Well-posedness of mixed problems for multidimensional hyperbolic equations with wave operator
We establish the unique solvability and obtain the explicit expression for the classical solution of the mixed problem for multidimensional hyperbolic equations with wave operator.
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1752 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507603890601984 |
|---|---|
| author | Aldashev, S. A. Алдашев, С. А. Алдашев, С. А. |
| author_facet | Aldashev, S. A. Алдашев, С. А. Алдашев, С. А. |
| author_sort | Aldashev, S. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:25:34Z |
| description | We establish the unique solvability and obtain the explicit expression for the classical solution of the mixed problem for
multidimensional hyperbolic equations with wave operator. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956
С. А. Алдашев (Казах. нац. пед. ун-т им. Абая, Алматы)
КОРРЕКТНОСТЬ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ВОЛНОВЫМ ОПЕРАТОРОМ
We establish the unique solvability and obtain the explicit expression for the classical solution of the mixed problem for
multidimensional hyperbolic equations with wave operator.
Показано однозначну розв’язнiсть та отримано явний вигляд класичного розв’язку мiшаної задачi для багатовимiр-
них гiперболiчних рiвнянь iз хвильовим оператором.
1. Введение. В работах [1, 2] доказаны существование и единственность классического реше-
ния краевых задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерных гипер-
болических уравнений. Обобщенные решения основной смешанной задачи в цилиндрической
области для этих уравнений изучены в [3, 4]. Однако вопросы гладкости решений до сих пор
не исследованы.
В данной работе показана однозначная разрешимость и получен явный вид классического
решения смешанной задачи для многомерных гиперболических уравнений с волновым опера-
тором.
2. Постановка задачи и результат. Пусть D\alpha — цилиндрическая область евклидова про-
странства Em+1 точек (x1, . . . , xm, t), ограниченная цилиндром \Gamma = \{ (x, t) : | x| = 1\} , плоско-
стями t = \alpha > 0 и t = 0, где | x| — длина вектора x = (x1, . . . , xm). Части этих поверхностей,
образующих границу \partial D\alpha области D\alpha , обозначим через \Gamma \alpha , S\alpha , S0 соответственно.
В области D\alpha рассмотрим взаимно-сопряженные многомерные гиперболические уравнения
Lu \equiv \Delta xu - utt +
m\sum
i=1
ai(x, t)uxi + b(x, t)ut + c(x, t)u = 0, (1)
L\ast \upsilon \equiv \Delta x\upsilon - \upsilon tt -
m\sum
i=1
ai\upsilon xi - b\upsilon t + d\upsilon = 0, (1\ast )
где \Delta x — оператор Лапласа по переменным x1, . . . , xm, m \geq 2, d(x, t) = c -
\sum m
i=1
aixi - bt.
В качестве смешанной задачи рассмотрим следующую задачу.
Задача 1. Найти решение уравнения (1) в области D\alpha из класса C1( \=D\alpha ) \cap C2(D\alpha ), удо-
влетворяющее краевым условиям
u
\bigm| \bigm| \bigm|
S0
= \tau (x), ut
\bigm| \bigm| \bigm|
S0
= \nu (x), u
\bigm| \bigm| \bigm|
\Gamma \alpha
= \psi (x, t). (2)
В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат x1, . . . , xm, t к сферическим
r, \theta 1, . . . , \theta m - 1, t [5]:
x1 = r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta 1 = rp1(\theta 1),
x2 = r \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta 2 = rp2(\theta 1, \theta 2),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c\bigcirc С. А. АЛДАШЕВ, 2017
992 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
КОРРЕКТНОСТЬ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ . . . 993
xm - 1 = r \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta 1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta 2 . . . \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta m - 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta m - 1 = rpm - 1(\theta 1, . . . , \theta m - 1),
xm = r \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta 1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta 2 . . . \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta m - 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta m - 1 = rpm(\theta 1, . . . , \theta m - 1),
r \geq 0, 0 \leq \theta i \leq \pi , i = 1, . . . ,m - 2, 0 \leq \theta m - 1 < 2\pi ,
при этом
\sum m
i=1
p2i = 1.
Пусть
\bigl\{
Y k
n,m(\theta )
\bigr\}
— система линейно независимых сферических функций порядка n, 1 \leq
\leq k \leq kn, (m - 2)!n!kn = (n +m - 3)!(2n +m - 2), \theta = (\theta 1, . . . , \theta m - 1), W
l
2, l = 0, 1, . . . , —
пространства Соболева.
Справедлива следующая лемма [5].
Лемма 1. Пусть f(r, \theta ) \in W l
2(S0). Если l \geq m - 1, то ряд
f(r, \theta ) =
\infty \sum
n=0
kn\sum
k=1
fkn(r)Y
k
n,m(\theta ), (3)
а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p \leq l - m + 1, сходятся
абсолютно и равномерно.
Лемма 2. Для того чтобы f(r, \theta ) \in W l
2(S0), необходимо и достаточно, чтобы коэффи-
циенты ряда (3) удовлетворяли неравенствам
| f10 (r)| \leq c1,
\infty \sum
n=1
kn\sum
k=1
n2l| fkn(r)| 2 \leq c2, c1, c2 = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.
Через \~akin(r, t), a
k
in(r, t),
\~bkn(r, t), \~c
k
n(r, t),
\~dkn(r, t), \rho
k
n, \=\tau
k
n(r), \=\nu
k
n(r), \psi
k
n(t) обозначим коэффи-
циенты ряда (3) соответственно функций ai(r, \theta , t)\rho (\theta ), aipi\rho , b(r, \theta , t)\rho , c(r, \theta , t)\rho , d(r, \theta , t)\rho ,
\rho (\theta ), i = 1, . . . ,m, \tau (r, \theta ), \nu (r, \theta ), \psi (t, \theta ), причем \rho (\theta ) \in C\infty (H), H — единичная сфера в Em.
Пусть ai(r, \theta , t), b(r, \theta , t), c(r, \theta , t) \in W l
2(D\alpha ) \subset C( \=D\alpha ), l \geq m+ 1.
Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема. Если \tau (r, \theta ), \nu (r, \theta ) \in W l
2(S0), \psi (t, \theta ) \in W l
2(\Gamma \alpha ), l >
3m
2
и \tau (1, \theta ) = \psi (0, \theta ),
\nu (1, \theta ) = \psi t(0, \theta ), то задача 1 имеет единственное решение.
3. Разрешимость задачи 1. Уравнение (1) можно записать в виде [5]
Lu \equiv urr +
m - 1
r
ur -
\delta u
r2
- utt +
m\sum
i=1
ai(r, \theta , t)uxi + b(r, \theta , t)ut + c(r, \theta , t)u = 0,
\delta \equiv -
m - 1\sum
j=1
1
gj \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
m - j - 1 \theta j
\partial
\partial \theta j
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}m - j - 1 \theta j
\partial
\partial \theta j
\biggr)
,
(4)
g1 = 1, gj = (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta 1 . . . \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta j - 1)
2, j > 1.
Известно [5], что спектр оператора \delta состоит из собственных чисел \lambda n = n(n +m - 2),
n = 0, 1, . . . , каждому из которых соответствует kn ортонормированных собственных функций
Y k
n,m(\theta ).
Искомое решение задачи 1 в сферических координатах будем искать в виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
994 С. А. АЛДАШЕВ
u(r, \theta , t) =
\infty \sum
n=0
kn\sum
k=1
\=ukn(r, t)Y
k
n,m(\theta ), (5)
где \=ukn(r, t) — функции, подлежащие определению.
Подставляя (5) в (4), умножая затем полученное выражение на \rho (\theta ) \not = 0 и интегрируя по
единичной сфере H, для \=ukn получаем [6 – 8]
\rho 10\=u
1
0rr - \rho 10\=u
1
0tt +
\Biggl(
m - 1
r
\rho 10 +
m\sum
i=1
a1i0
\Biggr)
\=u10r +
\~b10\=u
1
0t + \~c10\=u
1
0 +
+
\infty \sum
n=1
kn\sum
k=1
\Biggl\{
\rho kn\=u
k
nrr - \rho kn\=u
k
ntt +
\Biggl(
m - 1
r
\rho kn +
m\sum
i=1
akin
\Biggr)
\=uknr +
\~bkn\=u
k
nt +
+
\Biggl[
\~ckn - \lambda n
\rho kn
r2
+
m\sum
i=1
(\~akin - 1 - nakin)
\Biggr]
\=ukn
\Biggr\}
= 0. (6)
Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений
\rho 10\=u
1
0rr - \rho 10\=u
1
0tt +
m - 1
r
\rho 10\=u
1
0r = 0, (7)
\rho k1\=u
k
1rr - \rho k1\=u
k
1tt +
m - 1
r
\rho k1\=u
k
1r -
\lambda 1
r2
\rho k1\=u
k
1 =
= - 1
k1
\Biggl(
m\sum
i=1
a1i0\=u
1
0r +
\~b10\=u0t1 + \~c10\=u
1
0
\Biggr)
, n = 1, k = 1, k1, (8)
\rho kn\=u
k
nrr - \rho kn\=u
k
ntt +
m - 1
r
\rho kn\=u
k
nr -
\lambda n
r2
\rho kn\=u
k
n =
= - 1
kn
kn - 1\sum
k=1
\Biggl\{
m\sum
i=1
akin - 1\=u
k
n - 1r +
\~bkn - 1\=u
k
n - 1t+
+
\Biggl[
\~ckn - 1 +
m\sum
i=1
(\~akin - 2 - (n - 1)akin - 1)
\Biggr]
\=ukn - 1
\Biggr\}
, k = 1, kn, n = 2, 3 . . . . (9)
Суммируя уравнение (8) от 1 до k1, а уравнение (9) от 1 до kn, а затем слагая полученные
выражения с (7), приходим к уравнению (6). Отсюда следует, что если
\bigl\{
\=ukn
\bigr\}
, k = 1, kn,
n = 0, 1, . . . , — решение системы (7) – (9), то оно является решением уравнения (6).
Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (7) – (9) можно представить в виде
\=uknrr +
m - 1
r
\=uknr -
\lambda n
r2
\=ukn - \=ukntt = fkn(r, t), (10)
где fkn(r, t) определяются из предыдущих уравнений этой системы, при этом f10 (r, t) \equiv 0.
Далее, из краевого условия (2) в силу (5) с учетом леммы 1 имеем
\=ukn(r, 0) = \=\tau kn(r), \=uknt(r, 0) = \=\nu kn(r), \=ukn(1, t) = \psi k
n(t), k = 1, kn, n = 0, 1, . . . .
(11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
КОРРЕКТНОСТЬ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ . . . 995
Выполняя в (10), (11) замену переменных \=\upsilon kn(r, t) = \=ukn(r, t) - \psi k
n(t), получаем
\=\upsilon knrr +
m - 1
r
\=\upsilon knr -
\lambda n
r2
\=\upsilon kn - \=\upsilon kntt =
\=fkn(r, t), (12)
\=\upsilon kn(r, 0) = \tau kn(r), \=\upsilon knt(r, 0) = \nu kn(r), \=\upsilon kn(1, t) = 0, k = 1, kn, n = 0, 1, . . . ,
\=fkn(r, t) = fkn(r, t) +
\lambda n
r2
\psi k
n - \psi k
ntt, \tau kn(r) = \=\tau kn(r) - \psi k
n(0), \nu kn(r) = \=\nu kn(r) - \psi k
nt(0).
(13)
Выполняя замену \=\upsilon kn(r, t) = r(1 - m)/2\upsilon kn(r, t) задачу (12), (13) сводим к следующей задаче:
L\upsilon kn \equiv \upsilon knrr +
\=\lambda n
r2
\upsilon kn - \upsilon kntt =
\~fkn(r, t), (14)
\upsilon kn(r, 0) = \~\tau kn(r), \upsilon knt(r, 0) = \~\upsilon kn(r), \upsilon kn(1, t) = 0,
\=\lambda n =
[(m - 1)(3 - m) - 4\lambda n]
4
, \~fkn(r, t) = r(m - 1)/2 \=fkn(r, t), (15)
\~\tau kn(r) = r(m - 1)/2\tau kn(r), \~\nu kn(r) = r(m - 1)/2\nu kn(r).
Решение задачи (14), (15) ищем в виде
\upsilon kn(r, t) = \upsilon k1n(r, t) + \upsilon k2n(r, t), (16)
где \upsilon k1n(r, t) — решение задачи
L\upsilon k1n = \~fkn(r, t), (17)
\upsilon k1n(r, 0) = \upsilon k1nt(r, 0) = 0, \upsilon k1n(1, t) = 0, (18)
а \upsilon k2n(r, t) — решение задачи
L\upsilon k2n = 0, (19)
\upsilon k1n(r, 0) = \~\tau kn(r), \upsilon k2nt(r, 0) = \~\nu kn(r), \upsilon k2n(1, t) = 0. (20)
Решение указанных выше задач рассмотрим в виде
\upsilon kn(r, t) =
\infty \sum
s=1
Rs(r)Ts(t), (21)
при этом пусть
\~fkn(r, t) =
\infty \sum
s=1
aks,n(t)Rs(r), \~\tau kn(r) =
\infty \sum
s=1
bks,nRs(r), \~\nu kn(r) =
\infty \sum
s=1
eks,nRs(r). (22)
Подставляя (21) в (17), (18), с учетом (22) получаем
Rsrr +
\lambda n
r2
Rs + \mu Rs = 0, 0 < r < 1, (23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
996 С. А. АЛДАШЕВ
Rs(1) = 0, | Rs(0)| <\infty , (24)
Tstt - \mu Ts(t) = - as,n(t), 0 < t < \alpha , (25)
Ts(0) = 0, Tst(0) = 0. (26)
Ограниченным решением задачи (23), (24) является следующее [9]:
Rs(r) =
\surd
rJ\nu (\mu s,nr), (27)
где \nu = n+
m - 2
2
, \mu s,n — нули функций Бесселя первого рода J\nu (z), \mu = \mu 2s,n.
Задача (25), (26) сводится к интегральному уравнению Вольтерра второго рода относительно
Ts,n(t) [10]
Ts,n(t) - \mu 2s,n
t\int
0
(t - \xi )Ts,n(\xi ) d\xi =
t\int
0
(t - \xi )as,n(\xi ) d\xi , (28)
которое имеет решение, и притом единственное.
Подставляя (27) в (22), получаем
r - 1/2 \~fkn(r, t) =
\infty \sum
s=1
aks,n(t)J\nu (\mu s,nr), r - 1/2\~\tau kn(r) =
\infty \sum
s=1
bks,nJ\nu (\mu s,nr),
r - 1/2\~\nu kn(r) =
\infty \sum
s=1
eks,nJ\nu (\mu s,nr), 0 < r < 1.
(29)
Ряды (29) — разложение в ряды Фурье – Бесселя [11], если
aks,n(t) = 2[J\nu +1(\mu s,n)]
- 2
1\int
0
\sqrt{}
\xi \~fkn(\xi , t)J\nu (\mu s,n\xi )d\xi , (30)
bks,n = 2[J\nu +1(\mu s,n)]
- 2
1\int
0
\sqrt{}
\xi \~\tau kn(\xi )J\nu (\mu s,n\xi )d\xi ,
eks,n = 2[J\nu +1(\mu s,n)]
- 2
1\int
0
\sqrt{}
\xi \~\nu kn(\xi )J\nu (\mu s,n\xi ) d\xi ,
(31)
\mu s,n, s = 1, 2, . . . , — положительные нули функций Бесселя J\nu (z), расположенные в порядке
возрастания их величин.
Из (27), (28) получим решение задачи (17), (18) в виде
\upsilon k1n(r, t) =
\infty \sum
s=1
\surd
rTs,n(t)J\nu (\mu s,nr), (32)
где aks,n(t) определяются из (30).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
КОРРЕКТНОСТЬ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ . . . 997
Далее, подставляя (27) в (19), (20), с учетом (22) имеем
Vstt - \mu 2s,nVs = 0, 0 < t < \alpha ,
Vs(0) = bks,n, Vst(0) = eks,n.
Выполняя здесь замену
Gs,n(t) = Vs,n(t) - bks,n - teks,n, (33)
приходим к задаче
Gstt - \mu 2s,nGs = - qks,n(t), (34)
Gs(0) = 0, Gst(0) = 0, (35)
qks,n(t) = \mu 2s,n(b
k
s,n + teks,n).
Задача (34), (35) сводится также к интегральному уравнению (28), где вместо aks,n(t) взято
qks,n(t).
Из (27), (28) и (33) находим решение задачи (19), (20):
\upsilon k2n(r, t) =
\infty \sum
s=1
\surd
rVs,n(t)J\nu (\mu s,nr), (36)
где bks,n, e
k
s,n определены в (31).
Следовательно, решив сначала задачу (7), (11) (n = 0), а затем (8), (11) (n = 1) и т. д.,
найдем последовательно все \upsilon kn(r, t) из (16), где \upsilon k1n(r, t), \upsilon
k
2n(r, t) определяются из (32), (36),
k = 1, kn, n = 0, 1, . . . .
Итак, в области D\alpha имеет место \int
H
\rho (\theta )LudH = 0. (37)
Пусть f(r, \theta , t) = R(r)\rho (\theta )T (t), причем R(r) \in V0, V0 плотна в L2((0, 1)), \rho (\theta ) \in C\infty (H)
плотна в L2(H), а T (t) \in V1, V1 плотна в L2((0, \alpha )). Тогда f(r, \theta , t) \in V, V = V0 \otimes H \otimes V1
плотна в L2(D\alpha ) [12].
Отсюда и из (37) следует, что \int
D\alpha
f(r, \theta , t)LudD\alpha = 0
и
Lu = 0 \forall (r, \theta , t) \in D\alpha .
Таким образом, решением задачи 1 является ряд
u(r, \theta , t) =
\infty \sum
n=0
kn\sum
k=1
\Bigl\{
\psi k
n(t) + r(1 - m)/2
\Bigl[
\upsilon k1n(r, t) + \upsilon k2n(r, t)
\Bigr] \Bigr\}
Y k
n,m(\theta ), (38)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
998 С. А. АЛДАШЕВ
где \upsilon k1n(r, t), \upsilon
k
2n(r, t) определены в (32), (36).
Учитывая формулу 2J \prime
\nu (z) = J\nu - 1(z) - J\nu +1(z) [11], оценки [5, 13]
J\nu (z) =
\sqrt{}
2
\pi z
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
z - \pi
2
\nu - \pi
4
\Bigr)
+ 0
\biggl(
1
z3/2
\biggr)
, \nu \geq 0,
| kn| \leq c1n
m - 2,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial q\partial \theta qj Y k
n,m(\theta )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq c2n
m/2 - 1+q, j = 1,m - 1, q = 0, 1, . . . ,
(39)
а также леммы, ограничения на коэффициенты уравнения (1) и на заданные функции \tau (r, \theta ),
\nu (r, \theta ), \psi (t, \theta ), как в [1, 2], можно показать, что полученное решение (38) принадлежит классу
C1( \=D\alpha ) \cap C2(D\alpha ).
Следовательно, разрешимость задачи D установлена.
4. Единственность решения задачи 1. Сначала построим решение краевой задачи для
уравнения (1\ast ) с данными
\upsilon
\bigm| \bigm| \bigm|
\Gamma \alpha
= 0, \upsilon
\bigm| \bigm| \bigm|
S\alpha
= 0, \upsilon t
\bigm| \bigm|
S\alpha
= \nu (r, \theta ) = \=\nu kn(r)Y
k
n,m(\theta ), k = 1, kn, n = 0, 1, . . . ,
(40)
где \=\nu kn(r) \in G, G — множество функций \nu (r) из класса C ([0, 1]) \cap C1 ((0, 1)). Множество G
плотно всюду в L2((0, 1)) [12].
Решение задачи (1\ast ), (40) будем искать в виде (5), где функции \=\upsilon kn(r, t) будут определены
ниже. Тогда, как и в п. 3, функции \=\upsilon kn(r, t) удовлетворяют системе уравнений (7) – (9), где \~akin,
akin,
\~bkn заменены соответственно на - \~akin, - akin, - \~bkn, а \~ckn — на \~dkn, i = 1, . . . ,m, k = 1, kn,
n = 0, 1, . . . .
Далее, из краевого условия (40) в силу (5) получаем
\=\upsilon kn(1, t) = 0, \=\upsilon kn(r, \alpha ) = 0, \=\upsilon knt(r, \alpha ) = \=\nu kn(r), k = 1, kn, n = 0, 1, . . . . (41)
Как замечено ранее, каждое уравнение системы (7) – (9) представимо в виде (10). Как и в
п. 3, нетрудно показать, что задача (10), (41) имеет единственное решение.
Таким образом, решение задачи (1\ast ), (40), которая в силу (39) принадлежит классу C1
\bigl(
\=D\alpha
\bigr)
\cap
\cap C2(D\alpha ), в виде ряда (38) построено.
Из определения сопряженных операторов L, L\ast [14] имеем
\upsilon Lu - uL\ast \upsilon = - \upsilon P (u) + uP (\upsilon ) - u\upsilon Q,
где
P (u) =
m\sum
i=1
uxi \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
N\bot , xi
\Bigr)
- ut \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
N\bot , t
\Bigr)
, Q =
m\sum
i=1
ai \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
N\bot , xi
\Bigr)
- b \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
N\bot , t
\Bigr)
,
а N\bot — внутренняя нормаль к границе \partial D\alpha . Далее, по формуле Грина получаем\int
D\alpha
(\upsilon Lu - uL\ast \upsilon ) dD\alpha =
\int
\partial D\alpha
\biggl[ \biggl(
\upsilon
\partial u
\partial N
- u
\partial \upsilon
\partial N
\biggr)
M + u\upsilon Q
\biggr]
ds, (42)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
КОРРЕКТНОСТЬ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ . . . 999
где
\partial
\partial N
=
m\sum
i=1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
N\bot , xi
\Bigr)
- \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
N\bot , t
\Bigr) \partial
\partial t
, M2 =
m\sum
i=1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2
\Bigl(
N\bot , xi
\Bigr)
+ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2
\Bigl(
N\bot , t
\Bigr)
.
Из (42), принимая во внимание однородные граничные условия (2) и условия (40), находим\int
S\alpha
\nu (r, \theta )u(r, \theta , \alpha ) ds = 0. (43)
Поскольку линейная оболочка системы функций \{ \=\nu kn(r)Y k
n,m(\theta )\} плотна в L2(S\alpha ) [12], то
из (43) заключаем, что u(r, \theta , \alpha ) = 0 \forall (r, \theta ) \in S\alpha .
Таким образом, пришли к задаче Дирихле
Lu = 0, u
\bigm| \bigm|
S0
= 0, u
\bigm| \bigm|
\Gamma \alpha
= 0, u
\bigm| \bigm|
S\alpha
= 0, (44)
решение которой тривиально [1], если
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mu s,n\alpha \not = 0, s = 1, 2, . . . . (45)
Если условие (45) нарушено, то вместо задачи Дирихле (44) рассмотрим задачу Пуанкаре
Lu = 0, ut
\bigm| \bigm|
S0
= 0, u
\bigm| \bigm|
\Gamma \alpha
= 0, u
\bigm| \bigm|
S\alpha
= 0,
имеющую тривиальное решение, если \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mu s,n\alpha \not = 0, s = 1, 2, . . . [2]. Следовательно, един-
ственность решения задачи 1 установлена.
Теорема доказана.
Литература
1. Алдашев С. А. Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для многомерных гиперболических
уравнений с волновым оператором // Докл. Адыгской (Черкесской) междунар. академии наук. – 2011. – 13,
№ 1. – C. 21 – 29.
2. Алдашев С. А. Корректность задачи Пуанкаре в цилиндрической области для многомерных гиперболических
уравнений с волновым оператором // Журн. вычислит. и прикл. математики. – 2013. – 13, № 4(14). – С. 68 – 76.
3. Ладыженская О. А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. – М.: Гостехиздат, 1953. – 282 с.
4. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. – М.: Наука, 1973. – 407 с.
5. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. – М.: Физматгиз, 1962. – 254 с.
6. Алдашев С. А. О задачах Дарбу для одного класса многомерных гиперболических уравнений // Дифференц.
уравнения. – 1998. – 34, № 1. – С. 64 – 68.
7. Алдашев С. А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений. – Алматы: Гылым,
1994. – 170 с.
8. Алдашев С. А. Вырождающиеся многомерные гиперболические уравнения. – Орал: ЗКАТУ, 2007. – 139 с.
9. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1965. – 703 с.
10. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. – М.: Наука, 1981. – 550 с.
11. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: В 2 т. – М.: Наука, 1974. – Т. 2. – 295 с.
12. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1976. –
543 с.
13. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. – М: Наука, 1966. – 724 с.
14. Смирнов В. И. Курс высшей математики: В 4 т. – М.: Наука, 1981. – Т. 2, ч. 2. – 550 с.
Получено 26.11.14,
после доработки — 28.03.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1752 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:57Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/28/8a634cd21afd5a460d998304303b1b28.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17522019-12-05T09:25:34Z Well-posedness of mixed problems for multidimensional hyperbolic equations with wave operator Корректность смешанной задачи для многомерных гиперболических уравнений с волновым оператором Aldashev, S. A. Алдашев, С. А. Алдашев, С. А. We establish the unique solvability and obtain the explicit expression for the classical solution of the mixed problem for multidimensional hyperbolic equations with wave operator. Показано однозначну розв’язнiсть та отримано явний вигляд класичного розв’язку мiшаної задачi для багатовимiрних гiперболiчних рiвнянь iз хвильовим оператором. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1752 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 7 (2017); 992-999 Український математичний журнал; Том 69 № 7 (2017); 992-999 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1752/734 Copyright (c) 2017 Aldashev S. A. |
| spellingShingle | Aldashev, S. A. Алдашев, С. А. Алдашев, С. А. Well-posedness of mixed problems for multidimensional hyperbolic equations with wave operator |
| title | Well-posedness of mixed problems for multidimensional hyperbolic equations with
wave operator |
| title_alt | Корректность смешанной задачи для многомерных гиперболических
уравнений с волновым оператором |
| title_full | Well-posedness of mixed problems for multidimensional hyperbolic equations with
wave operator |
| title_fullStr | Well-posedness of mixed problems for multidimensional hyperbolic equations with
wave operator |
| title_full_unstemmed | Well-posedness of mixed problems for multidimensional hyperbolic equations with
wave operator |
| title_short | Well-posedness of mixed problems for multidimensional hyperbolic equations with
wave operator |
| title_sort | well-posedness of mixed problems for multidimensional hyperbolic equations with
wave operator |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1752 |
| work_keys_str_mv | AT aldashevsa wellposednessofmixedproblemsformultidimensionalhyperbolicequationswithwaveoperator AT aldaševsa wellposednessofmixedproblemsformultidimensionalhyperbolicequationswithwaveoperator AT aldaševsa wellposednessofmixedproblemsformultidimensionalhyperbolicequationswithwaveoperator AT aldashevsa korrektnostʹsmešannojzadačidlâmnogomernyhgiperboličeskihuravnenijsvolnovymoperatorom AT aldaševsa korrektnostʹsmešannojzadačidlâmnogomernyhgiperboličeskihuravnenijsvolnovymoperatorom AT aldaševsa korrektnostʹsmešannojzadačidlâmnogomernyhgiperboličeskihuravnenijsvolnovymoperatorom |