Property of mixing of continuous classical systems with strong superstable interactions
We consider an infinite system of point particles in $R^d$, interacting via a strong superstable two-body potential $\phi$ of finite range with radius $R$. In the language of correlation functions, we obtain a simple proof of decrease in correlations between two clusters (two groups of variables) t...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1760 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507617236877312 |
|---|---|
| author | Rebenko, A. L. Tertychnyi, M. V. Ребенко, О. Л. Тертичний, М. В. |
| author_facet | Rebenko, A. L. Tertychnyi, M. V. Ребенко, О. Л. Тертичний, М. В. |
| author_sort | Rebenko, A. L. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:25:58Z |
| description | We consider an infinite system of point particles in $R^d$, interacting via a strong superstable two-body potential $\phi$ of finite
range with radius $R$. In the language of correlation functions, we obtain a simple proof of decrease in correlations between
two clusters (two groups of variables) the distance between which is larger than the radius of interaction. The established
result is true for sufficiently small values of activity of the particles. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9 + 531.19
О. Л. Ребенко, М. В. Тертичний (Iн-т математики НАН України, Київ)
ВЛАСТИВIСТЬ ПЕРЕМIШУВАННЯ НЕПЕРЕРВНИХ КЛАСИЧНИХ СИСТЕМ
З ПОСИЛЕНО НАДСТIЙКОЮ ВЗАЄМОДIЄЮ
We consider an infinite system of point particles in \BbbR d, interacting via a strong superstable two-body potential \phi of finite
range with radius R. In the language of correlation functions, we obtain a simple proof of decrease in correlations between
two clusters (two groups of variables) the distance between which is larger than the radius of interaction. The established
result is true for sufficiently small values of activity of the particles.
Рассматривается бесконечная система точечных частиц в \BbbR d, взаимодействие которых определяется усиленно
сверхустойчивым двухчастичным потенциалом \phi конечного радиуса действия R. На языке корреляционных функ-
ций приведено простое доказательство оценки убывания корреляций между двумя кластерами (двумя группами
переменных), расстояние между которыми больше радиуса взаимодействия. Результат справедлив для достаточно
малых значений активности частиц.
1. Вступ. Властивiсть перемiшування вiдiграє ключову роль у дослiдженнi динамiчних систем,
оскiльки забезпечує їх ергодичнiсть i дозволяє стверджувати, що в системi з перемiшуванням
будь-який нерiвноважний розподiл буде прямувати до рiвноважного (див., наприклад, [1]). Рiзнi
аспекти властивостi перемiшування широко висвiтленi у статтях i оглядах i, мабуть, їх немож-
ливо перерахувати (див., наприклад, огляди [2, 3]). Строге доведення цiєї властивостi для моде-
лей статистичної механiки охоплює лише ґратчастi системи (спiновi системи феромагнетикiв i
ґратчастi гази).
На мовi розподiлiв Гiббса властивiсть перемiшування означає, що поведiнка системи в де-
яких об’ємах, якi знаходяться на великих вiдстанях один вiд одного, є статистично незалежною
(див., наприклад, [4] або зауваження 2.7 у роботi [5]). Найбiльш зручно з технiчної точки зору
довести цю властивiсть, оцiнивши кореляцiї мiж кластерами частинок, тобто поведiнку коре-
ляцiйних функцiй, в яких одна група змiнних знаходиться на значнiй вiдстанi вiд iншої групи.
Такi дослiдження розпочато ще з робiт [6 – 8] для спiнових систем. У роботi [7] обговорювалась
також поведiнка неперервних систем, було наведено деякi оцiночнi нерiвностi без строгого їх
доведення.
У цiй статтi ми встановлюємо властивiсть швидкого зменшення кореляцiй для класичних
неперервних систем при малих значеннях активностi (або великих вiд’ємних значеннях хi-
мiчного потенцiалу). Ми використовуємо метод, який було запропоновано в роботi [9] для
системи ґратчастого газу, i апроксимацiю неперервної системи класичного газу неперервною
системою комiркового газу [10]. Комiрковий газ — це неперервна система точкових взаємо-
дiючих частинок, конфiгурацiйний простiр якої побудовано таким чином, що для довiльного
розбиття простору \BbbR d на елементарнi неперетиннi гiперкубики з ребром a у кожному кубику
може знаходитись не бiльше однiєї частинки в кожному з кубикiв розбиття. Технiчно це дося-
гається введенням гiббсової мiри, яка забезпечує зникнення конфiгурацiй, в яких знаходиться
бiльше однiєї частинки хоча б в одному з кубикiв розбиття. Таку апроксимацiю було запропоно-
вано в роботах [11 – 13] для систем точкових частинок, що взаємодiють за допомогою посилено
надстiйкого потенцiалу [14].
c\bigcirc О. Л. РЕБЕНКО, М. В. ТЕРТИЧНИЙ, 2017
1084 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ВЛАСТИВIСТЬ ПЕРЕМIШУВАННЯ НЕПЕРЕРВНИХ КЛАСИЧНИХ СИСТЕМ . . . 1085
2. Основнi математичнi поняття i величини. 2.1. Простори конфiгурацiй систем ста-
тистичної механiки. Позначимо через \frakB (\BbbR d) борелiвську \sigma -алгебру вiдкритих множин у
\BbbR d, а через \frakB c(\BbbR d) всi пiдмножини, що мають компактне замикання. Конфiгурацiйний простiр
\Gamma := \Gamma \BbbR d буде складатися з усiх локально скiнченних пiдмножин простору \BbbR d, тобто
\Gamma = \Gamma \BbbR d :=
\Bigl\{
\gamma \subset \BbbR d
\bigm| \bigm| | \gamma \cap \Lambda | < \infty для всiх \Lambda \in \scrB c(\BbbR d)
\Bigr\}
,
де | A| — число, що означає кiлькiсть точок в A. Позначимо множину всiх скiнченних кон-
фiгурацiй простору \Gamma через \Gamma 0. Насправдi \Gamma 0 є пiдмножиною \Gamma , але вона буде розглядатися
як самостiйний конфiгурацiйний простiр, в якому незалежним чином можна ввести свою то-
пологiю (див., наприклад, [15]). Визначимо спочатку конфiгурацiйний простiр iз фiксованою
кiлькiстю точок:
\Gamma (n) := \{ \gamma \in \Gamma | | \gamma | = n, n \in \BbbN \} , \Gamma (0) := \varnothing .
Якщо всi такi конфiгурацiї знаходяться в деякiй обмеженiй множинi \Lambda \in \scrB c(\BbbR d), то вiдповiдний
простiр
\Gamma
(n)
\Lambda :=
\Bigl\{
\gamma \in \Gamma (n) | \gamma \subset \Lambda
\Bigr\}
.
Тодi простори скiнченних конфiгурацiй в \BbbR d i \Lambda \in \scrB c(\BbbR d) можна записати у виглядi диз’юнк-
тивних об’єднань:
\Gamma 0 :=
\infty \coprod
n=0
\Gamma (n) i \Gamma \Lambda :=
\infty \coprod
n=0
\Gamma
(n)
\Lambda .
Топологiчнi i вимiрнi структури просторiв \Gamma , \Gamma 0 i \Gamma \Lambda є добре вивченими (див., наприклад,
[15 – 18]).
У дослiдженнi багатьох термодинамiчних характеристик нескiнченних систем важливе зна-
чення має розбиття простору \BbbR d на елементарнi гiперкубики з довжиною ребер a > 0, центри
яких розташованi в точках r \in a\BbbZ d \subset \BbbR d :
\Delta a(r) :=
\bigl\{
x \in \BbbR d | (ri - a/2) \leq xi < (ri + a/2), i = 1, . . . , d
\bigr\}
.
Будемо писати \Delta замiсть \Delta a(r), якщо немає потреби вказувати, де знаходиться центр
гiперкубика. Позначимо таке розбиття через \Delta a. Не втрачаючи загальностi розгляду, будемо
для зручностi розглядати \Lambda , якi є об’єднаннями скiнченної кiлькостi гiперкубикiв \Delta \in \Delta a.
Для побудови вищезгаданої апроксимацiї введемо ще один простiр — простiр конфiгурацiй
комiркового газу:
\Gamma (a) :=
\bigl\{
\gamma \in \Gamma | | \gamma \Delta | \leq 1 для всiх \Delta \in \Delta a
\bigr\}
.
Щоб не складалося враження, що конфiгурацiї \Gamma (a) описують фiзичнi системи розрiджених
газiв, наведемо наступне зауваження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1086 О. Л. РЕБЕНКО, М. В. ТЕРТИЧНИЙ
Зауваження 2.1. Однiєю з найважливiших характеристик фiзичного стану системи взає-
модiючих частинок є густина, тобто кiлькiсть частинок в одиницi об’єму. Як завгодно велике
значення цiєї характеристики можна отримати i в рамках опису системи у просторi конфiгура-
цiй \Gamma (a), вибираючи розмiр a ребер гiперкубикiв достатньо малим.
2.2. Взаємодiя. У роботi розглядається система точкових частинок, взаємодiю яких будемо
описувати за допомогою двочастинкового потенцiалу \phi . Енергiя довiльної конфiгурацiї \gamma \in \Gamma \Lambda
або \gamma \in \Gamma 0 визначається таким чином:
U\phi (\gamma ) = U(\gamma ) :=
\sum
\{ x,y\} \subset \gamma
\phi (| x - y| ),
де пiдсумовування проводиться по всiх можливих рiзних парах точок конфiгурацiї \gamma . Визначи-
мо також енергiю взаємодiї мiж конфiгурацiями \eta , \gamma \in \Gamma 0 (\eta \cap \gamma = \varnothing ) формулою
W (\eta ; \gamma ) :=
\sum
x\in \eta
y\in \gamma
\phi (| x - y| ).
(A) Припущення щодо потенцiалу взаємодiї. В цiй роботi ми розглядаємо двочастинковi
потенцiали загального вигляду \phi , неперервнi на \BbbR + \setminus \{ 0\} i такi, що iснують сталi r0 > 0,
B \geq 0, R > 0 та \varphi 0 > 0, для яких
\phi (| x| ) \equiv \phi +(| x| ) \geq \varphi 0
| x| s для | x| \leq r0, s \geq d, (2.1)
\phi (| x| ) \equiv 0 для | x| \geq R, (2.2)
де
\phi +(| x| ) := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 0, \phi (| x| )\} , \phi - (| x| ) := - \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ 0, \phi (| x| )\} .
Такi потенцiали є посилено надстiйкими (детальнiше див. [14]). Це забезпечує можливiсть
апроксимувати систему, що розглядається, системою комiркового газу [10]. Як наслiдок ми
будемо також використовувати той факт, що енергiя взаємодiї частинок конфiгурацiї \gamma задо-
вольняє умову стiйкостi
U(\gamma ) =
\sum
x,y\in \gamma
\phi (| x - y| ) \geq - B| \gamma | , \gamma \in \Gamma 0, B \geq 0. (2.3)
У молекулярнiй фiзицi має безпосереднє застосування потенцiал Ленарда – Джонса
\phi (| x| ) = C
| x| 12 - D
| x| 6 ,
де C > 0, D > 0 — деякi сталi. Ми будемо розглядати потенцiали такого ж типу, поведiнку
яких зображено на рисунку, але при | x| \rightarrow R злiва потенцiал \phi (| x| ) \rightarrow 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ВЛАСТИВIСТЬ ПЕРЕМIШУВАННЯ НЕПЕРЕРВНИХ КЛАСИЧНИХ СИСТЕМ . . . 1087
У молекулярнiй фiзицi має безпосереднє застосування потенцiал Ленарда-Джонса
φ(|x|) =
C
|x|12 − D
|x|6 ,
де C > 0, D > 0−деякi константи. В роботi ми будемо розглядати потенцiали такого ж типу,
якi мають поведiнку зображену на рис. 1.1, але при |x| → R злiва потенцiал φ(|x|) → 0.
Рис. 1.1
2.3 Мiри на просторах конфiгурацiй неперервних систем
Згiдно з iдеями Гiббса фiзичний стан системи описується ймовiрнiсною мiрою, яка будується
спершу в деякому обмеженому об’ємi простору Rd в залежностi вiд ансамблю (мiкроканонi-
чного, канонiчного або великого канонiчного), який розглядається для конкретної задачi i
подальшому граничному термодинамiчному переходi. Ми будемо розглядати системи стати-
стичної механiки в рамках великого канонiчного ансамблю i почнемо цей розгляд з системи
невзаємодiючих точкових частинок (iдеальний газ).
Нехай σ – це мiра Лебега в Rd. Стан iдеального газу в рiвноважнiй статистичнiй механiцi
описується мiрою Пуассона πzσ на конфiгурацiйному просторi Γ, де z > 0 – це активнiсть
(фiзичний параметр, який пов’язаний з густиною частинок в системi). Мiру πzσ з мiрою
iнтенсивностi zσ ми визначимо трохи нижче. Для цього спершу введемо аналог такої мiри
на просторах скiнченних конфiгурацiй в Λ ∈ Bc(Rd) (див. [19]), яку iнколи називають мiрою
Лебега-Пуассона (див., наприклад, [?]) за формулою:
∫
ΓΛ
F (γ)λzσ(dγ) :=
∞∑
n=0
zn
n!
∫
Λ
· · ·
∫
Λ
F ({x1, ..., xn})σ(dx1) · · · σ(dxn) =
=
∞∑
n=0
zn
n!
∫
Λ
· · ·
∫
Λ
Fn(x1, ..., xn)dx1 · · · dxn, (2.12)
для всiх вимiрних функцiй F = {Fn}n≥0, Fn ∈ L∞(Λn) (або Fn ∈ L1(Rdn)). За допомогою
мiри λzσ побудуємо сiм’ю ймовiрнiсних мiр
πΛ
zσ := e−zσ(Λ)λΛ
zσ, Λ ∈ Bc(Rd). (2.13)
Легко переконатись, використовуючи визначення (2.12), що сiм’я (2.13) є попарно узго-
джена i за теоремою Колмогорова (див., наприклад, [20]) iснує єдина ймовiрнiсна мiра πzσ
на конфiгурацiйному просторi Γ.
Мiра Гiббса для великого канонiчного ансамблю на просторi конфiгурацiй ΓΛ визначає-
ться формулою:
µΛ(dγ) =
1
ZΛ
e−βU(γ)λzσ(dγ), (2.14)
4
2.3. Мiри на просторах конфiгурацiй неперервних систем. Згiдно з iдеями Гiббса, фiзич-
ний стан системи описується ймовiрнiсною мiрою, яка будується спочатку в деякому обмежено-
му об’ємi простору \BbbR d в залежностi вiд ансамблю (мiкроканонiчного, канонiчного або великого
канонiчного), який розглядається для конкретної задачi, i при подальшому граничному термо-
динамiчному переходi. Ми будемо розглядати системи статистичної механiки в рамках великого
канонiчного ансамблю i почнемо цей розгляд iз системи невзаємодiючих точкових частинок
(iдеальний газ).
Нехай \sigma — мiра Лебега в \BbbR d. Стан iдеального газу в рiвноважнiй статистичнiй механiцi опи-
сується мiрою Пуассона \pi z\sigma на конфiгурацiйному просторi \Gamma , де z > 0 — активнiсть (фiзичний
параметр, що пов’язаний iз густиною частинок у системi). Мiру \pi z\sigma з мiрою iнтенсивностi z\sigma
ми визначимо трохи нижче. Для цього спочатку введемо аналог такої мiри на просторах скiн-
ченних конфiгурацiй в \Lambda \in \scrB c(\BbbR d) (див. [19]), яку iнколи називають мiрою Лебега – Пуассона,
за формулою
\int
\Gamma \Lambda
F (\gamma )\lambda z\sigma (d\gamma ) :=
\infty \sum
n=0
zn
n!
\int
\Lambda
. . .
\int
\Lambda
F (\{ x1, . . . , xn\} )\sigma (dx1) . . . \sigma (dxn) =
=
\infty \sum
n=0
zn
n!
\int
\Lambda
. . .
\int
\Lambda
Fn(x1, . . . , xn)dx1 . . . dxn (2.4)
для всiх вимiрних функцiй F = \{ Fn\} n\geq 0, Fn \in L\infty (\Lambda n) (або Fn \in L1(\BbbR dn)). За допомогою
мiри \lambda z\sigma побудуємо сiм’ю ймовiрнiсних мiр
\pi \Lambda
z\sigma := e - z\sigma (\Lambda )\lambda \Lambda
z\sigma , \Lambda \in \scrB c(\BbbR d). (2.5)
Легко переконатись, використовуючи визначення (2.4), що сiм’я (2.5) є попарно узгодже-
ною i за теоремою Колмогорова (див., наприклад, [20]) iснує єдина ймовiрнiсна мiра \pi z\sigma на
конфiгурацiйному просторi \Gamma .
Мiра Гiббса для великого канонiчного ансамблю на просторi конфiгурацiй \Gamma \Lambda визначається
формулою
\mu \Lambda (d\gamma ) =
1
Z\Lambda
e - \beta U(\gamma )\lambda z\sigma (d\gamma ),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1088 О. Л. РЕБЕНКО, М. В. ТЕРТИЧНИЙ
Z\Lambda =
\int
\Gamma \Lambda
e - \beta U(\gamma )\lambda z\sigma (d\gamma ),
де ми скористалися визначенням мiри Лебега – Пуассона (2.4). У випадку нескiнченної системи
в \BbbR d у пiдходi Добрушина – Ленфорда – Рюеля (див. [4, 21]) мiра Гiббса \mu визначається на \Gamma
за допомогою сiм’ї умовних iмовiрнiсних розподiлiв, щiльнiсть яких визначається похiдною
Радона – Нiкодима
d\mu \Lambda
d\lambda z\sigma
(\eta | \=\gamma \Lambda c) =
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} \{ - \beta U(\eta | \=\gamma \Lambda c)\}
Z\Lambda (\=\gamma \Lambda c)
,
де
U(\eta | \=\gamma \Lambda c) := U(\eta ) +W (\eta ; \=\gamma \Lambda c),
а
\Lambda \in \scrB c(\BbbR d), \Lambda c = \BbbR d \setminus \Lambda , \eta \in \Gamma \Lambda , \=\gamma \in \Gamma .
Iснування та єдинiсть мiри Гiббса \mu для взаємодiй i умов, що розглядаються, є вiдомим резуль-
татом (див., наприклад, огляди [5, 22]), а умову перемiшування можна записати у виглядi
\mu (F1F2) - \mu (F1)\mu (F2) \rightarrow 0
для двох обмежених функцiй F1, F2 : \Gamma \mapsto \rightarrow \BbbR , для яких \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}F1, \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}F2) \rightarrow \infty .
2.4. Кореляцiйнi функцiї i рiвняння Кiрквуда – Зальцбурга. Кореляцiйнi функцiї є в пев-
ному сенсi моментами мiри Гiббса, за якими розраховують середнi значення спостережуваних
величин, а статистична сума вiдiграє важливу роль у побудовi термодинамiчних функцiй вiльної
енергiї та тиску системи (див., наприклад, [23 – 25]).
Запишемо вирази для статистичної суми Z\Lambda та вiдповiдного набору кореляцiйних функцiй
\rho \Lambda за допомогою iнтегралiв за мiрою \lambda z\sigma . Тодi у випадку великого канонiчного ансамблю
Z\Lambda (z, \beta ) :=
\int
\Gamma \Lambda
e - \beta U(\gamma )\lambda z\sigma (d\gamma ),
\rho \Lambda (\eta ; z, \beta ) :=
1
Z\Lambda (z, \beta )
\int
\Gamma \Lambda
e - \beta U(\eta \cup \gamma )\lambda z\sigma (d\gamma ), \eta \in \Gamma \Lambda .
Для малих значень активностi z iснує єдина термодинамiчна границя \rho \Lambda при \Lambda \uparrow \BbbR d [23].
Граничнi функцiї \rho (\eta ; z, \beta ) є розв’язками нескiнченної системи рiвнянь Кiрквуда – Зальцбурга
у банаховому прсторi E\xi (див., наприклад, [23 – 25]) з нормою
\| \varphi \| \xi := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\eta \in \Gamma 0\setminus \varnothing
| \varphi (\eta )| \xi - | \eta | , \varphi \in E\xi .
Система рiвнянь Кiрквуда – Зальцбурга може бути записана у виглядi єдиного операторного
рiвняння (див. [23])
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ВЛАСТИВIСТЬ ПЕРЕМIШУВАННЯ НЕПЕРЕРВНИХ КЛАСИЧНИХ СИСТЕМ . . . 1089
\rho = z \widetilde K\rho + z\delta , (2.6)
де оператор \widetilde K дiє на довiльну функцiю \varphi \in E\xi у вiдповiдностi з правилом
( \widetilde K\varphi )(\{ x\} ) = 1 +
\infty \sum
k=1
1
k!
\int
\BbbR d
. . .
\int
\BbbR d
k\prod
i=1
\Bigl(
e - \beta \phi (| x - yi| ) - 1
\Bigr)
\varphi (\{ y1, . . . , yk\} ) dy1 . . . dyk :=
:=
\int
\Gamma 0
K(x; \gamma )\varphi (\gamma )\lambda \sigma (d\gamma ), якщо \eta = \{ x\} , K(x;\varnothing ) = \varphi (\varnothing ) = 1,
( \widetilde K\varphi )(\eta ) =
\sum
x\in \eta
\widetilde \pi (x; \eta \setminus \{ x\} )e - \beta W (x;\eta \setminus \{ x\} )
\left[
\varphi (\eta \setminus \{ x\} ) +
+
\infty \sum
k=1
1
k!
\int
\BbbR d
. . .
\int
\BbbR d
k\prod
i=1
\Bigl(
e - \beta \phi (| x - yi| ) - 1
\Bigr)
\varphi (\eta \setminus \{ x\} \cup \{ y1, . . . , yk\} )dy1 . . . dyk
\right]
=
=
\sum
x\in \eta
\widetilde \pi (x; \eta \setminus \{ x\} )e - \beta W (x;\eta \setminus \{ x\} )
\int
\Gamma 0
K(x; \gamma )\varphi (\eta \setminus \{ x\} \cup \gamma )\lambda \sigma (d\gamma ), якщо | \eta | \geq 2,
де
\widetilde \pi (x; \eta \setminus \{ x\} ) = \pi W (x; \eta \setminus \{ x\} )\sum
y\in \eta
\pi W (y; \eta \setminus \{ y\} )
, (2.7)
\pi W (x; \eta \setminus \{ x\} ) =
\left\{
1, якщо W (x; \eta \setminus \{ x\} ) \geq - 2B,
0 — у рештi випадкiв,
(2.8)
\rho := \{ \rho (\eta ; z, \beta )\} \eta \in \Gamma 0\setminus \varnothing , \rho (\varnothing ; z, \beta ) = 1, (2.9)
\delta (\eta ) =
\left\{
1, якщо | \eta | = 1,
0 — у рештi випадкiв.
(2.10)
Зауваження 2.2. Оператор \widetilde K = \Pi K у позначеннях Д. Рюеля [23], а (2.7), (2.8) є реалiза-
цiєю оператора \Pi :
(\Pi \varphi ) (\eta ) :=
\sum
x\in \eta
\widetilde \pi (x; \eta \setminus \{ x\} )\varphi (x, \eta \setminus \{ x\} ).
При цьому оператор K : E\xi \rightarrow Ee2\beta B\xi , а оператор \widetilde K : E\xi \rightarrow E\xi (детальнiше див. [23]).
Оператор \widetilde K є обмеженим оператором у банаховому просторi E\xi .
Розв’язок рiвняння (2.6) можна подати у формi збiжних у просторi E\xi (та точково збiжних
для будь-якої фiксованої конфiгурацiї \eta \in \Gamma 0) рядiв
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1090 О. Л. РЕБЕНКО, М. В. ТЕРТИЧНИЙ
\rho (\eta ; z, \beta ) =
\infty \sum
n=0
zn+1
\bigl( \widetilde Kn\delta
\bigr)
(\eta ; z, \beta ),
якщо взаємодiя задовольняє умови (A), а значення активностi z належить кругу:
| z| \leq e - 2\beta B\xi e - \xi C(\beta ). (2.11)
Оптимальним значенням параметра \xi є \xi = C(\beta ) - 1, де
C(\beta ) =
\int
\BbbR d
\bigm| \bigm| \bigm| e - \beta \phi (| x| ) - 1
\bigm| \bigm| \bigm| dx.
2.5. Основний результат роботи.
Теорема 2.1. Нехай потенцiал \phi (| x| ) є неперервним на \BbbR + \setminus \{ 0\} i задовольняє умови (2.1) –
(2.3). Тодi для довiльних конфiгурацiй \eta , \eta 1 \in \Gamma 0, \eta \cap \eta 1 = \varnothing , вiдстань мiж якими \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(\eta , \eta 1) :=
:= \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n} x\in \eta
y\in \eta 1
| x - y| > R, i достатньо малого значення активностi z справджується нерiвнiсть
\bigm| \bigm| \rho (\eta \cup \eta 1) - \rho (\eta )\rho (\eta 1)
\bigm| \bigm| \leq Cm
dist(\eta ,\eta 1)
R
\xi 0
\xi
| \eta | +| \eta 1|
0 , (2.12)
де m\xi 0 < 1, C > 0, \xi 0 = \xi 0(\beta , z) > 0 не залежать вiд \eta , \eta 1.
3. Доведення теореми 2.1. 3.1. Кореляцiйнi функцiї моделi комiркового газу. Як ми за-
значили вище, в роботах [11 – 13] було встановлено, що для взаємодiй, якi ми розглядаємо,
кореляцiйнi функцiї моделi комiркового газу поточково збiгаються до кореляцiйних функцiй
\rho (\eta ; z, \beta ), якщо параметр розбиття a \rightarrow 0. Це означає, що для доведення теореми 2.1 достат-
ньо довести нерiвнiсть (2.12) для кореляцiйних функцiй моделi комiркового газу зi сталими
m\xi 0 < 1, C > 0, \xi 0 = \xi 0(\beta , z) > 0, якi на залежать вiд параметра розбиття a.
Щоб визначити кореляцiйнi функцiї моделi комiркового газу, введемо таку функцiю на
просторi \Gamma 0 :
\chi \Delta
- (\gamma ) =
\left\{
1 для \gamma з | \gamma \Delta | \in \{ 0, 1\} ,
0 — в iншому випадку.
Тодi статистична сума i кореляцiйнi функцiї моделi комiркового газу визначаються формулами
Z
(a)
\Lambda (z, \beta ) :=
\int
\Gamma \Lambda
e - \beta U(\gamma )
\prod
\Delta \in \Delta a\cap \Lambda
\chi \Delta
- (\gamma )\lambda z\sigma (d\gamma ) :=
\int
\Gamma
(a)
\Lambda
e - \beta U(\gamma )\lambda a
z\sigma (d\gamma ),
\rho
(a)
\Lambda (\eta ; z, \beta ) :=
1
Z
(a)
\Lambda (z, \beta )
\int
\Gamma \Lambda
e - \beta U(\eta \cup \gamma )\lambda a
z\sigma (\eta \cup d\gamma ),
де
\lambda a
z\sigma (\eta \cup d\gamma ) :=
\prod
\Delta \in \Delta a\cap \Lambda
\chi \Delta
- (\eta \cup \gamma )\lambda z\sigma (d\gamma ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ВЛАСТИВIСТЬ ПЕРЕМIШУВАННЯ НЕПЕРЕРВНИХ КЛАСИЧНИХ СИСТЕМ . . . 1091
Визначимо також сiм’ю умовних кореляцiйних функцiй \rho
(a)
\Lambda (\cdot | \eta 1; z, \beta ):
\rho
(a)
\Lambda (\eta | \eta 1; z, \beta ) :=
z| \eta |
Z
(a)
\Lambda (\eta 1; z, \beta )
\int
\Gamma \Lambda
e - \beta U(\eta \cup \gamma | \eta 1)\lambda a
z\sigma (\eta \cup \eta 1 \cup d\gamma ), (3.1)
де
U(\gamma | \eta ) = U(\gamma ) + W (\gamma ; \eta ),
а вiдповiдна статистична сума має вигляд
Z
(a)
\Lambda (\eta 1; z, \beta ) :=
\int
\Gamma
(a)
\Lambda
e - \beta U(\gamma | \eta 1)\lambda z\sigma (\eta 1 \cup d\gamma ) =
\int
\Gamma \Lambda
e - \beta U(\gamma | \eta 1)\lambda a
z\sigma (\eta 1 \cup d\gamma ).
3.2. Рiвняння Кiрквуда – Зальцбурга для кореляцiйних функцiй комiркового газу. Основ-
ним технiчним засобом доведення нерiвностi (2.12) будуть рiвняння Кiрквуда – Зальцбурга
для кореляцiйних функцiй \rho (a)(\eta ; z, \beta ) i \rho (a)(\cdot | \eta 1; z, \beta ). В роботi [12] рiвняння для функцiй
\rho (a)(\eta ; z, \beta ) були використанi для доведення граничного переходу
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
a\rightarrow 0
\rho (a)(\eta ; z, \beta ) = \rho (\eta ; z, \beta ).
Зауважимо, що доведення iснування термодинамiчного граничного переходу \Lambda \uparrow \BbbR d для функ-
цiй \rho
(a)
\Lambda (\eta ; z, \beta ) проводиться аналогiчно (див. [12]), а щоб вивести рiвняння для функцiй
\rho
(a)
\Lambda (\cdot | \eta 1; z, \beta ), домножимо чисельник i знаменник у правiй частинi виразу (3.1) на множник
z| \eta 1| e - \beta U(\eta 1)
Z
( - )
\Lambda (z, \beta , a)
. Тодi
\rho
(a)
\Lambda (\eta | \eta 1; z, \beta ) :=
z| \eta \cup \eta 1|
Z
( - )
\Lambda (z, \beta , a)
\int
\Gamma \Lambda
e - \beta U(\eta \cup \eta 1\cup \gamma )\lambda a
z\sigma (\eta \cup \eta 1 \cup d\gamma )
z| \eta 1|
Z
( - )
\Lambda (z, \beta , a)
\int
\Gamma \Lambda
e - \beta U(\eta 1\cup \gamma )\lambda a
z\sigma (\eta 1 \cup d\gamma )
. (3.2)
Враховуючи визначення кореляцiйних функцiй \rho
(a)
\Lambda (\cdot ; z, \beta ), записуємо (3.2) у виглядi
\rho
(a)
\Lambda (\eta | \eta 1; z, \beta ) :=
\rho
(a)
\Lambda (\eta \cup \eta 1; z, \beta )
\rho
(a)
\Lambda (\eta 1; z, \beta )
(3.3)
i аналогiчне спiввiдношення для граничних функцiй \rho (a)(\eta | \eta 1; z, \beta ). Щоб записати рiвняння
для функцiй \rho (a)(\eta | \eta 1; z, \beta ), запишемо рiвняння Кiрквуда – Зальцбурга для функцiї \rho (a)(\eta \cup
\cup \eta 1; z, \beta ), видiливши змiнну x \in \eta i застосувавши оператор \widetilde \pi (x; \eta \setminus \{ x\} ) (формули (2.7), (2.8)):
\rho (a)(\eta \cup \eta 1; z, \beta ) = z\widetilde \pi (x; \eta \setminus \{ x\} )e - \beta W (x;\eta \setminus \{ x\} \cup \eta 1)
\Biggl\{
\rho (a)(\eta \setminus \{ x\} \cup \eta 1; z, \beta )+
+
\int \sum
Q\subset \Delta a,Q \not =\varnothing
Q\cap \eta \setminus \{ x\} \cup \eta 1=\varnothing
\prod
y\in Q
\bigl(
e - \beta \phi xy - 1
\bigr)
\rho (a)(\eta \setminus \{ x\} \cup \eta 1 \cup Q; z, \beta )
\Biggr\}
, (3.4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1092 О. Л. РЕБЕНКО, М. В. ТЕРТИЧНИЙ
де Q = \{ \Delta 1, . . . ,\Delta k\} , k = 0, 1, . . . , — всеможливi пiдмножини кубiв розбиття \Delta a, в кожному
з яких знаходиться точка конфiгурацiї. У формулi (3.4) ми використали позначення
\int \sum
Q\subset \Delta a
f(Q) =
\infty \sum
k=0
\sum
\{ \Delta 1,...,\Delta k\} \subset \Delta a
\int
\Delta 1
. . .
\int
\Delta k
f(y1, . . . , yk)dy1 . . . dyk.
Тодi, враховуючи (3.3), маємо
\rho (a)(\eta | \eta 1; z, \beta ) = z\widetilde \pi (x; \eta \setminus \{ x\} )e - \beta W (x;\eta \setminus \{ x\} \cup \eta 1)
\Biggl\{
\rho (a)(\eta \setminus \{ x\} | \eta 1; z, \beta )+
+
\int \sum
Q\subset \Delta a,Q \not =\varnothing
Q\cap \eta \setminus \{ x\} \cup \eta 1=\varnothing
\prod
y\in Q
\bigl(
e - \beta \phi xy - 1
\bigr)
\rho (a)(\eta \setminus \{ x\} \cup Q | \eta 1; z, \beta )
\Biggr\}
. (3.5)
Запишемо сiм’ю рiвнянь (3.5) у виглядi одного операторного рiвняння
\rho (a)(\eta | \eta 1) = z
\Bigl(
\widetilde K(a)
\eta 1 \rho (a)
\Bigr)
(\eta | \eta 1) + z\delta \eta 1(\eta ), (3.6)
де
\delta \eta 1(\eta ) =
\left\{
e - \beta W (x;\eta 1), якщо \eta = \{ x\} ,
0, якщо | \eta | \geq 2.
Оператор \widetilde K(a)
\eta 1 дiє на довiльну функцiю \varphi \in C0(\Gamma
(a)
0 за правилом
\Bigl(
\widetilde K(a)
\eta 1 \varphi
\Bigr)
(x) = e - \beta W (x;\eta 1)
\int \sum
Q\subset \Delta a,Q \not =\varnothing
Q\cap \eta 1=\varnothing
\prod
y\in Q
\bigl(
e - \beta \phi xy - 1
\bigr)
\varphi (Q) (3.7)
для | \eta | = 1 i
\Bigl(
\widetilde K(a)
\eta 1 \varphi
\Bigr)
(\eta ) = \widetilde \pi (x; \eta \setminus \{ x\} )e - \beta W (x;\eta \setminus \{ x\} \cup \eta 1)
\Biggl\{
\varphi (\eta \setminus \{ x\} )+
+
\int \sum
Q\subset \Delta a,Q \not =\varnothing
Q\cap \eta \setminus \{ x\} \cup \eta 1=\varnothing
\prod
y\in Q
\bigl(
e - \beta \phi xy - 1
\bigr)
\varphi (\eta \setminus \{ x\} \cup Q)
\Biggr\}
(3.8)
для | \eta | \geq 2.
Важливо зауважити, що якщо \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(\eta , \eta 1) > R, то W (\eta ; \eta 1) = 0, e - \beta W (x;\eta 1) = 1 i в сумах
виразiв (3.7), (3.8) пiдсумовування проводиться по пiдмножинах Q \subset R(\Delta ), де
R(\Delta ) =
\bigcup
\Delta \prime \in \Delta a,dist(\Delta \prime ,\Delta )\leq R
\Delta \prime .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ВЛАСТИВIСТЬ ПЕРЕМIШУВАННЯ НЕПЕРЕРВНИХ КЛАСИЧНИХ СИСТЕМ . . . 1093
Оператор \widetilde K(a)
\eta 1 є оператором у просторi E\xi (\xi > 0) (див. [23]). Його норма задовольняє нерiв-
нiсть (див. також аналогiчнi оцiнки в [9] для моделi ґратчастого газу)
\bigm\| \bigm\| \widetilde K( - )
\eta 1
\bigm\| \bigm\|
\xi
\leq e\beta D(a)e\xi C(\beta )\xi - 1.
Розв’язок рiвняння (3.6) можна записати у виглядi збiжного в E\xi (а також поточково збiжного
для кожної фiксованої конфiгурацiї \eta \in \Gamma 0 ) ряду (при достатньо малих значеннях активностi z)
\rho (a)(\eta | \eta 1; z, \beta , a) =
\infty \sum
n=0
zn+1
\Bigl( \Bigl(
\widetilde K(a)
\eta 1
\Bigr) n
\delta \eta 1
\Bigr)
(\eta ).
Покладаючи \eta 1 = \varnothing , отримуємо аналогiчнi рiвняння для функцiй \rho (a)(\eta ; z, \beta ), а їх розв’язки
задаються аналогiчним рядом
\rho (a)(\eta ; z, \beta ) =
\infty \sum
n=0
zn+1
\Bigl( \Bigl(
\widetilde K(a)
\Bigr) n
\delta
\Bigr)
(\eta ).
Вираз для оператора \widetilde K(a) (| \eta | \geq 2) є аналогiчним до (3.8) без множника e - \beta W (x;\eta 1).
Для доведення нерiвностi (2.12) сформулюємо наступну лему (див. також [9], лекцiя 6).
Лема 3.1. Якщо функцiї f1 i f2 збiгаються (f1(\eta ) = f2(\eta )) для всiх \eta \in \Gamma 0 таких, що
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(\eta , \eta 1) \geq pR > 0, p \in \BbbN ,
то \Bigl(
\widetilde K(a)f1
\Bigr)
(\eta ) =
\Bigl(
\widetilde K(a)
\eta 1 f2
\Bigr)
(\eta )
для всiх \eta таких, що
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(\eta , \eta 1) \geq (p+ 1)R.
Доведення. З рiвнянь (3.7), (3.8) i того факту, що Q \subset R(\Delta ), випливає \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(\eta \setminus \{ x\} \cup
\cup Q, \eta 1) \geq pR, якщо \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(\eta , \eta 1) \geq (p+1)R. У виразi для операторiв \widetilde K(a) i \widetilde K(a)
\eta 1 пiдсумовування
проводиться по рiзних областях (Q \cap \eta \setminus \{ x\} = \varnothing i Q \cap (\eta \setminus \{ x\} \cup \eta 1) = \varnothing вiдповiдно). Але це
не приводить до рiзних операторiв, бо якщо Q \cap \eta 1 \not = \varnothing i \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(\eta , \eta 1) > R за умовою леми, то
e - \beta \phi xy - 1 = 0 для довiльного y \in Q.
Якщо \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(\eta , \eta 1) \geq R, то \delta (\eta ) = \delta \eta 1(\eta ). Бiльш того, для довiльних \eta , \eta 1 \in \Gamma 0 таких, що
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(\eta , \eta 1) \geq R, \Bigl(
\widetilde K(a)\delta
\Bigr)
(\eta ) =
\Bigl(
\widetilde K(a)
\eta 1 \delta \eta 1
\Bigr)
(\eta ).
Лему 3.1 доведено.
Враховуючи лему 3.1, отримуємо
\Bigl( \Bigl(
\widetilde K(a)
\Bigr) p
\delta
\Bigr)
(\eta ) =
\Bigl( \Bigl(
\widetilde K(a)
\eta 1
\Bigr) p
\delta \eta 1
\Bigr)
(\eta ) (3.9)
для всiх p, 1 \leq p \leq
\biggl[
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(\eta , \eta 1)
R
\biggr]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1094 О. Л. РЕБЕНКО, М. В. ТЕРТИЧНИЙ
Для довiльних \eta , \eta 1 \in \Gamma 0 iснує n \in \BbbN 0 таке, що
(n+ 1)R \geq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(\eta , \eta 1) \geq nR.
Використовуючи цей факт i (3.9), одержуємо оцiнку для довiльних \eta , \eta 1 \in \Gamma 0 таких, що
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(\eta , \eta 1) \geq R:
\bigm| \bigm| \bigm| \rho (a)(\eta ) - \rho (a)(\eta | \eta 1)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \sum
l=n+1
zl+1
\biggl( \Bigl(
\widetilde K(a)
\eta 1
\Bigr) l
\delta
\biggr)
(\eta ) -
\infty \sum
l=n+1
zl+1
\biggl( \Bigl(
\widetilde K(a)
\Bigr) l
\delta \eta 1
\biggr)
(\eta )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| . (3.10)
З означення норми у просторi E\xi i того, що iснує таке \xi 0 , що виконуються нерiвностi
z
\bigm\| \bigm\| \widetilde K(a)
\bigm\| \bigm\|
\xi 0
\leq m\xi 0(a), z
\bigm\| \bigm\| \widetilde K(a)
\eta 1
\bigm\| \bigm\|
\xi 0
\leq m\xi 0(a), 0 \leq m\xi 0(a) \leq 1,
отримуємо нерiвностi
zl
\bigm| \bigm| \bigm|
\bigl( \bigl( \widetilde K(a)
\bigr) l
\delta
\bigr)
(\eta )
\bigm| \bigm| \bigm| \leq zl
\bigm\| \bigm\| \bigl( \widetilde K(a)
\bigr) l
\delta
\bigm\| \bigm\|
\xi 0
\xi
| \eta |
0 \leq ml
\xi 0\| \delta \| \xi 0\xi
| \eta |
0 \leq ml
\xi 0\xi
| \eta | - 1
0 , (3.11)
zl
\bigm| \bigm| \bigm|
\bigl( \bigl( \widetilde K(a)
\eta 1
\bigr) l
\delta \eta 1
\bigr)
(\eta )
\bigm| \bigm| \bigm| \leq zl
\bigm\| \bigm\| \bigl( \widetilde K(a)
\eta 1
\bigr) l
\delta \eta 1
\bigm\| \bigm\|
\xi 0
\xi
| \eta |
0 \leq ml
\xi 0\| \delta \eta 1\| \xi 0\xi
| \eta |
0 \leq e\beta Bml
\xi 0\xi
| \eta | - 1
0 . (3.12)
З огляду на оцiнки (3.11), (3.12) ми можемо записати оцiнку (3.10) у виглядi
\bigm| \bigm| \bigm| \rho (a)(\eta ) - \rho (a)(\eta | \eta 1)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq C0m
n+1
\xi 0
\xi
| \eta |
0 \leq C0m
dist(\eta ,\eta 1)
R
\xi 0
\xi
| \eta |
0 . (3.13)
Враховуючи (3.3) та обмеженiсть кореляцiйних функцiй \rho (a)(\eta ; z, \beta ):
\rho (a)(\eta 1; z, \beta ) \leq C1\xi
| \eta 1|
1 ,
де C1 не залежить вiд a (див. [13]), з (3.13) отримуємо
\bigm| \bigm| \bigm| \rho (a)(\eta \cup \eta 1) - \rho (a)(\eta )\rho (a)(\eta 1)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq Cm
dist(\eta ,\eta 1)
R
\xi 0
\xi | \eta | +| \eta 1| . (3.14)
Права частина нерiвностi (3.14) не залежить вiд параметра розбиття a. Граничний перехiд
a \rightarrow 0 завершує доведення теореми 2.1.
Лiтература
1. Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория. – М.: Наука, 1980. – 384 с.
2. Alexander K. S. Mixing properties and exponential decay for lattice systems in finite volumes // Ann. Probab. –
2004. – 32, № 1A. – P. 441 – 487.
3. Bradley R. C. Basic properties of strong mixing conditions. A survey and some open questionsy // Probab. Surv. –
2005. – 2. – P. 107 – 144.
4. Добрушин Р. Л. Описание случайного поля при помощи условных вероятностей и условия его регулярности //
Теория вероятностей и ее применения. – 1968. – 13, вып. 2. – С. 201 – 229.
5. Conache D., Daletskii A., Kondratiev Yu., Pasurek T. Gibbs measures on marked configuration spaces: existence and
uniqueness. – Preprint, arxiv.org/abs/1503.06349v2.
6. Lebowitz J. L. Bounds on the correlations and analyticity properties of ferromagnetic ising spin systems // Communs
Math. Phys. – 1972. – 28. – P. 313 – 321.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ВЛАСТИВIСТЬ ПЕРЕМIШУВАННЯ НЕПЕРЕРВНИХ КЛАСИЧНИХ СИСТЕМ . . . 1095
7. Duneau M., Iagolnitzer D., Souillard B. Decrease properties of truncated correlation functions and analyticity
properties for classical statistical mechanics // Communs Math. Phys. – 1973. – 31. – P. 191 – 208.
8. Iagolnitzer D., Souillard B. On the analyticity in the potential in classical statistical mechanics // Communs Math.
Phys. – 1978. – 60. – P. 131 – 152.
9. Minlos R. A. Introduction to mathematical statistical physics // Univ. Lect. Ser. – 1999. – 19. – 103 p.
10. Rebenko A. L. Cell gas model of classical statistical systems // Rev. Math. Phys. – 2013. – 25, № 4. – P. 1 – 28.
11. Rebenko A. L., Tertychnyi M. V. Quasi-continuous approximation of statistical systems with strong superstable
interactions // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2007. – 4, № 3. – С. 172 – 182.
12. Rebenko A. L., Tertychnyi M. V. Quasi-lattice approximation of statistical systems with strong superstable interactions.
Correlation functions // J. Math. Phys. – 2009. – 50, № 3. – P. 1 – 16.
13. Петренко С. М., Ребенко О. Л., Тертичний М. В. Про квазiнеперервну апроксимацiю в класичнiй статистичнiй
механiцi // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 3. – С. 369 – 384.
14. Rebenko A. L., Tertychnyi M. V. On stability, superstability and strong superstability of classical systems of statistical
mechanics // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2008. – 14, № 3. – P. 287 – 296.
15. Kondratiev Yu. G., Kuna T. Harmonic analysis on configuration spaces. I. General theory // Infin. Dimens. Anal.
Quantum. Probal. Relat. Top. – 2002. – 5, № 2. – P. 201 – 233.
16. Lenard A. States of classical statistical mechanical systems of infinitely many particles. I // Arch. Ration. Mech. and
Anal. – 1975. – 59. – P. 219 – 239.
17. Lenard A. States of classical statistical mechanical systems of infinitely many particles. II // Arch. Ration. Mech. and
Anal. – 1975. – 59. – P. 241 – 256.
18. Добрушин Р. Л., Синай Я. Г., Сухов Ю. М. Динамические системы статистической механики // Итоги науки и
техники / Сер. Совр. пробл. математики. Фундам. направления. – 1985. – 2. – С. 235 – 284.
19. Минлос Р. А. Лекции по статистической физике // Успехи мат. наук. – 1968. – 23, №1. – С. 133 – 190.
20. Parthasarathy K. R. Probability measure on metric spaces. Probability and mathematical statistics. – New York;
London: Acad. Press, 1967.
21. Lanford O. E., Ruelle D. Observables at infinity and states with short range correlations in statistical mechanics //
Communs Math. Phys. – 1969. – 13, № 3. – P. 194 – 215.
22. Kondratiev Yu. G., Pasurek T., Röckner M. Gibbs measures of continuous systems: an analytic approach // Rev. Math.
Phys. – 2012. – 24, № 10. – 54 p.
23. Ruelle D. Statistical mechanics (rigorous results). – New York; Amsterdam: W. A. Benjamin, 1969.
24. Петрина Д. Я., Герасименко В. И., Малышев П. В. Математические основы классической статистической
механики. – Киев: Наук. думка, 1985. – 262 с.
25. Petrina D. Ya., Gerasimenko V. I., Malyshev P. V. Mathematical foundation of classical statistical mechanics. Conti-
nuous systems. – New York etc.: Gordon and Breach Sci., 1989. – 281 p.
Одержано 27.04.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1760 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:09Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e5/51f28ffc530906919e29265ab5cd95e5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17602019-12-05T09:25:58Z Property of mixing of continuous classical systems with strong superstable interactions Властивість перемішування неперервних класичних систем з посилено надстійкою взаємодією Rebenko, A. L. Tertychnyi, M. V. Ребенко, О. Л. Тертичний, М. В. We consider an infinite system of point particles in $R^d$, interacting via a strong superstable two-body potential $\phi$ of finite range with radius $R$. In the language of correlation functions, we obtain a simple proof of decrease in correlations between two clusters (two groups of variables) the distance between which is larger than the radius of interaction. The established result is true for sufficiently small values of activity of the particles. Рассматривается бесконечная система точечных частиц в $R^d$, взаимодействие которых определяется усиленно сверхустойчивым двухчастичным потенциалом $\phi$ конечного радиуса действия $R$. На языке корреляционных функций приведено простое доказательство оценки убывания корреляций между двумя кластерами (двумя группами переменных), расстояние между которыми больше радиуса взаимодействия. Результат справедлив для достаточно малых значений активности частиц. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1760 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 8 (2017); 1084-1095 Український математичний журнал; Том 69 № 8 (2017); 1084-1095 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1760/742 Copyright (c) 2017 Rebenko A. L.; Tertychnyi M. V. |
| spellingShingle | Rebenko, A. L. Tertychnyi, M. V. Ребенко, О. Л. Тертичний, М. В. Property of mixing of continuous classical systems with strong superstable interactions |
| title | Property of mixing of continuous classical systems with strong
superstable interactions |
| title_alt | Властивість перемішування неперервних класичних систем
з посилено надстійкою взаємодією |
| title_full | Property of mixing of continuous classical systems with strong
superstable interactions |
| title_fullStr | Property of mixing of continuous classical systems with strong
superstable interactions |
| title_full_unstemmed | Property of mixing of continuous classical systems with strong
superstable interactions |
| title_short | Property of mixing of continuous classical systems with strong
superstable interactions |
| title_sort | property of mixing of continuous classical systems with strong
superstable interactions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1760 |
| work_keys_str_mv | AT rebenkoal propertyofmixingofcontinuousclassicalsystemswithstrongsuperstableinteractions AT tertychnyimv propertyofmixingofcontinuousclassicalsystemswithstrongsuperstableinteractions AT rebenkool propertyofmixingofcontinuousclassicalsystemswithstrongsuperstableinteractions AT tertičnijmv propertyofmixingofcontinuousclassicalsystemswithstrongsuperstableinteractions AT rebenkoal vlastivístʹperemíšuvannâneperervnihklasičnihsistemzposilenonadstíjkoûvzaêmodíêû AT tertychnyimv vlastivístʹperemíšuvannâneperervnihklasičnihsistemzposilenonadstíjkoûvzaêmodíêû AT rebenkool vlastivístʹperemíšuvannâneperervnihklasičnihsistemzposilenonadstíjkoûvzaêmodíêû AT tertičnijmv vlastivístʹperemíšuvannâneperervnihklasičnihsistemzposilenonadstíjkoûvzaêmodíêû |