Characterizations of groups with almost layer-finite periodic part
Construction of the set of finite subgroups of the form $L_g = \langle a, a^g\rangle$ in Shunkov’s groups is studying. As a corollary of this result follows two characterizations of groups with an almost layer-finite periodic part.
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1749 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507602929057792 |
|---|---|
| author | Senashov, V. I. Сенашов, В. И. Сенашов, В. И. |
| author_facet | Senashov, V. I. Сенашов, В. И. Сенашов, В. И. |
| author_sort | Senashov, V. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:25:34Z |
| description | Construction of the set of finite subgroups of the form $L_g = \langle a, a^g\rangle$ in Shunkov’s groups is studying. As a corollary of
this result follows two characterizations of groups with an almost layer-finite periodic part.
|
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.54
В. И. Сенашов (Сиб. федер. ун-т, Красноярск, Ин-т вычислит. моделирования СО РАН, Россия)
ХАРАКТЕРИЗАЦИИ ГРУПП С ПОЧТИ СЛОЙНО КОНЕЧНОЙ
ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЧАСТЬЮ*
Construction of the set of finite subgroups of the form Lg = \langle a, ag\rangle in Shunkov’s groups is studying. As a corollary of
this result follows two characterizations of groups with an almost layer-finite periodic part.
Вивчається будова сiм’ї скiнченних пiдгруп вигляду Lg = \langle a, ag\rangle у групах Шункова. Як наслiдок iз основної
теореми отримано двi характеризацiї груп iз майже шарово скiнченною перiодичною частиною.
В статье С. Н. Черникова [1] был введен и начал изучаться класс слойно конечных групп.
Группа называется слойно конечной, если множество ее элементов любого данного порядка
конечно. Почти слойно конечные группы — это конечные расширения слойно конечных групп.
В настоящей работе мы изучаем бесконечные группы с условием почти слойной конечно-
сти периодических частей нормализаторов конечных нетривиальных подгрупп. Среди таких
групп можно назвать группы Новикова – Адяна [2] и группы Ольшанского [3]. Рассматрива-
ется классический вопрос: как свойства системы подгрупп влияют на свойства всей группы?
Найдены условия, при которых почти слойная конечность распространяется на периодическую
часть группы G с периодических частей нормализаторов нетривиальных конечных подгрупп
группы G.
Кроме того, исследуется также класс сопряженно бипримитивно конечных групп, введен-
ных В. П. Шунковым. В 1997 году за такими группами закрепилось новое название — группы
Шункова. Ранее автором рассматривались группы Шункова при условии почти слойной конеч-
ности всех нетривиальных собственных подгрупп [4, 5] и при условии периодичности группы
[6 – 8]. Случай смешанных групп, рассматриваемый в этой статье, исследовался автором в
[9 – 12]. Автором изучались группы Шункова с сильно вложенной подгруппой [5, 6, 13, 14].
Наиболее полный случай, когда группа Шункова содержит сильно вложенную подгруппу, име-
ющую почти слойно конечную периодическую часть, рассмотрен в [10], и этот результат мы
используем в данной работе.
Основная теорема этой статьи посвящена строению конечных подгрупп вида Lg = \langle a, ag\rangle в
группах Шункова, и в качестве следствий получены две характеризации групп с почти слойно
конечной периодической частью.
Нам будут необходимы следующие определения и обозначения.
Группой Шункова (сопряженно бипримитивно конечной группой) называется группа G, если
для любой ее конечной подгруппы H в фактор-группе NG(H)/H любая пара сопряженных
элементов простого порядка порождает конечную подгруппу.
Группа называется черниковской, если она либо конечна, либо является конечным расши-
рением прямого произведения конечного числа квазициклических групп.
Будем обозначать через F (L) нормальную подгруппу наибольшего порядка группы L,
являющуюся прямым произведением простых неабелевых групп.
* Выполнена при поддержке гранта Сибирского федерального университета (проект — алгебро-логические
структуры и комплексный анализ).
c\bigcirc В. И. СЕНАШОВ, 2017
964 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
ХАРАКТЕРИЗАЦИИ ГРУПП С ПОЧТИ СЛОЙНО КОНЕЧНОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЧАСТЬЮ 965
Если произведение всех нормальных слойно конечных подгрупп группы слойно конечно,
то оно называется слойно конечным радикалом группы.
Разрешимый радикал — максимальная нормальная разрешимая подгруппа.
Нильпотентный радикал — максимальная нормальная нильпотентная подгруппа.
Инволюция — элемент второго порядка.
Почти регулярный элемент — элемент с конечным централизатором.
Почти нильпотентная группа — конечное расширение нильпотентной группы.
Сильно вложенной называется собственная подгруппа, содержащая инволюции, которая
пересекается с сопряженными с ней подгруппами по подгруппам без инволюций.
Op\prime (G) — максимальная нормальная подгруппа конечной группы G, не содержащая p-
элементов;
R(H) — максимальная нормальная слойно конечная подгруппа группы H;
\pi (G) — множество простых делителей порядков элементов группы G;
\pi (c) — множество простых делителей числа c.
Рассмотрим группу Шункова G, не имеющую почти слойно конечной периодической части,
нормализатор любой ее нетривиальной конечной подгруппы имеет почти слойно конечную
периодическую часть.
Через S обозначим некоторую силовскую 2-подгруппу из G. Если группа S конечна, то
по теореме Силова в ней найдется центральная инволюция, если же S бесконечна, то по
теореме из [11] она является черниковской и по свойствам черниковских примарных групп
в ней пересечение центра и полной части нетривиально и, значит, содержит хотя бы одну
инволюцию. Обозначим через i эту центральную инволюцию из S.
По условиям теоремы централизатор CG(i) инволюции i имеет почти слойно конечную
периодическую часть C. Если C не содержится в большей почти слойно конечной подгруппе
из G, то она и есть максимальная почти слойно конечная подгруппа группы G, содержащая
C. В противном случае найдется почти слойно конечная подгруппа C1 группы G, строго
содержащая C. Продолжая дальше аналогичное рассуждение, мы либо найдем максимальную
почти слойно конечную подгруппу группы G, содержащую C, либо построим возрастающую
цепь почти слойно конечных подгрупп
C < C1 < C2 < C3 < . . . .
Объединение этой цепи локально конечных подгрупп, являясь локально конечной группой, по
теореме Шункова (теорема 1 из [9]) будет почти слойно конечной группой. Согласно лемме
Цорна, если любая цепь в частично упорядоченном множестве имеет верхнюю грань, то любой
элемент из этого множества подчинен некоторому максимальному. В рассматриваемом случае
это означает, что в группе G найдется максимальная почти слойно конечная подгруппа H,
содержащая периодическую часть группы CG(i).
Следующая теорема посвящена строению семейства конечных подгрупп вида Lg = \langle a, ag\rangle в
группе Шункова при условии почти слойной конечности периодических частей нормализаторов
конечных нетривиальных подгрупп.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
966 В. И. СЕНАШОВ
Теорема. Пусть G — группа Шункова с инволюциями, в которой нормализатор любой
нетривиальной конечной подгруппы имеет почти слойно конечную периодическую часть, S —
ее силовская 2-подгруппа, i — центральная инволюция из S (в случае, когда S бесконечна, i
берется из полной части группы S ), H — максимальная почти слойно конечная подгруппа,
содержащая периодическую часть группы CG(i). Тогда либо группа G имеет почти слойно
конечную периодическую часть, либо справедливы следующие утверждения:
если H — нечерниковская группа, то найдется элемент a простого порядка из H такой,
что среди групп Lg = \langle a, ag\rangle , g \in G \setminus NG(H), бесконечно много полупростых с подгруппой
F (Lg), изоморфной PSL2(q), q > 3 — нечетное;
если H — черниковская группа, то в G найдутся нечерниковская подгруппа B и элемент b
простого порядка из B такие, что среди групп Lg = \langle b, bg\rangle , g \in G \setminus NG(B), бесконечно много
полупростых с подгруппой F (Lg), изоморфной PSL2(q), q > 3 — нечетное.
Аналогичная теорема для периодических групп доказана в работе [8]. Доказательство тео-
ремы настоящей работы следует схеме доказательства из [8], но имеет специфику работы со
смешанными группами. Например, мы не можем воспользоваться известной теоремой Шун-
кова о периодической группе с почти регулярной инволюцией, которую использовали в [8].
Нужно также иметь в виду, что практически при одинаковых формулировках доказательства
лемм отличны от доказательств для периодического случая в работе [8]. Для случая, который
изучается в данной работе, мы ссылаемся на доказательства аналогичных лемм из работ [9 – 12],
в которых рассматривается случай смешанных групп.
В качестве следствий из полученного результата приведем две характеризации групп с
почти слойно конечной периодической частью.
Следствие 1. Пусть G — группа Шункова без элементов третьего порядка. Если в G
нормализатор любой нетривиальной конечной подгруппы имеет почти слойно конечную пери-
одическую часть, то группа G также имеет почти слойно конечную периодическую часть.
Доказательство. Следствие 1 при наличии в группе инволюций вытекает из теоремы
данной статьи и известного факта, что группа PSL2(q) содержит элемент третьего порядка.
Если в группе нет инволюций, то утверждение вытекает из теоремы 2 работы [9].
Следствие 2. Пусть G — группа Шункова без подгрупп вида PSL2(q). Если в G нормали-
затор любой нетривиальной конечной подгруппы имеет почти слойно конечную периодическую
часть, то группа G также имеет почти слойно конечную периодическую часть.
Доказательство. Следствие 2 вытекает из теоремы данной статьи и теоремы 2 из [9].
Если в формулировках следствий не требовать, чтобы группа была группой Шункова, то
они теряют силу вследствие известного примера p-группы А. Ю. Ольшанского [3].
Предположим, что G — группа Шункова, не имеющая почти слойно конечной периодиче-
ской части, и нормализатор любой ее нетривиальной конечной подгруппы имеет почти слойно
конечной периодическую часть.
Через S обозначим некоторую силовскую 2-подгруппу из G. Как было показано перед
формулировкой теоремы, в S найдется центральная инволюция. Обозначим эту центральную
инволюцию из S через i.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
ХАРАКТЕРИЗАЦИИ ГРУПП С ПОЧТИ СЛОЙНО КОНЕЧНОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЧАСТЬЮ 967
Там же показано, что в группе G найдется максимальная почти слойно конечная подгруп-
па H, содержащая периодическую часть группы CG(i).
Обозначим через M нормализатор подгруппы H в группе G. Почти слойно конечная
группа H имеет слойно конечный радикал R(H). Любой слой неединичных элементов из
R(H) представляет собой конечное инвариантное множество элементов. По лемме Дицмана из
[15, c. 338] он порождает конечную нетривиальную нормальную в R(H) подгруппу, очевидно,
являющуюся характеристической в R(H) и, следовательно, нормальной в M. Тогда по услови-
ям теоремы группа M имеет почти слойно конечную периодическую часть, которая вследствие
максимальности подгруппы H совпадает с H.
Предположим, что централизаторы всех инволюций из M имеют бесконечные пересечения
с H. По теореме из [10] в группе G нет сильно вложенных подгрупп с почти слойно конечной
периодической. Значит, группа M не является сильно вложенной в группу G. Тогда для неко-
торого элемента g из множества G \setminus M пересечение M \cap Mg содержит инволюцию. Согласно
сделанному предположению, по условиям теоремы и лемме 2 из [11] группа H содержит
бесконечную периодическую часть централизатора этой инволюции в группе G. Аналогично
получаем, что Hg также содержит бесконечную периодическую часть централизатора этой
инволюции. Но тогда по лемме 3 из [11] H = Hg, что противоречит выбору элемента g.
Таким образом, в группе M найдется инволюция, централизатор которой в M имеет конеч-
ную периодическую часть. Зафиксируем за этой инволюцией обозначение j. В силу теоремы
7 из [16], не нарушая общности рассуждений, можем считать, что инволюция j выбрана из
подгруппы S.
Пусть K — подгруппа из H, порожденная всеми инволюциями с бесконечными централи-
заторами в H. Слойно конечный радикал группы H будем обозначать R(H). По лемме 8 из
[12] K является абелевой подгруппой порядка не большего четырех.
Предварим доказательство теоремы рядом лемм.
Лемма 1. В группе G централизаторы инволюций имеют почти разрешимые периодиче-
ские части.
Доказательство. Пусть t — произвольная инволюция из G. Включим периодическую
часть ее централизатора CG(t), являющуюся почти слойно конечной по условию теоремы, в
максимальную почти слойно конечную подгруппу W из G. Если все инволюции из W имеют
бесконечные централизаторы в W, то по леммам 1, 2 из [11] W сильно вложена в G. Но
эта ситуация невозможна по теореме из [10]. Тогда в W есть почти регулярная инволюция, и
отсюда по теореме Шункова [17] группа W почти разрешима.
Лемма 1 доказана.
Пусть L — полупростая конечная группа, т. е. не имеет разрешимой нормальной подгруппы.
Будем обозначать через F (L) нормальную подгруппу наибольшего порядка из L, являющуюся
прямым произведением простых неабелевых групп.
Лемма 2. Подгруппа F (L) любой нетривиальной полупростой конечной подгруппы L груп-
пы G является простой неабелевой группой.
Доказательство совпадает с доказательством леммы 2 из [8].
Лемма 3. В группе G число классов сопряженных инволюций конечно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
968 В. И. СЕНАШОВ
Доказательство. Предположим, что утверждение леммы ошибочно и в группе G нашлось
бесконечное множество классов сопряженных инволюций с представителями
i1, i2, . . . , in, . . . ,
взятыми по одному из каждого класса. Из сопряженно бипримитивной конечности группы G и
попарной несопряженности указанных инволюций по свойствам групп диэдра следует наличие
в группах вида \langle ij , i1\rangle центральных инволюций ij1.
Рассмотрим максимальную почти слойно конечную подгруппу из G, содержащую перио-
дическую часть группы CG(i1). В ней, очевидно, будут содержаться инволюции
i12, i13, . . . , i1n, . . . ,
среди которых по лемме 10 из [6] лишь конечное число несопряженных. Будем считать, что
мы сразу выбрали представителей классов сопряженных инволюций так, что все инволюции
ik, k = 1, 2, . . . , сопряжены между собой, т. е.
i12 = ig313 = ig414 = . . . = ign1n = . . . .
Рассмотрим максимальную почти слойно конечную подгруппу из G, содержащую перио-
дическую часть группы CG(i12). В ней будут содержаться инволюции ig33 , ig44 , . . . , ignn , . . . как
перестановочные с инволюцией i12. Но опять среди этих инволюций лишь конечное число
несопряженных. Противоречие с предположением.
Лемма 3 доказана.
Обозначим через \frakM множество всех конечных подгрупп группы G вида Lg = \langle a, ag\rangle , где
элемент a простого порядка p выбираем из H, если H — нечерниковская группа, и из B —
нечерниковской почти слойно конечной подгруппы, содержащей инволюции, которая найдется
в G по теореме 3.1 из [18] (так как иначе группа G имела бы черниковскую и, значит, почти
слойно конечную периодическую часть) и условиям теоремы, если группа H — черниковская
(g \in G \setminus NG(H) в первом случае и g \in G \setminus NG(B) во втором). Множество таких элементов
бесконечно, так как периодическая часть группы NG(H) (соответственно, группы NG(B))
почти слойно конечна в силу условий теоремы, а по предположению группа G не имеет почти
слойно конечной периодической части. Группу B можем считать максимальной почти слойно
конечной подгруппой в группе G в силу леммы Цорна и теоремы 1 из [9].
Вследствие бесконечности множества вариантов выбора порядка элемента a и строения
почти слойно конечной группы выберем его порядок таким достаточно большим, что он не
делит индекс | H : R(H)| , где R(H) — слойно конечный радикал группы H в первом случае,
и индекс | B : R(B)| , где R(B) — слойно конечный радикал группы B во втором случае.
Это можно сделать на основании строения нечерниковской почти слойно конечной группы.
Во втором случае будем также предполагать, что p \not \in \pi (H) (это можно сделать вследствие
черниковости группы H ) и p не делит индекс | B : L(B)| , где L(B) — нильпотентный радикал
группы B.
Докажем, что B — почти нильпотентная группа.
По свойствам слойно конечных групп (cм., например, [19, с. 130]) слойно конечный радикал
V группы B имеет полную часть A, причем A \leq Z(V ). Точно так же, как мы доказали перед
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
ХАРАКТЕРИЗАЦИИ ГРУПП С ПОЧТИ СЛОЙНО КОНЕЧНОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЧАСТЬЮ 969
леммой 1 то, что H имеет почти регулярную инволюцию, доказывается, что в B найдется
почти регулярная инволюция k, которая в силу свойств слойно конечных групп содержится
в разности B \setminus V. В группе V \lambda (k), очевидно, A является нормальной подгруппой, причем k
действует регулярно на A в силу предложения 7 из [17].
Рассмотрим фактор-группу V \lambda (kA), где V = V/A. Поскольку V не имеет бесконечных си-
ловских подгрупп, то по свойствам слойно конечных групп с конечными силовскими подгруп-
пами (см., например, [19, с. 142]) для каждого простого p в V найдется p\prime -подгруппа V p конеч-
ного индекса, нормальная в V \lambda (iA). Рассмотрим C — пересечение V p по всем p \in \pi (CV (kA)).
Группа C имеет конечный индекс в V вследствие почти регулярности kA в V \lambda (kA). По тео-
реме Бернсайда (см., например, [20, с. 39]) C, как локально конечная группа, имеющая регу-
лярный автоморфизм порядка 2, является абелевой группой. Вследствие локальной конечности
C\lambda (kA) и свойств групп Фробениуса подгруппа C состоит из элементов, строго вещественных
относительно kA.
Так как A и C являются абелевыми 2-полными группами, то по предложению 3.2 из [21]
полный прообраз C группы C в группе V является абелевой группой. Поскольку она имеет
конечный индекс в B, это доказывает почти нильпотентность группы B.
Согласно лемме 11 из [6], множество несопряженных элементарных абелевых подгрупп
из почти слойно конечной группы с конечными централизаторами в ней конечно. Поэтому в
дополнение к выбору числа p можем считать, что оно не принадлежит множеству \cup \pi (CB(K)),
где K пробегает все элементарные абелевы подгруппы из B, имеющие в B конечные центра-
лизаторы в случае черниковской группы H. В случае нечерниковской H число p \not \in \pi (CH(K))
для элементарных абелевых подгрупп K из H с конечными централизаторами в H.
Лемма 4. В множестве \frakM бесконечно много подгрупп имеют тривиальный разрешимый
радикал.
Доказательство. Пусть сначала H — нечерниковская группа. Рассмотрим подгруппы ви-
да Lg = \langle a, ag\rangle , g \not \in NG(H). Предположим, что лемма несправедлива и разрешимый радикал
в группах Lg нетривиален для всех подгрупп Lg, за исключением не более чем конечного
числа подгрупп. Далее в доказательстве леммы речь идет только о подгруппах Lg с нетриви-
альным разрешимым радикалом. Вследствие сопряженно бипримитивной конечности группы
G подгруппы Lg конечны. Обозначим через P силовскую p-подгруппу из Lg, содержащую
элемент a. Поскольку P, будучи конечной p-группой, имеет нетривиальный центр, то выбира-
ем элемент b простого порядка из Z(P ). Вследствие выбора элемента a централизатор CH(b)
бесконечен. Тогда по лемме 3 из [10] периодическая часть централизатора CG(b) содержится в
H. Следовательно, P также содержится в H.
Предположим, что P не является циклической подгруппой. Обозначим элементарную абе-
леву подгруппу порядка p2 из P, содержащую элемент a, через R. Рассмотрим подгруппу
Op\prime (Lg)\lambda R (Op\prime (Lg) \not = 1 по предположению). Согласно теореме Брауэра [22],
Op\prime (Lg) \leq \langle CG(r) | r \in R\#\rangle .
Как отмечалось выше, элементы r из R\# имеют бесконечные централизаторы в H и в силу
леммы 3 из [10] их периодические части содержатся в H вместе с Op\prime (Lg).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
970 В. И. СЕНАШОВ
Проводя аналогичные рассуждения относительно подгруппы Hg вместо H и элемента ag
вместо a, видим, что Op\prime (Lg) < Hg. При этом p выбран настолько большим, что в центра-
лизаторах элементов порядка p из H нет элементов с конечными централизаторами в H; для
сопряженной подгруппы Hg это же справедливо.
Таким образом, Op\prime (Lg) < H \cap Hg. Если \pi (Op\prime (Lg)) не содержится в множестве \pi (| H :
R(H)| ), то слойно конечные радикалы R(H) и R(Hg) подгрупп H и Hg пересекаются нетри-
виально и по лемме 2 из [10] H = Hg. Вследствие максимальности подгруппы H получили
противоречие с выбором элемента g.
Значит, множество \pi (Op\prime (Lg)) включено в \pi (| H : R(H)| ), а так как последнее множество
конечно, то и для \pi (Op\prime (Lg)) имеется только конечное множество вариантов при различных
способах выбора элемента a. Тогда, учитывая строение почти слойно конечной группы H
и бесконечность множества вариантов выбора порядков элемента a, получаем бесконечность
нормализатора NH(Op\prime (Lg)) для данного элемента g. Значит, периодическая часть нормализа-
тора NG(Op\prime (Lg)) содержится в H по лемме 3 из [10] вместе с Lg. Полученное противоречие
с выбором подгруппы Lg означает, что силовские p-подгруппы в Lg циклические.
Пусть теперь H — черниковская группа. Как мы доказали перед леммой 4, B — почти
нильпотентная группа, а значит, она имеет вид B = L(B) \cdot K, где L(B) — нильпотентный
радикал группы B, K — ее конечная подгруппа.
Рассмотрим подгруппы вида Lg = \langle a, ag\rangle , g \in G\setminus NG(B), и предположим, что разрешимый
радикал в Lg нетривиален для бесконечного множества таких подгрупп. Повторяя проведенные
выше рассуждения для подгруппы B вместо H, получаем включение Op\prime (Lg) \leq B. Подгруп-
па R содержится в B вследствие включения группы R в периодическую часть группы CG(a).
Таким образом, имеем Op\prime (Lg)\lambda R \leq B.
Вследствие выбора p подгруппа R содержится в нильпотентном радикале L(B) подгруп-
пы B. Пусть Q — силовская q-подгруппа из Op\prime (Lg). По лемме Фраттини Q выберем таким
образом, чтобы Q нормализовалась подгруппой R. Если Q < L(B), то, очевидно, Q \times R.
Если же q — делитель индекса | B : L(B)| , то, по определению нильпотентного радикала, R
также нормализуется подгруппой Q. Таким образом, опять получаем Q \times R. Поскольку это
рассуждение справедливо для любого q \in \pi (Op\prime (Lg)), то заключаем, что Op\prime (Lg) содержится
в периодической части группы CG(a). Отсюда вследствие выбора элемента a все элементы из
Op\prime (Lg) имеют в B бесконечные централизаторы, периодические части которых, по лемме 3
из [10], содержатся в B. Фиксируем произвольный элемент c \not = 1 из Op\prime (Lg). Как показано
выше, a \in CG(c) и периодическая часть группы CG(c) содержится в B. Проводя аналогич-
ные рассуждения относительно подгруппы Bg вместо B и элемента ag вместо a, видим, что
ag \in CG(c), c \in Op\prime (Lg). Таким образом, ag \in B. Вследствие выбора числа p элемент ag
принадлежит пересечению слойно конечных радикалов подгрупп B и Bg, а это в силу леммы
2 из [10] означает, что B = Bg для элемента g из G \setminus NG(B). Полученное противоречие с
выбором подгруппы B означает, что силовские p-подгруппы в Lg циклические.
Завершим доказательство леммы. Пусть сначала H — нечерниковская подгруппа группы
G. В силу доказанного выше считаем, не нарушая общности рассуждений, что найдется такой
элемент a \in H порядка p, что силовская p-подгруппа в Lg будет циклической.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
ХАРАКТЕРИЗАЦИИ ГРУПП С ПОЧТИ СЛОЙНО КОНЕЧНОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЧАСТЬЮ 971
Предположим, что в CLg(a) нашелся элемент b простого порядка, который перестановочен
с нетривиальным элементом w из нильпотентного радикала Ng группы Lg = \langle a, ag\rangle .
По выбору порядка p элемента a элемент b имеет бесконечный централизатор в H, значит,
по лемме 3 из [10] его периодическая часть содержится в H вместе с элементом w. Отсюда
следует, что пересечение Dg = Ng\cap H нетривиально, так как содержит элемент w. Рассмотрим
максимальную нормальную элементарную абелеву q-подгруппу Ag из Dg. Если a действует
регулярно на Ag, то в силу строения группы регулярных автоморфизмов q-группы, отсутствия
в G бесконечных элементарных абелевых подгрупп, сопряженности примарных силовских
погрупп в группе G и конечности индекса слойно конечного радикала в почти слойно конечной
группе добиваемся за счет выбора p, чтобы число q было настолько большим, что оно не делит
индекс | H : R(H)| . Тогда Ag < R(H). По свойствам слойно конечных групп и лемме 3 из [10]
периодическая часть централизатора CG(Ag) содержится в H.
Пусть теперь элемент a перестановочен с нетривиальным элементом из Ag. Тогда либо
он централизует всю Ag и вследствие выбора числа p периодическая часть группы CG(Ag)
содержится в группе H, либо Ag расщепляется: Ag = Bg \times Cg, где Cg < CG(a), а на Bg
элемент a действует регулярно. Тогда, как и выше, получаем ограничение на порядок q: q не
делит индекс | H : R(H)| .
Окончательно получаем независимо от действия a на Ag включение периодической части
группы CG(Ag) в группу H, что влечет по лемме 2 из [10] включение периодической части
нормализатора NG(Ag) в H. Тогда периодическая часть группы NG(Dg) содержится в H.
Если Ng \not = Dg, то в силу нормализаторного условия в нильпотентных группах нормализатор
подгруппы Dg в Ng отличен от Dg и по доказанному содержится в H. Получили противоречие
с построением Dg.
Если же Ng = Dg, то вследствие нормальности Ng в Lg и включения периодической части
группы NG(Dg) в H получаем Lg < H вопреки выбору группы Lg.
Таким образом, любой элемент простого порядка из CLg(a) действует регулярно на Ng.
Тогда по доказанному выше и по лемме 4.27 из [21] Lg — группа Фробениуса с неинвариантным
множителем (a). По теореме Созутова – Шункова [23] G имеет нетривиальную нормальную
локально конечную подгруппу вопреки предположению.
Случай черниковской подгруппы H рассматривается аналогично с заменой в рассуждениях
подгруппы H на подгруппу B.
Лемма 4 доказана.
В силу леммы 4 будем считать, не нарушая общности рассуждений, что в бесконечном
подмножестве \frakN подгрупп множества \frakM разрешимый радикал единичен.
В леммах 5, 6 будем предполагать, что некоторая силовская 2-подгруппа в группе G конечна.
Лемма 5. Порядки фактор-групп CK(t)/O2\prime (CK(t)), где K — произвольная силовская 2-
подгруппа из G, t — ее инволюция, ограничены в совокупности.
Доказательство. В силу леммы 3 в группе G конечное число классов сопряженных инво-
люций. Тогда, зафиксировав в каждом классе некоторую инволюцию t, достаточно для нее
доказать конечность фактор-группы CK(t)/O2\prime (CK(t)). Последнее утверждение следует из
конечности силовской 2-подгруппы S в G и леммы 7 из [12].
Лемма 5 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
972 В. И. СЕНАШОВ
Лемма 6. Можно считать, не нарушая общности рассуждений, что порядок p элемента
a выбран таким достаточно большим, что для подгрупп множества \frakN выполняется первая
альтернатива теоремы Брауэра [24]: в конечной группе U с силовской 2-подгруппой V для
любой пары инволюций w, t из V и любого элемента d из V существуют такие элементы x,
y, z, что x - 1wx, y - 1ty, z - 1dz \in V и z - 1dz = x - 1wxy - 1ty.
Доказательство. Поскольку мы можем увеличивать как угодно порядок p элемента a, то
подберем его таким достаточно большим, что для подгрупп множества \frakN не будет выполняться
вторая альтернатива теоремы Брауэра [24]: в конечной группе U с силовской 2-подгруппой
V \not = 1 существует функция
f
\Bigl(
| V | , | CU (w)/O2\prime (CU (w))| , | CU (t)/O2\prime (CU (t))|
\Bigr)
такая, что | U | \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(f) (для любых инволюций w, t из V ). Из леммы 5 следует, что такой
функции не существует, а это означает справедливость леммы.
Лемма 6 доказана.
Дальнейшее доказательство теоремы с учетом лемм 1 – 6 и основного результата из [12]
по-существу повторяет завершение доказательства теоремы из [8].
Теорема доказана.
Литература
1. Черников С. Н. К теории бесконечных специальных p-групп // Докл. АН СССР. – 1945. – С. 71 – 74.
2. Адян С. И. Проблема Бернсайда и тождества в группах. – М.: Наука, 1975. – 336 с.
3. Ольшанский А. Ю. Бесконечные группы с циклическими подгруппами // Докл. АН СССР. – 1979. – 245, № 4. –
С. 785 – 787.
4. Сенашов В. И. Группы с условием минимальности для не почти слойно конечных подгрупп // Укр. мат. журн. –
1991. – 43, № 7-8. – С. 1002 – 1008.
5. Сенашов В. И. Достаточные условия почти слойной конечности группы // Укр. мат. журн. – 1999. – 51, № 4. –
С. 472 – 485.
6. Сенашов В. И. Строение бесконечной силовской подгруппы в некоторых периодических группах Шункова //
Дискрет. математика. – 2002. – 14, № 4. – С. 133 – 152.
7. Сенашов В. И. О силовских подгруппах периодических групп Шункова // Укр. мат. журн. – 2005. – 57, № 11. –
С. 1548 – 1556.
8. Сенашов В. И. Характеризации групп Шункова // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 8. – С. 1110 – 1118.
9. Сенашов В. И., Шунков В. П. Почти слойная конечность периодической части группы без инволюций //
Дискрет. математика. – 2003. – 15, № 3. – С. 91 – 104.
10. Сенашов В. И. О группах с сильно вложенной подгруппой, имеющей почти слойно конечную периодическую
часть // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 3. – С. 384 – 391.
11. Сенашов В. И. Строение бесконечной силовской подгруппы в некоторых группах Шункова // Вестн. СибГАУ. –
2013. – № 1. – С. 182 – 189.
12. Сенашов В. И. О силовских подгруппах некоторых групп Шункова // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 3. –
С. 397 – 405.
13. Сенашов В. И. О группах Шункова с сильно вложенной подгруппой // Тр. Ин-та математики и механики УрО
РАН. – 2009. – 15, № 2. – С. 203 – 210.
14. Сенашов В. И. О группах Шункова с сильно вложенной почти слойно конечной подгруппой // Тр. Ин-та
математики и механики УрО РАН. – 2010. – 16, № 3. – С. 234 – 239.
15. Курош А. Г. Теория групп. – 3-е изд. – М.: Наука, 1967. – 648 с.
16. Шунков В. П. О группах конечного ранга // Алгебра и логика. – 1970. – 10, № 2. – С. 199 – 225.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
ХАРАКТЕРИЗАЦИИ ГРУПП С ПОЧТИ СЛОЙНО КОНЕЧНОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЧАСТЬЮ 973
17. Шунков В. П. О периодических группах с почти регулярной инволюцией // Алгебра и логика. – 1972. – 11,
№ 4. – С. 470 – 493.
18. Шунков В. П. О вложении примарных элементов в группе. – Новосибирск: Наука, 1992. – 133 с.
19. Черников С. Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. – М.: Наука, 1980. – 384 с.
20. Бусаркин В. М., Горчаков Ю. М. Конечные расщепляемые группы. – М.: Наука, 1968. – 111 с.
21. Шунков В. П. Mp -группы. – М.: Наука, 1990. – 160 с.
22. Brauer R., Suzuki M. On finite groups with an abelian Sylow subgroups // Can. J. Math. – 1962. – 14. – P. 436 – 450.
23. Созутов А. И., Шунков В. П. О бесконечных группах, насыщенных фробениусовыми подгруппами, 1, 2 //
Алгебра и логика. – 1977. – 16, № 6. – С. 711 – 735; 1979. – 18, № 2. – С. 206 – 223.
24. Brauer R. Some applications of theory of block of characters of finite groups II // J. Algebra. – 1964. – 1. –
P. 307 – 334.
Получено 15.10.15,
после доработки — 30.11.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1749 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:56Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b5/e24f786dddec0732454650bf27e87db5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17492019-12-05T09:25:34Z Characterizations of groups with almost layer-finite periodic part Характеризации групп с почти слойно конечной периодической частью Senashov, V. I. Сенашов, В. И. Сенашов, В. И. Construction of the set of finite subgroups of the form $L_g = \langle a, a^g\rangle$ in Shunkov’s groups is studying. As a corollary of this result follows two characterizations of groups with an almost layer-finite periodic part. Вивчається будова сiм’ї скiнченних пiдгруп вигляду $L_g = \langle a, a^g\rangle$ у групах Шункова. Як наслiдок iз основної теореми отримано двi характеризацiї груп iз майже шарово скiнченною перiодичною частиною. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1749 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 7 (2017); 964-973 Український математичний журнал; Том 69 № 7 (2017); 964-973 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1749/731 Copyright (c) 2017 Senashov V. I. |
| spellingShingle | Senashov, V. I. Сенашов, В. И. Сенашов, В. И. Characterizations of groups with almost layer-finite periodic part |
| title | Characterizations of groups with almost layer-finite periodic part |
| title_alt | Характеризации групп с почти слойно конечной периодической частью |
| title_full | Characterizations of groups with almost layer-finite periodic part |
| title_fullStr | Characterizations of groups with almost layer-finite periodic part |
| title_full_unstemmed | Characterizations of groups with almost layer-finite periodic part |
| title_short | Characterizations of groups with almost layer-finite periodic part |
| title_sort | characterizations of groups with almost layer-finite periodic part |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1749 |
| work_keys_str_mv | AT senashovvi characterizationsofgroupswithalmostlayerfiniteperiodicpart AT senašovvi characterizationsofgroupswithalmostlayerfiniteperiodicpart AT senašovvi characterizationsofgroupswithalmostlayerfiniteperiodicpart AT senashovvi harakterizaciigruppspočtislojnokonečnojperiodičeskojčastʹû AT senašovvi harakterizaciigruppspočtislojnokonečnojperiodičeskojčastʹû AT senašovvi harakterizaciigruppspočtislojnokonečnojperiodičeskojčastʹû |