Surface measures on Banach manifolds with uniform structure
We propose a method for the construction of associated measures on the surfaces of finite codimension embedded in a Banach manifold with uniform atlas.
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1756 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507609734316032 |
|---|---|
| author | Bogdanskii, Yu. V. Moravets’ka, E. V. Богданский, Ю. В. Моравецкая, Е. В. Богданский, Ю. В. Моравецкая, Е. В. |
| author_facet | Bogdanskii, Yu. V. Moravets’ka, E. V. Богданский, Ю. В. Моравецкая, Е. В. Богданский, Ю. В. Моравецкая, Е. В. |
| author_sort | Bogdanskii, Yu. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:25:58Z |
| description | We propose a method for the construction of associated measures on the surfaces of finite codimension embedded in a
Banach manifold with uniform atlas. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.98+515.164.17
Ю. В. Богданский, Е. В. Моравецкая
(Ин-т прикл. систем. анализа Нац. техн. ун-та Украины „КПИ им. И. Сикорского”, Киев)
ПОВЕРХНОСТНЫЕ МЕРЫ НА БАНАХОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
С РАВНОМЕРНОЙ СТРУКТУРОЙ
We propose a method for the construction of associated measures on the surfaces of finite codimension embedded in a
Banach manifold with uniform atlas.
Запропоновано метод побудови асоцiйованих мiр на поверхнях скiнченної корозмiрностi, вкладених у банахiв
многовид iз рiвномiрним атласом.
Проблема построения поверхностных мер на поверхностях, вложенных в бесконечномерное
пространство, является одной из ключевых в бесконечномерном анализе. Первые, начальные
шаги в решении данной задачи были предложены в работе [1]. В работах [2, 3] развит ап-
парат поверхностного интегрирования в пространствах Фреше. Иной подход к построению
поверхностных мер был использован в работах [4, 5].
В работе [6] предложен принципиально иной подход к построению ассоциированной меры
для замкнутой поверхности коразмерности 1. Предложенный метод применим к поверхностям,
вложенным не только в линейное пространство, но и в нелинейное многообразие. Адекватность
предложенного в работе [6] подхода подтверждается полученным на основе него вариантом
формулы Гаусса – Остроградского и возможностью переноса на бесконечномерный случай ряда
результатов классической конечномерной теории краевых задач (см. [7, 8]).
Конструкция поверхностного интегрирования реализована на банаховых многообразиях,
наделенных атласом специального вида — „равномерным атласом”. В работе [9] было замечено,
что именно на этот класс бесконечномерных многообразий возможен перенос ряда классиче-
ских конечномерных результатов. Как оказалось впоследствии, этот класс бесконечномерных
многообразий естественно возникает в стохастической дифференциальной геометрии (см. [10]).
Данная статья является логическим продолжением работы [6]. В ней предлагается метод
построения ассоциированных мер на поверхностях конечной коразмерности (не обязательно
замкнутых), вложенных в банахово многообразие M с равномерной структурой.
1. Предварительные сведения (см. [6]). Пусть M — связное хаусдорфово банахово мно-
гообразие класса C2 с модельным вещественным пространством E.
Атлас \Omega =
\bigl\{
(U\alpha , \varphi \alpha )
\bigr\}
на M называем ограниченным, если существует такое число K > 0,
что отображение склейки F\beta \alpha = \varphi \beta \circ \varphi - 1
\alpha для каждой пары карт атласа удовлетворяет условию\bigl(
x \in \varphi \alpha (U\alpha \cap U\beta )
\bigr)
=\Rightarrow
\Bigl( \bigm\| \bigm\| F \prime
\beta \alpha (x)
\bigm\| \bigm\| \leq K,
\bigm\| \bigm\| F \prime \prime
\beta \alpha (x)
\bigm\| \bigm\| \leq K
\Bigr)
. Ограниченные атласы \Omega 1 и \Omega 2
называем эквивалентными, если \Omega 1 \cup \Omega 2 снова является ограниченным атласом. Если на M
задан класс эквивалентных ограниченных атласов, то говорим, что на M задана ограниченная
структура (класса C2).
Пусть (M1,\Omega 1) и (M2,\Omega 2) — два банаховых многообразия M1 и M2 класса C2 с модельны-
ми пространствами E1 и E2 и ограниченными атласами \Omega 1 и \Omega 2 соответственно. Отображение
f : M1 \rightarrow M2 класса C2 назовем ограниченным морфизмом, если для него существует такое
число C > 0, что для любой пары карт (U,\varphi ) \in \Omega 1 и (V, \psi ) \in \Omega 2 выполнено условие\bigl(
p \in U, f(p) \in V
\bigr)
=\Rightarrow
\Bigl( \bigm\| \bigm\| (\psi \circ f \circ \varphi - 1)(k)
\bigl(
\varphi (p)
\bigr) \bigm\| \bigm\| \leq C, k = 1, 2
\Bigr)
. Естественным образом
определен ограниченный изоморфизм (M1,\Omega 1) и (M2,\Omega 2).
c\bigcirc Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Е. В. МОРАВЕЦКАЯ, 2017
1030 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ПОВЕРХНОСТНЫЕ МЕРЫ НА БАНАХОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ С РАВНОМЕРНОЙ СТРУКТУРОЙ 1031
Свойство отображения f быть ограниченным морфизмом не зависит от выбора предста-
вителей в классах эквивалентных ограниченных атласов исходных многообразий, и можно
говорить о категории банаховых многообразий класса C2 с ограниченной структурой.
Задание на M ограниченного атласа позволяет ввести на M метрику. Для кусочно-гладкой
кривой [t1, t2] \ni t \mapsto \rightarrow x(t) \in M рассматриваем всевозможные разбиения \Delta : t1 = \tau 0 < \tau 1 < . . .
. . . < \tau m = t2 отрезка параметра, при которых каждая кривая \Gamma k =
\bigl\{
x(t) | \tau k - 1 \leq t \leq \tau k
\bigr\}
лежит в области определения Uk одной из карт (Uk, \varphi k) исходного атласа. Каждому такому
разбиению \Delta сопоставляем число l(\Gamma ;\Delta ) =
\sum m
k=1
l(\Gamma k)\varphi k
\biggl(
здесь l(\Gamma k)\varphi — длина представ-
ления кривой \Gamma k в карте \varphi :
\int \tau k
\tau k - 1
\bigm\| \bigm\| (x\varphi )\prime (\tau )\bigm\| \bigm\| d\tau , x\varphi (\tau ) = \varphi
\bigl(
x(\tau )
\bigr) \biggr)
. Ограниченность атласа
приводит к корректному определению длины кривой \Gamma : L(\Gamma ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\Delta
\bigl\{
l(\Gamma ;\Delta )
\bigr\}
. Расстояние
между точками вводим как точную нижнюю грань длин всевозможных кусочно-гладких кри-
вых, соединяющих эти точки.
Полученная метрика согласована с исходной топологией. При переходе к эквивалентному
ограниченному атласу метрика заменяется на эквивалентную
\bigl(
существуют такие C1, C2 > 0,
что C1\rho 1(x, y) \leq \rho 2(x, y) \leq C2\rho 1(x, y) для любых x, y \in M
\bigr)
. Ограниченный морфизм f :
(M1,\Omega 1) \rightarrow (M2,\Omega 2) при фиксированных ограниченных атласах \Omega 1 и \Omega 2 является липшице-
вым отображением относительно метрик, порожденных этими атласами.
Фиксация ограниченного атласа позволяет ввести в касательном пространстве TpM к мно-
гообразию M норму, эквивалентную норме модельного пространства. Для \xi \in TpM поло-
жим | | | \xi | | | p = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\alpha \| \xi \varphi \alpha \| , где \{ (U\alpha , \varphi \alpha )\} — полный набор карт, для которых p \in U\alpha , а
\xi \varphi \in E — представление касательного вектора \xi в карте \varphi . При этом имеет место свойство
равномерного топологического изоморфизма пространств TpM и модельного пространства E :
\| \xi \varphi \| \leq | | | \xi | | | p \leq K\| \xi \varphi \| , где K — постоянная из определения ограниченного атласа, а \varphi —
карта в точке p \in M.
На многообразии с ограниченным атласом (M,\Omega ) корректно задание ограниченного тен-
зорного поля T класса C1. Предполагается существование числа C > 0, ограничивающего
сверху норму главной части T\alpha каждого локального представления тензора T вместе с нормой
ее производной
\bigl(
(U\alpha , \varphi \alpha ) \in \Omega ; x \in \varphi \alpha (U\alpha )
\bigr)
=\Rightarrow
\Bigl( \bigm\| \bigm\| T\alpha (x)\bigm\| \bigm\| \leq C;
\bigm\| \bigm\| T \prime
\alpha (x)
\bigm\| \bigm\| \leq C
\Bigr)
. Свойство
ограниченности тензорного поля инвариантно относительно перехода к эквивалентному огра-
ниченному атласу. Такие тензорные поля в дальнейшем называем тензорными полями клас-
са C1
b (M). Естественным образом определяем гладкие функции класса Cp
b (M), p = 0, 1, 2;
Cb(M) = C0
b (M). Кроме того, подобные обозначения будут применяться и для открытых под-
множеств U \subset M, а также без указания области определения полей. Указанный класс полей
также инвариантен относительно перехода к эквивалентному атласу.
Ограниченный атлас \Omega называем равномерным, если существует такое число r > 0, что
для любой точки p \in M существует карта (U,\varphi ) \in \Omega , для которой \varphi (U) содержит шар в E с
центром \varphi (p) радиуса r [9, 10].
Метрика на M, порожденная равномерным атласом, превращает M в полное метрическое
пространство. Если ограниченный атлас эквивалентен равномерному, то метрика, порожденная
этим атласом, также является полной. Если среди эквивалентных атласов, задающих на M огра-
ниченную структуру, есть равномерный атлас, то эту структуру будем называть равномерной.
Структуры ограниченно изоморфных многообразий одновременно равномерны или нет.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1032 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Е. В. МОРАВЕЦКАЯ
В случае равномерного атласа поток \Phi (t, x) векторного поля X класса C1
b (M) определен на
\BbbR \times M [9, с. 96]. Следовательно, данное свойство имеет место на многообразии с равномерной
структурой.
Примером банахова многообразия класса C2, допускающего равномерный атлас, является
поверхность уровня S гладкой функции F в гильбертовом пространстве. Если F принадлежит
классу C2
b в некоторой окрестности S и \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}S \| F \prime (\cdot )\| > 0, то в качестве равномерного атласа на
S можно предложить \Omega =
\bigl\{
(Ux, \varphi x) | x \in S
\bigr\}
, где \varphi x — ортогональная проекция окрестности
в S точки x на касательное пространство TxS.
Если (M1,\Omega 1) и (M2,\Omega 2) — банаховы многообразия с ограниченными атласами и модель-
ными пространствами E1 и E2, то на M1 \times M2 определен атлас \Omega 1 \times \Omega 2 :=
\bigl\{
(U \times V, \varphi \times \psi ) |
(U,\varphi ) \in \Omega 1; (V, \psi ) \in \Omega 2
\bigr\}
. Получаем многообразие с ограниченным атласом (M1 \times M2, \Omega 1 \times
\times \Omega 2) и модельным пространством E1 \dotplus E2. Если V — открытое множество в \BbbR m, то для
многообразия с ограниченным атласом (M,\Omega ) ограниченную структуру на M \times V условимся
задавать атласом \Omega \times id =
\bigl\{
(U \times V, \varphi \times id) | (U,\varphi ) \in \Omega
\bigr\}
.
2. Вложенная поверхность конечной коразмерности. Пусть в дальнейшем банахово C2-
многообразие M снабжено ограниченной структурой.
Определение 1. Подмножество S \subset M назовем (вложенной) поверхностью в M ко-
размерности m, если существуют многообразие N с ограниченной структурой, модельным
пространством которого является подпространство E1 в E коразмерности m, открытая
окрестность V нуля \vec{}0 \in \BbbR m и ограниченный изоморфизм g : N \times V \rightarrow U \subset M на открытое
подмножество U в M, при котором g
\bigl(
N \times \{ \vec{}0\}
\bigr)
= S.
Далее предполагается, что на M фиксирован ограниченный атлас, согласованный с исход-
ной равномерной структурой, а потому и соответствующая метрика.
Модельным пространством многообразия N \times V является банахово пространство E1 \dotplus \BbbR m\bigl(
с нормой \| \langle \xi ,\vec{}h\rangle \| = \| \xi \| +\| \vec{}h\|
\bigr)
, топологически изоморфное пространству E. Если V содержит
замкнутый шар Br с центром в \vec{}0 радиуса r, то для метрики \widetilde \rho , порожденной на N \times V
указанным выше атласом \Omega \times id, выполнено следующее свойство: (p, q \in N ; \vec{}v \in \partial Br) =\Rightarrow
=\Rightarrow
\Bigl( \widetilde \rho \bigl( \langle p,\vec{}v \rangle , \langle q,\vec{}0 \rangle
\bigr)
\geq r
\Bigr)
. Поскольку морфизм g - 1 : U \rightarrow N \times V липшицев относительно
метрик \rho на M и \widetilde \rho на N \times V, то существует \delta > 0, для которого выполнено свойство\bigl(
x \in S; y \in g(N \times \partial Br)
\bigr)
=\Rightarrow
\bigl(
\rho (x, y) \geq \delta
\bigr)
.
Для \varepsilon > 0 положим S - \varepsilon =
\bigl\{
x \in S | \rho (x,M \setminus U) \geq \varepsilon
\bigr\}
. Тогда существует такое \alpha > 0, что
S - \varepsilon \not = \varnothing для \varepsilon \in (0, \alpha ). Очевидно, что (S - \varepsilon )\varepsilon \subset U (здесь и в дальнейшем A\varepsilon — \varepsilon -окрестность
множества A).
N \times \{ \vec{}0 \} — борелевское множество в N \times V, а поскольку g : N \times V \rightarrow U — гомеоморфизм,
то S \in \scrB (M).
Из непрерывности функции f(x) = \rho (x,M \setminus U) и равенства S - \varepsilon = S
\bigcap \bigl\{
x | f(x) \geq \varepsilon
\bigr\}
следует, что S - \varepsilon \in \scrB (S). Кроме того, S - 1/n \nearrow S; S - \varepsilon замкнуто в M, так как S - \varepsilon = S
\bigcap \bigl\{
x |
f(x) \geq \varepsilon
\bigr\}
.
Если S — замкнутая поверхность в банаховом многообразии M с равномерной структурой,
то S - \varepsilon = S при \varepsilon \in (0, \delta ).
3. Ассоциированная форма поверхности.
Определение 2. Пусть S — поверхность в M коразмерности m; g : N \times V \rightarrow U \subset M —
ограниченный изоморфизм, определяющий вложение поверхности S в M ; \omega — дифференци-
альная m-форма класса C1
b , определенная на U (или на большем открытом подмножестве
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ПОВЕРХНОСТНЫЕ МЕРЫ НА БАНАХОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ С РАВНОМЕРНОЙ СТРУКТУРОЙ 1033
в M ). Пусть для любой точки x \in S пространство TxS является ассоциированным под-
пространством внешней формы \omega (x) в пространстве TxM
\Bigl(
иными словами, TxS =
\bigl\{
Y \in
\in TxM | iY \omega (x) = 0
\bigr\}
, где iY — внутреннее умножение внешней формы \omega (x) на вектор Y
\Bigr)
.
Дополнительно предполагаем, что для некоторого (а потому и для любого эквивалентного)
ограниченного атласа \Omega на M, подчиненного данной ограниченной структуре, выполнено сле-
дующее условие: существует такое \alpha > 0, что для каждого \varepsilon \in (0, \alpha ) существует \delta > 0,
для которого для любых x \in S - \varepsilon и карты (U,\varphi ) \in \Omega в точке x (т. е. x \in U ) для представ-
ления \omega в этой карте выполняется неравенство
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \omega \varphi
\bigl(
\varphi (x)
\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \geq \delta . Тогда форму \omega назовем
ассоциированной формой поверхности S.
Если через
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| T (p)\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
обозначить норму значения тензорного поля T в пространстве\bigl(
TpM, | | | \cdot | | | p
\bigr)
, то последнее условие в определении 2 допускает эквивалентную формулировку
\exists \alpha > 0 \forall \varepsilon \in (0, \alpha ) \exists \delta > 0 \forall x \in S - \varepsilon :
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \omega (x)\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x
\geq \delta .
Поясним существование ассоциированной формы поверхности S. Пусть g : N\times V \rightarrow g(N\times
\times V ) = U \subset M — ограниченный изоморфизм, определяющий S; W — шар радиуса r > 0
с центром в \vec{}0, компактно вложенный в V
\bigl(
W \subset V
\bigr)
; h — непрерывно дифференцируемая
функция на V, для которой h(\vec{}0 ) \not = 0, h(\vec{}v ) = 0 для \vec{}v /\in W ; P — проекция N \times V на V. Тогда
определенная на U m-форма
\bigl(
g - 1
\bigr) \ast
P \ast (h dt1 \wedge dt2 \wedge . . . \wedge dtm) удовлетворяет всем условиям
m-формы, ассоциированной с поверхностью S.
Заметим, что построенная в данном примере форма \omega является замкнутой (дополнительное
требование замкнутости ассоциированной формы естественным образом появится в дальней-
ших исследованиях).
4. Трансверсальные наборы векторных полей. Пусть S — вложенная в M поверхность
коразмерности m; g : N\times V \rightarrow U \subset M — ограниченный изоморфизм, определяющий вложение
S в M, и \omega — ассоциированная m-форма поверхности S. Рассмотрим набор определенных
на U (или на большем открытом подмножестве в M ) векторных полей \vec{}Z := \{ Z1, Z2, . . . , Zm\}
класса C1
b .
Определение 3. Набор векторных полей \vec{}Z назовем трансверсальным к S, если для каж-
дой точки x \in S выполняется неравенство \omega (\vec{}Z )(x) := \omega (Z1, . . . , Zm)(x) \not = 0, и строго
трансверсальным к S, если существует такое \alpha > 0, что для каждого \varepsilon \in (0, \alpha ) существует
\delta > 0 такое, что для любого x \in S - \varepsilon имеет место неравенство
\bigm| \bigm| \omega (\vec{}Z )(x)
\bigm| \bigm| \geq \delta .
Лемма 1. Определение трансверсальности и строгой трансверсальности к S набора век-
торных полей \vec{}Z не зависит от выбора ассоциированной формы \omega поверхности S.
Доказательство. Шаг 1. Пусть E1 — подпространство в E коразмерности m; \alpha и \beta —
две внешние формы на E, для которых E1 = \{ y \in E | iy\alpha = 0\} = \{ y \in E | iy\beta = 0\} . Докажем,
что \alpha и \beta коллинеарны.
Пусть x1, . . . , xm — линейно независимая система векторов и E = E1 \dotplus л.о.\{ x1, . . . , xm\} .
Пусть \alpha (x1, x2, . . . , xm) = c1, \beta (x1, x2, . . . , xm) = c2. Докажем равенство c1\beta - c2\alpha = 0.
Действительно, каждый вектор zk \in E представим в виде zk = yk + \lambda
(k)
1 x1 + . . . + \lambda
(k)
m xm,
yk \in E1. Поэтому
(c1\beta - c2\alpha )(z1, z2, . . . , zm) = (c1\beta - c2\alpha )
\Biggl(
y1 +
m\sum
i=1
\lambda
(1)
i xi, . . . , ym +
m\sum
i=1
\lambda
(m)
i xi
\Biggr)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1034 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Е. В. МОРАВЕЦКАЯ
= \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigl(
\lambda
(j)
i
\bigr) \bigl(
c1\beta (x1, x2, . . . , xm) - c2\alpha (x1, x2, . . . , xm)
\bigr)
= 0.
Шаг 2. Пусть \omega 1 и \omega 2 — две ассоциированные m-формы поверхности S в M. Для каждой
точки x \in S соответствующие внешние формы коллинеарны в пространстве TxM и не равны
нулю. Отсюда непосредственно следует независимость условия трансверсальности набора \vec{}Z
от выбора ассоциированной формы поверхности S.
В то же время из определения 2 ассоциированной формы поверхности следует, что для
\varepsilon \in (0, \alpha ) коэффициент коллинеарности \lambda (x) форм \omega 1 и \omega 2 в точках x \in S - \varepsilon
\bigl(
\omega 1(x) =
= \lambda (x)\omega 2(x)
\bigr)
удовлетворяет условиям \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}S - \varepsilon
\bigm| \bigm| \lambda (\cdot )\bigm| \bigm| < \infty , \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}S - \varepsilon
\bigm| \bigm| \lambda (\cdot )\bigm| \bigm| > 0, что доказывает
независимость условия строгой трансверсальности набора \vec{}Z от выбора ассоциированной фор-
мы поверхности.
Лемма 1 доказана.
Замечание 1. Нетрудно проверить, что условие ассоциированной m-формы поверхности
S и условие трансверсальности (строгой трансверсальности) набора векторных полей не из-
менится при переходе к эквивалентному ограниченному атласу, а поэтому определяется лишь
выбором ограниченной структуры.
В дальнейшем нас будут интересовать строго трансверсальные к S наборы попарно ком-
мутирующих векторных полей.
Пример 1. Приведем пример строго трансверсального к S набора попарно коммутиру-
ющих векторных полей. Пусть g : N \times V \rightarrow U \subset M — ограниченный изоморфизм, опре-
деляющий S, и шар W =
\bigl\{
\vec{}t \in \BbbR m | \| \vec{}t \| < r
\bigr\}
компактно вложен в V. Отображение h :
\vec{}s \mapsto \rightarrow 2r
\pi
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g} \| \vec{}s \|
\| \vec{}s \|
\vec{}s, \vec{}s \not = 0, h(\vec{}0 ) = \vec{}0, диффеоморфно отображает \BbbR m на W. Пусть \xi 1, . . . , \xi m —
векторные поля на W, h-связанные с полями
\partial
\partial s1
, . . . ,
\partial
\partial sm
на \BbbR m, а поля \eta 1, . . . , \eta m на V
получены продолжением полей \xi k нулем вне W. Если P : N \times V \rightarrow V — проекция на второй
сомножитель, то поля Y1, . . . , Ym на N \times V, P -связанные с полями \eta 1, . . . , \eta m, попарно ком-
мутируют и образуют строго трансверсальный набор к поверхности N \times \{ \vec{}0 \} . Искомый набор
векторных полей состоит из полей Z1, . . . , Zm, g-связанных с Y1, . . . , Ym. Заметим также, что
построенные в данном примере поля Zk являются полными.
Обозначим через \Phi X
t = \Phi X(t; \cdot ) (локальный) поток векторного поля X и положим \Phi
\vec{}Z
\vec{}t
:=
:= \Phi Z1
t1
\Phi Z2
t2
. . .\Phi Zm
tm
\bigl(
здесь \vec{}t = (t1, . . . , tm) \in \BbbR m
\bigr)
. Значение \Phi
\vec{}Z
\vec{}t
не зависит от порядка со-
множителей в силу коммутируемости векторных полей набора \vec{}Z. При этом \Phi
\vec{}Z
\vec{}t+\vec{}s
= \Phi
\vec{}Z
\vec{}t
\Phi
\vec{}Z
\vec{}s =
= \Phi
\vec{}Z
\vec{}s \Phi
\vec{}Z
\vec{}t
. Положим также \Phi
\vec{}Z
\vec{}t
A :=
\Bigl\{
\Phi
\vec{}Z
\vec{}t
(x)
\bigm| \bigm| x \in A
\Bigr\}
и \Phi
\vec{}Z
WA :=
\Bigl\{
\Phi
\vec{}Z
\vec{}t
(x)
\bigm| \bigm| \vec{}t \in W ; x \in A
\Bigr\}
.
Теорема 1. Пусть S — вложенная в M поверхность коразмерности m, g : N \times V \rightarrow U \subset
\subset M — определяющий S ограниченный изоморфизм. Пусть набор \vec{}Z = \{ Z1, . . . , Zm\} попарно
коммутирующих векторных полей класса C1
b (U) строго трансверсален к поверхности S и
\varepsilon > 0. Тогда существует окрестность W =W (\varepsilon ) нуля в \BbbR m такая, что:
1) отображение
\Phi : S - \varepsilon \times W \ni (x,\vec{}t ) \mapsto \rightarrow \Phi
\vec{}Z
\vec{}t
x \in \Phi
\vec{}Z
WS - \varepsilon (1)
определено и взаимно однозначно;
2) существует окрестность W1 нуля в \BbbR m, для которой \Phi
\vec{}Z
WS - \varepsilon \supset g(N - 2\varepsilon \times W1)
\bigl(
здесь
и далее N - \varepsilon \times \{ \vec{}0 \} := g - 1(S - \varepsilon )
\bigr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ПОВЕРХНОСТНЫЕ МЕРЫ НА БАНАХОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ С РАВНОМЕРНОЙ СТРУКТУРОЙ 1035
Доказательство. Шаг 1. Определенные на N \times V векторные поля \widetilde Zk, g-связанные с Zk,
образуют набор попарно коммутирующих полей класса C1
b (N \times V ), строго трансверсальный к
поверхности N\times \{ \vec{}0 \} = g - 1(S). В силу взаимной однозначности g, не теряя общности, можно
для удобства считать, что U = N \times V, не меняя при этом обозначения для набора векторных
полей и заменяя S на N \times \{ \vec{}0 \} .
В силу леммы 1 в качестве ассоциированной m-формы поверхности N \times \{ \vec{}0 \} можно взять
\omega (x,\vec{}t ) = dt1 \wedge dt2 \wedge . . . \wedge dtm.
Векторные поля Zk представимы в виде
Zk(x,\vec{}t ) = Qk(x,\vec{}t ) +
m\sum
j=1
\alpha j
k(x,
\vec{}t )
\partial
\partial tj
, (2)
где Qk(x,\vec{}t ) \in T(x,\vec{}t )(N \times \{ \vec{}t \} ) — горизонтальная составляющая векторного поля Zk. Поэтому
\omega (x,\vec{}t )
\bigl(
Z1(x,\vec{}t ), Z2(x,\vec{}t ), . . . , Zm(x,\vec{}t )
\bigr)
= \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigl(
\alpha j
k(x,
\vec{}t )
\bigr)
.
Поскольку форма \omega и поля Zk принадлежат классу C1
b , то функция \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigl(
\alpha j
k(x,
\vec{}t )
\bigr)
равно-
мерно непрерывна в N \times V.
Зафиксируем \varepsilon > 0. В силу условия строгой трансверсальности существует \delta > 0, для
которого при всех x \in N - \varepsilon выполнено неравенство\bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\bigl( \alpha j
k(x,
\vec{}0 )
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \geq \delta . (3)
Поэтому существует вложенный в V шар Br =
\bigl\{
\vec{}t | \| \vec{}t \| < r
\bigr\}
, для которого при всех (x,\vec{}t ) \in
\in N - \varepsilon \times Br имеет место неравенство
\bigm| \bigm| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\bigl( \alpha j
k(x,
\vec{}t )
\bigr) \bigm| \bigm| > 0.
Поскольку векторные поля Zk равномерно ограничены в N \times V, то, уменьшая, если необ-
ходимо, r > 0, обеспечиваем также выполнение условия
\bigl(
x \in N - \varepsilon \times \{ \vec{}0 \} ; \| \vec{}t \| < r
\bigr)
=\Rightarrow
=\Rightarrow
\Bigl(
\Phi
\vec{}Z
\vec{}t
x \in N \times V
\Bigr)
.
Пусть x1, x2 \in N - \varepsilon \times \{ \vec{}0 \} , s1, s2 \in Br/2 и
\Phi
\vec{}Z
\vec{}s1
x1 = \Phi
\vec{}Z
\vec{}s2
x2. (4)
Докажем, что в этом случае x1 = x2.
Из равенства (4) в силу попарной коммутируемости полей Zk следует равенство \Phi
\vec{}Z
\vec{}s x1 = x2,
где \vec{}s = \vec{}s1 - \vec{}s2 \in Br. Если \vec{}s = \vec{}0, то равенство x1 = x2 очевидно.
Пусть \{ \vec{}ek\} — канонический ортонормированный базис в \BbbR m и \| \cdot \| — соответствующая
норма. Пусть Y\vec{}h =
\sum m
k=1
hkZk, где \| \vec{}h\| = 1, и PY — вертикальная составляющая поля Y.
Поскольку поля Zk принадлежат классу C1
b , семейство функций PY\vec{}h : N \times V \ni \langle x,\vec{}t \rangle \mapsto \rightarrow
\mapsto \rightarrow PY\vec{}h
\bigl(
x,\vec{}t
\bigr)
\in \BbbR m равномерно
\bigl(
относительно \vec{}h
\bigr)
ограничено и равномерно липшицево.
Из (3) и неравенства Адамара следует неравенство
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Bigl\{ \bigm\| \bigm\| PY\vec{}h(x,\vec{}0 )\bigm\| \bigm\| \bigm| \bigm| x \in S - \varepsilon ; \| \vec{}h\| = 1
\Bigr\}
= \alpha > 0.
Тогда существует \gamma > 0 такое, что из неравенства \rho
\bigl(
\langle y,\vec{}t \rangle , \langle x,\vec{}0 \rangle
\bigr)
< \gamma (где \langle y,\vec{}t \rangle \in N \times V,
x \in N - \varepsilon ) для всех \vec{}h (\| \vec{}h\| = 1) следует оценка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1036 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Е. В. МОРАВЕЦКАЯ
\bigl(
PY\vec{}h(y,
\vec{}t ), PY\vec{}h(x,
\vec{}0 )
\bigr)
>
\alpha 2
2
. (5)
Уменьшая, если необходимо, r > 0, получаем импликацию
\bigl(
(\tau \in (0, r))
\bigr)
=\Rightarrow
\Bigl(
\rho
\Bigl(
\Phi
Y\vec{}h
\tau x,
(x,\vec{}0 )
\Bigr)
< \gamma
\Bigr)
, справедливую при всех \langle x,\vec{}h\rangle \in N - \varepsilon \times
\bigl\{
\vec{}h | \| \vec{}h\| = 1
\bigr\}
.
Возвращаясь к доказательству теоремы, полагаем \tau = \| \vec{}s \| , \vec{}h =
1
\tau
\vec{}s, Y = Y\vec{}h. Тогда
\Phi
\vec{}Z
\vec{}s x1 = \Phi Y
\tau x1. Докажем, что \Phi Y
\tau x1 /\in N \times \{ \vec{}0\} при \tau /\in (0, r).
Если
\bigl(
x(\tau ), \vec{}t (\tau )
\bigr)
— траектория поля Y,
\bigl(
x(0), \vec{}t (0)
\bigr)
= (x1,\vec{}0 ), то в силу (5) получаем
\bigl(
\vec{}t (\tau ), PY (x1,\vec{}0 )
\bigr)
=
\tau \int
0
\Bigl(
PY
\bigl(
x(\tau ),\vec{}t (\tau )
\bigr)
, PY
\bigl(
x1,\vec{}0
\bigr) \Bigr)
d\tau > \tau
\alpha 2
2
> 0.
Тем самым из равенства (4) следует равенство x1 = x2, поэтому и \vec{}s1 = \vec{}s2. Окрестность нуля
W = B r
2
удовлетворяет первому утверждению теоремы.
Шаг 2. Зафиксируем \varepsilon > 0 и x = (x0,\vec{}t0) \in N - \varepsilon \times Br и рассмотрим отображение Fx :
Vx \ni \vec{}t \mapsto \rightarrow P
\Bigl(
\Phi
\vec{}Z
\vec{}t
x
\Bigr)
\in \BbbR m (P — проекция на второй сомножитель). Здесь Vx — окрестность
\vec{}0 \in \BbbR m, для которой \Phi
\vec{}Z
\vec{}t
x \in N \times V.
В силу (2) справедливо равенство
(Fx)
\prime (\vec{}t ) =
\Bigl(
\alpha j
k
\Bigl(
\Phi
\vec{}Z
\vec{}t
x
\Bigr) \Bigr)
. (6)
Поэтому Fx \in C1
b (Vx) и существует константа C > 1, для которой\bigm\| \bigm\| (Fx)
\prime (\vec{}t )
\bigm\| \bigm\| \leq C (7)
для всех x \in N - \varepsilon \times Br и \vec{}t \in Vx. При этом Fx(\vec{}0 ) = \vec{}t0.
Согласно классической теореме о дифференцировании обратного отображения, Fx диффео-
морфно отображает некоторую окрестность U1 нуля в \BbbR m на окрестность U2 точки \vec{}t0 \in \BbbR m.
Далее, поскольку все поля Zk принадлежат классу C1
b , существует такое \gamma > 0, что
\bigl(
x0 \in
\in N - 2\varepsilon ; \| \vec{}t0\| < \gamma ; \| \vec{}t \| < \gamma
\bigr)
=\Rightarrow
\Bigl(
\Phi
\vec{}Z
\vec{}t
x \in N - \varepsilon \times V
\Bigr)
.
Снова воспользуемся равномерной непрерывностью в N \times V функции \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigl(
\alpha j
k(\cdot )
\bigr)
. Су-
ществует число p > 0 (берем p < r), для которого при всех (y,\vec{}t ) \in N - \varepsilon \times Bp выполнено
неравенство
\bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\bigl( \alpha j
k(\cdot )
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| > \delta
2
.
Если теперь взять точку x = (x0, \vec{}t0) \in N - 2\varepsilon \times Bq, где q = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl(
\gamma ,
p
2C
\Bigr)
, то при \| \vec{}t \| < q
значение \Phi
\vec{}Z
\vec{}t
x принадлежит N - \varepsilon \times Bp, поэтому (см. (6))
\bigm| \bigm| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}F \prime
x(\vec{}t )
\bigm| \bigm| > \delta
2
. (8)
Анализ доказательства теоремы об обратной функции позволяет из неравенств (7) и (8),
которые выполняются при каждом x \in N - 2\varepsilon \times Bq равномерно в окрестности нуля Bq, сделать
вывод о существовании не зависящей от x \in N - 2\varepsilon \times Bq постоянной \chi > 0, для которой
диффеоморфизм Fx : U1 \rightarrow U2 имеет свойство U2 \supset
\bigl\{
\vec{}t | \| \vec{}t - \vec{}t0\| \leq \chi
\bigr\}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ПОВЕРХНОСТНЫЕ МЕРЫ НА БАНАХОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ С РАВНОМЕРНОЙ СТРУКТУРОЙ 1037
Если теперь положить \xi = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(q, \chi ), то придем к следующему выводу: для любого x \in
\in N - 2\varepsilon \times B\xi существует \vec{}t \in B\xi \subset Br/2, при котором y = \Phi
\vec{}Z
\vec{}t
x \in N - \varepsilon \times \{ \vec{}0 \} , а следовательно,
x = \Phi
\vec{}Z
- \vec{}t
y \in \Phi
\vec{}Z
Br/2
\bigl(
N - \varepsilon \times \{ \vec{}0 \}
\bigr)
. Тем самым справедливо второе утверждение теоремы, если
положить W1 = B\xi .
Теорема 1 доказана.
Полученные в теореме 1 окрестности W и W1 нуля в \BbbR m зависят от \varepsilon > 0. Если поверх-
ность S замкнута, а многообразие M наделено равномерной структурой, то при достаточно
малых \varepsilon > 0 имеет место равенство S = S - \varepsilon . Поэтому для замкнутой поверхности S из
доказанной теоремы следует существование окрестностей W и W1 нуля в \BbbR m, для которых
определено \Phi
\vec{}Z
WS \supset g(N \times W1).
5. Поверхностные меры первого типа. Пусть S — вложенная в M поверхность ко-
размерности m и g : N \times V \rightarrow U \subset M — соответствующий ограниченный изоморфизм.
\vec{}X = \{ X1, . . . , Xm\} — строго трансверсальный к S набор попарно коммутирующих вектор-
ных полей класса C1
b (U). Пусть \mu — конечная борелевская мера, определенная на M. Задача
состоит в построении меры на S, индуцированной мерой \mu и набором полей \vec{}X. Поскольку
S - 1/n \nearrow S, то достаточно построить согласованные между собой меры на S - \varepsilon при достаточно
малых положительных \varepsilon
\bigl(
\varepsilon \in (0, \alpha )
\bigr)
.
Лемма 2. Пусть \varepsilon > 0 и отображение \Phi : S - \varepsilon \times W \rightarrow \Phi
\vec{}X
WS - \varepsilon \subset U построено в соответ-
ствии с теоремой 1 (см. (1)). Тогда существует такое p > 0, что B2p \subset W и отображение
\Psi = \Phi
\bigm| \bigm|
S - \varepsilon \times Bp
: S - \varepsilon \times Bp \rightarrow \Phi
\vec{}X
Bp
S - \varepsilon — гомеоморфизм S - \varepsilon \times Bp на замкнутое подмножество
многообразия M
\Bigl(
здесь и далее Bp =
\bigl\{
\vec{}t | \| \vec{}t \| \leq p
\bigr\}
\subset \BbbR m
\Bigr)
.
Доказательство. Берем p такое, что B2p \subset W. В силу теоремы 1 отображение \Psi взаимно
однозначно. Непрерывность отображения \Psi следует из теоремы о непрерывной зависимости
решения системы дифференциальных уравнений от начальных условий.
Пусть теперь yn = \Phi
\vec{}X
\vec{}tn
xn \rightarrow y0 = \Phi
\vec{}X
\vec{}t0
x0
\bigl(
xn, x0 \in S - \varepsilon , \vec{}tn, \vec{}t0 \in Bp
\bigr)
. Тогда последователь-
ность \vec{}tn сходится к \vec{}t0. Действительно, в противном случае существует подпоследовательность
\vec{}tnk
\rightarrow \vec{}s \not = \vec{}t0, s \in Bp, откуда следует
xnk
= \Phi
\vec{}X
- \vec{}tnk
ynk
\rightarrow \Phi
\vec{}X
- \vec{}s y0 = \Phi
\vec{}X
\vec{}t0 - \vec{}s
x0 \in S - \varepsilon
(в силу замкнутости S - \varepsilon ), что противоречит взаимной однозначности отображения \Phi .
Приведенные рассуждения доказывают также, что xn \rightarrow x0. Тем самым доказана непре-
рывность отображения \Psi - 1.
Пусть теперь yn = \Phi
\vec{}X
\vec{}tn
xn \rightarrow y0 \in M
\bigl(
\vec{}tn \in Bp; xn \in S - \varepsilon
\bigr)
. Для доказательства замкнутости
образа \Psi следует проверить, что y0 = \Phi
\vec{}X
\vec{}t0
x0, где x0 \in S - \varepsilon , \vec{}t0 \in Bp. Покажем, что, уменьшив
p, можно представить y0 в указанном виде, но при x0 \in S - \varepsilon /4. После этого из проведенных
выше рассуждений будет следовать, что x0 \in S - \varepsilon (в силу замкнутости S - \varepsilon ).
Прежде всего заметим, что \rho (S\setminus S - \varepsilon /2, S - \varepsilon ) \geq
\varepsilon
2
, поэтому в силу липшицевости морфизмов
g и g - 1 существует \beta = \beta (\varepsilon ) > 0, для которого выполнено неравенство
\rho
\Bigl(
S - \varepsilon , g
\bigl(
(N \setminus N - \varepsilon /2)\times V
\bigr) \Bigr)
\geq \beta (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1038 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Е. В. МОРАВЕЦКАЯ\biggl(
\beta =
\varepsilon
2L1L2
, где L1, L2 — соответствующие отображениям g и g - 1 константы Липшица
\biggr)
.
Поэтому существует такое \gamma > 0, что
\bigl(
\| \vec{}t \| \leq \gamma ; x \in S - \varepsilon
\bigr)
=\Rightarrow
\bigl(
\Phi
\vec{}X
\vec{}t
x \in g(N - \varepsilon /2 \times W1)
\bigr)
.
Здесь W1 — окрестность нуля в \BbbR m, существование которой обосновано в теореме 1
\biggl(
для
\varepsilon
4
\biggr)
.
Не теряя общности W1 можно считать замкнутым шаром с центром в \vec{}0. Но тогда множество
g(N - \varepsilon /2 \times W1) замкнуто в M, а в силу теоремы 1 точка y \in g(N - \varepsilon /2 \times W1) представима в
виде y = \Phi
\vec{}X
\vec{}t
x, где \| \vec{}t \| \leq \gamma , x \in S - \varepsilon /4.
Лемма 2 доказана.
Следствием является вывод\bigl(
A \in \scrB (S - \varepsilon ); B \in \scrB (Bp)
\bigr)
=\Rightarrow
\Bigl(
\Phi
\vec{}X
BA \in \scrB (U) \subset \scrB (M)
\Bigr)
.
Если \mu — конечная борелевская мера на M, то с каждым борелевским множеством A \in
\in \scrB (S - \varepsilon ) связываем меру wA на \scrB (Bp), определенную формулой
wA(B) = w
\vec{}X
A (B) = \mu
\Bigl(
\Phi
\vec{}X
BA
\Bigr)
,
а с каждым множеством B \in \scrB (Bp) связываем меру \nu B на \scrB (S - \varepsilon ), определенную равенством
\nu B(A) = wA(B) = \mu
\Bigl(
\Phi
\vec{}X
BA
\Bigr)
.
Пусть \lambda m — инвариантная мера Лебега на \BbbR m, Br =
\bigl\{
\vec{}t | \| \vec{}t \| < r
\bigr\}
\subset \BbbR m
\Bigr)
и существует
предел
dwA
d\lambda m
(\vec{}0 ) := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow 0
wA(Br)
\lambda m(Br)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow 0
1
\lambda m(Br)
\nu Br(A). (10)
Если данный предел существует для каждого A \in \scrB (S - \varepsilon ), то на основании теоремы Нико-
дима делаем вывод о том, что функция множеств \scrB (S - \varepsilon ) \ni A \mapsto \rightarrow dwA
d\lambda m
(\vec{}0 ) является конечной
борелевской мерой на S - \varepsilon .
Введем обозначение \sigma \vec{}X(A) :=
dwA
d\lambda m
(\vec{}0 ). Значение \sigma \vec{}X(A) не зависит от \varepsilon > 0, а поскольку
каждое A \in \scrB (S) представимо в виде дизъюнктного объединения A =
\infty \bigcup
n=1
A(n), где A(n) \in
\in S - \varepsilon n при некотором \varepsilon n > 0, то мера \sigma \vec{}X корректно продолжается на \scrB (S).
Определение 4. Меру \sigma \vec{}X = \sigma \vec{}X [\mu ] назовем поверхностной мерой первого типа на S\bigl(
порожденной семейством полей \vec{}X
\bigr)
.
Заметим, что если исходная мера \mu является неотрицательной, то \sigma \vec{}X также неотрицательна.
Кроме того, мера \sigma \vec{}X является конечной. В случае замкнутой поверхности S на многообразии
с равномерной структурой при достаточно малом \varepsilon > 0 имеет место равенство S = S - \varepsilon ,
откуда и следует конечность меры \sigma \vec{}X на S. Общий случай получим как следствие теоремы 2
(замечание 2).
Приведем условие, при котором для достаточно малых \varepsilon > 0 для всех A \in \scrB (S - \varepsilon ) суще-
ствует предел, определенный формулой (10).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ПОВЕРХНОСТНЫЕ МЕРЫ НА БАНАХОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ С РАВНОМЕРНОЙ СТРУКТУРОЙ 1039
Пусть \Phi X
t — поток векторного поля X класса C1
b (M). Дифференцируемость конечной бо-
релевской меры \mu вдоль поля X (в сильном смысле) предполагает существование для каждого
борелевского множества A \in \scrB (M) предела \nu (A) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow 0
1
t
\bigl(
\mu (\Phi tA) - \mu (A)
\bigr)
, откуда следует,
что \nu = dX\mu является (конечной) борелевской мерой, абсолютно непрерывной относительно
меры \mu . При этом соответствующая плотность
d\nu
d\mu
называется логарифмической производной
меры \mu относительно поля X или дивергенцией поля X (относительно меры \mu ).
Теорема 2. Пусть S — вложенная в M поверхность коразмерности m и g : N \times V \rightarrow
\rightarrow U \subset M — соответствующий ограниченный изоморфизм; \vec{}Z = \{ Z1, . . . , Zm\} — строго
трансверсальный к S набор попарно коммутирующих, определенных на U или на большем от-
крытом подмножестве M полных векторных полей класса C1
b . Более того, положим отоб-
ражение \Phi : S \times \BbbR m \ni (x,\vec{}t ) \mapsto \rightarrow \Phi
\vec{}Z
\vec{}t
x \in \Phi
\vec{}Z
\BbbR mS взаимно однозначным. Пусть \mu — конечная
борелевская мера на M и для любого монотонно возрастающего набора натуральных чисел
1 \leq k1 < k2 < . . . < ks \leq m, s \in \{ 1, 2, . . . ,m\} , существует dZk1
dZk2
. . . dZks
\mu
\bigl(
на облас-
ти определения векторных полей из набора \vec{}Z
\bigr)
. Тогда для каждого \varepsilon > 0 и A \in \scrB (S - \varepsilon )
существует предел, определенный формулой (10).
Доказательству теоремы предпошлем лемму.
Лемма 3. Пусть Z1, . . . , Zm — попарно коммутирующие полные векторные поля класса
C1
b (U), \mu — борелевская мера на M и для любого монотонно возрастающего набора нату-
ральных чисел 1 \leq k1 < k2 < . . . < ks \leq m, s \in \{ 1, 2, . . . ,m\} , существует dZk1
dZk2
. . . dZkm
\mu
(в U ). Тогда для любой подстановки \sigma степени m определена мера \nu \sigma = dZ\sigma (1)
dZ\sigma (2)
. . . dZ\sigma (m)
\mu ,
не зависящая от подстановки \sigma .
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай m = 2 и для двух коммутирующих
векторных полей X и Y из существования dX\mu , dY \mu и dY dX\mu сделать вывод о существовании
dXdY \mu и равенстве dXdY \mu = dY dX\mu .
Зафиксируем борелевское множество A \subset U и рассмотрим функцию f(t, s) = \mu (\Phi X
t \Phi Y
s A).
Непрерывность меры \mu вдоль векторных полей X и Y приводит к непрерывности функции f по
каждой из переменных. При этом непрерывность \mu вдоль поля Y означает, что \| \mu \circ \Phi Y
s - \mu \| \rightarrow
\rightarrow 0, s\rightarrow 0 (здесь \| \nu \| — вариация меры \nu ). Поэтому \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t
\bigm| \bigm| \mu (\Phi Y
s \Phi
X
t A) - \mu (\Phi X
t A)
\bigm| \bigm| \rightarrow 0, s\rightarrow 0,
и функция f непрерывна по s равномерно относительно t \in \BbbR , а значит, и по совокупности
аргументов.
Поскольку меры dX\mu , dY \mu и dY dX\mu абсолютно непрерывны относительно меры \mu , то
они также непрерывны вдоль векторных полей X и Y (случай дифференцирования мер вдоль
постоянных направлений рассмотрен в [11], в случае векторных полей рассуждение анало-
гично). Поэтому теми же рассуждениями устанавливается непрерывность по совокупности
аргументов функций
\partial f
\partial t
(t, s) = dX\mu (\Phi
X
t \Phi Y
s A),
\partial f
\partial s
(t, s) = dY \mu (\Phi
X
t \Phi Y
s A) и
\partial 2f
\partial s \partial t
(t, s) =
= dY dX\mu (\Phi
X
t \Phi Y
s A).
Теперь из тождества
f(t+\Delta t, s+\Delta s) = f(t+\Delta t, s) +
\Delta s\int
0
\partial f
\partial s
(t, s+ \beta ) d\beta +
\Delta t\int
0
d\alpha
\Delta s\int
0
\partial 2f
\partial s \partial t
(t+ \alpha , s+ \beta ) d\beta ,
меняя порядок интегрирования в последнем слагаемом, получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1040 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Е. В. МОРАВЕЦКАЯ
\partial f
\partial s
(t+\Delta t, s) =
\partial f
\partial s
(t, s) +
\Delta t\int
0
\partial 2f
\partial s \partial t
(t+ \alpha , s) d\alpha ,
откуда следует существование
\partial 2f
\partial t \partial s
и равенство
\partial 2f
\partial t \partial s
(t, s) =
\partial 2f
\partial s \partial t
(t, s), что и доказывает
лемму.
Доказательство теоремы 2. Возьмем \varepsilon > 0 и шар Bp, существование которого гаранти-
ровано леммой 2. Пусть C =
m
\times
k=1
( - \infty , 0]. Для A \in \scrB (S - \varepsilon ) положим \widehat A = \Phi
\vec{}Z
CA. Для множества
A \in \scrB (S - \varepsilon ) определим на Bp функцию f(\vec{}t ) = fA(\vec{}t ) формулой f(\vec{}t ) := \mu
\bigl(
\Phi
\vec{}Z
\vec{}t
\widehat A \bigr) . Для \vec{}t \in Bp
и для любой подстановки \sigma степени m имеет место равенство
\partial mf
\partial t\sigma (1)\partial t\sigma (2) . . . \partial t\sigma (m)
(\vec{}t ) = (dZ\sigma (1)
dZ\sigma (2)
. . . dZ\sigma (m)
\mu )
\bigl(
\Phi
\vec{}Z
\vec{}t
\widehat A \bigr) .
В силу леммы 3 указанные производные существуют и непрерывны.
Для любого борелевского множества B \in \scrB
\bigl(
Bp
\bigr)
выполнено равенство
wA(B) =
\int
B
\partial mf
\partial t1\partial t2 . . . \partial tm
d\vec{}t,
откуда в силу непрерывности функции
\partial mf
\partial t1\partial t2 . . . \partial tm
и следует утверждение теоремы
dwA
d\lambda m
(\vec{}0 ) =
\partial mf
\partial t1\partial t2 . . . \partial tm
(\vec{}0 ).
Условимся тройку (S, \vec{}Z, \mu ), удовлетворяющую условиям теоремы 2, называть далее согла-
сованной.
Заметим, что векторные поля Zk, рассмотренные в примере 1, удовлетворяют условиям,
наложенным на систему полей в теореме 2.
Заметим, что в определении согласованной тройки (S, \vec{}Z, \mu ) окрестность U поверхности
S может быть заменена сколь угодно малой окрестностью S вида g(N \times V1), где V1 \subset V —
окрестность \vec{}0 в \BbbR m.
Замечание 2. В процессе доказательства теоремы 2 было доказано, что в случае согласо-
ванной тройки \{ S, \vec{}X, \mu \} для любого \varepsilon > 0 и множества A \in \scrB (S - \varepsilon ) выполнено равенство
\sigma \vec{}X(A) = (dX1dX2 . . . dXm\mu )( \widehat A), где \widehat A = \Phi
\vec{}X
CA, C =
m
\times
k=1
( - \infty , 0]. (11)
Отсюда следует ограниченность вариации меры \sigma \vec{}X на
\bigl(
S,\scrB (S)
\bigr)
.
Определение 5. Тройку (S, \vec{}Z, \mu ), в которой строго трансверсальный к S набор попарно
коммутирующих векторных полей определен при каждом \varepsilon > 0 лишь на некоторой окрестно-
сти поверхности S - \varepsilon (требование полноты полей отсутствует), но для каждого множества
A \in \scrB (S - \varepsilon ) определен предел (10), а значит и соответствующая мера \sigma \vec{}Z [\mu ], назовем согла-
сованной в широком смысле.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ПОВЕРХНОСТНЫЕ МЕРЫ НА БАНАХОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ С РАВНОМЕРНОЙ СТРУКТУРОЙ 1041
6. Свойства поверхностных мер первого типа. Далее будем предполагать, что мера \mu
неотрицательна.
Пусть S — вложенная в M поверхность коразмерности m; g : N \times V \rightarrow U \subset M — ограни-
ченный изоморфизм, определяющий вложение S; \vec{}Z = \{ Z1, . . . , Zm\} — строго трансверсаль-
ный к S набор попарно коммутирующих полных векторных полей класса C1
b ; тройка (S, \vec{}Z, \mu )
согласована.
Пусть f — ограниченная борелевская функция на S и \varepsilon > 0, \widehat f — продолжение f первым
интегралом каждого векторного поля Zk. Заметим, что существование такого продолжения при
каждом \varepsilon > 0 на некоторую окрестность S - \varepsilon вида g(N - \varepsilon /2 \times W1) следует из теоремы 1
\Bigl(
т. е.
g(N - \varepsilon /2 \times W1) \subset \Phi
\vec{}Z
\BbbR mS
\Bigr)
.
Лемма 4. Пусть тройка (S, \vec{}Z, \mu ) согласована, функция \widehat f принадлежит классу C1
b ,\widehat f | S= f и для каждого \varepsilon > 0 функция \widehat f является первым интегралом векторных полей
Zk системы \vec{}Z в некоторой окрестности S - \varepsilon вида g(N - \varepsilon /2 \times W1), \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}S f > 0. Тогда тройка
(S, \widehat f \vec{}Z, \mu ) согласована в широком смысле и выполнено равенство
\sigma \widehat f \vec{}Z
[\mu ] = fm\sigma \vec{}Z [\mu ]. (12)
Доказательство. Зафиксируем \varepsilon > 0. Для любой ограниченной функции h, определенной
на S - \varepsilon , A \in \scrB (S - \varepsilon ), B \in \scrB (W ), где W — достаточно малая окрестность \vec{}0 \in \BbbR m, корректно
определено подмножество
\Phi
\widehat h\vec{}Z
B A :=
\Bigl\{
\Phi
\vec{}Z
h(x)\vec{}t
x
\bigm| \bigm| x \in A; \vec{}t \in B
\Bigr\}
\subset g(N - \varepsilon /2 \times W1).
Если h — кусочно-постоянная борелевская функция на S - \varepsilon , то множество \Phi
\widehat h\vec{}Z
B A является
борелевским. Действительно, пусть h =
\sum p
k=0
ckjAk
, где Ak \in \scrB (S - \varepsilon ), S - \varepsilon =
p\bigvee
k=0
Ak, c0 = 0.
Тогда \Phi
\widehat h\vec{}Z
B A =
p\bigvee
k=0
\Phi
\vec{}Z
ckB
(A \cap Ak) \in \scrB (M).
Как следует из согласованности тройки (S, \vec{}Z, \mu ), \mu (S - \varepsilon ) = 0. Поэтому
\mu (\Phi
\widehat h\vec{}Z
B A) =
p\sum
k=0
\mu
\bigl(
\Phi
\vec{}Z
ckB
(A \cap Ak)
\bigr)
=
p\sum
k=1
wA\cap Ak
(ckB),
\sigma \widehat h\vec{}Z
(A) :=
dw
\widehat h\vec{}Z
A
d\lambda m
(\vec{}0 ) :=
p\sum
k=1
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow 0
wA\cap Ak
(ckBr)
\lambda m(Br)
=
=
p\sum
k=1
cmk \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow 0
wA\cap Ak
(ckBr)
\lambda m(ckBr)
=
p\sum
k=1
cmk \sigma \vec{}Z(A \cap Ak) =
\int
A
hm d\sigma \vec{}Z .
Пусть теперь hj и gj — две последовательности простых борелевских функций на S - \varepsilon , для
которых при каждом j выполнены неравенства 0 \leq hj \leq f \leq gj , и при этом hj и gj на S - \varepsilon
равномерно сходятся к f
\bigm| \bigm|
S - \varepsilon
. Функции hj и gj равномерно ограничены, поэтому окрестность
W нуля в \BbbR m можно выбрать единой для всех функций hj и gj .
Для A \in \scrB (S - \varepsilon ) и Br \in \scrB (W ) имеют место вложения \Phi
\widehat hj
\vec{}Z
Br
(A) \subset \Phi
\widehat f \vec{}Z
Br
(A) \subset \Phi
\widehat gj \vec{}Z
Br
(A).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1042 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Е. В. МОРАВЕЦКАЯ
Зафиксируем A \in \scrB (S - \varepsilon ) и \delta > 0. Существуют j \in \BbbN , для которого выполнено неравенство\int
A
(gmj - hmj ) d\sigma \vec{}Z < \delta , (13)
и r0 > 0 такое, что при r \in (0, r0) имеют место неравенства\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
\lambda m(Br)
\mu
\Bigl(
\Phi
\widehat hj
\vec{}Z
Br
A
\Bigr)
-
\int
A
hmj d\sigma \vec{}Z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < \delta ,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
\lambda m(Br)
\mu
\Bigl(
\Phi
\widehat gj \vec{}Z
Br
A
\Bigr)
-
\int
A
gmj d\sigma \vec{}Z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < \delta . (14)
В силу неотрицательности меры \mu из неравенств
1
\lambda m(Br)
\mu
\Bigl(
\Phi
\widehat hj
\vec{}Z
Br
A
\Bigr)
\leq 1
\lambda m(Br)
\mu
\Bigl(
\Phi
\widehat f \vec{}Z
Br
A
\Bigr)
\leq 1
\lambda m(Br)
\mu
\Bigl(
\Phi
\widehat gj \vec{}Z
Br
A
\Bigr)
,
а также (13), (14) следует, что при r \in (0, r0) выполнено неравенство\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
A
fm d\sigma \vec{}Z - 1
\lambda m(Br)
\mu
\Bigl(
\Phi
\widehat f \vec{}Z
Br
A
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < 3 \delta ,
что в силу произвольности \delta > 0, \varepsilon > 0 и A \in \scrB (S - \varepsilon ) доказывает лемму.
Теорема 3. Пусть на M задан равномерный атлас \Omega , \omega — ассоциированная m-форма
поверхности S, вложенной в M ; тройки (S, \vec{}Y , \mu ) и (S, \vec{}Z, \mu ) согласованы. Пусть
\bigm| \bigm| \omega (\vec{}Z )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
S
=
=
\bigm| \bigm| \omega (\vec{}Y )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
S
. Тогда \sigma \vec{}Y = \sigma \vec{}Z .
Доказательство. Для каждой точки x \in S и любого k \in \{ 1, 2, . . . ,m\} имеет место
разложение
Zk(x) =
m\sum
j=1
\alpha j
k(x)Yj(x) +Rk(x), где Rk(x) \in TxS. (15)
Шаг 1. Рассмотрим вспомогательный набор векторных полей
Xk =
m\sum
j=1
\widehat
\alpha j
kYj (16)
\Bigl( \widehat
\alpha j
k постоянны вдоль траекторий векторных полей набора \vec{}Y и совпадают с \alpha j
k на S
\Bigr)
.
В силу теоремы 1 функции \widehat \alpha j
k, а значит и поля Xk, для каждого \varepsilon > 0 корректно опреде-
лены в некоторой окрестности S - \varepsilon вида g(N - \varepsilon /2 \times W1). При этом на S выполнено равенство\bigm| \bigm| \omega (\vec{}Y )(x)
\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| \omega (\vec{}Z )(x)
\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| \omega ( \vec{}X )(x)
\bigm| \bigm| .
Функции \alpha j
k принадлежат классу C1
b (S). Для проверки этого факта рассмотрим ограничен-
ный изоморфизм g : N \times V \rightarrow U \subset M, определяющий вложенную поверхность S, и перейдем
от полей Zk и Yk к g-связанным с ними полям \widetilde Zk и \widetilde Yk на N \times V. Эти поля принадлежат
классу C1
b (N \times V ); в каждой точке (p,\vec{}v ) \in N \times V имеет место канонический изоморфизм
T(p,\vec{}v )
\sim = TpN \dotplus \BbbR m, определяющий разложение касательного в точке (p,\vec{}v ) вектора к много-
образию N \times V на две составляющие — „горизонтальную” и „вертикальную”.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ПОВЕРХНОСТНЫЕ МЕРЫ НА БАНАХОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ С РАВНОМЕРНОЙ СТРУКТУРОЙ 1043
Вертикальные (конечномерные) и горизонтальные составляющие векторных полей \widetilde Zk и\widetilde Yk наследуют гладкость класса C1
b (N \times V ). Из разложения \widetilde Zk(y) =
\sum m
j=1
\beta jk
\widetilde Yj(y) + \widetilde Rk(y),
y \in N \times \{ \vec{}0\} , в котором вектор \widetilde Rk(y) горизонтальный, однозначно находятся функции \beta jk,
наследующие гладкость \beta jk \in C1
b
\bigl(
N \times \{ \vec{}0\}
\bigr)
. Поскольку \alpha j
k(x) = \beta jk
\bigl(
g - 1(x)
\bigr)
, то \alpha j
k \in C1
b (S).
Из теоремы о гладкой зависимости решений систем дифференциальных уравнений от на-
чальных условий следует принадлежность функций \widehat \alpha j
k классу C1
b
\bigl(
во всяком случае для каждо-
го \varepsilon > 0 на g(N - \varepsilon /2\times W1)
\bigr)
. Поэтому векторные поля Xk наследуют гладкость C1
b , а поскольку
функции \widehat \alpha j
k постоянны на траекториях полей Yk
\bigl(
а значит, на интегральных многообразиях
системы полей \vec{}Y
\bigr)
, то поля Xk также попарно коммутируют.
Шаг 2. Докажем существование меры \sigma \vec{}X на S и равенство \sigma \vec{}X = \sigma \vec{}Y .
Для x \in S - \varepsilon , B \in \scrB (W )
\bigl(
здесь W — малая окрестность \vec{}0 \in \BbbR m
\bigr)
имеет место равенство
\Phi
\vec{}X
Bx = \Phi
\vec{}Y
\alpha x(B)x, где \alpha (x) = \alpha x : \BbbR m \rightarrow \BbbR m — линейное преобразование с матрицей
\bigl(
\alpha j
k(x)
\bigr)
.
В силу исходного условия | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\alpha x| = 1 для всех x \in S - \varepsilon .
Заменим функции \alpha j
k простыми борелевскими функциями на S - \varepsilon . Тогда S - \varepsilon =
p\bigvee
k=1
Ak и
на каждом Ak модифицированная матричнозначная функция hx предполагается не зависящей
от x.
Положим Xh,k :=
\sum p
j=1
\widehat
hjkYj ,
\vec{}Xh := \{ Xh,1, . . . , Xh,m\}
\Bigl(
векторные поля Xh,k разрывны,
однако осмысленно \Phi
\vec{}Xh
\vec{}t
\Bigr)
. Тогда для каждого A \in \scrB (S - \varepsilon ), B \in \scrB (W ) получим
w
\vec{}Xh
A (B) = \mu (\Phi
\vec{}Xh
B A) =
p\sum
k=1
\mu
\bigl(
\Phi
\vec{}Y
hx(B)(A \cap Ak)
\bigr)
=
p\sum
k=1
w
\vec{}Y
A\cap Ak
\bigl(
hx(B)
\bigr)
,
\sigma \vec{}Xh
(A) :=
dw
\vec{}Xh
A
d\lambda m
(\vec{}0 ) =
p\sum
k=1
\sigma \vec{}Y (A \cap Ak)| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}hx| .
При этом
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
A
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}hx| \sigma \vec{}Y (A) \leq \sigma \vec{}Xh
(A) \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
A
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}hx| \sigma \vec{}Y (A). (17)
Для каждой функции \alpha j
k строим две последовательности простых борелевских функций
(hn)
j
k и (gn)
j
k на S - \varepsilon таким образом, что при всех k, j обе последовательности равномерно
сходятся к функции \alpha j
k на S - \varepsilon и при этом для каждого x \in S - \varepsilon имеют место вложения
hn(x)(Br) \subset \alpha (x)(Br) \subset gn(x)(Br). Тогда для каждого A \in \scrB (S - \varepsilon ) имеют место вложения
\Phi
\vec{}Xhn
Br
A \subset \Phi
\vec{}X
Br
A \subset \Phi
\vec{}Xgn
Br
A и в силу неотрицательности меры \mu неравенства
\mu
\Bigl(
\Phi
\vec{}Xhn
Br
A
\Bigr)
\leq \mu
\Bigl(
\Phi
\vec{}X
Br
A
\Bigr)
\leq \mu
\Bigl(
\Phi
\vec{}Xgn
Br
A
\Bigr)
. (18)
При этом последовательности функций
\bigm| \bigm| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}hn(\cdot )\bigm| \bigm| и
\bigm| \bigm| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} gn(\cdot )\bigm| \bigm| равномерно сходятся на S - \varepsilon к\bigm| \bigm| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\alpha (\cdot )\bigm| \bigm| \equiv 1.
Обоснуем существование указанных последовательностей. Поскольку функции \alpha j
k \in C1
b (S),
то \alpha (S - \varepsilon ) — ограниченное множество в пространстве M(m,\BbbR ). Возьмем n \in \BbbN и x \in S - \varepsilon .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1044 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Е. В. МОРАВЕЦКАЯ
Положим hn(x) =
\biggl(
1 - 1
n
\biggr)
\alpha (x), gn(x) =
\biggl(
1 +
1
n
\biggr)
\alpha (x). Тогда hn(x)(Br) \subset \alpha (x)(Br) \subset
\subset gn(x)(Br).
Матрица \alpha (x) невырождена, поэтому в M(m,\BbbR ) существует окрестность Ux точки \alpha (x),
для которой hn(x)(Br) \subset \gamma (Br) \subset gn(x)(Br) при всех \gamma \in Ux. Данная процедура применима к
каждой точке x \in S - \varepsilon . Максимальный радиус r(x) шаровой окрестности Ux непрерывно зави-
сит от матрицы \alpha (x) \in
\bigl\{
\gamma | | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \gamma | = 1
\bigr\}
, а поскольку \alpha (S - \varepsilon ) — компакт, то \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}x\in S - \varepsilon r(x) > 0.
Пусть \{ Ux1 , . . . , Uxp\} — конечное покрытие \alpha (S - \varepsilon ) окрестностями указанного вида. В силу
непрерывности отображения \alpha (\cdot ) поверхность S - \varepsilon разобьется в дизъюнктное объединение
борелевских подмножеств: S - \varepsilon =
p\bigvee
k=1
Ak, где A1 = \alpha - 1(Ux1), Ak = \alpha - 1
\biggl(
Uxk
\setminus
\bigcup
j<k
Uxj
\biggr)
,
k > 1. Полагаем hn
\bigm| \bigm|
Ak
= hn(xk), gn
\bigm| \bigm|
Ak
= gn(xk).
Зафиксируем A \in \scrB (S - \varepsilon ) и пусть последовательности hn и gn выбраны таким образом,
что для всех n \in \BbbN и x \in S - \varepsilon выполнены включения
\bigm| \bigm| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}hn(x)\bigm| \bigm| \in \biggl( 1 - 1
n
, 1 +
1
n
\biggr)
,
\bigm| \bigm| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} gn(x)\bigm| \bigm| \in \biggl( 1 - 1
n
, 1 +
1
n
\biggr)
. (19)
Тогда из неравенств (17) – (19) делаем вывод: для каждого n \in \BbbN существует такое r0 > 0, что
при всех r \in (0, r0) выполнены неравенства
- 1
n
+
\biggl(
1 - 1
n
\biggr)
\sigma \vec{}Y (A) \leq
\mu (\Phi
\vec{}X
Br
A)
\lambda m(Br)
\leq 1
n
+
\biggl(
1 +
1
n
\biggr)
\sigma \vec{}Y (A),
откуда следует существование меры \sigma \vec{}X на S и совпадение: \sigma \vec{}X = \sigma \vec{}Y .
Шаг 3. Докажем равенство мер \sigma \vec{}Z и \sigma \vec{}X на
\bigl(
S,\scrB (S)
\bigr)
. Для этого достаточно доказать
равенство \int
S
f d\sigma \vec{}Z =
\int
S
f d\sigma \vec{}X (20)
для ограниченных равномерно непрерывных на S функций.
Прежде всего заметим, что при \varepsilon > 0 для простой борелевской функции f на S выполнено
равенство \int
S - \varepsilon
f d\sigma \vec{}Z = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow 0
1
\lambda m(Br)
\int
\Phi
\vec{}Z
Br
S - \varepsilon
\widehat f d\mu . (21)
Если f — ограниченная борелевская функция на S, то для каждого \delta > 0 существует
простая борелевская функция g на S, для которой \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}S - \varepsilon
| f - g| \leq \delta . Поэтому \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Phi
\vec{}Z
Br
S - \varepsilon
\bigm| \bigm| \widehat f -
- \widehat g\bigm| \bigm| \leq \delta , \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
\lambda m(Br)
\int
\Phi
\vec{}Z
Br
S - \varepsilon
\widehat f d\mu -
\int
S - \varepsilon
f d\sigma \vec{}Z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ПОВЕРХНОСТНЫЕ МЕРЫ НА БАНАХОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ С РАВНОМЕРНОЙ СТРУКТУРОЙ 1045
\leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
\lambda m(Br)
\int
\Phi
\vec{}Z
Br
S - \varepsilon
\widehat g d\mu -
\int
S - \varepsilon
g d\sigma \vec{}Z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + \delta
1
\lambda m(Br)
\mu
\Bigl(
\Phi
\vec{}Z
Br
S - \varepsilon
\Bigr)
+ \delta \sigma \vec{}Z(S - \varepsilon ),
откуда и следует равенство (21) для ограниченной борелевской функции f.
Если теперь h — равномерно непрерывная ограниченная функция в окрестности S - \varepsilon , то
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Phi
\vec{}Z
Br
S - \varepsilon
\bigm| \bigm| h - \widehat h | S - \varepsilon
\bigm| \bigm| \rightarrow 0 при r \rightarrow 0+, поэтому из (21) получим равенство
\int
S - \varepsilon
h | S - \varepsilon d\sigma \vec{}Z = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow 0
1
\lambda m(Br)
\int
\Phi
\vec{}Z
Br
S - \varepsilon
h d\mu . (22)
Заметим, что для равномерно непрерывной функции f на S соответствующая функция\widehat f также равномерно непрерывна, а поскольку для набора векторных полей \vec{}X имеют ме-
сто аналоги формул (21) и (22), то для проверки равенства (20) достаточно для функции
h, равномерно непрерывной и ограниченной в окрестности \widetilde U поверхности S
\biggl(
точнее, в\bigcup
\varepsilon >0
g
\bigl(
N - \varepsilon /2 \times W1(\varepsilon )
\bigr) \biggr)
, доказать равенство
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0+
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow 0+
1
\lambda m(Br)
\left( \int
\Phi
\vec{}Z
Br
S - \varepsilon
h d\mu -
\int
\Phi
\vec{}X
Br
S - \varepsilon
h d\mu
\right) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0+
\left( \int
S - \varepsilon
h d\sigma \vec{}Z -
\int
S - \varepsilon
h d\sigma \vec{}X
\right) = 0.
(23)
Лемма 5. Для каждого \varepsilon > 0 существует такое \delta > 0, что для каждой точки x \in S - \varepsilon
существует карта (\widetilde U,\varphi ) исходного атласа \Omega , для которой \varphi (\widetilde U) содержит шар W =
\Bigl\{
z \in
\in E
\bigm| \bigm| \bigm\| \bigm\| \varphi (x) - z
\bigm\| \bigm\| < \delta
\Bigr\}
, и \varphi - 1(W ) \subset g(N - \varepsilon /2 \times W1).
Доказательство. Прежде всего заметим, что если карта (\widetilde U,\varphi ) такова, что \varphi (\widetilde U) содержит
шар с центром в точке \varphi (x), y \in M, \varphi (y) лежит в упомянутом шаре и C — постоянная из
определения ограниченного атласа (см. п. 1), то выполняются неравенства\bigm\| \bigm\| \varphi (x) - \varphi (y)
\bigm\| \bigm\| \leq \rho (x, y) \leq C
\bigm\| \bigm\| \varphi (x) - \varphi (y)
\bigm\| \bigm\| . (24)
Действительно, если кривая \Gamma на M есть прообраз отрезка
\bigl[
\varphi (x), \varphi (y)
\bigr]
\subset E и разбита на
участки точками xj : x = x0, x1, . . . , xk = y, то длина кривой
\bigl(
а значит, и \rho (x, y)
\bigr)
не превышает\sum k
j=1
C
\bigm\| \bigm\| \varphi (xj - 1) - \varphi (xj)
\bigm\| \bigm\| = C
\bigm\| \bigm\| \varphi (x) - \varphi (y)
\bigm\| \bigm\| .
С другой стороны, длина образа в карте \varphi любой кривой \Gamma , соединяющей точки x, y \in M
(или ее участка из области определения карты \varphi ), не меньше, чем
\bigm\| \bigm\| \varphi (x) - \varphi (y)
\bigm\| \bigm\| . Отсюда
следует неравенство
\bigm\| \bigm\| \varphi (x) - \varphi (y)
\bigm\| \bigm\| \leq \rho (x, y).
Возьмем \beta > 0 из неравенства (9). Если теперь r > 0 взято из определения равномерного
атласа, то, как следует из неравенств (24), в качестве \delta можно взять \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
r,
\beta
C
\biggr)
.
Лемма 5 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1046 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Е. В. МОРАВЕЦКАЯ
Продолжим доказательство теоремы 3.
Из (15), (16) следует равенство
Xk(x) = Zk(x) +Qk(x),
в котором поле Qk касается поверхности S; при каждом \varepsilon > 0 все три поля определены и
принадлежат классу C1
b в окрестности S - \varepsilon вида g(N - \varepsilon /2 \times W1).
Пусть \vec{}t \in \BbbR m, \vec{}t \not = \vec{}0. Рассмотрим векторные поля
X =
1
\| \vec{}t \|
m\sum
k=1
tkXk, Z =
1
\| \vec{}t \|
\sum m
k=1
tkZk и Q =
1
\| \vec{}t \|
\sum m
k=1
tkQk.
Тогда \Phi
\vec{}X
\vec{}t
x = \Phi X
\| \vec{}t \| x, \Phi
\vec{}Z
\vec{}t
x = \Phi Z
\| \vec{}t \| x.
Существует число L, которое ограничивает сверху нормы
\bigm\| \bigm\| X\varphi (\cdot )
\bigm\| \bigm\| , \bigm\| \bigm\| Z\varphi (\cdot )
\bigm\| \bigm\| , \bigm\| \bigm\| X \prime
\varphi (\cdot )
\bigm\| \bigm\| ,\bigm\| \bigm\| Z \prime
\varphi (\cdot )
\bigm\| \bigm\| во всех картах исходного атласа и при всех \vec{}t \in \BbbR m
\bigl(
\vec{}t \not = \vec{}0
\bigr)
. Тогда в силу леммы 1 из
работы [12] существуют числа K1 > 0 и \eta > 0 такие, что для любой карты исходного атласа
при | s| < \eta выполнено неравенство\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Phi X\varphi
s
\bigl(
\varphi (x)
\bigr)
- \Phi
Z\varphi
s \Phi
X\varphi - Z\varphi
s (\varphi (x)
\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq K1s
2
(если, конечно, левая часть неравенства имеет смысл).
Если теперь x \in S - \varepsilon , то поскольку поле Q касательно к S, уменьшением \eta получим
\Phi Q
s x \in S - \varepsilon /2.
Уменьшая, если необходимо, \eta > 0, в силу леммы 5 добиваемся также возможности для
каждой точки x \in S - \varepsilon и | s| < \eta поместить \Phi X
s x и \Phi Z
s \Phi
Q
s x в область определения одной
карты \varphi
\bigl(
образ которой содержит шар с центром в точке \varphi (x)
\bigr)
, что позволяет воспользоваться
неравенством (24). В результате получаем неравенство
\rho
\Bigl(
\Phi X
s x, \Phi
Z
s \Phi
Q
s x
\Bigr)
\leq CK1s
2,
откуда при r \in (0, \eta ) следует вложение
\Phi
\vec{}X
Br
S - \varepsilon \subset
\Bigl(
\Phi
\vec{}Z
Br
(S - \varepsilon /2)
\Bigr)
K2r2
, (25)
где K2 = CK1.
В силу свойства равномерной липшицевости диффеоморфизмов \Phi
\vec{}X
\vec{}t
(лемма 1 из рабо-
ты [6]) существует постоянная L > 1 такая, что при \| \vec{}t \| < r для x, y \in U имеет место
неравенство \rho
\Bigl(
\Phi
\vec{}Z
\vec{}t
x,\Phi
\vec{}Z
\vec{}t
y
\Bigr)
\leq L\rho (x, y) (если левая часть неравенства имеет смысл). Поэтому\Bigl(
\Phi
\vec{}Z
\vec{}t
S - \varepsilon
\Bigr)
K2\| \vec{}t \| 2
\subset \Phi
\vec{}Z
\vec{}t
\Bigl(
(S - \varepsilon )K\| \vec{}t \| 2
\Bigr)
при K = K2L, и из (25) следует вложение \Phi
\vec{}X
Br
S - \varepsilon \subset
\subset \Phi
\vec{}Z
Br
\Bigl(
(S - \varepsilon /2)Kr2
\Bigr)
.
При достаточно малых \gamma > 0 имеет место вложение
(S - \varepsilon /2)\gamma \subset \Phi
\vec{}Z
BC1\gamma
(S - \varepsilon /4) (26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ПОВЕРХНОСТНЫЕ МЕРЫ НА БАНАХОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ С РАВНОМЕРНОЙ СТРУКТУРОЙ 1047
(данный факт является следствием теоремы 1 (п. 2) и детализации доказательства шага 2
указанной теоремы, согласно которой делается вывод о том, что r и \xi (r) — бесконечно малые
одинакового порядка при r \rightarrow 0).
Теперь очевидное равенство \Phi
\vec{}Z
Br1+r2
= \Phi
\vec{}Z
Br1
\circ \Phi
\vec{}Z
Br2
позволяет из (25) и (26) получить
вложение
\Phi
\vec{}X
Br
S - \varepsilon \subset \Phi
\vec{}Z
Br+M1r
2
(S - \varepsilon /4), (27)
где M1 = KC1.
Аналогично получаем вложение
\Phi
\vec{}Z
Br
S - \varepsilon \subset \Phi
\vec{}X
Br+M2r
2
(S - \varepsilon /4). (28)
Из (27), (28) имеем
\Phi
\vec{}X
Br
S - \varepsilon \bigtriangleup \Phi
\vec{}Z
Br
S - \varepsilon \subset
\Bigl(
\Phi
\vec{}Z
Br+M1r
2
(S - \varepsilon /4) \setminus \Phi
\vec{}Z
Br
S - \varepsilon
\Bigr)
\cup
\Bigl(
\Phi
\vec{}X
Br+M2r
2
(S - \varepsilon /4) \setminus \Phi
\vec{}X
Br
S - \varepsilon
\Bigr)
. (29)
Перейдем к доказательству равенства (23). Возьмем \varepsilon > 0 и пусть \delta = \delta (\varepsilon ) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
\sigma \vec{}X(S \setminus
S - \varepsilon );\sigma \vec{}Z(S \setminus S - \varepsilon )
\bigr\}
. Существует r0 = r0(\varepsilon ) такое, что \Phi
\vec{}Z
Br0
S - \varepsilon \subset g(N - \varepsilon /2 \times W1), \Phi
\vec{}X
Br0
S - \varepsilon \subset
\subset g(N - \varepsilon /2 \times W1).
При r \in (0, r0) имеем оценку\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\Phi
\vec{}Z
Br
S - \varepsilon
h d\mu -
\int
\Phi
\vec{}X
Br
S - \varepsilon
h d\mu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\widetilde U | h| \mu
\Bigl(
\Phi
\vec{}X
Br
S - \varepsilon \bigtriangleup \Phi
\vec{}Z
Br
S - \varepsilon
\Bigr)
. (30)
Поскольку
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow 0
1
\lambda m(Br)
\Bigl[
\mu
\Bigl(
\Phi
\vec{}Z
Br+M1r
2
(S - \varepsilon /4) \setminus \Phi
\vec{}Z
Br
S - \varepsilon
\Bigr)
+ \mu
\Bigl(
\Phi
\vec{}X
Br+M2r
2
(S - \varepsilon /4) \setminus \Phi
\vec{}X
Br
S - \varepsilon
\Bigr) \Bigr]
=
= \sigma \vec{}Z(S - \varepsilon /4 \setminus S - \varepsilon ) + \sigma \vec{}X(S - \varepsilon /4 \setminus S - \varepsilon ) < 2\delta , (31)
то из (29) – (31) следует существование такого r1 = r1(\delta ) > 0, что при r \in (0, r1) выполнено
неравенство \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
\lambda m(Br)
\left( \int
\Phi
\vec{}Z
Br
S - \varepsilon
h d\mu -
\int
\Phi
\vec{}X
Br
S - \varepsilon
h d\mu
\right)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\widetilde U | h| 3\delta .
При предельном переходе r \rightarrow 0+ получаем неравенство\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
S - \varepsilon
h d\sigma \vec{}Z -
\int
S - \varepsilon
h d\sigma \vec{}X
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\widetilde U | h| 3\delta (\varepsilon ),
откуда и следует (23).
Теорема 3 доказана.
Замечание 3. Теорема 3 остается справедливой и в том случае, когда тройки
\bigl\{
S, \vec{}Y , \mu
\bigr\}
и\bigl\{
S, \vec{}Z, \mu
\bigr\}
согласованы в широком смысле, и при этом меры \sigma \vec{}Y и \sigma \vec{}Z конечны на S.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1048 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Е. В. МОРАВЕЦКАЯ
7. Поверхностные меры второго типа. Пусть многообразие M наделено равномерной
структурой, \omega — ассоциированная форма поверхности S, тройки
\bigl\{
S, \vec{}Y , \mu
\bigr\}
и
\bigl\{
S, \vec{}Z, \mu
\bigr\}
согла-
сованы. Тогда меры
1
| \omega (\vec{}Y )|
\bigm| \bigm|
S
\sigma \vec{}Y и
1
| \omega (\vec{}Z)|
\bigm| \bigm|
S
\sigma \vec{}Z совпадают на
\bigl(
S,\scrB (S)
\bigr)
.
Действительно, полагая для удобства | \omega (\vec{}Y )|
\bigm| \bigm|
S
= f, | \omega (\vec{}Z)|
\bigm| \bigm|
S
= g, в силу леммы 4 получаем
\sigma \vec{}Y = f\sigma \widehat f - 1/m\vec{}Y
, \sigma \vec{}Z = g\sigma \widehat g - 1/m \vec{}Z .
А поскольку | \omega
\bigl( \widehat f - 1/m\vec{}Y
\bigr)
|
\bigm| \bigm|
S
= f - 1| \omega
\bigl(
\vec{}Y
\bigr)
|
\bigm| \bigm|
S
= 1 = g - 1| \omega
\bigl(
\vec{}Z
\bigr)
|
\bigm| \bigm|
S
= | \omega
\bigl( \widehat g - 1/m \vec{}Z
\bigr)
|
\bigm| \bigm|
S
, то совпа-
дение указанных мер следует из теоремы 3 и замечания 3.
Тем самым доказана корректность следующего определения.
Определение 6. Поверхностной мерой второго типа на S, индуцированной мерой \mu и
ассоциированной формой \omega , назовем меру \mu \omega =
1
| \omega (\vec{}Z )|
\bigm| \bigm|
S
\sigma \vec{}Z , где \vec{}Z — строго трансверсальный
к S набор попарно коммутирующих векторных полей класса C1
b (M), для которого тройка
(S, \vec{}Z, \mu ) согласована.
Замечание 4. Вопрос описания класса поверхностей S \subset M, для которых для заданной
борелевской меры \mu на M существует согласованная тройка
\bigl(
S, \vec{}X, \mu
\bigr)
, остается открытым да-
же в случае банахова пространства M. Тем не менее достаточно просто решается двойственная
задача. Если S — вложенная в M поверхность конечной коразмерности m; \vec{}X — строго транс-
версальное к S семейство попарно коммутирующих векторных полей класса C1
b (U), удовле-
творяющее условиям теоремы 2; \mu — борелевская мера на M и h \in C\infty (\BbbR m), то согласованной
является тройка
\bigl(
S, \vec{}X, \mu h
\bigr)
, где мера \mu h на U определена формулой
\mu h(A) =
\int
\BbbR m
h(\vec{}t )\mu
\Bigl(
\Phi
\vec{}X
\vec{}t
(A)
\Bigr)
d\vec{}t.
Литература
1. Скороход А. В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. – М.: Наука, 1975. – 231 с.
2. Угланов А. В. Поверхностные интегралы в пространствах Фреше // Мат. сб. – 1998. – 189, № 11. – С. 139 – 157.
3. Uglanov A. V. Integration on infinite-dimensional surfaces and its applications. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.,
2000. – 262 p.
4. Bogachev V. I. Smooth measures, the Malliavin calculus and approximation in infinite dimensional spaces // Acta
Univ. carol. Math. et phys. – 1990. – 31, № 2. – P. 9 – 23.
5. Пугачев О. В. Емкости и поверхностные меры в локально выпуклых пространствах // Теория вероятностей и
ее применения. – 2008. – 53, № 1. – С. 178 – 188.
6. Богданский Ю. В. Банаховы многообразия с ограниченной структурой и формула Гаусса – Остроградского //
Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 10. – С. 1299 – 1313.
7. Богданский Ю. В., Санжаревский Я. Ю. Задача Дирихле с лапласианом по мере на гильбертовом простран-
стве // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 6. – С. 733 – 739.
8. Богданский Ю. В. Граничный оператор следа в области гильбертова пространства и характеристическое
свойство его ядра // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 11. – С. 1450 – 1460.
9. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. – М.: Мир, 1967. – 204 с.
10. Далецкий Ю. Л., Белопольская Я. И. Стохастические уравнения и дифференциальная геометрия. – Киев: Вища
шк., 1989. – 295 с.
11. Богачев В. И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. – М.; Ижевск: Регуляр. и хаот. динамика,
2008. – 544 с.
12. Богданський Ю. В. Бездивергентний варiант формули Гаусса – Остроградського на нескiнченновимiрних мно-
говидах // Наук. вiстi КПI. – 2008. – № 4. – С. 132 – 138.
Получено 04.02.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1756 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:02Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/83/93f0ae04feac16f8c45abdd800c29a83.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17562019-12-05T09:25:58Z Surface measures on Banach manifolds with uniform structure Поверхностные меры на банаховых многообразиях с равномерной структурой Bogdanskii, Yu. V. Moravets’ka, E. V. Богданский, Ю. В. Моравецкая, Е. В. Богданский, Ю. В. Моравецкая, Е. В. We propose a method for the construction of associated measures on the surfaces of finite codimension embedded in a Banach manifold with uniform atlas. Запропоновано метод побудови асоцiйованих мiр на поверхнях скiнченної корозмiрностi, вкладених у банахiв многовид iз рiвномiрним атласом. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1756 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 8 (2017); 1030-1048 Український математичний журнал; Том 69 № 8 (2017); 1030-1048 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1756/738 Copyright (c) 2017 Bogdanskii Yu. V.; Moravets’ka E. V. |
| spellingShingle | Bogdanskii, Yu. V. Moravets’ka, E. V. Богданский, Ю. В. Моравецкая, Е. В. Богданский, Ю. В. Моравецкая, Е. В. Surface measures on Banach manifolds with uniform structure |
| title | Surface measures on Banach manifolds with uniform
structure |
| title_alt | Поверхностные меры на банаховых многообразиях с
равномерной структурой |
| title_full | Surface measures on Banach manifolds with uniform
structure |
| title_fullStr | Surface measures on Banach manifolds with uniform
structure |
| title_full_unstemmed | Surface measures on Banach manifolds with uniform
structure |
| title_short | Surface measures on Banach manifolds with uniform
structure |
| title_sort | surface measures on banach manifolds with uniform
structure |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1756 |
| work_keys_str_mv | AT bogdanskiiyuv surfacemeasuresonbanachmanifoldswithuniformstructure AT moravetskaev surfacemeasuresonbanachmanifoldswithuniformstructure AT bogdanskijûv surfacemeasuresonbanachmanifoldswithuniformstructure AT moraveckaâev surfacemeasuresonbanachmanifoldswithuniformstructure AT bogdanskijûv surfacemeasuresonbanachmanifoldswithuniformstructure AT moraveckaâev surfacemeasuresonbanachmanifoldswithuniformstructure AT bogdanskiiyuv poverhnostnyemerynabanahovyhmnogoobraziâhsravnomernojstrukturoj AT moravetskaev poverhnostnyemerynabanahovyhmnogoobraziâhsravnomernojstrukturoj AT bogdanskijûv poverhnostnyemerynabanahovyhmnogoobraziâhsravnomernojstrukturoj AT moraveckaâev poverhnostnyemerynabanahovyhmnogoobraziâhsravnomernojstrukturoj AT bogdanskijûv poverhnostnyemerynabanahovyhmnogoobraziâhsravnomernojstrukturoj AT moraveckaâev poverhnostnyemerynabanahovyhmnogoobraziâhsravnomernojstrukturoj |