Exponential estimates for the maximum scheme
Exponential estimates are obtained in the law of iterated logarithm for the extreme values of sequence of independent random variables.
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1751 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507604871020544 |
|---|---|
| author | Akbash, K. S. Акбаш, К. С. |
| author_facet | Akbash, K. S. Акбаш, К. С. |
| author_sort | Akbash, K. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:25:34Z |
| description | Exponential estimates are obtained in the law of iterated logarithm for the extreme values of sequence of independent
random variables. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 519.21
К. С. Акбаш (Кiровоград. держ. пед. ун-т iм. В. Винниченка)
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНI ОЦIНКИ ДЛЯ СХЕМИ МАКСИМУМУ
Exponential estimates are obtained in the law of iterated logarithm for the extreme values of sequence of independent
random variables.
Получены экспоненциальные оценки в законе повторного логарифма для экстремальных значений последователь-
ности независимых случайных величин.
1. Вступ. Нехай при 2 < n \in N (\gamma n) — послiдовнiсть незалежних випадкових величин, якi
мають стандартний нормальний розподiл, i
\alpha n =
1
2
\Biggl( \sqrt{}
2 \mathrm{l}\mathrm{n}(n) - \mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{l}\mathrm{n}(n)) + \mathrm{l}\mathrm{n}(4\pi )\sqrt{}
2 \mathrm{l}\mathrm{n}(n)
\Biggr)
,
\beta n =
\sqrt{}
2 \mathrm{l}\mathrm{n}(n).
У роботi [1] було показано, що iснують додатнi сталi C1 та C2 такi, що виконується
нерiвнiсть
\bfP
\biggl(
\beta n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq k\leq n
\gamma k - \alpha n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| > x
\biggr)
\leq C1e
- C2x (1)
для кожного натурального n > 2 i дiйсного x > 0.
У данiй роботi ми iстотно посилимо оцiнку (1) iз роботи [1] та узагальнимо її на досить
широкi класи розподiлiв.
Нехай (\xi n) — послiдовнiсть незалежних однаково розподiлених випадкових величин з
абсолютно неперервною функцiєю розподiлу F (x), причому iснує таке число x0, що
F \prime (x) > 0 \forall x \in [x0; +\infty ]. (2)
Покладемо
an = F - 1
\biggl(
1 - 1
n
\biggr)
\forall n > n0 =
\biggl[
1
1 - F (x0)
\biggr]
+ 1, (3)
а також
zn = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
n0\leq i\leq n
\xi i \forall n > n0,
де [t] — цiла частина числа t, F - 1(y) — обернена функцiя до F (x), визначена на вiдрiзку
[x0; +\infty ].
Iз роботи [2] вiдомо, що властивостi слабкої збiжностi \{ zn\} тiсно пов’язанi з поведiнкою
функцiї f, визначеної таким чином:
c\bigcirc К. С. АКБАШ, 2017
984 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНI ОЦIНКИ ДЛЯ СХЕМИ МАКСИМУМУ 985
f(x) =
1 - F (x)
F \prime (x)
\forall x \in [x0; +\infty ].
У статтi [3] встановлено, що визначити поведiнку \{ zn\} можна, знаючи поведiнку функцiї
g(x) = f(x) \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1
1 - F (x)
\biggr) \biggr)
\forall x \in [x0; +\infty ].
2. Асимптотичнi оцiнки для схеми максимуму. Для встановлення вiдповiдних асимпто-
тичних оцiнок доведемо таку лему.
Лема 1. Нехай для функцiї \psi : R\rightarrow R iснує таке число t0 \in R, що
\psi \prime (t) > 0 \forall t \in [t0; +\infty ]
i
q(t) =
\mathrm{l}\mathrm{n}(\psi (t))
\psi \prime (t)
> 0 \forall t \in [t0; +\infty ].
Тодi:
1) якщо \psi \prime (t) зростає на промiжку [t0; +\infty ], то для всiх x > 0 i t > t0 виконується
нерiвнiсть
\psi (t+ xq(t)) - \psi (t)
\mathrm{l}\mathrm{n}(\psi (t))
\geq x; (4)
2) якщо \psi \prime (t) спадає на промiжку [t0; +\infty ], то для всiх x i t таких, що x > 0, t > t0 i
t - xq(t) > t0, виконується нерiвнiсть
\psi (t - xq(t)) - \psi (t)
\mathrm{l}\mathrm{n}(\psi (t))
\leq - x. (5)
Доведення. 1. Зафiксуємо x > 0 i t > t0, тодi за теоремою Лагранжа iснує таке число
\tau \in [t; t+ xq(t)],
що
\psi (t+ xq(t)) - \psi (t)
xq(t)
= \psi \prime (\tau ).
Оскiльки \psi \prime (z) зростає на [t0; +\infty ], то \psi \prime (\tau ) \geq \psi \prime (t) i вiдповiдно маємо
\psi (t+ xq(t)) - \psi (t)
\mathrm{l}\mathrm{n}(\psi (t))
=
x\psi \prime (\tau )
\psi \prime (t)
\geq x.
2. Зафiксуємо x > 0 i t > t0, тодi за теоремою Лагранжа iснує число
\eta \in [t - xq(t); t],
для якого
\psi (t) - \psi (t - xq(t))
xq(t)
= \psi \prime (\eta ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
986 К. С. АКБАШ
Оскiльки \psi \prime (z) спадає на [t0; +\infty ], то \psi \prime (\eta ) \geq \psi \prime (t) i вiдповiдно маємо
\psi (t) - \psi (t - xq(t))
\mathrm{l}\mathrm{n}(\psi (t))
=
x\psi \prime (\eta )
\psi \prime (t)
\geq x,
звiдки й випливає (5).
Лему 1 доведено.
Теорема 1. Нехай для послiдовностi випадкових величин (\xi n) виконуються умови (2), (3).
Покладемо
\mu (x) = \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1
1 - F (x)
\biggr)
,
V1 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n>n0
zn - an
f(an) \mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{l}\mathrm{n}(n))
.
Якщо iснує таке t0 \in R, що функцiя \mu \prime (t) зростає на промiжку [t0; +\infty ], то iснують
додатнi сталi C3, C4 такi, що
\bfP (V1 > x) \leq C3e
- C4x \forall x \in [t\ast 0; +\infty ],
де
t\ast 0 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ x0; t0\} ,
зокрема
\bfE e\varepsilon V <\infty , (6)
якщо 0 < \varepsilon < C4 та iснує таке \gamma , що
F (x) = 0 \forall x \in [ - \infty ; \gamma ].
Доведення. Насамперед переконаємось у коректностi вiдповiдних величин.
При n > n0 маємо
n >
1
1 - F (x0)
,
1 - 1
n
< 1 - (1 - F (x0)) = F (x0),
i оскiльки функцiя F (x) строго зростає на промiжку [x0; +\infty ], то послiдовнiсть
an = F - 1
\biggl(
1 - 1
n
\biggr)
, n0 < n \in N,
є строго зростаючою,
an > x0 \forall n > n0,
а також
f(an) =
1 - F (an)
F \prime (an)
> 0 \forall n > n0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНI ОЦIНКИ ДЛЯ СХЕМИ МАКСИМУМУ 987
Оцiнимо зверху величину \bfP (V1 > x) при заданому x > 0. Позначимо
P1 = \bfP (V1 > x) = \bfP
\Biggl( \bigcup
n>n0
\biggl\{
zn - an
f(an) \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
> x
\biggr\} \Biggr)
,
un(x) = an + xf(an) \mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{l}\mathrm{n}(n)).
Тодi маємо
P1 = \bfP
\Biggl( \bigcup
n>n0
\{ zn > un(x)\}
\Biggr)
\leq \bfP
\Biggl( \bigcup
n>n0
\biggl\{
\xi n > \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
k\geq n
uk(x)
\biggr\} \Biggr)
. (7)
Оскiльки un(x) \rightarrow \infty при n\rightarrow \infty , то iснує таке число kn = kn(x), що
ukn(x) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
k\geq n
uk(x).
Таким чином, iз нерiвностi (7) випливає оцiнка
P1 \leq
\sum
n>n0
\bfP (\xi > ukn(x)).
Якщо
\mu (x) = \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1
1 - F (x)
\biggr)
,
то
q(x) =
\mathrm{l}\mathrm{n}(\mu (x))
\mu \prime (t)
=
1 - F (x)
F \prime (x)
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1
1 - F (x)
\biggr) \biggr)
= f(x) \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1
1 - F (x)
\biggr) \biggr)
= g(x).
Використовуючи оцiнку (4), при t > t0 отримуємо
\mu (t+ xg(t)) - \mu (t)
\mathrm{l}\mathrm{n}(\mu (t))
=
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 - F (t)
1 - F (t+ xg(t))
\biggr)
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1
1 - F (t)
\biggr) \biggr) \geq x,
звiдки
1 - F (t+ xg(t)) \leq (1 - F (t))
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1
1 - F (t)
\biggr) \biggr) - x
.
Нехай
n1 = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
n0<n\in N
\{ n | an \geq t0\} .
Пiдставивши t = an, для n > n1 отримаємо
g(an) = f(an) \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1
1 - F (an)
\biggr) \biggr)
= f(an) \mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{l}\mathrm{n}(n)),
звiдки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
988 К. С. АКБАШ
1 - F (an + xf(an) \mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{l}\mathrm{n}(n)) \leq (1 - F (an))
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1
1 - F (an)
\biggr) \biggr) - x
=
(\mathrm{l}\mathrm{n}n) - x
n
.
У загальному випадку маємо
P1 \leq
\sum
an\leq t\ast 0
\bfP (\xi > ukn(x)) +
\sum
an>t\ast 0
\bfP (\xi > ukn(x)),
однак в залежностi вiд значення t\ast 0 остання формула набирає рiзного вигляду.
Зрозумiло, що при t0 > x0 виконується нерiвнiсть
P1 \leq
\sum
an\leq t0
\bfP (\xi > ukn(x)) +
\sum
an>t0
\bfP (\xi > ukn(x)) . (8)
Якщо t0 \leq x0, то
P1 \leq
\sum
n>n0
\bfP (\xi > ukn(x)) .
Без обмеження загальностi доведемо нерiвнiсть (8).
Оскiльки
\mu (t\ast 0) =
F \prime (t\ast 0)
1 - F (t\ast 0)
> 0
i \mu \prime (z) зростає на промiжку [t\ast 0; +\infty ], то
\mu \prime (z) \geq \mu (t\ast 0) \forall z \in [t\ast 0; +\infty ],
звiдки
t\int
t\ast 0
\mu \prime (z)dz \geq
t\int
t\ast 0
\mu (t\ast 0)dz \forall t \in [t\ast 0; +\infty ],
\mu (t) \leq A1t+B1 \forall t \in [t\ast 0; +\infty ]
для деяких сталих A1 > 0 i B1, тому
1 - F (x) = e - \mu (x) \leq A2e
- B2x \forall x \in [t\ast 0; +\infty ]
для деяких додатних сталих A2, B2.
Отже, iснують такi сталi C1, C2 > 0, що\sum
an\leq t0
\bfP (\xi > ukn(x)) \leq n3\bfP (\xi > C1 + C2x) =
= n3 (1 - F (C1 + C2x)) \leq n3C
\ast
3e
- C4x = C3e
- C4x.
Оскiльки при n > n1
\bfP (\xi > ukn(x)) = (1 - F (ukn)) \leq
[\mathrm{l}\mathrm{n}(kn)]
- x
kn
\leq (\mathrm{l}\mathrm{n}n) - x
n
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНI ОЦIНКИ ДЛЯ СХЕМИ МАКСИМУМУ 989
то \sum
an>t0
\bfP (\xi > ukn(x)) \leq
\sum
an>t0
(\mathrm{l}\mathrm{n}n) - x
n
\leq
\sum
an>t0
(\mathrm{l}\mathrm{n}n) - 2
n
(\mathrm{l}\mathrm{n} 3) - (x - 2) = C5e
- C6x,
адже
\infty \sum
n=2
(\mathrm{l}\mathrm{n}n) - 2
n
< +\infty .
Покажемо, що
\bfE e\varepsilon V <\infty .
Зафiксуємо натуральне l > t0 i розглянемо l < r \in N, тодi
r\int
l
e\varepsilon xd(FV1(x)) =
r - 1\sum
n=l
n+1\int
n
e\varepsilon xd(FV1(x)) \leq
\leq
r - 1\sum
n=l
n+1\int
n
e\varepsilon (n+1)d(FV1(x)) \leq
r - 1\sum
n=l
e\varepsilon (n+1)e - C4n <
\infty \sum
n=l
e\varepsilon (n+1) - C4n <\infty ,
звiдки випливає потрiбне.
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Нехай для послiдовностi випадкових величин (\xi n) виконуються умови (2), (3).
Покладемо
\mu (x) = \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1
1 - F (x)
\biggr)
,
V2 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n>n0
an - zn
f(an) \mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{l}\mathrm{n}(n))
.
Якщо iснує таке t0 \in R, що F (t0) = 0, F (t) > 0 \forall t > t0 i функцiя \mu \prime (t) спадає на
промiжку [t0; +\infty ], то iснують такi додатнi сталi C5, C6, що
\bfP (V2 > x) \leq C5e
- C6x \forall x \in [t\ast \ast 0 ; +\infty ], (9)
де
t\ast \ast 0 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ x0; 3\} ,
зокрема
\bfE e\varepsilon V2 <\infty , (10)
якщо 0 < \varepsilon < C4.
Доведення. Зрозумiло, що x0 \geq t0. Оцiнимо зверху величину \bfP (V2 > x) при заданому
x > t\ast \ast 0 . Позначимо
P2 = \bfP (V2 > x) = \bfP
\Biggl( \bigcup
n>2
\biggl\{
zn - an
f(an) \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
\leq - x
\biggr\} \Biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
990 К. С. АКБАШ
Тодi, згiдно з оцiнкою (5), якщо t - xq(t) > t0, то
\mu (t - xg(t)) - \mu (t)
\mathrm{l}\mathrm{n}(\mu (t))
=
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 - F (t)
1 - F (t - xg(t))
\biggr)
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1
1 - F (t)
\biggr) \biggr) \leq - x.
Нехай
un( - x) = an - xf(an) \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n,
\tau n( - x) = n(1 - F (un( - x))).
Якщо покласти t = an, то умова (t - xq(t)) > t0 еквiвалентна умовi un( - x) > t0. Звiдси при
un( - x) > t0 отримуємо
1 - F (an - xf(an) \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n) \geq [1 - F (an)]
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl[
1
1 - F (an)
\biggr] \biggr) x
=
(\mathrm{l}\mathrm{n}n)x
n
,
\tau n( - x) \geq (\mathrm{l}\mathrm{n}n)x.
Використаємо вiдому оцiнку\Bigl(
1 - z
n
\Bigr) n
\leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - z) для 0 \leq z \leq n,
причому нехай
n2 = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
n0<k\in N
\bigl\{
k | un( - x) > t0 \forall n \geq k
\bigr\}
.
Тодi
P2 \leq
n2 - 1\sum
n=n0
\bfP (zn < un( - x)) +
\sum
n\geq n2
\bfP (zn < un( - x)) =
\sum
n\geq n2
F (un( - x)).
Дiйсно, якщо uj( - x) < t0, то F (uj( - x)) = 0 i
n2 - 1\sum
n=n0
\bfP (zn < un( - x)) = 0.
Вiдповiдно
P2 \leq
\sum
n\geq n2
\biggl(
1 - \tau n( - x)
n
\biggr) n
\leq
\infty \sum
n\geq n2
e - \tau n( - x) \leq
\leq
\sum
n\geq n2
e - (lnn)x =
\sum
n\geq n2
e - (lnn)2(lnn)x - 2
.
Нехай
n4 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ n2; 27\} ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНI ОЦIНКИ ДЛЯ СХЕМИ МАКСИМУМУ 991
тодi
\mathrm{l}\mathrm{n}(n) > 3 \forall n \geq n4.
Оскiльки bz \geq bz для кожного b > 3 i z \geq 1, адже для функцiї r(z) = bz - bz
r\prime (z) = \mathrm{l}\mathrm{n}(b)bz - b > 0 \forall z \geq 1
та
r(1) = 0,
то маємо \sum
n>n4
e - (lnn)2(lnn)x - 2 \leq
\sum
n>n4
e - (lnn)2 - (lnn)x - 2 \leq
\leq
\sum
n>n4
e - 2(lnn) - (x - 2)(lnn) =
\sum
n>n4
1
n2
e - (x - 2) lnn =
=
\sum
n>n4
1
nx
\leq
+\infty \int
n4
z - xdz =
n1 - x
4
x - 1
\leq C3e
- C4x.
При n2 \leq n \leq n4
n4\sum
n=n2
e - (lnn)x \leq (n4 - n2)e
- (lnn2)x \leq C5e
- (C6)x \leq C5e
- C7x.
Отже, оцiнку (9) також встановлено. Оцiнка (10) доводиться аналогiчно до (6).
Лiтература
1. Matsak I. K. Weak convergence of extreme values of independent gaussian random elements in the spaces lp,
1 \leq p < \infty // Theor. Probab. and Math. Statist. – 1997. – №. 54. – P. 115 – 120.
2. von Mises R. La distribution de la plus grande de n valeurs. Selected Papers II // Amer. Math. Soc. – 1936. –
P. 271 – 294.
3. de Haan L. The rate of growth of sample maxima // Ann. Math. Statist. – 1972. – 43. – P. 1185 – 1196.
Одержано 02.04.14,
пiсля доопрацювання — 09.03.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1751 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:58Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/79/c10aa4056c50aae47300f6583b795079.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17512019-12-05T09:25:34Z Exponential estimates for the maximum scheme Експоненціальні оцінки для схеми максимуму Akbash, K. S. Акбаш, К. С. Exponential estimates are obtained in the law of iterated logarithm for the extreme values of sequence of independent random variables. Получены экспоненциальные оценки в законе повторного логарифма для экстремальных значений последовательности независимых случайных величин. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1751 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 7 (2017); 984-991 Український математичний журнал; Том 69 № 7 (2017); 984-991 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1751/733 Copyright (c) 2017 Akbash K. S. |
| spellingShingle | Akbash, K. S. Акбаш, К. С. Exponential estimates for the maximum scheme |
| title | Exponential estimates for the maximum scheme |
| title_alt | Експоненціальні оцінки для схеми максимуму |
| title_full | Exponential estimates for the maximum scheme |
| title_fullStr | Exponential estimates for the maximum scheme |
| title_full_unstemmed | Exponential estimates for the maximum scheme |
| title_short | Exponential estimates for the maximum scheme |
| title_sort | exponential estimates for the maximum scheme |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1751 |
| work_keys_str_mv | AT akbashks exponentialestimatesforthemaximumscheme AT akbašks exponentialestimatesforthemaximumscheme AT akbashks eksponencíalʹníocínkidlâshemimaksimumu AT akbašks eksponencíalʹníocínkidlâshemimaksimumu |