On the unique solvability of a nonlocal boundary-value problem for systems of loaded hyperbolic equations with impulsive actions
We consider a nonlocal boundary-value problem with impulsive actions for a system of loaded hyperbolic equations and establish the relationship between the unique solvability of this problem and the unique solvability of a family of two-point boundary-value problems with impulse actions for the syst...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1755 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507610125434880 |
|---|---|
| author | Assanova, A. T. Bakirova, E. A. Kadirbayeva, Zh. M. Асанова, А. Т. Бакирова, Э. А. Кадирбаева, Ж. М. Асанова, А. Т. Бакирова, Э. А. Кадирбаева, Ж. М. |
| author_facet | Assanova, A. T. Bakirova, E. A. Kadirbayeva, Zh. M. Асанова, А. Т. Бакирова, Э. А. Кадирбаева, Ж. М. Асанова, А. Т. Бакирова, Э. А. Кадирбаева, Ж. М. |
| author_sort | Assanova, A. T. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:25:58Z |
| description | We consider a nonlocal boundary-value problem with impulsive actions for a system of loaded hyperbolic equations and
establish the relationship between the unique solvability of this problem and the unique solvability of a family of two-point
boundary-value problems with impulse actions for the system of the loaded ordinary differential equations by method of
introduction of additional functions. Sufficient conditions are obtained for the existence of a unique solution to a family
two-point boundary-value problems with impulsive effects for the system of loaded ordinary differential equations by using
method of parametrization. The algorithms of finding the solutions are constructed. The conditions of unique solvability of
the nonlocal boundary-value problem for a system of loaded hyperbolic equations with impulsive actions are established.
The numerical realization of the algorithms of the method of parametrization is proposed for the solution of the family
of two-point boundary-value problems with impulsive actions for the system of the loaded ordinary differential equations.
The results are illustrated by specific examples. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956
А. Т. Асанова, Ж. М. Кадирбаева, Э. А. Бакирова
(Ин-т математики и мат. моделирования МОН РК, Алматы)
ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ СИСТЕМ НАГРУЖЕННЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ
We consider a nonlocal boundary-value problem with impulsive actions for a system of loaded hyperbolic equations and
establish the relationship between the unique solvability of this problem and the unique solvability of a family of two-point
boundary-value problems with impulse actions for the system of the loaded ordinary differential equations by method of
introduction of additional functions. Sufficient conditions are obtained for the existence of a unique solution to a family
two-point boundary-value problems with impulsive effects for the system of loaded ordinary differential equations by using
method of parametrization. The algorithms of finding the solutions are constructed. The conditions of unique solvability of
the nonlocal boundary-value problem for a system of loaded hyperbolic equations with impulsive actions are established.
The numerical realization of the algorithms of the method of parametrization is proposed for the solution of the family
of two-point boundary-value problems with impulsive actions for the system of the loaded ordinary differential equations.
The results are illustrated by specific examples.
Встановлено взаємозв’язок мiж однозначною розв’язнiстю нелокальної крайової задачi з iмпульсним впливом для
системи навантажених гiперболiчних рiвнянь та однозначною розв’язнiстю сiм’ї двоточкових крайових задач з
iмпульсним впливом для системи навантажених звичайних диференцiальних рiвнянь методом уведення додаткових
функцiй. На основi методу параметризацiї отримано достатнi умови iснування єдиного розв’язку сiм’ї двоточкових
крайових задач з iмпульсним впливом для системи навантажених звичайних диференцiальних рiвнянь та побудовано
алгоритми знаходження його розв’язкiв. Встановлено умови однозначної розв’язностi нелокальної крайової задачi
для системи навантажених гiперболiчних рiвнянь другого порядку з iмпульсним впливом. Запропоновано числову
реалiзацiю алгоритмiв методу параметризацiї розв’язку сiм’ї двоточкових крайових задач з iмпульсним впливом для
системи навантажених звичайних диференцiальних рiвнянь. Результати проiлюстровано на конкретних прикладах.
1. Постановка задачи. В настоящей статье на прямоугольнике \Omega = [0, T ] \times [0, \omega ] рассмат-
ривается нелокальная краевая задача для системы нагруженных гиперболических уравнений
второго порядка с импульсными воздействиями в фиксированные моменты времени
\partial 2u
\partial t\partial x
= A(t, x)
\partial u
\partial x
+B(t, x)
\partial u
\partial t
+ C(t, x)u+ f(t, x)+
+
k\sum
i=1
\biggl\{
Mi(t, x)
\partial u(ti + 0, x)
\partial x
+ Li(t, x)
\partial u(ti + 0, x)
\partial t
+Ki(t, x)u(ti + 0, x)
\biggr\}
, t \not = ti, (1)
u(t, 0) = \psi (t), t \in [0, T ], (2)
P0(x)
\partial u(0, x)
\partial x
+ S0(x)
\partial u(T, x)
\partial x
= \varphi 0(x), x \in [0, \omega ], (3)
Pi(x)
\partial u(ti + 0, x)
\partial x
- Si(x)
\partial u(ti - 0, x)
\partial x
=
i - 1\sum
j=1
Uj(x)
\partial u(tj - 0, x)
\partial x
+ \varphi i(x), i = 1, k, (4)
c\bigcirc А. Т. АСАНОВА, Ж. М. КАДИРБАЕВА, Э. А. БАКИРОВА, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8 1011
1012 А. Т. АСАНОВА, Ж. М. КАДИРБАЕВА, Э. А. БАКИРОВА
где u = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}(u1, u2, . . . , un), (n\times n)-матрицы A(t, x), B(t, x), C(t, x) и n-вектор-функция f(t, x)
непрерывны на \Omega , (n \times n)-матрицы Mi(t, x), Li(t, x), Ki(t, x), i = 1, k, непрерывны на \Omega ,
n-вектор-функция \psi (t) непрерывно дифференцируема на [0, T ], (n\times n)-матрицы Pj(x), Sj(x)
и n-вектор-функции \varphi j(x), j = 0, k, непрерывны на [0, \omega ], (n \times n)-матрицы Us(x), s = 1, k,
непрерывны на [0, \omega ],
0 < t1 < t2 < . . . < tk < T,
\bigm\| \bigm\| u(t, x)\bigm\| \bigm\| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=1,n
\bigm| \bigm| ui(t, x)\bigm| \bigm| , \bigm\| \bigm\| A(t, x)\bigm\| \bigm\| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=1,n
n\sum
j=1
\bigm| \bigm| aij(t, x)\bigm| \bigm| .
Введем обозначения t0 = 0, tk+1 = T, \Omega r = [tr - 1, tr) \times [0, \omega ], r = 1, k + 1, т. е. \Omega =
=
\bigcup k+1
r=1 \Omega r.
Пусть PC
\bigl(
\Omega , \{ ti\} ki=1, R
n
\bigr)
— пространство кусочно-непрерывных на \Omega вектор-функций
u(t, x) с возможными разрывами на линиях t = ti, i = 1, k, и нормой
\| u\| 1 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
r=1,k+1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \Omega r
\bigm\| \bigm\| u(t, x)\bigm\| \bigm\| .
Функция u(t, x) \in PC
\bigl(
\Omega , \{ ti\} ki=1, R
n
\bigr)
, имеющая частные производные
\partial u(t, x)
\partial x
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ ti\} ki=1, R
n
\bigr)
,
\partial u(t, x)
\partial t
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ ti\} ki=1, R
n
\bigr)
,
\partial 2u(t, x)
\partial t\partial x
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ ti\} ki=1, R
n
\bigr)
,
называется решением задачи (1) – (4), если она удовлетворяет системе нагруженных гиперболи-
ческих уравнений (1) для всех (t, x) \in \Omega , кроме линий t = ti, i = 1, k, краевым условиям (2),
(3) и условиям импульсного воздействия (4). При этом решение и его производные являются
непрерывными справа на линиях t = ti, i = 1, k.
Различные краевые задачи с импульсными воздействиями для уравнений и систем гипер-
болического типа изучались в работах [1 – 8]. В работах [9, 10] для исследования и решения
некоторых классов нелокальных задач с импульсными воздействиями для системы гипербо-
лических уравнений был применен метод введения функциональных параметров [11 – 13].
Как известно, многие процессы в сложных эволюционных системах с памятью существен-
но зависят от предыстории этой системы и описываются нагруженными дифференциальными
уравнениями [14 – 16]. Если в указанных системах с памятью появляются кратковременные
возмущения, длительностью которых можно пренебречь, то возникают дифференциальные и
интегро-дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями [17 – 21]. Наличие им-
пульса оказывает существенное влияние на свойства решений обыкновенных дифференциаль-
ных и интегро-дифференциальных уравнений [17, 18, 21, 22]. Заметим, что аппроксимации
интегральных слагаемых интегро-дифференциальных уравнений также приводят к нагружен-
ным дифференциальным уравнениям [14 – 16, 22 – 24].
В данной статье методы работ [9, 10, 25] развиваются на нелокальные краевые задачи для
системы нагруженных гиперболических уравнений с импульсными воздействиями (1) – (4). Ли-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 1013
нии нагрузки в системе уравнений (1) также являются линиями импульсного воздействия. На
основе введения новых неизвестных функций рассматриваемая задача сводится к эквивалент-
ной задаче, состоящей из семейства двухточечных краевых задач с импульсными воздействиями
для системы нагруженных обыкновенных дифференциальных уравнений и функционально-
интегральных соотношений. Получены достаточные условия существования единственного
решения семейства двухточечных краевых задач с импульсными воздействиями для системы
нагруженных обыкновенных дифференциальных уравнений и предложены алгоритмы нахож-
дения его решений. Результаты применены к нелокальной краевой задаче для системы гипер-
болических уравнений второго порядка с импульсными воздействиями. Установлены условия
существования единственного решения нелокальной краевой задачи для системы нагружен-
ных гиперболических уравнений второго порядка с импульсными воздействиями в терминах
исходных данных. Предложена численная реализация алгоритмов метода параметризации [25]
для построения решений семейства двухточечных краевых задач для системы нагруженных
обыкновенных дифференциальных уравнений, развивающая методы работы [22]. Результаты
проиллюстрированы на конкретных примерах.
2. Сведение к эквивалентной задаче и алгоритм. Пусть v(t, x) =
\partial u(t, x)
\partial x
, w(t, x) =
=
\partial u(t, x)
\partial t
. Задача (1) – (4) переходит к следующей эквивалентной задаче:
\partial v
\partial t
= A(t, x)v +
k\sum
i=1
Mi(t, x)v(ti + 0, x) + f(t, x) +B(t, x)w(t, x)+
+C(t, x)u(t, x) +
k\sum
i=1
\bigl[
Li(t, x)w(ti + 0, x) +Ki(t, x)u(ti + 0, x)
\bigr]
, t \not = ti, (5)
P0(x)v(0, x) + S0(x)v(T, x) = \varphi 0(x), x \in [0, \omega ], (6)
Pi(x)v(ti + 0, x) - Si(x)v(ti - 0, x) =
i - 1\sum
j=1
Uj(x)v(tj - 0, x) + \varphi i(x), i = 1, k, (7)
u(t, x) = \psi (t) +
x\int
0
v(t, \xi )d\xi , w(t, x) = \.\psi (t) +
x\int
0
\partial v(t, \xi )
\partial t
d\xi . (8)
В задаче (5) – (8) условие u(t, 0) = \psi (t) входит в соотношения (8).
Тройка
\bigl\{
v(t, x), u(t, x), w(t, x)
\bigr\}
кусочно-непрерывных на \Omega функций называется решением
задачи (5) – (8), если функция v(t, x) имеет кусочно-непрерывную производную относительно
t на \Omega и удовлетворяет однопараметрическому семейству краевых задач для системы нагру-
женных обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсными воздействиями (5) – (7),
где функции u(t, x) и w(t, x) связаны с v(t, x) и
\partial v(t, x)
\partial t
интегральными соотношениями (8).
Задача (5) – (7) при фиксированных u(t, x), w(t, x) представляет семейство многоточечных
краевых задач с импульсными воздействиями для системы нагруженных дифференциальных
уравнений. Соотношение (8) позволяет определить неизвестные функции u(t, x) и w(t, x) с
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1014 А. Т. АСАНОВА, Ж. М. КАДИРБАЕВА, Э. А. БАКИРОВА
помощью v(t, x) и ее производной
\partial v(t, x)
\partial t
. Решение задачи (5) – (8) — неизвестные функции
v(t, x), u(t, x) и w(t, x) — будут находиться итерационным способом на основе следующего
алгоритма.
Алгоритм \bfscrA . Шаг 0. Полагая в правой части системы (5) u(t, x) = \psi (t), w(t, x) = \.\psi (t), из
семейства задач (5) – (7) находим v(0)(t, x) \in PC(\Omega , \{ ti\} ki=1, R
n). Из интегральных соотноше-
ний (8) при v(t, x) = v(0)(t, x),
\partial v(t, x)
\partial t
=
\partial v(0)(t, x)
\partial t
определяем u(0)(t, x) \in PC
\bigl(
\Omega , \{ ti\} ki=1,
Rn
\bigr)
, w(0)(t, x) \in PC
\bigl(
\=\Omega , \{ ti\} ki=1, R
n
\bigr)
.
Шаг 1. Полагая в правой части системы (5) u(t, x) = u(0)(t, x), w(t, x) = w(0)(t, x), из
семейства задач (5) – (7) находим v(1)(t, x) \in PC(\Omega , \{ ti\} ki=1, R
n). Из интегральных соотноше-
ний (8) при v(t, x) = v(1)(t, x),
\partial v(t, x)
\partial t
=
\partial v(1)(t, x)
\partial t
определяем u(1)(t, x) \in PC
\bigl(
\Omega , \{ ti\} ki=1,
Rn
\bigr)
, w(1)(t, x) \in PC(\Omega , \{ ti\} ki=1, R
n) и т. д.
Шаг m. Полагая в правой части системы (5) u(t, x) = u(m - 1)(t, x), w(t, x) = w(m - 1)(t, x),
из семейства задач (5) – (7) находим v(m)(t, x) \in PC
\bigl(
\Omega , \{ ti\} ki=1, R
n
\bigr)
. Из интегральных соотноше-
ний (8) при v(t, x) = v(m)(t, x),
\partial v(t, x)
\partial t
=
\partial v(m)(t, x)
\partial t
определяем u(m)(t, x) \in PC
\bigl(
\Omega , \{ ti\} ki=1,
Rn
\bigr)
, w(m)(t, x) \in PC
\bigl(
\Omega , \{ ti\} ki=1, R
n
\bigr)
, m = 1, 2, . . . .
Основным моментом осуществимости предлагаемого алгоритма \scrA является разрешимость
семейства краевых задач для системы нагруженных обыкновенных дифференциальных урав-
нений с импульсными воздействиями (5) – (7) при фиксированных u(t, x), w(t, x). Этому во-
просу будет посвящен следующий пункт. Условия сходимости алгоритма \scrA будут приведены
в пункте 4.
3. Семейство краевых задач для системы нагруженных обыкновенных дифференци-
альных уравнений с импульсными воздействиями. Рассмотрим семейство краевых задач
для системы нагруженных обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсными воз-
действиями
\partial v
\partial t
= A(t, x)v +
k\sum
i=1
Mi(t, x)v(ti + 0, x) + F (t, x), t \not = ti, (9)
P0(x)v(0, x) + S0(x)v(T, x) = \varphi 0(x), x \in [0, \omega ], (10)
Pi(x)v(ti + 0, x) - Si(x)v(ti - 0, x) =
i - 1\sum
j=1
Uj(x)v(tj - 0, x) + \varphi i(x), i = 1, k, (11)
где v = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}(v1, v2, . . . , vn), функция F (t, x) \in PC
\bigl(
\Omega , \{ ti\} ki=1, R
n
\bigr)
,
0 = t0 < t1 < t2 < . . . < tk < tk+1 = T.
Функция v(t, x) \in PC
\bigl(
\Omega , \{ ti\} ki=1, R
n
\bigr)
, имеющая производную
\partial v(t, x)
\partial t
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ ti\} ki=1,
Rn
\bigr)
, называется решением семейства краевых задач с импульсными воздействиями для систе-
мы нагруженных обыкновенных дифференциальных уравнений (9) – (11), если она удовлетво-
ряет системе (9) для всех (t, x) \in \Omega , кроме линий t = ti, i = 1, k, краевому условию (10) и
условиям импульсного воздействия (11) для всех x \in [0, \omega ].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 1015
При фиксированном x \in [0, \omega ] задача (9) – (11) является линейной двухточечной краевой
задачей для системы нагруженных обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсны-
ми воздействиями. Меняя переменную x на [0, \omega ], получаем семейство двухточечных краевых
задач для системы нагруженных обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсными
воздействиями.
Как известно, нагруженные дифференциальные уравнения и краевые задачи для них были
объектом изучения во многих работах (обзор и библиографию см., например, в [16]). Краевые
задачи с импульсными воздействиями для нагруженных уравнений исследовались в [23, 24].
Краевые задачи с импульсными воздействиями для системы нагруженных дифференциальных
уравнений, содержащих параметр x, требуют специального изучения.
Семейство краевых задач с импульсными воздействиями для системы нагруженных обык-
новенных дифференциальных уравнений будем решать методом параметризации [25]. Суть
метода заключается во введении дополнительных параметров как значений искомой функции
на линиях разбиения области по переменной t. Исходная задача путем замены сводится к эк-
вивалентной задаче с функциональными параметрами. Свойства решений переходят в свойства
параметров.
Разбиение области \Omega будем проводить на линиях нагрузки, т. е. неравномерным шагом. До-
полнительные функциональные параметры вводятся как значения искомой функции на линиях
t = ti, i = 0, k.
Через vr(t, x) обозначим сужение функции v(t, x) на \Omega r, r = 1, k + 1. Вводятся парамет-
ры \mu r(x) = vr(tr - 1, x), r = 1, k + 1, и задача (9) – (11) путем замены неизвестной функции
v(t, x) = \widetilde vr(t, x) + \mu r(x), (t, x) \in \Omega r, r = 1, k + 1, сводится к следующей эквивалентной
краевой задаче с параметрами:
\partial \widetilde vr
\partial t
= A(t, x)\widetilde vr +A(t, x)\mu r(x) +
k\sum
i=1
Mi(t, x)\mu i+1(x) + F (t, x), (t, x) \in \Omega r, (12)
\widetilde vr(tr - 1, x) = 0, r = 1, k + 1, x \in [0, \omega ], (13)
P0(x)\mu 1(x) + S0(x)\mu k+1(x) + S0(x) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow T - 0
\widetilde vk+1(t, x) = \varphi 0(x), x \in [0, \omega ], (14)
Pi(x)\mu i+1(x) - Si(x)\mu i(x) -
i - 1\sum
j=1
Uj(x)\mu j(x) =
= Si(x) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow ti - 0
vi(t, x) +
i - 1\sum
j=1
Uj(x) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow tj - 0
vj(t, x) + \varphi i(x), i = 1, k. (15)
Решением задачи (12) – (15) является система пар
\bigl(
\mu (x), \widetilde v([t], x)\bigr) с элементами \mu (x) =
\bigl(
\mu 1(x),
\mu 2(x), . . . , \mu k+1(x)
\bigr) \prime
, \widetilde v\bigl( [t], x\bigr) = \bigl( \widetilde v1(t, x), \widetilde v2(t, x), . . . , \widetilde vk+1(t, x)
\bigr) \prime
, где функции \widetilde vr(t, x) непре-
рывны на \Omega r, имеют непрерывные частные производные
\partial \widetilde vr(t, x)
\partial t
на \Omega r, r = 1, k + 1, конеч-
ный левосторонний предел \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow tr - 0 \widetilde vr(t, x), r = 1, k + 1, и при \mu r(x) = \mu \ast r(x) удовлетворяет
системе дифференциальных уравнений (12) и условиям (13) – (15).
Задачи (9) – (11) и (12) – (15) эквивалентны в том смысле, что если функция v(t, x) является
решением задачи (9) – (11), то система пар (\mu (x), \widetilde v([t], x)), где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1016 А. Т. АСАНОВА, Ж. М. КАДИРБАЕВА, Э. А. БАКИРОВА
\mu (x) =
\bigl(
\mu 1(x), \mu 2(x), . . . , \mu k+1(x)
\bigr) \prime
,
\widetilde v\bigl( [t], x\bigr) = \bigl( \widetilde v1(t, x), \widetilde v2(t, x), . . . , \widetilde vk+1(t, x)
\bigr) \prime
, vr(t, x) = v(t, x),
(t, x) \in \Omega r, r = 1, k + 1, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow T - 0
vk+1(t, x) = v(T, x),
\mu r(x) = vr(tr - 1, x), \widetilde vr(t, x) = vr(t, x) - vr(tr - 1, x), r = 1, k + 1,
будет решением задачи (12) – (15), и наоборот, если
\bigl(
\mu r(x), \widetilde vr(t, x)\bigr) , r = 1, k + 1, — решение
задачи (12) – (15), то функция v(t, x), определяемая равенствами
v(t, x) = \mu r(x) + \widetilde vr(t, x), (t, x) \in \Omega r, r = 1, k + 1,
v(T, x) = \mu k+1(x) + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow T - 0
\widetilde vk+1(t, x), x \in [0, \omega ],
будет решением задачи (9) – (11).
В отличие от задачи (9) – (11) здесь появились начальные условия (13) как значения неиз-
вестной функции на линиях t = tr - 1, r = 1, k + 1, а слагаемые с нагрузкой в дифференциаль-
ном уравнении перешли в слагаемые с функциональными параметрами. При фиксированных
\mu r(x) r = 1, k + 1, функции \widetilde vr(t, x), r = 1, k + 1, являются решениями задачи Коши (12), (13)
на \Omega r .
Задача Коши (12), (13) эквивалентна интегральному уравнению
\widetilde vr(t, x) = t\int
tr - 1
\Biggl[
A(\tau , x)\widetilde vr(\tau , x) +A(\tau , x)\mu r(x) +
k\sum
i=1
Mi(\tau , x)\mu i+1(x) + F (\tau , x)
\Biggr]
d\tau . (16)
Подставляя вместо \widetilde vr(\tau , x) соответствующую правую часть (16) и повторяя этот процесс m,
m = 1, 2, . . . , раз, получаем представление функции \widetilde vr(t, x) :
\widetilde vr(t, x) = Gm,r(t, x, \widetilde vr) + Fm,r(t, x) +Dm,r(t, x)\mu r(x) +
k\sum
i=1
\widetilde Dm,r(t, x,Mi)\mu i+1(x), (17)
где
Gm,r(t, x, \widetilde vr) = t\int
tr - 1
A(\tau 1, x) . . .
\tau m - 2\int
tr - 1
A(\tau m - 1, x)
\tau m - 1\int
tr - 1
A(\tau m, x)\widetilde vr(\tau m, x) d\tau m . . . d\tau 1,
Fm,r(t, x) =
t\int
tr - 1
F (\tau 1, x) d\tau 1 + . . .+
t\int
tr - 1
A(\tau 1, x) . . .
\tau m - 2\int
tr - 1
A(\tau m - 1, x)
\tau m - 1\int
tr - 1
F (\tau m, x) d\tau m . . . d\tau 1,
Dm,r(t, x) =
t\int
tr - 1
A(\tau 1, x) d\tau 1 +
t\int
tr - 1
A(\tau 1, x)
\tau 1\int
tr - 1
A(\tau 2, x) d\tau 2 d\tau 1 + . . .
. . .+
t\int
tr - 1
A(\tau 1, x) . . .
\tau m - 2\int
tr - 1
A(\tau m - 1, x)
\tau m - 1\int
tr - 1
A(\tau m, x) d\tau m . . . d\tau 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 1017
\widetilde Dm,r(t, x,Mi) =
t\int
tr - 1
Mi(\tau 1, x) d\tau 1 +
t\int
tr - 1
A(\tau 1, x)
\tau 1\int
tr - 1
Mi(\tau 2, x) d\tau 2 d\tau 1 + . . .
. . .+
t\int
tr - 1
A(\tau 1, x) . . .
\tau m - 2\int
tr - 1
A(\tau m - 1, x)
\tau m - 1\int
tr - 1
Mi(\tau m, x) d\tau m . . . d\tau 1,
i = 1, k, m = 1, 2, . . . , r = 1, k + 1.
Переходя в правой части (17) к пределу при t \rightarrow tr - 0, находим \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow tr - 0 \widetilde vr(t, x), r =
= 1, k + 1, x \in [0, \omega ]. Подставляя их в (14), (15), для неизвестных вектор-функций \mu r(x),
r = 1, k + 1, получаем систему k + 1 функциональных уравнений
P0(x)\mu 1(x) + S0(x)
k\sum
i=1
\widetilde Dm,k+1(T, x,Mi)\mu i+1(x) + S0(x)
\bigl[
I +Dm,k+1(T, x)
\bigr]
\mu k+1(x) =
= \varphi 0(x) - S0(x)Fm,k+1(T, x) - S0(x)Gm,k+1(T, x, \widetilde vk+1), x \in [0, \omega ], (18)
Pi(x)\mu i+1(x) - Si(x)
\bigl[
I +Dm,i(ti, x)
\bigr]
\mu i(x) -
i - 1\sum
j=1
Uj(x)[I +Dm,j(t, x)]\mu j(x) -
- Si(x)
k\sum
l=1
\widetilde Dm,i(ti, x,Ml)\mu l+1(x) -
i - 1\sum
j=1
Uj(x)
k\sum
l=1
\widetilde Dm,j(t, x,Ml)\mu l+1(x) =
= Si(x)Fm,i(ti, x) +
i - 1\sum
j=1
Uj(x)Fm,j(tj , x) + \varphi i(x)+
+Si(x)Gm,i(ti, x, \widetilde vi) + i - 1\sum
j=1
Uj(x)Gm,j(tj , x, \widetilde vj), i = 1, k, (19)
где I — единичная матрица размерности n\times n.
Запишем систему уравнений (18), (19) в векторно-матричной форме
Qm(x)\mu (x) = - Fm(x) - Gm(x, \widetilde v), (20)
где Qm(x) — матрица размерности (n(k+1)\times n(k+1)), соответствующая левой части систе-
мы (18), (19) и составленная из коэффициентов векторов \mu r(x), r = 1, k + 1,
Fm(x) =
\left( - \varphi 0(x) + S0(x)Fm,k+1(T, x), - S1(x)Fm,1(t1, x) - \varphi 1(x), - S2(x)Fm,2(t2, x) -
- U1(x)Fm,1(t1, x) - \varphi 1(x), . . . , - Sk(x)Fm,k(tk, x) -
k - 1\sum
j=1
Uj(x)Fm,j(tj , x) - \varphi k(x)
\right) \prime
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1018 А. Т. АСАНОВА, Ж. М. КАДИРБАЕВА, Э. А. БАКИРОВА
Gm(x, \widetilde v) =
\left( S0(x)Gm,k+1(T, x, \widetilde vk+1), - S1(x)Gm,1(t1, x, \widetilde v1), - S2(x)Gm,2(t2, x, \widetilde v2) -
- U1(x)Gm,1(t1, x, \widetilde v1), . . . , - Sk(x)Gm,k(tk, x, \widetilde vk) - k - 1\sum
j=1
Uj(x)Gm,j(tj , x, \widetilde vj)
\right) \prime
.
Если известны функции \mu r(x), r = 1, k + 1, то, решая интегральное уравнение (16), на-
ходим функцию \widetilde vr(t, x) и, составляя систему функций
\bigl(
\mu r(x) + \widetilde vr(t, x)\bigr) , получаем решение
исходной задачи. Если известны функции \widetilde vr(t, x), то, решая уравнение (18), находим \mu r(x) и,
снова составляя систему функций
\bigl(
\mu r(x) + \widetilde vr(t, x)\bigr) , получаем решение задачи (9) – (11).
Здесь неизвестными являются как функции \mu r(x), так и функции \widetilde vr(t, x). Поэтому при-
меняется итерационный метод и решение функциональных соотношений (16), (18) находится
как пределы последовательностей \{ \mu (p)r (x)\} \} ,
\bigl\{ \widetilde v(p)r (t, x)
\bigr\}
, определяемых по следующему ал-
горитму.
Алгоритм \bfscrB . Шаг 0. Предполагая в правой части (18) \widetilde vr(t, x) = 0 и считая, что матрица
Qm(x) обратима при всех x \in [0, \omega ], из уравнения (18) находим функции \mu
(0)
r (x), x \in [0, \omega ],
r = 1, k + 1. Из интегрального уравнения (16), где \mu r(x) = \mu
(0)
r (x), определяем функции\widetilde v(0)r (t, x), (t, x) \in \Omega r, r = 1, k + 1.
Шаг 1. Из системы (18), где в правой части \widetilde vr(t, x) = \widetilde v(0)r (t, x), r = 1, k + 1, в силу
обратимости Qm(x) при x \in [0, \omega ] находим \mu
(1)
r (x), x \in [0, \omega ], r = 1, k + 1. Из интегрального
уравнения (16), где \mu r(x) = \mu
(1)
r (x), определяем функции \widetilde v(1)r (t, x), (t, x) \in \Omega r, r = 1, k + 1,
и т. д.
Шаг p. Из системы (18), где в правой части \widetilde vr(t, x) = \widetilde v(p - 1)
r (t, x), r = 1, k + 1, в силу
обратимости Qm(x) при x \in [0, \omega ] находим \mu
(p)
r (x), x \in [0, \omega ], r = 1, k + 1. Из интегрального
уравнения (16), где \mu r(x) = \mu
(p)
r (x), определяем функции \widetilde v(p)r (t, x), (t, x) \in \Omega r, r = 1, k + 1,
p = 1, 2, . . . .
Применяемый метод делит на две части процесс нахождения неизвестных функций: 1) на-
хождение введенных функциональных параметров \mu r(x) из функционального уравнения (18);
2) нахождение неизвестной функции \widetilde vr(t, x) из интегрального уравнения (16).
Условия реализуемости и сходимости предложенного алгоритма \scrB , а также существования
и единственности решения задачи (9) – (11) устанавливает следующая теорема.
Теорема 1. Пусть
\bigl(
n(k + 1) \times n(k + 1)
\bigr)
-матрица Qm(x) при некотором m, m \in \BbbN ,
обратима для всех x \in [0, \omega ] и выполняются следующие неравенства:
1)
\bigm\| \bigm\| [Qm(x)] - 1
\bigm\| \bigm\| \leq \gamma m(x), \gamma m(x) — положительная непрерывная по x \in [0, \omega ] функция;
2) qm(x) = \gamma m(x)
\biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}i=0,k
\bigm\| \bigm\| Si(x)\bigm\| \bigm\| +\sum k - 1
j=1
\bigm\| \bigm\| Uj(x)
\bigm\| \bigm\| \biggr) \Biggl\{ \biggl( e\alpha (x)h - 1 -
\sum m
j=1
[\alpha (x)h]j
j!
\biggr)
+
+
\sum k
i=1
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm\| \bigm\| Mi(t, x)
\bigm\| \bigm\| h\biggl[ e\alpha (x)h - 1 -
\sum m - 1
j=1
[\alpha (x)h]j
j!
\biggr] \Biggr\}
\leq \chi < 1, где \alpha (x) =
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}t\in [0,T ]
\bigm\| \bigm\| A(t, x)\bigm\| \bigm\| , h = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}r=1,k+1(tr - tr - 1), \chi - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} .
Тогда семейство краевых задач с импульсными воздействиями (9) – (11) имеет единствен-
ное решение v\ast (t, x) и справедлива оценка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 1019
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=1,k+1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [ti - 1,ti)
\bigm\| \bigm\| v\ast (t, x)\bigm\| \bigm\| \leq k(x,m)\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm\| \bigm\| F (t, x)\bigm\| \bigm\| ,\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=0,k
\bigm\| \bigm\| \varphi i(x)
\bigm\| \bigm\| \biggr) , (21)
где k(x,m) = k1(x,m) + k2(x,m),
k1(x,m) =
\gamma m(x)
1 - qm(x)
\left( \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=0,k
| | Si(x)| | +
k - 1\sum
j=1
\bigm\| \bigm\| Uj(x)
\bigm\| \bigm\| \right) \bigl[ \alpha (x)h\bigr] m
m!
k0(x,m)+
+\gamma m(x)
\left\{ 1 +
\left( \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=0,k
\bigm\| \bigm\| Si(x)\bigm\| \bigm\| + k - 1\sum
j=1
\bigm\| \bigm\| Uj(x)
\bigm\| \bigm\| \right) \right\}
m - 1\sum
j=0
\bigl[
\alpha (x)h
\bigr] j
j!
h,
k2(x,m) =
\left\{ \bigl[ e\alpha (x)h - 1
\bigr] \gamma m(x)
1 - qm(x)
\left( \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=0,k
\bigm\| \bigm\| Si(x)\bigm\| \bigm\| + k - 1\sum
j=1
\bigm\| \bigm\| Uj(x)
\bigm\| \bigm\| \right) \bigl[ \alpha (x)h\bigr] m
m!
+
+e\alpha (x)hh
k\sum
i=1
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
| | Mi(t, x)| |
\bigl[
\alpha (x)h
\bigr] m
m!
+ 1
\right\} k0(x,m),
k0(x,m) =
=
\bigl[
e\alpha (x)h - 1
\bigr]
\gamma m(x)
\left\{ 1 +
\left( \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=0,k
\bigm\| \bigm\| Si(x)\bigm\| \bigm\| + k - 1\sum
j=1
\bigm\| \bigm\| Uj(x)
\bigm\| \bigm\| \right) m - 1\sum
j=0
\bigl[
\alpha (x)h
\bigr] j
j!
h
\right\} + e\alpha (x)hh.
Доказательство теоремы 1 проводится по схеме вышеприведенного алгоритма.
Таким образом, теорема 1 дает достаточные условия существования единственного реше-
ния задачи (9) – (11) в терминах исходных данных: коэффициентной матрицы A(t, x), матриц
нагрузки Mi(t, x), граничных матриц S0(x), P0(x), матриц импульсного воздействия Pi(x),
Si(x), i = 1, k, Uj(x), j = 1, k - 1.
4. Условия сходимости алгоритма \bfscrA и основные утверждения. Условия сходимости
алгоритма \scrA , которые одновременно обеспечивают существование единственного решения
задачи (5) – (8), дает следующая теорема.
Теорема 2. Пусть
\bigl(
n(k + 1) \times n(k + 1)
\bigr)
-матрица Qm(x) при некотором m, m \in \BbbN ,
обратима для всех x \in [0, \omega ] и выполняются неравенства из пунктов 1, 2 теоремы 1.
Тогда краевая задача с параметрами (5) – (8) имеет единственное решение.
Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда по теореме 1 семейство крае-
вых задач с импульсными воздействиями (9) – (11) имеет единственное решение. Следуя ал-
горитму \scrA , будем находить решение задачи (5) – (8). Из нулевого шага алгоритма находим
решение задачи
\partial v
\partial t
= A(t, x)v +
k\sum
i=1
Mi(t, x)v(ti + 0, x) + f(t, x)+
+B(t, x) \.\psi (t) + C(t, x)\psi (t) +
k\sum
i=1
\bigl[
Li(t, x) \.\psi (ti) +Ki(t, x)\psi (ti)
\bigr]
, t \not = ti, (22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1020 А. Т. АСАНОВА, Ж. М. КАДИРБАЕВА, Э. А. БАКИРОВА
P0(x)v(0, x) + S0(x)v(T, x) = \varphi 0(x), x \in [0, \omega ], (23)
Pi(x)v(ti + 0, x) - Si(x)v(ti - 0, x) =
i - 1\sum
j=1
Uj(x)v(tj - 0, x) + \varphi i(x), i = 1, k. (24)
По предположению задача (22) – (24) имеет единственное решение v(0)(t, x) и
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=1,k+1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [ti - 1,ti)
\bigm\| \bigm\| v(0)(t, x)\bigm\| \bigm\| \leq K(x)\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| B(t, x) \.\psi (t) + C(t, x)\psi (t) +
+
k\sum
i=1
\bigl[
Li(t, x) \.\psi (ti) +Ki(t, x)\psi (ti)
\bigr]
+ f(t, x)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=0,k
\bigm\| \bigm\| \varphi i(x)
\bigm\| \bigm\| \Biggr) ,
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=1,k+1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [ti - 1,ti)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial v(0)(t, x)\partial t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm\| \bigm\| A(t, x)\bigm\| \bigm\| K(x) + 1
\biggr)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| B(t, x) \.\psi (t) +
+ C(t, x)\psi (t) +
k\sum
i=1
\bigl[
Li(t, x) \.\psi (ti) +Ki(t, x)\psi (ti)
\bigr]
+ f(t, x)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ,\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=0,k
\bigm\| \bigm\| \varphi i(x)
\bigm\| \bigm\| \Biggr) ,
где K(x) = k(x,m).
Пусть известны u(m - 1)(t, x), w(m - 1)(t, x). Тогда v(m)(t, x) находим, решая задачу (5) – (7),
где w(t, x) = w(m - 1)(t, x), u(t, x) = u(m - 1)(t, x), m = 1, 2, . . . . При найденном v(m)(t, x)
следующие приближения по u(t, x), w(t, x) определяем из соотношений (8):
u(m)(t, x) = \psi (t) +
x\int
0
v(m)(t, \xi )d\xi , w(m)(t, x) = \.\psi (t) +
x\int
0
\partial v(m)(t, \xi )
\partial t
d\xi .
Составим разности \Delta v(m)(t, x) = v(m)(t, x) - v(m - 1)(t, x), \Delta u(m)(t, x) = u(m)(t, x) - u(m - 1)(t, x),
\Delta w(m)(t, x) = w(m)(t, x) - w(m - 1)(t, x), и для них, используя однозначную разрешимость за-
дачи (9) – (11), получаем оценки
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=1,k+1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [ti - 1,ti)
\bigm\| \bigm\| \Delta v(m+1)(t, x)
\bigm\| \bigm\| , \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=1,k+1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [ti - 1,ti)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial \Delta v(m+1)(t, x)
\partial t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Biggr)
\leq
\leq K1(x)K2(x)\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=1,k+1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [ti - 1,ti)
\bigm\| \bigm\| \Delta w(m)(t, x)
\bigm\| \bigm\| , \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=1,k+1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [ti - 1,ti)
\bigm\| \bigm\| \Delta u(m)(t, x)
\bigm\| \bigm\| \Biggr) , (25)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=1,k+1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [ti - 1,ti)
\bigm\| \bigm\| \Delta w(m)(t, x)
\bigm\| \bigm\| , \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=1,k+1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [ti - 1,ti)
\bigm\| \bigm\| \Delta u(m)(t, x)
\bigm\| \bigm\| \Biggr) \leq
\leq
x\int
0
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=1,k+1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [ti - 1,ti)
\bigm\| \bigm\| \Delta v(m)(t, \xi )
\bigm\| \bigm\| , \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=1,k+1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [ti - 1,ti)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial \Delta v(m)(t, \xi )
\partial t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Biggr)
d\xi , (26)
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 1021
K1(x) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl(
K(x), \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm\| \bigm\| A(t, x)\bigm\| \bigm\| K(x) + 1
\biggr)
,
K2(x) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm\| \bigm\| B(t, x)
\bigm\| \bigm\| + \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm\| \bigm\| C(t, x)\bigm\| \bigm\| + k\sum
i=1
\biggl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm\| \bigm\| Li(t, x)
\bigm\| \bigm\| + \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm\| \bigm\| Ki(t, x)
\bigm\| \bigm\| \biggr\} .
Отсюда следует основное неравенство
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=1,k+1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [ti - 1,ti)
| | \Delta v(m+1)(t, x)| | , \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=1,k+1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [ti - 1,ti)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial \Delta v(m+1)(t, x)
\partial t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Biggr)
\leq
\leq K1(x)K2(x)
x\int
0
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=1,k+1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [ti - 1,ti)
\bigm\| \bigm\| \Delta v(m)(t, \xi )
\bigm\| \bigm\| , \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i=1,k+1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [ti - 1,ti)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial \Delta v(m)(t, \xi )
\partial t
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Biggr)
d\xi .
(27)
Из (27) следует равномерная сходимость последовательностей
\bigl\{
v(m)(t, x)
\bigr\}
,
\Biggl\{
\partial v(m)(t, x)
\partial t
\Biggr\}
в
пространстве PC
\bigl(
\Omega , \{ ti\} ki=1, R
n
\bigr)
при m \rightarrow \infty . Тогда равномерная сходимость на \Omega после-
довательностей
\bigl\{
u(m)(t, x)
\bigr\}
,
\bigl\{
w(m)(t, x)
\bigr\}
вытекает из (19). При этом предельные функции
v\ast (t, x) \in PC(\Omega , \{ ti\} ki=1, R
n),
\partial v\ast (t, x)
\partial t
\in PC
\bigl(
\Omega , \{ ti\} ki=1, R
n
\bigr)
, u\ast (t, x) \in PC
\bigl(
\Omega , \{ ti\} ki=1, R
n
\bigr)
,
w\ast (t, x) \in PC
\bigl(
\Omega , \{ ti\} ki=1, R
n
\bigr)
и тройка функций
\bigl\{
v\ast (t, x), u\ast (t, x), w\ast (t, x)
\bigr\}
является решени-
ем задачи (5) – (8).
Теорема 2 доказана.
Из теоремы 2 и эквивалентности задач (1) – (4) и (5) – (8) следует такая теорема.
Теорема 3. Пусть
\bigl(
n(k + 1) \times n(k + 1)
\bigr)
-матрица Qm(x) при некотором m, m \in \BbbN ,
обратима для всех x \in [0, \omega ] и выполняются неравенства из пунктов 1, 2 теоремы 1.
Тогда нелокальная краевая задача с импульсными воздействиями (1) – (4) имеет единствен-
ное решение.
Отметим, что корректная разрешимость задачи (1) – (4) и корректная разрешимость зада-
чи (9) – (11) эквивалентны; это утверждение можно доказать аналогично теореме 1 из [12].
Кроме того, условия теоремы 1 будут также необходимыми условиями для корректной разре-
шимости задач (9) – (11) и (1) – (4).
5. Численная реализация алгоритмов метода параметризации решения семейств кра-
евых задач (9) – (11). Как видно из алгоритма \scrA , основным пунктом решения задачи (1) – (4)
является нахождение решения семейств краевых задач с импульсным воздействием для системы
нагруженных дифференциальных уравнений (9) – (11). Если будет построено ее приближенное
или численное решение, то, используя соотношения (8), можно определить решение исходной
задачи (1) – (4). В данном пункте предложена численная реализация метода параметризации для
нахождения численных решений задачи (9) – (11). Эти результаты развивают результаты рабо-
ты [22] на семейство краевых задач для системы нагруженных дифференциальных уравнений.
Рассмотрим краевую задачу с параметрами (12) – (15). Если в представлении (17) осущест-
вить предельный переход при m\rightarrow \infty [26, с. 143], то для функции \widetilde vr(t, x) получим выражение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1022 А. Т. АСАНОВА, Ж. М. КАДИРБАЕВА, Э. А. БАКИРОВА
\widetilde vr(t, x) = Yr(t, x)
t\int
tr - 1
Y - 1
r (\tau , x)A(\tau , x)\mu r(x) d\tau +
+Yr(t, x)
t\int
tr - 1
Y - 1
r (\tau , x)
k\sum
i=1
Mi(\tau , x)\mu i+1(x) d\tau +
+Yr(t, x)
t\int
tr - 1
Y - 1
r (\tau , x)F (\tau , x) d\tau , (t, x) \in \Omega r, r = 1, k + 1. (28)
Здесь Yr(t, x) — фундаментальная матрица дифференциального уравнения
\partial \widetilde vr
\partial t
= A(t, x)\widetilde vr на \Omega r = [\theta r - 1, \theta r)\times [0, \omega ], Yr(tr - 1, x) = I, r = 1, k + 1.
Выражение (28) является решением задачи Коши (12), (13), представленным через фунда-
ментальную матрицу дифференциальной части.
Подставив правую часть (28) в краевое условие (14) и условия импульса (15) при соответ-
ствующих предельных значениях, получим следующую систему функционально-алгебраиче-
ских уравнений относительно параметров \mu r(x), r = 1, k + 1:
P0(x)\mu 1(x) + S0(x)
\left[ I + Yk+1(T, x)
T\int
tk
Y - 1
k+1(\tau , x)A(\tau , x) d\tau
\right] \mu k+1(x)+
+S0(x)Yk+1(T, x)
T\int
tk
Y - 1
k+1(\tau , x)
k\sum
i=1
Mi(\tau , x)\mu i+1(x) d\tau =
= \varphi 0(x) - S0(x)Yk+1(T, x)
T\int
tk
Y - 1
k+1(\tau , x)F (\tau , x) d\tau , x \in [0, \omega ], (29)
Pi(x)\mu i+1(x) - Si(x)
\left[ I + Yi(ti, x)
ti\int
ti - 1
Y - 1
i (\tau , x)A(\tau , x) d\tau
\right] \mu i(x) -
- Si(x)Yi(ti, x)
ti\int
ti - 1
Y - 1
i (\tau , x)
i - 1\sum
l=1
Ml(\tau , x)\mu l+1(x) d\tau -
i - 1\sum
j=1
Uj(x)\mu j+1(x) -
-
i - 1\sum
j=1
Uj(x)Yj(tj , x)
tj\int
tj - 1
Y - 1
j (\tau , x)
\Biggl[
A(\tau , x)\mu j+1(x) +
k\sum
l=1
Ml(\tau , x)\mu l+1(x)
\Biggr]
d\tau =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 1023
= \varphi i(x) + Si(x)Yi(ti, x)
ti\int
ti - 1
Y - 1
i (\tau , x)F (\tau , x) d\tau +
+
i - 1\sum
j=1
Uj(x)Yj(tj , x)
tj\int
tj - 1
Y - 1
j (\tau , x)F (\tau , x) d\tau , i = 1, k. (30)
Обозначив через Q\ast (x) матрицу, соответствующую левой части системы (29), (30) и состав-
ленную из коэффициентов при параметрах \mu r(x), r = 1, k + 1, а также введя вектор
F\ast (x) =
\Biggl(
\varphi 0(x) - S0(x)Yk+1(T, x)
T\int
tk
Y - 1
k+1(\tau , x)F (\tau , x) d\tau ,
\varphi 1(x) - S1(x)Y1(t1, x)
t1\int
t0
Y - 1
1 (\tau , x)F (\tau , x) d\tau ,
\varphi 2(x) + S2(x)Y2(t2, x)
t2\int
t1
Y - 1
2 (\tau , x)F (\tau , x) d\tau + U1(x)Y1(t1, x)
t1\int
t0
Y - 1
1 (\tau , x)F (\tau , x) d\tau , . . . ,
\varphi k(x) + Sk(x)Yk(tk, x)
tk\int
tk - 1
Y - 1
k (\tau , x)F (\tau , x) d\tau +
k - 1\sum
j=1
Uj(x)Yj(tj , x)
tj\int
tj - 1
Y - 1
j (\tau , x)F (\tau , x) d\tau
\Biggr)
,
запишем систему (29), (30) в виде
Q\ast (x)\mu (x) = - F\ast (x). (31)
Как было доказано в [22] для системы интегро-дифференциальных уравнений, аналогично
можно установить, что разрешимость краевой задачи (9) – (11) эквивалентна разрешимости сис-
темы (31). Решение системы (31) — вектор \mu \ast (x) =
\bigl(
\mu \ast 1(x), . . . , \mu
\ast
k+1(x)
\bigr)
— состоит из значений
решений исходной задачи (9) – (11) в начальных линиях областей \Omega r, т. е. \mu \ast r(x) = v\ast (tr - 1, x),
x \in [0, \omega ], r = 1, k + 1.
Если известно \mu \ast (x) = (\mu \ast 1(x), \mu
\ast
2(x), . . . , \mu
\ast
k+1(x)) — решение системы (31), то решение
краевой задачи (9) – (11) определяется равенствами
v\ast (t, x) = Yr(t, x)Y
- 1
r (tr - 1, x)\mu
\ast
r(x) + Yr(t, x)
t\int
tr - 1
Y - 1
r (\tau , x)
k\sum
i=1
Mi(\tau , x) d\tau \mu
\ast
i+1(x)+
+Yr(t, x)
t\int
tr - 1
Y - 1
r (\tau , x)F (\tau , x) d\tau , (t, x) \in \Omega r, r = 1, k + 1, (32)
v\ast (T, x) = Yk+1(T, x)
\left[ Y - 1
k (tk, x)\mu
\ast
k+1(x) +
T\int
tk
Y - 1
k+1(\tau , x) d\tau
k\sum
i=1
Mi(\tau , x)\mu
\ast
i+1(x)
\right] +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1024 А. Т. АСАНОВА, Ж. М. КАДИРБАЕВА, Э. А. БАКИРОВА
+Yk+1(T, x)
T\int
tk
Y - 1
k+1(\tau , x)F (\tau , x) d\tau . (33)
Представления (32), (33) являются аналитической формой решения семейства двухточечных
краевых задач для систем нагруженных обыкновенных дифференциальных уравнений с им-
пульсными воздействиями (9) – (11). Как видно из уравнений (29), (30), коэффициенты и правая
часть системы (31) составляются из решений семейств задач Коши
\partial z
\partial t
= A(t, x)z +Mj(t, x), z(tr - 1, x) = 0, j = 1, k, r = 1, k + 1, (34)
\partial z
\partial t
= A(t, x)z + F (t, x), z(tr - 1, x) = 0, r = 1, k + 1. (35)
Применяя метод Рунге – Кутта 4-го порядка точности для численного решения семейств задач
Коши (34), (35), строим следующий алгоритм численного решения семейства двухточечных
краевых задач для систем нагруженных обыкновенных дифференциальных уравнений с им-
пульсными воздействиями (9) – (11).
Пусть имеется разбиение 0 = t0 < t1 < t2 < . . . < tk < tk+1 = T. Каждый подынтервал
[ti - 1, ti), i = 1, k + 1, делится на Ni частей, приближенные значения коэффициентов и правой
части (31) определяются через решения матричных и векторных задач Коши методом Рунге –
Кутта 4-го порядка точности с шагом hi = (ti - ti - 1)/Ni, i = 1, k + 1, на каждом i-м интервале.
Тогда получаем следующую приближенную систему алгебраических уравнений относительно
параметров \mu (x) при значении x = \^x, \^x \in [0, \omega ]:
Q
\widetilde h
\ast (\^x)\mu (\^x) = - F\widetilde h
\ast (\^x), \mu (\^x) \in \BbbR n(k+1), \widetilde h = (h1, h2, . . . , hk+1). (36)
Решая систему алгебраических уравнений (36) при выбранном значении x = \^x, находим
\mu
\widetilde h(\^x) \in \BbbR n(k+1). Компоненты \mu
\widetilde h(\^x) = \bigl( \mu \widetilde h1(\^x), \mu \widetilde h2(\^x), . . . , \mu \widetilde hk+1(\^x)
\bigr)
\in Rn(k+1) являются значе-
ниями приближенного решения задачи (9) – (11) в начальных точках подынтервалов: v\widetilde hr(t0, \^x) =
= \mu
\widetilde h
1(\^x), v
\widetilde hr(t1, \^x) = \mu
\widetilde h
2(\^x), . . . , v
\widetilde hr(tk, \^x) = \mu
\widetilde h
k+1(\^x). Из формул (32), (33) следует, что при-
ближенные значения решения в остальных точках подынтервалов определяются через решения
задач Коши
\partial v
dt
= A(t, x)v +
k\sum
i=1
Mi(t, x)\mu
\widetilde h
i+1(x) + f(t), t \in [\theta r - 1, \theta r), r = 1, k + 1, (37)
v(tr - 1, x) = \mu
\widetilde h
r (x), r = 1, k + 1. (38)
Снова применяя метод Рунге – Кутта 4-го порядка точности для численного решения задач
Коши (37), (38), определяем численное решение задачи (9) – (11).
Для иллюстрации предложенного подхода численного решения двухточечной краевой зада-
чи для систем нагруженных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием (9) –
(11) на основе метода параметризации рассмотрим следующие примеры.
Пример 1. Рассмотрим семейство краевых задач для системы нагруженных обыкновенных
дифференциальных уравнений с импульсными воздействиями (9) – (11) при k = 2. Пусть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 1025
T = 1, t1 =
1
4
, t2 =
1
2
, A(t, x) =
\Biggl(
x x
x x
\Biggr)
, M1(t, x) =
\Biggl(
1 t
x t+ 1
\Biggr)
,
P0(x) =
\Biggl(
1 x
0 1
\Biggr)
, P1(x) =
\Biggl(
1 x+ 1
2 0
\Biggr)
, P2(x) =
\Biggl(
1 0
x 2
\Biggr)
,
\varphi 0(x) =
\Biggl(
2x2 + 3x+ 4
2
\Biggr)
, S0(x) =
\Biggl(
x 2
1 0
\Biggr)
, S1(x) =
\Biggl(
2 x
0 x+ 1
\Biggr)
,
S2(x) =
\Biggl(
1 x
0 x2
\Biggr)
, M2(t, x) =
\Biggl(
t 0
0 x
\Biggr)
, U1(x) =
\Biggl(
x 0
1 x+ 1
\Biggr)
,
\varphi 1(x) =
\Biggl(
- x2 - 15/8
- x2 - 1/2
\Biggr)
, \varphi 2(x) =
\Biggl(
- x3 - x2 - 9x/4 + 1/2
- x4 - 2x2 + 9x/4 + 7/4
\Biggr)
,
F (t, x) =
\Biggl(
- x2 - 2tx - 7t/4 - 1/16
- x3 - x2 - 2tx - 65x/16 - t - 1
\Biggr)
при (t, x) \in [0, 1/4)\times [0, 1],
F (t, x) =
\Biggl(
- xt2 - tx - x2 - 2x+ t/4 - 17/16
- xt2 - tx - x3 - x2 - 97x/16 - t - 1
\Biggr)
при (t, x) \in [1/4, 1/2)\times [0, 1],
F (t, x) =
\Biggl(
- xt2 - 2tx - x3 - 2x+ t/4 - 1/16
- xt2 - 2tx - 2x3 - 97x/16 - t - 1
\Biggr)
при (t, x) \in [1/2, 1]\times [0, 1].
В рассматриваемой задаче фундаментальной матрицей дифференциальной части является
Y (t, x) =
\biggl(
ex e2tx
- ex e2tx
\biggr)
. Дополнительные функциональные параметры \mu r(x), r = 1, 3, введем
как значения искомой функции на линиях t = ti, i = 0, 2: \mu 1(x) \^= v(0, x), \mu 2(x) \^= v
\biggl(
1
4
, x
\biggr)
,
\mu 3(x) \^= v
\biggl(
1
2
, x
\biggr)
и осуществим замену
v(t, x) = \widetilde v1(t, x) + \mu 1(x), (t, x) \in
\biggl[
0,
1
4
\biggr)
\times [0, 1],
v(t, x) = \widetilde v2(t, x) + \mu 2(x), (t, x) \in
\biggl[
1
4
,
1
2
\biggr)
\times [0, 1],
v(t, x) = \widetilde v3(t, x) + \mu 3(x), (t, x) \in
\biggl[
1
2
, 1
\biggr)
\times [0, 1].
Для функции \widetilde vr(t, x), r = 1, 3, имеют место равенства (28) с учетом данных рассматриваемого
примера.
Краевое условие и условия импульсного воздействия решения при t =
1
4
, t =
1
2
приводят к
системе (31) с соответствующим видом матрицы Q\ast (x) и правой части F\ast (x). Тогда значения
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1026 А. Т. АСАНОВА, Ж. М. КАДИРБАЕВА, Э. А. БАКИРОВА
параметров определяются следующим образом:
\mu \ast 1(x) =
\Biggl(
x
0
\Biggr)
, \mu \ast 2(x) =
\Biggl(
17/16
1 + x
\Biggr)
, \mu \ast 3(x) =
\Biggl(
3/4
x2 + 2
\Biggr)
.
Используя представления (32), (33), находим единственное решение задачи (1) – (4):
v\ast (t, x) =
\Biggl(
t+ x
0
\Biggr)
, (t, x) \in
\biggl[
0,
1
4
\biggr)
\times [0, 1],
v\ast (t, x) =
\biggl(
1 + t2
1 + x
\biggr)
, (t, x) \in
\biggl[
1
4
,
1
2
\biggr)
\times [0, 1],
v\ast (t, x) =
\Biggl(
t2 + t
x2 + 2
\Biggr)
, (t, x) \in
\biggl[
1
2
, 1
\biggr]
\times [0, \omega ].
В этом примере удалось построить фундаментальную матрицу дифференциальной части
рассматриваемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Это в совокупности
с вычисляемыми интегралами позволило построить решение задачи в явном виде на основе
алгоритма метода параметризации.
Пример 2. Пусть
A(t, x) =
\left( t x2
0
t
2
\right) ,
F (t, x) =
\left( - t2 - 2tx - 7t
4
- 1
16
- tx - t - x3 - 65x
16
- 1
\right) при (t, x) \in
\biggl[
0,
1
4
\biggr)
\times [0, 1],
F (t, x) =
\left( - tx - t3 - 3t
4
- x3 - x2 - 17
16
- 3xt
2
- 3t
2
- x3 - 65x
16
- 1
\right) при (t, x) \in
\biggl[
1
4
,
1
2
\biggr)
\times [0, 1],
F (t, x) =
\left( - tx - t3 - t2 +
t
4
- x4 - 2x2 - 1
16
- tx
2
2
- tx - 2t - x3 - 65x
16
- 1
\right) при (t, x) \in
\biggl[
1
2
, 1
\biggr]
\times [0, 1],
а остальные данные такие же, как в примере 1. Здесь матрица A(t, x) также зависит от t и по-
строить фундаментальную матрицу не удается. Используем численную реализацию алгоритма
метода параметризации. Приведем результаты численной реализации алгоритма при разбиении
интервалов [0; 0,25], [0,25; 0,5], [0,5; 1] с шагом h1 = h2 = 0,025, h3 = 0,05, соответственно,
для значений x = 0, x = 0,5, x = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 1027
При x = 0
t \widehat v1(t, x) \widehat v2(t, x) t \widehat v1(t, x) \widehat v2(t, x) t \widehat v1(t, x) \widehat v2(t, x)
0 0 0 0,25 1,0625 1 0,5 0,74999999 2
0,025 0,025 0 0,275 1,075625 1 0,55 0,8525 2
0,05 0,05 0 0,3 1,09 1 0,6 0,96 2
0,075 0,075 0 0,325 1,105625 1 0,65 1,0725 2
0,1 0,1 0 0,35 1,1225 1 0,7 1,19 2
0,125 0,125 0 0,375 1,14062499 1 0,75 1,3125 2
0,15 0,15 0 0,4 1,15999999 1 0,8 1,44 2
0,175 0,175 0 0,425 1,18062499 1 0,85 1,57250001 2
0,2 0,2 0 0,45 1,20249999 1 0,9 1,71000001 2
0,225 0,225 0 0,475 1,22562499 1 0,95 1,85250001 2
0,25 0,25 0 0,5 1,24999999 1 1 2,00000001 2
При x = 0,5
t \widehat v1(t, x) \widehat v2(t, x) t \widehat v1(t, x) \widehat v2(t, x) t \widehat v1(t, x) \widehat v2(t, x)
0 0,5 0 0,25 1,0625 1,5 0,5 0,74999999 2,25
0,025 0,525 0 0,275 1,075625 1,5 0,55 0,85249999 2,25
0,05 0,55 0 0,3 1,08999999 1,5 0,6 0,96 2,25
0,075 0,575 0 0,325 1,10562499 1,5 0,65 1,0725 2,25
0,1 0,6 0 0,35 1,12249999 1,5 0,7 1,19 2,25
0,125 0,625 0 0,375 1,14062499 1,5 0,75 1,3125 2,25
0,15 0,65 0 0,4 1,15999999 1,5 0,8 1,44 2,25
0,175 0,675 0 0,425 1,18062499 1,5 0,85 1,5725 2,25
0,2 0,7 0 0,45 1,20249999 1,5 0,9 1,71 2,25
0,225 0,725 0 0,475 1,22562499 1,5 0,95 1,85250001 2,25
0,25 0,75 0 0,5 1,24999999 1,5 1 2 2,25
При x = 1
t \widehat v1(t, x) \widehat v2(t, x) t \widehat v1(t, x) \widehat v2(t, x) t \widehat v1(t, x) \widehat v2(t, x)
0 1 0 0,25 1,0625 2 0,5 0,74999999 3
0,025 1,025 0 0,275 1,07562499 2 0,55 0,85249999 3
0,05 1,05 0 0,3 1,08999999 2 0,6 0,96 3
0,075 1,075 0 0,325 1,10562499 2 0,65 1,0725 3
0,1 1,1 0 0,35 1,12249999 2 0,7 1,19 3
0,125 1,125 0 0,375 1,14062499 2 0,75 1,3125 3
0,15 1,15 0 0,4 1,15999999 2 0,8 1,44 3
0,175 1,175 0 0,425 1,18062499 2 0,85 1,5725 3
0,2 1,2 0 0,45 1,20249999 2 0,9 1,71 3
0,225 1,225 0 0,475 1,22562499 2 0,95 1,8525 3
0,25 1,25 0 0,5 1,24999999 2 1 2 3
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1028 А. Т. АСАНОВА, Ж. М. КАДИРБАЕВА, Э. А. БАКИРОВА
Решение задачи в примере 2 имеет вид
v\ast (t, x) =
\left( t+ x
0
\right) при (t, x) \in
\biggl[
0,
1
4
\biggr)
\times [0, 1],
v\ast (t, x) =
\left( t2 + 1
x+ 1
\right) при (t, x) \in
\biggl[
1
4
,
1
2
\biggr)
\times [0, 1],
v\ast (t, x) =
\left( t2 + t
x2 + 2
\right) при (t, x) \in
\biggl[
1
2
, 1
\biggr]
\times [0, 1].
Для разности соответствующих значений точного и построенного решений задачи примера 2
справедлива оценка \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}j=1,30\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x\in [0,1]
\bigm\| \bigm\| v\ast (tj , x) - \widehat v(tj , x)\bigm\| \bigm\| < 0,00000001.
Литература
1. Rogovchenko S. P. Periodic solutions for hyperbolic impulsive systems (in Russian). – Kiev, 1988. – 20 p. – (Preprint /
Ukr. Acad. Sci. Inst. Math.; № 88.3).
2. Bainov D. D., Kamont Z., Minchev E. Monotone iterative methods for impulsive hyperbolic differential functional
equations // J. Comput. and Appl. Math. – 1996. – 70. – P. 329 – 347.
3. Perestyuk N. A., Tkach A. B. Periodic solutions for weakly nonlinear partial system with pulse influense // Ukr.
Math. J. – 1997. – 49, № 4. – P. 601 – 605.
4. Bainov D. D., Minchev E., Myshkis A. Periodic boundary value problems for impulsive hyperbolic systems //
Communs Appl. Anal. – 1997. – 1, № 4. – P. 1 – 14.
5. Liu X., Zhang S. H. A cell population model described by impulsive PDE-s, existence and numerical approximation //
Comput. Math. and Appl. – 1998. – 36, № 8. – P. 1 – 11.
6. Tkach A. B. Numerical-analytic method of finding periodic solutions for systems of partial differential equations with
pulse influence // Nonlinear Oscillations. – 2001. – 4, № 2. – P. 278 – 288.
7. Tkach A. B. Numerical-analytic method of finding periodic solutions for systems of partial integro-differential
equations with pulse influence // Nonlinear Oscillations. – 2005. – 8, № 1. – P. 123 – 131.
8. Benchohra M., Henderson J., Ntouyas S. Impulsive differential equations and inclusions. – New York; Cairo: Hindawi
Publ. Corp., 2006. – 366 p.
9. Asanova A. T. On a nonlocal boundary-value problem for systems of impulsive hyperbolic equations // Ukr. Math. J. –
2013. – 65, № 3. – P. 349 – 365.
10. Asanova A. T. Well-posed solvability of a nonlocal boundary-value problem for the systems of hyperbolic equations
with impulse effects // Ukr. Math. J. – 2015. – 67, № 3. – P. 333 – 346.
11. Asanova A. T., Dzhumabaev D. S. Unique solvability of nonlocal boundary value problems for systems of hyperbolic
equations // Different. Equat. – 2003. – 39, № 10. – P. 1414 – 1427.
12. Asanova A. T., Dzhumabaev D. S. Well-posed solvability of nonlocal boundary value problems for systems of
hyperbolic equations // Different. Equat. – 2005. – 41, № 3. – P. 352 – 363.
13. Asanova A. T., Dzhumabaev D. S. Well-posedness of nonlocal boundary value problems with integral condition for
the system of hyperbolic equations // J. Math. Anal. and Appl. – 2013. – 402, № 1. – P. 167 – 178.
14. Нахушев А. М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и
его приложении к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференц. уравнения. – 1982. – 18, № 1. –
С. 72 – 81.
15. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференц. уравнения. – 1983. – 19, № 1. –
С. 86 – 94.
16. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их применение. – М.: Наука, 2012. – 232 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 1029
17. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. – Киев:
Вища шк., 1987. – 287 с. (English transl.: Samoilenko A. M., Perestyuk N. A. Impulsive differential equations. –
Singapore: World Sci., 1995. – 290 p.).
18. Akhmetov M. U., Perestyuk N. A. Stability of periodic solutions of differential equations with impulse effect on
surfaces // Ukr. Math. J. – 1989. – 41, № 12. – P. 1596 – 1601 (in Russian).
19. Bainov D. D., Simeonov P. S. Systems with impulse effect: stability, theory and applications. – New York etc.: Halsted
Press, 1989. – 345 p.
20. Lakshmikantham V., Bainov D. D., Simeonov P. S. Theory of impulsive differential equations. – Singapore: World
Sci., 1989. – 434 p.
21. Akhmet M. U., Tleubergenova M. A., Yilmaz O. Asymptotic behavior of linear impulsive integro-differential
equations // Comput. and Math. Appl. – 2008. – 56. – P. 1071 – 1081.
22. Dzhumabaev D. S. On one approach to solve the linear boundary value problems for Fredholm integro-differential
equations // J. Comput. and Appl. Math. – 2016. – 294. – P. 342 – 357.
23. Абдуллаев В. М., Айда-Заде К. Р. О численном решении нагруженных дифференциальных уравнений // Журн.
вычислит. математики и мат. физики. – 2004. – 44, № 9. – С. 1585 – 1595.
24. Абдуллаев В. М., Айда-Заде К. Р. Численный метод решения нагруженных нелокальных граничных задач
для обыкновенных дифференциальных уравнений // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 2014. – 54,
№ 7. – С. 1096 – 1109.
25. Джумабаев Д. С. Признаки однозначной разрешимости линейной краевой задачи для обыкновенного диффе-
ренциального уравнения // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 1989. – 29, № 1. – С. 50 – 66.
26. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом простран-
стве. – М.: Наука, 1970. – 536 с.
Получено 07.04.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1755 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:03Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/04/70b38003ca1412d01a9b340f02dcfc04.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17552019-12-05T09:25:58Z On the unique solvability of a nonlocal boundary-value problem for systems of loaded hyperbolic equations with impulsive actions Об однозначной разрешимости нелокальной краевой задачи для систем нагруженных гиперболических уравнений с импульсными воздействиями Assanova, A. T. Bakirova, E. A. Kadirbayeva, Zh. M. Асанова, А. Т. Бакирова, Э. А. Кадирбаева, Ж. М. Асанова, А. Т. Бакирова, Э. А. Кадирбаева, Ж. М. We consider a nonlocal boundary-value problem with impulsive actions for a system of loaded hyperbolic equations and establish the relationship between the unique solvability of this problem and the unique solvability of a family of two-point boundary-value problems with impulse actions for the system of the loaded ordinary differential equations by method of introduction of additional functions. Sufficient conditions are obtained for the existence of a unique solution to a family two-point boundary-value problems with impulsive effects for the system of loaded ordinary differential equations by using method of parametrization. The algorithms of finding the solutions are constructed. The conditions of unique solvability of the nonlocal boundary-value problem for a system of loaded hyperbolic equations with impulsive actions are established. The numerical realization of the algorithms of the method of parametrization is proposed for the solution of the family of two-point boundary-value problems with impulsive actions for the system of the loaded ordinary differential equations. The results are illustrated by specific examples. Встановлено взаємозв’язок мiж однозначною розв’язнiстю нелокальної крайової задачi з iмпульсним впливом для системи навантажених гiперболiчних рiвнянь та однозначною розв’язнiстю сiм’ї двоточкових крайових задач з iмпульсним впливом для системи навантажених звичайних диференцiальних рiвнянь методом уведення додаткових функцiй. На основi методу параметризацiї отримано достатнi умови iснування єдиного розв’язку сiм’ї двоточкових крайових задач з iмпульсним впливом для системи навантажених звичайних диференцiальних рiвнянь та побудовано алгоритми знаходження його розв’язкiв. Встановлено умови однозначної розв’язностi нелокальної крайової задачi для системи навантажених гiперболiчних рiвнянь другого порядку з iмпульсним впливом. Запропоновано числову реалiзацiю алгоритмiв методу параметризацiї розв’язку сiм’ї двоточкових крайових задач з iмпульсним впливом для системи навантажених звичайних диференцiальних рiвнянь. Результати проiлюстровано на конкретних прикладах. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1755 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 8 (2017); 1011-1029 Український математичний журнал; Том 69 № 8 (2017); 1011-1029 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1755/737 Copyright (c) 2017 Assanova A. T.; Bakirova E. A.; Kadirbayeva Zh. M. |
| spellingShingle | Assanova, A. T. Bakirova, E. A. Kadirbayeva, Zh. M. Асанова, А. Т. Бакирова, Э. А. Кадирбаева, Ж. М. Асанова, А. Т. Бакирова, Э. А. Кадирбаева, Ж. М. On the unique solvability of a nonlocal boundary-value problem for systems of loaded hyperbolic equations with impulsive actions |
| title | On the unique solvability of a nonlocal
boundary-value problem for systems of loaded hyperbolic equations with impulsive
actions |
| title_alt | Об однозначной разрешимости нелокальной краевой задачи для систем нагруженных гиперболических уравнений с импульсными воздействиями |
| title_full | On the unique solvability of a nonlocal
boundary-value problem for systems of loaded hyperbolic equations with impulsive
actions |
| title_fullStr | On the unique solvability of a nonlocal
boundary-value problem for systems of loaded hyperbolic equations with impulsive
actions |
| title_full_unstemmed | On the unique solvability of a nonlocal
boundary-value problem for systems of loaded hyperbolic equations with impulsive
actions |
| title_short | On the unique solvability of a nonlocal
boundary-value problem for systems of loaded hyperbolic equations with impulsive
actions |
| title_sort | on the unique solvability of a nonlocal
boundary-value problem for systems of loaded hyperbolic equations with impulsive
actions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1755 |
| work_keys_str_mv | AT assanovaat ontheuniquesolvabilityofanonlocalboundaryvalueproblemforsystemsofloadedhyperbolicequationswithimpulsiveactions AT bakirovaea ontheuniquesolvabilityofanonlocalboundaryvalueproblemforsystemsofloadedhyperbolicequationswithimpulsiveactions AT kadirbayevazhm ontheuniquesolvabilityofanonlocalboundaryvalueproblemforsystemsofloadedhyperbolicequationswithimpulsiveactions AT asanovaat ontheuniquesolvabilityofanonlocalboundaryvalueproblemforsystemsofloadedhyperbolicequationswithimpulsiveactions AT bakirovaéa ontheuniquesolvabilityofanonlocalboundaryvalueproblemforsystemsofloadedhyperbolicequationswithimpulsiveactions AT kadirbaevažm ontheuniquesolvabilityofanonlocalboundaryvalueproblemforsystemsofloadedhyperbolicequationswithimpulsiveactions AT asanovaat ontheuniquesolvabilityofanonlocalboundaryvalueproblemforsystemsofloadedhyperbolicequationswithimpulsiveactions AT bakirovaéa ontheuniquesolvabilityofanonlocalboundaryvalueproblemforsystemsofloadedhyperbolicequationswithimpulsiveactions AT kadirbaevažm ontheuniquesolvabilityofanonlocalboundaryvalueproblemforsystemsofloadedhyperbolicequationswithimpulsiveactions AT assanovaat obodnoznačnojrazrešimostinelokalʹnojkraevojzadačidlâsistemnagružennyhgiperboličeskihuravnenijsimpulʹsnymivozdejstviâmi AT bakirovaea obodnoznačnojrazrešimostinelokalʹnojkraevojzadačidlâsistemnagružennyhgiperboličeskihuravnenijsimpulʹsnymivozdejstviâmi AT kadirbayevazhm obodnoznačnojrazrešimostinelokalʹnojkraevojzadačidlâsistemnagružennyhgiperboličeskihuravnenijsimpulʹsnymivozdejstviâmi AT asanovaat obodnoznačnojrazrešimostinelokalʹnojkraevojzadačidlâsistemnagružennyhgiperboličeskihuravnenijsimpulʹsnymivozdejstviâmi AT bakirovaéa obodnoznačnojrazrešimostinelokalʹnojkraevojzadačidlâsistemnagružennyhgiperboličeskihuravnenijsimpulʹsnymivozdejstviâmi AT kadirbaevažm obodnoznačnojrazrešimostinelokalʹnojkraevojzadačidlâsistemnagružennyhgiperboličeskihuravnenijsimpulʹsnymivozdejstviâmi AT asanovaat obodnoznačnojrazrešimostinelokalʹnojkraevojzadačidlâsistemnagružennyhgiperboličeskihuravnenijsimpulʹsnymivozdejstviâmi AT bakirovaéa obodnoznačnojrazrešimostinelokalʹnojkraevojzadačidlâsistemnagružennyhgiperboličeskihuravnenijsimpulʹsnymivozdejstviâmi AT kadirbaevažm obodnoznačnojrazrešimostinelokalʹnojkraevojzadačidlâsistemnagružennyhgiperboličeskihuravnenijsimpulʹsnymivozdejstviâmi |