Exact values of the best (α, β) -approximations of classes of convolutions with kernels that do not increase the number of sign changes
We obtain the exact values of the best $(\alpha , \beta )$-approximations of the classes $K \ast F$ of periodic functions $K \ast f$ such that $f$ belongs to a given rearrangement-invariant set $F$ and $K$ is $2\pi$ -periodic kernel that do not increase the number of sign changes by the subspaces...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1759 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507615465832448 |
|---|---|
| author | Parfinovych, N. V. Парфинович, Н. В. Парфинович, Н. В. |
| author_facet | Parfinovych, N. V. Парфинович, Н. В. Парфинович, Н. В. |
| author_sort | Parfinovych, N. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:25:58Z |
| description | We obtain the exact values of the best $(\alpha , \beta )$-approximations of the classes $K \ast F$ of periodic functions $K \ast f$ such that
$f$ belongs to a given rearrangement-invariant set $F$ and $K$ is $2\pi$ -periodic kernel that do not increase the number of sign
changes by the subspaces of generalized polynomial splines with nodes at the points $2k\pi /n$ and $2k\pi /n + h, n \in N, k \in Z, h \in (0, 2\pi /n)$. It is shown that these subspaces are extremal for the Kolmogorov widths of the corresponding
functional classes. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Н. В. Парфiнович (Днiпропетр. нац. ун-т iм. О. Гончара)
ТОЧНI ЗНАЧЕННЯ НАЙКРАЩИХ (\bfitalpha , \bfitbeta )-НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ ЗГОРТОК
З ЯДРАМИ, ЩО НЕ ЗБIЛЬШУЮТЬ ЧИСЛО ЗМIН ЗНАКА
We obtain the exact values of the best (\alpha , \beta )-approximations of the classes K \ast F of periodic functions K \ast f such that
f belongs to a given rearrangement-invariant set F and K is 2\pi -periodic kernel that do not increase the number of sign
changes by the subspaces of generalized polynomial splines with nodes at the points 2k\pi /n and 2k\pi /n + h, n \in \BbbN ,
k \in \BbbZ , h \in (0, 2\pi /n). It is shown that these subspaces are extremal for the Kolmogorov widths of the corresponding
functional classes.
Найдены точные значения наилучших (\alpha , \beta )-приближений классов K \ast F периодических функций K \ast f таких,
что f принадлежит заданному перестановочно-инвариантному множеству F, а K является 2\pi -периодическим
ядром, не увеличивающим число перемен знака, подпространствами обобщенных полиномиальных сплайнов с
узлами в точках 2k\pi /n и 2k\pi /n+ h, n \in \BbbN , k \in \BbbZ , h \in (0, 2\pi /n). Показано, что эти подпространства являются
экстремальными для поперечников по Колмогорову соответствующих функциональных классов.
1. Основнi означення i постановка задач. Нехай C i Lp, 1 \leq p \leq \infty , — простори 2\pi -
перiодичних функцiй f : \BbbR \rightarrow \BbbR iз вiдповiдними нормами \| \cdot \| C i \| \cdot \| Lp = \| \cdot \| p, p\prime = p/(p - 1).
Для f \in Lp i чисел \alpha , \beta \geq 0 покладемо
\| f\| p;\alpha ,\beta = \| \alpha f+ + \beta f - \| p,
де
f\pm (x) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \pm f(x), 0\} .
Якщо H — скiнченновимiрний пiдпростiр Lp i \alpha , \beta > 0, то величину
E(f,H)p;\alpha ,\beta := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
h\in H
\| f - h\| p;\alpha ,\beta (1)
назвемо найкращим (\alpha , \beta )-наближенням функцiї f пiдпростором H у метрицi Lp.
Задача найкращого (\alpha , \beta )-наближення класу функцiй M \subset Lp полягає в тому, щоб знайти
величину
E(M,H)p;\alpha ,\beta = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in M
E(f,H)p;\alpha ,\beta . (2)
Зафiксуємо множину H \subset Lp. Функцiї f \in Lp поставимо у вiдповiднiсть пiдмножини
H+
f =
\bigl\{
u(t) : u \in H,u(t) \leq f(t), 0 \leq t \leq 2\pi
\bigr\}
,
H -
f =
\bigl\{
u(t) : u \in H,u(t) \geq f(t), 0 \leq t \leq 2\pi
\bigr\}
.
Величини
E\pm (f,H)p :=
\left\{ \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\| f - u\| p : u \in H\pm
f
\bigr\}
, H\pm
f \not = \varnothing ,
\infty , H\pm
f = \varnothing ,
i
E\pm (M,H)p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in M
E\pm (f,H)p
c\bigcirc Н. В. ПАРФIНОВИЧ, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8 1073
1074 Н. В. ПАРФIНОВИЧ
називаються найкращим наближенням знизу (+) i зверху ( - ) функцiї f \in Lp i класу M \subset Lp
вiдповiдно.
Покладаючи у формулах (1) i (2) \alpha = \beta = 1, отримуємо найкращi Lp-наближення без
обмежень (позначення E(f,H)p i E(M,H)p), а спрямовуючи \alpha або \beta до +\infty , — найкраще
наближення зверху або знизу (див. [1], теорема 2) вiдповiдно функцiї f i класу M. Отже, сiм’я
задач найкращого (\alpha , \beta )-наближення „iнтерполює” задачi найкращого i найкращого односто-
роннього наближень та дозволяє розглядати їх iз загальної точки зору. У зв’язку з цiєю влас-
тивiстю нижче будемо припускати для \alpha або \beta значення +\infty , тобто будемо ототожнювати
у цих випадках найкращi (\alpha , \beta )-наближення з найкращими одностороннiми наближеннями.
Зазначимо, що вивчення задач найкращого (\alpha , \beta )-наближення при \alpha , \beta < \infty має, звичайно, i
самостiйний iнтерес.
Позначимо через T2n - 1, n = 1, 2, . . . , простiр тригонометричних полiномiв порядку не
вищого n - 1.
Згортку K \ast \varphi функцiї K \in L1 i \varphi \in L1 означимо рiвнiстю
(K \ast \varphi )(x) =
2\pi \int
0
K(x - t)\varphi (t) dt.
Для ядра K покладемо
M(K) =
\left\{ m \in \BbbZ : \^Km = (2\pi ) - 1
2\pi \int
0
K(t)e - imt dt = 0
\right\}
i будемо далi вважати, що M(K) — порожня або скiнченна множина. Якщо M \in \BbbZ — скiнченна
центрально-симетрична множина, то через T (M) позначимо лiнiйний простiр тригонометрич-
них полiномiв вигляду
T (x) =
\sum
m\in M
cmeimx, c - m = \=cm\bigl(
якщо M = \varnothing , то T (M) \equiv 0
\bigr)
. Якщо ж M = \{ - (n - 1), . . . , - 1, 0, 1, . . . , n - 1\} , то T (M) =
= T2n - 1.
Нехай задано ядро K i множину F \subset L1. Через K \ast F позначимо клас функцiй вигляду
f(x) = T + (K \ast \varphi )(x), T \in T (M(K)), \varphi \in F, \varphi \bot T (M(K)). (3)
У подальшому ми розглядаємо задачi наближення для класiв типу K\ast F, частинними випадками
яких є рiзнi важливi для теорiї наближень класи функцiй. Для ядра K покладемо \mu = \mu (K) = 0,
якщо 0 /\in M(K), i \mu = \mu (K) = 1, якщо 0 \in M(K).
Наведемо приклади конкретних ядер i функцiональних класiв.
Нехай
Br(x) = \pi - 1
\infty \sum
m=1
m - r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (mx - \pi r/2), r = 1, 2, . . . ,
— ядра Бернуллi.
Якщо F \subset L1, то Br\ast F = W rF — клас функцiй, що мають локально абсолютно неперервну
похiдну f (r - 1) (f (r - 1) \in ACloc) i такi, що f (r) \in F. Зазначимо, що якщо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ТОЧНI ЗНАЧЕННЯ НАЙКРАЩИХ (\alpha , \beta )-НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ ЗГОРТОК . . . 1075
F = W 0
p =
\bigl\{
f \in Lp : \| f\| p \leq 1
\bigr\}
,
то Br \ast F = W r
p — стандартний для теорiї наближень клас Соболєва.
Неперервне на (0, 2\pi ) i таке, що не є тригонометричним полiномом, ядро K будемо називати
CV D-ядром (i писати K \in CV D), якщо \nu (a\mu + K \ast \varphi ) \leq \nu (\varphi ) \forall \varphi \in C, \varphi \bot \mu , a \in \BbbR (тут
i скрiзь нижче \nu (g) — число змiн знака на перiодi 2\pi -перiодичної функцiї g). Очевидно, що
Br \in CV D. Ряд питань теорiї CV D-ядер викладено у [7, 15].
Нехай \Delta \in (0, 2\pi ]. Якщо для будь-яких \varphi \in C, \varphi \bot T (M) i T \in T (M) таких, що T +K \ast \varphi
має нулi в кожному iнтервалi довжини \Delta , виконується нерiвнiсть \nu (T +K \ast \varphi ) \leq \nu (\varphi ), то ядро
K будемо називати CV D[\Delta ]-ядром i писати K \in CV D[\Delta ]. Зауважимо, що якщо K \in CV D,
то K \in CV D[\Delta ] для будь-якого \Delta \in (0, 2\pi ].
Нехай \scrP r — алгебраїчний полiном степеня r = 1, 2, . . . з дiйсними коефiцiєнтами. Покла-
демо
B(\scrP r;x) = (2\pi ) - 1
\infty \sum
m= - \infty
\prime
eimx/\scrP r(im)\Bigl(
пiдсумовування в
\sum \prime
ведеться по таких m, для яких \scrP r(im) \not = 0
\Bigr)
.
Якщо F \subset L1, то
B(\scrP r; \cdot ) \ast F = W (\scrP r;F )
— клас функцiй f \in C таких, що f (r - 1) \in ACloc i \scrP r(d/dx)f \in F. Якщо всi коренi \scrP r дiйснi,
то B(\scrP r; \cdot ) \in CV D. Якщо це не так, то знайдеться \Delta \in (0, 2\pi ], для якого B(\scrP r; \cdot ) \in CV D[\Delta ].
Ядра (h > 0)
Ah(x) = (2\pi ) - 1
\infty \sum
m= - \infty
eimx/ch(mh),
Gh(x) = (2\pi ) - 1
\infty \sum
m= - \infty
eimx - m2h
є \delta -видними (при h \rightarrow 0) CV D-ядрами.
Позначимо через S1
2n,r, n, r \in \BbbN , простори 2\pi -перiодичних полiномiальних сплайнiв по-
рядку r дефекту 1 iз вузлами j\pi /n, j \in \BbbZ , через S2
2n,r, n, r \in \BbbN , простори 2\pi -перiодичних
полiномiальних сплайнiв порядку r дефекту 2 з вузлами tj = 2j\pi /n, j \in \BbbZ , i, нарештi, для
h \in
\biggl(
0,
2\pi
n
\biggr)
через S1
2n,r(h) простори 2\pi -перiодичних полiномiальних сплайнiв порядку r
дефекту 1 з вузлами
2j\pi
n
i
2j\pi
n
+ h, j \in Z.
Для невiд’ємної функцiї f \in L1 через r(f, t) позначимо незростаючу перестановку (див.
[8, c. 130]) звуження f на [0, 2\pi ]. Для довiльної функцiї g iз L1 покладемо (див. [10, c. 99])
\Pi (g, t) := r(g+, t) - r(g - , 2\pi - t).
Множину F \subset L1 назвемо \Pi -iнварiантною, якщо з f \in F i \Pi (g) = \Pi (f) випливає, що g \in F.
Зазначимо, що \Pi -iнварiантною є одинична куля в довiльному вкладеному в L1 симетрич-
ному просторi 2\pi -перiодичних функцiй [12], зокрема у просторах Lp, 1 \leq p \leq \infty , та Орлi-
ча [11], а також iншi важливi множини (див., наприклад, [2]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1076 Н. В. ПАРФIНОВИЧ
Нехай \varphi \lambda ,m(\alpha , \beta ; t), \alpha , \beta > 0, \lambda > 0, m \in \BbbN , — 2\pi /\lambda -перiодичний iнтеграл порядку m з
нульовим середнiм значенням на перiодi вiд парної 2\pi /\lambda -перiодичної функцiї \varphi \lambda ,0(\alpha , \beta ; t), яка
для t \in
\Bigl[
0,
\pi
\lambda
\Bigr)
визначається так:
\varphi \lambda ,0(\alpha , \beta ; t) =
\left\{
\alpha , 0 \leq t \leq \pi \beta
\lambda (\alpha + \beta )
,
- \beta ,
\pi \beta
\lambda (\alpha + \beta )
< t \leq \pi
\lambda
.
Для \alpha = \beta = 1 замiсть \varphi \lambda ,m(\alpha , \beta ; t) будемо писати \varphi \lambda ,m(t). У випадку \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \alpha , \beta \} = \infty
покладаємо
\bigl(
K \ast \varphi n,0(1,\infty )
\bigr)
(x) =
2\pi \int
0
K(t) dt - 2\pi
n
n - 1\sum
m=0
K(x - 2m\pi /n).
Зрозумiло, що при \beta \rightarrow \infty \bigm\| \bigm\| K \ast \varphi n,0(1, \beta )\pm
\bigm\| \bigm\|
\infty \rightarrow
\bigm\| \bigm\| K \ast \varphi n,0(1,\infty )\pm
\bigm\| \bigm\|
\infty .
2. Деякi вiдомi результати. Нехай n, r \in \BbbN , m \in M \cup \{ 0\} , 1 \leq p \leq \infty , H є T2n - 1, S
1
2n,m,
m \geq r - 1, S2
2n,m, m \geq r, або S1
2n,m(h), m \geq r, 0 < h <
2\pi
n
. Тодi
E(W r
p , H)1 = \| \varphi n,r\| p\prime , (4)
d2n - 1(W
r
p , L1) = d2n(W
r
p , L1) = \| \varphi n,r\| p\prime , (5)
i, отже, пiдпростори T2n - 1 є екстремальними для поперечникiв d2n - 1(W
r
p , L1) i d2n(W r
p , L1),
а пiдпростори S1
2n,m, m \geq r - 1, S2
2n,m, m \geq r, S1
2n,m(h), m \geq r, 0 < h <
2\pi
n
, — для
поперечникiв d2n(W
r
p , L1).
Для H = T2n - 1 рiвнiсть (4) при p = 1 отримав С. М. Нiкольський [19], для p > 1 —
Л. В. Тайков [20], при p = \infty незалежно та iншим методом — С. П. Туровець [25]. Для
H = S1
2n,m, m \geq r - 1, рiвнiсть (4) одержав А. А. Лiгун [13], а для H = S2
2n,m, m \geq r, i
S1
2n,m(h), m \geq r, 0 < h <
2\pi
n
, її одержали В. Ф. Бабенко i Н. В. Парфiнович [5, 6].
Оцiнку знизу для непарних поперечникiв при p = 1 встановили незалежно Ю. I. Мако-
воз [16] i Ю. М. Субботiн [23, 24], а при p = \infty — Ю. I. Маковоз [17]. Оцiнка знизу для
парних поперечникiв при p = 1,\infty належить В. I. Рубану (див., наприклад, [8], розд. 10). Для
1 < p < \infty спiввiдношення (5) незалежно i рiзними методами отримали А. О Лiгун [14],
Ю. I. Маковоз [18] та А. Пiнкус [21].
Подальшi дослiдження в цьому напрямку полягають у наступному. Нехай n = 1, 2, . . . ,
r = 0, 1, . . . , \Delta \in (0, 2\pi ], \alpha , \beta \in (0,\infty ]. Нехай також K є CV D[\Delta ]-ядром, F — переставно
iнварiантною пiдмножиною в L1 i H є T2n - 1 або K \ast S1
2n,r. Тодi якщо n \geq 2\pi
\Delta
настiльки
велике, що H \supset T
\bigl(
M(K)
\bigr)
, то
E(K \ast F,H)1;\alpha ,\beta = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in F
\varphi \bot \mu
2\pi \int
0
\Pi (\varphi , t)\Pi
\bigl(
K( - \cdot ) \ast \varphi n,0(\alpha , \beta ; \cdot ); t
\bigr)
dt. (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ТОЧНI ЗНАЧЕННЯ НАЙКРАЩИХ (\alpha , \beta )-НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ ЗГОРТОК . . . 1077
Зокрема, якщо K \in CV D, то рiвнiсть (6) є правильною при всiх n.
Для K \in CV D справджується також рiвнiсть
d2n - 1(K \ast F,L1) = d2n(K \ast F,L1) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in F
\varphi \bot \mu
2\pi \int
0
\Pi (\varphi , t)\Pi
\bigl(
K( - \cdot ) \ast \varphi n,0(t)
\bigr)
dt. (7)
При цьому простори T2n - 1 є екстремальними для поперечникiв d2n - 1(K \ast F,L1) i d2n(K \ast
\ast F,L1), а простори K \ast S1
2n,r, r = 0, 1, . . . , — для поперечникiв d2n(K \ast F,L1).
У випадку F = W 0
p результат (7) належить А. Пiнкусу [22], а у випадку довiльної \Pi -
iнварiантної множини F — В. Ф. Бабенку [4].
3. Основнi результати. У данiй роботi ми розглядаємо наближення класiв K \ast F узагаль-
неними сплайнами K \ast S1
2n,r(h), 0 < h <
2\pi
n
, r \in \BbbN .
Теорема 1. Нехай n, r \in \BbbN , h \in (0, 2\pi /n), \Delta \in (0, 2\pi ], \alpha , \beta \in (0;\infty ]. Нехай також
K \in CV D[\Delta ], F — \Pi -iнварiантна пiдмножина в L1. Тодi якщо n \geq 2\pi /\Delta настiльки велике,
що K \ast S1
2n,r(h) \supset T (M(K)), то
E
\bigl(
K \ast F ;K \ast S1
2n,r(h)
\bigr)
1;\alpha ,\beta
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
f\bot \mu
2\pi \int
0
\Pi (K( - \cdot ) \ast \varphi n,0(\alpha , \beta ; t)\Pi (f ; t) dt. (8)
Зокрема, якщо K \in CV D, то рiвнiсть (8) справджується для всiх n.
Зiставляючи рiвностi (7) i (8) при K \in CV D, \alpha = \beta = 1, бачимо, що пiдпростори
K \ast S1
2n,r(h) є екстремальними для поперечникiв d2n(K \ast F,L1).
4. Допомiжнi результати. Далi покладаємо tj =
2\pi
\biggl[
j
2
\biggr]
n
+
\bigl(
1 - ( - 1)j
\Bigr) h
2
, j \in \BbbZ .
Лема 1. Нехай r, n \in \BbbN , K \in L1, g \in L1, h \in (0,
2\pi
n
), g\bot K \ast S1
2n,r(h). Тодi:
1) g\bot T (M(K) \cup \{ 0\} ) i, зокрема, (Bk \ast K( - \cdot ) \ast g)(k) = K( - \cdot ) \ast g для всiх k = 1, 2, . . . ;
2) iснує полiном Tg \in T (M(K) \cup \{ 0\} ) такий, що для j = 1, 2, . . . , 2n\bigl(
Br+1 \ast K( - \cdot ) \ast g(tj)
\bigr)
- Tg(tj) = 0.
Ця лема пояснює змiст ортогональностi пiдпростору K \ast S1
2n,r(h) i узагальнює вiдоме [10]
(лема 9.2.1) твердження про функцiї, ортогональнi S1
2n,r. Доведення леми аналогiчне доведенню
результата В. Ф. Бабенка для пiдпросторiв K \ast S1
2n,r [3] (див. також [4]).
Лема 2. Нехай \Delta \in (0; 2\pi ], n, r \in \BbbN , n \geq 2\pi
\Delta
, \alpha , \beta \in (0,\infty ), K \in CV D[\Delta ]. Тодi для
2\pi
n
-перiодичної функцiї Br+1 \ast K( - \cdot ) \ast \varphi n,0(\alpha , \beta ; \cdot ) iснують числа a < b < a+
2\pi
n
такi, що на
iнтервалах (a, b) i
\Bigl(
b, a+
2\pi
n
\Bigr)
вона є строго монотонною.
Лему доведено в [4].
Теорема 2. Нехай n, r \in \BbbN , \alpha , \beta \in (0,+\infty ], \Delta \in (0, 2\pi ], h \in
\Bigl(
0,
2\pi
n
\Bigr)
. Нехай також
K \in CV D[\Delta ], g\bot K \ast S1
2n,r(h) i \| g\| \infty ;\alpha - 1,\beta - 1 \leq 1. Тодi якщо n \geq 2\pi
\Delta
настiльки велике, що
T (M) \subset K \ast S1
2n,r(h), то знайдеться полiном T \in (T (M) \cup \{ 0\} ) такий, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1078 Н. В. ПАРФIНОВИЧ\bigm\| \bigm\| (Br - k+1 \ast K( - \cdot ) \ast g - T (k))\pm
\bigm\| \bigm\|
\infty \leq
\leq
\bigm\| \bigm\| (Br - k+1 \ast K( - \cdot ) \ast \varphi n,0(\alpha , \beta ; \cdot ))\pm
\bigm\| \bigm\|
\infty , k = 1, . . . , r, (9)\bigm\| \bigm\| (K( - \cdot ) \ast g - T )\pm
\bigm\| \bigm\|
\infty \leq
\bigm\| \bigm\| (K( - \cdot ) \ast \varphi n,0(\alpha , \beta ; \cdot ))\pm
\bigm\| \bigm\|
\infty . (10)
Доведення. Нехай \widetilde \varphi (t) = Br+1 \ast K( - \cdot ) \ast \varphi n,0(\alpha , \beta ; t + \mu ) + \eta , де \mu i \eta вибрано так, щоб\widetilde \varphi (tj) = 0, j \in \BbbZ . Припустимо спочатку, що \alpha , \beta < \infty . Покажемо, що для всiх t \in \BbbR \bigm| \bigm| (Br+1 \ast K( - \cdot ) \ast g)(t) - Tg(t)
\bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| \widetilde \varphi (t)\bigm| \bigm| , (11)
де Tg — полiном iз леми 1.
Припустимо, що \widetilde \varphi (t) > 0 для t \in (tj , tj+1) i в цьому iнтервалi не виконується нерiвнiсть
(Br+1 \ast K( - \cdot ) \ast g)(t) - Tg(t) \leq \widetilde \varphi (t)
(решта випадкiв розглядаються аналогiчно).
Нехай t\ast \in (tj , tj+1) таке, що (Br+1 \ast K( - \cdot ) \ast g - Tg)(t
\ast ) > \widetilde \varphi (t\ast ). Виберемо 0 < \lambda < 1
так, щоб \lambda (Br+1 \ast K( - \cdot ) \ast g - Tg)(t
\ast ) = \widetilde \varphi (t\ast ). Тодi рiзниця
\delta (t) = \lambda (Br+1 \ast K( - \cdot ) \ast g - Tg)(t) - \widetilde \varphi (t)
дорiвнює нулю в точцi t\ast , i, оскiльки \delta (tj) = 0, j \in \BbbZ , то \delta (t) має на перiодi бiльше 2n нулiв i
нуль в кожному iнтервалi довжини \Delta . Для будь-якого тригонометричного полiнома T рiзницю
\delta (t) - T можна записати у виглядi
\delta (t) - T = \eta - \lambda Tg(t) - T1 +Br+1 \ast K( - \cdot )[\lambda g - \varphi n,0(\alpha , \beta ; \cdot + \mu ) - T2](t),
де T1 \in T (M(K) \cup \{ 0\} ) i T2\bot T
\bigl(
M(K) \cup \{ 0\}
\bigr)
такi, що
\lambda g - \varphi n,0(\alpha , \beta ; \cdot )\bot T (M(K) \cup \{ 0\} )
i, крiм того, - \beta \lambda < g(t) < \alpha \lambda для всiх t.
Полiном T можна, очевидно, вибрати так, щоб \nu (\delta (t) - T ) > 2n, \delta (t) - T мала в кожному
iнтервалi довжини \Delta змiну знака i для всiх t виконувалось
- \beta \lambda 1 < \lambda g(t) - T2(x) < \alpha \lambda 1, \lambda < \lambda 1 < 1.
Нехай \delta h(t) — функцiя Стєклова з кроком h функцiї f, тодi
\delta h(t) = (\eta - \lambda Tg - T1)h(t) +Br+1 \ast K( - \cdot )(\lambda g - \varphi n,0(\alpha , \beta ; \cdot + \mu ) - T2)h(t).
Якщо h достатньо мале, то \delta h(t) має бiльше 2n змiн знака на перiодi i змiнює знак у кожному
промiжку довжини \Delta . При цьому
\bigl(
\eta - \lambda Tg - T1
\bigr)
h
\in T
\bigl(
M(K)\cup \{ 0\}
\bigr)
, (\lambda g - \varphi n,0(\alpha , \beta ; \cdot +\mu ) -
- T2)h\bot T (M(K) \cup \{ 0\} ), \nu
\bigl(
(\lambda g - \varphi n,0(\alpha , \beta ; \cdot + \mu ) - T2)h
\bigr)
= 2n, i ми отримали суперечнiсть з
тим, що Br+1 \ast K( - \cdot ) \in CV D[\Delta ].
Нехай далi \widetilde g(t) = (Br+1 \ast K( - \cdot ) \ast g - Tg)(t). Припустимо, що \widetilde \varphi (t) < 0 для t \in (t2i, t2i+1),
i \in \BbbZ . Нехай tmax \in (0, 2\pi ) i tmin \in (0, 2\pi ) такi, що \widetilde g\prime (tmax) = \| \widetilde g\prime +\| \infty i \widetilde g\prime (tmin) = - \| \widetilde g\prime - \| \infty , а
i \in \BbbZ вибрано з умови tmax \in (t2i, t2i+2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ТОЧНI ЗНАЧЕННЯ НАЙКРАЩИХ (\alpha , \beta )-НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ ЗГОРТОК . . . 1079
Припустивши, що \widetilde g\prime (tmax) > \| \widetilde \varphi \prime
+\| \infty , ми можемо вказати таке 0 < \lambda < 1, що
\lambda \widetilde g\prime (tmax) = \| \widetilde \varphi \prime
+\| \infty = \widetilde \varphi \prime (t1max).
Тут через t1max < t1min позначено точки з промiжку [t2i, t2i+2], в яких функцiя \widetilde \varphi \prime (t) набуває
вiдповiдно максимального i мiнiмального значень. Зрозумiло, що t1max i t1min належать промiжку
(t2i+1, t2i+2).
Покажемо, що tmax \in (t1max, t
1
min). Припустимо, що tmax \leq t1max (випадок tmax \geq t1min
розглядається аналогiчно). Зазначимо, що при 0 < \lambda 1 < \lambda для функцiй \lambda 1\widetilde g\prime (t) i \widetilde \varphi \prime (t) вико-
нуються умови теореми 6.1 iз [3], до того ж \lambda 1\widetilde g\prime (t) \not = \widetilde \varphi \prime (t) майже скрiзь.
Позначимо через t1 найближчий злiва до tmax нуль функцiї \widetilde g\prime (t), тодi за допомогою наслiд-
ку 6.1 iз [3], спрямовуючи \lambda 1 до \lambda , неважко переконатись у тому, що
tmax - t1 > t1max - t10,
де t10 — найближчий злiва до t1max нуль функцiї \widetilde \varphi \prime (t).
Отже,
t1 < tmax - t1max + t10 \leq t10
i, крiм того, \lambda \widetilde g\prime (t) > \widetilde \varphi \prime (t) \forall t \in (t2i, t2i+1). Тодi
t2i+1\int
t1
\lambda \widetilde g\prime (t) dt > t2i+1\int
t10
\widetilde \varphi \prime (t) dt
i \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t2i+1\int
t1
\lambda \widetilde g\prime (t) dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| <
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t10\int
t2i
\widetilde \varphi \prime (t) dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
t2i+1\int
t10
\widetilde \varphi \prime (t) dt,
що суперечить тому факту, що
\int t2i+1
t1
\lambda \widetilde g\prime (t) dt = 0.
Покажемо, що функцiя \lambda \widetilde g\prime (t) має нуль у промiжку (t2i+1, tmax).
Припускаючи супротивне, аналогiчно попередньому, встановлюємо, що
tmax - t2i+1 > t1max - t2i+1,
t2 - tmax > t20 - t1max,
де t2 — найближчий cправа до tmax нуль функцiї \lambda \widetilde g\prime (t), до того ж t2 \in (tmax, t2i+2), а t20 —
найближчий справа до t1max нуль функцiї \widetilde \varphi \prime (t). Крiм того,
tmax\int
t2i+1
\lambda \widetilde g\prime (t) dt > t1max\int
t2i+1
\widetilde \varphi \prime (t) dt
i
t2\int
tmax
\lambda \widetilde g\prime (t) dt > t20\int
t1max
\widetilde \varphi \prime (t) dt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1080 Н. В. ПАРФIНОВИЧ
Враховуючи ще той факт, що \widetilde g(t2i+1) = \widetilde \varphi (t2i+1) = 0, отримуємо
\lambda \widetilde g(t2) = t2\int
t2i+1
\lambda \widetilde g\prime (t) dt = tmax\int
t2i+1
\lambda \widetilde g\prime (t) dt+ t2\int
tmax
\lambda \widetilde g\prime (t) dt >
>
t1max\int
t2i+1
\widetilde \varphi \prime (t) dt+
t20\int
t1max
\widetilde \varphi \prime (t) dt =
t20\int
t2i+1
\widetilde \varphi \prime (t) dt = \widetilde \varphi (t20) = \| \widetilde \varphi +\| \infty .
Отже, \lambda \widetilde g(t2) > \| \widetilde \varphi +\| \infty , що неможливо у промiжку (tmax, t2i+2), i ми отримали суперечнiсть з
(11). Таким чином, ми встановили, що tmax \in (t1max, t
1
min), t
1 \in (t2i+1, tmax), tmax - t1 > t1max - t10
i t2 - tmax > t20 - t1max.
Отже,
t2 - t1 > t20 - t10, (12)
i, враховуючи наслiдок 6.1 [3], маємо
t2\int
t1
\lambda \widetilde g\prime (t) dt > t20\int
t10
\widetilde \varphi \prime (t) dt.
Але тодi, з урахуванням умов
\int t2i+3
t2i+1
\lambda \widetilde g\prime (t) dt = 0 i
\int t2i+3
t2i+1
\widetilde \varphi \prime (t) dt = 0, повинна виконуватись
також нерiвнiсть \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
(t2i+1,t2i+3)\setminus (t1,t2)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| >
t20\int
t10
\widetilde \varphi \prime (t) dt. (13)
Нехай (ak, bk) — складовi iнтервали множини
\{ t \in (t2i+1, t2i+3) : \widetilde g\prime (t) < 0\} .
Тодi на пiдставi (12) \sum
k
(bk - ak) \leq t2i+3 - t2i+1 - (t2 - t1) \leq
\leq t2i+3 - t2i+1 - (t20 - t10) = \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\widetilde \varphi \prime
-
\bigm| \bigm|
(t2i+1,t2i+3) .
Нехай також при кожному k число \gamma k \geq 0 таке, що (ak+\gamma k, bk+\gamma k) \subset \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} \widetilde \varphi \prime
-
\bigm| \bigm|
(t2i+1,t2i+3)(t) .
Використовуючи наслiдок 6.1 iз [3], переконуємося в тому, що\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
bk+\gamma k\int
ak+\gamma k
\lambda \widetilde g\prime (t - \gamma k) dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
bk+\gamma k\int
ak+\gamma k
\widetilde \varphi \prime (t) dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
Зрозумiло, що числа \gamma k можна вибрати так, щоб iнтервали (ak + \gamma k, bk + \gamma k) попарно не
перетинались. Тодi будемо мати
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ТОЧНI ЗНАЧЕННЯ НАЙКРАЩИХ (\alpha , \beta )-НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ ЗГОРТОК . . . 1081\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
(t2i+1,t2i+3)\setminus (t1,t2)
\lambda \widetilde g\prime (t) dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\sum
k
bk\int
ak
\lambda \widetilde g\prime (t) dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
\sum
k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
bk+\gamma k\int
ak+\gamma k
\lambda \widetilde g\prime (t - \gamma k) dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\sum
k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
bk+\gamma k\int
ak+\gamma k
\widetilde \varphi \prime
- (t) dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\sum
k
bk+\gamma k\int
ak+\gamma k
\widetilde \varphi \prime
- (t) dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
t20\int
t10
\widetilde \varphi \prime (t) dt.
Отже, \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
(t2i+1,t2i+3)\setminus (t1,t2)
\lambda \widetilde g\prime (t) dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
t20\int
t10
\widetilde \varphi \prime (t) dt,
що суперечить (13).
Таким чином, доведено нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| (Br \ast K( - \cdot ) \ast g - T \prime
g)+
\bigm\| \bigm\|
\infty \leq
\bigm\| \bigm\| (Br \ast K( - \cdot ) \ast \varphi n,0(\alpha , \beta ; \cdot ))+
\bigm\| \bigm\|
\infty .
Нерiвнiсть \bigm\| \bigm\| (Br \ast K( - \cdot ) \ast g - T \prime
g) -
\bigm\| \bigm\|
\infty \leq
\bigm\| \bigm\| (Br \ast K( - \cdot ) \ast \varphi n,0(\alpha , \beta ; \cdot )) -
\bigm\| \bigm\|
\infty
доводиться аналогiчно. Отже, маємо\bigm\| \bigm\| (Br \ast K( - \cdot ) \ast g - T \prime
g)\pm
\bigm\| \bigm\|
\infty \leq
\bigm\| \bigm\| (Br \ast K( - \cdot ) \ast \varphi n,0(\alpha , \beta ; \cdot ))\pm
\bigm\| \bigm\|
\infty . (14)
Враховуючи (14) i лему 2, неважко перевiрити, що для будь-якого \lambda \in (0; 1) функцiї Br \ast
\ast K( - \cdot ) \ast \varphi n,0(\alpha , \beta ; \cdot ) i \lambda (Br \ast K( - \cdot ) \ast g - T \prime
g) задовольняють умови теореми 6.1 iз [3], з якої
випливає, що\bigm\| \bigm\| \lambda (Br - 1 \ast K( - \cdot ) \ast g - T \prime \prime
g )\pm
\bigm\| \bigm\|
\infty \leq
\bigm\| \bigm\| (Br - 1 \ast K( - \cdot ) \ast \varphi n,0(\alpha , \beta ; \cdot ))\pm
\bigm\| \bigm\|
\infty .
Спрямовуючи \lambda до 1, з останньої нерiвностi отримуємо\bigm\| \bigm\| (Br - 1 \ast K( - \cdot ) \ast g - T \prime \prime
g )\pm
\bigm\| \bigm\|
\infty \leq
\bigm\| \bigm\| (Br - 1 \ast K( - \cdot ) \ast \varphi n,0(\alpha , \beta ; \cdot ))\pm
\bigm\| \bigm\|
\infty .
Повторюючи цi мiркування необхiдну кiлькiсть разiв, доводимо нерiвностi (9) i (10) у випадку
\alpha , \beta < \infty .
Нехай тепер \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \alpha , \beta \} = \beta = \infty . Якщо g \in L\infty така, що \| g\| \infty ;\alpha - 1,\beta - 1 \leq 1, то знайдеться
таке \beta 0 \in \BbbR , що - \beta 0 \leq g \leq \alpha . Якщо g\bot K \ast S1
2n,r(h), то за вже доведеним\bigm\| \bigm\| (Br - k+1 \ast K( - \cdot ) \ast g - T (k))\pm
\bigm\| \bigm\|
\infty \leq
\bigm\| \bigm\| (Br - k+1 \ast K( - \cdot ) \ast \varphi n,0(\alpha , \beta 0; \cdot ))\pm
\bigm\| \bigm\|
\infty , k = 1, . . . , r+ 1.
Зазначимо тепер, що\bigm\| \bigm\| (Br - k+1 \ast K( - \cdot ) \ast \varphi n,0(\alpha , \beta 0; \cdot ))\pm
\bigm\| \bigm\|
\infty \leq
\bigm\| \bigm\| (Br - k+1 \ast K( - \cdot ) \ast \varphi n,0(\alpha ,\infty ; \cdot ))\pm
\bigm\| \bigm\|
\infty .
Теорему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1082 Н. В. ПАРФIНОВИЧ
Теорема 3. Нехай n, r,\Delta , \alpha , \beta ,K, h такi, як у теоремi 2, i \| g\| \infty ;\alpha - 1,\beta - 1 \leq 1, g\bot K \ast
\ast S1
2n,r(h). Тодi знайдеться полiном Tg \in T (M(K) \setminus \{ 0\} ) такий, що для довiльного x \in [0, 2\pi ]
x\int
0
r((K( - \cdot ) \ast g - Tg - \lambda )\pm ; t) dt \leq
x\int
0
r((K( - \cdot ) \ast \varphi n,0(\alpha , \beta ; \cdot ) - \lambda )\pm ; t) dt.
Уперше твердження такого типу при \alpha = \beta , h = \pi /n i K = Br з’явились у роботах
М. П. Корнєйчука (див. [8], теорема 6.8.1), а потiм у роботах М. П. Корнєйчука i А. О. Лiгуна
(див., наприклад, [9]). Випадок K = Br, h = \pi /n, \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\alpha , \beta ) = \infty було розглянуто В. Г. До-
ронiним i А. О. Лiгуном [10] (теорема 5.5.2). У випадку K \in CV D[\Delta ], \alpha , \beta \in (0,\infty ], h = \pi /n
теорему 3 довiв В. Ф. Бабенко [3].
Доведення теореми 3. Будемо використовувати методи з [3]. За допомогою теореми 2
неважко встановити, що при всiх \varepsilon \in (0; 1) i всiх достатньо малих h > 0 функцiї Ah \ast K( - \cdot ) \ast
\ast \varphi n,0(\alpha , \beta ; \cdot ) i \varepsilon Ah \ast K( - \cdot ) \ast g - \varepsilon Ah \ast T \prime
g (Tg — полiном, який в лемi 2 вiдповiдає функцiї g i
ядру K ) задовольняють умови теореми 6.2 iз [3], отже, для довiльного \lambda i x \in [0, 2\pi ]
x\int
0
r
\bigl(
(\varepsilon Ah \ast K( - \cdot ) \ast g - \varepsilon Ah \ast T \prime
g - \lambda )\pm ; t
\bigr)
dt \leq
\leq
x\int
0
r
\bigl(
(Ah \ast K( - \cdot ) \ast \varphi n,0(\alpha , \beta ; \cdot ) - \lambda )\pm ; t
\bigr)
dt.
Спрямовуючи спочатку h до нуля, а потiм \varepsilon до одиницi, переконуємося у справедливостi
теореми.
5. Доведення теореми 1. На пiдставi теореми 2.1 [3] можемо записати
E = E
\bigl(
K \ast F,K \ast S1
2n,m(h)
\bigr)
1
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in K\ast F
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| g\| \infty ;\alpha - 1\beta - 1\leq 1
g\bot K\ast S1
2n,m(h)
2\pi \int
0
f(x)g(x) dx =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in F
\varphi \bot \mu
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| g\| \infty ;\alpha - 1\beta - 1\leq 1
g\bot K\ast S1
2n,m(h)
2\pi \int
0
(K \ast \varphi + T )g(x) dx =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in F
\varphi \bot \mu
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| g\| \infty ;\alpha - 1\beta - 1\leq 1
g\bot K\ast S1
2n,m(h)
2\pi \int
0
(K( - \cdot ) \ast g - Tg)(t)\varphi (t) dt,
де Tg — полiном iз теореми 3.
Далi, з огляду на пропозицiї 8.1, 8.2 [3] i теорему 3 отримуємо
E = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in F
\varphi \bot \mu
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| g\| \infty ;\alpha - 1\beta - 1\leq 1
g\bot K\ast S1
2n,m(h)
2\pi \int
0
\Pi (\varphi ; t)\Pi (K( - \cdot ) \ast g - Tg; t) dt \leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in F
\varphi \bot \mu
2\pi \int
0
\Pi (\varphi ; t)\Pi (K( - \cdot ) \ast \varphi n,0(\alpha , \beta ); t) dt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ТОЧНI ЗНАЧЕННЯ НАЙКРАЩИХ (\alpha , \beta )-НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ ЗГОРТОК . . . 1083
Непокращуванiсть цiєї нерiвностi випливає з пропозицiї 8.1 [3] i
2\pi
n
-перiодичностi функцiї
K( - \cdot ) \ast \varphi n,0(\alpha , \beta ; \cdot ).
Лiтература
1. Бабенко В. Ф. Несимметричные приближения в пространствах суммируемых функций // Укр. мат. журн. –
1982. – 34, № 11. – С. 409 – 416.
2. Бабенко В. Ф. Неравенства для перестановок дифференцируемых периодических функций, задачи приближе-
ния и приближенного интегрирования // Докл. АН СССР. – 1983. – 272, № 5. – С. 1038 – 1041.
3. Бабенко В. Ф. Приближение классов сверток // Сиб. мат. журн. – 1987. – 28, № 5. – С. 6 – 21.
4. Бабенко В. Ф. Экстремальные задачи теории приближения и несимметричные нормы: Дис. . . . д-ра физ.-мат.
наук. – Днепропетровск, 1987. – 275 с.
5. Бабенко В. Ф., Парфинович Н. В. Точные значения наилучших приближений классов периодических функций
сплайнами дефекта 2 // Мат. заметки. – 2009. – 85, № 4. – С. 538 – 551.
6. Бабенко В. Ф., Парфинович Н. В. О точных значениях наилучших приближений классов дифференцируемых
периодических функций сплайнами // Мат. заметки. – 2010. – 87, № 5. – С. 669 – 683.
7. Karlin S. Total positivity. – Stanford, Calif.: Stanford Univ. Press., 1968. – Vol. I. – 576 p.
8. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. – М.: Наука, 1976. – 320 с.
9. Korneichuk N. P., Ligun A. A. On approximation of a class by another class and extremal subspaces in L1 // Anal.
Math. – 1981. – 7, № 2. – P. 107 – 119.
10. Корнейчук Н. П., Лигун А. А., Доронин В. Г. Аппроксимация с ограничениями. – Киев: Наук. думка, 1982. –
252 с.
11. Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. – М.: Физматгиз, 1958. –
271 с.
12. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. – М.: Наука, 1978. – 400 с.
13. Ligun A. A. Inequalities for upper bounds of functions // Anal. Math. – 1976. – 2, № 1. – P. 11 – 40.
14. Лигун A. A. О поперечниках некоторых классов дифференцируемых периодических функций // Мат. заметки. –
1980. – 27, № 1. – С. 61 – 75.
15. Mairhuber J. C., Schonberg I. J., Williamson R. E. On variation diminishing transformations on the circle // Rend.
Circ. math. Palermo. – 1959. – 8, № 2. – P. 241 – 270.
16. Маковоз Ю. И. Поперечники некоторых функциональных классов в пространстве L // Изв. АН БССР. Cер.
физ.-мат. – 1969. – 4. – С. 19 – 28.
17. Маковоз Ю. И. Об одном приеме оценки снизу поперечников множеств в банаховых пространствах // Мат.
сб. – 1972. – 87, № 1. – С. 136 – 142.
18. Маковоз Ю. И. Поперечники соболевских классов и сплайны, наименее уклоняющиеся от нуля // Мат. замет-
ки. – 1979. – 26, № 5. – С. 805 – 812.
19. Никольский С. М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем // Изв. АН СССР. Сер.
мат. – 1946. – 10, № 3. – С. 207 – 256.
20. Тайков Л. В. О приближении в среднем некоторых классов аналитических функций // Тр. Мат. ин-та АН
СССР. – 1967. – 88. – C. 61 – 70.
21. Pinkus A. On n-widths of periodic functions // J. Anal. Math. – 1979. – 35. – P. 209 – 235.
22. Pinkus A. n-Width in approximation theory. – Berlin etc.: Springer-Verlag, 1985. – 294 p.
23. Субботин Ю. Н. Поперечник класса W rL в L(0, 2\pi ) и приближение сплайн-функциями // Мат. заметки. –
1970. – 7, №1. – С. 43 – 52.
24. Субботин Ю. Н. Приближение сплайн-функциями и оценки поперечников // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1971. –
109. – С. 35 – 60.
25. Туровец С. П. О наилучшем приближении в среднем дифференцируемых функций // Докл. АН УССР. Cер. А. –
1968. – 5. – C. 417 – 421.
Одержано 19.04.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1759 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:08Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/8c/3680779fe5d0737333e971b82c52188c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17592019-12-05T09:25:58Z Exact values of the best (α, β) -approximations of classes of convolutions with kernels that do not increase the number of sign changes Точні значення найкращих (α, β) -наближень класів згорток з ядрами, що не збільшують число змін знака Parfinovych, N. V. Парфинович, Н. В. Парфинович, Н. В. We obtain the exact values of the best $(\alpha , \beta )$-approximations of the classes $K \ast F$ of periodic functions $K \ast f$ such that $f$ belongs to a given rearrangement-invariant set $F$ and $K$ is $2\pi$ -periodic kernel that do not increase the number of sign changes by the subspaces of generalized polynomial splines with nodes at the points $2k\pi /n$ and $2k\pi /n + h, n \in N, k \in Z, h \in (0, 2\pi /n)$. It is shown that these subspaces are extremal for the Kolmogorov widths of the corresponding functional classes. Найдены точные значения наилучших $(\alpha , \beta )$-приближений классов $K \ast F$ периодических функций $K \ast f$ таких, что $f$ принадлежит заданному перестановочно-инвариантному множеству $F$, а $K$ является $2\pi$ -периодическим ядром, не увеличивающим число перемен знака, подпространствами обобщенных полиномиальных сплайнов с узлами в точках $2k\pi /n$ и $2k\pi /n + h$, n \in N, k \in Z, h \in (0, 2\pi /n)$. Показано, что эти подпространства являются экстремальными для поперечников по Колмогорову соответствующих функциональных классов. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1759 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 8 (2017); 1073-1083 Український математичний журнал; Том 69 № 8 (2017); 1073-1083 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1759/741 Copyright (c) 2017 Parfinovych N. V. |
| spellingShingle | Parfinovych, N. V. Парфинович, Н. В. Парфинович, Н. В. Exact values of the best (α, β) -approximations of classes of convolutions with kernels that do not increase the number of sign changes |
| title | Exact values of the best (α, β) -approximations of classes of convolutions with
kernels that do not increase the number of sign changes |
| title_alt | Точні значення найкращих (α, β) -наближень класів згорток з ядрами, що
не збільшують число змін знака |
| title_full | Exact values of the best (α, β) -approximations of classes of convolutions with
kernels that do not increase the number of sign changes |
| title_fullStr | Exact values of the best (α, β) -approximations of classes of convolutions with
kernels that do not increase the number of sign changes |
| title_full_unstemmed | Exact values of the best (α, β) -approximations of classes of convolutions with
kernels that do not increase the number of sign changes |
| title_short | Exact values of the best (α, β) -approximations of classes of convolutions with
kernels that do not increase the number of sign changes |
| title_sort | exact values of the best (α, β) -approximations of classes of convolutions with
kernels that do not increase the number of sign changes |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1759 |
| work_keys_str_mv | AT parfinovychnv exactvaluesofthebestabapproximationsofclassesofconvolutionswithkernelsthatdonotincreasethenumberofsignchanges AT parfinovičnv exactvaluesofthebestabapproximationsofclassesofconvolutionswithkernelsthatdonotincreasethenumberofsignchanges AT parfinovičnv exactvaluesofthebestabapproximationsofclassesofconvolutionswithkernelsthatdonotincreasethenumberofsignchanges AT parfinovychnv točníznačennânajkraŝihabnabliženʹklasívzgortokzâdramiŝonezbílʹšuûtʹčislozmínznaka AT parfinovičnv točníznačennânajkraŝihabnabliženʹklasívzgortokzâdramiŝonezbílʹšuûtʹčislozmínznaka AT parfinovičnv točníznačennânajkraŝihabnabliženʹklasívzgortokzâdramiŝonezbílʹšuûtʹčislozmínznaka |