Indecomposable and isomorphic objects in the category of monomial matrices over a local ring
We study the indecomposability and isomorphism of objects from the category of monomial matrices $\mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}(K)$ over a commutative local principal ideal ring $K$ (whose objects are square monomial matrices and the morphisms from $X$ to $Y$ are the matrices $C$ such tha...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1744 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507594455515136 |
|---|---|
| author | Bondarenko, V. M. Bortos, M. Yu. Бондаренко, В. М. Бортош, М. Ю. |
| author_facet | Bondarenko, V. M. Bortos, M. Yu. Бондаренко, В. М. Бортош, М. Ю. |
| author_sort | Bondarenko, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:25:34Z |
| description | We study the indecomposability and isomorphism of objects from the category of monomial matrices $\mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}(K)$ over a
commutative local principal ideal ring $K$ (whose objects are square monomial matrices and the morphisms from $X$ to $Y$ are the matrices $C$ such that $XC = CY$). We also study the subcategory $\mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}_0(K)$ of the category $\mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}(K)$ with the
same objects and only those morphisms that are monomial matrices. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.64
В. М. Бондаренко, М. Ю. Бортош (Iн-т математики НАН України, Київ)
НЕРОЗКЛАДНI ТА IЗОМОРФНI ОБ’ЄКТИ В КАТЕГОРIЇ
МОНОМIАЛЬНИХ МАТРИЦЬ НАД ЛОКАЛЬНИМ КIЛЬЦЕМ
We study the indecomposability and isomorphism of objects from the category of monomial matrices \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}(K) over a
commutative local principal ideal ring K (whose objects are square monomial matrices and the morphisms from X to Y
are the matrices C such that XC = CY ). We also study the subcategory \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}0(K) of the category \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}(K) with the
same objects and only those morphisms that are monomial matrices.
Исследуются неразложимость и изоморфизм объектов категории мономиальних матриц \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}(K) над коммутатив-
ным локальным кольцом главных идеалов K (объектами которой являются квадратные мономиальные матрицы, а
морфизмами из X в Y — такие матрицы C , что XC = CY ). Изучается также подкатегория \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}0(K) категории
\mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}(K) с теми же самыми объектами и только теми морфизмами, которые являются мономиальными матрицами.
1. Вступ. Задача про опис, з точнiстю до подiбностi, матриць над комутативним локальним
кiльцем головних iдеалiв, що не є полем, мiстить у собi класичну нерозв’язну задачу про
пару матриць над полем [1] (у сучаснiй термiнологiї такi задачi називаються дикими; бiльш
детально про це див. у п. 7), тому актуальним є розгляд частинних випадкiв i вивчення матриць
спецiального вигляду.
У роботах [2 – 5] розглядається задача про опис (з точнiстю до подiбностi) матриць розмi-
рiв 2 \times 2, 3 \times 3 i 4 \times 4 над локальними кiльцями. Багато робiт присвячено вивченню рiзних
властивостей матриць над кiльцями; серед них слiд видiлити вiдомi монографiї [6, 7]. Але в цих
роботах питання, пов’язанi з нерозкладнiстю та подiбнiстю матриць, по сутi не розглядаються
(за винятком вивчення деяких властивостей специфiчного характеру та окремих простих випад-
кiв). Нерозкладнiсть та подiбнiсть матриць вивчались, як правило, лише у зв’язку з матричними
зображеннями скiнченних груп i в основному циклiчних груп (тобто у випадках, коли матрицi
задовольняють вiдповiднi полiномiальнi спiввiдношення).
Метою цiєї статi є вивчення мономiальних матриць над комутативними кiльцями. Хоча
означення i частина результатiв мають мiсце для довiльних комутативних локальних кiлець
(при вiдповiдних уточненнях), ми для простоти розглядаємо матрицi над локальними кiльцями
головних iдеалiв.
2. Категорiї мономiальних матриць. Позначимо через K комутативне локальне кiльце
головних iдеалiв, що не є полем, через K\ast групу його оборотних елементiв вiдносно множен-
ня. Тодi єдиний максимальний iдеал (радикал) R кiльця K дорiвнює tK, де t визначається
однозначно з точнiстю до оборотного множника, i будь-який елемент x \in K має вигляд \varepsilon ts, де
\varepsilon \in K\ast i s \geq 0. Число s (яке не залежить вiд вибору t) називаємо вагою елемента x i позначає-
мо через w(x). Елемент \varepsilon вже залежить вiд t; бiльш того, навiть при фiксованому t, якщо K не
є областю цiлiсностi, вiн визначається елементом x неоднозначно, а саме \varepsilon ts = \varepsilon \prime ts тодi i лише
тодi, коли \varepsilon i \varepsilon \prime рiвнi за модулем \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n} (ts) := \{ y \in K | yts = 0\} , тобто \varepsilon - \varepsilon \prime \in \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n} (ts). Ступiнь
нiльпотентностi елемента x позначаємо через l(x); якщо x ненiльпотентний, то вважаємо, що
l(x) = \infty . Аналогiчно вводиться позначення l(R). Якщо K — область цiлiсностi, то l(R) = \infty ,
i навпаки.
c\bigcirc В. М. БОНДАРЕНКО, М. Ю. БОРТОШ, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7 889
890 В. М. БОНДАРЕНКО, М. Ю. БОРТОШ
Матрицю над K (не обов’язково квадратну) назвемо мономiальною, якщо кожний її рядок i
кожний стовпець мiстять не бiльше одного ненульового елемента. Квадратну матрицю назвемо
строго мономiальною, якщо кожний її рядок i кожний стовпець мiстять рiвно один ненульовий
елемент.
Позначимо через \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(K) категорiю, об’єктами якої є квадратнi матрицi над кiльцем K,
а морфiзмами iз матрицi X в матрицю Y — такi матрицi C, що XC = CY. Називатимемо
її категорiєю квадратних матриць над K . Iзоморфнi об’єкти категорiї \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(K) — це подiбнi
матрицi. Повну пiдкатегорiю категорiї \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(K), множина об’єктiв якої складається iз мономi-
альних матриць, позначимо через \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}(K) i назвемо категорiєю мономiальних матриць над
K . Через \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}0(K) позначимо пiдкатегорiю категорiї \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}(K) з тими ж самими об’єктами
i лише тими морфiзмами, що є мономiальними матрицями; назвемо цю категорiю сильною
категорiєю мономiальних матриць над K .
Нагадаємо, що переставно подiбними називаються квадратнi матрицi, якi отримуються одна
з одної однаковою перестановкою рядкiв i стовпцiв; у цьому випадку подiбнiсть здiйснюється
за допомогою строго мономiальної матрицi, всi ненульовi елементи якої дорiвнюють одинич-
ному елементу кiльця. Якщо ж подiбнiсть здiйснюється за допомогою дiагональної матрицi,
то матрицi називаються дiагонально подiбними. Двi квадратнi матрицi назвемо переставно
дiагонально подiбними, якщо одна з них дiагонально подiбна матрицi, що переставно подiбна
iншiй.
Квадратну матрицю назвемо переставно розкладною, якщо вона переставно подiбна прямiй
сумi двох матриць, i переставно нерозкладною — в протилежному випадку.
Має мiсце таке твердження.
Твердження 1. 1. Квадратна мономiальна матриця над K нерозкладна як об’єкт катего-
рiї \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}0(K) тодi i лише тодi, коли вона переставно нерозкладна.
2. Двi мономiальнi матрицi над K iзоморфнi в категорiї \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}0(K) тодi i тiльки тодi,
коли вони переставно дiагонально подiбнi.
Зiставимо мономiальнiй матрицi X орiєнтований граф \Gamma (X) з вершинами 1, 2, . . . , n i
стрiлками i \rightarrow j для всiх xij \not = 0. Очевидно, \Gamma (X) є неперетинним об’єднанням ланцюгiв i
циклiв, кожен з яких має однаковий напрямок стрiлок. З точнiстю до переставної подiбностi
матриця X є прямою сумою мономiальних матриць, що вiдповiдають вказаним ланцюгам i
циклам. Якщо граф \Gamma (X) складається лише з одного ланцюга, то мономiальну матрицю X
будемо називати ланцюговою, а якщо з одного циклу, то — циклiчною. Очевидно, що обидва
типи матриць переставно нерозкладнi.
Отже, в категорiї \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}0(K) кожна мономiальна матриця iзоморфна прямiй сумi ланцюго-
вих i циклiчних матриць (якi є нерозкладними об’єктами).
При дослiдженнi об’єктiв i морфiзмiв категорiї мономiальних матриць \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}(K) основну
роль повиннi, очевидно, вiдiгравати ланцюговi та циклiчнi матрицi. Їх природно розглядати
з точнiстю до переставної подiбностi (або, що те саме, перенумерацiї рядкiв i стовпцiв), i,
як побачимо нижче, дуже зручно для кожного iз такого типу матриць використовувати деяку
їх канонiчну форму вiдносно таких перетворень. З точки зору нашого методу основним є
випадок циклiчних матриць, а випадок ланцюгових матриць розглядається як „вироджений”.
Вивчаються цi випадки вiдповiдно в пп. 3 – 5 i 6.
3. Канонiчно циклiчнi матрицi. Очевидно, що циклiчна матриця розмiру n\times n переставно
подiбна матрицi вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
НЕРОЗКЛАДНI ТА IЗОМОРФНI ОБ’ЄКТИ В КАТЕГОРIЇ МОНОМIАЛЬНИХ МАТРИЦЬ . . . 891
A =
\left(
0 . . . 0 an
a1 . . . 0 0
...
. . .
...
...
0 . . . an - 1 0
\right) .
Таку матрицю ми називаємо канонiчно циклiчною. Послiдовнiсть a = (a1, . . . , an - 1, an) нази-
ваємо визначальною послiдовнiстю матрицi A i пишемо A = M(a) = M(a1, . . . , an - 1, an).
Двi послiдовностi x = (x1, x2, . . . , xn) i y = (y1, y2, . . . , yn), члени яких належать деякiй
множинi, назвемо циклiчно еквiвалентними, якщо y отримується iз x циклiчною перестановкою
її членiв: y = (xi, xi+1, . . . , xn, x1, . . . , xi - 1).
Оскiльки перехiд вiд циклiчної матрицi до переставно подiбної їй канонiчно циклiчної
матрицi означає, що вершини графа \Gamma (X) нумеруються числами 1, 2, . . . , n пiдряд i проти
напрямку стрiлок, то має мiсце таке твердження.
Твердження 2. Матриця M(b) переставно подiбна матрицi M(a) тодi i лише тодi, коли
їх визначальнi послiдовностi циклiчно еквiвалентнi.
Послiдовнiсть ваг w(a) = (w(a1), . . . , w(an - 1), w(an)) членiв визначальної послiдовностi
a називаємо ваговою послiдовнiстю матрицi A i позначаємо w(A). Якщо зафiксувати твiр-
ний елемент t радикала R, то a = (\varepsilon 1t
s1 , . . . , \varepsilon n - 1t
sn - 1 , \varepsilon nt
sn), де si = w(ai) i \varepsilon i — еле-
менти iз K\ast (якi, згiдно з викладеним вище, визначаються послiдовнiстю a неоднозначно,
якщо K не є областю цiлiсностi). В цьому випадку матрицю M(a) позначаємо також через
Mt(a) = Mt(a1, . . . , an - 1, an) або Mt(w, \varepsilon ), де w = w(a) i \varepsilon = (\varepsilon 1, . . . , \varepsilon n - 1, \varepsilon n). Якщо добуток
елементiв \varepsilon 1, . . . , \varepsilon n - 1, \varepsilon n позначити через \varepsilon , то очевидно, що матриця Mt(w, \varepsilon ) дiагонально
подiбна матрицi Mt(w, \varepsilon 0), де \varepsilon 0 = (1, . . . , 1, \varepsilon ), яку позначатимемо також через Mt(w, \varepsilon ). Згiд-
но з викладеним канонiчно циклiчну матрицю вигляду Mt(w, \varepsilon ) природно називати зведеною.
Твердження 3. Матрицi M = Mt(w, \varepsilon ) i M \prime = Mt(w, \varepsilon
\prime ), де \varepsilon = (\varepsilon 1, . . . , \varepsilon n - 1, \varepsilon n),
\varepsilon \prime = (\varepsilon \prime 1, . . . , \varepsilon
\prime
n - 1, \varepsilon
\prime
n), дiагонально подiбнi тодi i лише тодi, коли елементи \varepsilon = \varepsilon 1 . . . \varepsilon n - 1\varepsilon n
i \varepsilon \prime = \varepsilon \prime 1 . . . \varepsilon
\prime
n - 1\varepsilon
\prime
n кiльця K рiвнi за модулем \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n} (ts), де s — найбiльший член вагової
послiдовностi w.
Доведення. Нехай w = (s1, . . . , sn - 1, sn). Очевидно, можна вважати, що M = Mt(w, \varepsilon ) i
M \prime = Mt(w, \varepsilon
\prime ). Окрiм того, за твердженням 2 можна вважати, що s = sn, тобто sn \geq si для
будь-якого i = 1, 2, . . . , n - 1.
Припустимо, що матрицi M i M \prime дiагонально подiбнi, тобто iснує така оборотна дiагональна
матриця D, що MD = DM \prime . Скалярну рiвнiсть (MD)ij = (DM \prime )ij будемо позначати через
(i, j). Якщо (d1, . . . , dn - 1, dn) — головна дiагональ матрицi D, то вказана матрична рiвнiсть
рiвнозначна такiй системi скалярних рiвностей:
(i+ 1, i) : dit
si = di+1t
si , де i = 1, 2, . . . , n - 1,
(1, n) : \varepsilon dnt
s = \varepsilon \prime d1t
s.
Враховуючи нерiвностi s \geq si для i = 1, 2, . . . , n - 1, iз перших рiвностей отримуємо
d1t
s = d2t
s = . . . = dnt
s, а тодi рiвнiсть (1, n), яка вже має вигляд \varepsilon d1t
s = \varepsilon \prime d1t
s, означає, що
\varepsilon i \varepsilon \prime рiвнi за модулем \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n} (ts).
Обернене твердження є очевидним.
Твердження 1 (друга частина), 2 i 3 дають вiдповiдь на питання про iзоморфiзм двох
канонiчно циклiчних матриць у категорiї \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}0(K).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
892 В. М. БОНДАРЕНКО, М. Ю. БОРТОШ
4. Нерозкладнi канонiчно циклiчнi матрицi в категорiї \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t} (K)\mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t} (K)\mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t} (K). Матриця A розмiру
n\times n над комутативним кiльцем називається розкладною, якщо вона (в кiльцi матриць розмiру
n\times n над цим кiльцем) подiбна прямiй сумi двох матриць, якi мають розмiри n1\times n1 i n2\times n2,
де n1, n2 > 0, i нерозкладною — у протилежному випадку. Для мономiальної матрицi A над
кiльцем K цi означення вiдповiдають означенням розкладних i нерозкладних об’єктiв категорiї
мономiальних матриць.
У цьому пунктi розглядається питання про нерозкладнiсть канонiчно циклiчних матриць у
категорiї \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}(K).
4.1. Загальний критерiй нерозкладностi. Нам знадобиться наступне, бiльш вiдоме для
полiв, твердження для матриць над довiльним комутативним локальним кiльцем (яке має мiсце
i для наборiв матриць).
Теорема 1. Квадратна матриця A над комутативним локальним кiльцем розкладна тодi
i лише тодi, коли iснує iдемпотентна матриця X, вiдмiнна вiд нульової i одиничної матриць,
яка комутує з A.
Доведення. Дiйсно, будь-яка iдемпотентна матриця X над локальним кiльцем дiагоналiзу-
єма (див., наприклад, [6, с. 334]) i до того ж кожен її дiагональний елемент дорiвнює 0 або 1.
Отже, якщо X не є анi нульовою, анi одиничною матрицею, то iснує така оборотна матриця
C, що X = C - 1(E \oplus 0)C, де E — одинична матриця (яка є „непорожньою”, як i нульова
матриця). Якщо ж така матриця X комутує з матрицею A, то CXC - 1 комутує з A\prime = CAC - 1,
звiдки випливає, що матриця A\prime є прямою сумою двох матриць, а отже, матриця A = C - 1A\prime C
розкладна.
Обернене твердження очевидне: якщо матриця A є розкладною, тобто A = C - 1A\prime C, де A\prime
— пряма сума двох матриць, то за iдемпотентну матрицю X можна взяти матрицю вказаного
вище вигляду, тобто X = C - 1(E \oplus 0)C.
Квадратну матрицю над кiльцем K назвемо P -трикутною, якщо вона переставно подiбна
нижньо-трикутнiй (а отже, i верхньо-трикутнiй) матрицi.
Iз попередньої теореми маємо такий наслiдок.
Наслiдок 1. Нехай A — квадратна матриця над кiльцем K i кожна iдемпотентна
матриця X, що комутує з матрицею A:
1) є P -трикутною за модулем R;
2) за модулем R має рiвнi елементи на головнiй дiагоналi.
Тодi матриця A є нерозкладною.
Дiйсно, якщо iдемпотентна матриця Y за модулем R є верхньо-трикутною з однаковими
елементами на головнiй дiагоналi, а будь-яка така матриця над полем (у даному випадку над
полем K/R) є нульовою або одиничною, то Y = tZ або E - Y = tZ. Це означає, що матриця
tZ iдемпотентна, звiдки tZ = 0 (оскiльки рiвнiсть t2Z2 = tZ еквiвалентна рiвностi \alpha tZ = 0,
де \alpha = 1 - tZ — оборотний елемент). Отже, Y = 0 або Y = E. Таким чином, X = 0 або
X = E для будь-якої матрицi X, переставно подiбної матрицi Y.
При застосуваннi наслiдку 1 потрiбно аналiзувати матричну рiвнiсть AX = XA, де A =
= (aij) — фiксована матриця деякого розмiру n\times n i X — довiльна матриця такого ж розмiру.
Ця рiвнiсть еквiвалентна системi скалярних рiвностей (AX)ij = (XA)ij , де i, j пробiгають
числа вiд 1 до n; таку рiвнiсть будемо позначати через [i, j]A. Якщо розглядати рiвнiсть
MX = XM для канонiчно циклiчної матрицi Mt(a) з визначальною послiдовнiстю a =
= (\varepsilon 1t
s1 , . . . , \varepsilon n - 1t
sn - 1 , \varepsilon nt
sn), де \varepsilon i \in K\ast , то вiдповiднi скалярнi рiвностi мають вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
НЕРОЗКЛАДНI ТА IЗОМОРФНI ОБ’ЄКТИ В КАТЕГОРIЇ МОНОМIАЛЬНИХ МАТРИЦЬ . . . 893
[i, j]M : \varepsilon i - 1t
si - 1xi - 1,j = \varepsilon jt
sjxi,j+1
або, в еквiвалентнiй формi (пiсля замiни i - 1 на i),
[i+ 1, j]M : \varepsilon it
sixij = \varepsilon jt
sjxi+1,j+1, (1)
при цьому iндекси 0 i n + 1 потрiбно замiнити вiдповiдно на iндекси n i 1 (тобто iндекси
розглядаються за модулем n).
4.2. Частинний випадок (для канонiчно циклiчних матриць). Розглянемо випадок кано-
нiчно циклiчної матрицi M = M(a), вагова послiдовнiсть w(a) = (s1, . . . , sn - 1, sn) якої не має
однакових членiв. Задамо на числах 1, 2, . . . , n лiнiйну впорядкованiсть \prec , вважаючи, що i \prec j
тодi i лише тодi, коли si < sj . Розташуємо числа 1, 2, . . . , n в порядку зростання вiдносно \prec :
p1 \prec p2 \prec . . . \prec pn.
Зафiксуємо твiрний елемент t радикала R. Тодi a = (\varepsilon 1t
s1 , . . . , \varepsilon n - 1t
sn - 1 , \varepsilon nt
sn), де \varepsilon i \in
\in K\ast .
Розглянемо матричну рiвнiсть MX = XM, де X = (xij) — довiльна матриця. Iз рiвностей
(1) випливає, що xij \in R, якщо si < sj . Тодi матриця, отримана з матрицi X розташуванням
її рядкiв i стовпцiв у порядку p1, p2, . . . , pn, є нижньо-трикутною за модулем R, а це означає,
що матриця X є P -трикутною. Далi, iз рiвностей (1) при i = j випливає, що матриця X
має за модулем R рiвнi елементи на головнiй дiагоналi. Отже, за наслiдком 1 матриця M є
нерозкладною.
Таким чином, доведено наступне твердження.
Твердження 4. Канонiчно циклiчна матриця з рiзними вагами її ненульових елементiв є
нерозкладною в категорiї \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}(K).
У загальному випадку подiбна теорема не справджується. Наприклад, якщо t2 \not = 0 i характе-
ристика кiльця K не дорiвнює двом, то канонiчно циклiчна матриця Mt(1, t, 1, t) є розкладною:\left(
1 0 - 1 0
0 1 0 - 1
1 0 1 0
0 1 0 1
\right)
- 1\left(
0 0 0 t
1 0 0 0
0 t 0 0
0 0 1 0
\right)
\left(
1 0 - 1 0
0 1 0 - 1
1 0 1 0
0 1 0 1
\right) =
=
\left(
0 t 0 0
1 0 0 0
0 0 0 - t
0 0 1 0
\right) .
Але теорема залишається справедливою у випадку неперiодичної вагової послiдовностi.
Щоб зробити такий висновок iз системи рiвностей (1), потрiбно мати зручний критерiй непе-
рiодичностi вагової послiдовностi. Це питання розглядається в наступному пiдпунктi.
4.3. Частковий порядок на послiдовностях. Нехай \BbbN 0 = \BbbN \cup 0 (\BbbN — множина натуральних
чисел). Лексикографiчний порядок на множинi \BbbN n
0 = \BbbN 0 \times \BbbN 0 \times . . .\times \BbbN 0 (n разiв) позначаємо
через <n . Iншими словами, якщо x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn), то x <n y тодi i
лише тодi, коли iснує таке число 1 \leq i \leq n, що x1 = y1, . . . , xi - 1 = yi - 1, xi < yi. Число i
будемо позначати через l(x, y).
Зафiксуємо деяку послiдовнiсть v = (a1, a2, . . . , an) \in \BbbN n
0 i введемо для її циклiчних пере-
становок таке позначення:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
894 В. М. БОНДАРЕНКО, М. Ю. БОРТОШ
vi = (ai, ai+1, . . . , ai+n - 1), i = 1, 2, . . . , n
(iндекси розглядаються за модулем n). Задамо на множинi [1, n] := \{ 1, 2, . . . , n\} вiдношення
строгого часткового порядку \prec v таким чином:
i \prec v j \Leftarrow \Rightarrow vi <n vj .
Послiдовнiсть v називається перiодичною, якщо vj = v для деякого j > 1.
Твердження 5. Наступнi умови є еквiвалентними:
a) послiдовнiсть v перiодична;
b) iснує таке j \in \{ 2, . . . , n\} , що a1+s = aj+s для будь-якого s \in \BbbZ (iндекси розглядаються
за модулем s);
c) iснує таке натуральне число q \not = n, що q| n i ai+pq = ai для довiльних i = 1, 2, . . . , q,
p = 1, 2, . . . , n/q.
Доведення. Iмплiкацiї \mathrm{a}) \leftrightarrow \mathrm{b}) i \mathrm{c}) \Rightarrow \mathrm{a}) очевиднi. Доведемо iмплiкацiю \mathrm{b}) \Rightarrow \mathrm{c}). Позна-
чимо через V множину всiх j \in \BbbN , якi задовольняють умову \mathrm{b}), i покладемо V0 = \{ j - 1 | j \in
\in V \} \setminus 0. Враховуючи спiввiдношення Безу, маємо, що найбiльший спiльний дiльник двох
чисел a, b \in V0 також належить V0. I для доведення умови \mathrm{c}) залишилося лише врахувати, що
\{ 1, 2, . . . , n - 1\} \cap V0 \not = \varnothing (згiдно з умовою \mathrm{b})) i n \in V0.
У випадку перiодичностi послiдовностi v будь-яке число q, вказане в умовi \mathrm{c}), називається
її перiодом. Легко показати (замiнивши в наведених вище мiркуваннях спiввiдношення Безу на
спiввiдношення a = yb+ r, де 0 \leq r < b), що найменший перiод дiлить всi iншi.
Безпосередньо iз викладеного вище випливає таке твердження.
Твердження 6. Наступнi умови є еквiвалентними:
a) послiдовнiсть v = (a1, a2, . . . , an) перiодична;
b) частковий порядок \prec v не є лiнiйним;
c) послiдовностi v1, v2, . . . , vn утворюють мультимножину, що не є множиною.
4.4. Випадок неперiодичної вагової послiдовностi. У цьому пiдпунктi ми доведемо наступ-
ну теорему для канонiчно циклiчних матриць над кiльцем K.
Теорема 2. Канонiчно циклiчна матриця з неперiодичною ваговою послiдовнiстю нероз-
кладна в категорiї \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}(K).
Розглядаємо канонiчно циклiчну матрицю з неперiодичною ваговою послiдовнiстю
M = Mt(a) = Mt(a1, . . . , an - 1, an) = Mt(\varepsilon 1t
s1 , . . . , \varepsilon n - 1t
sn - 1 , \varepsilon nt
sn),
де t — фiксований твiрний радикала, \varepsilon 1, . . . , \varepsilon n - 1, \varepsilon n — оборотнi елементи. Члени вагової
послiдовностi w = (s1, . . . , sn - 1, sn) належать множинi [0,m - 1] := \{ 0, 1, . . . ,m - 1\} , де
m = l(R) — ступiнь нiльпотентностi R (при m = \infty вважаємо, що m - 1 = m). Згiдно
з викладеним у попередньому пунктi, матрицi M вiдповiдає часткова впорядкованiсть \prec w
множини [1, n] = \{ 1, 2, . . . , n\} , а саме
i \prec w j \Leftarrow \Rightarrow wi <n wj (в [0,m - 1]n \subseteq \BbbN n
0 ),
де wi та wj — циклiчнi перестановки послiдовностi w вiдповiдно з першим членом i та j. За
твердженням 6 цей порядок є лiнiйним.
Розглянемо матричну рiвнiсть MX = XM, де X = (xij) — довiльна матриця.
Лема 1. Якщо i \prec w j, то xij \in R.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
НЕРОЗКЛАДНI ТА IЗОМОРФНI ОБ’ЄКТИ В КАТЕГОРIЇ МОНОМIАЛЬНИХ МАТРИЦЬ . . . 895
Доведення проводимо iндукцiєю по l(wi, wj) (див. пп. 4.2). Вiдносно бази iндукцiї див.
пп. 4.1. Отже, нехай i \prec w j i при цьому l(wi, wj) > 1. Тодi: \mathrm{a}) si = sj i \mathrm{b}) wi+1 <n wj+1. Iз
нерiвностi \mathrm{b}) маємо (i+ 1) \prec w (j + 1), до того ж, очевидно, l(wi+1, wj+1) = l(wi, wj) - 1. За
iндукцiйним припущенням xi+1,j+1 \in R. Далi, iз рiвностей \mathrm{a}) i \varepsilon itsixij = \varepsilon jt
sjxi+1,j+1 (див.
(1)) випливає, що \varepsilon it
si(xij - \varepsilon - 1
i \varepsilon jxi+1,j+1) = 0, звiдки xij - \varepsilon - 1
i \varepsilon jxi+1,j+1 \in R. I оскiльки
xi+1,j+1 \in R, то i xij \in R.
Iз цiєї леми i лiнiйностi порядку \prec w випливає, що X — P -трикутна матриця (див. доведення
твердження 4), а iз рiвностей (1) при i = j — що матриця X має за модулем R рiвнi елементи
на головнiй дiагоналi. Отже, за наслiдком 1 матриця M є нерозкладною.
4.5. ddd-Зведенi канонiчно циклiчнi матрицi. Нехай M = Mt(a) — зведена канонiчно цик-
лiчна матриця з визначальною послiдовнiстю a = (ts1 , . . . , tsn - 1 , \varepsilon tsn). Вважаємо, що вагова
послiдовнiсть w = (s1, . . . , sn - 1, sn) перiодична, i нехай d — деякий її перiод (не обов’язково
найменший). Покладемо nd =
n
d
. Клiтину Фробенiуса \Phi з характеристичним полiномом f(x) =
= xnd - \varepsilon назвемо d-визначальною клiтиною Фробенiуса матрицi M :
\Phi = \Phi nd
(\varepsilon ) =
\left(
0 . . . 0 \varepsilon
1 . . . 0 0
...
. . .
...
...
0 . . . 1 0
\right) .
Розташувавши рядки i стовпцi матрицi M в порядку 1, 1 + d, 1 + 2d, . . . , 1 + (nd - 1)d, 2, 2 +
+ d, 2 + 2d, . . . , 2 + (nd - 1)d, . . . , d, 2d, . . . , ndd, отримаємо наступну (переставно подiбну до
M ) матрицю з блоками розмiру nd \times nd :
Md = Mdt(a) =
\left(
0 . . . 0 tsd\Phi
ts1E1 . . . 0 0
...
. . .
...
...
0 . . . tsd - 1Ed - 1 0
\right) ,
де E1 = . . . = Ed - 1 = E — одинична матриця.
Послiдовнiсть wd = (s1, . . . , sd - 1, sd) назвемо d-ваговою послiдовнiстю блокової матрицi
Md = Mdt(a), а саму матрицю Md, яку будемо позначати також через Mdt(wd, \varepsilon ), — d-зведеною
канонiчно циклiчною матрицею. Клiтину Фробенiуса \Phi = \Phi nd
(\varepsilon ) назвемо d-визначальною
клiтиною Фробенiуса матрицi M.
Отже, кожнiй зведенiй канонiчно циклiчнiй матрицi M = M(w, \varepsilon ) з перiодичною ваговою
послiдовнiстю w i фiксованому перiоду d цiєї послiдовностi вiдповiдає (переставно подiбна до
неї) d-зведена канонiчно циклiчна матриця. Оскiльки перестановка рядкiв i стовпцiв по сутi
не змiнює структуру матрицi, то можна сказати, що d-зведенi канонiчно циклiчнi матрицi —
це одна iз форм iснування зведених канонiчно циклiчних матриць, а в узагальненому сенсi i
взагалi канонiчно циклiчних матриць (оскiльки вони дiагонально подiбнi до зведених).
Зауважимо, що формально в цю схему входить i випадок неперiодичних послiдовностей.
Дiйсно, якщо покласти d = n, вже не обов’язково вважаючи, що вагова послiдовнiсть w
перiодична (число n не є перiодом, але є „квазiперiодом” у тому сенсi, що wi+n = wi для
довiльного натурального числа s), то d-зведена матриця Md вводиться аналогiчним чином i
дорiвнює початковiй матрицi M. Але в цiй статтi випадки перiодичних i неперiодичних вагових
послiдовностей розглядаються окремо.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
896 В. М. БОНДАРЕНКО, М. Ю. БОРТОШ
4.6. Випадок перiодичної вагової послiдовностi. Нехай M = Mt(a) — канонiчно циклiчна
матриця над K розмiру n \times n з визначальною послiдовнiстю a = (\varepsilon 1t
s1 , \varepsilon 2t
s2 , . . . , \varepsilon n - 1t
sn - 1 ,
\varepsilon nt
sn) та перiодичною ваговою послiдовнiстю w i d0 — найменший перiод вагової послiдовностi.
Покладемо n0 =
n
d0
i \varepsilon = \varepsilon 1\varepsilon 2 . . . \varepsilon n - 1\varepsilon n. Клiтину Фробенiуса \Phi = \Phi n0(\varepsilon ) з характеристичним
полiномом f(x) = xn0 - \varepsilon назвемо визначальною клiтиною Фробенiуса матрицi M (див.
попереднiй пiдпункт).
Як було показано в пп. 4.2, у випадку перiодичної вагової послiдовностi канонiчно циклiчна
матриця може бути розкладною. У наступнiй теоремi питання про нерозкладнi i розкладнi
канонiчно циклiчнi матрицi розглядається (в цiй ситуацiї) бiльш детально.
Теорема 3. Канонiчно циклiчна матриця M = Mt(a) з перiодичною ваговою послiдов-
нiстю розкладна, якщо розкладна її визначальна клiтина Фробенiуса, i нерозкладна, якщо її
визначальна клiтина Фробенiуса нерозкладна за модулем R.
Доведення. Очевидно, можна вважати, що a = (ts1 , ts2 , . . . , tsn - 1 , \varepsilon tsn), тобто M є зве-
деною. Бiльш того, замiсть матрицi M можна розглядати вiдповiдну d0-зведену канонiчно
циклiчну матрицю M0 := Md0t(w0, \varepsilon ), де w0 позначає послiдовнiсть wd0 .
Легко бачити, що матриця M0 розкладна, якщо розкладна матриця \Phi (якщо P - 1\Phi P = A\oplus B
i Q — пряма сума d екземплярiв матрицi P, то матриця Q - 1M0Q переставно подiбна прямiй
сумi двох матриць).
Покажемо тепер, що матриця M0 нерозкладна, якщо матриця \Phi нерозкладна за модулем R.
Оскiльки перiод d найменший, то d0-вагова послiдовнiсть w0 (блокової) матрицi M0 непе-
рiодична, а отже, матрицi M0 можна зiставити лiнiйну впорядкованiсть \prec w0 множини [1, d],
яку будемо позначати через \prec 0 (див. пп. 4.3, 4.4).
Розглянемо матричну рiвнiсть M0X = XM0, де X = (Xij) — довiльна блокова матриця
з блоками розмiру n0 \times n0; матрицi M0 i X будемо перемножати поблоково. Ця рiвнiсть
еквiвалентна системi матричних рiвностей
\langle i, j\rangle 0 : (M0X)ij = (XM0)ij ,
де i, j пробiгають числа вiд 1 до d0 (тут в обох частинах рiвностей вказано блоки, якi стоять
на перетинi i-ї горизонтальної та j -ї вертикальної смуг вiдповiдних матриць). Легко бачити,
що цi рiвностi мають вигляд
\langle i, j\rangle 0 =
\left\{
tsi - 1Xi - 1,j = tsjXi,j+1, якщо i \not = 1, j \not = d,
tsd\Phi Xdj = tsjX1,j+1, якщо i = 1, j \not = d,
tsi - 1Xi - 1,d = tsdXi1\Phi , якщо i \not = 1, j = d,
tsd\Phi Xdd = tsdX11\Phi , якщо i = 1, j = d.
(2)
Лема 2. Якщо i \prec 0 j, то Xij = 0 за модулем R.
Доведення аналогiчне доведенню леми 1.
Оскiльки порядок \prec 0 лiнiйний, то з леми 2 випливає, що за допомогою однакової переста-
новки горизонтальних i вертикальних смуг матрицю X можна привести до нижньо-блоково-
трикутного вигляду (див. доведення твердження 4). Далi, iз рiвностей (2) при i = j випливає,
що дiагональнi блоки Xii матрицi X рiвнi мiж собою за модулем R (при цьому слiд враховува-
ти, що матриця \Phi є оборотною). Тодi з рiвностi \langle 1, d\rangle 0 випливає, що за модулем R матриця X11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
НЕРОЗКЛАДНI ТА IЗОМОРФНI ОБ’ЄКТИ В КАТЕГОРIЇ МОНОМIАЛЬНИХ МАТРИЦЬ . . . 897
комутує з матрицею \Phi , а оскiльки \Phi нерозкладна за модулем R, то знову ж таки за модулем R
виконуються рiвностi X11 = . . . = Xdd = 0 або X11 = \cdot \cdot \cdot = Xdd = E (за теоремою 1 для поля
k = K/R). Iз викладеного випливає, що виконуються обидвi умови наслiдку 1 i, отже, матриця
M0 є нерозкладною.
5. Iзоморфiзм канонiчно циклiчних матриць в категорiї \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t} (K)\mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t} (K)\mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t} (K). У цьому пунктi
розглядається задача про iзоморфiзм двох канонiчно циклiчних матриць у категорiї мономi-
альних матриць, тобто про подiбнiсть канонiчно циклiчних матриць за допомогою довiльних
оборотних матриць.
5.1. Частковий порядок на послiдовностях (продовження). Продовжуючи дослiдження,
розпочатi в пп. 4.3, розглянемо випадок двох послiдовностей.
На множинi всiх скiнченних послiдовностей iз членами, що належать \BbbN 0 = \BbbN \cup 0, введемо
наступний частковий порядок <\infty : x <\infty y для x = (x1, x2, . . . , xn) i y = (y1, y2, . . . , yk) тодi
i лише тодi, коли iснує таке число i \in \BbbN , що x1 = y1, . . . , xi - 1 = yi - 1, xi < yi. При цьому
iндекси j > n у виразах xj i j > k у виразах yj розглядаються вiдповiдно за модулем n i
k. Число i позначається через l(x, y). Очевидно, що на множинi послiдовностей довжини n
вiдношення <\infty дорiвнює вiдношенню <n .
Зафiксуємо деякi послiдовностi v = (a1, a2, . . . , an) \in \BbbN n
0 , v\prime = (a\prime 1, a
\prime
2, . . . , a
\prime
k) \in \BbbN k
0 i
покладемо [1, k]\prime = \{ i\prime | i \in [1, k]\} = \{ 1\prime , 2\prime , . . . , k\prime \} . Використавши позначення для циклiчних
перестановок послiдовностей, введених у пп. 4.3, задамо на множинi [1, n]\cup [1, k]\prime вiдношення
строгого часткового порядку \prec v v\prime \equiv \prec v\prime v таким чином:
i \prec v v\prime j \Leftarrow \Rightarrow vi <\infty vj , якщо i, j \in [1, n],
i\prime \prec v v\prime j
\prime \Leftarrow \Rightarrow v\prime i <\infty v\prime j , якщо i\prime , j\prime \in [1, k]\prime ,
i \prec v v\prime j
\prime \Leftarrow \Rightarrow vi <\infty v\prime j , якщо i \in [1, n], j\prime \in [1, k]\prime ,
i\prime \prec v v\prime j \Leftarrow \Rightarrow v\prime i <\infty vj , якщо i\prime \in [1, k]\prime , j \in [1, n].
Послiдовностi v i v\prime назвемо циклiчно залежними, якщо iснують такi i та j, що ai+s = a\prime j+s
для довiльного s \in \BbbN , i циклiчно незалежними — у протилежному випадку. Iз означення
випливають такi факти:
1) послiдовностi однакової довжини циклiчно залежнi тодi i лише тодi, коли вони циклiчно
еквiвалентнi;
2) неперiодична послiдовнiсть не може бути циклiчно залежною з послiдовнiстю меншої
довжини.
Безпосередньо iз викладеного вище випливає таке твердження.
Твердження 7. Наступнi умови є еквiвалентними:
a) послiдовностi v = (a1, a2, . . . , an) i v\prime = (a\prime 1, a
\prime
2, . . . , a
\prime
k) неперiодичнi i циклiчно неза-
лежнi;
b) частковий порядок \prec v v\prime є лiнiйним.
5.2. Основний результат. Має мiсце така теорема.
Теорема 4. Канонiчно циклiчнi матрицi Mt(a) i Mt(a
\prime ) iзоморфнi в категорiї \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}(K)
тодi i лише тодi, коли вони iзоморфнi в категорiї \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}0(K).
Доведення. Достатнiсть є очевидною.
Необхiднiсть. Нехай a = (\varepsilon 1t
s1 , . . . , \varepsilon n - 1t
sn - 1 , \varepsilon nt
sn), a\prime = (\varepsilon \prime 1t
s\prime 1 , . . . , \varepsilon \prime n - 1t
s\prime n - 1 , \varepsilon \prime nt
s\prime n), де
\varepsilon i, \varepsilon
\prime
i \in K\ast , w = (s1, . . . , sn - 1, sn), w
\prime = (s\prime 1, . . . , s
\prime
n - 1, s
\prime
n).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
898 В. М. БОНДАРЕНКО, М. Ю. БОРТОШ
Розглянемо спочатку випадок, коли обидвi ваговi послiдовностi матриць M = Mt(a) i
M \prime = Mt(a
\prime ) неперiодичнi.
Нам знадобиться одне допомiжне твердження.
Нехай X — деяка така матриця, що MX = XM \prime . Ця рiвнiсть еквiвалентна системi скаляр-
них рiвностей (MX)ij = (XM \prime )ij , де i, j пробiгають числа вiд 1 до n; таку рiвнiсть будемо
позначати через [i, j] = [i, j]MM \prime . Легко бачити (див. у зв’язку з цим пп. 4.1), що цi рiвностi
мають вигляд
[i+ 1, j]MM \prime : \varepsilon it
sixij = \varepsilon \prime jt
s\prime jxi+1,j+1 (3)
(iндекси розглядаються за модулем n). Згiдно з викладеним у попередньому пунктi, на множинi
[1, n] \cup [1, n]\prime задано частковий порядок \prec ww\prime .
Лема 3. Нехай i, j \in [1, n]. Якщо i \prec ww\prime j\prime , то xij \in R, а якщо i\prime \prec ww\prime j, то xj+1,i+1 \in
\in R.
Лема доводиться аналогiчно лемi 1.
Нехай тепер матрицi M = Mt(a) i M \prime = Mt(a
\prime ) iзоморфнi в категорiї \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}(K), тобто
iснує така оборотна матриця X над K, що MX = XM \prime . Покажемо спочатку, що послiдовностi
w i w\prime циклiчно еквiвалентнi.
Припустимо протилежне. Тодi вони циклiчно незалежнi (див. факт 1 в пп. 5.1) i за твер-
дженням 7 частковий порядок \prec ww\prime , заданий у даному випадку на множинi [1, n] \cup [1, n]\prime ,
є лiнiйним. Позначимо єдиний максимальний елемент через m0. Якщо m0 = k \in [1, n], то
s\prime \prec ww\prime k для довiльного s\prime \in [1, n]\prime , а якщо m0 = k\prime \in [1, n]\prime , то s \prec ww\prime k\prime для довiльного
s \in [1, n]. Тодi за лемою 3 в першому випадку xk+1,s+1 \in R для всiх s = 0, 1, . . . , n - 1, а в
другому — xsk \in R для всiх s = 1, 2, . . . , n. Отже, матриця X має за модулем R нульовий рядок
або нульовий стовпець, i тому не може бути оборотною над K. Прийшли до суперечностi.
Отже, ваговi послiдовностi w i w\prime циклiчно еквiвалентнi, а тодi за твердженням 2 мож-
на вважати, що вони рiвнi. З огляду на другу частину твердження 1 залишилося показати
дiагональну подiбнiсть матриць Mt(a) i Mt(a
\prime ).
Частковий порядок \prec ww, який будемо позначати через \prec 2w, вже не є лiнiйним: j i j\prime будуть
непорiвняльними для довiльного j \in [1, n]. Iз неперiодичностi послiдовностi w, очевидно,
випливає, що iнших пар непорiвняльних елементiв в [1, n] \cup [1, n]\prime немає. Отже, iснують рiвно
два максимальних елементи, якi позначимо через m0 i m\prime
0 (m0 \in [1, n]). Оскiльки i \prec 2w m\prime
0 для
будь-якого i \not = m0 iз [1, n], то за лемою 3 всi елементи m0-го стовпця матрицi X, за винятком
xm0,m0 , є нульовими за модулем R. Отже, елемент xm0,m0 \in K є оборотним (бо оборотна
матриця X ). Iз рiвностей (3) при i = j випливає, що \varepsilon xm0,m0 = \varepsilon \prime xm0,m0 , де \varepsilon = \varepsilon 1 . . . \varepsilon n - 1\varepsilon n
i \varepsilon \prime = \varepsilon \prime 1 . . . \varepsilon
\prime
n - 1\varepsilon
\prime
n. Звiдси маємо \varepsilon = \varepsilon \prime , а отже, за твердженням 3 матрицi Mt(a) i Mt(a
\prime )
дiагонально подiбнi.
Нехай тепер ваговi послiдовностi w i w\prime матриць M = Mt(a) i M \prime = Mt(a
\prime ) перiодичнi.
Позначимо найменшi їх перiоди через p i q; покладемо np =
n
p
, nq =
n
q
. Оскiльки матри-
ця M переставно дiагонально подiбна вiдповiднiй їй p-зведенiй канонiчно циклiчнiй матрицi
M0 = Mpt(w0, \varepsilon ), де w0 позначає послiдовнiсть wp, а матриця M \prime — матрицi M \prime
0 = Mqt(w
\prime
0, \varepsilon ),
де w\prime
0 позначає послiдовнiсть wq, то замiсть M i M \prime можна розглядати вiдповiдно M0 i
M \prime
0. Оскiльки p i q — найменшi перiоди послiдовностей w i w\prime , то послiдовностi w0 i w\prime
0
неперiодичнi. Визначальнi клiтини Фробенiуса матриць M i M \prime позначимо вiдповiдно через
\Phi i \Phi \prime .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
НЕРОЗКЛАДНI ТА IЗОМОРФНI ОБ’ЄКТИ В КАТЕГОРIЇ МОНОМIАЛЬНИХ МАТРИЦЬ . . . 899
Доведення в цьому випадку проводиться за схемою, аналогiчною схемi доведення у випадку
неперiодичних послiдовностей (але проведеною не для всiх матриць, як у доведеннi, а лише для
зведених), з використанням мiркувань iз доведення теореми 3. Тому доведення буде викладено
в дещо скороченому виглядi.
Нехай матрицi M0 i M \prime
0 iзоморфнi в категорiї Mt(a
\prime ) i X — така оборотна матриця, що
M0X = XM \prime
0. Будемо розглядати X як блокову матрицю X = (Xij) з блоками Xij розмiру
n0\times n\prime
0; матрицi в указанiй рiвностi будемо перемножати поблоково. Тодi ця матрична рiвнiсть
еквiвалентна системi матричних рiвностей
\langle i, j\rangle 00\prime : (M0X)ij = (XM \prime
0)ij ,
де i пробiгає числа вiд 1 до p, а j — вiд 1 до q. Цi рiвностi мають такий же вигляд, як i рiвностi
(2), але з двома вiдмiнностями: d потрiбно замiнити на q i у правих частинах рiвностей \Phi
замiнити на \Phi \prime .
Покажемо спочатку, що послiдовностi w0 i w\prime
0 мають однакову довжину i циклiчно еквiва-
лентнi.
Припустимо, що хоча б одна з цих умов не виконується. Покладемо \alpha = w0, \alpha
\prime = w\prime
0. Тодi
вони циклiчно незалежнi (див. видiленi у пп. 4.1 факти 1 i 2), i за твердженням 7 частковий
порядок \prec \alpha \alpha \prime , заданий у даному випадку на множинi [1, p] \cup [1, q]\prime , є лiнiйним. Отже (див.
доведення у випадку неперiодичних вагових послiдовностей матриць M i M \prime ), матриця X має
за модулем R нульову горизонтальну або вертикальну смугу, i тому не може бути оборотною.
Прийшли до суперечностi.
Таким чином, послiдовностi w0 i w\prime
0 мають однакову довжину (а отже, p = q) i циклiчно
еквiвалентнi, а тодi, очевидно, циклiчно еквiвалентними є i послiдовностi w i w\prime .
Для завершення доведення достатньо показати, що елементи \varepsilon = \varepsilon 1 . . . \varepsilon n - 1\varepsilon n i \varepsilon \prime =
= \varepsilon \prime 1 . . . \varepsilon
\prime
n - 1\varepsilon
\prime
n, що вiдповiдають визначальним послiдовностям матриць M i M \prime , дорiвнюють
один одному (див. твердження 3).
Оскiльки за твердженням 2 можна вважати, що ваговi послiдовностi w, w\prime i матрицi M,
M \prime рiвнi, то p-зведенi канонiчно циклiчнi матрицi, якi їм вiдповiдають, мають однаковi вiдпо-
вiднi блоки, за винятком тих, що стоять на перетинi перших горизонтальних смуг з останнiми
вертикальними смугами, а це визначальнi клiтини Фробенiуса матриць M i M \prime . Як i у випадку
неперiодичних вагових послiдовностей матриць M i M \prime , доводиться, що iснує таке m0 \in [1, p],
що дiагональний блок Xm0,m0 матрицi X оборотний i \Phi Xm0,m0 = Xm0,m0\Phi
\prime . Прирiвнюючи
визначники обох частин цiєї рiвностi, переконуємося, що визначники фробенiусових матриць
\Phi i \Phi \prime рiвнi. Звiдси \varepsilon = \varepsilon \prime , що i потрiбно було довести.
Єдиний ще нерозглянутий випадок, коли матриця M має неперiодичну вагову послiдов-
нiсть, а матриця M \prime перiодичну, неможливий. Це випливає iз мiркувань, якi в попередньому
випадку привели до рiвностi найменших перiодiв, якщо для першої матрицi за p взяти „квазi-
перiод” n.
6. Канонiчно ланцюговi матрицi, їх нерозкладнiсть та подiбнiсть. Питання про нероз-
кладнiсть та подiбнiсть ланцюгових матриць бiльш простi, нiж такi ж питання про циклiчнi
матрицi. Розглядаючи ланцюговi матрицi як вироджений випадок циклiчних матриць, можна
дослiджувати їх за тiєю ж схемою, що i циклiчнi матрицi.
Будь-яка ланцюгова матриця розмiру n\times n переставно подiбна, очевидно, матрицi вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
900 В. М. БОНДАРЕНКО, М. Ю. БОРТОШ
A =
\left(
0 . . . 0 0
a1 . . . 0 0
...
. . .
...
...
0 . . . an - 1 0
\right) .
Таку матрицю називатимемо канонiчно ланцюговою.
Послiдовнiсть a = (a1, . . . , an - 1) називаємо визначальною послiдовнiстю матрицi A i пи-
шемо A = N(a) = N(a1, . . . , an - 1). Послiдовнiсть ваг w(a) = (w(a1), . . . , w(an - 1)) членiв
визначальної послiдовностi a називаємо ваговою послiдовнiстю матрицi A i позначаємо w(A).
Мають мiсце наступнi твердження.
Твердження 8. Матрицi N(b) i N(a) переставно подiбнi тодi i лише тодi, коли їх виз-
начальнi послiдовностi рiвнi, i дiагонально подiбнi, коли рiвнi їх ваговi послiдовностi.
Отже, враховуючи твердження 1, переконуємося, що канонiчно ланцюговi матрицi є (як i
канонiчно циклiчнi матрицi) нерозкладними об’єктами категорiї \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}0(K), а двi такi матрицi
iзоморфнi в нiй тодi i лише тодi, коли рiвними є їх ваговi послiдовностi.
Якщо зафiксувати твiрний елемент t радикала R, то a = (\varepsilon 1t
s1 , . . . , \varepsilon n - 1t
sn - 1), де si =
= w(ai) i \varepsilon i — деякi елементи iз K\ast . У цьому випадку матрицю N(a) позначаємо також
через Nt(a) = Nt(a1, . . . , an - 1) або Nt(w, \varepsilon ), де w = w(a) i \varepsilon = (\varepsilon 1, . . . , \varepsilon n - 1). Очевидно, що
матриця Nt(w, \varepsilon ) дiагонально подiбна матрицi Nt(w, 1), де 1 = (1, . . . , 1). Згiдно з викладеним
канонiчно ланцюгову матрицю вигляду Nt(w, 1) природно називати зведеною.
Для канонiчно ланцюгових матриць як об’єктiв категорiї \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}(K) справедливi теореми,
аналогiчнi теоремам 2 i 4.
Теорема 5. Канонiчно ланцюгова матриця нерозкладна в категорiї \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}(K).
Теорема 6. Канонiчно ланцюговi матрицi Nt(a) i Nt(a
\prime ) iзоморфнi в категорiї \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}(K)
тодi i лише тодi, коли вони iзоморфнi в категорiї \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}0(K).
Доведення цих теорем проводиться аналогiчно доведенню теореми 2 i теореми 4 (випадок
двох неперiодичних вагових послiдовностей).
Вкажемо лише, як у цьому випадку дається означення строгих часткових порядкiв \prec w i
\prec ww\prime , якi у випадку канонiчно циклiчних матриць введено вiдповiдно в пп. 4.4 i 5.2 (див.
додатково пп. 4.3 i 5.1). У цьому випадку <n буде позначати лексикографiчний порядок на
множинi \BbbN n
0 , де \BbbN 0 = 0 \cup \BbbN \cup \infty (в якiй s < \infty для будь-якого s \not = \infty ).
Нехай w = (s1, . . . , sn - 1) — вагова послiдовнiсть матрицi N = Nt(a). Її члени належать
множинi [0,m - 1], де m = l(R). Частковий порядок \prec w на множинi [1, n] вводиться таким же
чином, як у випадку канонiчно циклiчних матриць, але wi вже позначають не циклiчнi переста-
новки послiдовностi w, а такi послiдовностi довжини n: wi = (wi, . . . , wn - 1, wn, w1, . . . , wi - 1),
де wn = w1 = . . . = wi - 1 = m, i = 1, 2, . . . , n; зокрема, всi члени послiдовностi wn дорiвню-
ють m.
Отже, з урахуванням даних позначень i \prec w j \Leftarrow \Rightarrow wi <n wj . Очевидно, що цей порядок є
лiнiйним.
Нехай тепер w = (s1, s2, . . . , sn - 1) i w\prime = (s\prime 1, s
\prime
2, . . . , s
\prime
n - 1) — ваговi послiдовностi матриць
N = Nt(a) i N \prime = Nt(a
\prime ). Частковий порядок \prec ww\prime на множинi [1, n] \cup [1, n]\prime , де [1, n]\prime =
= \{ i\prime | i \in [1, n]\} , вводиться таким же чином, як у випадку двох канонiчно циклiчних матриць
з неперiодичними послiдовностями. А саме (з урахуванням нових позначень)
i \prec ww\prime j \Leftarrow \Rightarrow wi <n wj , якщо i, j \in [1, n],
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
НЕРОЗКЛАДНI ТА IЗОМОРФНI ОБ’ЄКТИ В КАТЕГОРIЇ МОНОМIАЛЬНИХ МАТРИЦЬ . . . 901
i\prime \prec ww\prime j\prime \Leftarrow \Rightarrow w\prime
i <n w\prime
j , якщо i\prime , j\prime \in [1, n]\prime ,
i \prec ww\prime j\prime \Leftarrow \Rightarrow wi <n w\prime
j , якщо i \in [1, n], j\prime \in [1, n]\prime ,
i\prime \prec ww\prime j \Leftarrow \Rightarrow w\prime
i <n wj , якщо i\prime \in [1, n]\prime , j \in [1, n].
Цей порядок також є лiнiйним.
На завершення вкажемо на зв’язок (в сенсi подiбностi) мiж канонiчно ланцюговими та
циклiчними матрицями.
Теорема 7. Канонiчно ланцюгова матриця N та канонiчно циклiчна матриця M не мо-
жуть бути iзоморфними в категорiї \mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}(K).
Дiйсно, нехай C - 1NC = M i v0 = (1, 0, . . . , 0). Тодi (v0C)M = v0CC - 1NC = (v0N)C =
= 0. Оскiльки вектор v0C мiстить оборотну координату, скажiмо, на i-му мiсцi, то i - 1-й
стовпець матрицi M буде нульовим, що неможливо для циклiчної матрицi (i - 1 при i = 1
ототожнюється з n).
7. Додаток: ручнi та дикi матричнi задачi. Матричнi задачi (задачi про еквiвалентнiсть
заданих наборiв матриць за допомогою заданих перетворень) бувають двох типiв: або задача
повнiстю розв’язується, або мiстить в собi класичну нерозв’язну задачу лiнiйної алгебри про
опис пар матриць над полем iз точнiстю до подiбностi (коротко — задачу про пару матриць).
Зауважимо, що в другому випадку початкова задача мiстить у собi задачу про подiбнiсть n-ок
матриць для будь-якого n > 2 (що є основною причиною вважати задачу про пару матриць
еталоном складностi в теорiї матричних задач та теорiї зображень). Протягом довгого часу
математики дотримувались саме такої (очевидно, нестрогої) точки зору i в цих напрямках
велися дослiдження. В одних роботах розв’язувались конкретнi задачi, в iнших доводилось, що
та чи iнша задача мiстить у собi задачу про пару матриць. Пiзнiше такi задачi почали називати
вiдповiдно ручними та дикими (вiдносно самої iдеї див. роботу [8], а вiдносно строгих означень
та основних теорем у загальному випадку — роботи [9, 10]).
Перший результат про задачi, якi мiстять у собi задачу про пару матриць, отримав I. М. Гель-
фанд [11], i полягає вiн у тому, що задача про подiбнiсть пари комутуючих матриць A,B над
полем мiстить у собi задачу про пару матриць. Обидвi матрицi A,B (якi залежать вiд двох
матриць як параметрiв) вибрано трикутними i нiльпотентними, а звiдси випливає, що задачу
про пару матриць мiстить у собi задача про опис матричних зображень нескiнченної групи
Z \times Z, а отже, i вiльної абелевої групи рангу бiльшого двох.
Для матричних зображень скiнченних груп (над полем) можна говорити про пару матриць
лише у модулярному випадку, коли характеристика поля дiлить порядок групи. Першi резуль-
тати в цьому напрямку отриманi П. М. Гудивком (не опублiковано) i С. А. Кругляком [12], якi
довели, що задача про опис модулярних зображень групи (p, p), p \not = 2, мiстить у собi задачу
про пару матриць. Задачу поставив С. В. Берман у зв’язку з розв’язанням В. А. Башевим [13]
задачi про опис модулярних зображень групи (2, 2), найменшої дiедральної групи (опис зобра-
жень довiльної дiедральної групи над полем характеристики 2 отримано в [14] i незалежно,
але лише для 2-груп, у [15]). Загальний випадок для модулярних зображень скiнченних груп
розглянуто в роботi [16]; на цей час вже iснували строгi означення ручних i диких задач i можна
було використовувати теореми Ю. А. Дрозда.
Для матриць над комутативними кiльцями (що не є полями) першi результати, пов’язанi
з парою матриць, отримано в роботi [17] для деяких областей цiлiсностi (зокрема, для кiльця
цiлих p-адичних чисел) i в роботi [1] для областей нецiлiсностi (бiльш точно, для кiлець класiв
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
902 В. М. БОНДАРЕНКО, М. Ю. БОРТОШ
лишкiв за модулем ps, p — просте число). У цих статтях доведено, що задача про подiбнiсть
однiєї матрицi (над вказаними кiльцями) мiстить у собi задачу про пару матриць над полем. Крiм
того, розглядаються i випадки, коли матриця задає зображення скiнченної циклiчної групи, але
ми не будемо детально це обговорювати, як i взагалi зображення скiнченних груп над кiльцями
(див. у зв’язку з цим монографiю [18]).
Сформулюємо бiльш точно результат, отриманий першим автором у роботi [1], який най-
бiльш цiкавий у зв’язку з тематикою цiєї статтi (див. вступ); при цьому замiсть кiльця класiв
лишкiв розглядається довiльне комутативне локальне кiльце головних iдеалiв K (формулюван-
ня i доведення iз [1] переноситься на цей загальний випадок автоматично).
Зафiксуємо в радикалi R кiльця K твiрний елемент t i розглянемо таку матрицю над K :
M(A,B) =
\left(
E 0 0 0 E 0 0 0
0 E 0 0 0 E 0 0
0 0 E 0 0 0 E 0
0 0 0 E 0 0 0 E
0 tE 0 0 E 0 0 0
0 0 tE 0 0 E 0 0
0 0 0 0 0 tB E tE
0 0 0 0 tA 0 0 E
\right)
,
де A i B — довiльнi квадратнi матрицi над K однакового розмiру, а E позначає одиничну
матрицю такого ж розмiру. Доведено, що матрицi M(A,B) i M(A\prime , B\prime ) подiбнi (як матрицi
над K ) тодi i лише тодi, коли пари матриць (A,B) i (A\prime , B\prime ) подiбнi за модулем R. А це i
означає, що задача про подiбнiсть оборотної матрицi над кiльцем K мiстить у собi задачу про
пару матриць над полем k = K/R, або, в сучаснiй термiнологiї, є дикою.
В останнi пiвстолiття дослiдження ручних та диких випадкiв проводилося не лише для зоб-
ражень класичних об’єктiв (напiвгрупи, групи, алгебри тощо), а i для нових матричних задач:
зображення сагайдакiв, зображення частково впорядкованих множин (в тому числi з додатко-
вими структурами на них), зображення в’язок напiвланцюгiв тощо, включаючи i задачi, якi не
пов’язанi безпосередньо iз зображеннями об’єктiв, але зводяться до них (вiдносно вказаних
нових задач див., зокрема, роботи [19 – 58]).
Лiтература
1. Бондаренко В. М. О подобии матриц над кольцом классов вычетов // Мат. сб. – Киев: Наук. думка, 1976. –
С. 275 – 277.
2. Нечаев А. А. О подобии матриц над коммутативным локальным артиновым кольцом // Труды сем. им. И. Г. Пет-
ровского. –1983. – Вып. 9. – P. 81 – 101.
3. Pizarro A. Similarity classes of 3\times 3 matrices over a discrete valuation ring // Linear Algebra and Appl. – 1983. –
54. – P. 29 – 51.
4. Avni N., Onn U., Prasad A., Vaserstein L. Similarity classes of 3 \times 3 matrices over a local principal ideal ring //
Communs Algebra. – 2009. – 37, № 8. – P. 2601 – 2615.
5. Prasad A., Singla P. Similarity of matrices over local rings of length two // Indiana Univ. Math. J. – 2015. – 64,
№ 2. – P. 471 – 514.
6. McDonald B. R. Linear algebra over commutative ring. – New York; Basel: M. Dekker, 1984. – 544 p.
7. Brown W. C. Matrices over commutative rings. – New York etc.: M. Dekker, 1993. – 294 p.
8. Donovan P., Freislich M. R. Some evidence for an extension of the Brauer – Thrall conjecture // Sonderforschungsbe-
reich Theor. Math. (Bonn). – 1972. – 40. – P. 24 – 26.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
НЕРОЗКЛАДНI ТА IЗОМОРФНI ОБ’ЄКТИ В КАТЕГОРIЇ МОНОМIАЛЬНИХ МАТРИЦЬ . . . 903
9. Дрозд Ю. А. О ручных и диких матричных задачах // Матричные задачи. – Киев: Ин-т математики АН УССР,
1977. – С. 104 – 114.
10. Дрозд Ю. А. Ручные и дикие матричные задачи // Представления и квадратичные формы. – Киев: Ин-т
математики АН УССР, 1979. – С. 39 – 74.
11. Гельфанд И. М., Пономарев В. А. Замечания о классификации пары коммутирующих линейных преобразований
в конечномерном пространстве // Функцион. анализ и его прил. – 1969. – 3, № 4. – С. 81 – 82.
12. Кругляк С. А. О представлениях группы (p, p) над полем характеристики p // Докл. АН СССР. – 1963. – 153,
№ 6. – С. 1253 – 1256.
13. Башев В. А. Представления группы Z2\times Z2 в поле характеристики 2 // Докл. АН СССР. – 1961. – 141, вып. 5. –
С. 1015 – 1018.
14. Бондаренко В. М. Представления диэдральных групп над полем характеристики 2 // Мат. сб. – 1975. – 96,
вып. 1. – С. 63 – 74.
15. Ringel C. The indecomposable representations of dihedral 2-groups // Math. Ann. – 1975. – 214, № 1. – P. 19 – 34.
16. Бондаренко В. М., Дрозд Ю. A. Представленческий тип конечных групп // Зап. науч. сем. ЛОМИ. – 1977. – 71. –
С. 24 – 41.
17. Гудивок П. М. О модулярных и целочисленных представлениях конечных групп // Докл. АН СССР. – 1974. –
214, № 5. – С. 993 – 996.
18. Гудивок П. М. Представления конечных групп над коммутативными локальными кольцами. – Ужгород: Изд-во
Ужгород. нац. ун-та, 2003. – 118 с.
19. Gabriel P. Unzerlegbure Darstellungen, I // Manuscr. Math. – 1972. – 6, № 1. – P. 71 – 103.
20. Назарова Л. А., Ройтер А. В. Представления частично упорядоченных множеств // Зап. науч. сем. ЛОМИ. –
1972. – 28. – C. 5 – 31.
21. Клейнер М. М. Частично упорядоченные множества конечного типа // Зап. науч. сем. ЛОМИ. – 1972. – 28. –
C. 32 – 41.
22. Назарова Л. А., Ройтер А. В., Сергейчук В. В., Бондаренко В. М. Применение модулей над диадой для клас-
сификации конечных p-групп, обладающих абелевой подгруппой индекса p, и пар взаимно аннулирующих
операторов // Зап. науч. сем. ЛОМИ. – 1972. – 28. – С. 69 – 92.
23. Donovan P., Freislich M. R. The representation theory of finite graphs and associated algebras // Carleton Lect.
Notes. – 1973. – № 5. – P. 3 – 86.
24. Назарова Л. А. Представления колчанов бесконечного типа // Изв. АН СССР. – 1973. – 37, № 4. – С. 752 – 791.
25. Дрозд Ю. А. Преобразования Кокстера и представления частично упорядоченных множеств // Функцион.
анализ и его прил. – 1974. – 8. – C. 34 – 42.
26. Loupias M. Indecomposable representations of finite ordered sets // Lect. Notes Math. – 1975. – 488. – P. 201 – 209.
27. Назарова Л. А. Частично упорядоченные множества бесконечного типа // Изв. АН СССР. – 1975. – 39, № 5. –
С. 963 – 991.
28. Завадский А. Г., Шкабара А. С. Коммутативные колчаны и матричные алгебры конечного типа. – Киев, 1976. –
52 с. – (Препринт/АН УССР, Ин-т математики; 76.3).
29. Плахотник В. В. Представления частично упорядоченных множеств над коммутативными кольцами // Изв.
АН СССР. – 1976. – 40, № 3. – С. 527 – 543.
30. Назарова Л. А., Овсиенко С. А., Ройтер А. В. Поликолчаны конечного типа // Тр. Мат. ин-та АН СССР. –
1978. – 148. – C. 190 – 194.
31. Кириченко В. В. Классификация пар взаимно аннулирующих операторов в градуированном пространстве и
представления диады обобщенно однорядных алгебр // Зап. науч. сем. ЛОМИ. – 1978. – 75. – С. 91 – 109.
32. Кириченко В. В. Скiнченно-породженi модулi над дiадою узагальнено однорядних кiлець // Вiсн. Київ. ун-ту.
Сер. Математика i механiка. – 1983. – № 25. – С. 91 – 96.
33. Bekkert V. I. Tame two-point quivers with relations // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat. – 1986. – № 12. – P. 62 – 64.
34. Назарова Л. А., Бондаренко В. М., Ройтер А. В. Представления частично упорядоченных множеств с инволю-
цией. – Киев, 1986. – 26 с. – (Препринт/АН УССР, Ин-т математики; 86.80).
35. Бондаренко В. М. Связки полуцепных множеств и их представления. – Киев, 1988. – 32 с. – (Препринт/АН
УССР, Ин-т математики; 88.60).
36. Назарова Л. А., Бондаренко В. М., Ройтер А. В. Ручные частично упорядоченные множества с инволюцией //
Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1990. – 183. – C. 149 – 159.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
904 В. М. БОНДАРЕНКО, М. Ю. БОРТОШ
37. Simson D. On the representation type of stratified posets // C. r. Acad. sci. Ser. I. – 1990. – 311, № 1. – P. 5 – 10.
38. Bondarenko V. M., Zavadskij A. G. Posets with an equivalence relation of tame type and of finite growth // Can.
Math. Soc. Conf. Proc. – 1991. – 11. – P. 67 – 88.
39. Бондаренко В. М. Представления связок полуцепных множеств и их приложения // Алгебра и анализ. – 1991. –
3, вып. 5. – С. 38 – 67.
40. Сергейчук В. В. Замечание о классификации голоморфных матриц с точностью до подобия // Функцион.
анализ и его прил. – 1991. – 25, № 2. – С. 65.
41. Kasjan S., Simson D. Fully wild prinjective type of posets and their quadratic forms // J. Algebra. – 1995. – 172,
№ 2. – P. 506 – 529.
42. Arnold D., Dugas M. Representation type of posets and finite rank Butler groups // Colloq. Math. – 1997. – 74,
№ 2. – P. 299 – 320.
43. Dräxler P., Geiss Ch. A note on the \mathrm{D}n -pattern // Can. Math. Soc. Conf. Proc. – 1998. – 24. – P. 145 – 152.
44. Drozd Yu. A. Representations of bisected posets and reflection functors // Can. Math. Soc. Conf. Proc. – 1998. –
24. – P. 153 – 165.
45. von Hohne H. J., Simson D. Bipartite posets of finite prinjective type // J. Algebra. – 1998. – 201, № 1. – P. 86 – 114.
46. Назарова Л. А., Ройтер А. В. Конечнопредставимые диадические множества // Укр. мат. журн. – 2000. – 52,
№ 10. – C. 1363 – 1396.
47. Brüstle Th., König S., Mazorchuk V. The coinvariant algebra and representation types of blocks of category \scrO // Bull.
London Math. Soc. – 2001. – 33, № 6. – P. 669 – 681.
48. Drozd Y. A., Greuel G. M. Tame and wild projective curves and classification of vector bundles // J. Algebra. –
2001. – 246, № 1. – P. 1 – 54.
49. Bondarenko V. M. On dispersing representations of quivers and their connection with representations of bundles of
semichains // Algebra and Discrete Math. – 2002. – 1, № 1. – P. 19 – 31.
50. Bondarenko V. M. Linear operators on S -graded vector spaces // Linear Algebra and Appl. – 2003. – 365. – P. 45 – 90.
51. Drozd Yu. A., Greuel G. M., Kashuba I. On Cohen – Macaulay modules on surface singularities // Mosc. Math. J. –
2003. – 3, № 2. – P. 397 – 418.
52. Zavadskij A. Tame equipped posets // Linear Algebra and Appl. – 2003. – 365. – P. 389 – 465.
53. Burban I., Drozd Y. Derived categories of nodal algebras // J. Algebra. – 2004. – 272, № 1. – P. 46 – 94.
54. Belitskii G., Bondarenko V. M., Lipyanski R., Plachotnik V. V., Sergeichuk V. V. The problems of classifying pairs of
forms and local algebras with zero cube radical are wild // Linear Algebra and Appl. – 2005. – 402. – P. 135 – 142.
55. Bondarenko V. M., Styopochkina M. V. On finite posets of inj-finite type and their Tits forms // Algebra and Discrete
Math. – 2006. – 5, № 2. – P. 17 – 21.
56. Arnold D. M., Simson D. Representations of finite posets over discrete valuation rings // Communs Algebra. – 2007. –
35, № 10. – P. 3128 – 3144.
57. Belitskii G., Dmytryshyn A. R., Lipyanski R., Sergeichuk V. V., Tsurkov A. Problems of classifying associative or Lie
algebras over a field of characteristic not two and finite metabelian groups are wild // Electron. J. Linear Algebra. –
2009. – 18. – P. 516 – 529.
58. Bondarenko V. M., Futorny V., Klimchuk T., Sergeichuk V. V., Yusenko K. Systems of subspaces of a unitary space //
Linear Algebra and Appl. – 2013. – 438, № 5. – P. 2561 – 2573.
Одержано 13.06.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1744 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:48Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/98/b81c1c012e460980eb18738e1d699498.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17442019-12-05T09:25:34Z Indecomposable and isomorphic objects in the category of monomial matrices over a local ring Нерозкладні та ізоморфні об’єкти в категорії мономіальних матриць над локальним кільцем Bondarenko, V. M. Bortos, M. Yu. Бондаренко, В. М. Бортош, М. Ю. We study the indecomposability and isomorphism of objects from the category of monomial matrices $\mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}(K)$ over a commutative local principal ideal ring $K$ (whose objects are square monomial matrices and the morphisms from $X$ to $Y$ are the matrices $C$ such that $XC = CY$). We also study the subcategory $\mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}_0(K)$ of the category $\mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}(K)$ with the same objects and only those morphisms that are monomial matrices. Исследуются неразложимость и изоморфизм объектов категории мономиальних матриц $\mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}(K)$ над коммутативным локальным кольцом главных идеалов $K$ (объектами которой являются квадратные мономиальные матрицы, а морфизмами из $X$ в $Y$ — такие матрицы $C$, что $XC = CY$). Изучается также подкатегория $\mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}_0(K)$ категории $\mathrm{M}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}(K)$ с теми же самыми объектами и только теми морфизмами, которые являются мономиальными матрицами. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1744 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 7 (2017); 889-904 Український математичний журнал; Том 69 № 7 (2017); 889-904 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1744/726 Copyright (c) 2017 Bondarenko V. M.; Bortos M. Yu. |
| spellingShingle | Bondarenko, V. M. Bortos, M. Yu. Бондаренко, В. М. Бортош, М. Ю. Indecomposable and isomorphic objects in the category of monomial matrices over a local ring |
| title | Indecomposable and isomorphic objects in the category of
monomial matrices over a local ring |
| title_alt | Нерозкладні та ізоморфні об’єкти в категорії мономіальних
матриць над локальним кільцем |
| title_full | Indecomposable and isomorphic objects in the category of
monomial matrices over a local ring |
| title_fullStr | Indecomposable and isomorphic objects in the category of
monomial matrices over a local ring |
| title_full_unstemmed | Indecomposable and isomorphic objects in the category of
monomial matrices over a local ring |
| title_short | Indecomposable and isomorphic objects in the category of
monomial matrices over a local ring |
| title_sort | indecomposable and isomorphic objects in the category of
monomial matrices over a local ring |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1744 |
| work_keys_str_mv | AT bondarenkovm indecomposableandisomorphicobjectsinthecategoryofmonomialmatricesoveralocalring AT bortosmyu indecomposableandisomorphicobjectsinthecategoryofmonomialmatricesoveralocalring AT bondarenkovm indecomposableandisomorphicobjectsinthecategoryofmonomialmatricesoveralocalring AT bortošmû indecomposableandisomorphicobjectsinthecategoryofmonomialmatricesoveralocalring AT bondarenkovm nerozkladnítaízomorfníobêktivkategoríímonomíalʹnihmatricʹnadlokalʹnimkílʹcem AT bortosmyu nerozkladnítaízomorfníobêktivkategoríímonomíalʹnihmatricʹnadlokalʹnimkílʹcem AT bondarenkovm nerozkladnítaízomorfníobêktivkategoríímonomíalʹnihmatricʹnadlokalʹnimkílʹcem AT bortošmû nerozkladnítaízomorfníobêktivkategoríímonomíalʹnihmatricʹnadlokalʹnimkílʹcem |