Approximative properties of biharmonic Poisson integrals on Hölder classes
We establish asymptotic expansions for the values of approximation of functions from the H¨older class by biharmonic Poisson integrals in the uniform and integral metrics.
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1746 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507597750140928 |
|---|---|
| author | Hembars'ka, S. B. Zhyhallo, K. M. Гембарська, С. В Жигалло, К. М. |
| author_facet | Hembars'ka, S. B. Zhyhallo, K. M. Гембарська, С. В Жигалло, К. М. |
| author_sort | Hembars'ka, S. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:25:34Z |
| description | We establish asymptotic expansions for the values of approximation of functions from the H¨older class by biharmonic
Poisson integrals in the uniform and integral metrics. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
C. Б. Гембарська, К. М. Жигалло (Схiдноєвроп. нац. ун-т iм. Л. Українки)
АПРОКСИМАТИВНI ВЛАСТИВОСТI БIГАРМОНIЧНИХ
IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА НА КЛАСАХ ГЕЛЬДЕРА
We establish asymptotic expansions for the values of approximation of functions from the Hölder class by biharmonic
Poisson integrals in the uniform and integral metrics.
Получены асимптотические разложения величин приближения функций класса Гельдера бигармоническими инте-
гралами Пуассона в равномерной и интегральной метриках.
Постановка задачi та деякi допомiжнi твердження. Нехай C — простiр 2\pi -перiодичних
неперервних функцiй, у якому норма задається за допомогою рiвностi \| f\| C = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t
| f(t)| ;
L — простiр 2\pi -перiодичних сумовних на перiодi функцiй, в якому норма задається рiвнiстю
\| f\| L = \| f\| 1 =
\int \pi
- \pi
| f(t)| dt.
Множину функцiй f \in L, якi задовольняють умову \| f(\cdot +t) - f(\cdot )\| 1 \leq | t| , будемо позначати
через H1
1 , а множину функцiй f \in C, для яких виконується умова \| f(\cdot + t) - f(\cdot )\| C \leq | t| , —
через H1. Класи H1 та H1
1 називають класами Гельдера.
Для 2\pi -перiодичної сумовної функцiї f через B(f, x, \rho ), 0 \leq \rho < 1, будемо позначати
(див., наприклад, [1, 2]) бiгармонiчний iнтеграл Пуассона:
B(f, x, \rho ) =
1
\pi
\pi \int
- \pi
f(t+ x)K\rho (t)dt,
де
K\rho (t) =
1
2
+
\infty \sum
k=1
\biggl(
1 +
k
2
\bigl(
1 - \rho 2
\bigr) \biggr)
\rho k \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt
— бiгармонiчне ядро Пуассона. Покладемо \rho = e - 1/\delta , \delta > 0, i далi бiгармонiчний iнтеграл
Пуассона будемо записувати у виглядi
B\delta (f, x) =
1
\pi
\pi \int
- \pi
f(t+ x)K\delta (t)dt,
де
K\delta (t) =
1
2
+
\infty \sum
k=1
\biggl(
1 +
k
2
\Bigl(
1 - e - 2/\delta
\Bigr) \biggr)
e - k/\delta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt.
У статтi дослiджується асимптотична поведiнка при \delta \rightarrow \infty величин
\scrE
\bigl(
H1;B\delta
\bigr)
C
:= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in H1
\| B\delta (f, \cdot ) - f(\cdot )\| C , (1)
\scrE
\bigl(
H1
1 ;B\delta
\bigr)
1
:= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in H1
1
\| B\delta (f, \cdot ) - f(\cdot )\| 1 . (2)
c\bigcirc C. Б. ГЕМБАРСЬКА, К. М. ЖИГАЛЛО, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7 925
926 C. Б. ГЕМБАРСЬКА, К. М. ЖИГАЛЛО
Задачу про вiдшукання асимптотичних рiвностей для величини (1) i (2), згiдно з О. I. Степан-
цем [3, с. 198], називатимемо задачею Колмогорова – Нiкольського для бiгармонiчного iнтеграла
Пуассона B\delta (f ;x) на класах H1 i H1
1 у рiвномiрнiй та iнтегральнiй метриках вiдповiдно.
Вивченню апроксимативних властивостей бiгармонiчних iнтегралiв Пуассона на класах ди-
ференцiйовних функцiй присвячено роботи [4 – 18].
Теорема. При \delta \rightarrow \infty має мiсце рiвнiсть
\scrE
\bigl(
H1;B\delta
\bigr)
C
= \scrE
\bigl(
H1
1 ;B\delta
\bigr)
1
=
1 - e - 2/\delta
\pi
\Biggl\{
1 +
\infty \sum
k=1
( - 1)k
\zeta (2k)(2 - 22 - 2k)
(2k + 1)\pi 2k
1
\delta 2k
\Biggr\}
+
+
\Biggl(
2
\pi \delta
- 1 - e - 2/\delta
\pi
\Biggr) \Biggl\{
1 + \mathrm{l}\mathrm{n} 2 + \mathrm{l}\mathrm{n} \delta +
\infty \sum
k=1
( - 1)k - 1\zeta (2k)(2 - 22 - 2k)
2k(2k + 1)\pi 2k
1
\delta 2k
\Biggr\}
, (3)
де для \{ z : \mathrm{R}\mathrm{e} z > 1\} \zeta (z) :=
\sum \infty
s=1
1
sz
— дзета-функцiя Рiмана.
Доведення. В роботi [9] показано, що має мiсце рiвнiсть
\scrE
\bigl(
H1;B\delta
\bigr)
C
= \scrE
\bigl(
H1
1 ;B\delta
\bigr)
1
.
Тому достатньо довести справедливiсть рiвностi (3) лише для випадку рiвномiрної метрики.
Оскiльки
1
\pi
\int \pi
- \pi
K\delta (t)dt = 1, то
B\delta (f, x) - f(x) =
1
\pi
\pi \int
- \pi
(f(t+ x) - f(x))K\delta (t)dt.
Звiдси з урахуванням того, що f \in H1, а K\delta (t) > 0, t \in [ - \pi , \pi ] , отримуємо
\scrE
\bigl(
H1;B\delta
\bigr)
C
\leq 1
\pi
\pi \int
- \pi
| t| K\delta (t) dt. (4)
З iншого боку, функцiя f\ast
1 , яка є 2\pi -перiодичним продовженням функцiї f1(t) = | t| , t \in
\in [ - \pi , \pi ), належить до множини H1 i
\scrE
\bigl(
H1;B\delta
\bigr)
C
\geq \| B\delta (f
\ast
1 , \cdot ) - f\ast
1 (\cdot )\| C \geq | B\delta (f
\ast
1 , 0) - f\ast
1 (0)| =
1
\pi
\pi \int
- \pi
| t| K\delta (t) dt. (5)
Об’єднуючи (4) i (5), маємо
\scrE
\bigl(
H1;B\delta
\bigr)
C
=
1
\pi
\pi \int
- \pi
| t| K\delta (t) dt =
2
\pi
\pi \int
0
tK\delta (t) dt. (6)
Покладемо \varphi \delta (z) =
\Bigl(
1 +
z
2
\bigl(
1 - e - 2/\delta
\bigr) \Bigr)
e - z/\delta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} zt для z \in [0,\infty ) i нехай
\Phi \delta (u) =
\sqrt{}
2
\pi
\infty \int
0
\varphi \delta (z) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} zudz
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
АПРОКСИМАТИВНI ВЛАСТИВОСТI БIГАРМОНIЧНИХ IНТЕГРАЛIВ . . . 927
— косинус-перетворення Фур’є функцiї \varphi \delta (z). Запишемо \Phi \delta (u) у виглядi
\Phi \delta (u) =
\sqrt{}
2
\pi
\infty \int
0
e - z/\delta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} zt \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} zudz +
\sqrt{}
2
\pi
\infty \int
0
1 - e - 2/\delta
2
ze - z/\delta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} zt \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} zu dz =
= \Phi \delta 1(u) + \Phi \delta 2(u). (7)
Як i в [19], можна показати, що
\Phi \delta 1(u) =
1
\delta
\surd
2\pi
\left[ 1
1
\delta 2
+ (t - u)2
+
1
1
\delta 2
+ (t+ u)2
\right] . (8)
Розглянемо тепер косинус-перетворення Фур’є
\Phi \delta 2(u) =
1 - e - 2/\delta
2
\surd
2\pi
\left( \infty \int
0
ze - z/\delta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z(u+ t)dz +
\infty \int
0
ze - z/\delta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z(u - t)dz
\right) . (9)
Знайдемо iнтеграли з правої частини рiвностi (9). Використовуючи формулу 3.944.6 з [20],
маємо
\infty \int
0
ze - z/\delta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} z(u\pm t)dz =
1
1
\delta 2
+ (u\pm t)2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\left( 2 \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
u\pm t
1
\delta
\right) =
1
\delta 2
- (u\pm t)2\biggl(
1
\delta 2
+ (u\pm t)2
\biggr) 2 . (10)
Враховуючи (7) – (10), можемо записати
\Phi \delta (u) =
1\surd
2\pi
\left[ 1
\delta
1
\delta 2
+ (t - u)2
+
1
\delta
1
\delta 2
+ (t+ u)2
+
+
1 - e - 2/\delta
2
\left( 1
\delta 2
- (t+ u)2
(
1
\delta 2
+ (t+ u)2)2
+
1
\delta 2
- (t - u)2
(
1
\delta 2
+ (t - u)2)2
\right)
\right] .
Застосовуючи формулу пiдсумовування Пуассона (див., наприклад, [21, с. 82]), отримуємо
K\delta (t) =
\surd
2\pi
\Biggl(
1
2
\Phi \delta (0) +
\infty \sum
k=1
\Phi \delta (2\pi k)
\Biggr)
. (11)
Враховуючи спiввiдношення (11), бiгармонiчний iнтеграл Пуассона можемо записати у виглядi
B\delta (f, x) =
1
\pi
\pi \int
- \pi
f(t+ x)
\left\{
1
\delta
1
\delta 2
+ t2
+
1 - e - 2/\delta
2
1
\delta 2
- t2\biggl(
1
\delta 2
+ t2
\biggr) 2+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
928 C. Б. ГЕМБАРСЬКА, К. М. ЖИГАЛЛО
+
\infty \sum
k=1
\left[
1
\delta
1
\delta 2
+ (t - 2\pi k)2
+
1
\delta
1
\delta 2
+ (t+ 2\pi k)2
+
+
1 - e - 2/\delta
2
\left(
\biggl(
1
\delta
\biggr) 2
- (t+ 2\pi k)2\biggl(
1
\delta 2
+ (t+ 2\pi k)2
\biggr) 2 +
1
\delta 2
- (t - 2\pi k)2\biggl(
1
\delta 2
+ (t - 2\pi k)2
\biggr) 2
\right)
\right]
\right\} dt =
=
1
\pi
\infty \int
- \infty
[f(t+ x)]2\pi
\left(
1
\delta
1
\delta 2
+ t2
+
1 - e - 2/\delta
2
1
\delta 2
- t2\biggl(
1
\delta 2
+ t2
\biggr) 2
\right) dt, (12)
де [f(\cdot )]2\pi — парне 2\pi -перiодичне продовження функцiї f(\cdot ) iз [ - \pi , \pi ] на всю числову вiсь.
Аналогiчним чином, використовуючи (11), рiвнiсть (6) можемо записати у виглядi
\scrE
\bigl(
H1;B\delta
\bigr)
C
=
2
\pi
\infty \int
0
[t]2\pi
\left(
1
\delta
1
\delta 2
+ t2
+
1 - e - 2/\delta
2
1
\delta 2
- t2\biggl(
1
\delta 2
+ t2
\biggr) 2
\right) dt =
=
2
\pi \delta
\pi \int
0
t
1
\delta 2
+ t2
dt+
1 - e - 2/\delta
\pi
\pi \int
0
t
1
\delta 2
- t2\biggl(
1
\delta 2
+ t2
\biggr) 2dt+
+
2
\pi \delta
\infty \int
\pi
[t]2\pi
1
\delta 2
+ t2
dt+
1 - e - 2/\delta
\pi
\infty \int
\pi
[t]2\pi
1
\delta 2
- t2\biggl(
1
\delta 2
+ t2
\biggr) 2dt = I1 + I2 + I3 + I4. (13)
Для iнтеграла I1 одержуємо
I1 =
2
\pi \delta
\pi \int
0
t
1
\delta 2
+ t2
dt =
1
\pi \delta
\pi \int
0
d
\biggl(
1
\delta 2
+ t2
\biggr)
1
\delta 2
+ t2
=
1
\pi \delta
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1
\delta 2
+ \pi 2
\biggr)
- \mathrm{l}\mathrm{n}
1
\delta 2
\biggr)
=
=
2
\pi \delta
(\mathrm{l}\mathrm{n} \delta + \mathrm{l}\mathrm{n}\pi ) +
1
\pi \delta
\infty \sum
k=1
( - 1)k - 1
k\pi 2k
\biggl(
1
\delta
\biggr) 2k
.
Розглянемо iнтеграл I2 :
I2 =
1 - e - 2/\delta
\pi
\pi \int
0
t
1
\delta 2
- t2\biggl(
1
\delta 2
+ t2
\biggr) 2 dt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
АПРОКСИМАТИВНI ВЛАСТИВОСТI БIГАРМОНIЧНИХ IНТЕГРАЛIВ . . . 929
=
1 - e - 2/\delta
\pi
\left( 1
\delta 2
\pi \int
0
t\biggl(
1
\delta 2
+ t2
\biggr) 2 dt -
\pi \int
0
t3\biggl(
1
\delta 2
+ t2
\biggr) 2 dt
\right) . (14)
Знайдемо iнтеграли з правої частини рiвностi (14):
\pi \int
0
t\biggl(
1
\delta 2
+ t2
\biggr) 2 dt =
1
2
\pi \int
0
d
\biggl(
1
\delta 2
+ t2
\biggr)
\biggl(
1
\delta 2
+ t2
\biggr) 2 dt = - 1
2
\left( 1
1
\delta 2
+ \pi 2
- \delta 2
\right) , (15)
\pi \int
0
t3\biggl(
1
\delta 2
+ t2
\biggr) 2 dt =
1
2
1/\delta 2+\pi 2\int
1/\delta 2
x - 1
\delta 2
x2
dx =
1
2
\left( 1/\delta 2+\pi 2\int
1/\delta 2
dx
x
- 1
\delta 2
1/\delta 2+\pi 2\int
1/\delta 2
dx
x2
\right) =
=
1
2
\left( \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1
\delta 2
+ \pi 2
\biggr)
- \mathrm{l}\mathrm{n}
1
\delta 2
+
1
\delta 2
\left( 1
1
\delta 2
+ \pi 2
- \delta 2
\right)
\right) =
= \mathrm{l}\mathrm{n} \delta + \mathrm{l}\mathrm{n}\pi +
1
2
\left( \infty \sum
k=1
( - 1)k - 1
k\pi 2k
\biggl(
1
\delta
\biggr) 2k
+
1
\delta 2
\left( 1
1
\delta 2
+ \pi 2
- \delta 2
\right)
\right) . (16)
Тодi, використовуючи (14) – (16), маємо
I2 =
1 - e - 2/\delta
\pi
\left( - 1
2\delta 2
\left( 1
1
\delta 2
+ \pi 2
- \delta 2
\right) - \mathrm{l}\mathrm{n} \delta - \mathrm{l}\mathrm{n}\pi -
- 1
2
\left( \infty \sum
k=1
( - 1)k - 1
k\pi 2k
\biggl(
1
\delta
\biggr) 2k
+
1
\delta 2
\left( 1
1
\delta 2
+ \pi 2
- \delta 2
\right)
\right)
\right) =
=
1 - e - 2/\delta
\pi
\Biggl( \infty \sum
k=1
( - 1)k+1
\pi 2(k - 1)
\biggl(
1
\delta
\biggr) 2(k - 1)
- \mathrm{l}\mathrm{n} \delta - \mathrm{l}\mathrm{n}\pi - 1
2
\infty \sum
k=1
( - 1)k - 1
k\pi 2k
\biggl(
1
\delta
\biggr) 2k
\Biggr)
.
Для iнтегралiв I3 та I4 отримуємо
I3 =
2
\pi \delta
\infty \int
\pi
[t]2\pi
1
\delta 2
+ t2
dt =
2
\pi \delta
\infty \int
\pi
[t]2\pi
t2
1
1 +
\biggl(
1
\delta t
\biggr) 2 dt =
2
\pi \delta
\infty \sum
k=1
( - 1)k - 1
\delta 2(k - 1)
\infty \int
\pi
[t]2\pi
t2k
dt,
I4 =
1 - e - 2/\delta
\pi
\infty \int
\pi
[t]2\pi
1
\delta 2
- t2\biggl(
1
\delta 2
+ t2
\biggr) 2 dt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
930 C. Б. ГЕМБАРСЬКА, К. М. ЖИГАЛЛО
=
1 - e - 2/\delta
\pi
\left( \infty \sum
k=1
( - 1)k - 1 2k
\delta 2k
\infty \int
\pi
[t]2\pi
t2k+2
dt -
\infty \sum
k=1
( - 1)k - 1
\delta 2(k - 1)
\infty \int
\pi
[t]2\pi
t2k
dt
\right) .
Пiдставляючи вирази для iнтегралiв Ii, i = 1, 4, у спiввiдношення (13), дiстаємо
\scrE
\bigl(
H1;B\delta
\bigr)
C
=
1 - e - 2/\delta
\pi
\left\{ 1 +
\infty \sum
k=1
( - 1)k - 1
\left( 2k
\infty \int
\pi
[t]2\pi
t2k+2
dt - 1
\pi 2k
\right) 1
\delta 2k
\right\} +
+
\Biggl(
2
\pi
1
\delta
- 1 - e - 2/\delta
\pi
\Biggr) \left\{ \mathrm{l}\mathrm{n}\pi \delta +
\infty \int
\pi
[t]2\pi
t2
dt+
\infty \sum
k=1
( - 1)k - 1
\left( 1
2k\pi 2k
-
\infty \int
\pi
[t]2\pi
t2k+2
dt
\right) 1
\delta 2k
\right\} . (17)
Виконаємо деякi перетворення iнтегралiв
\int \infty
\pi
[t]2\pi
t2(k+1)
dt, що фiгурують у (17):
\infty \int
\pi
[t]2\pi
t2(k+1)
dt =
\infty \sum
i=1
2i\pi \int
(2i - 1)\pi
2i\pi - t
t2(k+1)
dt+
\infty \sum
i=1
(2i+1)\pi \int
2i\pi
t - 2i\pi
t2(k+1)
dt =
=
\infty \sum
i=1
\biggl(
- 2i\pi
2k + 1
1
t2k+1
+
1
2k
1
t2k
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2i\pi
(2i - 1)\pi
+
\infty \sum
i=1
\biggl(
- 1
2k
1
t2k
+
2i\pi
2k + 1
1
t2k+1
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| (2i+1)\pi
2i\pi
=
=
\infty \sum
i=1
2i
(2k + 1)\pi 2k
\Biggl[
1
(2i - 1)2k+1
- 2
(2i)2k+1
+
1
(2i+ 1)2k+1
\Biggr]
+
+
\infty \sum
i=1
1
2k\pi 2k
\Biggl[
2
(2i)2k
- 1
(2i - 1)2k
- 1
(2i+ 1)2k
\Biggr]
. (18)
Для подальших перетворень скористаємося дзета-функцiєю Рiмана (див., наприклад, [20, c. 1087])
\zeta (z) =
\infty \sum
s=1
1
sz
, \mathrm{R}\mathrm{e} z > 1. (19)
Використовуючи формулу 9.535.1 з [20], можемо записати
\infty \sum
i=1
1
(2i - 1)2k
= \zeta (2k) - 2 - 2k\zeta (2k). (20)
Тодi
\infty \sum
i=1
2i
2k + 1
\Biggl[
1
(2i - 1)2k+1
+
1
(2i+ 1)2k+1
\Biggr]
=
=
1
2k + 1
\infty \sum
i=1
\Biggl[
1
(2i - 1)2k
+
1
(2i+ 1)2k
+
1
(2i - 1)2k+1
- 1
(2i+ 1)2k+1
\Biggr]
=
=
1
2k + 1
\Biggl( \infty \sum
i=1
\Biggl[
1
(2i - 1)2k
+
1
(2i+ 1)2k
\Biggr]
+ 1
\Biggr)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
АПРОКСИМАТИВНI ВЛАСТИВОСТI БIГАРМОНIЧНИХ IНТЕГРАЛIВ . . . 931
=
1
2k + 1
\Biggl(
2
\infty \sum
i=1
1
(2i - 1)2k
\Biggr)
=
2
2k + 1
\Bigl(
\zeta (2k) - 2 - 2k\zeta (2k)
\Bigr)
, (21)
1
2k
\infty \sum
i=1
1
(2i+ 1)2k
=
1
2k
\infty \sum
i=1
\Biggl(
1
(2i - 1)2k
- 1
\Biggr)
=
1
2k
\Bigl(
\zeta (2k) - 2 - 2k\zeta (2k) - 1
\Bigr)
. (22)
Використовуючи (19), (20) i пiдставляючи (21), (22) у (18), знаходимо
\infty \int
\pi
[t]2\pi
t2(k+1)
dt =
2
(2k + 1)\pi 2k
\Bigl(
\zeta (2k) - 2 - 2k\zeta (2k) - 2 - 2k\zeta (2k)
\Bigr)
+
+
1
2k\pi 2k
\Bigl(
2 \cdot 2 - 2k\zeta (2k) - \zeta (2k) + 2 - 2k\zeta (2k) - \zeta (2k) + 2 - 2k\zeta (2k) + 1
\Bigr)
=
=
2
(2k + 1)\pi 2k
\zeta (2k)
\Bigl[
1 - 2 - 2k+1
\Bigr]
+
2
2k\pi 2k
\zeta (2k)
\Bigl[
2 - 2k+1 - 1
\Bigr]
+
1
2k\pi 2k
=
=
2
\pi 2k
\zeta (2k)
\Bigl[
1 - 2 - 2k+1
\Bigr] \biggl( 1
2k + 1
- 1
2k
\biggr)
+
1
2k\pi 2k
=
1
2k\pi 2k
- 2\zeta (2k)
\pi 2k
1 - 2 - 2k+1
2k(2k + 1)
. (23)
У випадку k = 0 маємо
\infty \int
\pi
[t]2\pi
t2
dt =
\infty \sum
i=1
2i\pi \int
(2i - 1)\pi
2i\pi - t
t2
dt+
\infty \sum
i=1
(2i+1)\pi \int
2i\pi
t - 2i\pi
t2
dt =
=
\infty \sum
i=1
\biggl(
- 2i\pi
t
- \mathrm{l}\mathrm{n} t
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2i\pi
(2i - 1)\pi
+
\infty \sum
i=1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} t+
2i\pi
t
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| (2i+1)\pi
2i\pi
=
=
\infty \sum
i=1
\biggl(
- 2i\pi
2i\pi
+
2i\pi
(2i - 1)\pi
- \mathrm{l}\mathrm{n}(2i\pi ) + \mathrm{l}\mathrm{n}[(2i - 1)\pi )] + \mathrm{l}\mathrm{n}[(2i+ 1)\pi )] -
- \mathrm{l}\mathrm{n}(2i\pi ) +
2i\pi
(2i+ 1)\pi
- 2i\pi
2i\pi
\biggr)
=
= - 2 +
\infty \sum
i=1
\biggl(
2i
2i - 1
+
2i
2i+ 1
\biggr)
+
\infty \sum
i=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
(2i - 1)(2i - 1)
2i \cdot 2i
=
= 1 +
\infty \sum
i=1
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 - 1
(2i)2
\biggr)
= 1 + \mathrm{l}\mathrm{n}
\infty \prod
i=1
\biggl(
1 - 1
(2i)2
\biggr)
.
Враховуючи формулу 0.262.2 з [20]
\infty \prod
k=1
\biggl(
1 - 1
(2k)2
\biggr)
=
2
\pi
,
отримуємо
\infty \int
\pi
[t]2\pi
t2
dt = 1 + \mathrm{l}\mathrm{n}
2
\pi
. (24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
932 C. Б. ГЕМБАРСЬКА, К. М. ЖИГАЛЛО
Пiдставляючи (23) i (24) у (17), одержуємо (3).
Теорему доведено.
Лiтература
1. Петров В. А. Бигармонический интеграл Пуассона // Лит. мат. сб. – 1967. – 7, № 1. – С. 137 – 142.
2. Гембарська С. Б. Дотичнi граничнi значення бiгармонiйного iнтеграла Пуассона в крузi // Укр. мат. журн. –
1997. – 49, № 9. – С. 1171 – 1176.
3. Степанец А. И. Методы теории приближения. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – Ч. I. – 427 с.
4. Каниев С. Об уклонении бигармонических в круге функций от их граничных значений // Докл. АН СССР. –
1963. – 153, № 5. – С. 995 – 998.
5. Pych P. On a biharmonic function in unit disk // Ann. pol. math. – 1968. – 20, № 3. – P. 203 – 213.
6. Фалалеев Л. П. Полное асимптотическое разложение для верхней грани уклонения функций из \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}11 от
одного сингулярного интеграла // Теоремы вложения и их приложения: Матер. всесоюз. симп. – Алма-Ата:
Наука КазССР, 1976. – С. 163 – 167.
7. Жигалло К. М., Харкевич Ю. I. Про наближення функцiй класу Гельдера бiгармонiйними iнтегралами Пуассо-
на // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 7. – С. 971 – 974.
8. Жигалло К. М., Харкевич Ю. I. Наближення диференцiйовних перiодичних функцiй їх бiгармонiйними iнте-
гралами Пуассона // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 9. – С. 1213 – 1219.
9. Кальчук I. В., Харкевич Ю. I. Асимптотика величин наближення в середньому класiв диференцiйовних функцiй
за допомогою бiгармонiйних iнтегралiв Пуассона // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 8. – С. 1105 – 1115.
10. Харкевич Ю. I., Жигалло Т. В. Наближення функцiй з класу \^C\psi \beta ,\infty бiгармонiйними операторами Пуассона в
рiвномiрнiй метрицi // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 5. – С. 669 – 693.
11. Жигалло К. М., Харкевич Ю. I. Наближення спряжених диференцiйовних функцiй бiгармонiчними iнтегралами
Пуассона // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 3. – С. 333 – 345.
12. Канiєв С. Точна оцiнка вiдхилення в середньому бiгармонiчних в крузi функцiй вiд їх граничних значень //
Доп. АН УРСР. – 1964. – № 4. – С. 451 – 454.
13. Трофимов В. Н., Цыганков А. С. Точные неравенства для колебаний гармонических и бигармонических в круге
функций // Сиб. мат. журн. – 1969. — 10, № 2. — С. 398 – 416.
14. Gonzales L., Keller E., Wildenhain G. Über das Randverhalten des Poisson-Integrals der polyharmonischen Glei-
chung // Math. Nachr. – 1980. – 95. – S. 157 – 164.
15. Заставный В. П. Точная оценка приближения некоторых классов дифференцируемых функций сверточными
операторами // Укр. мат. вiсн. – 2010. – 7, № 3. – С. 409 – 433.
16. Жигалло К. М., Харкевич Ю. I. Наближення функцiй з класiв C
\psi
\beta ,\infty бiгармонiчними iнтегралами Пуассона //
Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 7. – С. 939 – 959.
17. Жигалло К. М., Харкевич Ю. I. Наближення (\psi , \beta )-диференцiйовних функцiй малої гладкостi бiгармонiчними
iнтегралами Пуассона // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 12. – С. 1602 – 1622.
18. Кальчук I. В., Харкевич Ю. I. Апроксимативнi властивостi бiгармонiчних iнтегралiв Пуассона на класах
W r
\beta H
\alpha // Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 11. – С. 1493 – 1504.
19. Баскаков В. А. О некоторых свойствах операторов типа операторов Абеля – Пуассона // Мат. заметки. – 1975. –
17, № 2. – С. 169 – 180.
20. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Физматиз, 1963. –
1100 с.
21. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. – М.; Л.: Гостехиздат, 1948. – 460 с.
Одержано 23.12.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1746 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:51Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/90/61fc863826d654e205bfd712f0316e90.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17462019-12-05T09:25:34Z Approximative properties of biharmonic Poisson integrals on Hölder classes Апроксимативні властивості бігармонічних інтегралів Пуассона на класах Гельдера Hembars'ka, S. B. Zhyhallo, K. M. Гембарська, С. В Жигалло, К. М. We establish asymptotic expansions for the values of approximation of functions from the H¨older class by biharmonic Poisson integrals in the uniform and integral metrics. Получены асимптотические разложения величин приближения функций класса Гельдера бигармоническими интегралами Пуассона в равномерной и интегральной метриках. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1746 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 7 (2017); 925-932 Український математичний журнал; Том 69 № 7 (2017); 925-932 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1746/728 Copyright (c) 2017 Hembars'ka S. B.; Zhyhallo K. M. |
| spellingShingle | Hembars'ka, S. B. Zhyhallo, K. M. Гембарська, С. В Жигалло, К. М. Approximative properties of biharmonic Poisson integrals on Hölder classes |
| title | Approximative properties of biharmonic Poisson integrals on Hölder classes |
| title_alt | Апроксимативні властивості бігармонічних інтегралів
Пуассона на класах Гельдера |
| title_full | Approximative properties of biharmonic Poisson integrals on Hölder classes |
| title_fullStr | Approximative properties of biharmonic Poisson integrals on Hölder classes |
| title_full_unstemmed | Approximative properties of biharmonic Poisson integrals on Hölder classes |
| title_short | Approximative properties of biharmonic Poisson integrals on Hölder classes |
| title_sort | approximative properties of biharmonic poisson integrals on hölder classes |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1746 |
| work_keys_str_mv | AT hembars039kasb approximativepropertiesofbiharmonicpoissonintegralsonholderclasses AT zhyhallokm approximativepropertiesofbiharmonicpoissonintegralsonholderclasses AT gembarsʹkasv approximativepropertiesofbiharmonicpoissonintegralsonholderclasses AT žigallokm approximativepropertiesofbiharmonicpoissonintegralsonholderclasses AT hembars039kasb aproksimativnívlastivostíbígarmoníčnihíntegralívpuassonanaklasahgelʹdera AT zhyhallokm aproksimativnívlastivostíbígarmoníčnihíntegralívpuassonanaklasahgelʹdera AT gembarsʹkasv aproksimativnívlastivostíbígarmoníčnihíntegralívpuassonanaklasahgelʹdera AT žigallokm aproksimativnívlastivostíbígarmoníčnihíntegralívpuassonanaklasahgelʹdera |