure under the action of a Brownian stochastic flow, which is a smooth approximation of the Arratia flow, and determine its asymptotic behavior as the height of the level tends to infinity.
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1736 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507585113751552 |
|---|---|
| author | Fomichev, V. V. Фомичев, В. В. Фомичев, В. В. |
| author_facet | Fomichev, V. V. Фомичев, В. В. Фомичев, В. В. |
| author_sort | Fomichev, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:25:15Z |
| description | We compute the level-crossing intensity for the density of the image of the Lebesgue measure under the action of a
Brownian stochastic flow, which is a smooth approximation of the Arratia flow, and determine its asymptotic behavior as
the height of the level tends to infinity. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
В. В. Фомичев (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ИНТЕНСИВНОСТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ УРОВНЯ
ДЛЯ ПЛОТНОСТИ ОБРАЗА МЕРЫ ЛЕБЕГА
ПОД ДЕЙСТВИЕМ БРОУНОВСКОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО ПОТОКА
We compute the level-crossing intensity for the density of the image of the Lebesgue measure under the action of a
Brownian stochastic flow, which is a smooth approximation of the Arratia flow, and determine its asymptotic behavior as
the height of the level tends to infinity.
Обчислено iнтенсивнiсть перетинiв рiвня для щiльностi образу мiри Лебега пiд дiєю броунiвського стохастичного
потоку, що є гладким наближенням потоку Арратья, та визначено її асимптотичну поведiнку при прямуваннi висоти
рiвня до нескiнченностi.
1. Введение. Рассмотрим стохастическое интегральное уравнение
x(u, t) = u+
t\int
0
\int
\BbbR
\varphi (x(u, s) - q)W (dq, ds), t \geq 0, (1)
где u \in \BbbR — фиксированный параметр, W — винеровский лист на \BbbR \times \BbbR +, а функция
\varphi : \BbbR \rightarrow \BbbR + удовлетворяет следующим условиям:
i) \varphi \in C\infty
0 (\BbbR ,\BbbR +), т. е. \varphi неотрицательна, бесконечно дифференцируема и имеет компакт-
ный носитель;
ii) \varphi (q) = \varphi ( - q), q \in \BbbR ;
iii)
\int
\BbbR
\varphi 2(q) dq = 1.
При таких условиях на функцию \varphi уравнение (1) имеет единственное сильное решение для
каждого u \in \BbbR . При этом для некоторого множества \Omega полной вероятности (не ограничивая
общности, будем считать, что это есть все множество элементарных событий) отображения
x(\omega , \cdot , t) : \BbbR \rightarrow \BbbR , t \geq 0, \omega \in \Omega , (2)
являются C\infty -диффеоморфизмами и стохастический поток \{ \varphi s,t(u), u \in \BbbR , 0 \leq s \leq t < +\infty \} ,
задаваемый равенством
\varphi s,t(\omega , u) := x(\omega , x - 1(\omega , u, s), t), u \in \BbbR , 0 \leq s \leq t < +\infty , \omega \in \Omega , (3)
где x - 1(\omega , \cdot , s) — отображение, обратное к отображению x(\omega , \cdot , s) (в дальнейшем перемен-
ную \omega будем, как правило, опускать), является броуновским стохастическим потоком C\infty -
диффеоморфизмов (см. [1, 8], а также [11]).
Ковариационной функцией данного броуновского стохастического потока является функция
\Phi (z) :=
\int
\BbbR
\varphi (z + q)\varphi (q) dq, z \in \BbbR .
Другими словами, для любых u, v \in \BbbR совместная квадратическая характеристика винеровских
процессов \{ x(u, t), t \geq 0\} и \{ x(v, t), t \geq 0\} имеет вид
c\bigcirc В. В. ФОМИЧЕВ, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6 803
804 В. В. ФОМИЧЕВ
\langle x(u, \cdot ), x(v, \cdot )\rangle t =
t\int
0
\Phi (x(u, s) - x(v, s)) ds, t \geq 0.
Заметим, что функция \Phi принимает значение 1 в точке 0 и имеет компактный носитель,
диаметр которого не превышает 2d(\varphi ), где d(\varphi ) — диаметр носителя функции \varphi . Поэтому при
стремлении d(\varphi ) к нулю функция \Phi поточечно сходится к функции
1\mathrm{I}\{ 0\} (z) =
\left\{ 1, если z = 0,
0, если z \not = 0.
В работе [8] было показано, что для любого n \in \BbbN и для любых u1, . . . , un \in \BbbR в простран-
стве C
\bigl(
[0; 1],\BbbR n
\bigr)
имеет место слабая сходимость\bigl(
x(u1, \cdot ), . . . , x(un, \cdot )
\bigr) w - \rightarrow
\bigl(
x0(u1, \cdot ), . . . , x0(un, \cdot )
\bigr)
, d(\varphi ) \rightarrow 0+,
где \{ x0(u, t), u \in \BbbR , t \geq 0\} — поток Арратья, т. е. броуновский стохастический поток с ковариа-
ционной функцией 1\mathrm{I}\{ 0\} .
Напомним, что поток Арратья был построен в работе [5] как слабый предел семейств
склеивающихся простых случайных блужданий и неформально его можно описать как поток
броуновских частиц, в котором любые две частицы движутся независимо до момента встречи,
а встретившись, склеиваются и дальше движутся вместе. Кроме того, известно (см. [5, 9]), что
для любого t > 0 и для любого отрезка I \subset \BbbR множество x0(\BbbR , t)\cap I конечно почти наверное.
Рассмотрим случайные меры
\lambda t := \lambda \circ x - 1(\cdot , t), t \geq 0,
где \lambda — одномерная мера Лебега. В силу диффеоморфности отображений (2) эти меры являют-
ся абсолютно непрерывными. При этом легко проверить, что для соответствующих плотностей
имеет место представление
\Bigl(
строгая положительность производной
\partial x
\partial u
(u, t) следует из при-
водимой ниже леммы 3.1
\Bigr)
d\lambda t
d\lambda
(u) \equiv pt(u) =
1
\partial x
\partial u
\bigl(
x - 1(u, t), t
\bigr) , u \in \BbbR , t \geq 0.
Если мы положим
\lambda 0
t := \lambda \circ x - 1
0 (\cdot , t), t \geq 0,
то естественно ожидать, что при d(\varphi ) \rightarrow 0+ случайные меры \lambda t в каком-либо смысле сходятся
к случайным мерам \lambda 0
t . Поэтому области концентрации мер \lambda t или, другими словами, области, в
которых плотности pt принимают большие значения, соответствуют атомам мер \lambda 0
t , которыми,
очевидно, являются кластеры в потоке Арратья.
Изучение таких выбросов плотностей pt за высокие уровни целесообразно начинать с ис-
следования их интенсивностей пересечений этих уровней. Напомним соответствующее опре-
деление.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ИНТЕНСИВНОСТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ УРОВНЯ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ ОБРАЗА МЕРЫ ЛЕБЕГА . . . 805
Пусть \{ \xi (u), u \in \BbbR \} — случайный процесс, траектории которого с вероятностью единица
непрерывны и не равны тождественно данному фиксированному числу c \in \BbbR ни на каком
интервале. Тогда число N([0; 1]; c) пересечений случайным процессом \xi уровня c на отрезке
[0; 1] корректно определено и величина
\mu (c) := \bfE N
\bigl(
[0; 1]; c
\bigr)
называется интенсивностью пересечений случайным процессом \xi уровня c.
Для некоторых классов случайных процессов \{ \xi (u), u \in \BbbR \} значение \mu (c) может быть вы-
числено по известной формуле Райса (см. обзорную работу [13], в которой рассматриваются
пересечения уровня снизу вверх, и ссылки в ней). В качестве примера приведем теорему, попут-
но отметив, что в ней и всюду в дальнейшем \pi [\eta ](\cdot ) и \pi [\eta , \zeta ](\cdot , \cdot ) обозначают соответственно
плотность распределения случайной величины \eta и плотность совместного распределения слу-
чайных величин \eta и \zeta .
Теорема 1.1 [6]. Пусть случайный процесс \{ \xi (u), u \in \BbbR \} имеет непрерывно дифференци-
руемые траектории и удовлетворяет следующим условиям:
(i) отображение (u, z) \mapsto \rightarrow \pi [\xi (u)](z) непрерывно при u \in [0; 1] и z \in Uc, где Uc — некото-
рая окрестность точки c \in \BbbR ;
(ii) отображение (u, z1, z2) \mapsto \rightarrow \pi [\xi (u), \xi \prime (u)](z1, z2) непрерывно при u \in [0; 1], z1 \in Uc и
z2 \in \BbbR ;
(iii) \bfE w(\xi \prime ; \delta ) \rightarrow 0 при \delta \rightarrow 0+, где w(\xi \prime ; \delta ) — модуль непрерывности случайного процес-
са \xi \prime на отрезке [0; 1].
Тогда для любого c \in \BbbR справедливо равенство
\mu (c) =
1\int
0
+\infty \int
0
| z| \pi
\bigl[
\xi (u), \xi \prime (u)
\bigr]
(c, z) dz du. (4)
Однако зачастую условия на случайный процесс, обеспечивающие справедливость форму-
лы (4) для всех уровней c \in \BbbR , труднопроверяемы (например, в приведенной теореме таковым
является условие (iii)), и их выполнение доказано лишь для случайных процессов, близких к
гауссовским. Легче проверяются условия, обеспечивающие справедливость подобных формул
для почти всех уровней c \in \BbbR .
В данной работе мы используем следующий вариант формулы Райса (см. [6], упражне-
ние 3.8; ср. с [13], формула (3)), называемый также формулой Банаха.
Теорема 1.2 [6]. Пусть случайный процесс \{ \xi (u), 0 \leq u \leq 1\} таков, что почти все его
траектории абсолютно непрерывны, а также для любого u \in [0; 1] распределение случайной
величины \xi (u) имеет плотность \pi [\xi (u)](\cdot ) и условное математическое ожидание \bfE
\bigl(
| \xi \prime (u)|
\bigm| \bigm|
\xi (u) = c
\bigr)
корректно определено. Тогда для почти всех c \in \BbbR справедливо равенство
\mu (c) =
1\int
0
\bfE
\bigl( \bigm| \bigm| \xi \prime (u)\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \xi (u) = c
\bigr)
\pi [\xi (u)](c) du.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
806 В. В. ФОМИЧЕВ
Основной целью настоящей работы является проверка корректной определенности интен-
сивности \mu t(c) пересечений уровня c > 0 случайным процессом \{ pt(u), u \in \BbbR \} для любого
t > 0 и доказательство соотношения
\mu t(c) = \mu t(c) для почти всех c > 0, (5)
где
\mu t(c) =
\surd
2L\prime \prime e
\pi 2
2L\prime t -
L\prime t
8
\pi L\prime
\surd
\pi t
1\surd
c
+\infty \int
0
e -
v2
2L\prime t \mathrm{s}\mathrm{h} v \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi v
L\prime t\sqrt{}
1 +
2 \mathrm{c}\mathrm{h} v
c
+
1
c2
dv
с постоянными
L\prime :=
\int
\BbbR
\varphi \prime 2(q) dq > 0
и
L\prime \prime :=
\int
\BbbR
\varphi \prime \prime 2(q) dq > 0,
а также установление асимптотического равенства
\mu t(c) =
e -
L\prime t
8
\surd
L\prime \prime
\pi
\surd
2L\prime
\sqrt{}
c
\mathrm{l}\mathrm{n} c
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
- (\mathrm{l}\mathrm{n} c)2
2L\prime t
\biggr]
(1 + o(1)), c \rightarrow +\infty . (6)
Коротко опишем структуру основной части данной работы. В пункте 2 доказана стацио-
нарность случайного процесса \{ x(u, t) - u, u \in \BbbR \} и \theta -однородность (см. определение 2.2)
случайного процесса \{ (pt(u), p\prime t(u)), u \in \BbbR \} (производная здесь понимается в обычном смыс-
ле), в пункте 3 найдена плотность совместного распределения случайных величин pt(u) и
p\prime t(u), а в пункте 4 установлены соотношения (5), (6).
2. Стационарность и \bfittheta -однородность. Для доказательства стационарности при фиксиро-
ванном t случайного процесса \{ x(u, t) - u, u \in \BbbR \} воспользуемся вариантом дискретной схемы
приближений Эйлера – Маруямы, используемой в работе [14]. Для t > 0 и n \geq 1 положим
xn0 (u, t) \equiv u, u \in \BbbR ,
xnk+1(u, t) := xnk(u, t) + \xi nk+1(x
n
k(u, t), t), u \in \BbbR , 0 \leq k \leq n - 1,
где
\xi nk+1(u, t) :=
(k+1)t
n\int
kt
n
\int
\BbbR
\varphi (u - q)W (dq, ds), u \in \BbbR , 0 \leq k \leq n - 1.
Согласно теореме 4 из работы [14], определенный таким рекуррентным способом случай-
ный процесс \{ xnn(u, 1), u \in \BbbR \} приближает случайный процесс \{ x(u, 1), u \in \BbbR \} в равномерной
метрике на отрезке [0; 1]. Однако приведенное доказательство этой теоремы легко переносится
mutatis mutandis на случай произвольных момента времени t > 0 и отрезка [a; b], и поэтому ее
соответствующее обобщение можно сформулировать в следующем (немного упрощенном, но
достаточном для наших целей) виде.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ИНТЕНСИВНОСТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ УРОВНЯ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ ОБРАЗА МЕРЫ ЛЕБЕГА . . . 807
Теорема 2.1. Для любого t > 0 и отрезка [a; b] \subset \BbbR существует такая константа C > 0,
зависящая от момента времени t, длины отрезка [a; b] и функции \varphi , что для всех n \geq 1
\bfE \| xnn(\cdot , t) - x(\cdot , t)\| [a;b] \leq
C\surd
n
,
где \| \cdot \| [a;b] — супремум-норма на отрезке [a; b].
Теорема 2.2. При каждом t \geq 0 случайный процесс \{ x(u, t) - u, u \in \BbbR \} является стацио-
нарным (в узком смысле).
Доказательство. Зафиксируем произвольный момент времени t > 0 (в случае t = 0
доказывать нечего).
Методом математической индукции, используя характеристические функции и учитывая
независимость \xi nk+1 от \scrF kt
n
при любом k \in \{ 0, . . . , n - 1\} , где (\scrF s, s \geq 0) — фильтрация, по-
рождаемая винеровским листом W (и пополненная множествами нулевой вероятности), можно
показать, что все случайные процессы \{ xnk(u, t) - u, u \in \BbbR \} , 0 \leq k \leq n, стационарны.
Для доказательства стационарности случайного процесса \{ x(u, t) - u, u \in \BbbR \} заметим, что
из теоремы 2.1 вытекает, что для любых u1, . . . , um \in \BbbR справедливо соотношение
\bfE \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq k\leq m
| xnn(uk, t) - x(uk, t)| \rightarrow 0, n \rightarrow \infty ,
и, следовательно,
(xnn(u1, t) - u1, . . . , x
n
n(um, t) - um)
w - \rightarrow
w - \rightarrow (x(u1, t) - u1, . . . , x(um, t) - um), n \rightarrow \infty .
Поэтому для произвольного h > 0 и любых борелевских множеств \Delta 1, . . . ,\Delta m \in \scrB (\BbbR ) имеем
\bfP \{ [x(u1 + h, t) - (u1 + h)] \in \Delta 1, . . . , [x(um + h, t) - (um + h)] \in \Delta m\} =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\bfP \{ [xnn(u1 + h, t) - (u1 + h)] \in \Delta 1, . . . , [x
n
n(um + h, t) - (um + h)] \in \Delta m\} =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\bfP \{ [xnn(u1, t) - u1] \in \Delta 1, . . . , [x
n
n(um, t) - um] \in \Delta m\} =
= \bfP \{ [x(u1, t) - u1] \in \Delta 1, . . . , [x(um, t) - um] \in \Delta m\} .
Значит, распределения случайных векторов
(x(u1 + h, t) - (u1 + h), . . . , x(um + h, t) - (um + h))
и
(x(u1, t) - u1, . . . , x(um, t) - um)
совпадают.
Теорема 2.2 доказана.
Следствие 2.1. Для любого t \geq 0 трехмерный случайный процесс\biggl\{ \biggl(
x(u, t) - u,
\partial x
\partial u
(u, t),
\partial 2x
\partial u2
(u, t)
\biggr)
, u \in \BbbR
\biggr\}
является стационарным.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
808 В. В. ФОМИЧЕВ
Теперь нам понадобятся несколько определений (см. [15], глава 5).
Определение 2.1. Семейство отображений \{ \theta z : \Omega \rightarrow \Omega , z \in \BbbR \} называется семейством
(пространственных) сдвигов, если
(i) отображение \BbbR \times \Omega \ni (z, \omega ) \mapsto \rightarrow \theta z(\omega ) \in \Omega измеримо;
(ii) \theta y \circ \theta z = \theta y+z для любых y, z \in \BbbR ;
(iii) \theta 0 — тождественное отображение;
(iv) \bfP \circ \theta - 1
z = \bfP для любого z \in \BbbR .
Определение 2.2. Случайный процесс \{ \xi (u), u \in \BbbR \} называется \theta -однородным случайным
процессом, если
\forall \omega \in \Omega \forall u, z \in \BbbR : \xi (\theta z\omega , u) = \xi (\omega , u+ z).
Определение 2.3. Отображение G : \Omega \times \BbbR \rightarrow \BbbR называется \theta -однородным случайным
преобразованием, если
\forall \omega \in \Omega \forall u, z \in \BbbR : G(\theta z\omega , u) = G(\omega , u+ z) - z.
Определение 2.4. Отображение A : \Omega \times \BbbR \times \BbbR + \rightarrow E, принимающее значения в некото-
ром измеримом пространстве (E, \scrE ), называется \theta -однородным случайным полем, если оно
измеримо по совокупности переменных и
\forall \omega \in \Omega \forall u, z \in \BbbR \forall t \geq 0 : A(\theta z\omega , u, t) = A(\omega , u+ z, t).
Определение 2.5. Стохастический поток \{ \varphi s,t(u), u \in \BbbR , 0 \leq s \leq t < \infty \} называется
\theta -однородным стохастическим потоком, если
\forall \omega \in \Omega \forall u \in \BbbR \forall s, t \geq 0, s \leq t : \varphi s,t(\theta z\omega , u) = \varphi s,t(\omega , u+ z) - z.
Лемма 2.1. Для любого t \geq 0 случайные процессы\biggl\{ \biggl(
x(u, t) - u,
\partial x
\partial u
(u, t),
\partial 2x
\partial u2
(u, t)
\biggr)
, u \in \BbbR
\biggr\}
и \bigl\{
(pt(u), p
\prime
t(u)), u \in \BbbR
\bigr\}
являются \theta -однородными.
Доказательство. Достаточно заметить, что каноническое представление случайного про-
цесса \biggl\{ \biggl(
x(u, t) - u,
\partial x
\partial u
(u, t),
\partial 2x
\partial u2
(u, t)
\biggr)
, u \in \BbbR
\biggr\}
на пространстве
\Omega =
\bigl\{
\omega = (\omega 1, \omega 2, \omega 3)
\bigm| \bigm| \omega 1 \in C2(\BbbR ), \omega \prime
1 > - 1, \omega 2 = \omega \prime
1 + 1, \omega 3 = \omega \prime \prime
1
\bigr\}
с борелевской \sigma -алгеброй, порождаемой расстоянием, метризующим равномерную сходимость
на компактах, является \theta -однородным относительно стандартных пространственных сдви-
гов (для этих сдвигов выполнение условий (ii) и (iii) определения 2.1 очевидно, выполнение
условия (i) вытекает из их непрерывности по совокупности переменных, а выполнение усло-
вия (iv) — из следствия 2.1). После этого непосредственно проверяется \theta -однородность сначала
случайного процесса \{ x - 1(u, t) - u, u \in \BbbR \} , а затем и случайного процесса \{ (pt(u), p\prime t(u)), u \in
\in \BbbR \} .
Результаты третьего пункта данной работы существенно опираются на следующую теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ИНТЕНСИВНОСТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ УРОВНЯ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ ОБРАЗА МЕРЫ ЛЕБЕГА . . . 809
Теорема 2.3 ([15], глава 5, теорема 4.11). Пусть \{ \varphi s,t : \BbbR \rightarrow \BbbR , 0 \leq s \leq t < +\infty \} —
\theta -однородный стохастический поток C1-диффеоморфизмов, A : \Omega \times \BbbR \times \BbbR + \rightarrow E — \theta -
однородное случайное поле, принимающее значения в некотором измеримом пространстве
(E, \scrE ). Тогда для любых s, t \geq 0, s \leq t, справедливы следующие утверждения:
(i) случайное преобразование \varphi - 1
s,t (\cdot ) является \theta -однородным диффеоморфизмом;
(ii) случайный процесс
\partial \varphi s,t
\partial u
(\cdot ) является \theta -однородным;
(iii) случайный процесс
\partial \varphi s,t
\partial u
(\varphi - 1
s,t (\cdot )) является \theta -однородным;
(iv) для любой \scrE -измеримой функции f : E \rightarrow \BbbR + и любого u \in \BbbR справедливо равенство
\bfE f(A(\varphi s,t(u), t)) = \bfE
\left[ f(A(0, t))
1
\partial \varphi s,t
\partial u
(\varphi - 1
s,t (0))
\right] ,
если только математическое ожидание в правой части определено и конечно.
3. Плотность совместного распределения случайных величин \bfitp \bfitt (\bfitu ) и \bfitp \prime
\bfitt (\bfitu ). В этом
пункте мы покажем, что совместное распределение случайных величин pt(u) и p\prime t(u) имеет
плотность, и найдем ее вид.
Для начала докажем следующую лемму.
Лемма 3.1. Имеет место представление
\partial x
\partial u
(u, t) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left[ - 1
2
L\prime t+
t\int
0
\int
\BbbR
\varphi \prime (x(u, s) - q)W (dq, ds)
\right] , t \geq 0, u \in \BbbR , (7)
причем для любого u \in \BbbR случайный процесс
wu(t) :=
1\surd
L\prime
t\int
0
\int
\BbbR
\varphi \prime (x(u, s) - q)W (dq, ds), t \geq 0, (8)
является стандартным винеровским процессом.
Доказательство. Из свойств интеграла по винеровскому листу следует, что случайный
процесс
\bigl\{
wu(t), t \geq 0
\bigr\}
, определяемый равенством (8), является непрерывным (\scrF t)-согласован-
ным мартингалом с квадратической характеристикой
\langle wu\rangle t =
1
L\prime
t\int
0
\int
\BbbR
\varphi \prime 2(x(u, s) - q) dq ds = t, t \geq 0,
а значит, по теореме Леви о характеризации броуновского движения, — стандартным винеров-
ским процессом.
Далее, дифференцирование обеих частей уравнения для x(u, t) (см. [11], теорема 3.3.3)
приводит к равенству
\partial x
\partial u
(u, t) = 1 +
t\int
0
\int
\BbbR
\varphi \prime (x(u, s) - q)
\partial x
\partial u
(u, s)W (dq, ds), t \geq 0. (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
810 В. В. ФОМИЧЕВ
С помощью формулы Ито легко показать, что случайный процесс, определяемый правой частью
равенства (7), удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению (9)
\Bigl(
относитель-
но неизвестного случайного процесса
\Bigl\{ \partial x
\partial u
(u, t), t \geq 0
\Bigr\} \Bigr)
. Поэтому равенство (7) следует из
единственности сильного решения этого уравнения.
Следствие 3.1. Для любых t > 0 и u \in \BbbR распределение случайной величины
\partial x
\partial u
(u, t)
имеет плотность вида
\pi
\biggl[
\partial x
\partial u
(u, t)
\biggr]
(z) =
1\surd
2\pi L\prime t
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left[ -
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} z +
3
2
L\prime t
\biggr) 2
2L\prime t
+ L\prime t
\right] , z > 0.
Теорема 3.1. Для любых t > 0 и u \in \BbbR распределение случайной величины pt(u) имеет
плотность вида
\pi [pt(u)](z) =
1\surd
2\pi L\prime t
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left[ -
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} z +
3
2
L\prime t
\biggr) 2
2L\prime t
+ L\prime t
\right] , z > 0. (10)
Доказательство. Положим
E := (0;+\infty ),
\scrE := \scrB ((0;+\infty ))
и для фиксированного t0 > 0
A(u, t) := pt0(u), u \in \BbbR , t \geq 0.
Заметим, что отображение (\omega , u, t) \mapsto \rightarrow A(\omega , u, t) сейчас измеримо по совокупности переменных,
поскольку таковым является отображение (\omega , u, t) \mapsto \rightarrow x(\omega , u, t).
Поэтому для стохастического потока (3) и функции
f(z) :=
1
z
\cdot 1\mathrm{I}\{ z \in \Delta \} , z \in E,
где множество \Delta \in \scrE произвольно, при s = 0 и t = t0 согласно теореме 2.3 имеем (чтобы не
загромождать запись, до конца доказательства будем писать t вместо t0)
\bfE
\biggl[
1
pt(x(u, t))
\cdot 1\mathrm{I} \{ pt(x(u, t)) \in \Delta \}
\biggr]
= \bfE
\biggl[
1
pt(0)
\cdot 1\mathrm{I} \{ pt(0) \in \Delta \} pt(0)
\biggr]
,
т. е.
\bfP \{ pt(0) \in \Delta \} = \bfE
\left[ \partial x
\partial u
(u, t) \cdot 1\mathrm{I}
\left\{ 1
\partial x
\partial u
(u, t)
\in \Delta
\right\}
\right] . (11)
Однако, из следствия 3.1 вытекает
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ИНТЕНСИВНОСТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ УРОВНЯ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ ОБРАЗА МЕРЫ ЛЕБЕГА . . . 811
\bfE
\left[ \partial x
\partial u
(u, t) \cdot 1\mathrm{I}
\left\{ 1
\partial x
\partial u
(u, t)
\in \Delta
\right\}
\right] =
=
\int
\Delta
1\surd
2\pi L\prime t
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left[ -
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} z +
3
2
L\prime t
\biggr) 2
2L\prime t
+ L\prime t
\right] dz. (12)
Равенства (11) и (12), в силу произвольности множества \Delta , приводят к требуемому утвержде-
нию.
Теорема 3.1 доказана.
Замечание 3.1. Таким образом, для любых t > 0 и u \in \BbbR справедливо равенство по
распределению
pt(u)
d
=
\partial x
\partial u
(u, t).
Следствие 3.2. Для любых t > 0 и u \in \BbbR справедливо соотношение
\bfP \{ pt(u) > c\} =
e -
L\prime t
8
\surd
L\prime t\surd
2\pi
1\surd
c \mathrm{l}\mathrm{n} c
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
- (\mathrm{l}\mathrm{n} c)2
2L\prime t
\biggr]
(1 + o(1)), c \rightarrow +\infty .
Доказательство. Достаточно записать левую часть в виде интеграла от плотности рас-
пределения случайной величины pt(u) из формулы (10), затем с помощью замены переменной
свести его к интегралу от плотности p стандартного гауссовского распределения и, наконец,
воспользоваться известным (см., например, [3], глава 1) соотношением
+\infty \int
c
p(u) du =
1
c
p(c)(1 + o(1)), c \rightarrow +\infty .
Для доказательства следующего результата нам понадобится вспомогательная лемма о вы-
числении условного математического ожидания от стохастического интеграла Ито по винеров-
скому процессу.
Лемма 3.2. Пусть непрерывный случайный процесс \{ \xi t, t \geq 0\} не зависит от винеровского
процесса \{ \beta t, t \geq 0\} и стохастический интеграл Ито
t\int
0
\xi s d\beta s, t \geq 0,
корректно определен. Тогда для любого борелевского множества \Delta \subset \BbbR справедливо равен-
ство
\bfE
\left( 1\mathrm{I}
\left\{
t\int
0
\xi s d\beta s \in \Delta
\right\}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \xi
\right) =
=
\int
\Delta
1\surd
2\pi \sigma t
e
- v2
2\sigma 2
t dv \cdot 1\mathrm{I} \{ \sigma t > 0\} + 1\mathrm{I} \{ 0 \in \Delta \} \cdot 1\mathrm{I} \{ \sigma t = 0\} ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
812 В. В. ФОМИЧЕВ
где
\sigma t :=
\left( t\int
0
\xi 2s ds
\right) 1/2
.
Доказательство проводится стандартно путем приближения индикаторных функций глад-
кими ограниченными функциями и поэтому опускается.
Зафиксируем теперь произвольное u \in \BbbR и определим случайные процессы
X1(t) :=
\partial x
\partial u
(u, t), t \geq 0,
X2(t) :=
\partial 2x
\partial u2
(u, t)
\partial x
\partial u
(u, t)
, t \geq 0.
Лемма 3.3. Для любого t > 0 совместное распределение случайных величин X1(t) и X2(t)
имеет плотность вида
\pi
\bigl[
X1(t), X2(t)
\bigr]
(z1, z2) =
=
e
\pi 2
2L\prime t -
L\prime t
8
\pi
\surd
2\pi L\prime \prime t
1
\surd
z1
+\infty \int
0
e -
v2
2L\prime t \mathrm{s}\mathrm{h} v \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi v
L\prime t\biggl(
(1 + 2z1 \mathrm{c}\mathrm{h} v + z21) +
L\prime
L\prime \prime z
2
2
\biggr) 3/2
dv, z1 > 0, z2 \in \BbbR .
Доказательство. Заметим, что из представления (7) следует равенство
\partial 2x
\partial u2
(u, t) =
\partial x
\partial u
(u, t)
t\int
0
\int
\BbbR
\varphi \prime \prime (x(u, s) - q)
\partial x
\partial u
(u, s)W (dq, ds), t \geq 0. (13)
Из (9) и (13) получаем
X1(t) = 1 +
t\int
0
\int
\BbbR
\varphi \prime (x(u, s) - q)X1(s)W (dq, ds), t \geq 0,
X2(t) =
t\int
0
\int
\BbbR
\varphi \prime \prime (x(u, s) - q)X1(s)W (dq, ds), t \geq 0.
В силу свойств интеграла по винеровскому листу имеем
\langle X1\rangle t =
t\int
0
\int
\BbbR
\varphi \prime 2(x(u, s) - q)X2
1 (s) dq ds = L\prime
t\int
0
X2
1 (s) ds, t \geq 0,
\langle X2\rangle t =
t\int
0
\int
\BbbR
\varphi \prime \prime 2(x(u, s) - q)X2
1 (s) dq ds = L\prime \prime
t\int
0
X2
1 (s) ds, t \geq 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ИНТЕНСИВНОСТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ УРОВНЯ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ ОБРАЗА МЕРЫ ЛЕБЕГА . . . 813
\langle X1, X2\rangle t =
t\int
0
\int
\BbbR
\varphi \prime (x(u, s) - q)\varphi \prime \prime (x(u, s) - q)X2
1 (s) dq ds = 0, t \geq 0.
Поскольку с вероятностью единица X1(t) > 0 для всех t \geq 0, то, используя теорему Дуба
(см. [2], глава 5, теорема 5.12), получаем, что пара случайных процессов X1 и X2 является
решением системы уравнений
X1(t) = 1 +
\surd
L\prime
t\int
0
X1(s) dW1(s), t \geq 0,
X2(t) =
\surd
L\prime \prime
t\int
0
X1(s) dW2(s), t \geq 0,
(14)
где винеровские процессы \{ W1(t), t \geq 0\} и \{ W2(t), t \geq 0\} могут быть определены равенствами
W1(t) =
1\surd
L\prime
t\int
0
dX1(s)
X1(s)
, t \geq 0,
W2(t) =
1\surd
L\prime \prime
t\int
0
dX2(s)
X1(s)
, t \geq 0.
Заметим, что сейчас винеровские процессы W1 и W2 независимы, поскольку
\langle W1,W2\rangle t =
1\surd
L\prime L\prime \prime
t\int
0
d \langle X1, X2\rangle s
X2
1 (s)
= 0, t \geq 0.
Решая систему (14), получаем представления
X1(t) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
- 1
2
L\prime t+
\surd
L\prime W1(t)
\biggr]
, t \geq 0,
X2(t) =
\surd
L\prime \prime
t\int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
- 1
2
L\prime s+
\surd
L\prime W1(s)
\biggr]
dW2(s), t \geq 0.
Теперь для нахождения плотности совместного распределения случайных величин X1(t)
и X2(t) при t > 0 заметим, что для любых борелевских множеств \Delta 1 \subset (0;+\infty ) и \Delta 2 \subset \BbbR
имеем
\bfP \{ X1(t) \in \Delta 1, X2(t) \in \Delta 2\} = \bfE
\bigl[
1\mathrm{I}\{ X1(t) \in \Delta 1\} \cdot \bfE
\bigl(
1\mathrm{I}\{ X2(t) \in \Delta 2\} | X1
\bigr) \bigr]
.
Но поскольку, как легко видеть, фильтрации, порождаемые случайными процессами X1 и W1
(и пополненные множествами нулевой вероятности), совпадают и W1 и W2 независимы, то X1
и W2 также независимы и, следовательно, в силу леммы 3.2
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
814 В. В. ФОМИЧЕВ
\bfE
\bigl(
1\mathrm{I}
\bigl\{
X2(t) \in \Delta 2
\bigr\} \bigm| \bigm| X1
\bigr)
=
= \bfE
\left( 1\mathrm{I}
\Biggl\{
\surd
L\prime \prime
t\int
0
X1(s) dW2(s) \in \Delta 2
\Biggr\} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| X1
\right) =
1\surd
L\prime \prime
\int
\Delta 2
1\surd
2\pi \sigma t
e
- v2
2L\prime \prime \sigma 2
t dv,
где
\sigma t :=
\left( t\int
0
X2
1 (s) ds
\right) 1/2
> 0.
Поэтому
\bfP \{ X1(t) \in \Delta 1, X2(t) \in \Delta 2\} =
= \bfE
\left( 1\mathrm{I}\{ X1(t) \in \Delta 1\}
1\surd
L\prime \prime
\int
\Delta 2
1\surd
2\pi \sigma t
e
- v2
2L\prime \prime \sigma 2
t dv
\right) =
=
1\surd
L\prime \prime
\int
\Delta 2
\bfE
\Biggl(
1\mathrm{I}
\bigl\{
X1(t) \in \Delta 1
\bigr\} 1\surd
2\pi \sigma t
e
- v2
2L\prime \prime \sigma 2
t
\Biggr)
dv.
Плотность совместного распределения случайных величин X1(t) и \sigma 2
t \equiv
\int t
0
X2
1 (s) ds имеет
вид (см. [7, с. 265], формула 1.10.8)
\pi
\bigl[
X1(t), \sigma
2
t
\bigr]
(z1, z2) =
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
- L\prime t
8
- 1 + z21
2L\prime z2
\biggr]
2z
3/2
1 z2
iL\prime t
2
\biggl(
z1
L\prime z2
\biggr)
, z1, z2 > 0,
где (см. [7, с. 644])
iy(z) :=
ze
\pi 2
4y
\pi
\surd
\pi y
+\infty \int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
- z \mathrm{c}\mathrm{h} v - v2
4y
\biggr]
\mathrm{s}\mathrm{h} v \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi v
2y
dv, y, z > 0.
Поэтому (во втором равенстве мы просто переобозначаем v через z2 и z2 через v)
\bfP \{ X1(t) \in \Delta 1, X2(t) \in \Delta 2\} =
=
\int
\Delta 2
dv
\int
\Delta 1
dz1
+\infty \int
0
dz2
\left[ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
- v2
2L\prime \prime z2
- L\prime t
8
- 1 + z21
2L\prime z2
\biggr]
2
\surd
2\pi L\prime \prime z
3/2
1 z
3/2
2
iL\prime t
2
\biggl(
z1
L\prime z2
\biggr) \right] =
=
\int
\Delta 2
dz2
\int
\Delta 1
dz1
+\infty \int
0
dv
\left[ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
- z22
2L\prime \prime v
- L\prime t
8
- 1 + z21
2L\prime v
\biggr]
2
\surd
2\pi L\prime \prime z
3/2
1 v3/2
iL\prime t
2
\Bigl( z1
L\prime v
\Bigr) \right] =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ИНТЕНСИВНОСТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ УРОВНЯ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ ОБРАЗА МЕРЫ ЛЕБЕГА . . . 815
=
\int
\Delta 1
\int
\Delta 2
\left[
+\infty \int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
- z22
2L\prime \prime v
- L\prime t
8
- 1 + z21
2L\prime v
\biggr]
2
\surd
2\pi L\prime \prime z
3/2
1 v3/2
iL\prime t
2
\Bigl( z1
L\prime v
\Bigr)
dv
\right] dz1 dz2.
Следовательно, при z1 > 0 и z2 \in \BbbR
\pi [X1(t), X2(t)](z1, z2) =
+\infty \int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
- z22
2L\prime \prime v
- L\prime t
8
- 1 + z21
2L\prime v
\biggr]
2
\surd
2\pi L\prime \prime z
3/2
1 v3/2
iL\prime t
2
\Bigl( z1
L\prime v
\Bigr)
dv =
=
e
\pi 2
2L\prime t -
L\prime t
8
2\pi 2L\prime
\surd
L\prime L\prime \prime t
+\infty \int
0
e -
z22
2L\prime \prime v -
1+z21
2L\prime v
\surd
z1v5/2
\left( +\infty \int
0
e -
z1
L\prime v ch r - r2
2L\prime t \mathrm{s}\mathrm{h} r \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi r
L\prime t
dr
\right) dv =
=
e
\pi 2
2L\prime t -
L\prime t
8
2\pi 2L\prime
\surd
L\prime L\prime \prime t
1
\surd
z1
+\infty \int
0
\left[
+\infty \int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
- 1
2v
\biggl(
z22
L\prime \prime +
1 + 2z1 \mathrm{c}\mathrm{h} r + z21
L\prime
\biggr) \biggr]
v5/2
dv
\right] e - r2
2L\prime t \mathrm{s}\mathrm{h} r \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi r
L\prime t
dr.
Наконец, поскольку при K > 0 имеет место равенство
+\infty \int
0
1
v5/2
e -
K
2v dv =
\surd
2\pi
K3/2
,
то
\pi
\bigl[
X1(t), X2(t)
\bigr]
(z1, z2) =
=
e
\pi 2
2L\prime t -
L\prime t
8
2\pi 2L\prime
\surd
L\prime L\prime \prime t
1
\surd
z1
+\infty \int
0
e -
v2
2L\prime t \mathrm{s}\mathrm{h} v \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi v
L\prime t\biggl(
z22
L\prime \prime +
1 + 2z1 \mathrm{c}\mathrm{h} v + z21
L\prime
\biggr) 3/2
\surd
2\pi dv =
=
e
\pi 2
2L\prime t -
L\prime t
8
\pi
\surd
2\pi L\prime \prime t
1
\surd
z1
+\infty \int
0
e -
v2
2L\prime t \mathrm{s}\mathrm{h} v \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi v
L\prime t\biggl(
(1 + 2z1 \mathrm{c}\mathrm{h} v + z21) +
L\prime
L\prime \prime z
2
2
\biggr) 3/2
dv.
Лемма 3.3 доказана.
Замечание 3.2. Плотность совместного распределения случайных величин X1(t) и X2(t)
симметрична по второй переменной:
\pi
\bigl[
X1(t), X2(t)
\bigr]
(z1, - z2) = \pi
\bigl[
X1(t), X2(t)
\bigr]
(z1, z2), z1 > 0, z2 \in \BbbR .
Теорема 3.2. При любых t > 0 и u \in \BbbR совместное распределение случайных величин
pt(u) и p\prime t(u) имеет плотность вида
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
816 В. В. ФОМИЧЕВ
\pi
\bigl[
pt(u), p
\prime
t(u)
\bigr]
(z1, z2) =
e
\pi 2
2L\prime t -
L\prime t
8
\pi
\surd
2\pi L\prime \prime t
+\infty \int
0
z
3/2
1 e -
v2
2L\prime t \mathrm{s}\mathrm{h} v \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi v
L\prime t\biggl(
(z21 + 2z31 \mathrm{c}\mathrm{h} v + z41) +
L\prime
L\prime \prime z
2
2
\biggr) 3/2
dv,
z1 \geq 0, z2 \in \BbbR , z21 + z22 \not = 0.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3.1. Положим
E = (0;+\infty )\times \BbbR ,
\scrE = \scrB
\bigl(
(0;+\infty )\times \BbbR
\bigr)
и для фиксированного t0 > 0
A(u, t) :=
\bigl(
pt0(u), p
\prime
t0(u)
\bigr)
, u \in \BbbR , t \geq 0.
Заметим, что отображение (\omega , u, t) \mapsto \rightarrow A(\omega , u, t) сейчас измеримо по совокупности переменных,
поскольку таковым является отображение (\omega , u, t) \mapsto \rightarrow x(\omega , u, t).
Поэтому для стохастического потока (3) и функции
f(z1, z2) =
1
z1
\cdot 1\mathrm{I}\{ z1 \in \Delta 1, z2 \in \Delta 2\} , (z1, z2) \in E,
где \Delta 1 \in \scrB ((0;+\infty )) и \Delta 2 \in \scrB (\BbbR ) произвольны, при s = 0 и t = t0 согласно теореме 2.3
имеем (чтобы не загромождать запись, до конца доказательства будем писать t вместо t0)
\bfE
\left[ \partial x\partial u(u, t) \cdot 1\mathrm{I}
\left\{
1
\partial x
\partial u
(u, t)
\in \Delta 1, -
\partial 2x
\partial u2
(u, t)\biggl(
\partial x
\partial u
(u, t)
\biggr) 3 \in \Delta 2
\right\}
\right] =
= \bfE
\biggl[
1
pt(0)
\cdot 1\mathrm{I}
\bigl\{
pt(0) \in \Delta 1, p
\prime
t(0) \in \Delta 2
\bigr\}
pt(0)
\biggr]
.
Следовательно,
\bfP
\bigl\{
pt(0) \in \Delta 1, p
\prime
t(0) \in \Delta 2
\bigr\}
= \bfE
\biggl[
X1(t) \cdot 1\mathrm{I}
\biggl\{
1
X1(t)
\in \Delta 1, -
X2(t)
X2
1 (t)
\in \Delta 2
\biggr\} \biggr]
=
=
+\infty \int
0
\int
\BbbR
v1 \cdot 1\mathrm{I}
\biggl\{
1
v1
\in \Delta 1, -
v2
v21
\in \Delta 2
\biggr\}
\pi
\bigl[
X1(t), X2(t)
\bigr]
(v1, v2) dv1 dv2 =
=
\left[
z1 =
1
v1
z2 = - v2
v21
\right] =
\int
\Delta 1
\int
\Delta 2
1
z51
\pi
\bigl[
X1(t), X2(t)
\bigr] \biggl( 1
z1
, - z2
z21
\biggr)
dz1 dz2.
Отсюда и из замечания 3.2 следует, что совместное распределение случайных величин pt(0) и
p\prime t(0) имеет плотность и для нее имеет место представление
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ИНТЕНСИВНОСТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ УРОВНЯ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ ОБРАЗА МЕРЫ ЛЕБЕГА . . . 817
\pi
\bigl[
pt(0), p
\prime
t(0)
\bigr]
(z1, z2) =
1
z51
\pi
\bigl[
X1(t), X2(t)
\bigr] \biggl( 1
z1
,
z2
z21
\biggr)
, z1 > 0, z2 \in \BbbR . (15)
Поэтому из леммы 3.3 получаем, что при z1 > 0 и z2 \in \BbbR
\pi
\bigl[
pt(0), p
\prime
t(0)
\bigr]
(z1, z2) =
1
z51
e
\pi 2
2L\prime t -
L\prime t
8
\pi
\surd
2\pi L\prime \prime t
\surd
z1
+\infty \int
0
e -
v2
2L\prime t \mathrm{s}\mathrm{h} v \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi v
L\prime t\biggl(
1 + 2z1 \mathrm{c}\mathrm{h} v + z21
z21
+
L\prime
L\prime \prime
z22
z41
\biggr) 3/2
dv =
=
e
\pi 2
2L\prime t -
L\prime t
8
\pi
\surd
2\pi L\prime \prime t
z
3/2
1
+\infty \int
0
e -
v2
2L\prime t \mathrm{s}\mathrm{h} v \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi v
L\prime t\biggl(
(z21 + 2z31 \mathrm{c}\mathrm{h} v + z41) +
L\prime
L\prime \prime z
2
2
\biggr) 3/2
dv.
Остается заметить, что в силу леммы 2.1 плотность совместного распределения pt(u) и
p\prime t(u) не зависит от u \in \BbbR .
Теорема 3.2 доказана.
Замечание 3.3. Плотность совместного распределения случайных величин pt(u) и p\prime t(u)
симметрична по второй переменной:
\pi
\bigl[
pt(u), p
\prime
t(u)
\bigr]
(z1, - z2) = \pi
\bigl[
pt(u), p
\prime
t(u)
\bigr]
(z1, z2), z1 > 0, z2 \in \BbbR .
4. Интенсивность пересечений уровня случайным процессом \bfitp \bfitt . В силу леммы 2.1 слу-
чайный процесс \{ pt(u), u \in \BbbR \} является стационарным (в узком смысле), а в силу теоремы 3.1
все его одномерные распределения непрерывны. Отсюда следует (см. [12, с. 146, 147]), что
для любого c \in \BbbR он почти наверное не равен тождественно c ни на каком отрезке и, значит,
для него корректно определены число Nt([0; 1]; c) пересечений уровня c на отрезке [0; 1] и
интенсивность \mu t(c) пересечений этого уровня.
Теорема 4.1. Для всех t > 0 справедливо соотношение
\mu t(c) =
\surd
2L\prime \prime \cdot e
\pi 2
2L\prime t -
L\prime t
8
\pi L\prime
\surd
\pi t
1\surd
c
+\infty \int
0
e -
v2
2L\prime t \mathrm{s}\mathrm{h} v \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi v
L\prime t\sqrt{}
1 +
2 \mathrm{c}\mathrm{h} v
c
+
1
c2
dv для почти всех c > 0.
Доказательство. Легко видеть, что случайный процесс \{ pt(u), u \in [0; 1]\} удовлетворяет
условиям теоремы 1.2, а значит,
\mu t(c) = \mu t(c) для почти всех c > 0,
где
\mu t(c) :=
1\int
0
\bfE
\bigl(
| p\prime t(u)| | pt(u) = c
\bigr)
\pi
\bigl[
pt(u)
\bigr]
(c) du.
Однако в силу теоремы 3.2, строгой положительности плотности \pi [pt(u)](z) при z > 0, выте-
кающей из теоремы 3.1, и замечания 3.3 имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
818 В. В. ФОМИЧЕВ
1\int
0
\bfE
\bigl(
| p\prime t(u)| | pt(u) = c
\bigr)
\pi
\bigl[
pt(u)
\bigr]
(c) du =
=
1\int
0
\infty \int
- \infty
| z| \pi
\bigl[
pt(u), p
\prime
t(u)
\bigr]
(c, z) dz du = 2
+\infty \int
0
z\pi
\bigl[
pt(0), p
\prime
t(0)
\bigr]
(c, z)dz
и, следовательно,
\mu t(c) = 2
+\infty \int
0
z\pi
\bigl[
pt(0), p
\prime
t(0)
\bigr]
(c, z) dz. (16)
Поэтому в силу той же теоремы 3.2
\mu t(c) = 2
+\infty \int
0
\left[ e
\pi 2
2L\prime t -
L\prime t
8
\pi
\surd
2\pi L\prime \prime t
z
+\infty \int
0
c3/2e -
v2
2L\prime t \mathrm{s}\mathrm{h} v \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi v
L\prime t\biggl(
(c2 + 2c3 \mathrm{c}\mathrm{h} v + c4) +
L\prime
L\prime \prime z
2
\biggr) 3/2
dv
\right] dz =
=
\surd
2e
\pi 2
2L\prime t -
L\prime t
8
\pi
\surd
\pi L\prime \prime t
c3/2
+\infty \int
0
\left[
+\infty \int
0
z dz\biggl(
(c2 + 2c3 \mathrm{c}\mathrm{h} v + c4) +
L\prime
L\prime \prime z
2
\biggr) 3/2
\right] e -
v2
2L\prime t \mathrm{s}\mathrm{h} v \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi v
L\prime t
dv.
А так как для любых A,B > 0
+\infty \int
0
z dz
(A+Bz2)3/2
=
1
B
\surd
A
,
то окончательно получаем
\mu t(c) =
\surd
2e
\pi 2
2L\prime t -
L\prime t
8
\pi
\surd
\pi L\prime \prime t
c3/2
+\infty \int
0
L\prime \prime e -
v2
2L\prime t \mathrm{s}\mathrm{h} v \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi v
L\prime t
L\prime
\surd
c2 + 2c3 \mathrm{c}\mathrm{h} v + c4
dv =
=
\surd
2L\prime \prime e
\pi 2
2L\prime t -
L\prime t
8
\pi L\prime
\surd
\pi t
1\surd
c
+\infty \int
0
e -
v2
2L\prime t \mathrm{s}\mathrm{h} v \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi v
L\prime t\sqrt{}
1 +
2 \mathrm{c}\mathrm{h} v
c
+
1
c2
dv.
Теорема 4.1 доказана.
Нахождение асимптотики \mu t(c) при c \rightarrow +\infty прямыми аналитическими методами пред-
ставляется затруднительным. Тем не менее эту асимптотику удается установить с помощью
вероятностного подхода1
1Автор выражает благодарность проф. А. А. Дороговцеву за совет использовать этот подход.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ИНТЕНСИВНОСТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ УРОВНЯ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ ОБРАЗА МЕРЫ ЛЕБЕГА . . . 819
Теорема 4.2. Для любого t > 0 справедливо соотношение
\mu t(c) =
e -
L\prime t
8
\surd
L\prime \prime
\pi
\surd
2L\prime
\sqrt{}
c
\mathrm{l}\mathrm{n} c
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
- (\mathrm{l}\mathrm{n} c)2
2L\prime t
\biggr]
(1 + o(1)), c \rightarrow +\infty .
Доказательство. Из равенств (16) и (15) получаем
\mu t(c) = 2
+\infty \int
0
z\pi
\bigl[
pt(0), p
\prime
t(0)
\bigr]
(c, z) dz =
=
2
c5
+\infty \int
0
z\pi
\bigl[
X1(t), X2(t)
\bigr] \biggl( 1
c
,
z
c2
\biggr)
dz =
=
2
c
+\infty \int
0
z\pi
\bigl[
X1(t), X2(t)
\bigr] \biggl( 1
c
, z
\biggr)
dz.
Заметим, что поскольку
+\infty \int
0
z\pi [X1(t), X2(t)]
\biggl(
1
c
, z
\biggr)
dz = \pi
\bigl[
X1(t)
\bigr] \biggl( 1
c
\biggr)
\bfE
\biggl(
(X2(t))+
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| X1(t) =
1
c
\biggr)
,
где
(z)+ :=
\left\{ z, z \geq 0,
0, z < 0,
то
\mu t(c) =
2
c
\pi
\bigl[
X1(t)
\bigr] \biggl( 1
c
\biggr)
\bfE
\biggl(
(X2(t))+
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| X1(t) =
1
c
\biggr)
=
=
2
c
\pi
\bigl[
X1(t)
\bigr] \biggl( 1
c
\biggr)
\bfE
\left( \bfE
\left[ \left( \surd
L\prime \prime
t\int
0
X1(s) dW2(s)
\right)
+
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| X1
\right] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| X1(t) =
1
c
\right) .
При этом стандартными рассуждениями, использующими приближение стохастического инте-
грала частичными суммами, независимость случайного процесса X1 от винеровского процесса
W2 и тот факт, что если \xi \sim \scrN (0;\sigma 2), то
\bfE (\xi )+ =
\sigma \surd
2\pi
,
можно показать, что
\bfE
\left( \left( \surd
L\prime \prime
t\int
0
X1(s) dW2(s)
\right)
+
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| X1
\right) =
\surd
L\prime \prime
\surd
2\pi
\left( t\int
0
X2
1 (s) ds
\right) 1/2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
820 В. В. ФОМИЧЕВ
Значит,
\mu t(c) =
2
c
\pi [X1(t)]
\biggl(
1
c
\biggr) \surd
L\prime \prime
\surd
2\pi
\bfE
\left(
\left( t\int
0
X2
1 (s) ds
\right) 1/2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| X1(t) =
1
c
\right) .
Однако
\bfE
\left(
\left( t\int
0
X2
1 (s) ds
\right) 1/2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| X1(t) =
1
c
\right) =
= \bfE
\left(
\left( t\int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl[
- L\prime s+ 2
\surd
L\prime
\Bigl( s
t
W1(t) + \widetilde B(s)
\Bigr) \Bigr]
ds
\right) 1/2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| W1(t) =
1\surd
L\prime
\biggl(
1
2
L\prime t - \mathrm{l}\mathrm{n} c
\biggr) \right) ,
где \widetilde B(s) := W1(s) -
s
t
W1(t), 0 \leq s \leq t.
Поскольку случайный процесс
\bigl\{ \widetilde B(s), 0 \leq s \leq t
\bigr\}
не зависит от случайной величины W1(t),
то
\bfE
\left(
\left( t\int
0
X2
1 (s) ds
\right) 1/2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| X1(t) =
1
c
\right) =
= \bfE
\left( t\int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
- L\prime s+ 2
\surd
L\prime s
t
1\surd
L\prime
\biggl(
1
2
L\prime t - \mathrm{l}\mathrm{n} c
\biggr)
+ 2
\surd
L\prime \widetilde B(s)
\biggr]
ds
\right) 1/2
=
= \bfE
\left( t\int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl[
- 2 \mathrm{l}\mathrm{n} c \cdot s
t
+ 2
\surd
L\prime \widetilde B(s)
\Bigr]
ds
\right) 1/2
.
Положим
B(s) :=
1\surd
t
\widetilde B(st), 0 \leq s \leq 1.
Тогда
\bigl\{
B(s), 0 \leq s \leq 1
\bigr\}
— стандартный броуновский мост и
\bfE
\left( t\int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl[
- 2 \mathrm{l}\mathrm{n} c \cdot s
t
+ 2
\surd
L\prime \widetilde B(s)
\Bigr]
ds
\right) 1/2
=
= \bfE
\left( t\int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl[
- 2 \mathrm{l}\mathrm{n} c \cdot s
t
+ 2
\surd
L\prime
\surd
tB
\Bigl( s
t
\Bigr) \Bigr]
ds
\right) 1/2
=
=
\surd
t\bfE
\left( 1\int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl[
- 2 \mathrm{l}\mathrm{n} c \cdot s+ 2
\surd
L\prime tB(s)
\Bigr]
ds
\right) 1/2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ИНТЕНСИВНОСТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ УРОВНЯ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ ОБРАЗА МЕРЫ ЛЕБЕГА . . . 821
Определим теперь функции hc : [0; 1] \rightarrow \BbbR , c > 1, равенством
hc(s) :=
2c2 \mathrm{l}\mathrm{n} c
c2 - 1
e - 2 ln c\cdot s, 0 \leq s \leq 1, c > 1,
и заметим, что они удовлетворяют следующим условиям:
1) hc(s) \geq 0, s \in [0; 1], c > 1;
2)
\int 1
0
hc(s) ds = 1, c > 1;
3) \forall \varepsilon \in (0; 1) : \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}c\rightarrow +\infty
\int 1
\varepsilon
hc(s) ds = 0.
Поэтому
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
c\rightarrow +\infty
1\int
0
hc(s)e
2
\surd
L\prime tB(s) ds = e2
\surd
L\prime tB(0) = 1.
Поскольку же для любого n \geq 1 имеем
\bfE \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
c>1
\left( 1\int
0
hc(s)e
2
\surd
L\prime tB(s) ds
\right) n
\leq \bfE \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
c>1
\left( 1\int
0
hc(s) ds e
2
\surd
L\prime t max
0\leq s\leq 1
B(s)
\right) n
=
= \bfE \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
c>1
e
2n
\surd
L\prime t max
0\leq s\leq 1
B(s)
= \bfE e
2n
\surd
L\prime t max
0\leq s\leq 1
B(s)
< +\infty ,
то семейство случайных величин\left( 1\int
0
hc(s)e
2
\surd
L\prime tB(s) ds
\right) 1/2
, c > 1,
является равномерно интегрируемым и, следовательно,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
c\rightarrow +\infty
\bfE
\left( 1\int
0
hc(s)e
2
\surd
L\prime tB(s) ds
\right) 1/2
= \bfE \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
c\rightarrow +\infty
\left( 1\int
0
hc(s)e
2
\surd
L\prime tB(s) ds
\right) 1/2
= 1.
Поэтому
\bfE
\left( 1\int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl[
- 2 \mathrm{l}\mathrm{n} c \cdot s+ 2
\surd
L\prime tB(s)
\Bigr]
ds
\right) 1/2
=
1\surd
2 \mathrm{l}\mathrm{n} c
(1 + o(1)), c \rightarrow +\infty .
Таким образом, учитывая следствие 3.1, окончательно получаем
\mu t(c) =
2
c
e -
L\prime t
8
\surd
2\pi L\prime t
c3/2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
- (\mathrm{l}\mathrm{n} c)2
2L\prime t
\biggr] \surd
L\prime \prime
\surd
2\pi
\surd
t
1\surd
2 \mathrm{l}\mathrm{n} c
(1 + o(1)) =
=
e -
L\prime t
8
\surd
L\prime \prime
\pi
\surd
2L\prime
\sqrt{}
c
\mathrm{l}\mathrm{n} c
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
- (\mathrm{l}\mathrm{n} c)2
2L\prime t
\biggr]
(1 + o(1)), c \rightarrow +\infty ,
что и требовалось доказать.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
822 В. В. ФОМИЧЕВ
Литература
1. Дороговцев А. А. Мерозначные процессы и стохастические потоки. – Киев: Ин-т математики НАН Украины,
2007. – 289 с.
2. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов (нелинейная фильтрация и смежные вопросы). –
М.: Наука, 1974. – 696 с.
3. Лифшиц М. А. Гауссовские случайные функции. – Киев: ТВiМС, 1995. – 246 с.
4. Adler R. J. On excursion sets, tube formulas and maxima of random fields // Ann. Appl. Probab. – 2000. – 10, № 1. –
P. 1 – 74.
5. Arratia R. A. Coalescing Brownian motions on the line: PhD thesis. – Madison, 1979. – iv + 128 p.
6. Azaı̈s J.-M., Wschebor M. Level sets and extrema of random processes and fields. – John Wiley & Sons, Inc., 2009. –
xi + 393 p.
7. Borodin A. N., Salminen P. Handbook of Brownian motion – facts and formulae. – 2nd ed. – Birkhäuser, 2002. –
xvi + 658 p.
8. Dorogovtsev A. A. One Brownian stochastic flow // Theory Stochast. Process. – 2004. – 10(26), № 3-4. – P. 21 – 25.
9. Harris T. E. Coalescing and noncoalescing stochastic flows in R1 // Stochast. Process. and Appl. – 1984. – 17. –
P. 187 – 210.
10. Kallenberg O. Foundations of modern probability. – 2nd ed. – Springer, 2002. – xx + 638 p.
11. Kunita H. Stochastic flows and stochastic differential equations. – Cambridge Univ. Press, 1990. – 346 p.
12. Leadbetter M. R., Lindgren G., Rootzén H. Extremes and related properties of random sequences and processes. –
Springer-Verlag, 1983. – xii + 336 p.
13. Leadbetter M. R., Spaniolo G. V. Reflections on Rice’s formulae for level crossings – history, extensions and use //
Austral. and New Zealand J. Statist. – 2004. – 46, № 1. – P. 173 – 180.
14. Nishchenko I. I. Discrete time approximation of coalescing stochastic flows on the real line // Theory Stochast.
Process. – 2011. – 17(33), № 1. – P. 70 – 78.
15. Zirbel C. L. Stochastic flows: dispersion of a mass distribution and Lagrangian observations of a random field: PhD
thesis. – Princeton Univ., 1993. – 162 p.
Получено 16.03.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1736 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:39Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/bf/6d35124043b1078efdeea02b386b8fbf.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17362019-12-05T09:25:15Z Level-crossing intensity for the density of the image of the Lebesgue measure under the action of a Brownian stochastic flow Интенсивность пересечений уровня для плотности образа меры Лебега под действием броуновского стохастического потока Fomichev, V. V. Фомичев, В. В. Фомичев, В. В. We compute the level-crossing intensity for the density of the image of the Lebesgue measure under the action of a Brownian stochastic flow, which is a smooth approximation of the Arratia flow, and determine its asymptotic behavior as the height of the level tends to infinity. Обчислено iнтенсивнiсть перетинiв рiвня для щiльностi образу мiри Лебега пiд дiєю броунiвського стохастичного потоку, що є гладким наближенням потоку Арратья, та визначено її асимптотичну поведiнку при прямуваннi висоти рiвня до нескiнченностi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1736 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 6 (2017); 803-822 Український математичний журнал; Том 69 № 6 (2017); 803-822 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1736/718 Copyright (c) 2017 Fomichev V. V. |
| spellingShingle | Fomichev, V. V. Фомичев, В. В. Фомичев, В. В. Level-crossing intensity for the density of the image of the Lebesgue measure under the action of a Brownian stochastic flow |
| title | Level-crossing intensity for the density of the image of the Lebesgue measure
under the action of a Brownian stochastic flow |
| title_alt | Интенсивность пересечений уровня для плотности образа меры Лебега
под действием броуновского стохастического потока |
| title_full | Level-crossing intensity for the density of the image of the Lebesgue measure
under the action of a Brownian stochastic flow |
| title_fullStr | Level-crossing intensity for the density of the image of the Lebesgue measure
under the action of a Brownian stochastic flow |
| title_full_unstemmed | Level-crossing intensity for the density of the image of the Lebesgue measure
under the action of a Brownian stochastic flow |
| title_short | Level-crossing intensity for the density of the image of the Lebesgue measure
under the action of a Brownian stochastic flow |
| title_sort | level-crossing intensity for the density of the image of the lebesgue measure
under the action of a brownian stochastic flow |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1736 |
| work_keys_str_mv | AT fomichevvv levelcrossingintensityforthedensityoftheimageofthelebesguemeasureundertheactionofabrownianstochasticflow AT fomičevvv levelcrossingintensityforthedensityoftheimageofthelebesguemeasureundertheactionofabrownianstochasticflow AT fomičevvv levelcrossingintensityforthedensityoftheimageofthelebesguemeasureundertheactionofabrownianstochasticflow AT fomichevvv intensivnostʹperesečenijurovnâdlâplotnostiobrazamerylebegapoddejstviembrounovskogostohastičeskogopotoka AT fomičevvv intensivnostʹperesečenijurovnâdlâplotnostiobrazamerylebegapoddejstviembrounovskogostohastičeskogopotoka AT fomičevvv intensivnostʹperesečenijurovnâdlâplotnostiobrazamerylebegapoddejstviembrounovskogostohastičeskogopotoka |