Sardaryan T. G. On the solvability of one system of nonlinear Hammerstein-type integral equations on the semiaxis
We study the problems of construction of positive summable and bounded solutions for the systems of nonlinear Hammerstein-type integral equations with difference kernels on the semiaxis. The indicated systems have direct applications to the kinetic theory of gases, the theory of radiation transfer i...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1762 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507618030649344 |
|---|---|
| author | Sardaryan, T. G. Terjyan, Ts. E. Khachatryan, Kh. A. Сардарян, Т. Г. Терджян, Ц. Э. Хачатрян, Х. А. Сардарян, Т. Г. Терджян, Ц. Э. Хачатрян, Х. А. |
| author_facet | Sardaryan, T. G. Terjyan, Ts. E. Khachatryan, Kh. A. Сардарян, Т. Г. Терджян, Ц. Э. Хачатрян, Х. А. Сардарян, Т. Г. Терджян, Ц. Э. Хачатрян, Х. А. |
| author_sort | Sardaryan, T. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:25:58Z |
| description | We study the problems of construction of positive summable and bounded solutions for the systems of nonlinear
Hammerstein-type integral equations with difference kernels on the semiaxis. The indicated systems have direct applications
to the kinetic theory of gases, the theory of radiation transfer in spectral lines, and the theory of nonlinear Ricker competition
models for running waves. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.968.72
Х. А. Хачатрян (Ин-т математики НАН Армении, Ереван),
Ц. Э. Терджян (Нац. аграр. ун-т, Ереван, Армения),
Т. Г. Сардарян (Ин-т математики НАН Армении, Ереван)
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ТИПА ГАММЕРШТЕЙНА НА ПОЛУОСИ*
We study the problems of construction of positive summable and bounded solutions for the systems of nonlinear
Hammerstein-type integral equations with difference kernels on the semiaxis. The indicated systems have direct applications
to the kinetic theory of gases, the theory of radiation transfer in spectral lines, and the theory of nonlinear Ricker competition
models for running waves.
Дослiджуються питання побудови додатних сумовних i обмежених розв’язкiв для систем нелiнiйних iнтегральних
рiвнянь Гаммерштейна з рiзницевими ядрами на пiвпрямiй. Указанi системи мають безпосереднi застосування в
кiнетичнiй теорiї газiв, теорiї перенесення випромiнювання у спектральних лiнiях, теорiї нелiнiйних конкуренцiйних
систем Рiккера для бiжучих хвиль.
1. Введение. Рассмотрим систему нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна
\varphi i(x) =
\infty \int
0
Ki(x - t)Hi(t, \varphi 1(t), \varphi 2(t), . . . , \varphi n(t))dt, i = 1, 2, . . . , n, x \geq 0, (1.1)
относительно измеримой вектор-функции \varphi (x) = (\varphi 1(x), \varphi 2(x), . . . , \varphi n(x))
T , где T — знак
транспонирования. Существует ряд нелинейных граничных задач для систем дифференци-
альных уравнений n-го порядка, которые сводятся к матричным нелинейным интегральным
уравнениям Гаммерштейна вида (1.1) (см. [1] и приведенную там библиографию). Указанные
системы также могут быть применены в кинетической теории газов, в теории нелинейных
конкуренционных систем Риккера для бегущих волн и в теории переноса излучения в спект-
ральных линиях (см. [2 – 6]).
Ядра \{ Ki(x)\} ni=1 — определенные на множестве \BbbR суммируемые функции, удовлетворяю-
щие условиям
Ki(x) \geq 0, x \in \BbbR ,
+\infty \int
- \infty
Ki(x)dx = 1,
+\infty \int
- \infty
| x| Ki(x)dx < +\infty , (1.2)
Ki \in L\infty (\BbbR ), i = 1, 2, . . . , n. (1.3)
Функции \{ Hi(t, z1, z2, . . . , zn)\} ni=1 определены на множестве \BbbR +\times \BbbR n, принимают веществен-
ные значения, удовлетворяют условию
Hi(t, 0, 0, . . . , 0) = 0, i = 1, 2, . . . , n, t \in \BbbR +,
и некоторым дополнительным условиям (см. формулировку основного результата).
Первоначальные результаты исследований скалярных интегральных уравнений Гаммер-
штейна были получены в 20-х годах прошлого столетия в пионерских работах П. С. Урысона и
А. Гаммерштейна (см. [7 – 8]). Затем в 50-х годах XX века начaлись систематические исследова-
ния некоторых классов скалярных нелинейных интегральных уравнений в работах М. А. Крас-
носельского и его учеников. В частности, в работах М. А. Красносельского, П. П. Забрейко,
* Выполнена при финансовой поддержке ГКН МОН РА в рамках научного проекта № SCS 15T-1A033.
c\bigcirc Х. А. ХАЧАТРЯН, Ц. Э. ТЕРДЖЯН, Т. Г. САРДАРЯН, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8 1107
1108 Х. А. ХАЧАТРЯН, Ц. Э. ТЕРДЖЯН, Т. Г. САРДАРЯН
В. Я. Стеценко и Е. И. Пустыльника получены различные необходимые и достаточные усло-
вия, обеспечивающие компактность интегральных операторов Гаммерштейна (см. [9 – 13]). С
помощью этих результатов при некоторых ограничениях на нелинейность в указанных работах
доказаны теоремы существования и единственности для нелинейных интегральных уравнений
с операторами Гаммерштейна. Аналогичные вопросы исследовались на Западе научной шко-
лой Ф. Браудера (см. [14, 15] и приведенную в них библиографию). Однако в этих работах
существенную роль сыграла компактность оператора Гаммерштейна, а в некоторых случаях
также и ограниченность области интегрирования.
Основные трудности изучения нелинейных скалярных или матричных интегральных урав-
нений типа (1.1) обусловлены тем, что соответствующий нелинейный интегральный оператор
Гаммерштейна в пространствах Lp(\BbbR +), 1 \leq p \leq +\infty , некомпактен, имеет свойство критич-
ности, а область интегрирования неограничена. Поэтому в настоящее время не существует
общей операторной теории построения неподвижных положительных точек для таких уравне-
ний. Однако в некоторых частных случаях система (1.1) и ее скалярные аналоги исследовались
в работах [5, 16 – 20].
Например, в работе [5] система (1.1) исследовалась в случае, когда n = 2, Hi(t, z1, z2) =
= zie
ui - zi - viz3 - i ,
Ki(\tau ) =
1\surd
4\pi di
e
- \tau 2
4di , ui, vi, di > 0, i = 1, 2.
В работе [16] система (1.1) была изучена в случае, когда
Hi(t, z1, z2, . . . , zn) =
n\sum
j=1
cij(zj - \omega j(t, zj)),
где
cij > 0,
n\sum
j=1
cij \leq 1, \omega j(t, u) \downarrow по u, 0 \leq \omega j(t, u) \leq \omega 0
j (t+ u),
\omega 0
j \in L1(\BbbR +) \cap C0(\BbbR +), m1(\omega
0
j ) \equiv
+\infty \int
0
x\omega 0
j (x) dx < +\infty , i, j = 1, 2, . . . , n,
а ядро удовлетворяло условиям (1.2), (1.3) и некоторым техническим условиям. Отметим, что
скалярное интегральное уравнение Гаммерштейна на полуоси с четным консервативным ядром
и нелинейностью вида z - \omega (z), \omega \in L1(\BbbR +)\cap C0(\BbbR +), исследовалось в работе [17]. В работе
[18] исследовалось скалярное нелинейное интегральное уравнение на полуоси с оператором
Гаммерштейна, причем функции, описывающие нелинейность, кроме некоторых технических
условий, удовлетворяют также условию типа Гельдера – Липшица по второму аргументу. В ра-
боте [19] изучены вопросы разрешимости в пространстве L1(0,+\infty ) уравнения (1.1) в случае,
когда n = 1. В этой статье рассматривался подход к исследованию соответствующего ска-
лярного интегрального уравнения, аналогичный используемому в настоящей работе. В работе
[20] рассматривались нелинейные интегральные уравнения с некомпактным оператором и ком-
пактной областью интегрирования. Работа [21] посвящена вопросу разрешимости некоторых
систем нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна – Немыцкого на всей прямой.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1109
В настоящей статье при некоторых ограничениях на функции \{ Hi(t, z1, z2, . . . , zn)\} ni=1 до-
казано существование покомпонентно положительного решения системы (1.1) в пространстве
\frakM \equiv
\Bigl\{
\varphi (t) = (\varphi 1(t), \varphi 2(t), . . . , \varphi n(t))
T , \varphi j \in L0
1(\BbbR +) \cap L\infty (\BbbR +), j = 1, 2, . . . , n
\Bigr\}
,
где L0
1(\BbbR +) — пространство суммируемых функций на \BbbR + с нулевым пределом в +\infty .
Полученные результаты проиллюстрированы примерами функций \{ Hi(t, z1, z2, . . . , zn)\} ni=1 ,
удовлетворяющих условиям сформулированных теорем.
2. Обозначения и вспомогательные факты. 2.1. Параметры \{ \bfitp \bfiti \} \bfitn \bfiti =\bfone . Введем следу-
ющие функции, определенные на \BbbR + \equiv [0,+\infty ):
\chi i(p) =
\infty \int
0
Ki(x)e
- px dx, p \in \BbbR +, i = 1, 2, . . . , n. (2.1)
В дальнейшем будем считать, что
\gamma i \equiv
\infty \int
0
Ki(x) dx > 0, i = 1, 2, . . . , n. (2.2)
Тогда с учетом (1.2), (2.2) из (2.1) будем иметь
\chi i \in C(\BbbR +), \chi i(p) \downarrow по p на \BbbR +, \chi i(0) = \gamma j > 0, \chi i(+\infty ) = 0, i = 1, 2, . . . , n.
Следовательно, по теореме Больцано – Коши (см. [22]) для каждого i \in \{ 1, 2, . . . , n\} существует
такое pi > 0 (причем единственное), что
\chi i(pi) =
\gamma i
2
, i = 1, 2, . . . , n. (2.3)
2.2. Об одной системе линейных интегральных уравнений Винера – Хопфа. Пусть\bigl\{
\beta i(x)
\bigr\} n
i=1
— определенные на множестве \BbbR + положительные измеримые функции, имеющие
следующие свойства:
\beta i \in L1(\BbbR +) \cap L\infty (\BbbR +), m1(\beta i) \equiv
\infty \int
0
x\beta i(x) dx < +\infty , (2.4)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\beta i(x) = 0, \beta i(x) \geq
2
\gamma i
e - pix, x \in \BbbR +, i = 1, 2, . . . , n. (2.5)
Пусть, далее, A = (aij)
n\times n
i,j=1 — примитивная матрица с единичным спектральным радиусом
\bfr (A) = 1 (\bfr (A) — модуль максимального по модулю собственного значения матрицы A).
Тогда, согласно теореме Перрона – Фробениуса (см. [23]), существует вектор
\zeta = (\zeta 1, \zeta 2, . . . , \zeta n)
T
с положительными координатами \{ \zeta i\} ni=1, \zeta i > 0, такой, что
A\zeta = \zeta . (2.6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1110 Х. А. ХАЧАТРЯН, Ц. Э. ТЕРДЖЯН, Т. Г. САРДАРЯН
Введем в рассмотрение систему неоднородных интегральных уравнений Винера – Хопфа
fi(x) = gi(x) +
n\sum
j=1
\infty \int
0
\~Kij(x - t)fj(t) dt, i = 1, 2, . . . , n, x \in \BbbR +, (2.7)
относительно измеримой вектор-функции f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x))
T , где
gi(x) =
\infty \int
0
Ki(x - t)\beta i(t) dt, i = 1, 2, . . . , n, x \in \BbbR +, (2.8)
\~Kij(x) = aijKi(x), i, j = 1, 2, . . . , n, x \in \BbbR . (2.9)
В дальнейшем нам понадобится следующая лемма.
Лемма 2.1. Пусть выполнены условия (1.2), (1.3), (2.4), (2.5). Тогда если Ki( - \tau ) > Ki(\tau ),
i = 1, 2, . . . , n, \tau \in (0,+\infty ), то система (2.7) имеет положительное решение
f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x))
T , fi(x) > 0, i = 1, 2, . . . , n,
причем
а) fi \in L1(\BbbR +) \cap L\infty (\BbbR +),
б) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow +\infty fi(x) = 0, i = 1, 2, . . . , n,
в) fi(x) \geq e - pix, i = 1, 2, . . . n, x \in \BbbR +.
Доказательство. Сначала заметим, что:
1) gi \in L1(\BbbR +) \cap L\infty (\BbbR +),
2) m1(gi) < +\infty , i = 1, 2, . . . , n,
3) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow \infty gi(x) = 0, i = 1, 2, . . . , n.
Действительно, поскольку \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow \infty \beta i(x) = 0, а ядра \{ Ki(x)\} ni=1 удовлетворяют услови-
ям (1.2) и (1.3), то включение из п. 1 непосредственно следует из представления (2.8), а
формула из п. 3 является следствием известных предельных соотношений операции свертки
(см. [24, с. 61], лемма 5). Докажем, что m1(gi) < +\infty , i = 1, 2, . . . , n. С этой целью, учитывая
(1.2), (1.3), (2.4) и (2.5), для произвольного \rho > 0 оцениваем интеграл
\rho \int
0
xgi(x) dx =
\rho \int
0
x
\infty \int
0
Ki(x - t)\beta i(t) dt dx =
\infty \int
0
\beta i(t)
\rho \int
0
Ki(x - t)x dx dt =
=
\infty \int
0
\beta i(t)
\rho - t\int
- t
Ki(y)(t+ y) dy dt \leq m1(\beta i) +
\infty \int
0
\beta i(t) dt
+\infty \int
- \infty
| y| Ki(y) dy < +\infty ,
i = 1, 2, . . . , n.
Так как \rho > 0 — произвольное число, то отсюда следует, что m1(gi) < +\infty , i = 1, 2, . . . , n.
Поскольку \bfr (A) = 1, то из (1.2) и (2.9) получаем
\bfr
\left( +\infty \int
- \infty
\~K(x)dx
\right) = \bfr (A) = 1, (2.10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1111
где
\~K(x) =
\bigl(
\~Kij(x)
\bigr) n
i,j=1
, x \in \BbbR , (2.11)
— матричное ядро системы (2.7). С другой стороны,
\nu ( \~Kij) = aij
+\infty \int
- \infty
xKi(x) dx = aij
\left( 0\int
- \infty
xKi(x)dx+
+\infty \int
0
Ki(x)x dx
\right) < 0, (2.12)
ибо Ki( - \tau ) > Ki(\tau ), \tau \in (0,+\infty ), i = 1, 2, . . . , n.
Следовательно, система (2.7) имеет покомпонентно положительное решение в пространстве
L1(\BbbR +) (см. [25, с. 216], теорема 8.3 при n = 1). Но так как Ki \in L\infty (\BbbR ), а свободные члены
gi имеют свойства 1 – 3, то из (2.7) следует также, что fi \in L\infty (\BbbR +). С другой стороны, на
основании леммы 5 из работы [24] заключаем, что fi \in L0
1(\BbbR +)\cap L\infty (\BbbR +), i = 1, 2, . . . , n. Для
завершения доказательства леммы осталось убедиться в справедливости оценки в). Действи-
тельно, с учетом (2.5) из (2.7) имеем
fi(x) \geq gi(x) \geq
2
\gamma i
\infty \int
0
Ki(x - t)e - pitdt =
2
\gamma i
e - pix
x\int
- \infty
Ki(t)e
pitdt \geq
\geq 2
\gamma i
e - pix
0\int
- \infty
Ki(t)e
pitdt =
2
\gamma i
e - pix
\infty \int
0
Ki( - \tau )e - pi\tau d\tau \geq
\geq 2
\gamma i
e - pix
\infty \int
0
Ki(\tau )e
- pi\tau d\tau =
2
\gamma i
e - pix\chi i(pi) = e - pix, i = 1, 2, . . . , n.
Лемма 2.1 доказана.
2.3. Об одной системе однородных интегральных уравнений Винера – Хопфа. Рассмот-
рим систему однородных интегральных уравнений Винера – Хопфа
Si(x) =
n\sum
j=1
\infty \int
0
\~Kij(x - t)Sj(t) dt, i = 1, 2, . . . , n, x \in \BbbR +, (2.13)
с нормировочным условием
Si(0) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \BbbR +
fi(x), i = 1, 2, . . . , n. (2.14)
В (2.13) предполагается, что ядерные функции \{ Ki(x)\} ni=1 удовлетворяют условиям (1.2), (1.3),
причем
Ki( - \tau ) > Ki(\tau ), \tau \in (0,+\infty ), i = 1, 2, . . . , n. (2.15)
Тогда, как известно (см. [26, с. 235], теорема 14.3), задача (2.13), (2.14) имеет покомпонент-
но положительное монотонно возрастающее и существенно ограниченное решение S(x) =
=
\bigl(
S1(x), S2(x), . . . , Sn(x)
\bigr) T
. Очевидно, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1112 Х. А. ХАЧАТРЯН, Ц. Э. ТЕРДЖЯН, Т. Г. САРДАРЯН
\eta = \delta \zeta = (\delta \zeta 1, \delta \zeta 2, . . . , \delta \zeta n)
T , \delta \equiv \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq i\leq n
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x\in \BbbR + Si(x)
\zeta i
, (2.16)
также является собственным вектором для матрицы A, соответствующим собственному значе-
нию \lambda = \bfr (A) = 1:
A\eta = \eta . (2.17)
Покажем, что
\eta j \geq e - pjt, j = 1, 2, . . . , n, t \in \BbbR +.
Действительно, с учетом (2.14) и леммы 2.1 из (2.16) имеем
\eta j = \delta \zeta j \geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \BbbR +
Sj(x) \geq Sj(x) \geq fj(x) \geq gj(x) \geq e - pjx, x \in \BbbR +, j = 1, 2, . . . , n.
2.4. Построение мажорирующих функций для \bfitH \bfiti (\bfitt , \bfitz \bfone , \bfitz \bftwo , . . . , \bfitz \bfitn ). Рассмотрим по-
следовательность функций \{ Qj(z)\} nj=1, определенных на \BbbR и имеющих следующие свойства:
A1) Qj(z) \uparrow по на [0, \eta j ], j = 1, 2, . . . , n,
A2) Qj(0) = 0, Qj(\eta j) = \eta j , j = 1, 2, . . . , n,
A3) функции Qj(z) удовлетворяют условиям Липшица на отрезке [0, \eta j ], т. е. для каждого
j \in \{ 1, 2, . . . , n\} существует такое число Lj > 0, что для любых zj , \~zj \in [0, \eta j ] выполняется
неравенство \bigm| \bigm| Qj(z
j) - Qj(\~z
j)
\bigm| \bigm| \leq Lj | zj - \~zj | .
Следующая лемма будет играть ключевую роль в ходе дальнейших рассуждений.
Лемма 2.2. Для каждого \alpha \in
\biggl(
0,\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
1,
1
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}1\leq j\leq n Lj
\biggr) \biggr)
\equiv I функции \~Qj(z) = \eta j -
- \alpha Qj(\eta j - z), j = 1, 2, . . . , n, имеют следующие свойства:
B1) \~Qj(z) \uparrow по z на [0, \eta j ], j = 1, 2, . . . , n,
B2) \~Qj(0) > 0, \~Qj(\eta j) = \eta j , j = 1, 2, . . . , n,
B3) для любых zj , \~zj \in [0, \eta j ] имеют место неравенства\bigm| \bigm| \~Qj(z
j) - \~Qj(\~z
j)
\bigm| \bigm| \leq \alpha \ast | zj - \~zj | , j = 1, 2, . . . , n,
где \alpha \ast \equiv \alpha \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}1\leq j\leq n Lj \in (0, 1),
B4) справедливы оценки снизу
\~Qj(z) \geq z, z \in [0, \eta j ], j = 1, 2, . . . , n.
Доказательство. Утверждения B1) – B3) легко проверяемы. Докажем утверждение B4). Рас-
смотрим функции
Wj(z) \equiv \~Qj(z) - z, z \in [0, \eta j ], j = 1, 2, . . . , n.
Имеем
Wj(0) = \~Qj(0) = (1 - \alpha )\eta j > 0, ибо \alpha \in I, j = 1, 2, . . . , n,
Wj(\eta j) = \~Qj(\eta j) - \eta j = 0, j = 1, 2, . . . , n,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1113
Wj \in C[0, \eta j ], j = 1, 2, . . . , n.
Убедимся, что Wj(z) \downarrow по z на [0, \eta j ]. Пусть uj1, u
j
2 \in [0, \eta j ], u
j
1 > uj2 — произвольные
числа. Тогда
Wj(u
j
1) - Wj(u
j
2) = uj2 - uj1 + \alpha (Qj(\eta j - uj2) - Qj(\eta j - uj1)) \leq
\leq uj2 - uj1 + \alpha Lj(u
j
1 - uj2) = (\alpha Lj - 1)(uj1 - uj2) < 0,
ибо \alpha \in I, j = 1, 2, . . . , n. Следовательно,
Wj(z) \geq 0, z \in [0, \eta j ], т. е. \~Qj(z) \geq z, z \in [0, \eta j ], j = 1, 2, . . . , n.
Лемма 2.2 доказана.
Теперь можно сформулировать основной результат настоящей работы.
3. Основной результат. 3.1. Формулировка теоремы. Основным результатом настоящей
работы является следующая теорема.
Теорема 3.1. Пусть вещественнозначные функции \{ Hi(t, z1, z2, . . . , zn)\} ni=1 удовлетворя-
ют следующим условиям:
a1) при каждом фиксированном t \in \BbbR + функции \{ Hi(t, z1, z2, . . . , zn)\} ni=1 \uparrow по zj на от-
резке [e - pjt, \eta j ], j = 1, 2, . . . , n, где числа \{ pi\} ni=1 определяются в соответствии с равен-
ством (2.3);
a2) функции \{ Hi(t, z1, z2, . . . , zn)\} ni=1 удовлетворяют многомерному условию Каратеодо-
ри на множестве \Omega \eta \equiv \BbbR + \times [0, \eta 1] \times [0, \eta 2] \times . . . \times [0, \eta n] по совокупности аргументов
(z1, z2, . . . , zn) \in [0, \eta 1] \times [0, \eta 2] \times . . . \times [0, \eta n], т. е. при каждом (z1, z2, . . . , zn) \in [0, \eta 1] \times
\times [0, \eta 2] \times . . . \times [0, \eta n] функции \{ Hi(t, z1, z2, . . . , zn)\} ni=1 измеримы по аргументу t \in \BbbR + и
почти при всех t \in \BbbR + эти функции непрерывны по совокупности аргументов (z1, z2, . . . , zn)
на множестве [0, \eta 1]\times [0, \eta 2]\times [0, \eta n];
a3) выполняются неравенства
Hi(t, e
- p1t, e - p2t, . . . , e - pnt) \geq 2
\gamma i
e - pit, t \in \BbbR +, i = 1, 2, . . . , n;
a4) существуют число \alpha \in I, функции \{ \beta i(t)\} ni=1, со свойствами (2.4), (2.5) и примитивная
матрица A = (aij)
n\times n
i,j=1 с r(A) = 1 такие, что
Hi(t, z1, z2, . . . , zn) \leq \alpha
n\sum
j=1
aijQj(zj) + \beta i(t),
i = 1, 2, . . . , n, t \in \BbbR +, zj \in [e - pjt, \eta j ], j = 1, 2, . . . , n.
Тогда при условиях (1.2), (1.3) и (2.15) система (1.1) имеет покомпонентно положительное
решение в \frakM .
3.2. Доказательство теоремы. Доказательство разобьем на несколько шагов.
Шаг 1 (вспомогательная система нелинейных уравнений Гаммерштейна). Рассмотрим вспо-
могательную систему нелинейных уравнений Гаммерштейна
\psi i(x) =
n\sum
j=1
\infty \int
0
\~Kij(x - t) \~Qj(\psi j(t) - fj(t))dt+ \phi i(x), x \geq 0, i = 1, 2, . . . , n, (3.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1114 Х. А. ХАЧАТРЯН, Ц. Э. ТЕРДЖЯН, Т. Г. САРДАРЯН
относительно искомой вектор-функции \psi (x) =
\bigl(
\psi 1(x), \psi 2(x), . . . , \psi n(x)
\bigr) T
, где \{ fi(x)\} ni=1 —
положительное ограниченное и суммируемое решение системы (2.7) (см. лемму 2.1), а
\phi i(x) =
n\sum
j=1
\infty \int
0
\~Kij(x - t)fj(t)dt, i = 1, 2, . . . , n, x \geq 0. (3.2)
Введем следующие итерации:
\psi
(m+1)
i (x) =
n\sum
j=1
\infty \int
0
\~Kij(x - t) \~Qj(\psi
(m)
j (t) - fj(t))dt+ \phi i(x),
i = 1, 2, . . . , n, x \geq 0, \psi
(0)
i (x) = Si(x), m = 0, 1, 2, . . . .
(3.3)
Докажем, что
\psi
(m)
i (x) \uparrow по m,
\psi
(m)
i (x) \leq \eta i + fi(x), (3.4)
i = 1, 2, . . . , n, x \geq 0, m = 0, 1, 2, . . . .
Сначала докажем монотонность по m. В силу леммы 2.2 с учетом (2.7), (2.13) и того, что
0 \leq Si(x) - fi(x) \leq \eta i, x \in \BbbR +, i = 1, 2, . . . , n, будем иметь
\psi
(1)
i (x) =
n\sum
j=1
\infty \int
0
\~Kij(x - t) \~Qj(Sj(t) - fj(t))dt+ \phi i(x) \geq
\geq
n\sum
j=1
\infty \int
0
\~Kij(x - t)(Sj(t) - fj(t))dt+ \phi i(x) = Si(x) = \psi
(0)
i (x).
С другой стороны, \psi (0)
i (x) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x\geq 0 Si(x) \leq \delta \zeta i \leq \eta i + fi(x), i = 1, 2, . . . , n. Заметим также,
что 0 \leq \psi
(1)
i (x) - fi(x) \leq \eta i. Действительно, в силу (2.17) имеем
\psi
(1)
i (x) - fi(x) \geq Si(x) - fi(x) \geq 0,
\psi
(1)
i (x) - fi(x) \leq
n\sum
j=1
\infty \int
0
\~Kij(x - t) \~Qj(\eta j)dt+ \phi i(x) - fi(x) \leq
\leq
n\sum
j=1
aij\eta j + \phi i(x) - fi(x) \leq \eta i, i = 1, 2, . . . , n, x \in \BbbR +.
Предполагая, что \psi
(m)
i (x) \geq \psi
(m - 1)
i (x), \psi
(m)
i (x) \leq \eta i + fi(x), i = 1, 2, . . . , n, при некотором
m \in \BbbN с учетом леммы 2.2, (2.7) и (2.13) получаем
\psi
(m+1)
i (x) \geq
n\sum
j=1
\infty \int
0
\~Kij(x - t) \~Qj
\bigl(
\psi
(m - 1)
j (t) - fj(t)
\bigr)
dt+ \phi i(x) = \psi
(m)
i (x)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1115
и
\psi
(m+1)
i (x) \leq
n\sum
j=1
\infty \int
0
\~Kij(x - t) \~Qj(\eta j)dt+ \phi i(x) \leq
\leq
n\sum
j=1
aij\eta j + \phi i(x) = \eta i + \phi i(x) \leq \eta i + fi(x).
Следовательно, последовательность вектор-функций \psi (m)(x) =
\bigl(
\psi
(m)
1 (x), \psi
(m)
2 (x), . . .
. . . , \psi
(m)
n (x)
\bigr) T
, m = 0, 1, 2, . . . , имеет поточечный предел при m \rightarrow \infty , причем в силу лем-
мы 2.2 и предельной теоремы Б. Леви предельная вектор-функция \psi (x) =
\bigl(
\psi 1(x), \psi 2(x), . . .
. . . , \psi n(x)
\bigr) T
, \psi i(x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}m\rightarrow \infty \psi
(m)
i (x), удовлетворяет системе (3.1). Из (3.3) и (3.2) получаем
также следующую двустороннюю оценку для \{ \psi i(x)\} ni=1 :
Si(x) \leq \psi i(x) \leq \eta i + fi(x), x \in \BbbR +, i = 1, 2, . . . , n. (3.5)
Ниже докажем, что
\eta i + fi - \psi i \in L0
1(\BbbR +), i = 1, 2, . . . , n. (3.6)
Шаг 2 (доказательство включения (3.6)). С этой целью рассмотрим следующую вспомога-
тельную неоднородную систему Гаммерштейна:
Fi(x) = \~gi(x) +
n\sum
j=1
\infty \int
0
\~Kij(x - t)
\bigl(
\eta j - \~Qj(\eta j - Fj(t))
\bigr)
dt,
i = 1, 2, . . . , n, x \in \BbbR +,
(3.7)
где
\~gi(x) = \eta j
\infty \int
x
Ki(t) dt+ gi(x), i = 1, 2, . . . , n, x \in \BbbR +. (3.8)
Введем последовательные приближения
F
(m+1)
i (x) = \~gi(x) +
n\sum
j=1
\infty \int
0
\~Kij(x - t)
\bigl(
\eta j - \~Qj(\eta j - F
(m)
j (t))
\bigr)
dt,
F
(0)
i (x) \equiv 0, i = 1, 2, . . . , n, m = 0, 1, 2, . . . , x \in \BbbR +.
(3.9)
Индукцией по m можно доказать, что:
C1) F
(m)
i \in L1(\BbbR +), m = 0, 1, 2, . . . , i = 1, 2, . . . , n,
C2) F
(m)
i (x) \uparrow по m,
C3)
\int \infty
0
F
(m)
i (x) dx \leq \eta i\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}1\leq i\leq n \| \~gi\| L1(\BbbR +)(1 - \alpha \ast ) - 1, m = 0, 1, 2, . . . , i = 1, 2, . . . , n,
\alpha \ast = \alpha \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}1\leq j\leq n Lj ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1116 Х. А. ХАЧАТРЯН, Ц. Э. ТЕРДЖЯН, Т. Г. САРДАРЯН
C4) F
(m)
i (x) \leq \eta i - Si(x) + fi(x), x \in \BbbR +, m = 0, 1, 2, . . . , i = 1, 2, . . . , n.
Утверждения C1) – C3) проверяются стандартными методами. Докажем утверждение C4).
В случае m = 0 утверждение C4) является следствием неравенства (3.5). Пусть F
(m)
i (x) \leq
\leq \eta i - Si(x) + fi(x), i = 1, 2, . . . , n, x \in \BbbR +, при некотором m \in \BbbN . Тогда в силу леммы 2.2 и
соотношения (2.17) из (3.9) получаем
F
(m+1)
i (x) \leq \eta i
\infty \int
x
Ki(t)dt+ gi(x) +
n\sum
j=1
\infty \int
0
\~Kij(x - t)(\eta j - \~Qj(Sj(t) - fj(t)))dt =
= \eta i
\infty \int
x
Ki(t)dt+
n\sum
j=1
aij\eta j
x\int
- \infty
Ki(t)dt+ gi(x) -
n\sum
j=1
\infty \int
0
\~Kij(x - t) \~Qj(Sj(t) - fj(t))dt \leq
\leq \eta i + gi(x) -
n\sum
j=1
\infty \int
0
\~Kij(x - t)(Sj(t) - fj(t))dt = \eta i + gi(x) - Si(x) + \phi i(x) =
= \eta i - Si(x) + fi(x), i = 1, 2, . . . , n.
Из утверждений C1) – C4) следует, что система (3.7) имеет покомпонентно положительное сум-
мируемое и существенно ограниченное решение, являющеeся поточечным пределом последо-
вательности
\bigl\{
F (m)(x)
\bigr\} \infty
m=0
, F (m)(x) =
\bigl(
F
(m)
1 (x), F
(m)
2 (x), . . . , F
(m)
n (x)
\bigr) T
при m \rightarrow \infty . Так
как Fi(x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}m\rightarrow \infty F
(m)
i (x) \in L1(\BbbR +) \cap L\infty (\BbbR +), то из неравенств
0 \leq Fi(x) \leq \~gi(x) +
n\sum
j=1
aij\alpha
\ast
\infty \int
0
Ki(x - t)Fj(t) dt, i = 1, 2, . . . , n,
с учетом того, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\~gi(x) = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\infty \int
0
Ki(x - t)Fj(t) dt = 0
(последнее следует из известных свойств операций свертки (см. [24, с. 61], лемма 5), получаем
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow +\infty Fi(x) = 0, i = 1, 2, . . . , n.
Таким образом, мы доказали, что система (3.7) имеет положительное суммируемое и су-
щественно ограниченное решение F (x) =
\bigl(
F1(x), F2(x), . . . , Fn(x)
\bigr) T
, причем \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow \infty Fi(x) =
= 0, i = 1, 2, . . . , n, и
0 \leq Fi(x) \leq \eta i - Si(x) + fi(x) \leq \eta i, i = 1, 2, . . . , n, x \in \BbbR +.
Введем следующий класс измеримых вектор-функций:
\scrP \eta \equiv
\bigl\{
\varphi (t) = (\varphi 1(t), \varphi 2(t), . . . , \varphi n(t))
T , 0 \leq \varphi i(t) \leq \eta i, t \in \BbbR +, i = 1, 2, . . . , n
\bigr\}
.
Очевидно, что F \in \scrP \eta . Ниже докажем, что система (3.7) в классе \scrP \eta имеет единственное
решение. Действительно, предположим обратное: существуют два разных решения F, F \ast \in \scrP \eta
системы (3.7). Тогда с учетом леммы 2.2 из (3.7) будем иметь
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1117
| Fi(x) - F \ast
i (x)|
\eta i
\leq \alpha \ast
\eta i
n\sum
j=1
aij\eta j
\infty \int
0
Ki(x - t)
\eta j
| Fj(t) - F \ast
j (t)| dt \leq
\leq \alpha \ast
\eta i
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq n
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR +
| Fj(t) - F \ast
j (t)|
\eta j
n\sum
j=1
aij\eta j =
= \alpha \ast \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq n
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR +
| Fj(t) - F \ast
j (t)|
\eta j
, i = 1, 2, . . . , n.
Из полученного неравенства следует, что
(1 - \alpha \ast ) \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq n
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR +
| Fj(t) - F \ast
j (t)|
\eta j
\leq 0. (3.10)
Поскольку \alpha \ast \in (0, 1), то из (3.10) заключаем, что Fi(x) = F \ast
i (x) почти всюду на \BbbR +, i =
= 1, 2, . . . , n. Следовательно, система (3.7) в \scrP \eta имеет единственное решение. С другой сторо-
ны, непосредственной проверкой можно убедиться, что вектор-функция
(\eta 1 - \psi 1 + f1, \eta 2 - \psi 2 + f2, . . . , \eta n - \psi n + fn)
T \in \scrP \eta
удовлетворяет системе (3.7). Действительно, с учетом (3.1) имеем
\~gi(x) +
n\sum
j=1
\infty \int
0
\~Kij(x - t)(\eta j - \~Qj(\psi j(t) - fj(t)))dt =
= \eta i
\infty \int
x
Ki(t)dt+ gi(x) + \eta i
x\int
- \infty
Ki(t)dt - (\psi i(x) - \phi i(x)) =
= \eta i + gi(x) - \psi i(x) + \phi i(x) = \eta i - \psi i(x) + fi(x), i = 1, 2, . . . , n.
Так как \eta - \psi + f \in \scrP \eta , то из вышеизложенного заключаем, что
\eta - \psi + f \in \frakM ,
т. е. включение (3.6) доказано.
Шаг 3 (сходимость последовательных приближений для основной системы (1.1)). Рассмот-
рим специальные последовательные приближения
\varphi
(m+1)
i (x) =
\infty \int
0
Ki(x - t)Hi
\bigl(
t, \varphi
(m)
1 (t), \varphi
(m)
2 (t), . . . , \varphi (m)
n (t)
\bigr)
dt,
\varphi
(0)
i (x) = e - pix, i = 1, 2, . . . , n, m = 0, 1, 2, . . . , x \in \BbbR +,
(3.11)
где числа \{ pi\} ni=1 определяются в соответствии с равенством (2.3).
Индукцией по m можно доказать, что:
D1) \varphi
(m)
i (x) \uparrow по m, i = 1, 2, . . . , n,
D2) \varphi
(m)
i (x) \leq \eta i - \psi i(x) + fi(x), i = 1, 2, . . . , n, m = 0, 1, 2, . . . , x \in \BbbR +.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1118 Х. А. ХАЧАТРЯН, Ц. Э. ТЕРДЖЯН, Т. Г. САРДАРЯН
Действительно, в случае m = 0 неравенства в условии D2) непосредственно следуют из це-
почки неравенств
\eta i - \psi i(x) + fi(x) \geq \~gi(x) \geq gi(x) \geq
2
\gamma i
\infty \int
0
Ki(x - t)e - pit dt \geq e - pix,
i = 1, 2, . . . , n, x \in \BbbR +.
Ниже докажем, что \varphi (1)
i (x) \geq \varphi
(0)
i (x). В силу условия a3) теоремы 1 из (3.11) получаем
\varphi
(1)
i (x) =
\infty \int
0
Ki(x - t)Hi(t, e
- p1t, e - p2t, . . . , e - pnt)dt \geq
\geq 2
\gamma i
\infty \int
0
Ki(x - t)e - pitdt \geq e - pix = \varphi
(0)
i (x).
Теперь, предполагая, что \varphi (m)
i (x) \geq \varphi
(m - 1)
i (x) и \varphi
(m)
i (x) \leq \eta i - \psi i(x) + fi(x) при некотором
m \in \BbbN , i = 1, 2, . . . , n, и учитывая условия a1), a4) теоремы 1, из (3.11) имеем
\varphi
(m+1)
i (x) \geq
\infty \int
0
Ki(x - t)Hi(t, \varphi
(m - 1)
1 (t), \varphi
(m - 1)
2 (t), . . . , \varphi (m - 1)
n (t))dt = \varphi
(m)
i (x)
и
\varphi
(m+1)
i (x) \leq \alpha
n\sum
j=1
aij
\infty \int
0
Ki(x - t)Qj(\eta j - \psi j(t) + fj(t))dt+ gi(x) =
=
n\sum
j=1
aij
\infty \int
0
Ki(x - t)(\eta j - \~Qj(\psi j(t) - fj(t)))dt+ gi(x) \leq
\leq
n\sum
j=1
aij\eta j - (\psi i(x) - \phi i(x)) + gi(x) = \eta i + fi(x) - \psi i(x).
Таким образом, утверждения D1) и D2) полностью доказаны. Следовательно, последователь-
ность вектор-функций \varphi (m)(x) =
\bigl(
\varphi
(m)
1 (x), \varphi
(m)
2 (x), . . . , \varphi
(m)
n (x)
\bigr) T
, m = 0, 1, 2, . . . , имеет
поточечный предел при m\rightarrow \infty :
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow \infty
\varphi
(m)
i (x) = \varphi i(x), i = 1, 2, . . . , n,
причем
e - pix \leq \varphi i(x) \leq \eta i - \psi i(x) + fi(x), i = 1, 2, . . . , n, x \in \BbbR +. (3.12)
Из теоремы Б. Леви и условия a2) следует, что предельная вектор-функция \varphi (x) = (\varphi 1(x),
\varphi 2(x), . . . , \varphi n(x))
T удовлетворяет системе (1.1). Так как
\eta - \psi + f \in \frakM ,
то из (3.12) получаем, что \varphi \in \frakM .
Теорема 3.1 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1119
Замечание. В ходе доказательства теоремы 3.1 нами также получена двусторонняя оцен-
ка (3.12) для решения \varphi (x) = (\varphi 1(x), \varphi 2(x), . . . , \varphi n(x))
T .
4. Примеры функций \{ \bfitH \bfiti (\bfitt , \bfitz \bfone , \bfitz \bftwo , . . . , \bfitz \bfitn )\} \bfitn \bfiti =\bfone . Теорема единственности для част-
ного случая системы (1.1). Приведем примеры функций \{ Hi(t, z1, z2, . . . , zn)\} ni=1, удовлетво-
ряющих условиям a1) – a4), для иллюстрации полученного результата. Все условия теоремы 3.1
выполняются для класса функций
Hi(t, z1, z2, . . . , zn) = \alpha
n\sum
j=1
aijQj(zj) +
2(1 + \varepsilon )zie
- pit
\gamma i(zi + \varepsilon e - pit)
, i = 1, 2, . . . , n,
где \varepsilon > 0 — произвольное число.
В этом случае в качестве функций \{ \beta i(t)\} ni=1 можно выбрать семейство
\beta i(t) =
2(1 + \varepsilon )
\gamma i
e - pit, i = 1, 2, . . . , n, t \in \BbbR +.
Можно рассматривать более общий пример функций \{ Hi(t, z1, z2, . . . , zn)\} ni=1 :
Hi(t, z1, z2, . . . , zn) =
\alpha
lt2 + 1
n\sum
j=1
aijQj(zj) +
2(1 + \varepsilon )qzqi e
- pit
\gamma i(zi + \varepsilon e - pit)q
, (4.1)
где q \geq 1, l \geq 0 — произвольные числа. Здесь в качестве функций \{ \beta i(t)\} ni=1 могут использо-
ваться
\beta i(t) =
2(1 + \varepsilon )q
\gamma i
e - pit, i = 1, 2, . . . , n, t \in \BbbR +.
Отметим, что система (1.1) с нелинейностью (4.1) и ядром вида
Ki(\tau ) =
1\surd
4\pi di
e
- (\tau +c)2
4di , \tau \in \BbbR , c \geq 0, di > 0, i = 1, 2, . . . , n,
встречается в теории нелинейных конкуренционных систем Риккера (см. [5]).
В качестве функций \{ Qj(z)\} nj=1 могут использоваться, например, следующие:
a) Qj(z) =
zp
\eta p - 1
j
, p > 1,
b) Qj(z) = z +
\eta j
\pi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
\pi z
\eta j
,
c) Qj(z) = 2z - z2
\eta j
, j = 1, 2, . . . , n.
Ниже докажем, что при достаточно малых \varepsilon > 0 в случае, когда функции \{ Hi(t, z1, z2, . . .
. . . , zn)\} ni=1 допускают представление (4.1), решение системы (1.1) единственно в следующем
классе измеримых и существенно ограниченных вектор-функций:
\scrL = \{ \varphi (x) = (\varphi 1(x), \varphi 2(x), . . . , \varphi n(x))
T , \eta i \geq \varphi i(x) \geq e - pix,
x \in \BbbR +, \varphi i \in L\infty (\BbbR +), i = 1, 2, . . . , n\} .
Рассмотрим нелинейную систему интегральных уравнений
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1120 Х. А. ХАЧАТРЯН, Ц. Э. ТЕРДЖЯН, Т. Г. САРДАРЯН
\varphi i(x) = \alpha
n\sum
j=1
aij
\infty \int
0
Ki(x - t)
(lt2 + 1)
Qj(\varphi j(t))dt+
+
2(1 + \varepsilon )q
\gamma i
\infty \int
0
Ki(x - t)
e - pit\varphi q
i (t)
(\varphi i(t) + \varepsilon e - pit)q
dt, (4.2)
x \in \BbbR +, i = 1, 2, . . . , n, относительно \varphi (x) = (\varphi 1(x), \varphi 2(x), . . . , \varphi n(x))
T .
Справедлива следующая теорема.
Теорема 4.1. Пусть выполнены условия (1.2), (1.3) и (2.15), а \varepsilon \ast — положительное решение
характеристического уравнения
(1 + x)q - 2x+
(\alpha \ast - 1)\gamma
2q
= 0 (4.3)
относительно x, где
\gamma \equiv \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
1\leq i\leq n
\gamma i, q \geq 1, \alpha \ast = \alpha \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq n
Lj , \alpha \in
\biggl(
0,\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
1,
1
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}1\leq j\leq n Lj
\biggr) \biggr)
.
Тогда если \varepsilon \in (0, \varepsilon \ast ), то решение системы (4.2) единственно в классе вектор-функций \scrL .
Доказательство. Предположим обратное: пусть система (4.2) имеет два разных решения
\varphi , \~\varphi \in \scrL . Тогда из (4.2) будем иметь
| \varphi i(x) - \~\varphi i(x)|
\eta i
\leq \alpha
\eta i
n\sum
j=1
aij
\infty \int
0
Ki(x - t)| Qj(\varphi j(t)) - Qj( \~\varphi j(t))| dt+
+
2(1 + \varepsilon )q
\eta i\gamma i
\infty \int
0
Ki(x - t)e - pit
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \varphi q
i (t)
(\varphi i(t) + \varepsilon e - pit)q
-
\~\varphi q
i (t)
( \~\varphi i(t) + \varepsilon e - pit)q
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt \leq
\leq \alpha
\eta i
n\sum
j=1
aijLj
\infty \int
0
Ki(x - t)| \varphi j(t) - \~\varphi j(t)| dt+
+
2(1 + \varepsilon )q
\eta i\gamma i
\infty \int
0
Ki(x - t)e - pit
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \varphi q
i (t)
(\varphi i(t) + \varepsilon e - pit)q
-
\~\varphi q
i (t)
( \~\varphi i(t) + \varepsilon e - pit)q
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt \equiv
\equiv Ii(x) + Ji(x), i = 1, 2, . . . , n, x \in \BbbR +. (4.4)
В силу формулы Лагранжа о конечных приращениях для слагаемого Ji(x) получим оценку
Ji(x) \leq
2(1 + \varepsilon )q\varepsilon q
\eta i\gamma
\infty \int
0
Ki(x - t)e - 2pit
\Theta q - 1
i (t)
(\Theta i(t) + \varepsilon e - pit)q+1
| \varphi i(t) - \~\varphi i(t)| dt,
i = 1, 2, . . . , n,
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1121
\eta i \geq \Theta i(t) \geq e - pit, t \in \BbbR +, \Theta i \in L\infty (\BbbR +), i = 1, 2, . . . , n. (4.5)
Из (4.5) следует, что
\Theta q - 1
i (t)
(\Theta i(t) + \varepsilon e - pit)q+1
\leq 1
(1 + \varepsilon )2e - 2pit
, t \in \BbbR +, i = 1, 2, . . . , n. (4.6)
Следовательно, с учетом (1.2), (4.6) имеем
Ji(x) \leq
2(1 + \varepsilon )q - 2\varepsilon q
\eta i\gamma
\infty \int
0
Ki(x - t)| \varphi i(t) - \~\varphi i(t)| dt \leq
\leq 2(1 + \varepsilon )q - 2\varepsilon q
\gamma
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq i\leq n
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\geq 0
| \varphi i(t) - \~\varphi i(t)|
\eta i
. (4.7)
Для слагаемого Ii(x) в силу (2.17) будем иметь
Ii(x) \leq
\alpha \ast
\eta i
n\sum
j=1
aij\eta j
\infty \int
0
Ki(x - t)
| \varphi j(t) - \~\varphi j(t)|
\eta j
dt \leq
\leq \alpha \ast
\eta i
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq n
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\geq 0
| \varphi j(t) - \~\varphi j(t)|
\eta j
n\sum
j=1
aij\eta j =
= \alpha \ast \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq i\leq n
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\geq 0
| \varphi i(t) - \~\varphi i(t)|
\eta i
. (4.8)
С использованием оценок (4.7) и (4.8) из (4.4) получим
| \varphi i(x) - \~\varphi i(x)|
\eta i
\leq
\biggl(
\alpha \ast +
2(1 + \varepsilon )q - 2\varepsilon q
\gamma
\biggr)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq i\leq n
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\geq 0
| \varphi i(x) - \~\varphi i(x)|
\eta i
.
Из последнего неравенства следует также, что\biggl(
1 - \alpha \ast - 2(1 + \varepsilon )q - 2\varepsilon q
\gamma
\biggr)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq i\leq n
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\geq 0
| \varphi i(x) - \~\varphi i(x)|
\eta i
\leq 0. (4.9)
Поскольку \varepsilon \in (0, \varepsilon \ast ), q \geq 1 и функция (1 + \varepsilon )q - 2\varepsilon \uparrow по \varepsilon , то из (4.9) и (4.3) получаем
1 - \alpha \ast - 2(1 + \varepsilon )q - 2\varepsilon q
\gamma
> 1 - \alpha \ast - 2(1 + \varepsilon \ast )q - 2\varepsilon \ast q
\gamma
= 0. (4.10)
Таким образом, из (4.9) и (4.10) следует, что
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq i\leq n
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\geq 0
| \varphi i(x) - \~\varphi i(x)|
\eta i
\leq 0.
Последнее возможно лишь тогда, когда \varphi i(t) = \~\varphi i(t), i = 1, 2, . . . , n, почти всюду на \BbbR +.
Полученное противоречие доказывает теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1122 Х. А. ХАЧАТРЯН, Ц. Э. ТЕРДЖЯН, Т. Г. САРДАРЯН
Литература
1. Jiafa Xu, Zhilin Yang. Positive solutions for a system of n-th order nonlinear boundary value problems // Electron.
J. Qual. Theory Different. Equat. – 2011. – 2011, № 4. – P. 1 – 16.
2. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. Кинетическая теория. – М.: Наука, 1967.
3. Хачатрян А. Х., Хачатрян Х. А. Качественные различия решений для одной модели уравнений Больцмана в
линейном и нелинейном случаях // Теор. и мат. физика. – 2012. – 172, № 3. – С. 497 – 504.
4. Хачатрян А. Х., Хачатрян Х. А. Качественные различия решений для стационарных модельных уравнений
Больцмана в линейном и нелинейном случаях // Теор. и мат. физика. – 2014. – 180, № 2. – С. 272 – 288.
5. Li Kun, Li Xiong. Asymptotic behavior and uniqueness of traveling wave solutions in Richer competition system //
J. Math. Anal. and Appl. – 2012. – 389, № 1. – P. 486 – 497.
6. Енгибарян Н. Б. Об одной задаче нелинейного переноса излучения // Астрофизика. – 1966. – 2, № 4. – С. 31 – 36.
7. Урысон П. С. Об одном типе нелинейных интегральных уравнений // Мат. сб. – 1923. – 31, № 2. – С. 236 – 255.
8. Hammerstein A. Nichtlineare Integralgleichungen nebst Anwendungen // Acta Math. – 1930. – 54, № 1. – P. 117 – 176.
9. Красносельский М. А., Ладыженский Л. А. Условия полной непрерывности оператора П. С. Урысона, действу-
ющего в пространстве Lp // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1954. – 3. – С. 307 – 320.
10. Стеценко В. Я., Есаян А. Р. Теоремы о положительных решениях уравнений второго рода с нелинейными
операторами // Мат. сб. – 1965. – 68(110), № 4. – С. 473 – 486.
11. Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Пространство Орлича и нелинейные интегральные уравнения // Тр.
Моск. мат. о-ва. – 1958. – 7. – С. 63 – 120.
12. Забрейко П. П., Пустыльник Е. И. О непрерывности и полной непрерывности нелинейных интегральных
операторов в пространствах Lp // Успехи мат. наук. – 1964. – 19, № 2. – С. 204 – 205.
13. Забрейко П. П., Красносельский М. А. О разрешимости нелинейных операторных уравнений // Функцион.
анализ и его прил. – 1971. – 5, № 3. – С. 42 – 44.
14. Brezis H., Browder F. E. Existence theorems for nonlinear integral equations of Hammerstein type // Bull. Amer.
Math. Soc. – 1975. – 81, № 1. – P. 73 – 78.
15. Panchal C. D. Existence theorems for equation of Hammerstein type // Quart. J. Math. – 1984. – 35, № 3. –
P. 311 – 319.
16. Хачатрян Х. А. О некоторых системах нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна на полуоси //
Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 4. – С. 552 – 566.
17. Арабаджян Л. Г. О существовании нетривиальных решений некоторых линейных и нелинейных уравнений
типа свертки // Укр. мат. журн. – 1989. – 42, № 12. – С. 1587 – 1595.
18. Milojevic P. S. A global description of solutions to nonlinear perturbations of the Wiener – Hopf integral equations //
Electron. J. Different. Equat. – 2006. – 2006, № 51. – P. 1 – 14.
19. Хачатрян Х. А., Терджян Ц. Э. О разрешимости одного класса нелинейных интегральных уравнений Гаммер-
штейна в пространстве L1(0,+\infty ) // Мат. тр. – 2015. – 18, № 1. – С. 190 – 200.
20. Mingarelli A. B. Sturm – Liouville problems and Hammerstein operators // J. Integral Equat. and Appl. – 1992. – 4,
№ 1. – P. 83 – 88.
21. Хачатрян Х. А. О решении одной системы нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна –
Немыцкого на всей оси // Тр. Ин-та математики НАН Беларуси. – 2013. – 21, № 2. – С. 154 – 161.
22. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: Физматлит, 2003. – T. 1. –
680 с.
23. Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука, 1982.
24. Арабаджян Л. Г., Хачатрян А. С. Об одном классе интегральных уравнений типа свертки // Мат. сб. – 2007. –
198, № 7. – С. 45 – 62.
25. Енгибарян Н. Б., Арабаджян Л. Г. Системы интегральных уравнений Винера – Хопфа и нелинейные уравнения
факторизации // Мат. сб. – 1984. – 124(166), № 2(6). – С. 189 – 216.
26. Арабаджян Л. Г., Енгибарян Н. Б. Уравнения в свертках и нелинейные функциональные уравнения // Итоги
науки и техники. Мат. анализ. – 1984. – 22. – С. 175 – 242.
Получено 18.12.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1762 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:10Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/80/8a70f1843390f34e707c97383ec6de80.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17622019-12-05T09:25:58Z Sardaryan T. G. On the solvability of one system of nonlinear Hammerstein-type integral equations on the semiaxis О разрешимости одной системы нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна на полуоси Sardaryan, T. G. Terjyan, Ts. E. Khachatryan, Kh. A. Сардарян, Т. Г. Терджян, Ц. Э. Хачатрян, Х. А. Сардарян, Т. Г. Терджян, Ц. Э. Хачатрян, Х. А. We study the problems of construction of positive summable and bounded solutions for the systems of nonlinear Hammerstein-type integral equations with difference kernels on the semiaxis. The indicated systems have direct applications to the kinetic theory of gases, the theory of radiation transfer in spectral lines, and the theory of nonlinear Ricker competition models for running waves. Дослiджуються питання побудови додатних сумовних i обмежених розв’язкiв для систем нелiнiйних iнтегральних рiвнянь Гаммерштейна з рiзницевими ядрами на пiвпрямiй. Указанi системи мають безпосереднi застосування в кiнетичнiй теорiї газiв, теорiї перенесення випромiнювання у спектральних лiнiях, теорiї нелiнiйних конкуренцiйних систем Рiккера для бiжучих хвиль. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1762 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 8 (2017); 1107-1122 Український математичний журнал; Том 69 № 8 (2017); 1107-1122 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1762/744 Copyright (c) 2017 Sardaryan T. G.; Terjyan Ts. E.; Khachatryan Kh. A. |
| spellingShingle | Sardaryan, T. G. Terjyan, Ts. E. Khachatryan, Kh. A. Сардарян, Т. Г. Терджян, Ц. Э. Хачатрян, Х. А. Сардарян, Т. Г. Терджян, Ц. Э. Хачатрян, Х. А. Sardaryan T. G. On the solvability of one system of nonlinear Hammerstein-type integral equations on the semiaxis |
| title | Sardaryan T. G. On the solvability of one system of
nonlinear Hammerstein-type integral equations on the semiaxis |
| title_alt | О разрешимости одной системы нелинейных
интегральных уравнений типа Гаммерштейна на полуоси |
| title_full | Sardaryan T. G. On the solvability of one system of
nonlinear Hammerstein-type integral equations on the semiaxis |
| title_fullStr | Sardaryan T. G. On the solvability of one system of
nonlinear Hammerstein-type integral equations on the semiaxis |
| title_full_unstemmed | Sardaryan T. G. On the solvability of one system of
nonlinear Hammerstein-type integral equations on the semiaxis |
| title_short | Sardaryan T. G. On the solvability of one system of
nonlinear Hammerstein-type integral equations on the semiaxis |
| title_sort | sardaryan t. g. on the solvability of one system of
nonlinear hammerstein-type integral equations on the semiaxis |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1762 |
| work_keys_str_mv | AT sardaryantg sardaryantgonthesolvabilityofonesystemofnonlinearhammersteintypeintegralequationsonthesemiaxis AT terjyantse sardaryantgonthesolvabilityofonesystemofnonlinearhammersteintypeintegralequationsonthesemiaxis AT khachatryankha sardaryantgonthesolvabilityofonesystemofnonlinearhammersteintypeintegralequationsonthesemiaxis AT sardarântg sardaryantgonthesolvabilityofonesystemofnonlinearhammersteintypeintegralequationsonthesemiaxis AT terdžâncé sardaryantgonthesolvabilityofonesystemofnonlinearhammersteintypeintegralequationsonthesemiaxis AT hačatrânha sardaryantgonthesolvabilityofonesystemofnonlinearhammersteintypeintegralequationsonthesemiaxis AT sardarântg sardaryantgonthesolvabilityofonesystemofnonlinearhammersteintypeintegralequationsonthesemiaxis AT terdžâncé sardaryantgonthesolvabilityofonesystemofnonlinearhammersteintypeintegralequationsonthesemiaxis AT hačatrânha sardaryantgonthesolvabilityofonesystemofnonlinearhammersteintypeintegralequationsonthesemiaxis AT sardaryantg orazrešimostiodnojsistemynelinejnyhintegralʹnyhuravnenijtipagammerštejnanapoluosi AT terjyantse orazrešimostiodnojsistemynelinejnyhintegralʹnyhuravnenijtipagammerštejnanapoluosi AT khachatryankha orazrešimostiodnojsistemynelinejnyhintegralʹnyhuravnenijtipagammerštejnanapoluosi AT sardarântg orazrešimostiodnojsistemynelinejnyhintegralʹnyhuravnenijtipagammerštejnanapoluosi AT terdžâncé orazrešimostiodnojsistemynelinejnyhintegralʹnyhuravnenijtipagammerštejnanapoluosi AT hačatrânha orazrešimostiodnojsistemynelinejnyhintegralʹnyhuravnenijtipagammerštejnanapoluosi AT sardarântg orazrešimostiodnojsistemynelinejnyhintegralʹnyhuravnenijtipagammerštejnanapoluosi AT terdžâncé orazrešimostiodnojsistemynelinejnyhintegralʹnyhuravnenijtipagammerštejnanapoluosi AT hačatrânha orazrešimostiodnojsistemynelinejnyhintegralʹnyhuravnenijtipagammerštejnanapoluosi |