Substantiation of the collocation method for one class of systems of integral equations
We present the substantiation of the collocation method for a system surface integral equations of the boundary-value problem of conjugation for the Helmholtz equations. Moreover, we construct a sequence convergent to the exact solution of the boundary-value problem of conjugation and estimate its e...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1737 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507587943858176 |
|---|---|
| author | Khalilov, E. G. Халилов, Э. Г. Халилов, Э. Г. |
| author_facet | Khalilov, E. G. Халилов, Э. Г. Халилов, Э. Г. |
| author_sort | Khalilov, E. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:25:15Z |
| description | We present the substantiation of the collocation method for a system surface integral equations of the boundary-value
problem of conjugation for the Helmholtz equations. Moreover, we construct a sequence convergent to the exact solution
of the boundary-value problem of conjugation and estimate its error. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.64
Э. Г. Халилов (Азерб. гос. ун-т нефти и пром-сти, Баку)
ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА КОЛЛОКАЦИИ
ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
We present the substantiation of the collocation method for a system surface integral equations of the boundary-value
problem of conjugation for the Helmholtz equations. Moreover, we construct a sequence convergent to the exact solution
of the boundary-value problem of conjugation and estimate its error.
Наведено обґрунтування методу колокацiї для системи поверхневих iнтегральних рiвнянь граничної задачi спря-
ження для рiвнянь Гельмгольца. Крiм того, побудовано послiдовнiсть, що збiгається до точного розв’язку граничної
задачi спряження, i наведено оцiнку похибки.
1. Введение и постановка задачи. Известно, что процесс распространения акустических волн
в однородной изотропной среде описывается волновым уравнением, решение которого иссле-
довано, например, в работах [1 – 4] приближенными методами. Одним из методов решения
граничной задачи для уравнения Гельмгольца является приведение их к интегральному урав-
нению. А поскольку интегральные уравнения в замкнутом виде решаются лишь в некоторых
случаях, первостепенное значение приобретает разработка приближенных методов решения
интегральных уравнений с соответствующим теоретическим обоснованием. Отметим, что ряд
работ (см. [5 – 17]) посвящен исследованию приближенных решений интегральных уравнений
различных краевых задач для уравнения Гельмгольца. В настоящей работе изучается при-
ближенное решение граничной задачи сопряжения для уравнений Гельмгольца в трехмерном
пространстве методом интегральных уравнений.
Рассмотрим распространение акустических волн в однородной изотропной среде D \subset \BbbR 3
со скоростью распространения звука c0 и коэффициентом поглощения \gamma 0. Тогда потенциал
скоростей U0 удовлетворяет диссипативному волновому уравнению
\partial 2U0
\partial t2
+ \gamma 0
\partial U0
\partial t
- c20\Delta U0 = 0,
и, следовательно, для гармонически зависящих от времени акустических волн вида U0(x, t) =
= u0(x)e
- i\omega 0t с частотой \omega 0 > 0 амплитуда u0 удовлетворяет уравнению Гельмгольца (см. [18,
с. 78])
\Delta u0 + k20u0 = 0 в D, (1.1)
где \Delta — оператор Лапласа, k20 = \omega 0(\omega 0+ i\gamma 0)/c
2
0. Выберем k0 так, чтобы выполнялось условие
\mathrm{I}\mathrm{m} k0 \geq 0. Кроме того, рассматривая распространение акустических волн в однородной изо-
тропной среде \BbbR 3\setminus \=D со скоростью распространения звука c и коэффициентом поглощения \gamma ,
получаем, что амплитуда u удовлетворяет уравнению Гельмгольца
\Delta u+ k2u = 0 в \BbbR 3\setminus \=D, (1.2)
где k2 = \omega (\omega +i\gamma )/c2, \omega > 0 — частота акустической волны вида U(x, t) = u(x) e - i\omega t. Выберем
k опять-таки так, чтобы выполнялось условие \mathrm{I}\mathrm{m} k \geq 0.
c\bigcirc Э. Г. ХАЛИЛОВ, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6 823
824 Э. Г. ХАЛИЛОВ
Пусть D — ограниченная область с дважды непрерывно дифференцируемой границей S.
Известно (см. [18, с. 112]), что математическая формулировка задачи дифракции акустиче-
ских волн на теле D с различными акустическими характеристиками в \BbbR 3\setminus \=D и D при-
водит к задаче сопряжения, которая заключается в следующем: найти две функции u \in
\in C2
\bigl(
\BbbR 3\setminus \=D
\bigr) \bigcap
C
\bigl(
\BbbR 3\setminus D
\bigr)
и u0 \in C2(D)
\bigcap
C
\bigl(
\=D
\bigr)
, удовлетворяющие уравнениям Гельмголь-
ца (1.1) и (1.2), условию излучения\biggl(
x
| x|
, \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}u(x)
\biggr)
- iku(x) = o
\biggl(
1
| x|
\biggr)
, | x| \rightarrow \infty ,
равномерно по всем направлениям x/| x| и условиям сопряжения
\mu u - \mu 0u0 = f на S,
\partial u
\partial \vec{}n
- \partial u0
\partial \vec{}n
= g на S,
где \vec{}n(x) — единичная внешняя нормаль в точке x \in S, f и g — заданные непрерывные функции
на S, а \mu и \mu 0 — заданные комплексные числа, причем \mu + \mu 0 \not = 0. Здесь второе граничное
условие понимается в том смысле, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow +0
\biggl(
\partial u (x+ h\vec{}n(x))
\partial \vec{}n(x)
- \partial u0 (x - h\vec{}n(x))
\partial \vec{}n(x)
\biggr)
= g(x), x \in S,
равномерно по x на S. С физической точки зрения надлежащий выбор постоянных \mu и \mu 0
гарантирует непрерывность давления и нормальной скорости акустических волн при переходе
через границу S.
В монографии [18, с. 114] показано, что комбинация потенциалов простого и двойного
слоев
u(x) =
\int
S
\biggl\{
\partial \Phi k(x, y)
\partial \vec{}n(y)
\psi (y) + \mu \Phi k(x, y)\varphi (y)
\biggr\}
dSy, x \in \BbbR 3\setminus \=D,
u0(x) =
\int
S
\biggl\{
\partial \Phi k0(x, y)
\partial \vec{}n(y)
\psi (y) + \mu 0\Phi k0(x, y)\varphi (y)
\biggr\}
dSy, x \in D,
с непрерывными плотностями \psi и \varphi является решением задачи сопряжения, если \psi и \varphi —
решения системы интегральных уравнений
(\mu + \mu 0)\psi + (\mu K - \mu 0K0)\psi +
\bigl(
\mu 2L - \mu 20L0
\bigr)
\varphi = 2f,
(\mu + \mu 0)\varphi - (T - T0)\psi -
\bigl(
\mu \~K - \mu 0 \~K0
\bigr)
\varphi = - 2g,
(1.3)
где
\Phi k(x, y) = eik| x - y| /(4\pi | x - y| ), \Phi k0(x, y) = \Phi k(x, y)| k=k0 , x, y \in \BbbR 3, x \not = y,
(K\psi )(x) = 2
\int
S
\partial \Phi k(x, y)
\partial \vec{}n(y)
\psi (y) dSy, K0 = K| k=k0 , x \in S,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА КОЛЛОКАЦИИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА . . . 825
(T\psi )(x) = 2
\partial
\partial \vec{}n(x)
\left( \int
S
\partial \Phi k(x, y)
\partial \vec{}n(y)
\psi (y) dSy
\right) , T0 = T | k=k0 , x \in S,
(L\varphi )(x) = 2
\int
S
\Phi k(x, y)\varphi (y) dSy, L0 = L| k=k0 , x \in S,
( \~K\varphi )(x) = 2
\int
S
\partial \Phi k(x, y)
\partial \vec{}n(x)
\varphi (y) dSy, \~K0 = \~K| k=k0 , x \in S.
В пространстве C(S)\times C(S) введем оператор
A =
1
\mu + \mu 0
\Biggl(
\mu K - \mu 0K0 \mu 2L - \mu 20L0
T0 - T \mu 0 \~K0 - \mu \~K
\Biggr)
.
Тогда систему (1.3) можно записать в виде
(I +A)\chi = h, (1.4)
где I — единичный оператор в C(S)\times C(S), \chi =
\biggl(
\psi
\varphi
\biggr)
и h =
2
\mu + \mu 0
\biggl(
f
- g
\biggr)
. Следует заметить,
что C(S) \times C(S) является банаховым пространством с нормой \| \chi \| \infty = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} \{ \| \psi \| \infty , \| \varphi \| \infty \} ,
где \| f\| \infty = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x\in S | f(x)| .
К сожалению, до сих пор не исследованы приближенные методы решения систем инте-
гральных уравнений (1.3). В этой статье мы постарались устранить этот пробел.
2. Построение кубатурной формулы. Разобьем S на элементарные области S =
\bigcup N
l=1 S
N
l
такие, что:
1) для каждого l = 1, N область SN
l замкнута и множество
0
SN
l ее внутренних относительно
S точек не пусто, причем \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}
0
SN
l = \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}SN
l и
0
SN
l
\bigcap 0
SN
j = \varnothing при j \in \{ 1, 2, . . . , N\} , j \not = l;
2) для каждого l = 1, N область SN
l представляет собой связный кусок поверхности S с
непрерывной границей;
3) для каждого l = 1, N существует так называемая опорная точка xl \in SN
l такая, что:
3.1) rl(N) \sim Rl(N) (rl(N) \sim Rl(N) \leftrightarrow C1 \leq rl(N)/Rl(N) \leq C2, C1 и C2 — поло-
жительные постоянные, не зависящие от N ), где rl(N) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}x\in \partial SN
l
| x - xl| и Rl(N) =
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x\in \partial SN
l
| x - xl| ;
3.2) Rl(N) \leq d/2, где d — радиус стандартной сферы (см. [19, c. 400]);
3.3) rj(N) \sim rl(N) для каждого j = 1, N.
Очевидно, что r(N) \sim R(N) и \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}N\rightarrow \infty R(N) = 0, где R(N) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}l=1,N Rl(N), r(N) =
= \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}l=1,N rl(N).
Такое разбиение, как и разбиение единичной сферы на элементарные части, было проведено
в [20].
Пусть Sd(x) и \Gamma d(x) — части соответственно поверхности S и касательной плоскости \Gamma (x)
в точке x \in S, заключенные внутри сферы Bd(x) радиуса d с центром в точке x. Кроме того,
пусть \~y \in \Gamma (x) — проекция точки y \in S. Тогда
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
826 Э. Г. ХАЛИЛОВ
| x - \~y| \leq | x - y| \leq c1(S) | x - \~y| и \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}Sd(x) \leq c2(S)\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s} \Gamma d(x), (2.1)
где c1(S) и c2(S) — положительные постоянные, зависящие лишь от S (если S — сфера, то
c1(S) =
\surd
2 и c2(S) = 2).
Справедлива следующая лемма.
Лемма 2.1 [20]. Существуют не зависящие от N постоянные C \prime
0 > 0 и C \prime
1 > 0, для
которых при любых l, j \in \{ 1, 2, . . . , N\} , j \not = l, и любом y \in SN
j выполняется следующее
неравенство:
C \prime
0 | y - xl| \leq | xj - xl| \leq C \prime
1 | y - xl| . (2.2)
Пусть \BbbC 2N — пространство векторов z2N =
\bigl(
z2N1 , z2N2 , . . . , z2N2N
\bigr) T
, z2Nl \in \BbbC , l = 1, 2N, с
нормой
\bigm\| \bigm\| z2N\bigm\| \bigm\| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}l=1,2N
\bigm| \bigm| z2Nl \bigm| \bigm| , а p2N : C(S) \times C(S) \rightarrow \BbbC 2N — линейный ограниченный
оператор, определяемый формулой
p2N\chi = p2N
\Biggl(
\psi
\varphi
\Biggr)
=
\Bigl(
\psi (x1) , \psi (x2) , . . . , \psi (xN ) , \varphi (x1) , \varphi (x2) , . . . , \varphi (xN )
\Bigr) T
и называемый оператором простого сноса, где запись aT означает транспонирование вектора
a. Кроме того, для функции \chi \in C(S)\times C(S) введем модуль непрерывности вида
\omega (\chi , \delta ) = \delta \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\tau \geq \delta
\=\omega (\chi , \tau )
\tau
, \delta > 0, где \=\omega (\chi , \tau ) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
| x - y| \leq \tau
x,y\in S
| \chi (x) - \chi (y)| ,
и рассмотрим 2N -мерную матрицу A2N = (alj)
2N
l,j=1 с элементами
alj =
| \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (l - j)|
\mu + \mu 0
\biggl(
\mu
\partial \Phi k (xl, xj)
\partial \vec{}n (xj)
- \mu 0
\partial \Phi k0 (xl, xj)
\partial \vec{}n (xj)
\biggr)
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}SN
j
при l = 1, N и j = 1, N ;
alj =
| \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (l - j +N)|
\mu + \mu 0
\bigl(
\mu 2\Phi k (xl, xj - N ) - \mu 20\Phi k0 (xl, xj - N )
\bigr)
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}SN
j - N
при l = 1, N и j = N + 1, 2N ;
alj =
| \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (l - j - N)|
\mu + \mu 0
\partial
\partial \vec{}n (xl - N )
\biggl(
\partial (\Phi k0 (xl - N , xj) - \Phi k (xl - N , xj))
\partial \vec{}n (xj)
\biggr)
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}SN
j
при l = N + 1, 2N и j = 1, N ;
alj =
| \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (l - j)|
\mu + \mu 0
\biggl(
\mu 0
\partial \Phi k0 (xl - N , xj - N )
\partial \vec{}n (xl - N )
- \mu
\partial \Phi k (xl - N , xj - N )
\partial \vec{}n (xl - N )
\biggr)
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}SN
j - N
при l = N + 1, 2N и j = N + 1, 2N.
Теорема 2.1. Пусть \chi =
\biggl(
\psi
\varphi
\biggr)
принадлежит пространству C(S)\times C(S). Тогда выраже-
ние
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА КОЛЛОКАЦИИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА . . . 827\left(
N\sum
j=1
al j\psi (xj) +
N\sum
j=1
al,N+j \varphi (xj)
N\sum
j=1
aN+l,j \psi (xj) +
N\sum
j=1
aN+l,N+j \varphi (xj)
\right) (2.3)
в точках xl, l = 1, N, является кубатурной формулой для (A\chi )(x), причем справедлива оценка\bigm\| \bigm\| p2N (A\chi ) - A2N (p2N\chi )
\bigm\| \bigm\| \leq M
\bigl[
\| \chi \| \infty R(N)| \mathrm{l}\mathrm{n}R(N)| + \omega (\chi ,R(N))
\bigr]
. (2.4)
Здесь и далее через M обозначены положительные постоянные, разные в различных нера-
венствах.
Доказательство. В работе [21] доказано, что выражения
(L\varphi )N (xl) = 2
N\sum
j=1
j \not =l
\Phi k (xl, xj)\varphi (xj)\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}SN
j ,
(K\psi )N (xl) = 2
N\sum
j=1
j \not =l
\partial \Phi k (xl, xj)
\partial \vec{}n (xj)
\psi (xj)\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}SN
j ,
\Bigl(
\~K\varphi
\Bigr) N
(xl) = 2
N\sum
j=1
j \not =l
\partial \Phi k (xl, xj)
\partial \vec{}n (xl)
\varphi (xj)\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}SN
j ,
((T - T0)\psi )
N (xl) = 2
N\sum
j=1
j \not =l
\partial
\partial \vec{}n (xl)
\biggl(
\partial (\Phi k (xl, xj) - \Phi k0 (xl, xj))
\partial \vec{}n (xj)
\biggr)
\psi (xj)\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}SN
j
в точках xl, l = 1, N, являются кубатурными формулами для интегралов (L\varphi )(x), (K\psi )(x),
( \~K\varphi )(x) и ((T - T0)\psi ) (x) соответственно, причем
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
l=1,N
\bigm| \bigm| (L\varphi )(xl) - (L\varphi )N (xl)
\bigm| \bigm| \leq M (\| \varphi \| \infty R(N) | \mathrm{l}\mathrm{n}R(N)| + \omega (\varphi ,R(N))),
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
l=1,N
\bigm| \bigm| (K\psi )(xl) - (K\psi )N (xl)
\bigm| \bigm| \leq M (\| \psi \| \infty R(N) | \mathrm{l}\mathrm{n}R(N)| + \omega (\psi ,R(N))),
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
l=1,N
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Bigl( \~K\varphi
\Bigr)
(xl) -
\Bigl(
\~K\varphi
\Bigr) N
(xl)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq M (\| \varphi \| \infty R(N) | \mathrm{l}\mathrm{n}R(N)| + \omega (\varphi ,R(N))),
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
l=1,N
\bigm| \bigm| ((T - T0)\psi )(xl) - ((T - T0)\psi )
N (xl)
\bigm| \bigm| \leq
\leq M(\| \psi \| \infty R(N)| \mathrm{l}\mathrm{n}R(N)| + \omega (\psi ,R(N))).
Следовательно, выражения
N\sum
j=1
al j\psi (xj) +
N\sum
j=1
al,N+j \varphi (xj)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
828 Э. Г. ХАЛИЛОВ
и
N\sum
j=1
aN+l,j \psi (xj) +
N\sum
j=1
aN+l,N+j \varphi (xj) ,
в точках xl, l = 1, N, являются кубатурными формулами для интегралов
1
\mu + \mu 0
\bigl(
(\mu K\psi - \mu 0K0\psi )(x) +
\bigl(
\mu 2L\varphi - \mu 20L0\varphi
\bigr)
(x)
\bigr)
и
1
\mu + \mu 0
\Bigl(
(T0\psi - T\psi ) (x) +
\bigl(
\mu 0 \~K0\varphi - \mu \~K\varphi
\bigr)
(x)
\Bigr)
соответственно. Значит, выражение\left(
N\sum
j=1
al j\psi (xj) +
N\sum
j=1
al,N+j \varphi (xj)
N\sum
j=1
aN+l,j \psi (xj) +
N\sum
j=1
aN+l,N+j \varphi (xj)
\right)
в точках xl, l = 1, N, является кубатурной формулой для (A\chi )(x). Кроме того, принимая
во внимание оценки погрешностей кубатурных формул для интегралов (L\varphi )(x), (K\psi )(x),
( \~K\varphi )(x) и
\bigl(
(T - T0)\psi
\bigr)
(x), убеждаемся в справедливости оценки (2.4).
Теорема 2.1 доказана.
3. Обоснование метода коллокации. Использовав кубатурную формулу (2.3), систему
интегральных уравнений (1.3) заменим системой алгебраических уравнений относительно
z2N \in \BbbC 2N , являющегося приближенным значением p2N\chi
\bigl(
здесь z2Nl , l = 1, N, является
приближенным значением \psi (xl), а z2NN+l, l = 1, N, — приближенным значением \varphi (xl)
\bigr)
. Эту
систему, в свою очередь, запишем в виде\bigl(
I2N + A2N
\bigr)
z2N = h2N , (3.1)
где h2N = p2Nh и I 2N — единичный оператор в \BbbC 2N .
Сформулируем теперь основной результат данной работы.
Теорема 3.1. Пусть h принадлежит пространству C(S)\times C(S). Тогда уравнения (1.4) и
(3.1) имеют единственные решения \chi \ast \in C(S)\times C(S) и z2N\ast \in \BbbC 2N (при N \geq N0) соответ-
ственно, при этом \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}N\rightarrow \infty
\bigm\| \bigm\| z2N\ast - p2N\chi \ast
\bigm\| \bigm\| = 0 с оценкой скорости сходимости\bigm\| \bigm\| z2N\ast - p2N\chi \ast
\bigm\| \bigm\| \leq M
\bigl[
R(N) | \mathrm{l}\mathrm{n}R(N)| + \omega (h,R(N))
\bigr]
.
Доказательство. Вначале отметим, что здесь мы будем пользоваться теоремой Г. М. Вай-
никко о сходимости для линейных операторных уравнений (см. [22]). При этом воспользуемся
обозначениями, необходимыми определениями и предложениями из работы [22].
Проверим выполнение условий теоремы 4.2 из работы [22, с. 14]. В работе [18, с. 114]
доказано, что \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(I + A) = \{ 0\} . Очевидно, что операторы I2N + A2N фредгольмовы с нуле-
вым индексом и система операторов простого сноса P =
\bigl\{
p2N
\bigr\}
является связывающей для
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА КОЛЛОКАЦИИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА . . . 829
пространств C(S) \times C(S) и \BbbC 2N . Тогда по определению 1.2 из работы [22, с. 7] h2N
P\rightarrow h, а
согласно теореме 2.1 и определению 2.1 из работы [22, с. 10] I2N +A2N PP\rightarrow I +A. Поскольку
по определению 3.2 из работы [22, с. 11] I2N \rightarrow I устойчиво, то согласно предложению 3.5 из
работы [22, с. 12] и определению 3.3 из работы [22, с. 11] осталось проверить условие компакт-
ности, которое в силу предложения 1.1 из работы [22, с. 8] равносильно условию: для любой
последовательности
\bigl\{
z2N
\bigr\}
, z2N \in \BbbC 2N ,
\bigm\| \bigm\| z2N\bigm\| \bigm\| \leq M, существует относительно компактная
последовательность
\bigl\{
A2Nz
2N
\bigr\}
\subset C(S)\times C(S) такая, что\bigm\| \bigm\| A2N z2N - p2N
\bigl(
A2Nz
2N
\bigr) \bigm\| \bigm\| \rightarrow 0 при N \rightarrow \infty .
В качестве
\bigl\{
A2Nz
2N
\bigr\}
выберем последовательность
\bigl(
A2Nz
2N
\bigr)
(x) =
\left(
2N\sum
j=1
a
(1)
j (x) z2Nj
2N\sum
j=1
a
(2)
j (x) z2Nj
\right) ,
где
a
(1)
j (x) =
2
\mu + \mu 0
\left( \mu \int
SN
j
\partial \Phi k(x, y)
\partial \vec{}n(y)
dSy - \mu 0
\int
SN
j
\partial \Phi k0(x, y)
\partial \vec{}n(y)
dSy
\right)
при j = 1, N,
a
(1)
j (x) =
2
\mu + \mu 0
\left( \mu 2 \int
SN
j - N
\Phi k(x, y)dSy - \mu 20
\int
SN
j - N
\Phi k0(x, y)dSy
\right)
при j = N + 1, 2N,
a
(2)
j (x) =
2
\mu + \mu 0
\int
SN
j
\partial
\partial \vec{}n(x)
\Biggl(
\partial
\bigl(
\Phi k0(x, y) - \Phi k(x, y)
\bigr)
\partial \vec{}n(y)
\Biggr)
dSy
при j = 1, N,
a
(2)
j (x) =
2
\mu + \mu 0
\left( \mu 0 \int
SN
j - N
\partial \Phi k0(x, y)
\partial \vec{}n(x)
dSy - \mu
\int
SN
j - N
\partial \Phi k(x, y)
\partial \vec{}n(x)
dSy
\right)
при j = N + 1, 2N.
Очевидно, что \bigm| \bigm| \bigl( A2Nz
2N
\bigr)
(x)
\bigm| \bigm| \leq M
\bigm\| \bigm\| z2N\bigm\| \bigm\| \forall x \in S. (3.2)
Возьмем любые точки x\prime , x\prime \prime \in S такие, что | x\prime - x\prime \prime | = \delta < d/2. Тогда
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
830 Э. Г. ХАЛИЛОВ\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2N\sum
j=1
a
(1)
j (x\prime )z2Nj -
2N\sum
j=1
a
(1)
j (x\prime \prime )z2Nj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
2 | \mu |
\bigm\| \bigm\| z2N\bigm\| \bigm\|
| \mu + \mu 0|
\int
S\delta /2(x
\prime )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi k(x
\prime , y)
\partial \vec{}n(y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dSy + 2 | \mu |
\bigm\| \bigm\| z2N\bigm\| \bigm\|
| \mu + \mu 0|
\int
S\delta /2(x
\prime \prime )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi k(x
\prime \prime , y)
\partial \vec{}n(y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dSy+
+
2 | \mu |
\bigm\| \bigm\| z2N\bigm\| \bigm\|
| \mu + \mu 0|
\int
S\delta /2(x
\prime )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi k(x
\prime \prime , y)
\partial \vec{}n(y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dSy + 2 | \mu |
\bigm\| \bigm\| z2N\bigm\| \bigm\|
| \mu + \mu 0|
\int
S\delta /2(x
\prime \prime )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi k(x
\prime , y)
\partial \vec{}n(y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dSy+
+
2 | \mu |
\bigm\| \bigm\| z2N\bigm\| \bigm\|
| \mu + \mu 0|
\int
S\setminus (S\delta /2(x
\prime )
\bigcup
S\delta /2(x
\prime \prime ))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi k(x
\prime , y)
\partial \vec{}n(y)
- \partial \Phi k(x
\prime \prime , y)
\partial \vec{}n(y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dSy+
+
2 | \mu 0|
\bigm\| \bigm\| z2N\bigm\| \bigm\|
| \mu + \mu 0|
\int
S\delta /2(x
\prime )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi k0(x
\prime , y)
\partial \vec{}n(y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dSy + 2 | \mu 0|
\bigm\| \bigm\| z2N\bigm\| \bigm\|
| \mu + \mu 0|
\int
S\delta /2(x
\prime \prime )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi k0(x
\prime \prime , y)
\partial \vec{}n(y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dSy+
+
2 | \mu 0|
\bigm\| \bigm\| z2N\bigm\| \bigm\|
| \mu + \mu 0|
\int
S\delta /2(x
\prime )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi k0(x
\prime \prime , y)
\partial \vec{}n(y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dSy + 2 | \mu 0|
\bigm\| \bigm\| z2N\bigm\| \bigm\|
| \mu + \mu 0|
\int
S\delta /2(x
\prime \prime )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi k0(x
\prime , y)
\partial \vec{}n(y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dSy+
+
2 | \mu 0|
\bigm\| \bigm\| z2N\bigm\| \bigm\|
| \mu + \mu 0|
\int
S\setminus (S\delta /2(x
\prime )
\bigcup
S\delta /2(x
\prime \prime ))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi k0(x
\prime , y)
\partial \vec{}n(y)
- \partial \Phi k0(x
\prime \prime , y)
\partial \vec{}n(y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dSy+
+
2| \mu 2| \| z2N\|
| \mu + \mu 0|
\int
S\delta /2(x
\prime )
\bigm| \bigm| \Phi k(x
\prime , y)
\bigm| \bigm| dSy + 2| \mu 2| \| z2N\|
| \mu + \mu 0|
\int
S\delta /2(x
\prime \prime )
\bigm| \bigm| \Phi k(x
\prime \prime , y)
\bigm| \bigm| dSy+
+
2
\bigm| \bigm| \mu 2\bigm| \bigm| \bigm\| \bigm\| z2N\bigm\| \bigm\|
| \mu + \mu 0|
\int
S\delta /2(x
\prime )
\bigm| \bigm| \Phi k(x
\prime \prime , y)
\bigm| \bigm| dSy + 2
\bigm| \bigm| \mu 2\bigm| \bigm| \bigm\| \bigm\| z2N\bigm\| \bigm\|
| \mu + \mu 0|
\int
S\delta /2(x
\prime \prime )
\bigm| \bigm| \Phi k(x
\prime , y)
\bigm| \bigm| dSy+
+
2
\bigm| \bigm| \mu 2\bigm| \bigm| \bigm\| \bigm\| z2N\bigm\| \bigm\|
| \mu + \mu 0|
\int
S\setminus (S\delta /2(x
\prime )
\bigcup
S\delta /2(x
\prime \prime ))
\bigm| \bigm| \Phi k(x
\prime , y) - \Phi k(x
\prime \prime , y)
\bigm| \bigm| dSy+
+
2
\bigm| \bigm| \mu 20\bigm| \bigm| \bigm\| \bigm\| z2N\bigm\| \bigm\|
| \mu + \mu 0|
\int
S\delta /2(x
\prime )
\bigm| \bigm| \Phi k0(x
\prime , y)
\bigm| \bigm| dSy + 2
\bigm| \bigm| \mu 20\bigm| \bigm| \bigm\| \bigm\| z2N\bigm\| \bigm\|
| \mu + \mu 0|
\int
S\delta /2(x
\prime \prime )
\bigm| \bigm| \Phi k0(x
\prime \prime , y)
\bigm| \bigm| dSy+
+
2
\bigm| \bigm| \mu 20\bigm| \bigm| \bigm\| \bigm\| z2N\bigm\| \bigm\|
| \mu + \mu 0|
\int
S\delta /2(x
\prime )
\bigm| \bigm| \Phi k0(x
\prime \prime , y)
\bigm| \bigm| dSy + 2
\bigm| \bigm| \mu 20\bigm| \bigm| \bigm\| \bigm\| z2N\bigm\| \bigm\|
| \mu + \mu 0|
\int
S\delta /2(x
\prime \prime )
\bigm| \bigm| \Phi k0(x
\prime , y)
\bigm| \bigm| dSy+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА КОЛЛОКАЦИИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА . . . 831
+
2
\bigm| \bigm| \mu 20\bigm| \bigm| \bigm\| \bigm\| z2N\bigm\| \bigm\|
| \mu + \mu 0|
\int
S\setminus (S\delta /2(x
\prime )
\bigcup
S\delta /2(x
\prime \prime ))
\bigm| \bigm| \Phi k0(x
\prime , y) - \Phi k0(x
\prime \prime , y)
\bigm| \bigm| dSy. (3.3)
Используя неравенство\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi k(x, y)
\partial \vec{}n(y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq M
| x - y|
\forall x, y \in S, x \not = y,
и формулу сведения поверхностного интеграла к двойному, получаем\int
S\delta /2(x
\prime )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi k(x
\prime , y)
\partial \vec{}n(y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dSy \leq M
\int
S\delta /2(x
\prime )
1
| x\prime - y|
dSy \leq M\delta ,
\int
S\delta /2(x
\prime \prime )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi k(x
\prime \prime , y)
\partial \vec{}n(y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dSy \leq M\delta .
Кроме того, принимая во внимание неравенства | x\prime \prime - y| \geq \delta /2 \forall y \in S\delta /2(x
\prime ) и | x\prime - y| \geq
\geq \delta /2 \forall y \in S\delta /2(x
\prime \prime ), имеем\int
S\delta /2(x
\prime )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi k(x
\prime \prime , y)
\partial \vec{}n(y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dSy \leq M
\int
S\delta /2(x
\prime )
1
| x\prime \prime - y|
dSy \leq 2M
\delta
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}
\bigl(
S\delta /2(x
\prime )
\bigr)
\leq M\delta ,
\int
S\delta /2(x
\prime \prime )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi k(x
\prime , y)
\partial \vec{}n(y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dSy \leq M\delta .
Учитывая, что\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi k(x
\prime , y)
\partial \vec{}n(y)
- \partial \Phi k(x
\prime \prime , y)
\partial \vec{}n(y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq M\delta
| x\prime - y| 2
\forall y \in S\setminus
\Bigl(
S\delta /2(x
\prime )
\bigcup
S\delta /2(x
\prime \prime )
\Bigr)
,
находим \int
S\setminus (S\delta /2(x
\prime )
\bigcup
S\delta /2(x
\prime \prime ))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi k(x
\prime , y)
\partial \vec{}n(y)
- \partial \Phi k(x
\prime \prime , y)
\partial \vec{}n(y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dSy \leq M\delta | \mathrm{l}\mathrm{n} \delta | .
Оценивая остальные слагаемые в неравенстве (3.3), получаем\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2N\sum
j=1
a
(1)
j (x\prime )z2Nj -
2N\sum
j=1
a
(1)
j (x\prime \prime )z2Nj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
M
\bigm\| \bigm\| z2N\bigm\| \bigm\| \bigm| \bigm| x\prime - x\prime \prime
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{l}\mathrm{n} \bigm| \bigm| x\prime - x\prime \prime
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \forall x\prime , x\prime \prime \in S.
Аналогично можно показать, что\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2N\sum
j=1
a
(2)
j (x\prime )z2Nj -
2N\sum
j=1
a
(2)
j (x\prime \prime )z2Nj
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
832 Э. Г. ХАЛИЛОВ
\leq M
\bigm\| \bigm\| z2N\bigm\| \bigm\| \bigm| \bigm| x\prime - x\prime \prime
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{l}\mathrm{n} \bigm| \bigm| x\prime - x\prime \prime
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \forall x\prime , x\prime \prime \in S.
В результате имеем \bigm| \bigm| \bigl( A2Nz
2N
\bigr)
(x\prime ) -
\bigl(
A2Nz
2N
\bigr)
(x\prime \prime )
\bigm| \bigm| \leq
\leq M
\bigm\| \bigm\| z2N\bigm\| \bigm\| \bigm| \bigm| x\prime - x\prime \prime
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{l}\mathrm{n} \bigm| \bigm| x\prime - x\prime \prime
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \forall x\prime , x\prime \prime \in S, (3.4)
а значит,
\bigl\{
A2Nz
2N
\bigr\}
\subset C(S)\times C(S).
Относительная компактность последовательности
\bigl\{
A2Nz
2N
\bigr\}
следует из теоремы Арцела.
Действительно, при условии
\bigm\| \bigm\| zN\bigm\| \bigm\| \leq M равномерная ограниченность непосредственно следует
из неравенства (3.2), а равностепенная непрерывность — из оценки (3.4). Кроме того, принимая
во внимание способ разбиения поверхности S на элементарные части и лемму 2.1, получаем\bigm\| \bigm\| A2N z2N - p2N
\bigl(
A2Nz
2N
\bigr) \bigm\| \bigm\| \rightarrow 0 при N \rightarrow \infty .
Тогда, применяя теорему 4.2 из работы [22, с. 14], убеждаемся, что уравнения (1.4) и (3.1)
имеют единственные решения \chi \ast \in C(S) \times C(S) и z2N\ast \in \BbbC 2N , N \geq N0, соответственно,
причем
m0 \delta N \leq
\bigm\| \bigm\| z2N\ast - p2N\chi \ast
\bigm\| \bigm\| \leq M0 \delta N ,
где
m0 = 1/ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
N\geq N0
\bigm\| \bigm\| I2N +A2N
\bigm\| \bigm\| > 0, M0 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
N\geq N0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigl( I2N +A2N
\bigr) - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| < +\infty ,
\delta N =
\bigm\| \bigm\| \bigl( I2N +A2N
\bigr) \bigl(
p2N\chi \ast
\bigr)
- h2N
\bigm\| \bigm\| .
Принимая во внимание равенство
p2Nh = p2N\chi \ast + p2N (A\chi \ast )
и оценку (2.4), находим
\delta N \leq M (\| \chi \ast \| \infty R(N) | \mathrm{l}\mathrm{n}R(N)| + \omega (\chi \ast , R(N))).
Как и при доказательстве оценки (3.4), можно показать, что\bigm| \bigm| (A\chi \ast )(x
\prime ) - (A\chi \ast )(x
\prime \prime )
\bigm| \bigm| \leq M \| \chi \ast \|
\bigm| \bigm| x\prime - x\prime \prime
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{l}\mathrm{n} \bigm| \bigm| x\prime - x\prime \prime
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \forall x\prime , x\prime \prime \in S,
т. е.
\omega (A\chi \ast , R(N)) \leq M \| \chi \ast \| R(N) | \mathrm{l}\mathrm{n}R(N)| .
Тогда, принимая во внимание неравенства
\| \chi \ast \| \infty \leq
\bigm\| \bigm\| (I +A) - 1
\bigm\| \bigm\| \| h\| \infty
и
\omega (\chi \ast , R(N)) = \omega (h - A\chi \ast , R(N)) \leq \omega (h,R(N)) + \omega (A\chi \ast , R(N)) ,
завершаем доказательство теоремы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА КОЛЛОКАЦИИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА . . . 833
Следствие 3.1. Пусть z2N\ast = (z\ast 1 , z
\ast
2 , . . . , z
\ast
2N )T — решение системы алгебраических урав-
нений (3.1). Тогда последовательность
uN (x\ast ) =
N\sum
j=1
\biggl(
\partial \Phi k (x
\ast , xj)
\partial \vec{}n (xj)
z\ast j + \mu \Phi k (x
\ast , xj) z
\ast
N+j
\biggr)
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}Sj , x\ast \in \BbbR 3/ \=D,
сходится к u(x\ast ), а последовательность
uN0 (x\ast ) =
N\sum
j=1
\biggl(
\partial \Phi k0 (x\ast , xj)
\partial \vec{}n (xj)
z\ast j + \mu 0\Phi k0 (x\ast , xj) z
\ast
N+j
\biggr)
\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}Sj , x\ast \in D,
— к u0(x\ast ), причем \bigm| \bigm| uN (x\ast ) - u(x\ast )
\bigm| \bigm| \leq M [R(N) | \mathrm{l}\mathrm{n}R(N)| + \omega (h,R(N))],\bigm| \bigm| uN0 (x\ast ) - u0(x\ast )
\bigm| \bigm| \leq M [R(N) | \mathrm{l}\mathrm{n}R(N)| + \omega (h,R(N))].
Доказательство. Известно, что если функция \chi \ast =
\biggl(
\psi \ast
\varphi \ast
\biggr)
\in C(S)\times C(S) является реше-
нием уравнения (1.4), то функции
u(x) =
\int
S
\biggl\{
\partial \Phi k(x, y)
\partial \vec{}n(y)
\psi \ast (y) + \mu \Phi k(x, y)\varphi \ast (y)
\biggr\}
dSy, x \in \BbbR 3\setminus \=D,
и
u0(x) =
\int
S
\biggl\{
\partial \Phi k0(x, y)
\partial \vec{}n(y)
\psi \ast (y) + \mu 0\Phi k0(x, y)\varphi \ast (y)
\biggr\}
dSy, x \in D,
являются решениями граничной задачи сопряжения. Пусть x\ast \in \BbbR 3/ \=D. Нетрудно показать, что
u(x\ast ) - uN (x\ast ) =
N\sum
j=1
\int
SN
j
\partial \Phi k (x
\ast , y)
\partial \vec{}n(y)
(\psi \ast (y) - \psi \ast (xj)) dSy+
+
N\sum
j=1
\int
SN
j
\partial \Phi k (x
\ast , y)
\partial \vec{}n(y)
\bigl(
\psi \ast (xj) - z\ast j
\bigr)
dSy+
+
N\sum
j=1
\int
SN
j
\biggl(
\partial \Phi k (x
\ast , y)
\partial \vec{}n(y)
- \partial \Phi k (x
\ast , xj)
\partial \vec{}n (xj)
\biggr)
\psi \ast (y) dSy+
+
N\sum
j=1
\int
SN
j
\biggl(
\partial \Phi k (x
\ast , xj)
\partial \vec{}n (xj)
- \partial \Phi k (x
\ast , y)
\partial \vec{}n(y)
\biggr)
(\psi \ast (y) - \psi \ast (xj)) dSy+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
834 Э. Г. ХАЛИЛОВ
+
N\sum
j=1
\int
SN
j
\biggl(
\partial \Phi k (x
\ast , xj)
\partial \vec{}n (xj)
- \partial \Phi k (x
\ast , y)
\partial \vec{}n(y)
\biggr) \bigl(
\psi \ast (xj) - z\ast j
\bigr)
dSy+
+\mu
N\sum
j=1
\int
SN
j
\Phi k (x
\ast , y) (\varphi \ast (y) - \varphi \ast (xj)) dSy+
+\mu
N\sum
j=1
\int
SN
j
\Phi k (x
\ast , y)
\bigl(
\varphi \ast (xj) - z\ast N+j
\bigr)
dSy+
+\mu
N\sum
j=1
\int
SN
j
(\Phi k (x
\ast , y) - \Phi k (x
\ast , xj))\varphi \ast (y) dSy+
+\mu
N\sum
j=1
\int
SN
j
(\Phi k (x
\ast , xj) - \Phi k (x
\ast , y)) (\varphi \ast (y) - \varphi \ast (xj)) dSy+
+\mu
N\sum
j=1
\int
SN
j
(\Phi k (x
\ast , xj) - \Phi k (x
\ast , y))
\bigl(
\varphi \ast (xj) - z\ast N+j
\bigr)
dSy.
Кроме того, функции p(y) =
\partial \Phi k(x
\ast , y)
\partial \vec{}n(y)
и q(y) = \Phi k(x
\ast , y) являются непрерывно дифферен-
цируемыми на поверхности S и, следовательно,
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
j=1,N
| p(y) - p (xj)| \leq \| \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d} p\| \infty R(N) \forall y \in S,
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
j=1,N
| q(y) - q (xj)| \leq \| \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d} q\| \infty R(N) \forall y \in S.
Тогда, принимая во внимание теорему 3.1, получаем\bigm| \bigm| uN (x\ast ) - u(x\ast )
\bigm| \bigm| \leq M
\bigl[
R(N) | \mathrm{l}\mathrm{n}R(N)| + \omega (h,R(N))
\bigr]
.
Аналогично можно показать, что если x\ast \in D, то\bigm| \bigm| uN0 (x\ast ) - u0(x\ast )
\bigm| \bigm| \leq M
\bigl[
R(N) | \mathrm{l}\mathrm{n}R(N)| + \omega (h,R(N))
\bigr]
.
Литература
1. Михайлов Г. А., Чешкова А. Ф. Решение разностной задачи Дирихле для многомерного уравнения Гельмгольца
методом Монте-Карло // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 1998. – 38, № 1. – С. 99 – 106.
2. Радин А. М., Шестопалов В. П. Дифракция плоской волны на сфере с круговым отверстием // Журн. вычислит.
математики и мат. физики. – 1974. – 14, № 5. – С. 1232 – 1243.
3. Свешников А. Г. Численные методы в теории дифракции // Тр. Междунар. конгр. математиков. – Ванкувер,
1974. – С. 437 – 442.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА КОЛЛОКАЦИИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА . . . 835
4. Сиренко Ю. К., Шестопалов В. П. Свободные колебания электромагнитного поля в одномерно-периодических
решетках // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 1987. – 24, № 2. – С. 262 – 271.
5. Абдуллаев Ф. А., Халилов Э. Г. Обоснование метода коллокации для одного класса граничных интегральных
уравнений // Дифференц. уравнения. – 2004. – 40, № 1. – С. 82 – 86.
6. Булыгин В. С. Скалярная третья краевая задача математической теории дифракции на плоском экране и ее
дискретная математическая модель // Вестн. Харьков. нац. ун-та. Мат. моделирование. Информ. технологии.
Автомат. системы управления. – 2007. – Вып. 7, № 775. – С. 62 – 72.
7. Гандель Ю. В. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца и их дискретные математические модели // Соврем.
математика. Фундам. направления. – 2010. – 36. – С. 36 – 49.
8. Каширин А. А. Об условно-корректных интегральных уравнениях и численном решении стационарных задач
дифракции акустических волн // Вестн. ТОГУ. – 2012. – № 3(26). – С. 33 – 40.
9. Каширин А. А., Смагин С. И. О численном решении задач Дирихле для уравнения Гельмгольца методом
потенциалов // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 2012. – 52, № 8. – С. 1492 – 1505.
10. Купрадзе В. Д. Метод интегральных уравнений в теории дифракции // Мат. сб. – 1934. – 41, № 4. – С. 561 – 581.
11. Медведик М. Ю., Смирнов Ю. Г., Цупак А. А. Скалярная задача дифракции плоской волны на системе непе-
ресекающихся экранов и неоднородных тел // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 2014. – 54, № 8. –
С. 1319 – 1331.
12. Плещинский И. Н., Плещинский Н. Б. Интегральные уравнения задачи сопряжения полуоткрытых диэлектри-
ческих волноводов // Изв. вузов. Сер. мат. – 2007. – № 5(540). – С. 63 – 80.
13. Халилов Э. Г. Обоснование метода коллокации для интегрального уравнения смешанной краевой задачи для
уравнения Гельмгольца // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 2016. – 56, № 7. – С. 1340 – 1348.
14. Халилов Э. Г. О приближенном решении одного класса граничных интегральных уравнений первого рода //
Дифференц. уравнения. – 2016. – 52, № 9. – С. 1277 – 1283.
15. Harris P. J., Chen K. On efficient preconditioners for iterative solution of a Galerkin boundary element equation for
the three-dimensional exterior Helmholtz problem // J. Comput. and Appl. Math. – 2003. – 156. – P. 303 – 318.
16. Khalilov E. H. On approximate solution of external Dirichlet boundary value problem for Laplace equation by
collocation method // Azerb. J. Math. – 2015. – 5, № 2. – P. 13 – 20.
17. Kress R. Boundary integral equations in time-harmonic acoustic scattering // Math. Comput. Modelling. – 1991. –
15, № 3-5. – P. 229 – 243.
18. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. – М.: Мир, 1987. – 311 с.
19. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1981. – 512 с.
20. Кустов Ю. А., Мусаев Б. И. Кубатурная формула для двумерного сингулярного интеграла и ее приложения. –
М., 1981. – 60 с. – Деп. в ВИНИТИ, № 4281-8.
21. Khalilov E. H. Cubic formula for class of weakly singular surface integrals // Proc. Inst. Math. and Mech. Nat. Acad.
Sci. Azerbaijan. – 2013. – 39(47). – P. 69 – 76.
22. Вайникко Г. М. Регулярная сходимость операторов и приближенное решение уравнений // Итоги науки и
техники. Сер. Мат. анализ / ВИНИТИ. – 1979. – 16. – С. 5 – 53.
Получено 22.02.16,
после доработки — 19.01.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1737 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:41Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5a/3aa8b31dddbe8470f1ff2bb3713b195a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17372019-12-05T09:25:15Z Substantiation of the collocation method for one class of systems of integral equations Обоснование метода коллокации для одного класса систем интегральных уравнений Khalilov, E. G. Халилов, Э. Г. Халилов, Э. Г. We present the substantiation of the collocation method for a system surface integral equations of the boundary-value problem of conjugation for the Helmholtz equations. Moreover, we construct a sequence convergent to the exact solution of the boundary-value problem of conjugation and estimate its error. Наведено обґрунтування методу колокацiї для системи поверхневих iнтегральних рiвнянь граничної задачi спряження для рiвнянь Гельмгольца. Крiм того, побудовано послiдовнiсть, що збiгається до точного розв’язку граничної задачi спряження, i наведено оцiнку похибки. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1737 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 6 (2017); 823-835 Український математичний журнал; Том 69 № 6 (2017); 823-835 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1737/719 Copyright (c) 2017 Khalilov E. G. |
| spellingShingle | Khalilov, E. G. Халилов, Э. Г. Халилов, Э. Г. Substantiation of the collocation method for one class of systems of integral equations |
| title | Substantiation of the collocation method for one class of systems of integral
equations |
| title_alt | Обоснование метода коллокации для одного класса систем интегральных
уравнений |
| title_full | Substantiation of the collocation method for one class of systems of integral
equations |
| title_fullStr | Substantiation of the collocation method for one class of systems of integral
equations |
| title_full_unstemmed | Substantiation of the collocation method for one class of systems of integral
equations |
| title_short | Substantiation of the collocation method for one class of systems of integral
equations |
| title_sort | substantiation of the collocation method for one class of systems of integral
equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1737 |
| work_keys_str_mv | AT khaliloveg substantiationofthecollocationmethodforoneclassofsystemsofintegralequations AT halilovég substantiationofthecollocationmethodforoneclassofsystemsofintegralequations AT halilovég substantiationofthecollocationmethodforoneclassofsystemsofintegralequations AT khaliloveg obosnovaniemetodakollokaciidlâodnogoklassasistemintegralʹnyhuravnenij AT halilovég obosnovaniemetodakollokaciidlâodnogoklassasistemintegralʹnyhuravnenij AT halilovég obosnovaniemetodakollokaciidlâodnogoklassasistemintegralʹnyhuravnenij |