On the absolute continuity of mappings distorting the moduli of cylinders
We consider the mappings satisfying one modular inequality with respect to cylinders in the space. The distortion of modulus is majorized by an integral depending on a certain locally integrable function. We also prove a result on the absolute continuity of the analyzed mappings on lines.
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1741 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507592873213952 |
|---|---|
| author | Salimov, R. R. Sevost'yanov, E. A. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. |
| author_facet | Salimov, R. R. Sevost'yanov, E. A. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. |
| author_sort | Salimov, R. R. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:25:15Z |
| description | We consider the mappings satisfying one modular inequality with respect to cylinders in the space. The distortion of
modulus is majorized by an integral depending on a certain locally integrable function. We also prove a result on the
absolute continuity of the analyzed mappings on lines. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Р. Р. Салимов (Ин-т математики НАН Украины, Киев),
Е. А. Севостьянов (Житомир. гос. ун-т им. И. Франко)
ОБ АБСОЛЮТНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ,
ИСКАЖАЮЩИХ МОДУЛИ ЦИЛИНДРОВ
We consider the mappings satisfying one modular inequality with respect to cylinders in the space. The distortion of
modulus is majorized by an integral depending on a certain locally integrable function. We also prove a result on the
absolute continuity of the analyzed mappings on lines.
Розглянуто вiдображення, що задовольняють модульну нерiвнiсть вiдносно цилiндрiв у просторi. Спотворення
модуля мажорується iнтегралом, що залежить вiд деякої локально iнтегровної функцiї. Доведено результат про
абсолютну неперервнiсть на лiнiях вказаних вiдображень.
1. Введение. Настоящая статья посвящена изучению свойств отображений с конечным искаже-
нием, активно изучаемых в последнее время (см., например, [1 – 6]). Здесь и далее D — область
в \BbbR n, n \geq 2, m — мера Лебега в \BbbR n, отображение f : D \rightarrow \BbbR n является непрерывным соответ-
ствием f(x) = (f1(x), . . . , fn(x)), где x = (x1, . . . , xn). Напомним, что кривой \gamma мы называем
непрерывное отображение отрезка [a, b] (открытого либо полуоткрытого интервала одного из
видов (a, b), [a, b), (a, b]) в \BbbR n, \gamma : [a, b] \rightarrow \BbbR n. Кривая будет называться дугой, если указанное
отображение отрезка (интервала) в \BbbR n гомеоморфно (см. [7], определение 2.7). Под семейством
кривых \Gamma подразумевается некоторый фиксированный набор кривых \gamma , а f(\Gamma ) = \{ f \circ \gamma | \gamma \in \Gamma \} .
Следующие определения могут быть найдены, например, в [7] (разд. 1 – 6, гл. I).
Борелева функция \rho : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ] называется допустимой для семейства \Gamma кривых \gamma в \BbbR n,
если
\int
\gamma
\rho (x) | dx| \geq 1 для всех кривых \gamma \in \Gamma . В этом случае мы пишем \rho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Gamma . Модулем
семейства кривых \Gamma порядка p \geq 1 называется величина
Mp(\Gamma ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\rho \in adm\Gamma
\int
D
\rho p(x)dm(x). (1)
Полагаем M(\Gamma ) := Mn(\Gamma ). Под цилиндром в \BbbR n, n \geq 2, будем понимать тройку Z =
= (Q,E1, E2), где Q — область в \BbbR n, а E1, E2 — подмножества границы Q со следующим
свойством: найдется гомеоморфизм множества Q на единичный цилиндр x21 + . . .+ x2n - 1 \leq 1,
0 \leq xn \leq 1, отображающий E1 и E2 на его основания (см. [10]). С каждым цилиндром Z
будем ассоциировать семейство \Gamma Z , состоящее из дуг, соединяющих E1 и E2 в Q. Модуль \Gamma Z
будем называть модулем цилиндра Z и обозначать M(Z).
Пусть G — открытое множество в \BbbR n и I = \{ x \in \BbbR n : ai < xi < bi, i = 1, . . . , n\} — от-
крытый n-мерный интервал. Отображение f : I \rightarrow \BbbR n принадлежит классу ACL (абсолютно
непрерывно на линиях), если f абсолютно непрерывно на почти всех линейных сегментах в I,
параллельных координатным осям. Отображение f : G \rightarrow \BbbR n принадлежит классу ACL в G,
если сужение f | I принадлежит классу ACL для каждого интервала I, I \subset G.
В работе [10] установлен следующий факт (см. лемму 2). Пусть f : D \rightarrow \BbbR n — гомео-
морфизм, удовлетворяющий условию M(Z) \leq KM(f(Z)) для каждого цилиндра Z \subset D и
некоторой постоянной K \geq 1, тогда f \in ACL в D. По этому поводу следует также упомянуть
c\bigcirc Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, 2017
860 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ОБ АБСОЛЮТНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ, ИСКАЖАЮЩИХ МОДУЛИ ЦИЛИНДРОВ 861
интересный результат Тенгвалля в этом направлении (см. [8], а также работу авторов [9], где
установлено свойство ACL для Q-отображений). Следующее усиление этого результата будет
установлено в настоящей работе.
Теорема 1. Пусть p > 1, Q : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ] — локально интегрируемая функция, f : D \rightarrow
\rightarrow \BbbR n — открытое дискретное отображение, удовлетворяющее условию
Mp(Z) \leq
\int
f(D)
Q(y)\rho p\ast (y)dm(y) (2)
для любого цилиндра Z \subset D и произвольной функции \rho \ast \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m} f(\Gamma Z). Тогда f \in ACL.
2. Некоторые предварительные сведения. Пусть U — открытое множество в \BbbR n. Обозна-
чим через \mathrm{B}\mathrm{o}\mathrm{r}U класс всех борелевских подмножеств U. Функция \varphi : \mathrm{B}\mathrm{o}\mathrm{r}U \rightarrow \BbbR называется
q-квазиаддитивной, q \geq 1, если выполняются следующие условия:
1) \varphi (A) \geq 0 для произвольного борелевского множества A \subset U ;
2) из условия A \subset B следует неравенство \varphi (A) \leq \varphi (B), какие бы ни были борелевские
множества A,B \subset \mathrm{B}\mathrm{o}\mathrm{r}U ;
3) \varphi (A) < \infty для произвольного компактного множества A \subset U ;
4) если множества A1, . . . , Am \subset U не пересекаются и Ai \subset A \subset U, i = 1, . . . ,m, то
m\sum
i=1
\varphi (Ai) \leq q\varphi (A). (3)
Верхняя и нижняя производные q-квазиаддитивной функции \varphi в точке x \in U определяются
следующим образом:
\varphi \prime (x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
d(Q)<h
\varphi (Q)
m(Q)
, \varphi \prime (x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
d(Q)<h
\varphi (Q)
m(Q)
,
где Q пробегает все открытые кубы и шары такие, что x \in Q \subset U. Следующее утверждение
см., например, в [11] (лемма 2.3).
Предложение 1. Предположим, что функция \varphi : \mathrm{B}\mathrm{o}\mathrm{r}U \rightarrow \BbbR является q-квазиаддитив-
ной функцией множеств. Тогда: 1) функции \varphi \prime и \varphi \prime являются борелевскими, 2) для почти
всех x \in U имеет место неравенство \varphi \prime (x) \leq q\varphi \prime (x) < \infty , 3) для каждого открытого
множества V \subset U
\int
V
\varphi \prime (x)dm(x) \leq q\varphi (V ).
Для отображения f : D \rightarrow \BbbR n, множества E \subset D и y \in \BbbR n определим функцию кратнос-
ти N(y, f, E) как число прообразов точки y во множестве E, т. е.
N(y, f, E) = \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}
\bigl\{
x \in E : f(x) = y
\bigr\}
,
N(f,E) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in \BbbR n
N(y, f, E).
Заметим, что для открытых дискретных отображений f : D \rightarrow \BbbR n всегда N(f,G) < \infty для
любой области G такой, что G \subset D (см. [11], лемма 2.12(3)).
3. Доказательство основного результата. Пусть I — n-мерный интервал в \BbbR n с ребрами,
параллельными осям координат, и I \subset D. Тогда I = I0 \times J, где I0 — (n - 1)-мерный интервал
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
862 Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
в \BbbR n - 1, J — одномерный интервал, J = (a, b). Далее отождествляем \BbbR n - 1\times \BbbR с \BbbR n. Покажем,
что для почти всех сегментов Jz = \{ z\} \times J, z \in I0, отображение f | Jz абсолютно непрерывно.
Рассмотрим функцию множеств, определенную над алгеброй борелевских множеств B в I0,
\Phi (B) =
\int
f
\bigl(
B\times J
\bigr) Q(y)dm(y).
Заметим, что \Phi — q-квазиаддитивная функция при q = N(f, I). Действительно,
k\sum
i=1
\Phi (Bi) =
k\sum
i=1
\int
f(Bi\times J)
Q(y)dm(y) \leq
\leq
k\sum
i=1
\int
f(B\times J)
N(y, f,Bi \times J)Q(y)dm(y) \leq N(f, I)\Phi (B),
где Bi \subset B \subset I0 — борелевские множества, Bi \cap Bl = \varnothing при l \not = i. По предложению 1
\varphi (z) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
r\rightarrow 0
\Phi (B(z, r))
\Omega n - 1rn - 1
< \infty (4)
для почти всех z \in I0, где через B(z, r) обозначен шар в I0 \subset \BbbR n - 1 с центром в точке z \in I0
радиуса r, \Omega n - 1 — объем единичного шара в \BbbR n - 1. Докажем, что отображение f абсолютно
непрерывно на каждом сегменте Jz, z \in I0, где предел (4) существует и конечен. Обозначим
соответствующее множество z через Z0 и покажем, что сумма диаметров образов любого
конечного набора непересекающихся сегментов в Jz = \{ z\} \times J, z \in Z0, стремится к нулю
вместе с суммарной длиной интервалов. Вследствие непрерывности f вдоль Jz достаточно
проверить этот факт для сегментов с рациональными концами в Jz. Обозначим \Delta i := (\alpha i, \beta i).
Не ограничивая общности можно считать, что | f(z, \alpha i) - f(z, \beta i)| \not = 0 для каждого i =
= 1, . . . , k. Тогда, поскольку отображение f непрерывно, для каждого i = 1, . . . , k найдется
такое \delta i > 0, что
| f(z, \alpha i) - f(x)| < | f(z, \alpha i) - f(z, \beta i)|
4
, | x - (z, \alpha i)| < \delta i, (5)
| f(z, \beta i) - f(x)| < | f(z, \alpha i) - f(z, \beta i)|
4
, | x - (z, \beta i)| < \delta i. (6)
В дальнейшем положим \delta := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}i=1,...,k \delta i, 0 < r < \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
\delta , \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (I, \partial D)
\bigr\}
.
Множество \{ z\} \times \{ \Delta i\} ki=1 покроем цилиндрами Ci = B(z, r)\times (\alpha i, \beta i) и определим \widetilde \rho i(z) =
= 2| f(z, \alpha i) - f(z, \beta i)| - 1\chi f(Ci)(z), i = 1, . . . , k. Обозначим также Gi := | f(z, \alpha i) - f(z, \beta i)| .
Определим семейство кривых \Gamma i следующим образом:
\Gamma i =
\bigl\{
\gamma ix : x \in B(z, r/2)
\bigr\}
,
где \gamma ix : [\alpha i, \beta i] \rightarrow \BbbR n — кривая, определенная как \gamma ix(t) = (x, t). Тогда для каждой локально
спрямляемой кривой f \circ \gamma , \gamma \in \Gamma i, в силу соотношений (5), (6) будем иметь
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
ОБ АБСОЛЮТНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ, ИСКАЖАЮЩИХ МОДУЛИ ЦИЛИНДРОВ 863\int
f\circ \gamma
\widetilde \rho i(z)| dz| = 2G - 1
i
\int
f\circ \gamma
\chi f(Ci)(z)| dz| \geq G - 1
i | f(z, \alpha i) - f(z, \beta i)| = 1.
В таком случае \widetilde \rho i \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m} f(\Gamma i) и, значит, в силу условия (2) имеем
Mp(\Gamma i) \leq 2pG - p
i
\int
f(Ci)
Q(y)dm(y). (7)
Заметим, что Mp(\Gamma i) =
\Omega n - 1r
n - 1
2n - 1| \alpha i - \beta i| p - 1
(см. [7], п. 7.2), поэтому из (7) непосредственно
получаем
\Omega n - 1r
n - 1
2n - 1| \alpha i - \beta i| p - 1
\leq 2pG - p
i
\int
f(Ci)
Q(y)dm(y),
откуда
| f(z, \alpha i) - f(z, \beta i)| p \leq | \alpha i - \beta i| p - 1 2
p+n - 1
\Omega n - 1
1
rn - 1
\int
f(Ci)
Q(y)dm(y). (8)
Обозначим для удобства Vi :=
\int
f(Ci)
Q(y)dm(y), тогда из (8) следует, что
| \alpha i - \beta i| \geq
\biggl(
Crn - 1| f(z, \alpha i) - f(z, \beta i)| p
Vi
\biggr) 1
p - 1
, (9)
где C — некоторая постоянная, зависящая только от размерности пространства n и числа p. В
силу неравенства Гельдера
\Biggl( \sum k
i=1
Gi
\Biggr) p
\sum k
i=1
Vi
\leq
\Biggl( \sum k
i=1
G
p/(p - 1)
i
V
1/(p - 1)
i
\Biggr) p - 1
, тогда из (9) получаем
C
\biggl( \sum k
i=1
Gi
\biggr) p
\sum k
i=1
Vi
rn - 1
\leq
\Biggl(
k\sum
i=1
| \alpha i - \beta i|
\Biggr) p - 1
. (10)
Поскольку \Phi — квазиаддитивная функция множества, имеем
k\sum
i=1
Vi
rn - 1
\leq N(f, I)
\Phi (B(z, r))
rn - 1
. (11)
Переходя в (11) к верхнему пределу при r \rightarrow 0, с учетом (4) из (10) находим\Biggl(
k\sum
i=1
| f(z, \alpha i) - f(z, \beta i)|
\Biggr) p
\leq C1
\Biggl(
k\sum
i=1
| \alpha i - \beta i|
\Biggr) p - 1
, (12)
где C1 — некоторая новая постоянная, зависящая только от размерности пространства n и
функции Q. Пусть теперь \varepsilon > 0 и \Delta i = (\alpha i, \beta i), i = 1, . . . , k, — система непересекающихся
интервалов в J такая, что
\sum k
i=1
| \alpha i - \beta i| < \varepsilon . Тогда из (12) следует, что\Biggl(
k\sum
i=1
| f(z, \alpha i) - f(z, \beta i)|
\Biggr) p
\leq C1\varepsilon
p - 1.
Теорема доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
864 Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
Литература
1. Iwaniec T., Martin G. Geometrical function theory and non-linear analysis. – Oxford: Clarendon Press, 2001. – 552 p.
2. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer Sci. +
Business Media, LLC, 2009.
3. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Mappings with finite length distortion // J. d’Anal. Math. – 2004. –
93. – P. 215 – 236.
4. Gutlyanskii V. Ya., Ryazanov V. I., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation: a geometric approach // Developments
Math. – 2012. – 26.
5. Gutlyanskiĭ V. Ya., Golberg A. On Lipschitz continuity of quasiconformal mappings in space // J. d’Anal. Math. –
2009. – 109. – P. 233 – 251.
6. Golberg A., Salimov R. Topological mappings of integrally bounded p-moduli // Ann. Univ. Buchar. Math. Ser. –
2012. – 3(61), № 1. – P. 49 – 66.
7. Väisälä J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – 1971. – 229.
8. Tengvall V. Absolute continuity of mappings with finite geometric distortion // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A 1. Math. –
2015. – 40. – P. 3 – 15.
9. Салимов Р. Р., Севостьянов Е. А. Теория кольцевых Q-отображений в геометрической теории функций // Мат.
сб. – 2010. – 201, № 6. – С. 131 – 158.
10. Väisälä J. Two new characterizations for quasiconformality // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A 1. Math. – 1965. – 362. –
P. 1 – 12.
11. Martio O., Rickman S., Väisälä J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A 1. Math. –
1969. – 448. – С. 1 – 40.
12. Сакс С. Теория интеграла. – М.: Изд-во иностр. лит., 1949. – 494 с.
Получено 26.05.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1741 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:46Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ce/978cdfd82a4f82608090c5826150bace.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17412019-12-05T09:25:15Z On the absolute continuity of mappings distorting the moduli of cylinders Oб абсолютной непрерывности отображений, искажающих модули цилиндров 860 Salimov, R. R. Sevost'yanov, E. A. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. We consider the mappings satisfying one modular inequality with respect to cylinders in the space. The distortion of modulus is majorized by an integral depending on a certain locally integrable function. We also prove a result on the absolute continuity of the analyzed mappings on lines. Розглянуто вiдображення, що задовольняють модульну нерiвнiсть вiдносно цилiндрiв у просторi. Спотворення модуля мажорується iнтегралом, що залежить вiд деякої локально iнтегровної функцiї. Доведено результат про абсолютну неперервнiсть на лiнiях вказаних вiдображень. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1741 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 6 (2017); 860-864 Український математичний журнал; Том 69 № 6 (2017); 860-864 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1741/723 Copyright (c) 2017 Salimov R. R.; Sevost'yanov E. A. |
| spellingShingle | Salimov, R. R. Sevost'yanov, E. A. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. On the absolute continuity of mappings distorting the moduli of cylinders |
| title | On the absolute continuity of mappings distorting the moduli
of cylinders |
| title_alt | Oб абсолютной непрерывности отображений, искажающих модули цилиндров 860 |
| title_full | On the absolute continuity of mappings distorting the moduli
of cylinders |
| title_fullStr | On the absolute continuity of mappings distorting the moduli
of cylinders |
| title_full_unstemmed | On the absolute continuity of mappings distorting the moduli
of cylinders |
| title_short | On the absolute continuity of mappings distorting the moduli
of cylinders |
| title_sort | on the absolute continuity of mappings distorting the moduli
of cylinders |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1741 |
| work_keys_str_mv | AT salimovrr ontheabsolutecontinuityofmappingsdistortingthemoduliofcylinders AT sevost039yanovea ontheabsolutecontinuityofmappingsdistortingthemoduliofcylinders AT salimovrr ontheabsolutecontinuityofmappingsdistortingthemoduliofcylinders AT sevostʹânovea ontheabsolutecontinuityofmappingsdistortingthemoduliofcylinders AT salimovrr ontheabsolutecontinuityofmappingsdistortingthemoduliofcylinders AT sevostʹânovea ontheabsolutecontinuityofmappingsdistortingthemoduliofcylinders AT salimovrr obabsolûtnojnepreryvnostiotobraženijiskažaûŝihmodulicilindrov860 AT sevost039yanovea obabsolûtnojnepreryvnostiotobraženijiskažaûŝihmodulicilindrov860 AT salimovrr obabsolûtnojnepreryvnostiotobraženijiskažaûŝihmodulicilindrov860 AT sevostʹânovea obabsolûtnojnepreryvnostiotobraženijiskažaûŝihmodulicilindrov860 AT salimovrr obabsolûtnojnepreryvnostiotobraženijiskažaûŝihmodulicilindrov860 AT sevostʹânovea obabsolûtnojnepreryvnostiotobraženijiskažaûŝihmodulicilindrov860 |