Minimal nonsupersolvable and minimum nonnilpotent groups and their role in the study of the structure of finite groups
We study the influence of minimal nonsupersoluble subgroups and minimal nonnilpotent subgroups (Schmidt subgroups) of a group on its structure.
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1764 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507619838394368 |
|---|---|
| author | Semenchuk, V. N. Семенчук, В. Н. Семенчук, В. Н. |
| author_facet | Semenchuk, V. N. Семенчук, В. Н. Семенчук, В. Н. |
| author_sort | Semenchuk, V. N. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:25:58Z |
| description | We study the influence of minimal nonsupersoluble subgroups and minimal nonnilpotent subgroups (Schmidt subgroups)
of a group on its structure. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 512.542
В. Н. Семенчук (Гомел. гос. ун-т им. Ф. Скорины, Беларусь)
МИНИМАЛЬНЫЕ НЕСВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ
И МИНИМАЛЬНЫЕ НЕНИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ
И ИХ РОЛЬ В ИЗУЧЕНИИ СТРОЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
We study the influence of minimal nonsupersoluble subgroups and minimal nonnilpotent subgroups (Schmidt subgroups)
of a group on its structure.
Вивчається вплив мiнiмальних ненадрозв’язних пiдгруп, мiнiмальних ненiльпотентних пiдгруп (пiдгруп Шмiдта)
групи на її будову.
Напомним, что минимальной не \frakF -группой (критической группой) называется группа, не при-
надлежащая некоторому классу групп \frakF , все собственные подгруппы которой принадлежат \frakF .
Важность изучения таких групп следует из того факта, что любая группа, не принадлежа-
щая \frakF , содержит минимальную не \frakF -подгруппу.
Начало изучения таких групп восходит к работе Миллера – Морена [1]. В данной работе
были изучены минимальные неабелевы группы. В настоящее время такие группы называют
группами Миллера – Морена.
Следующий важный шаг в данном направлении был сделан О. Ю. Шмидтом, который в
работе [2] изучил минимальные ненильпотентные группы (группы Шмидта).
В 1954 году Хупперт [3], а затем Дерк [4] изучили минимальные несверхразрешимые груп-
пы. В 1979 году В. Н. Семенчук в работе [5] описал строение разрешимых минимальных
не \frakF -групп для произвольной насыщенной наследственной формации \frakF . Впервые на возмож-
ность изучения строения конечных групп с помощью критических подгрупп обратил внимание
С. А. Чунихин в работе [6]. Именно развитию данного направления и посвящена настоящая
работа. В работе, в частности, исследуется влияние внешних свойств групп Шмидта и мини-
мальных несверхразрешимых групп на строение конечных групп.
Предварительные результаты. Необходимые определения и обозначения можно найти
в [7]. Напомним некоторые из них. Пусть \BbbP — множество всех простых чисел. Если p \in \BbbP и
\pi \subseteq \BbbP , то \pi \prime = \BbbP \setminus \pi и p\prime = \BbbP \setminus \{ p\} ; \pi (G) — множество простых делителей порядка группы G;
pd-группа — группа G, у которой p \in \pi (G); Gp — силовская p-подгруппа группы G; | \pi (G)| —
число простых делителей порядка группы G.
Формация \frakF — класс групп, замкнутых относительно гомоморфных образов и подпрямых
произведений.
Формация \frakF называется наследственной, если она замкнута относительно взятия подгрупп,
и насыщенной, если она замкнута относительно расширений Фраттини.
Если \frakF — класс групп и G — группа, то G\frakF — пересечение всех нормальных подгрупп N
из G таких, что G/N \in \frakF .
Обозначим через \frakN формацию всех нильпотентных групп, а через U формацию всех сверх-
разрешимых групп. \frakF X = \{ G| GX \in \frakF \} — произведение формаций \frakF ,X.
c\bigcirc В. Н. СЕМЕНЧУК, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8 1141
1142 В. Н. СЕМЕНЧУК
Пусть \frakF — некоторый класс групп. Подгруппа H группы G называется \frakF -проектором, если
выполняются следующие условия:
1) H \in \frakF ;
2) из H \subseteq U \subseteq G и U/U0 \in \frakF всегда следует HU0 = H.
Подгруппа H группы G называется подгруппой Картера, если H нильпотентна и NG(H) = H.
Известно, что множество подгрупп Картера разрешимой группы G совпадает с множеством
всех \frakN -проекторов.
Подгруппа H группы G называется подгруппой Гашюца, если H сверхразрешима и при
H \not = G каждый индекс любой максимальной (G - H)-цепи является составным числом.
Известно, что множество всех подгрупп Гашюца разрешимой группы G совпадает с мно-
жеством U-проекторов.
Следующая лемма является очевидной.
Лемма 1. Если группа G не принадлежит некоторому классу групп \frakF , то она содержит
минимальную не \frakF -подгруппу.
В следующей лемме приводятся известные свойства минимальных несверхразрешимых
групп.
Лемма 2. Пусть \frakF — минимальная несверхразрешимая группа. Тогда:
1) G разрешима и | \pi (G)| \leq 3;
2) G имеет единственную неединичную нормальную силовскую подгруппу.
Напомним, что добавлением к нормальной подгруппе K группы G называется такая под-
группа H из G, что HK = G, но H1K \not = G для любой собственной подгруппы H1 из H.
Другое определение добавления следует из следующей леммы.
Лемма 3. Подгруппа H тогда и только тогда является добавлением к нормальной под-
группе K группы G, когда HK = G и H \cap K \subseteq \Phi (H).
Следующая лемма следует из следствия 4.2.1 [7].
Лемма 4. Если N — нормальная подгруппа группы G и N/N \cap \Phi (G) сверхразрешима, то
и N сверхразрешима.
Хорошо известен следующий результат.
Лемма 5 (Кегель). Если подгруппа H группы G перестановочна со всеми силовскими под-
группами из G, то H — субнормальная подгруппа группы G.
Лемма 6 (Картер, Хоукс, см. теорему 15.9 из [7]). Пусть \frakF — насыщенная формация, G —
группа с нильпотентным \frakF -корадикалом. Пусть H — такая \frakF -подгруппа из G, что HF (G) =
= G. Тогда H содержится в некотором \frakF -проекторе группы G.
Теорема 1. Пусть G — конечная группа, у которой любая минимальная несверхразреши-
мая подгруппа субнормальна в G. Тогда G = F (G)T, где T — подгруппа Гашюца группы G.
Доказательство. Вначале индукцией по порядку группы G покажем, что G \in \frakN U, где \frakN —
формация всех нильпотентных групп, а U — формация всех сверхразрешимых групп.
Очевидно, что G — несверхразрешимая группа. Тогда по лемме 1 G содержит минимальную
несверхразрешимую подгруппу H. Согласно лемме 2 H разрешима. Следовательно, 1 \not = F (H).
Из субнормальности H в G следует, что 1 \not = F (H) \subseteq F (G). Итак, в G найдется минимальная
нормальная разрешимая подгруппа N.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
МИНИМАЛЬНЫЕ НЕСВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ И МИНИМАЛЬНЫЕ НЕНИЛЬПОТЕНТНЫЕ . . . 1143
Пусть G/N — сверхразрешимая группа. Отсюда следует, что G \in \frakN U. Противоречие.
Итак, G/N — несверхразрешима группа. По лемме 1 G/N содержит минимальную несверх-
разрешимую подгруппу K/N.
Пусть L — добавление к N в K. Тогда L \cap N \subseteq \Phi (L). Ясно, что L/L \cap N — минимальная
несверхразрешимая группа. Отсюда следует, что и L/\Phi (L) — минимальная несверхразреши-
мая подгруппа. Покажем, что L порождается всеми своими минимальными несверхразреши-
мыми подгруппами. Действительно, пусть R — подгруппа, порожденная всеми минимальными
несверхразрешимыми подгруппами из L. Очевидно, что R — нормальная подгруппа из L.
Если R\Phi (L)/\Phi (L) — собственная подгруппа из минимальной несверхразрешимой подгруппы
L/\Phi (L), то отсюда следует, что R\Phi (L)/\Phi (L) \in U. По лемме 4 R является сверхразрешимой.
Поскольку формация U замкнута относительно подгрупп, то R не содержит минимальных
несверхразрешимых подгрупп. Противоречие. Итак, R\Phi (L) = L. Отсюда следует, что L = R.
Известно, что подгруппа, порожденная субнормальными подгруппами, — субнормальная под-
группа. А это значит, что L — субнормальная подгруппа группы G. Но тогда и K = LN —
субнормальная подгруппа из G. Отсюда K/N субнормальна в G/N. Итак, в G/N все мини-
мальные несверхразрешимые подгруппы субнормальны. По индукции G/N \in \frakN U. Если T —
отличная от N нормальная минимальная разрешимая подгруппа группы G, то, как и выше,
нетрудно показать, что G/T \in \frakN U. Поскольку \frakN U — формация, то
G = G/T \cap N \in \frakN U.
Противоречие. Итак, N — единственная минимальная нормальная разрешимая подгруппа груп-
пы G.
Пусть \Phi (G) \not = 1. По индукции G/\Phi (G) \in \frakN U. Поскольку \frakN U — насыщенная формация,
то G \in \frakN U. Противоречие. Итак, \Phi (G) = 1. Отсюда следует, что в G найдется максималь-
ная подгруппа M такая, что G = NM, M \cap N = 1. Если M сверхразрешима, то и G/N
сверхразрешима. Отсюда следует, что G \in \frakN U. Противоречие. Следовательно, M несверх-
разрешима и по лемме 1 в M найдется минимальная несверхразрешимая подгруппа A. По
условию A — субнормальная подгруппа группы G. По лемме 2 A разрешима. Легко показать,
что 1 \not = F (A) \subseteq F (G). Следовательно, M \cap F (G) \not = 1. Получили противоречие.
Итак, G \in \frakN U. Отсюда следует, что G/F (G) сверхразрешима. Пусть L — добавление к
F (G) в G. Тогда по лемме 3 L \cap F (G) \subseteq \Phi (L). Поскольку G = F (G)L и G/F (G) сверхраз-
решима, то
G/F (G) = F (G)L/F (G) \simeq L/F (G) \cap L
сверхразрешима. Отсюда следует, что L/\Phi (L) сверхразрешима. Тогда и L сверхразрешима. По
лемме 6 L содержится в некотором U-проекторе (подгруппе Гашюца) группы G.
Теорема 1 доказана.
Следствие 1. Пусть G — конечная группа, у которой любая минимальная несверхразре-
шимая подгруппа перестановочна со всеми силовскими подгруппами из G. Тогда G = F (G)T,
где T — подгруппа Гашюца группы G.
Доказательство следует из теоремы 1 и леммы 5.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
1144 В. Н. СЕМЕНЧУК
В работе [8] автор начал исследование строения конечных групп, у которых все подгруппы
Шмидта субнормальны. Данное исследование было продолжено В. С. Монаховым и В. Н. Кня-
гиной в работе [9]. Детальное изучение таких групп было получено В. А. Ведерниковым в
работе [10].
Аналогично теореме 1 доказывается следующая теорема.
Теорема 2. Пусть G — конечная группа, у которой любая подгруппа Шмидта субнормаль-
на в G. Тогда G = F (G)T, где T — подгруппа Картера группы G.
Из данной теоремы с учетом леммы 5 следует такое утверждение.
Следствие 2. Пусть G — конечная группа, у которой любая подгруппа Шмидта пере-
становочна со всеми силовскими подгруппами из G. Тогда G = F (G)T, где T — подгруппа
Картера группы G.
Теорема 3. Если максимальная подгруппа M группы G перестановочна со всеми мини-
мальными несверхразрешимыми подгруппами группы G, то M/MG сверхразрешима.
Доказательство. Очевидно, что M несверхразрешима. Тогда по лемме 1 в M найдется
минимальная несверхразрешимая подгруппа H. По условию HxM = MHx для всех x из G.
Если Hx \not \subseteq M, то G = MHx. Поскольку Hx \subseteq Mx, то G = MMx. Получили противоречие с
тем, что различные перестановочные подгруппы не могут быть сопряжены в их объединении.
Итак, Hx \subseteq M для всех x \in G. Следовательно, MG содержит все минимальные несверх-
разрешимые подгруппы из M. Покажем, что M/MG сверхразрешима. Предположим, что
M/MG несверхразрешима. Тогда M/MG содержит минимальную несверхразрешимую под-
группу H/MG. Пусть L — добавление к MG в H. Тогда по лемме 3 L \cap MG \subseteq \Phi (L). Кроме
того,
H/MG = LMG/MG \simeq L/L \cap MG.
Поскольку H/MG и L/L\cap MG несверхразрешимы, то L несверхразрешима. Следовательно,
по лемме 1 L содержит минимальную несверхразрешимую подгруппу T, которая не содержится
в L \cap MG \subseteq \Phi (L). Получили противоречие. Итак, M/MG сверхразрешима.
Теорема 3 доказана.
Литература
1. Miller G. A., Moreno H. C. Nonabelian groups in which every subgroup is abelian // Trans. Amer. Math. Soc. –
1903. – 4. – P. 398 – 404.
2. Шмидт О. Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Мат. сб. – 1924. – 31, № 3. – С. 366 – 372.
3. Huppert B. Normalteiler und maximal Untergruppen endlichen Gruppen // Math. Z. – 1954. – 60. – S. 409 – 434.
4. Doerk K. Minimal nicht Uberauflosbare, endliche Gruppen // Math. Z. – 1966. – 91. – S. 198 – 205.
5. Семенчук В. Н. Минимальные не \frakF -группы // Алгебра и логика. – 1979. – 18, № 3. – С. 348 – 382.
6. Чунихин С. А. О специальных группах // Мат. сб. – 1933. – 40, № 1. – С. 39 – 41.
7. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. – М.: Наука, 1978. – 267 с.
8. Семенчук В. Н. Конечные группы с системой минимальных не \frakF -подгрупп // Подгрупповое строение конечных
групп: Тр. Ин-та математики АН БССР. – Минск: Наука и техника, 1981. – С. 138 – 149.
9. Княгина В. Н., Монахов В. С. О конечных группах с некоторыми субнормальными подгруппами Шмидта //
Сиб. мат. журн. – 2004. – 45, № 6. – С. 1316 – 1322.
10. Ведерников В. А. Конечные группы с субнормальными подгруппами Шмидта // Алгебра и логика. – 2007. –
46, № 6. – С. 669 – 687.
Получено 17.04.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1764 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:12Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/8c/8cbac9c2f5b8ad7d80925f078c371b8c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17642019-12-05T09:25:58Z Minimal nonsupersolvable and minimum nonnilpotent groups and their role in the study of the structure of finite groups Минимальные несверхразрешимые и минимальные ненильпотентные группы и их роль в изучении строения конечных групп Semenchuk, V. N. Семенчук, В. Н. Семенчук, В. Н. We study the influence of minimal nonsupersoluble subgroups and minimal nonnilpotent subgroups (Schmidt subgroups) of a group on its structure. Вивчається вплив мiнiмальних ненадрозв’язних пiдгруп, мiнiмальних ненiльпотентних пiдгруп (пiдгруп Шмiдта) групи на її будову. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1764 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 8 (2017); 1141-1144 Український математичний журнал; Том 69 № 8 (2017); 1141-1144 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1764/746 Copyright (c) 2017 Semenchuk V. N. |
| spellingShingle | Semenchuk, V. N. Семенчук, В. Н. Семенчук, В. Н. Minimal nonsupersolvable and minimum nonnilpotent groups and their role in the study of the structure of finite groups |
| title | Minimal nonsupersolvable and minimum nonnilpotent groups and their role in
the study of the structure of finite groups |
| title_alt | Минимальные несверхразрешимые и минимальные ненильпотентные
группы и их роль в изучении строения конечных групп |
| title_full | Minimal nonsupersolvable and minimum nonnilpotent groups and their role in
the study of the structure of finite groups |
| title_fullStr | Minimal nonsupersolvable and minimum nonnilpotent groups and their role in
the study of the structure of finite groups |
| title_full_unstemmed | Minimal nonsupersolvable and minimum nonnilpotent groups and their role in
the study of the structure of finite groups |
| title_short | Minimal nonsupersolvable and minimum nonnilpotent groups and their role in
the study of the structure of finite groups |
| title_sort | minimal nonsupersolvable and minimum nonnilpotent groups and their role in
the study of the structure of finite groups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1764 |
| work_keys_str_mv | AT semenchukvn minimalnonsupersolvableandminimumnonnilpotentgroupsandtheirroleinthestudyofthestructureoffinitegroups AT semenčukvn minimalnonsupersolvableandminimumnonnilpotentgroupsandtheirroleinthestudyofthestructureoffinitegroups AT semenčukvn minimalnonsupersolvableandminimumnonnilpotentgroupsandtheirroleinthestudyofthestructureoffinitegroups AT semenchukvn minimalʹnyenesverhrazrešimyeiminimalʹnyenenilʹpotentnyegruppyiihrolʹvizučeniistroeniâkonečnyhgrupp AT semenčukvn minimalʹnyenesverhrazrešimyeiminimalʹnyenenilʹpotentnyegruppyiihrolʹvizučeniistroeniâkonečnyhgrupp AT semenčukvn minimalʹnyenesverhrazrešimyeiminimalʹnyenenilʹpotentnyegruppyiihrolʹvizučeniistroeniâkonečnyhgrupp |