Homeotopy groups for nonsingular foliations of the plane
We consider a special class of nonsingular oriented foliations $F$ on noncompact surfaces $\Sigma$ whose spaces of leaves have the structure similar to the structure of rooted trees of finite diameter. Let $H^+(F)$ be the group of all homeomorphisms of $\Sigma$ mapping the leaves onto leaves and p...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1753 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507607092953088 |
|---|---|
| author | Soroka, Yu. Yu. Сорока, Ю. Ю. |
| author_facet | Soroka, Yu. Yu. Сорока, Ю. Ю. |
| author_sort | Soroka, Yu. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:25:34Z |
| description | We consider a special class of nonsingular oriented foliations $F$ on noncompact surfaces $\Sigma$ whose spaces of leaves have the structure similar to the structure of rooted trees of finite diameter. Let $H^+(F)$ be the group of all homeomorphisms of $\Sigma$ mapping the leaves onto leaves and preserving their orientations. Also let $K$ be the group of homeomorphisms of the quotient space $\Sigma /F$ induced by $H^+(F)$. By $H^+_0(F)$ and $K_0$ we denote the corresponding subgroups formed by
the homeomorphisms isotopic to identity mappings. Our main result establishes the isomorphism between the homeotopy
groups $\pi_0 H^+(F) = H^+(F)/H^+ _0 (F)$ and $\pi_ 0K = K/K_0$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 515.14
Ю. Ю. Сорока (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ГРУПИ ГОМЕОТОПIЙ НЕСИНГУЛЯРНИХ ШАРУВАНЬ ПЛОЩИНИ
We consider a special class of nonsingular oriented foliations F on noncompact surfaces \Sigma whose spaces of leaves have
the structure similar to the structure of rooted trees of finite diameter. Let H+(F ) be the group of all homeomorphisms
of \Sigma mapping the leaves onto leaves and preserving their orientations. Also let K be the group of homeomorphisms of
the quotient space \Sigma \diagup F induced by H+(F ). By H+
0 (F ) and K0 we denote the corresponding subgroups formed by
the homeomorphisms isotopic to identity mappings. Our main result establishes the isomorphism between the homeotopy
groups \pi 0H
+(F ) = H+(F )\diagup H+
0 (F ) and \pi 0K = K\diagup K0.
Рассматривается специальный класс несингулярных ориентированных слоений F на некомпактных поверхностях
\Sigma , пространство слоев \Sigma \diagup F которых имеет структуру, подобную „корневому дереву” конечного диаметра. Пусть
H+(F ) — группа гомеоморфизмов \Sigma , которые переводят слой в слой с сохранением ориентации, и K — группа
гомеоморфизмов фактор-пространства \Sigma \diagup F, индуцированных H+(F ). Обозначим через H+
0 (F ) и K0 соответству-
ющие подгруппы, состоящие из гомеоморфизмов, изотопных тождественным отображениям. Основные результаты
работы устанавливают изоморфизм между группами гомеотопий \pi 0H
+(F ) = H+(F )\diagup H+
0 (F ) и \pi 0K = K\diagup K0.
1. Вступ. Вивчення властивостей шарувань на поверхнях тiсно пов’язане з питаннями топо-
логiчної класифiкацiї рiзних функцiй на поверхнях, якi дослiджувалися у працях [1 – 9]. Шари
шарування поверхнi можуть розглядатися як лiнiї рiвня деякої функцiї. Дослiдженням властиво-
стей несингулярних шарувань на площинi в 40 – 50-х роках ХХ ст. присвячено роботи [10 – 12].
У роботi [10] розглянуто властивостi сiм’ї кривих, що заданi на площинi i задовольняють умову
регулярностi в деякому вiдкритому околi площини, та показано, що такi шарування є лiнiями
рiвня деякої функцiї на \BbbR 2. Цi результати пiзнiше були розширенi для сингулярних шарувань
у роботах [13, 14].
Також у [10, 11] встановлено, що несингулярнi шарування площини можна подати у виглядi
некомпактної поверхнi, склеєної з не бiльш нiж злiченного числа смуг уздовж вiдкритих iнтер-
валiв. Шарування на кожнiй смузi складається iз горизонтальних прямих та компонент межi.
Дослiдженню властивостей несингулярних шарувань на довiльних некомпактних поверхнях,
склеєних iз вiдкритих смуг подiбним чином, присвячено роботи [15, 16].
Гомотопiчнi властивостi несингулярних шарувань площини, графи яких є кореневими де-
ревами скiнченного дiаметра, були розглянутi в [17], де було обчислено алгебраїчну структуру
груп гомеотопiй канонiчних шарувань поверхонь з цього класу. В данiй роботi встановлюється
зв’язок мiж цими групами та групами гомеотопiй вiдповiдних просторiв шарiв (див. теорему 2).
2. Смугастi поверхнi та несингулярнi шарування на них. Нехай \Sigma i — поверхнi з
шаруванням Fi, i = 1, 2. Тодi гомеоморфiзм h : \Sigma 1 \rightarrow \Sigma 2 називатимемо пошаровим, якщо вiн
вiдображає шари шарування F1 у шари шарування F2.
Означення 1. Модельною смугою назвемо вiдкриту пiдмножину S \subset \BbbR \times [0; 1], яка задо-
вольняє такi умови:
1) \BbbR \times (0; 1) \subseteq S;
2) S \cap \BbbR \times \{ 0, 1\} є незв’язним об’єднанням iнтервалiв, замикання яких в \BbbR \times [0; 1] попарно
не перетинаються i утворюють локально скiнченну множину.
c\bigcirc Ю. Ю. СОРОКА, 2017
1000 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
ГРУПИ ГОМЕОТОПIЙ НЕСИНГУЛЯРНИХ ШАРУВАНЬ ПЛОЩИНИ 1001
Позначимо \partial S = S \cap \BbbR \times \{ 0; 1\} , \partial - S = S \cap \BbbR \times \{ 0\} , \partial +S = S \cap \BbbR \times \{ 1\} .
Зауважимо, що кожна модельна смуга має канонiчне орiєнтовне шарування на горизонтальнi
прямi \BbbR \times t, t \in (0; 1), та компоненти зв’язностi межi \partial S.
Будемо використовувати такi позначення:
[0] = \varnothing , [n] = \{ 1, 2, . . . , n\} , - \BbbN = \{ - 1, - 2, . . .\} .
Нехай також Ji = (2i+ 1, 2i), i \in \BbbZ , i для пiдмножини \Delta \subset \BbbZ позначимо
A\Delta =
\bigcup
i\in \Delta
Ji.
Зокрема, розглянемо такi диз’юнктнi об’єднання вiдкритих iнтервалiв:
A[n] =
n\bigcup
i=1
(2i+ 1, 2i), n = 0, 1, . . . , A\BbbN =
\bigcup
i\in \BbbN
(2i+ 1, 2i),
A - \BbbN =
\bigcup
- i\in \BbbN
(2i+ 1, 2i), A\BbbZ =
\bigcup
i\in \BbbZ
(2i+ 1, 2i),
якi називатимемо стандартними.
Означення 2. Модельну смугу S \subset \BbbR \times [0; 1] назвемо стандартною, якщо \partial - S i \partial +S є
стандартними об’єднаннями iнтервалiв.
Легко показати справедливiсть наступної леми.
Лема 1. Нехай S — модельна смуга. Тодi iснує гомеоморфiзм h : \BbbR 2 \rightarrow \BbbR 2, який залишає
iнварiантною кожну пряму \BbbR \times t, t \in (0, 1), зберiгає її орiєнтацiю i такий, що h(S) є
стандартною модельною смугою з \partial - h(S) = A\alpha \times \{ 0\} i \partial +h(S) = A\beta \times \{ 1\} , де A\alpha i A\beta —
стандартнi об’єднання iнтервалiв, тобто \alpha , \beta \in \{ [0], [1], . . . ,\BbbN , - \BbbN ,\BbbZ \} . Крiм того, \alpha i \beta не
залежать вiд вибору h.
Приклад. Згiдно з означенням 1, модельною смугою є смуга S з межею \partial - S = \varnothing , \partial +S =
=
\bigcup
n\in \BbbZ
(2n; 2n+ 1)\times \{ 1\} .
Водночас для S з межею \partial - S = \varnothing , \partial +S =
\bigcup
n\in \BbbZ \diagup \{ 0, - 1\}
\biggl(
1
n+ 1
;
1
n
\biggr)
\times \{ 1\} не виконується
умова 2 означення 1.
Смугаста поверхня. Нехай \Sigma — некомпактна поверхня. Припустимо, що iснує сiм’я
модельних смуг \{ S\lambda \} \lambda \in \Lambda i сюр’єктивне вiдображення p :
\bigsqcup
\lambda \in \Lambda
S\lambda \rightarrow \Sigma з такими властивостями:
1) обмеження p на модельну смугу p\lambda = p| S\lambda
: S\lambda \rightarrow \Sigma є пошаровим вкладенням;
2) образи внутрiшностей модельних смуг не перетинаються, тобто p (\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t} (S\lambda )) \cap
\cap p (\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t} (S\mu )) = \varnothing , \lambda , \mu \in \Lambda ;
3) для кожного шару \omega \in \partial - S\lambda виконується одна з таких умов:
a) p - 1 \circ p(\omega ) = \omega ;
b) p - 1\circ p(\omega ) = \omega \cup \gamma , де \gamma — iнтервал межi \partial +S\mu деякої модельної смуги S\mu i \varphi := p - 1
\mu \circ p\lambda ,
\varphi : \omega \rightarrow \gamma — афiнний гомеоморфiзм, що зберiгає орiєнтацiю.
Тодi \Sigma називатимемо смугастою поверхнею, вiдображення p :
\bigsqcup
\lambda \in \Lambda
S\lambda \rightarrow \Sigma — атласом смугастої
поверхнi, а обмеження p\lambda : S\lambda \rightarrow \Sigma — картою для смуги S\lambda .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
1002 Ю. Ю. СОРОКА
Зауваження. В означеннi смугастої поверхнi єдиний зберiгаючий орiєнтацiю афiнний го-
меоморфiзм \varphi : (a, b) \rightarrow (c, d) визначається формулою \varphi (t) =
c - d
b - a
(t - a) + a, t \in (a, b).
Зокрема, для ототожнення iнтервалiв стандартних модельних смуг використовується афiнний
гомеоморфiзм \varphi : Jj - \rightarrow Ji, заданий формулою
\varphi (t) = t+ 2i - 2j.
Нагадаємо, що кожна модельна смуга має канонiчне орiєнтовне шарування. Оскiльки го-
меоморфiзми \varphi ототожнюють шари таких шарувань, то кожна смугаста поверхня також несе
на собi орiєнтовне шарування F, що складається з шарiв шарувань на модельних смугах.
Називатимемо його канонiчним.
3. Граф смугастої поверхнi. Нехай \Sigma — смугаста поверхня з атласом
\biggl( \bigsqcup
\lambda \in \Lambda
S\lambda , p
\biggr)
, а F —
канонiчне шарування на \Sigma . Позначимо через G = \Sigma \diagup F простiр шарiв i нехай \pi : \Sigma \rightarrow G —
фактор-вiдбраження (рис. 1).
Рис. 1. Смугаста поверхня \Sigma та граф G.
Топологiя на \bfitG (\bfitF ). Надiлимо G фактор-топологiєю, тобто множину U в G вважатимемо
вiдкритою тодi i тiльки тодi, коли її прообраз \pi - 1(U) є вiдкритим в \Sigma . В загальному випадку G
є неґаусдорфовим топологiчним простором. Множину e\lambda = p\lambda (\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t} (S\lambda )) називатимемо ребром.
Очевидно, що e\lambda є вiдкритою в G i гомеоморфною вiдкритому iнтервалу. Таким чином, G
можна розглядати як „неґаусдорфовий” граф, у якого „розщепленi” вершини. Цi вершини вiд-
повiдають граничним iнтервалам модельних смуг. Далi простiр шарiв G називатимемо графом
смугастої поверхнi.
Властивостi графа смугастої поверхнi. Нехай V — множина вершин графа i E =
= \{ e\lambda , \lambda \in \Lambda \} — множина ребер графа G. Покладемо \partial +e\lambda = \pi (\partial +S\lambda ) i \partial - e\lambda = \pi (\partial - S\lambda ).
Введемо орiєнтацiю на графi G, зорiєнтувавши кожне ребро вiд \partial - e\lambda до \partial +e\lambda . Також для
кожного ребра e\lambda зафiксуємо зберiгаючий орiєнтацiю гомеоморфiзм
\psi \lambda : (0; 1) \rightarrow e\lambda .
Зауважимо, що лiнiйний порядок на iнтервалах з \partial +S\lambda (\partial - S\lambda ) визначає i лiнiйний порядок
вершин в образi \partial +e\lambda (\partial - e\lambda ).
Точку x \in G називатимемо спецiальною, якщо \{ x\} \not = \cap V , де V пробiгає базу вiдкритих
околiв точки x. Очевидно, що G є ґаусдорфовим тодi i лише тодi, коли G не має спецiальних
точок. Якщо x \in e, то x є неспецiальною вершиною. З леми 3.2 [15] випливає, що вершина v
є неспецiальною тодi i лише тодi, коли v = \partial - e\nu = \partial +e\mu , \nu , \mu \in \Lambda .
Припустимо, що вершина v є неспецiальною, тобто v = p\nu (\partial - S\nu ) = p\mu (\partial +S\mu ). Позначимо
p(S\nu ) \cup p(S\mu ) через S. Тодi, згiдно з [15], iснує пошаровий гомеоморфiзм \widehat p\nu : S\nu \rightarrow S, для
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
ГРУПИ ГОМЕОТОПIЙ НЕСИНГУЛЯРНИХ ШАРУВАНЬ ПЛОЩИНИ 1003
якого виконуються умови \widehat p\nu | \partial +e\nu = p\nu , \widehat p\lambda | \partial - e\lambda = p\mu . У такому випадку для всiєї смугастої
поверхнi \Sigma з атласом
\biggl( \bigsqcup
\lambda \in \Lambda
S\lambda , p
\biggr)
можна побудувати новий атлас, в якому з
\bigsqcup
\lambda \in \Lambda
S\lambda вилучено
модельну смугу S\mu i p\nu та p\mu замiнено на \widehat p\nu .
Атлас p :
\bigsqcup
\lambda \in \Lambda
S\lambda \rightarrow \Sigma смугастої поверхнi називатимемо редукованим, якщо виконано таку
умову: кожна вершина v \in G або є спецiальною, або належить образу p(\partial \Sigma ).
З леми 3.3 [15] випливає справедливiсть такої леми.
Лема 2. На кожнiй смугастiй поверхнi iснує редукований атлас.
Якщо атлас смугастої поверхнi є редукованим, то таку поверхню називатимемо редукова-
ною.
4. Клас смугастих поверхонь \frakF .
Означення 3. Скажемо, що редукована смугаста поверхня \Sigma належить класу \frakF , якщо
для графа G виконуються такi умови:
1) \partial - e\lambda складається лише з однiєї точки;
2) якщо v є спiльною вершиною ребер e\nu i e\mu , то v = \partial +e\nu \cap \partial - e\mu або v = \partial +e\mu \cap \partial - e\nu ;
3) G — зв’язний граф, що не мiстить циклiв та має скiнченний дiаметр.
Нехай \Sigma \in \frakF . Тодi кожну поверхню \Sigma , граф якої має скiнченний дiаметр, можна зобразити
у виглядi
\Sigma = S
\bigcup
\partial +S
\Bigl( \bigcup
i\in \Delta
\Sigma i
\Bigr)
, (1)
де S — стандартна модельна смуга з межею \partial - S = (0; 1) \times \{ 0\} та \partial +S =
\bigcup
i\in \Delta
Ji \times \{ 1\} ,
\Delta \in \{ [0], [1], . . . ,\BbbN , - \BbbN ,\BbbZ \} . Кожна \Sigma \lambda є або порожньою, або смугастою поверхнею класу \frakF ,
яка приклеюється до \partial +S лише за допомогою однiєї компоненти межi.
Згiдно з лемою 1, кожна стандартна модельна смуга S належить одному з чотирьох типiв,
зображених на рис. 2.
A[n] A\BbbN
A - \BbbN A\BbbZ
Рис. 2. Типи модельних смуг.
Очевидно, що кожна \Sigma \in \frakF є зв’язною i однозв’язною некомпактною поверхнею, а тому її
внутрiшнiсть гомеоморфна \BbbR 2 [18] (рис. 3).
Клас \frakF був уведений в роботi [17]. Зокрема, в [17] обчислено алгебраїчну структуру груп
гомеотопiй канонiчних шарувань поверхонь iз цього класу. В данiй роботi встановлюється
зв’язок мiж цими групами та групами гомеотопiй вiдповiдних просторiв шарiв (див. теорему 2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
1004 Ю. Ю. СОРОКА
Рис. 3. Смугаста поверхня \Sigma класу \frakF та її граф G.
Групи гомеотопiй несингулярних шарувань на поверхнях класу \frakF . Позначимо через
H+(F ) групу всiх гомеоморфiзмiв h : \Sigma \rightarrow \Sigma , що задовольняють такi умови:
1) для довiльного шару \omega \in F його образ h(\omega ) є також шаром F i при цьому обмеження
h| \omega : \omega \rightarrow h(\omega ) зберiгає орiєнтацiю;
2) h(\partial - S) = \partial - S i h(\partial +S) = \partial +S.
Нехай також
\pi 0H
+(F ) = H+(F )\diagup H+
0 (F )
— група гомеотопiй шарування F, де H+
0 (F ) – пiдмножина H+(F ), що складається з гомео-
морфiзмiв, якi iзотопнi тотожному в H+(F ).
Клас груп гомеотопiй шарувань смугастих поверхонь iз класу \frakF позначимо через
\scrG = \{ \pi 0H+(F ) | F — канонiчне шарування на \Sigma \in \frakF \} .
Теорема 1 [17]. Клас \scrG мiститься в \scrZ , де \scrZ — мiнiмальний клас груп, що мають такi
властивостi:
1) \{ 1\} \in \scrZ ;
2) якщо Ai \in \scrZ , i \in \BbbZ , то
\prod \infty
i= - \infty
Ai \in \scrZ ;
3) якщо A \in \scrZ , то вiнцевий добуток A \wr \BbbZ \in \scrZ .
5. Групи гомеотопiй графiв. Нехай X, Y — топологiчнi простори. Нагадаємо, що непе-
рервне вiдображення f : X \rightarrow Y називається факторним, якщо:
1) f є сюр’єктивним;
2) множина в Y буде вiдкритою тодi i тiльки тодi, коли її повний прообраз є вiдкритим.
Для зручностi наведемо твердження з [19] (гл. 1, § 2, п. 3).
Лема 3. Нехай f : X \rightarrow Y — факторне вiдображення i \phi : X \rightarrow X — таке неперервне
вiдображення, що для довiльної точки a \in Y iснує така точка ba \in Y, що
\phi
\bigl(
f - 1(a)
\bigr)
\subset f - 1(ba).
Тодi вiдображення \psi : Y \rightarrow Y, \psi (a) = ba, є неперервним.
Зокрема, якщо \phi — гомеоморфiзм, то \psi теж гомеоморфiзм. Крiм того, має мiсце рiвнiсть
\psi \circ f = f \circ \phi .
Нехай \Sigma — редукована смугаста поверхня класу \frakF , F — канонiчне шарування на \Sigma i H(G) —
група гомеоморфiзмiв графа G. За означенням групи H+(F ) гомеоморфiзм h \in H+(F ) зберiгає
вiдношення еквiвалентностi. Тому, згiдно з лемою 3, вiдповiдне факторне вiдображення \rho (h) :
G\rightarrow G є гомеоморфiзмом, тобто кожен гомеоморфiзм смугастої поверхнi h : \Sigma \rightarrow \Sigma з H+(F )
iндукує гомеоморфiзм графа \rho (h) : G\rightarrow G.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
ГРУПИ ГОМЕОТОПIЙ НЕСИНГУЛЯРНИХ ШАРУВАНЬ ПЛОЩИНИ 1005
Зауважимо, що вiдповiднiсть h \mapsto \rightarrow \rho (h) є гомоморфiзмом груп
\rho : H+(F ) \rightarrow H(G).
Нехай K — група гомеоморфiзмiв, що переводять ребра в ребра зi збереженням орiєнтацiї та
лiнiйного порядку вершин на \partial +, тобто якщо g \in K i g(e\lambda ) = e\mu , то обмеження вiдображення
g : \partial +e\lambda \rightarrow \partial +e\mu зберiгає лiнiйний порядок вершин. Позначимо через K0 групу гомеоморфiзмiв
графа G з K, що iзотопнi тотожному вiдображенню в K.
Лема 4. K = \rho (H+(F )).
Доведення. 1. Спочатку встановимо справедливiсть включення \rho (H+(F )) \subset K.
Нехай h \in H+(F ) i h iндукує гомеоморфiзм \rho (h) = g. Згiдно з теоремою 1, гомеомор-
фiзм h \in H+(F ) переставляє спецiальнi шари кожної модельної смуги S\lambda з атласу смугастої
поверхнi \Sigma . Тому iснує таке цiле число k, що для будь-якого спецiального шару \omega s \in \partial +S\lambda ,
s \in \Delta \lambda , виконується умова h(\omega s) = \omega s+k, де \Delta \lambda \in \{ [0], [1], . . . ,\BbbN , - \BbbN ,\BbbZ \} — множина iндексiв
iнтервалiв \partial - S\lambda модельної смуги S\lambda . Нехай e\lambda — ребро, що вiдповiдає S\lambda , i vk = \pi (\omega k) —
вiдповiдна вершина в \partial +e\lambda . Тодi g(vs) = vs+k для всiх k \in \BbbZ . Тому гомеоморфiзми групи K
дiйсно зберiгають лiнiйний порядок вершин на \partial +e\lambda для кожного ребра e\lambda \in G.
2. Доведемо включення K \subset \rho (H+(F )).
Нехай g \in K. Покажемо, що iснує такий гомеоморфiзм q \in H+(F ), що g = \rho (q).
2.1. Спочатку доведемо, що iснує гомеоморфiзм h, визначений на
\bigsqcup
\lambda \in \Lambda
S\lambda i такий, що дiа-
грама \bigsqcup
\lambda \in \Lambda
S\lambda
p - - - - \rightarrow \Sigma
\pi - - - - \rightarrow G \downarrow h \downarrow g\bigsqcup
\lambda \in \Lambda
S\lambda
p - - - - \rightarrow \Sigma
\pi - - - - \rightarrow G
є комутативною.
Нехай e\lambda , e\mu — два ребра, для яких виконується умова g(e\lambda ) = e\mu . Зафiксуємо гомеомор-
фiзми \psi \lambda : (0, 1) \rightarrow e\lambda , \psi \mu : (0, 1) \rightarrow e\mu (див. (1)), тодi гомеоморфiзм g iндукує гомеоморфiзм
вiдрiзкiв \psi g\lambda : [0, 1] \rightarrow [0, 1], що визначається формулою
\psi g\lambda (t) =
\left\{ \psi
- 1
\mu \circ g \circ \psi \lambda (t), якщо t \in (0; 1),
t, якщо t \in \{ 0; 1\} ,
тобто дiаграма
[0, 1] \supset (0, 1)
\psi \lambda - - - - \rightarrow e\lambda
\widehat \psi \lambda
\downarrow \downarrow g
[0, 1] \supset (0, 1)
\psi \mu - - - - \rightarrow e\mu
є комутативною. Зауважимо, що гомеоморфiзм g вiдображає множину \partial +e\lambda в \partial +e\mu зi збережен-
ням лiнiйного порядку. Тому стандартнi модельнi смуги S\lambda та S\mu , що вiдповiдають ребрам e\lambda
i e\mu , належать до одного типу, тобто \partial +S\lambda = \partial +S\mu =
\bigcup
i\in \Delta
Ji \times \{ 1\} , де \Delta = \{ [n],\BbbN , - \BbbN ,\BbbZ \} .
Нехай vs = \pi (Js \times \{ 1\} ) , s \in \Delta . Тодi g iндукує монотонну бiєкцiю \Delta на себе. Якщо \Delta = \BbbZ ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
1006 Ю. Ю. СОРОКА
то iснує таке цiле число k = k\lambda (g), що g(vs) = vs+k, в усiх iнших випадках g(vs) = vs i ми
покладемо k = 0.
Тому гомеоморфiзм h\lambda можна задати таким чином:
h\lambda (x, y) =
\bigl(
x+ 2ky, \psi g\lambda (y)
\bigr)
, (x, y) \in S\lambda . (2)
При цьому має мiсце комутативна дiаграма
S\lambda
p\lambda - - - - \rightarrow p(S\lambda )
\pi - - - - \rightarrow e\lambda \downarrow h\lambda \downarrow g
S\mu
p\mu - - - - \rightarrow p(S\mu )
\pi - - - - \rightarrow e\mu .
Визначивши h\lambda для кожної модельної смуги смугастої поверхнi \Sigma , отримаємо шуканий гомео-
морфiзм h.
2.2. Доведемо, що всi гомеоморфiзми h\lambda узгодженi на межi \partial e\lambda , тобто гомеоморфiзм h
iндукує гомеоморфiзм q, для якого комутативною є дiаграма\bigsqcup
\lambda \in \Lambda
S\lambda
p - - - - \rightarrow \Sigma
\pi - - - - \rightarrow G \downarrow h \downarrow q \downarrow g\bigsqcup
\lambda \in \Lambda
S\lambda
p - - - - \rightarrow \Sigma
\pi - - - - \rightarrow G .
(3)
Нехай a, b \in
\bigsqcup
\lambda \in \Lambda
S\lambda , a \not = b i p(a) = p(b). Оскiльки образи точок a, b при факторному
вiдображеннi p тотожнi, то цi точки лежать на межi стандартних модельних смуг. Нехай, для
визначеностi, a = (x1, 0) \in J1 = (1, 2) \subset \partial - S\lambda 1 i b = (x2, 1) \in Jj = (2j + 1; 2j) \subset \partial +S\lambda 2 ,
\lambda 1, \lambda 2 \in \Lambda . Тодi з формули (2) отримуємо
h\lambda 1(x1, 0) = (x1, 0),
h\lambda 2(x2, 1) = (x2 + 2k, 1).
Згiдно з уведеними позначеннями, афiннi гомеоморфiзми, що приклеюють модельнi смуги
\varphi 1 : J1 \rightarrow Jj i \varphi 2 : h\lambda 1(J1) \rightarrow h\lambda 2(Jj), визначаються формулами
\varphi 1(t) = t+ 2j, t \in J1,
\varphi 2(t) = t+ 2j + 2k, t \in h(J1).
Тодi h\lambda 2 \circ \varphi 1\circ h - 1
\lambda 1
(t) = \varphi 2(t), t \in h(J1). Отже, p(h(a)) = p(h(b)) i дiаграма (3) є комутативною.
Лему 4 доведено.
Наступнi леми дають характеризацiю груп K0 та H0.
Лема 5. Гомеоморфiзм g \in H(G) належить групi K0 тодi i лише тодi, коли виконуються
такi умови:
1) g(e) = e, де e — довiльне ребро графа;
2) g зберiгає орiєнтацiю ребер;
3) g(v) = v для кожної вершини v.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
ГРУПИ ГОМЕОТОПIЙ НЕСИНГУЛЯРНИХ ШАРУВАНЬ ПЛОЩИНИ 1007
Доведення. Достатнiсть. Нехай g \in H(G) i виконуються умови 1 – 3 леми. Завдяки
умовам 2, 3 гомеоморфiзм g належить групi K. Крiм того, з умов 1, 2 випливає, що для кожного
ребра e\lambda графа G функцiя g| e\lambda є строго зростаючою. Тому iзотопiю \Psi (z, t) : G \times [0; 1] \rightarrow G
мiж \mathrm{i}\mathrm{d}G та g можна визначити формулою
\psi t(z) =
\left\{ \psi \lambda
\bigl(
(1 - t)\psi - 1
\lambda (z) + t\psi - 1
\lambda (g(z))
\bigr)
, якщо z \in e\lambda , e\lambda \subset E,
z, якщо z \in V,
де t \in [0; 1]. Отже, g \in K0.
Необхiднiсть. Нехай g \in K0. Тодi iснує iзотопiя gt : K \rightarrow K , t \in [0; 1], g0 = \mathrm{i}\mathrm{d}G, g1 = g,
для якої виконується рiвнiсть
gt(E) = E, gt(V ) = V.
Оскiльки g0 = \mathrm{i}\mathrm{d}, то gt залишає iнварiантною кожну компоненту зв’язностi множин E та V,
тобто кожне ребро та кожну вершину. Це доводить властивостi 1 та 3.
Крiм того, для довiльного ребра e обмеження gt| e : e\rightarrow e, t \in [0; 1], є iзотопiєю g0| e = \mathrm{i}\mathrm{d}G
i g1| e = g, тому gt| e зберiгає орiєнтацiю ребра.
Лему 5 доведено.
Лема 6. H+
0 (F ) = \rho - 1(K0), \rho (H
+
0 (F )) = K0.
Доведення. Якщо h \in H+
0 (F ), то, згiдно з теоремою 4.4 [15], для \rho (h) виконуються всi
умови леми 5 i \rho (h) \in K0, тобто \rho (H+
0 (F )) \subset K0.
Тому для того, щоб показати справедливiсть леми, достатньо довести, що \rho - 1(K0) \subset
\subset H+
0 (F ), тобто кожен гомеоморфiзм g \in K0 є образом деякого вiдображення h з H+
0 (F ).
Нехай g \in K0. Тодi на смузi S\lambda гомеоморфiзм h можна визначити за допомогою формули (2),
де k\lambda (g) = 0.
Таким чином, h \in H+
0 (F ) i K0 \subset \rho (H+
0 (F )).
Оскiльки H+
0 (F ) = \rho - 1(K0) i \rho — сюр’єктивне вiдображення, то \rho (H+
0 (F )) = K0.
Лему 6 доведено.
Теорема 2. Нехай \Sigma \in \frakF i F — канонiчне шарування. Тодi гомоморфiзм \rho : H+(F ) \rightarrow K
iндукує iзоморфiзм груп \pi 0H+(F ) та \pi 0K.
Доведення. Групи H+
0 (F ) та K0 є нормальними пiдгрупами вiдповiдно в групах H+(F ) та
K. Бiльш того, згiдно з лемою 6, H+
0 (F ) = \rho - 1(K0), а тому \rho iндукує iзоморфiзм фактор-груп
H+(F )\diagup H+
0 (F ) \sim = H+(F )\diagup \rho - 1(K0) =
H+(F )\diagup \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} \rho
\rho - 1(K0)\diagup \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r} \rho
= K\diagup K0.
Теорему 2 доведено.
Лiтература
1. Болсинов A. В., Фоменко A. T. Введение в топологию интегрируемых гамильтоновых систем. – М.: Наука, 1997.
– 352 c.
2. Ошемков А. А. Функции Морса на двумерных поверхностях. Кодирование особенностей // Тр. Мат. ин-та РАН. –
1994. – 205. – С. 131 – 140.
3. Шарко В. В. Гладкая и топологическая эквивалентность функций на поверхностях // Укр. мат. журн. – 2003. –
55, № 5. – С. 687 – 700.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
1008 Ю. Ю. СОРОКА
4. Sharko V. V. Smooth functions on non-compact surfaces // Pr. Inst. Mat. Nats. Akad. Nauk Ukr. Mat. Zastos. – 2006. –
3, № 3. – P. 443 – 473 / arXiv:math/0709.2511.
5. Пришляк А. О. Сопряженность функций Морса на поверхностях со значениями на прямой и окружности //
Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 10. – C. 1421 – 1425.
6. Полулях Е. А. Графы Кронрода – Риба функций на некомпактных двумерных поверхностях. I // Укр. мат. журн. –
2015. – 67, № 3. – С. 375 – 396.
7. Prishlyak O. О. Morse functions with finite number of singularities on a plane // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2002. –
8, № 1. – P. 75 – 78.
8. Polulyakh E., Yurchuk I. On the pseudo-harmonic functions defined on a disk // Pr. Inst. Mat. Nats. Akad. Nauk Ukr.
Mat. Zastos. – 2009. – 80. – P. 151 (in Ukrainian).
9. Sharko V. V., Soroka Yu. Yu. Topological equivalence to a projection // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2015. – 21,
№ 1. – P. 3 – 5.
10. Kaplan W. Regular curve-families filling the plane, I // Duke Math. J. – 1940. – 7. – P. 154 – 185.
11. Kaplan W. Regular curve-families filling the plane, II // Duke Math J. – 1941. – 8. – P. 11 – 46.
12. Hassler Whitney. Regular families of curves // Ann. Math. – 1933. – 34, № 2. – P. 244 – 270.
13. Boothby W. M. The topology of regular curve families with multiple saddle points // Amer. J. Math. – 1951. – 73. –
P. 405 – 438.
14. Jenkins J., Marston M. Contour equivalent pseudoharmonic functions and pseudoconjugates // Amer. J. Math. – 1952. –
74. – P. 23 – 51.
15. Maksymenko S., Polulyakh E. Foliations with non-compact leaves on surfaces // Proc. Geom. Center. – 2015. – 8,
№ 3-4. – P. 17 – 30.
16. Maksymenko S., Polulyakh E. Foliations with all non-closed leaves on non-compact surfaces // Meth. Funct. Anal.
and Top. – 2016. – 3 / arXiv:1606.00045.
17. Soroka Yu. Yu. Homeotopy groups of rooted tree like non-singular foliations on the plane // Meth. Funct. Anal. and
Top. – 2016. – 3 / arXiv:1607.04097.
18. Epstein D. B. A. Curves on 2-manifolds and isotopies // Acta Math. – 1966. – 115. – P. 83 – 107.
19. Рохлин B. A., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. – М.: Наука, 1977. – 488 с.
Одержано 16.10.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1753 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:00Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/03/be379a86508c967482fd6c45b76bba03.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17532019-12-05T09:25:34Z Homeotopy groups for nonsingular foliations of the plane Групи гомеотопiй несингулярних шарувань площини Soroka, Yu. Yu. Сорока, Ю. Ю. We consider a special class of nonsingular oriented foliations $F$ on noncompact surfaces $\Sigma$ whose spaces of leaves have the structure similar to the structure of rooted trees of finite diameter. Let $H^+(F)$ be the group of all homeomorphisms of $\Sigma$ mapping the leaves onto leaves and preserving their orientations. Also let $K$ be the group of homeomorphisms of the quotient space $\Sigma /F$ induced by $H^+(F)$. By $H^+_0(F)$ and $K_0$ we denote the corresponding subgroups formed by the homeomorphisms isotopic to identity mappings. Our main result establishes the isomorphism between the homeotopy groups $\pi_0 H^+(F) = H^+(F)/H^+ _0 (F)$ and $\pi_ 0K = K/K_0$. Рассматривается специальный класс несингулярных ориентированных слоений $F$ на некомпактных поверхностях $\Sigma$, пространство слоев $\Sigma /F$ которых имеет структуру, подобную „корневому дереву” конечного диаметра. Пусть $H^+(F)$ — группа гомеоморфизмов $\Sigma$, которые переводят слой в слой с сохранением ориентации, и $K$ — группа гомеоморфизмов фактор-пространства $\Sigma /F$, индуцированных $H^+(F)$. Обозначим через $H^+_0 (F)$ и $K_0$ соответствующие подгруппы, состоящие из гомеоморфизмов, изотопных тождественным отображениям. Основные результаты работы устанавливают изоморфизм между группами гомеотопий $\pi_0 H^+(F) = H^+(F)/H^+ _0 (F)$ и $\pi_0K = K/K_0$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1753 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 7 (2017); 1000-1008 Український математичний журнал; Том 69 № 7 (2017); 1000-1008 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1753/735 Copyright (c) 2017 Soroka Yu. Yu. |
| spellingShingle | Soroka, Yu. Yu. Сорока, Ю. Ю. Homeotopy groups for nonsingular foliations of the plane |
| title | Homeotopy groups for nonsingular foliations of the plane |
| title_alt | Групи гомеотопiй несингулярних шарувань площини |
| title_full | Homeotopy groups for nonsingular foliations of the plane |
| title_fullStr | Homeotopy groups for nonsingular foliations of the plane |
| title_full_unstemmed | Homeotopy groups for nonsingular foliations of the plane |
| title_short | Homeotopy groups for nonsingular foliations of the plane |
| title_sort | homeotopy groups for nonsingular foliations of the plane |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1753 |
| work_keys_str_mv | AT sorokayuyu homeotopygroupsfornonsingularfoliationsoftheplane AT sorokaûû homeotopygroupsfornonsingularfoliationsoftheplane AT sorokayuyu grupigomeotopijnesingulârnihšaruvanʹploŝini AT sorokaûû grupigomeotopijnesingulârnihšaruvanʹploŝini |