On generalized Besov and Campanato spaces
We study the generalized Besov spaces and the spaces defined by the conditions imposed on local oscillations of locally summable functions (in the work, these spaces are called generalized Campanato spaces).
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1761 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507617099513856 |
|---|---|
| author | Alieva, L.R. Gahramanova, Z. Sh. Rzaev, R. M. Алієва, Л. Р. Гахраманова, З. Ш. Рзаєв, Р. М. |
| author_facet | Alieva, L.R. Gahramanova, Z. Sh. Rzaev, R. M. Алієва, Л. Р. Гахраманова, З. Ш. Рзаєв, Р. М. |
| author_sort | Alieva, L.R. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:25:58Z |
| description | We study the generalized Besov spaces and the spaces defined by the conditions imposed on local oscillations of locally
summable functions (in the work, these spaces are called generalized Campanato spaces). |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Р. М. Рзаев (Ин-т математики и механики НАН Азербайджана, Азерб. гос. пед. ун-т, Баку),
З. Ш. Гахраманова, Л. Р. Алиева (Ин-т математики и механики НАН Азербайджана, Баку)
ОБ ОБОБЩЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ БЕСОВА И КАМПАНАТО
We study the generalized Besov spaces and the spaces defined by the conditions imposed on local oscillations of locally
summable functions (in the work, these spaces are called generalized Campanato spaces).
Вивчаються узагальненi простори Бєсова i простори, що визначаються умовами на локальну осциляцiю локально
сумовних функцiй (у статтi цi простори називаються узагальненими просторами Кампанато).
1. Введение. Функциональные пространства играют важную роль при исследовании инте-
гральных, дифференциальных, интегро-дифференциальных и других уравнений. Поэтому изу-
чение функциональных пространств, доказательство различных теорем вложения, получение
утверждений об изоморфизмах между различными функциональными пространствами явля-
ется актуальной задачей математического анализа. Данная работа посвящена исследованию
обобщенных пространств Бесова и пространств, определяемых условиями на локальную ос-
цилляцию локально суммируемых функций (в работе эти пространства называются обобщен-
ными пространствами Кампанато).
Пространства Кампанато, иногда называемые также пространствами Моррея – Кампанато,
были введены в [2] в случае ограниченных областей в Rn. Они являются обобщениями BMO-
пространства функций ограниченной средней осцилляции, которое было введено в [8] и опре-
делено для открытых множеств G \subset Rn посредством полунормы
\| f\| BMO := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in G,r>0
1
| G(x, r)|
\int
G(x,r)
\bigm| \bigm| f(t) - fG(x,r)
\bigm| \bigm| dt,
где Rn — n-мерное евклидово пространство, G(x, r) := G \cap B(x, r), B(x, r) := \{ t \in Rn :
| t - x| \leq r\} — замкнутый шар в Rn радиуса r > 0 с центром в точке x \in Rn, | G(x, r)| —
лебегова мера множества G(x, r), fG(x,r) =
1
| G(x, r)|
\int
G(x,r)
f(t) dt.
Пусть G \subset Rn — открытое множество, 1 \leq p <\infty , \lambda \geq 0. Тогда пространство
Lp,\lambda (G) :=
\Bigl\{
f \in Lploc(G) : \| f\| Lp,\lambda (G) < +\infty
\Bigr\}
,
где
\| f\| Lp,\lambda (G) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in G,r>0
\left( 1
r\lambda
\int
G(x,r)
\bigm| \bigm| f(t) - fG(x,r)
\bigm| \bigm| p dt
\right)
1/p
,
называется пространством Кампанато. Отметим, что полунорма \| f\| Lp,\lambda (G) эквивалентна вели-
чине
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in G,r>0
\left( 1
r\lambda
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
c\in R1
\int
G(x,r)
\bigm| \bigm| f(t) - c
\bigm| \bigm| p dt
\right)
1/p
.
c\bigcirc Р. М. РЗАЕВ, З. Ш. ГАХРАМАНОВА, Л. Р. АЛИЕВА, 2017
1096 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ОБ ОБОБЩЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ БЕСОВА И КАМПАНАТО 1097
Важность пространств Кампанато обусловлена тем, что при n < \lambda \leq n + p они совпадают
с пространствами Гельдера, а в случае 0 < \lambda < n — с пространствами Моррея (в случае
ограниченной области G) (см. [2, 11]). В случае \lambda = n пространство Lp,\lambda (G) совпадает с
пространством BMO(G).
В [3] Кампанато ввел пространства высшего порядка Lp,\lambda k (G) с помощью полунормы
\| f\|
Lp,\lambda
k (G)
:= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in G, r>0
\left( 1
r\lambda
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
P\in Pk
\int
G(x,r)
\bigm| \bigm| f(t) - P (t)
\bigm| \bigm| p dt
\right)
1/p
,
где Pk — множество всех полиномов в Rn, степень которых не выше k \in N \cup \{ 0\} , N —
множество всех натуральных чисел.
Обобщенное пространство высшего порядка Lp,\varphi k (G), которое определяется с помощью
полунормы Кампанато
\| f\| Lp,\varphi
k (G) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in G, r>0
\left( 1
\varphi (r)
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
P\in Pk
\int
G(x,r)
\bigm| \bigm| f(t) - P (t)
\bigm| \bigm| p dt
\right)
1/p
,
где \varphi (r) — неотрицательная функция, было исследовано в работе [23].
Дополнительную информацию о пространствах Кампанато см., например, в [11].
2. Предварительные факты. Совокупность всех функций, p-я степень модуля которых
локально суммируема в Rn, обозначим через Lploc(R
n), 1 \leq p < \infty , а совокупность всех
локально ограниченных в Rn функций — через L\infty
loc(R
n).
Пусть f \in Lploc(R
n), 1 \leq p \leq \infty , 1 \leq q \leq \infty , k \in N. Введем следующие функции:
\mu kf (x; r)p := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\| f - \pi \| Lp(B(x,r)) : \pi \in Pk - 1
\bigr\}
, r > 0, x \in Rn,
\mu kf (r)pq :=
\left\{
\bigm\| \bigm\| \mu kf (\cdot ; r)p\bigm\| \bigm\| Lq(Rn)
, если 1 \leq q <\infty ,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{
\mu kf (x; r)p : x \in Rn
\Bigr\}
, если q = \infty .
Пусть x = (x1, x2, . . . , xn) \in Rn, \vargamma = (\vargamma 1, \vargamma 2, . . . , \vargamma n), где \vargamma 1, \vargamma 2, . . . , \vargamma n — неотрица-
тельные целые числа, | \vargamma | = \vargamma 1 + \vargamma 2 + . . . + \vargamma n, x
\vargamma = x\vargamma 11 x
\vargamma 2
2 . . . x\vargamma nn . Применим процесс
ортогонализации относительно скалярного произведения
(f, g) =
1\bigm| \bigm| B(0, 1)
\bigm| \bigm| \int
B(0,1)
f(t)g(t) dt
к системе степенных функций x\vargamma , | \vargamma | \leq k, k \in N \cup \{ 0\} , расположенных в частично лек-
сикографическом порядке1 (см. [15, 19]), где через | E| обозначена лебегова мера множества
E \subset Rn. Полученную ортонормированную систему обозначим через \varphi \vargamma , | \vargamma | \leq k.
Пусть f \in L1
loc(R
n). Рассмотрим полином [4, 14]
1 Это означает, что x\vargamma предшествует x\lambda , если либо | \vargamma | < | \lambda | , либо | \vargamma | = | \lambda | , но первая ненулевая разность
\vargamma i - \lambda i отрицательна.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1098 Р. М. РЗАЕВ, З. Ш. ГАХРАМАНОВА, Л. Р. АЛИЕВА
Pk,B(a,r)f(x) :=
\sum
| \vargamma | \leq k
\left( 1
| B(a, r)|
\int
B(a,r)
f(t)\varphi \vargamma
\biggl(
t - a
r
\biggr)
dt
\right) \varphi \vargamma
\biggl(
x - a
r
\biggr)
.
Очевидно, что Pk,B(a,r)f принадлежит Pk.
Для функции f \in Lploc(R
n), 1 \leq p \leq \infty , обозначим
Ok
\bigl(
f,B(a, r)
\bigr)
p
:= \| f - Pk - 1,B(a,r)f\| Lp(B(a,r))
.
Величина Ok
\bigl(
f,B(a, r)
\bigr)
p
называется локальной осцилляцией k-го порядка функции f в шаре
B(a, r) в метрике Lp [17].
Отметим, что если k = 0, то
Pk,B(a,r)f(x) \equiv
1\bigm| \bigm| B(a, r)
\bigm| \bigm| \int
B(a,r)
f(t) dt =: fB(a,r),
и поэтому, в частности,
O1(f,B(a, r))1 =
\int
B(a,r)
\bigm| \bigm| f(t) - fB(a,r)
\bigm| \bigm| dt.
Известно, что для любого полинома \pi \in Pk - 1 и для любого шара B(x, r) \subset Rn выполняется
неравенство (см. [12]) \bigm\| \bigm\| f - Pk - 1,B(x,r)f
\bigm\| \bigm\|
Lp(B(x,r))
\leq c \| f - \pi \| Lp(B(x,r)),
где положительная постоянная c не зависит от p, f, B и \pi . Отсюда следует, что
\exists c > 0 \forall x \in Rn \forall r > 0 :
\mu kf (x, r)p \leq Ok(f,B(x, r))p \leq c \mu kf (x, r)p. (1)
Модуль непрерывности k-го порядка (k \in N) функции f в метрике Lp, 1 \leq p \leq \infty ,
определяется равенством
\omega kf (r)p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{ \bigm\| \bigm\| \Delta k
hf
\bigm\| \bigm\|
Lp(Rn)
: | h| \leq r
\Bigr\}
, r > 0,
где \Delta 1
hf(x) := f(x+ h) - f(x), \Delta k
hf = \Delta 1
h
\bigl(
\Delta k - 1
h f
\bigr)
.
Отметим, что функции \mu kf (x, r)p, \mu
k
f (r)pq и \omega kf (r)p монотонно возрастают на промежутке
(0,+\infty ) по аргументу r.
Напомним некоторые известные факты, необходимые для дальнейшего изложения.
Теорема 1 [16]. Если f \in Lq(Rn), 1 \leq p \leq q \leq \infty (при q = \infty предполагается, что f
эквивалентна непрерывной функции2), то выполняется неравенство
\mu kf (r)pq \leq c rn/p \omega kf (r)q, r > 0, (2)
где постоянная \mathrm{c} > 0 не зависит от f и r.
2 Т. е. существует непрерывная в Rn функция g(x) такая, что f(x) = g(x) почти всюду.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ОБ ОБОБЩЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ БЕСОВА И КАМПАНАТО 1099
Теорема 2 [16]. Пусть f \in Lqloc(R
n), 1 \leq p \leq \infty , 1 \leq q <\infty ,
1\int
0
t - n/q - 1\mu kf (t)qp dt < +\infty .
Тогда выполняется неравенство
\omega kf (r)p \leq c
r\int
0
t - n/q - 1\mu kf (t)qp dt, r > 0 (3)
(если p = \infty , то f эквивалентна непрерывной функции), где постоянная c > 0 не зависит
от f и r.
Теорема 3 [16]. Пусть f \in L\infty
loc(R
n). Тогда выполняется неравенство
\omega kf (r)\infty \leq c \mu kf (r)\infty \infty , r > 0, (4)
где постоянная c > 0 не зависит от f и r.
3. Теоремы вложения. Пусть \itPhi — класс всех положительных монотонно возрастающих на
(0,+\infty ) функций \varphi (t) таких, что \varphi (+0) = 0. Через \itPhi k, k \in (0,+\infty ), обозначим совокупность
всех функций \varphi \in \itPhi таких, что \varphi (t)t - k почти убывает3.
Пусть k \in N, \varphi \in \itPhi k, 1 \leq p, q \leq \infty . Через Bk,\varphi
p,q обозначим совокупность всех функций
f \in Lp(Rn) (при p = \infty предполагается, что f эквивалентна непрерывной функции), для
которых конечна полунорма
| f |
Bk,\varphi
p,q
:=
\left\{
\left( \infty \int
0
\Biggl(
\omega kf (t)p
\varphi (t)
\Biggr) q
dt
t
\right) 1/q, если 1 \leq q <\infty ,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t>0
\omega kf (t)p
\varphi (t)
, если q = \infty .
Норму в пространстве Bk,\varphi
p,q введем посредством равенства
\| f\|
Bk,\varphi
p,q
:= \| f\| Lp(Rn) + | f |
Bk,\varphi
p,q
.
Пространства Bk,\varphi
p,q в случае степенной функции \varphi (t) были введены О. В. Бесовым (случай
q = \infty был ранее рассмотрен С. М. Никольским). Теория таких пространств изложена во
многих работах, в том числе в [10]. Отметим, что обобщенное пространство Бесова Bk,\varphi
p,q было
рассмотрено в работах многих авторов (см., например, [6] и приведенную там библиографию).
Пусть k \in N, 1 \leq p, q, \theta \leq \infty , \varphi \in \Phi . Через Lk,\varphi p,q,\theta обозначим (см. [18]) класс всех функций
f \in Lploc(R
n) таких, что \| f\|
Lk,\varphi
p,q,\theta
< +\infty , где
3 Неотрицательная функция h(t), t \in (0,\infty ), называется почти убывающей, если \exists \mathrm{c} > 0 \forall t1, t2 \in (0,+\infty ) :\bigl(
t1 < t2 \Rightarrow h(t1) \geq c h(t2)
\bigr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1100 Р. М. РЗАЕВ, З. Ш. ГАХРАМАНОВА, Л. Р. АЛИЕВА
\| f\|
Lk,\varphi
p,q,\theta
:=
\left\{
\left( \infty \int
0
\Biggl(
\mu kf (t)pq
\varphi (t)
\Biggr) \theta
dt
t
\right) 1/\theta при 1 \leq \theta <\infty ,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Biggl\{
\mu kf (r)pq
\varphi (r)
: r > 0
\Biggr\}
при \theta = \infty .
Класс Lk,\varphi p,q,\theta рассматривается как подмножество в фактор-пространстве Lploc(R
n)/Pk - 1.
Lk,\varphi p,q,\theta является банаховым пространством в норме \| f\|
Lk,\varphi
p,q,\theta
.
Введем еще следующие обозначения:
Mk,\varphi
p,q,\theta := Lk,\varphi p,q,\theta \cap Lq(Rn),
\| f\|
Mk,\varphi
p,q,\theta
:= \| f\|
Lk,\varphi
p,q,\theta
+ \| f\| Lq(Rn).
Пространства Lk,\varphi p,q,\theta и Mk,\varphi
p,q,\theta будем называть обобщенными пространствами Кампанато.
Из определения пространства Lk,\varphi p,q,\theta следует, что если 1 \leq p < \infty , q = \theta = \infty и \varphi \in \Phi ,
\psi (t) = (\varphi (t))p , t \in (0,+\infty ), то Lk,\varphi p,q,\theta = Lp,\psi k - 1(R
n).
Следует отметить, что теория пространств, определяемых условиями на локальную осцил-
ляцию функций, была развита во многих работах (см., например, [1, 2, 7 – 9, 11, 13, 19 – 22,
25]).
В [5] однородные пространства Бесова были исследованы в терминах средней осцилля-
ции. Заметим, что с характеризацией обычных пространств Бесова B\alpha
p,q в терминах локаль-
ных осцилляций можно ознакомиться в [25]. Нижеследующие теоремы показывают важность
обобщенных пространств Lk,\varphi p,q,\theta и Mk,\varphi
p,q,\theta , в терминах которых удается описать обобщенные
пространства Бесова. В этих утверждениях содержатся условия на функцию \varphi (t), при которых
обобщенное пространство Бесова и соответствующее обобщенное пространство Кампанато
совпадают и их нормы эквивалентны.
Теорема 4. Пусть k \in N, 1 \leq q \leq p \leq \infty , q <\infty , 1 \leq \theta \leq \infty , \varphi \in \Phi k, \varphi q(r) = rn/q \varphi (r).
Тогда пространство Bk,\varphi
p,\theta непрерывно вложено в пространство Mk,\varphi q
q,p,\theta .
Доказательство. Докажем, что Bk,\varphi
p,\theta \subset M
k,\varphi q
q,p,\theta и
\exists C > 0 \forall f \in Bk,\varphi
p,\theta : \| f\|
M
k,\varphi q
q,p,\theta
\leq C \| f\|
Bk,\varphi
p,\theta
. (5)
Пусть f \in Bk,\varphi
p,\theta . В силу неравенства (2) получаем
\left( \infty \int
0
\Biggl(
\mu kf (t)qp
\varphi (t)tn/q
\Biggr) \theta
dt
t
\right) 1/\theta \leq C
\left( \infty \int
0
\Biggl(
\omega kf (t)p
\varphi (t)
\Biggr) \theta
dt
t
\right) 1/\theta
с соответствующей модификацией в случае \theta = \infty . Отсюда следует, что Bk,\varphi
p,\theta \subset M
k,\varphi q
q,p,\theta и спра-
ведливо соотношение (5), т. е. пространство Bk,\varphi
p,\theta непрерывно вложено в пространство Mk,\varphi q
q,p,\theta .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ОБ ОБОБЩЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ БЕСОВА И КАМПАНАТО 1101
Теорема 5. Пусть k \in N, 1 \leq q \leq p \leq \infty , q <\infty , 1 \leq \theta \leq \infty , \varphi \in \Phi k, \varphi q(r) = rn/q\varphi (r),
\delta \int
0
\varphi (t)
t
dt = O
\bigl(
\varphi (\delta )
\bigr)
, \delta > 0. (6)
Тогда пространство Mk,\varphi q
q,p,\theta непрерывно вложено в пространство Bk,\varphi
p,\theta .
Доказательство. В случае \theta = \infty требуемое утверждение, т. е. непрерывное вложение
пространства Mk,\varphi q
q,p,\theta в пространство Bk,\varphi
p,\theta , непосредственно следует из неравенства (3).
Пусть f принадлежит Mk,\varphi q
q,p,\theta , где 1\leq \theta <\infty , 1\leq q \leq p \leq \infty , q <\infty . Отсюда следует, что
\| f\|
L
k,\varphi q
q,p,\theta
=
\left( \infty \int
0
\Biggl(
\mu kf (t)qp
\varphi (t)tn/q
\Biggr) \theta
dt
t
\right) 1/\theta < +\infty .
Тогда при x \in (0,+\infty ) имеем\left( 2x\int
0
\Biggl(
\mu kf (t)qp
tn/q\varphi (t)
\Biggr) \theta
dt
t
\right) 1/\theta \geq
\left( 2x\int
x
\Biggl(
\mu kf (t)qp
tn/q\varphi (t)
\Biggr) \theta
dt
t
\right) 1/\theta \geq
\geq
\mu kf (x)qp
(2x)n/q\varphi (2x)
(\mathrm{l}\mathrm{n} 2)1/\theta = 2 - n/q(\mathrm{l}\mathrm{n} 2)1/\theta
\mu kf (x)qp
xn/q\varphi (2x)
.
Отсюда получаем
\mu kf (x)qp
xn/q+1
\leq 2n/q(\mathrm{l}\mathrm{n} 2) - 1/\theta \varphi (2x)
x
\left( 2x\int
0
\Biggl(
\mu kf (t)qp
tn/q\varphi (t)
\Biggr) \theta
dt
t
\right) 1/\theta \leq
\leq 2n/q(\mathrm{l}\mathrm{n} 2) - 1/\theta \| f\|
M
k,\varphi q
q,p,\theta
\varphi (2x)
x
,
и, значит,
1\int
0
\mu kf (x)qp
xn/q+1
dx \leq c \| f\|
M
k,\varphi q
q,p,\theta
1\int
0
\varphi (2x)
x
dx < +\infty ,
где c = 2n/q (\mathrm{l}\mathrm{n} 2) - 1/\theta . А это означает, что выполняются условия теоремы 2. Следовательно,
имеет место неравенство (3). Можно проверить, что при выполнении условия (6) существует
такое число \varepsilon > 0, что имеет место соотношение
\delta \varepsilon
\delta \int
0
\varphi (t)
t1+\varepsilon
dt \leq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} \cdot \varphi (\delta ), \delta > 0. (7)
Пусть \theta \prime \in (0, \theta ) — такое число, что
1
\theta \prime
- 1
\theta
= \varepsilon . Тогда имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1102 Р. М. РЗАЕВ, З. Ш. ГАХРАМАНОВА, Л. Р. АЛИЕВА
\left( 2x\int
0
\Biggl(
\mu kf (t)qp
tn/q\varphi (t)t1/\theta
\Biggr) \theta \prime
dt
\right) 1/\theta
\prime
\geq
\left( 2x\int
x
\Biggl(
\mu kf (t)qp
tn/q\varphi (t)t1/\theta
\Biggr) \theta \prime
dt
\right) 1/\theta
\prime
\geq
\geq
\mu kf (x)qp
(2x)n/q+1/\theta \varphi (2x)
x1/\theta
\prime
= 2 - n/q - 1/\theta
\mu kf (x)qp
xn/q \varphi (2x)
x\varepsilon ,
поэтому
\mu kf (x)qp
xn/q+1
\leq 2n/q+1/\theta \varphi (2x)
x1+\varepsilon
\left( 2x\int
0
\Biggl(
\mu kf (t)qp
tn/q\varphi (t) t1/\theta
\Biggr) \theta \prime
dt
\right) 1/\theta
\prime
.
Отсюда для любого \tau \in (0,+\infty ) в силу (7) получаем
\tau \int
0
\mu kf (x)qp
xn/q+1
dx \leq c
\left( 2\tau \int
0
\Biggl(
\mu kf (t)qp
tn/q\varphi (t)t1/\theta
\Biggr) \theta \prime
dt
\right) 1/\theta
\prime
\tau \int
0
\varphi (2x)
x1+\varepsilon
dx \leq
\leq c1
\varphi (2\tau )
\tau \varepsilon
\left( 2\tau \int
0
\Biggl(
\mu kf (t)qp
tn/q\varphi (t) t1/\theta
\Biggr) \theta \prime
dt
\right) 1/\theta
\prime
,
где c и c1 — положительные постоянные, не зависящие от f и \tau .
Далее, применяя неравенство (3), имеем
\left( \infty \int
0
\Biggl(
\omega kf (t)p
\varphi (t)
\Biggr) \theta
dt
t
\right) 1/\theta \leq c2
\left(
\infty \int
0
\left(
\omega kf
\biggl(
t
2
\biggr)
p
\varphi (t)
\right)
\theta
dt
t
\right)
1/\theta
\leq
\leq c3
\left( \infty \int
0
\left( 1
\varphi (t)
t/2\int
0
\mu kf (x)qp
x
n
q
+1
dx
\right)
\theta
dt
t
\right)
1/\theta
\leq
\leq c4
\left(
\infty \int
0
\left( 1
\varphi (t)
\varphi (t)
t\varepsilon
\left( t\int
0
\Biggl(
\mu kf (y)qp
yn/q \varphi (y) y1/\theta
\Biggr) \theta \prime
dy
\right) 1/\theta
\prime \right)
\theta
dt
t
\right)
1/\theta
=
= c4
\left( \infty \int
0
1
t\varepsilon \theta
\left( t\int
0
\Biggl(
\mu kf (y)qp
yn/q \varphi (y) y1/\theta
\Biggr) \theta \prime
dy
\right) \theta /\theta
\prime
dt
t
\right)
1/\theta
=
= c4
\left( \infty \int
0
1
t1+\varepsilon \theta
\left( t\int
0
\Biggl(
\mu kf (y)qp
yn/q \varphi (y) y1/\theta
\Biggr) \theta \prime
dy
\right) \theta /\theta
\prime
dt
\right)
1/\theta
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ОБ ОБОБЩЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ БЕСОВА И КАМПАНАТО 1103
где положительные постоянные c2, c3, c4 не зависят от f. Если учесть, что
1 + \varepsilon \theta = 1 +
\biggl(
1
\theta \prime
- 1
\theta
\biggr)
\theta = 1 +
\theta
\theta \prime
- 1 =
\theta
\theta \prime
,
то из последнего соотношения получаем\left( \infty \int
0
\Biggl(
\omega kf (t)p
\varphi (t)
\Biggr) \theta
dt
t
\right) 1/\theta \leq c4
\left( \infty \int
0
\left( 1
t
t\int
0
\Biggl(
\mu kf (y)qp
yn/q \varphi (y) y1/\theta
\Biggr) \theta \prime
dy
\right) \theta /\theta \prime
dt
\right)
1/\theta
.
Отсюда с помощью неравенства Харди (см. [24]) имеем\left( \infty \int
0
\Biggl(
\omega kf (t)p
\varphi (t)
\Biggr) \theta
dt
t
\right) 1/\theta \leq c5
\left( \infty \int
0
\Biggl(
\mu kf (y)qp
yn/q \varphi (y) y1/\theta
\Biggr) \theta \prime \theta
\theta \prime
dy
\right) 1/\theta =
= c5
\left( \infty \int
0
\Biggl(
\mu kf (y)qp
yn/q \varphi (y)
\Biggr) \theta
dy
y
\right) 1/\theta ,
где постоянная c5 > 0 не зависит от f.
Отсюда следует, что f \in Bk,\varphi
p,\theta и \| f\|
Bk,\varphi
p,\theta
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 1, c5\} \| f\| Mk,\varphi q
q,p,\theta
. Таким образом, Mk,\varphi q
q,p,\theta \subset
\subset Bk,\varphi
p,\theta и
\exists C > 0 \forall f \in M
k,\varphi q
q,p,\theta : \| f\|
Bk,\varphi
p,\theta
\leq C \| f\|
M
k,\varphi q
q,p,\theta
. (8)
Соотношение (8) доказывает теорему 5.
Из предыдущих теорем непосредственно получаем следующее утверждение.
Теорема 6. Пусть k \in N, 1 \leq q \leq p \leq \infty , q < \infty , 1 \leq \theta \leq \infty , \varphi \in \Phi k, \varphi q(r) = rn/q\varphi (r)
и выполняется условие (6). Тогда Mk,\varphi q
q,p,\theta = Bk,\varphi
p,\theta и их нормы эквивалентны.
Лемма. Пусть f принадлежит L\infty
loc(R
n). Если \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}r\rightarrow 0 \mu
k
f (r)\infty \infty = 0, то f эквивалентна
непрерывной функции.
Доказательство. Нетрудно показать, что если g принадлежит L1
loc(R
n), то для любого
шара B \subset Rn выполняется неравенство
\| Pk,Bg\| L\infty (B) \leq C
1
| B|
\int
B
\bigm| \bigm| g(t)\bigm| \bigm| dt, (9)
где постоянная C > 0 не зависит от B и g.
Пусть B(x1, r) \subset B(x0, \delta ), 0 < r \leq \delta < +\infty . Тогда с помощью неравенства (9) имеем
\forall x \in B(x1, r) :
\bigm| \bigm| Pk - 1,B(x0,\delta )f(x) - Pk - 1,B(x1,r)f(x)
\bigm| \bigm| =
=
\bigm| \bigm| Pk - 1,B(x1,r)
\bigl(
f - Pk - 1,B(x0,\delta )f
\bigr)
(x)
\bigm| \bigm| \leq
\leq C
1\bigm| \bigm| B(x1, r)
\bigm| \bigm| \int
B(x1,r)
\bigm| \bigm| f(t) - Pk - 1,B(x0,\delta )f(t)
\bigm| \bigm| dt \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1104 Р. М. РЗАЕВ, З. Ш. ГАХРАМАНОВА, Л. Р. АЛИЕВА
\leq C
\bigm\| \bigm\| f - Pk - 1,B(x0,\delta )f
\bigm\| \bigm\|
L\infty (B(x1,r))
\leq C
\bigm\| \bigm\| f - Pk - 1,B(x0,\delta )f
\bigm\| \bigm\|
L\infty (B(x0,\delta ))
=
= C Ok
\bigl(
f,B(x0, \delta )
\bigr)
\infty \leq C1 \mu
k
f (x0; \delta )\infty , (10)
где постоянная C1 > 0 не зависит от x0, \delta , x, r, x1 и f. Отсюда
\forall x \in B(x1, r) :
\bigm| \bigm| Pk - 1,B(x0,\delta )f(x) - Pk - 1,B(x1,r)f(x)
\bigm| \bigm| \leq
\leq C1 \mu
k
f (x0; \delta )\infty \leq C1 \mu
k
f (\delta )\infty \infty , \delta > 0. (11)
Из неравенства (10) также получаем, что если 0 < \varepsilon < \delta < +\infty , то
\forall x \in B(x0, \varepsilon ) :
\bigm| \bigm| Pk - 1,B(x0,\delta )f(x) - Pk - 1,B(x0,\varepsilon )f(x)
\bigm| \bigm| \leq C1 \mu
k
f (x0; \delta )\infty \leq C1 \mu
k
f (\delta )\infty \infty . (12)
Из соотношения (12), в частности, следует, что если \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\delta \rightarrow 0 \mu
k
f (x0; \delta )\infty = 0, то существует
конечный предел
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow 0
Pk - 1,B(x0,r)f(x0) =: sf,k(x0).
Таким образом, если \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\delta \rightarrow 0 \mu
k
f (\delta )\infty \infty = 0, то предел sf,k(x) существует во всех точках x \in Rn.
Если x0 \in Rn — произвольная точка, то\bigm| \bigm| f(x0) - Pk - 1,B(x0,r)f(x0)
\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| Pk - 1,B(x0,r)
\bigl(
f - f(x0)
\bigr)
(x0)
\bigm| \bigm| \leq
\leq
\bigm\| \bigm\| Pk - 1,B(x0,r)
\bigl(
f - f(x0)
\bigr) \bigm\| \bigm\|
L\infty (B(x0,r))
\leq C
1\bigm| \bigm| B(x0, r)
\bigm| \bigm| \int
B(x0,r)
| f(t) - f(x0)| dt.
Отсюда следует, что если x0 является точкой Лебега функции f, то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow 0
Pk - 1,B(x0,r)f(x0) = f(x0). (13)
Теперь покажем, что если \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\delta \rightarrow 0 \mu
k
f (\delta )\infty \infty = 0, то функция sf,k(x) непрерывна в каждой
точке x0 \in Rn. В неравенстве (11) положим x1 = x, x \in K(x0, \delta ) :=
\bigl\{
x \in Rn : | x - x0| < \delta
\bigr\}
,
и перейдем к пределу при r \rightarrow 0. Тогда получим\bigm| \bigm| sf,k(x) - Pk - 1,B(x0,\delta )f(x)
\bigm| \bigm| \leq C1 \mu
k
f (\delta )\infty \infty , x \in K(x0, \delta ).
Из последнего неравенства получаем
\forall \varepsilon > 0 \exists \delta \prime \varepsilon > 0 \forall \delta \in
\bigl(
0, \delta \prime \varepsilon
\bigr)
\forall x \in K(x0, \delta ) :\bigm| \bigm| sf,k(x) - Pk - 1,B(x0,\delta )f(x)
\bigm| \bigm| < \varepsilon
3
. (14)
Если зафиксировать число r\varepsilon \in (0, \delta \prime \varepsilon ) , то
\exists \delta \prime \prime \varepsilon > 0 \forall x \in K
\bigl(
x0, \delta
\prime \prime
\varepsilon
\bigr)
:\bigm| \bigm| Pk - 1,B(x0,r\varepsilon )f(x) - Pk - 1,B(x0,r\varepsilon )f(x0)
\bigm| \bigm| < \varepsilon
3
. (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
ОБ ОБОБЩЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ БЕСОВА И КАМПАНАТО 1105
Пусть \delta \varepsilon = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
\delta \prime \prime \varepsilon , r\varepsilon
\bigr\}
. Тогда с помощью неравенств (14) и (15) получаем, что если x \in
\in K (x0, \delta \varepsilon ) , то
| sf,k(x) - sf,k(x0)| \leq
\bigm| \bigm| sf,k(x) - Pk - 1,B(x0,r\varepsilon )f(x)
\bigm| \bigm| +
+
\bigm| \bigm| Pk - 1,B(x0,r\varepsilon )f(x) - Pk - 1,B(x0,r\varepsilon )f(x0)
\bigm| \bigm| + \bigm| \bigm| Pk - 1,B(x0,r\varepsilon )f(x0) - sf,k(x0)
\bigm| \bigm| < \varepsilon .
Таким образом,
\forall \varepsilon > 0 \exists \delta \varepsilon > 0 \forall x \in K(x0, \delta \varepsilon ) :
\bigm| \bigm| sf,k(x) - sf,k(x0)
\bigm| \bigm| < \varepsilon ,
т. е. функция sf,k(x) непрерывна в точке x0 \in Rn. Равенство (13) показывает, что f(x) = sf,k(x)
почти всюду в Rn.
Лемма доказана.
Теорема 7. Пусть k \in N, 1 \leq \theta \leq \infty , \varphi \in \Phi k. Тогда Mk,\varphi
\infty ,\infty ,\theta = Bk,\varphi
\infty ,\theta и их нормы
эквивалентны.
Доказательство. Из определения пространства Bk,\varphi
\infty ,\theta следует, что если f \in Bk,\varphi
\infty ,\theta , то
f эквивалентна непрерывной функции. Кроме того, в силу леммы если f \in L\infty
loc(R
n) и
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}r\rightarrow 0 \mu
k
f (r)\infty \infty = 0, то f эквивалентна непрерывной функции. Поэтому функции из класса
Mk,\varphi
\infty ,\infty ,\theta тоже эквивалентны непрерывной функции. Из теорем 1 и 3 следует, что существуют
положительные постоянные c1, c2 такие, что для любой f \in L\infty (Rn), эквивалентной непре-
рывной функции, имеет место соотношение
c1 \mu
k
f (r)\infty \infty \leq \omega kf (r)\infty \leq c2 \mu
k
f (r)\infty \infty , r > 0.
Отсюда следует справедливость теоремы 7.
Литература
1. Брудный Ю. А. Пространства, определяемые с помощью локальных аппроксимаций // Тр. Моск. мат. о-ва. –
1971. – 24. – С. 69 – 132.
2. Campanato S. Proprieta di hölderianita di alcune classi di funzioni // Ann. Scuola norm. super. Pisa. – 1963. – 17. –
P. 175 – 188.
3. Campanato S. Proprieta di una famiglia di spazi funzionali // Ann. Scuola norm. super. Pisa. – 1964. – 18. –
P. 137 – 160.
4. DeVore R., Sharpley R. Maximal functions measuring smoothness // Mem. Amer. Math. Soc. – 1984. – 47, № 293. –
P. 1 – 115.
5. Dorronsoro J. R. Mean oscillation and Besov spaces // Can. Math. Bull. – 1985. – 28, № 4. – P. 474 – 480.
6. Gol’dman M. L. A criterion of imbedding for different metrics for isotropic Besov spaces with general moduli of
continuity // Proc. Steklov Inst. Math. – 1994. – 201. – P. 155 – 181.
7. Grevholm B. On the structure of the spaces Lp,\lambda
k // Math. Scand. – 1970. – 26. – P. 241 – 254.
8. John F., Nirenberg L. On functions of bounded mean oscillation // Communs Pure and Appl. Math. – 1961. – 14. –
P. 415 – 426.
9. Meyers G. N. Mean oscillation over cubes and Hölder continuity // Proc. Amer. Math. Soc. – 1964. – 15. – P. 717 – 721.
10. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1977. – 456 с.
11. Peetre J. On the theory of Lp,\lambda spaces // J. Funct. Anal. – 1969. – 4. – P. 71 – 87.
12. Rzaev R. M. On some properties of Riesz potentials in terms of the higher order mean oscillation // Proc. Inst. Math.
Mech. Nat. Acad. Sci. Azerb. – 1996. – 4. – P. 89 – 99.
13. Rzaev R. M. On boundedness of multidimensional singular integral operator in spaces BMOk
\varphi ,\theta and Hk
\varphi ,\theta // Proc.
Azerb. Math. Soc. – 1996. – 2. – P. 164 – 175.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1106 Р. М. РЗАЕВ, З. Ш. ГАХРАМАНОВА, Л. Р. АЛИЕВА
14. Рзаев Р. М. Многомерный сингулярный интегральный оператор в пространствах, определяемых условиями
на среднюю осцилляцию k-го порядка // Докл. АН. – 1997. – 356, № 5. – С. 602 – 604.
15. Rzaev R. M. On some maximal functions, measuring smoothness, and metric characteristics // Trans. Nat. Acad. Sci.
Azerb. – 1999. – 19, № 5. – P. 118 – 124.
16. Rzaev R. M. Inequalities for some metric characteristics // Trans. Nat. Acad. Sci. Azerb. – 2003. – 23, № 1. –
P. 173 – 180.
17. Rzaev R. M. Properties of singular integrals in terms of maximal functions measuring smoothness // Eurasian Math.
J. – 2013. – 4, № 3. – P. 107 – 119.
18. Rzaev R. M., Aliyev F. N. Riesz potentials in spaces defined by conditions on local oscillations of functions // Trans.
Nat. Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys.-Techn. Math. Sci. – 2015. – 35, № 1. – P. 87 – 95.
19. Rzaev R. M., Aliyeva L. R. On local properties of functions and singular integrals in terms of the mean oscillation //
Cent. Eur. J. Math. – 2008. – 6, № 4. – P. 595 – 609.
20. Sarason D. Functions of vanishing mean oscillation // Trans. Amer. Math. Soc. – 1975. – 207. – P. 391 – 405.
21. Sharpley R., Shim Y.-S. Singular integrals on C\alpha
p // Stud. Math. – 1989. – 92, № 3. – P. 285 – 293.
22. Spanne S. Some function spaces defined using the mean oscillation over cubes // Ann. Scuola norm. super. Pisa. –
1965. – 19. – P. 593 – 608.
23. Spanne S. Sur l’interpolation entre les espaces Lp\Phi
k // Ann. Scuola norm. super. Pisa. – 1966. – 20. – P. 625 – 648.
24. Stein E. M. Singular integrals and differentiability properties of functions. – Princeton, NJ: Princeton Univ. Press,
1970.
25. Triebel H. Local approximation spaces // Z. Anal. und Anwend. – 1989. – 8, № 3. – S. 261 – 288.
Получено 04.06.16,
после доработки — 31.03.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1761 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:09Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/3d/6402041e6585644e68b0663356a6873d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17612019-12-05T09:25:58Z On generalized Besov and Campanato spaces Об обобщенных пространствах Бесова и Кампанат Alieva, L.R. Gahramanova, Z. Sh. Rzaev, R. M. Алієва, Л. Р. Гахраманова, З. Ш. Рзаєв, Р. М. We study the generalized Besov spaces and the spaces defined by the conditions imposed on local oscillations of locally summable functions (in the work, these spaces are called generalized Campanato spaces). Вивчаються узагальненi простори Бєсова i простори, що визначаються умовами на локальну осциляцiю локально сумовних функцiй (у статтi цi простори називаються узагальненими просторами Кампанато). Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1761 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 8 (2017); 1096-1106 Український математичний журнал; Том 69 № 8 (2017); 1096-1106 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1761/743 Copyright (c) 2017 Alieva L.R.; Gahramanova Z. Sh.; Rzaev R. M. |
| spellingShingle | Alieva, L.R. Gahramanova, Z. Sh. Rzaev, R. M. Алієва, Л. Р. Гахраманова, З. Ш. Рзаєв, Р. М. On generalized Besov and Campanato spaces |
| title | On generalized Besov and Campanato spaces |
| title_alt | Об обобщенных пространствах Бесова и
Кампанат |
| title_full | On generalized Besov and Campanato spaces |
| title_fullStr | On generalized Besov and Campanato spaces |
| title_full_unstemmed | On generalized Besov and Campanato spaces |
| title_short | On generalized Besov and Campanato spaces |
| title_sort | on generalized besov and campanato spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1761 |
| work_keys_str_mv | AT alievalr ongeneralizedbesovandcampanatospaces AT gahramanovazsh ongeneralizedbesovandcampanatospaces AT rzaevrm ongeneralizedbesovandcampanatospaces AT alíêvalr ongeneralizedbesovandcampanatospaces AT gahramanovazš ongeneralizedbesovandcampanatospaces AT rzaêvrm ongeneralizedbesovandcampanatospaces AT alievalr obobobŝennyhprostranstvahbesovaikampanat AT gahramanovazsh obobobŝennyhprostranstvahbesovaikampanat AT rzaevrm obobobŝennyhprostranstvahbesovaikampanat AT alíêvalr obobobŝennyhprostranstvahbesovaikampanat AT gahramanovazš obobobŝennyhprostranstvahbesovaikampanat AT rzaêvrm obobobŝennyhprostranstvahbesovaikampanat |