Stability of fixed points for a class of quasilinear cascades in the space conv $R^n$
The discrete dynamical systems (cascades) in semilinear metric space of nonempty convex compacts of finite-dimensional space are studied. Using the methods of convex geometry of H. Minkowski and A. D. Alexandrov the sufficient conditions of the stability of the fixed points were established. Under c...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1766 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507621204688896 |
|---|---|
| author | Atamas', I. V. Slyn'ko, V. I. Атамась, И. В. Слынько, В. И. Атамась, И. В. Слынько, В. И. |
| author_facet | Atamas', I. V. Slyn'ko, V. I. Атамась, И. В. Слынько, В. И. Атамась, И. В. Слынько, В. И. |
| author_sort | Atamas', I. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:25:58Z |
| description | The discrete dynamical systems (cascades) in semilinear metric space of nonempty convex compacts of finite-dimensional
space are studied. Using the methods of convex geometry of H. Minkowski and A. D. Alexandrov the sufficient conditions
of the stability of the fixed points were established. Under certain restrictions on the mappings generating the cascade, the
problem of asymptotic stability of fixed point of the cascade was reduced to localization of the roots of a polynomial inside
the unit circle in the complex plane. Examples of cascades in the plane were given. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.929.21
И. В. Атамась (Черкас. нац. ун-т им. Б. Хмельницкого),
В. И. Слынько (Ин-т механики НАН Украины, Киев)
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК ОДНОГО КЛАССА
КВАЗИЛИНЕЙНЫХ КАСКАДОВ В ПРОСТРАНСТВЕ \bfc \bfo \bfn \bfv \BbbR \bfitn *
The discrete dynamical systems (cascades) in semilinear metric space of nonempty convex compacts of finite-dimensional
space are studied. Using the methods of convex geometry of H. Minkowski and A. D. Alexandrov the sufficient conditions
of the stability of the fixed points were established. Under certain restrictions on the mappings generating the cascade, the
problem of asymptotic stability of fixed point of the cascade was reduced to localization of the roots of a polynomial inside
the unit circle in the complex plane. Examples of cascades in the plane were given.
Вивчаються дискретнi динамiчнi системи (каскади) в напiвлiнiйному метричному просторi непорожнiх опуклих ком-
пактiв скiнченновимiрного простору. Використовуючи методи геометрiї опуклих тiл Г. Мiнковського i О. Д. Алек-
сандрова, встановлено достатнi умови стiйкостi нерухомих точок. При деяких обмеженнях на вiдображення, якi
породжують каскад, питання про асимптотичну стiйкiсть нерухомої точки каскаду зведено до локалiзацiї коренiв
полiнома в одиничному колi комплексної площини. Наведено приклади каскадiв на площинi.
Введение. Динамические системы (потоки и каскады) в метрическом пространстве \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n
естественным образом возникают в теории управления, теории дифференциальных уравнений
с многозначными правыми частями, теории устойчивости систем с неточными значениями
параметров. Дифференциальные уравнения с производной Хукухары, \pi -производной, включая
уравнения с импульсным воздействием, были предметом исследований в работах [1 – 3], в
которых, в частности, обоснован принцип усреднения для этих классов дифференциальных
уравнений.
В работах [4, 5] рассматривались вопросы устойчивости разностных уравнений с разност-
ным оператором Хукухары в пространстве \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n. В частности, были установлены общие тео-
ремы метода сравнения и прямого метода Ляпунова применительно к этому классу уравнений.
В работах [6, 7] исследован вопрос об устойчивости по двум мерам дискретных динамических
систем (ДДС) в пространстве \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n.
Отметим, что ДДС в пространстве \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n естественным образом возникают при исследо-
вании областей достижимости (интегральных воронок) дискретных управляемых систем [9].
Рассмотрим линейную дискретную управляемую систему
\bfx p+1 = \bfA \bfx p + \bfu p, (1)
где \bfx p \in \BbbR n — фазовый вектор системы, \bfu p \in U \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n — вектор управления. Предположим,
что начальное значение \bfx 0 \in X0 \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n, и обозначим через Xp \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n множество
достижимости этой системы в момент времени p \in \BbbZ +. Тогда
Xp+1 = \bfA Xp + U. (2)
Отметим, что вектор \bfu p можно также интерпретировать как вектор возмущений, а систему (1) —
как систему с неточными параметрами.
* Выполнена при частичной поддержке Министерства образования и науки (проект № 0116U004691).
c\bigcirc И. В. АТАМАСЬ, В. И. СЛЫНЬКО, 2017
1166 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК ОДНОГО КЛАССА КВАЗИЛИНЕЙНЫХ . . . 1167
Дискретную систему (2) можно обобщить, рассматривая задачу об управлении множеством
достижимости дискретной системы (1). Предположим, что в каждый момент времени p \in
\in \BbbZ + известна информация об объеме области достижимости yp = V [Xp], который примем за
выходную переменную, и рассмотрим управляемую систему
\bfx p+1 = \bfA \bfx p + yp\bfu p, (3)
где \bfx p \in \BbbR n — фазовый вектор системы, \bfu p \in U \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n — вектор управления. Тогда область
достижимости этой системы описывается уравнением в пространстве \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n
Xp+1 = \bfA Xp + \psi
\bigl(
V [Xp]
\bigr)
U. (4)
Исследование вопроса о существовании и устойчивости неподвижной точки динамической
системы, порожденной уравнением (4), позволяет указать условия на функцию \psi (v), которые
обеспечивают стабилизацию области достижимости.
Целью настоящей работы является исследование устойчивости неподвижных точек ДДС
в пространстве \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n, имеющих вид (4). При этом рассматриваются системы, удовлетворя-
ющие дополнительному условию \bfA q = \beta \bfI . Это предположение позволяет свести задачу об
устойчивости к исследованию локализации корней некоторого полинома степени q.
1. Вспомогательные результаты. Пусть \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n — метрическое пространство непустых
выпуклых компактов в пространстве \BbbR n с метрикой Хаусдорфа
dH(X,Y ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\lambda \geq 0 | X \subset Y + \lambda K, Y \subset X + \lambda K
\bigr\}
,
где K — замкнутый единичный шар в пространстве \BbbR n.
В этом пространстве определены операции сложения двух множеств X и Y (суммы Мин-
ковского) и умножения на неотрицательный скаляр \lambda \in \BbbR +
X + Y =
\bigl\{
x+ y | x \in X, y \in Y
\bigr\}
, \lambda X = \{ \lambda x | x \in X\} .
Если X \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n, Y \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n, то X + Y \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n, \lambda X \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n.
При исследовании устойчивости неподвижных точек ДДС в пространстве \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n для по-
строения уравнения в вариациях возникает необходимость введения понятия разности двух
элементов пространства \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n. Это понятие вводится путем вложения пространства \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n
в банахово пространство C(Sn - 1). Соответствующая конструкция описана в 1937 г. в рабо-
те А. Д. Александрова [8]. В более общем случае, т. е. в случае линейного нормированного
пространства X, в работе Х. Радстрема [10] доказана теорема о вложении метрического про-
странства \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}X, метризированного метрикой Хаусдорфа и состоящего из непустых выпуклых
компактных подмножеств из X, в некоторое линейное нормированное пространство. Анало-
гичные вопросы также обсуждаются в монографии Е. С. Половинкина (см. [11, с. 124 – 145]).
Прежде всего напомним, что каждому элементу X пространства \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n можно взаим-
но однозначно сопоставить его опорную функцию hX(p), определенную в пространстве \BbbR n.
Рассматривая сужение этой функции на единичную сферу Sn - 1 пространства \BbbR n, можно уста-
новить соответствие
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n \ni X \updownarrow hX(p) \in C(Sn - 1),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1168 И. В. АТАМАСЬ, В. И. СЛЫНЬКО
которое является изометрическим изоморфизмом, т. е. если X \updownarrow hX , Y \updownarrow hY , \lambda \geq 0, то
X + Y \updownarrow hX + hY , \lambda X \updownarrow \lambda hX , dH(X,Y ) = \| hX - hY \| C(Sn - 1).
Здесь \| hX\| C(Sn - 1) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}p\in Sn - 1 | hX(p)| .
В силу этого элементы пространства \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n можно отождествлять с их опорными функ-
циями. На множестве (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n)2 введем бинарное отношение
\varrho : (X,Y )\varrho (X1, Y1) \leftrightarrow X + Y1 = X1 + Y.
Отношение \varrho является отношением эквивалентности. Можно показать, что на фактор-простран-
стве \Omega = (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n)2/\varrho корректно определены операции сложения и умножения на скаляр; если\bigl[
(X,Y )
\bigr]
\in \Omega ,
\bigl[
(X1, Y1)
\bigr]
\in \Omega , то по определению принимают\bigl[
(X1, Y1)
\bigr]
+
\bigl[
(X,Y )
\bigr]
=
\bigl[
(X +X1, Y + Y1)
\bigr]
,
\lambda
\bigl[
(X,Y )
\bigr]
=
\left\{
\bigl[
(\lambda X, \lambda Y )
\bigr]
, \lambda \geq 0,\bigl[
(| \lambda | Y, | \lambda | X)
\bigr]
, \lambda \leq 0,
и норма \bigm\| \bigm\| [(X,Y )]
\bigm\| \bigm\|
\Omega
= \| hX - hY \| C(Sn - 1) = dH(X,Y ).
Пространство (\Omega , \| .\| \Omega ) является линейным нормированным пространством. Оно не полно,
однако, вследствие леммы II [8, с. 961] его пополнение изоморфно C(Sn - 1). Пространство
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n изоморфно и изометрично вкладывается в пространство \Omega по правилу X \rightarrow
\bigl[
(X, 0)
\bigr]
.
В пространстве \Omega определена разность любых двух элементов пространства \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n :
X - Y =
\bigl[
(X,Y )
\bigr]
.
Приведем также некоторые, необходимые для дальнейшего сведения, касающиеся теории сме-
шанных объемов выпуклых тел, следуя в основном работе А. Д. Александрова [8].
Пусть Xk \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n, \lambda k \geq 0, k = 1,m, X =
\sum m
k=1
\lambda kXk \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n. Как показал
Г. Минковский, объем V [X] выпуклого тела X будет однородным многочленом степени n
относительно переменных \lambda k
V [X] =
\sum
k1,...,kn
\lambda k1 . . . \lambda knVk1,k2,...,kn , (5)
где сумма берется по всем индексам k1, k2, . . . , kn, пробегающим независимо все значения от 1
до m. Коэффициенты Vk1,...,kn определяются при этом так, чтобы они не зависели от порядка
индексов. Можно показать, что Vk1,...,kn зависит только от тел Xk1 , . . . , Xkn . Поэтому есте-
ственно записывать его в виде V [Xk1 , . . . , Xkn ]. Эти коэффициенты называются смешанными
объемами.
Функционал V [X1, . . . , Xn] имеет следующие свойства:
(1) является линейным и положительно однородным по каждой переменной, т. е. для всех
\lambda \prime , \lambda \prime \prime \in \BbbR +, Xk \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n, X \prime
i \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n, X \prime \prime
i \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n, k = 1, n
V [X1, . . . , \lambda
\prime X \prime
i + \lambda \prime \prime X \prime \prime
i , . . . , Xn] = \lambda \prime V [X1, . . . , X
\prime
i, . . . , Xn] + \lambda \prime \prime V [X1, . . . , X
\prime \prime
i , . . . , Xn];
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК ОДНОГО КЛАССА КВАЗИЛИНЕЙНЫХ . . . 1169
(2) трансляционно-инвариантен и инвариантен относительно перестановки аргументов, а
также непрерывен по совокупности переменных.
Из этих свойств выводится формула Штейнера
V [X1 + \varrho X2] =
n\sum
k=0
Ck
n\varrho
kVk[X1, X2], \varrho \in \BbbR +, (6)
где Vk[X1, X2] = V [X1, . . . , X1,
k\underbrace{} \underbrace{}
X2, . . . , X2]\underbrace{} \underbrace{}
n
— k-й смешанный объем, Ck
n =
n!
k!(n - k)!
.
Одним из основных результатов, полученных в работе А. Д. Александрова [8], который
имеет существенное значение для дальнейшего изложения, является продолжение функциона-
ла смешанного объема V [X1, . . . , Xn - 1, Z] при фиксированных Xi \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n, i = 1, n - 1,
первоначально определенного для Z \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n, на банахово пространство C(Sn - 1). Значение
этого результата состоит в том, что многие экстремальные задачи теории выпуклых тел могут
быть сведены к вариационным проблемам для функционалов, определенных для выпуклых тел.
Однако для исследования экстремума формальные правила вариационного исчисления оказыва-
ются неприменимыми вследствие того, что функционал должен быть определен для функций,
которые представимы в виде разности двух опорных функций. Но такая функция может не
быть опорной функцией какого-нибудь выпуклого тела. Следовательно, возникает необходи-
мость расширения основных понятий геометрии выпуклых тел, осуществленная в упомянутой
выше работе А. Д. Александрова. В контексте настоящего исследования эти результаты будут
использованы для построения уравнения в вариациях в окрестности неподвижной точки ДДС.
Рассматриваемый функционал V
\bigl[
X1, . . . , Xn - 1, (\cdot )
\bigr]
сначала распространяется на непре-
рывные функции, которые допускают представление в виде разности двух опорных функций,
т. е. для Z(p) = hX\prime \prime
n
(p) - hX\prime
n
(p) полагают
V [X1, . . . , Xn - 1, Z]
df
= V [X1, . . . , Xn - 1, X
\prime \prime
n] - V [X1, . . . , Xn - 1, X
\prime
n]. (7)
Доказывается, что это определение корректно, т. е. не зависит от способа представления функ-
ции в виде разности двух опорных функций, а фактически зависит от класса эквивалентности\bigl[
(X \prime \prime
n, X
\prime
n)
\bigr]
\in \Omega . Далее устанавливается аддитивность, однородность и ограниченность этого
функционала на пространстве \Omega . Из леммы II [8, с. 961], утверждающей, что любую функцию из
пространства C(Sn - 1) можно сколь угодно точно аппроксимировать функциями, которые пред-
ставимы в виде разности двух опорных функций, следует, что функционал V [X1, . . . , Xn - 1, (\cdot )]
можно расширить по непрерывности до линейного непрерывного функционала на всем бана-
ховом пространстве C(Sn - 1). Следовательно, функционал V [X1, . . . , Xn - 1, Z] при фиксиро-
ванных Xi \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n может быть представлен как интеграл Стильтьеса – Радона от непрерыв-
ной функции Z \in C(Sn - 1) по однозначно определенной аддитивной функции множеств на
единичной сфере Sn - 1. Этот функционал V [X1, . . . , Xn - 1, Z] вполне определяется заданием
выпуклых тел Xi \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n, и можно утверждать, что
V [X1, . . . , Xn - 1, Z] =
1
n
\int
Sn - 1
Z(p)F [X1, . . . , Xn - 1; d\omega ], Z \in C(Sn - 1), (8)
где F [X1, . . . , Xn - 1; d\omega ] — функция множеств \omega на единичной сфере Sn - 1, однозначно опре-
деляемая заданием выпуклых компактов Xi \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n. Эта функция называется смешанной
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1170 И. В. АТАМАСЬ, В. И. СЛЫНЬКО
поверхностной функцией выпуклых компактов Xi \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n. Можно показать, что
F [X1, . . . , Xn - 1; d\omega ] \geq 0.
Аналогично, функционал V [X1, . . . , Xn], определенный первоначально для выпуклых тел
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n, можно расширить до полилинейного непрерывного функционала, определенного при
всех Xi \in C(Sn - 1) ([8, с. 967], формула (3)).
Если X1 = X2 = . . . = Xn - 1 = X, то полагаем F [X1, . . . , Xn - 1; d\omega ] = F [X; d\omega ].
Отметим также, что справедлива формула [8, с. 969]
V
\bigl[
Z + t\delta Z, . . . , Z + t\delta Z, Z1, . . . , Zn - m
\bigr]
=
m\sum
k=0
tkCk
mV
\bigl[ k\underbrace{} \underbrace{}
Z, . . ., \delta Z, . . .\underbrace{} \underbrace{}
m
, Z1, . . . , Zn - m
\bigr]
, (9)
которая будет использована в дальнейшем изложении.
2. Постановка задачи. В пространстве \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n рассмотрим ДДС
X = \bfA X + \psi
\bigl(
V [X]
\bigr)
B, (10)
где X \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n, \bfA \in L(\BbbR n), \psi \in C1(\BbbR +;\BbbR +), B \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n. Предположим, что оператор \bfA
удовлетворяет условию \bfA q = \beta \bfI при некоторых натуральном q и положительном \beta . Пусть
существует изолированная неподвижная точка X\ast \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n ДДС (10), которая определяется
из уравнения
X\ast = \bfA X\ast + \psi
\bigl(
V [X\ast ]
\bigr)
B.
Напомним классическое определение устойчивости неподвижной точки ДДС (10). Обозна-
чим через Xp p-итерацию отображения (10).
Определение. Неподвижная точка X\ast \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n ДДС (10) называется:
(1) устойчивой по Ляпунову, если для любого \varepsilon > 0 существует \delta = \delta (\varepsilon ) > 0 такое, что
из неравенства dH(X0, X
\ast ) < \delta следует, что \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}p\in \BbbZ +
dH(Xp, X
\ast ) < \varepsilon ;
(2) асимптотически устойчивой по Ляпунову, если она устойчива и существует положи-
тельное число \rho такое, что при всех X0 \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n, dH(X0, X
\ast ) < \rho выполняется равенство
dH(Xp, X
\ast ) \rightarrow 0 при p\rightarrow \infty .
3. Основной результат. Пусть
\delta X = hX - hX\ast \in C(Sn - 1), \delta X = hX - hX\ast \in C(Sn - 1).
Вследствие формулы (9)
V [X] = V [X\ast ] + nV1[X
\ast , \delta X] + o
\bigl(
\| \delta X\| C(Sn - 1)
\bigr)
, \| \delta X\| C(Sn - 1) \rightarrow 0,
где V1[X\ast , (\cdot )] = V
\bigl[
X\ast , . . . , X\ast \underbrace{} \underbrace{}
n - 1
, (\cdot )
\bigr]
— расширение функционала первого смешанного объема
на пространство C(Sn - 1).
Следовательно,
\psi
\bigl(
V [X]
\bigr)
= \psi
\bigl(
V [X\ast ]
\bigr)
+ n\psi \prime
V
\bigl(
V [X\ast ]
\bigr)
V1[X
\ast , \delta X] + o
\bigl(
\| \delta X\| C(Sn - 1)
\bigr)
, \| \delta X\| C(Sn - 1) \rightarrow 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК ОДНОГО КЛАССА КВАЗИЛИНЕЙНЫХ . . . 1171
Поэтому с учетом интегрального представления (8) уравнение (10) можно представить в виде
\delta X = \scrZ \delta X + o
\bigl(
\| \delta X\| C(Sn - 1)
\bigr)
, \| \delta X\| C(Sn - 1) \rightarrow 0. (11)
Здесь действие оператора \scrZ на функции f \in C(Sn - 1) определяется следующим образом:
(\scrZ f)(x) = \frakA f(x) + \psi \prime
V
\bigl(
V [X\ast ]
\bigr)
hB(x)
\int
Sn - 1
f(p)F
\bigl[
X\ast ; d\omega (p)
\bigr]
, x \in Sn - 1,
а \frakA — расширение оператора \bfA на пространство C(Sn - 1) — определяется так:
(\frakA f)(p) = \| \bfA \ast p\| f
\biggl(
\bfA \ast p
\| \bfA \ast p\|
\biggr)
, f \in C(Sn - 1), p \in Sn - 1, (12)
где \bfA \ast — линейный оператор, сопряженный к \bfA .
Уравнение (11) является разностным уравнением в банаховом пространстве C(Sn - 1).
Для формулировки теоремы об условиях асимптотической устойчивости неподвижной точ-
ки X\ast ДДС (10) определим функции
\mathrm{A}mk \in C(Sn - 1), \mathrm{B}mk \in (C(Sn - 1))\ast , k = 1, q, 1 \leq m \leq k,
из рекуррентных соотношений
\mathrm{A}m,k+1 = \mathrm{A}mk, m = 1, k, \mathrm{A}k+1,k+1 = \psi \prime
V
\bigl(
V [X\ast ]
\bigr)
\frakA khB, (13)
\mathrm{B}m,k+1[d\omega ] = \frakA \ast \mathrm{B}mk[d\omega ] + F [X\ast ; d\omega ]\psi \prime
V (V [X\ast ])
\int
Sn - 1
hB(\xi )\mathrm{B}mk[d\omega (\xi )], m = 1, k,
(14)
\mathrm{B}k+1,k+1[d\omega ] = F [X\ast ; d\omega ],
где \frakA \ast \in L
\bigl(
(C(Sn - 1))\ast
\bigr)
— сопряженный оператор к оператору \frakA , с начальными условиями
\mathrm{A}11 = hB, \mathrm{B}11[d\omega ] = F [X\ast ; d\omega ]. (15)
Введем матрицу
dlm =
\int
Sn - 1
\mathrm{A}mq(x)\mathrm{B}lq[d\omega (x)], D = [dlm]ql,m=1, (16)
и ее характеристический полином
\Delta (\lambda ) = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}[dlm - \lambda \delta lm]ql,m=1.
Теорема. Предположим, что все корни алгебраического уравнения
\Delta (\lambda - \beta ) = 0
лежат внутри открытого единичного круга B1(0) \subset \BbbC и \beta < 1.
Тогда неподвижная точка X = X\ast ДДС (10) асимптотически устойчива по Ляпунову.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1172 И. В. АТАМАСЬ, В. И. СЛЫНЬКО
Доказательство. Известно (см., например, [12]), что для асимптотической устойчивости
неподвижной точки X\ast ДДС (10) достаточно выполнения неравенства r\sigma (\scrZ ) < 1, где r\sigma —
спектральный радиус соответствующего линейного оператора. По теореме Данфорда об отоб-
ражении спектра неравенство r\sigma (\scrZ ) < 1 эквивалентно неравенству r\sigma (\scrZ q) < 1.
Покажем, использовав метод математической индукции, что
(\scrZ kf)(x) = \frakA kf(x) +
k\sum
m=1
\mathrm{A}mk(x)
\int
Sn - 1
f(p)\mathrm{B}mk
\bigl[
d\omega (p)
\bigr]
, k \geq 1. (17)
При k = 1 это очевидно. Предполагая, что это справедливо при некотором натуральном k, с
учетом теоремы Фубини получаем
(\scrZ k+1f)(x) = \frakA k(\scrZ f)(x) +
k\sum
m=1
\mathrm{A}mk(x)
\int
Sn - 1
(\scrZ f)(p)\mathrm{B}mk
\bigl[
d\omega (p)
\bigr]
=
= \frakA k
\left( \frakA f(x) + \psi \prime
V
\bigl(
V [X\ast ]
\bigr)
hB(x)
\int
Sn - 1
f(p)F
\bigl[
X\ast ; d\omega (p)
\bigr] \right) +
+
k\sum
m=1
\mathrm{A}mk(x)
\int
Sn - 1
\left( \frakA f(p) + \psi \prime
V
\bigl(
V [X\ast ]
\bigr)
hB(p)
\int
Sn - 1
f(\xi )F
\bigl[
X\ast ; d\omega (\xi )
\bigr] \right) \mathrm{B}mk
\bigl[
d\omega (p)
\bigr]
=
= \frakA k+1f(x) + \psi \prime
V
\bigl(
V [X\ast ]
\bigr)
\frakA khB(x)
\int
Sn - 1
f(p)F [X\ast ; d\omega (p)]+
+
k\sum
m=1
\mathrm{A}mk(x)
\int
Sn - 1
\frakA f(p)\mathrm{B}mk
\bigl[
d\omega (p)
\bigr]
+
+
k\sum
m=1
\mathrm{A}mk(x)
\int
Sn - 1
\psi \prime
V
\bigl(
V [X\ast ]
\bigr)
hB(p)
\left( \int
Sn - 1
f(\xi )F [X\ast ; d\omega (\xi )]
\right) \mathrm{B}mk
\bigl[
d\omega (p)
\bigr]
=
= \frakA k+1f(x) + \psi \prime
V
\bigl(
V [X\ast ]
\bigr)
\frakA khB(x)
\int
Sn - 1
f(p)F
\bigl[
X\ast ; d\omega (p)
\bigr]
+
+
k\sum
m=1
\mathrm{A}mk(x)
\int
Sn - 1
f(p)\frakA \ast \mathrm{B}mk
\bigl[
d\omega (p)
\bigr]
+
+
k\sum
m=1
\mathrm{A}mk(x)\psi
\prime
V
\bigl(
V [X\ast ]
\bigr) \int
Sn - 1
\left( \int
Sn - 1
hB(\xi )\mathrm{B}mk
\bigl[
d\omega (\xi )
\bigr] \right) f(p)F
\bigl[
X\ast ; d\omega (p)
\bigr]
=
= \frakA k+1f(x) +
k+1\sum
m=1
\mathrm{A}m,k+1(x)
\int
Sn - 1
f(p)\mathrm{B}m,k+1
\bigl[
d\omega (p)
\bigr]
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК ОДНОГО КЛАССА КВАЗИЛИНЕЙНЫХ . . . 1173
что доказывает справедливость (17).
При k = q, вследствие предположения \bfA q = \beta \bfI , имеем
(\scrZ qf)(x) = \beta f(x) + (\frakJ f)(x),
(\frakJ f)(x) =
q\sum
m=1
\mathrm{A}mq(x)
\int
Sn - 1
f(p)\mathrm{B}mq
\bigl[
d\omega (p)
\bigr]
.
Изучим вопрос о спектре \sigma (\frakJ ) оператора \frakJ . Пусть g \in C(Sn - 1). Рассмотрим уравнение (\frakJ -
- \lambda I)f = g, которое можно записать в виде
q\sum
m=1
\mathrm{A}mq(x)
\int
Sn - 1
f(p)\mathrm{B}mq[d\omega (p)] - \lambda f(x) = g(x). (18)
Умножая это уравнение на \mathrm{B}lq[d\omega (p)] и интегрируя по сфере Sn - 1, получаем
q\sum
m=1
\int
Sn - 1
\mathrm{A}mq(x)\mathrm{B}lq
\bigl[
d\omega (x)
\bigr] \int
Sn - 1
f(p)\mathrm{B}mq
\bigl[
d\omega (p)
\bigr]
-
- \lambda
\int
Sn - 1
f(x)\mathrm{B}lq
\bigl[
d\omega (x)
\bigr]
=
\int
Sn - 1
g(x)\mathrm{B}lq
\bigl[
d\omega (x)
\bigr]
.
Обозначим
\zeta l =
\int
Sn - 1
f(x)\mathrm{B}lq
\bigl[
d\omega (x)
\bigr]
, \eta l =
\int
Sn - 1
g(x)\mathrm{B}lq
\bigl[
d\omega (x)
\bigr]
. (19)
Тогда получаем линейную систему алгебраических уравнений
q\sum
m=1
(dlm - \lambda \delta lm)\zeta m = \eta l.
Если \Delta (\lambda ) \not = 0, то существует единственное решение \zeta l, l = 1, q, которое линейным образом
выражается через \eta l, l = 1, q:
\zeta m =
1
\Delta (\lambda )
q\sum
l=1
tml(\lambda )\eta l,
где tml(\lambda ) — многочлены от \lambda . Таким образом, из (18) имеем
f(x) =
1
\lambda D(\lambda )
q\sum
m=1
q\sum
l=1
\mathrm{A}mq(x)tml(\lambda )
\int
Sn - 1
g(p)\mathrm{B}lq
\bigl[
d\omega (p)
\bigr]
- 1
\lambda
g(x).
Пусть M = \{ \lambda \in \BbbC | D(\lambda ) = 0\} \cup \{ 0\} , тогда если \lambda /\in M, то уравнение (18) имеет единствен-
ное решение x = x(g), которое непрерывно по норме пространства C(Sn - 1) зависит от g.
Следовательно, \lambda \in \rho (\frakJ ) и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1174 И. В. АТАМАСЬ, В. И. СЛЫНЬКО
\sigma (\frakJ ) \subset M.
Из соотношения \scrZ q = \beta I + \frakJ следует, что
\sigma (\scrZ q) = \beta + \sigma (\frakJ ) \subset \beta +M \subset B1(0) \subset \BbbC .
Таким образом, неподвижная точка X\ast ДДС (10) асимптотически устойчива по Ляпунову.
Теорема доказана.
Отметим, что условия асимптотической устойчивости могут быть сведены к конечной сис-
теме неравенств, ограничивающих коэффициенты характеристического полинома \Delta (\lambda - \beta ) = 0,
на основе известных критериев локализации корней полинома (например, критерия Шура –
Кона [13]).
4. Каскады в пространстве \bfc \bfo \bfn \bfv \BbbR \bftwo . В этом пункте рассматриваются ДДС в простран-
стве \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR 2. Отметим, что в этом случае каждый выпуклый компакт однозначно определяет-
ся 2\pi -периодической непрерывной функцией (приведенной опорной функцией) HX(\theta ) =
= hX(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta , \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta ), где hX(p) — опорная функция X \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR 2.
Известно [14, с. 128], что функция HX(\theta ) дифференцируема по Шварцу, ее производная
H \prime
X(\theta ) является функцией ограниченной вариации и для функционала смешанной площади
справедливо представление в виде интеграла Стильтьеса
S[X, f ] =
1
2
2\pi \int
0
f(\theta )d\mu X(\theta ), X \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR 2, f \in C[0, 2\pi ],
\mu X(\theta ) = H \prime
X(\theta ) +
\theta \int
0
HX(s) ds.
Рассмотрим ДДС в пространстве \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR 2
X = \bfA X + \psi
\bigl(
S[X]
\bigr)
B, (20)
где X \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR 2, \bfA = \beta \bfU \alpha , \beta > 0, \bfU \alpha — оператор поворота в положительном направлении
на угол \alpha , S[X] — площадь выпуклого компакта X, B \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR 2.
Предположим, что эта ДДС имеет неподвижную точку X\ast \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR 2. В частном случае,
когда приведенная опорная функция HB(\theta ) представляет собой тригонометрический полином
HB(\theta ) =
N\sum
k= - N
bke
ik\theta , b - k = bk, k = - N,N,
можно установить достаточные условия существования неподвижной точки X\ast и представить
явные формулы для ее вычисления. Отметим, что любой выпуклый компакт на плоскости
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR 2 можно сколь угодно точно аппроксимировать выпуклыми компактами, опорные функ-
ции которых являются тригонометрическими полиномами.
Для этого укажем дополнительные условия, при которых некоторый тригонометрический
полином
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК ОДНОГО КЛАССА КВАЗИЛИНЕЙНЫХ . . . 1175
T (\theta ) =
N\sum
k= - N
tke
ik\theta , t - k = tk, k = - N,N,
является приведенной опорной функцией некоторого выпуклого компакта T \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR 2, т. е.
HT (\theta ) = T (\theta ).
Напомним некоторые известные факты, касающиеся тригонометрических полиномов [15].
Пусть F (\theta ) =
\sum N
k= - N
fke
ik\theta , f - k = fk, k = - N,N, — тригонометрический полином,
которому сопоставим вектор
\^F = (f0,\mathrm{R}\mathrm{e} f1, \mathrm{I}\mathrm{m} f1, . . . ,\mathrm{R}\mathrm{e} fN , \mathrm{I}\mathrm{m} fN ) \in \BbbR 2N+1.
В пространстве \BbbR 2N+1 определим конус \frakK , соответствующий неотрицательным тригонометри-
ческим полиномам. Согласно теореме Рисса – Фейера [15], для неотрицательности тригономет-
рического полинома F (\theta ) необходимо и достаточно, чтобы существовал тригонометрический
полином X(\theta ) =
\sum N
k=0
xke
ik\theta , xk \in \BbbC , такой, что
F (\theta ) =
N\sum
k= - N
fke
ik\theta =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
N\sum
k=0
xke
ik\theta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2
=
N\sum
p=0,q=0
xpxqe
ik(p - q)\theta =
\bigm| \bigm| X(\theta )
\bigm| \bigm| 2.
Приравнивая коэффициенты в этом соотношении, получаем систему 2N + 1 полиномиальных
уравнений
Pm(f0,\mathrm{R}\mathrm{e} f1, \mathrm{I}\mathrm{m} f1, . . . ,\mathrm{R}\mathrm{e} fN , \mathrm{I}\mathrm{m} fN , x0, x1, . . . , xN ) = 0, m = - N,N.
Применяя теорему Зайденберга – Тарского [16], из этой системы можно исключить переменные
x0,x1, . . . ,xN и прийти к конечной системе полиномиальных неравенств вида
Ql(f0,\mathrm{R}\mathrm{e} f1, \mathrm{I}\mathrm{m} f1, . . . ,\mathrm{R}\mathrm{e} fN , \mathrm{I}\mathrm{m} fN ) \geq 0,
определяющих конус \frakK .
Таким образом, T \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR 2 тогда и только тогда, когда\bigl(
t0, 0, 0, . . . , (1 - k2)\mathrm{R}\mathrm{e} tk, (1 - k2) \mathrm{I}\mathrm{m} tk, . . . , (1 - N2)\mathrm{R}\mathrm{e} tN , (1 - N2) \mathrm{I}\mathrm{m} tN
\bigr)
\in \frakK .
Рассмотрим вопрос о существовании и вычислении неподвижной точки X\ast \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR 2
ДДС (20).
Приведенную опорную функцию HX\ast (\theta ) неподвижной точки X\ast ,
X\ast = \bfA X\ast + \psi
\bigl(
S[X\ast ]
\bigr)
B,
будем искать в виде
HX\ast (\theta ) =
N\sum
k= - N
xke
ik\theta , x - k = xk, k = - N,N.
Тогда
HX\ast (\theta ) = \beta HX\ast (\theta - \alpha ) + \psi
\bigl(
S[X\ast ]
\bigr)
HB(\theta ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1176 И. В. АТАМАСЬ, В. И. СЛЫНЬКО
Следовательно,
HX\ast (\theta ) = \psi
\bigl(
S[X\ast ]
\bigr) N\sum
k= - N
bk
1 - \beta e - ik\alpha
eik\theta .
Применяя формулу для смешанной площади [14, с. 128], получаем
S[X\ast ] =
1
2
2\pi \int
0
(H2
X\ast (\theta ) - (H \prime
X\ast (\theta ))2) d\theta = \pi \psi 2(S[X\ast ])
N\sum
k= - N
(1 - k2)| bk| 2
1 - 2\beta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} k\alpha + \beta 2
.
Следовательно, приходим к следующим условиям существования неподвижной точки ДДС (20).
Предложение 1. Предположим, что алгебраическое уравнение
s\ast = \pi \psi 2(s\ast )
N\sum
k= - N
(1 - k2)| bk| 2
1 - 2\beta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} k\alpha + \beta 2
имеет решение s\ast \geq 0 и вектор\biggl(
b0
1 - \beta
, 0, 0, . . . , (1 - k2)\mathrm{R}\mathrm{e}
bk
1 - \beta e - ik\alpha
, (1 - k2) \mathrm{I}\mathrm{m}
bk
1 - \beta e - ik\alpha
, . . .
\biggr)
\in \frakK .
Тогда существует неподвижная точка X\ast \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR 2 ДДС (20), приведенная опорная функция
которой имеет вид
HX\ast (\theta ) = \psi (s\ast )
N\sum
k= - N
bk
1 - \beta e - ik\alpha
eik\theta .
Рассмотрим вопрос об устойчивости неподвижной точки X\ast ДДС (20). Оператор \scrZ имеет
вид
(\scrZ F )(\theta ) = \beta F (\theta - \alpha ) + \psi \prime
S
\bigl(
S[X\ast ]
\bigr)
HB(\theta )
2\pi \int
0
F (\tau ) d\mu X\ast (\tau ).
Функции \mathrm{A}kq(\theta ) и \mu mq(\theta ) определим из рекуррентных уравнений
\mathrm{A}l,k+1(\theta ) = \mathrm{A}lk(\theta ), l = 1, k, \mathrm{A}k+1,k+1(\theta ) = \beta k\psi \prime
S
\bigl(
S[X\ast ]
\bigr)
HB(\theta - k\alpha ),
\mu l,k+1(\theta ) = \beta \mu lk(\theta + \alpha ) + \mu X\ast (\theta )\psi \prime
S
\bigl(
S[X\ast ]
\bigr) 2\pi \int
0
HB(\tau )d\mu lk(\tau ), l = 1, k, (21)
\mu k+1,k+1(\theta ) = \mu X\ast (\theta ),
с начальными условиями
\mathrm{A}11(\theta ) = HB(\theta ), \mu 11(\theta ) = \mu X\ast (\theta ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК ОДНОГО КЛАССА КВАЗИЛИНЕЙНЫХ . . . 1177
В этом случае характеристический многочлен D(\lambda ) = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}[D - \lambda I], D = [dkm]qk,m=1 — матрица
с элементами
dkm =
2\pi \int
0
\mathrm{A}kq(\theta )d\mu mq(\theta ).
В частном случае, когда HB(\theta ) является тригонометрическим полиномом, функция \mu X\ast (\theta )
дифференцируема и
d\mu X\ast (\theta ) = \psi
\bigl(
S[X\ast ]
\bigr) N\sum
k= - N
(1 - k2)bk
1 - \beta e - ik\alpha
eik\theta d\theta .
Обозначим
M = \{ \lambda \in \BbbC | \Delta (\lambda ) = 0\} \cup \{ 0\} .
Непосредственным следствием доказанной теоремы является следующее утверждение.
Предложение 2. Предположим, что
\beta q +M \subset B1(0) \subset \BbbC .
Тогда неподвижная точка X\ast \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR 2 ДДС (20) является асимптотически устойчивой.
5. Пример. Рассмотрим ДДС (20) в пространстве \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR 2, предполагая, что \alpha =
\pi
2
. Пусть
X\ast — неподвижная точка этой ДДС.
Непосредственными вычислениями можно показать, что элементы матрицы D имеют вид
d11 = \beta 3n3 + \beta 2(n21 + 2n0n2) + 3\beta n20n1 + n40,
d12 = \beta 2n2 + 2\beta n0n1 + n30, d13 = \beta n1 + n20, d14 = n0,
d21 = \beta 3n0 + \beta 2(n0n3 + 2n1n2) + \beta (n20n2 + n0n
2
1) + n30n1,
d22 = \beta 2n3 + \beta (n0n2 + n21) + n20n1,
d23 = \beta n2 + n0n1, d24 = n1,
d31 = \beta 3n1 + \beta 2(n20 + n1n3 + n22) + \beta (n20n3 + 2n0n1n2) + n30n2,
d32 = \beta 2n0 + \beta (n0n3 + n1n2) + n20n2,
d33 = \beta n3 + n0n2, d34 = n2,
d41 = \beta 3n2 + \beta 2(2n0n1 + n2n3) + \beta (2n0n1n3 + n30) + n3n
3
0,
d42 = \beta 2n1 + \beta (n20 + n1n3) + n20n3,
d43 = \beta n0 + n0n3, d44 = n3.
Здесь nk =
\int 2\pi
0
HB
\biggl(
\theta - \pi k
2
\biggr)
d\mu X\ast (\theta ), k = 0, 1, 2, 3. Условия устойчивости неподвижной
точки X\ast следуют из предложения 2 и сводятся к проверке условий Шура – Кона локализации
корней характеристического полинома матрицы D.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1178 И. В. АТАМАСЬ, В. И. СЛЫНЬКО
Пусть \psi (s) = \mathrm{t}\mathrm{h} s и приведенная опорная функция HB(\theta ) выпуклого компакта B является
тригонометрическим полиномом. Рассмотрим трансцендентное уравнение
s\ast = \pi
N\sum
m= - N
(1 - m2)| bm| 2
1 + \beta 2 - 2\beta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \pi m
2
\mathrm{t}\mathrm{h}2 s\ast . (22)
Это уравнение всегда имеет тривиальное решение, ему соответствует неподвижная точка X\ast =
= \{ 0\} . Если
N\sum
m= - N
(1 - m2)| bm| 2
1 + \beta 2 - 2\beta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \pi m
2
>
27
16\pi
,
то уравнение (22) имеет два положительных решения s\ast 1 и s\ast 2. Пусть выполняются условия
предложения 1, тогда решениям s\ast m, m = 1, 2, соответствуют две неподвижные точки X\ast
1
и X\ast
2 ,
HX\ast
m
(\theta ) = \psi (s\ast m)
N\sum
k= - N
bk
1 - \beta e - \pi ik/2
eik\theta , m = 1, 2.
В этом случае
nk = 2\pi \psi (s\ast )\psi \prime (s\ast )
N\sum
m= - N
(1 - m2)| bm| 2e -
\pi kmi
2
1 - \beta e
\pi mi
2
, k = 0, 1, 2, 3.
В частности, если B — круг с центром в начале координат радиуса r, то HB(\theta ) = r и условия
устойчивости принимают особенно простую форму.
В случае, когда r \in (0, r0), r0 =
3
\surd
3(1 - \beta )
4
\surd
\pi
, существует одна тривиальная неподвижная
точка и она является асимптотически устойчивой. При r > r0 кроме тривиальной неподвижной
точки существуют еще две неподвижные точки, которые являются кругами с радиусами Rm =
=
r \mathrm{t}\mathrm{h} s\ast m
1 - \beta
, s\ast m — корни трансцендентного уравнения
s\ast =
\pi r2
(1 - \beta )2
\mathrm{t}\mathrm{h}2 s\ast .
Характеристический полином \Delta (\lambda ) в этом случае имеет вид
\Delta (\lambda ) = \lambda 4 - \mathrm{t}\mathrm{r}D\lambda 3, \mathrm{t}\mathrm{r}D =
\biggl(
\beta +
2\pi \mathrm{t}\mathrm{h} s\ast mr
2
(1 - \beta ) \mathrm{c}\mathrm{h}2 s\ast m
\biggr) 4
- \beta 4.
Условия асимптотической устойчивости неподвижной точки таковы:
\beta < 1,
2\pi \mathrm{t}\mathrm{h} s\ast mr
2
(1 - \beta )2 \mathrm{c}\mathrm{h}2 s\ast m
< 1.
Используя элементарные методы и графический анализ, можно показать, что одна из непо-
движных точек X\ast
1 , для которой S[X\ast
1 ] < s\ast \ast \approx 0,771702, неустойчива, а другая неподвижная
точка X\ast
2 , для которой S[X\ast
2 ] > s\ast \ast , асимптотически устойчива.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК ОДНОГО КЛАССА КВАЗИЛИНЕЙНЫХ . . . 1179
6. Заключение. Результаты А. Д. Александрова о расширении основных понятий тео-
рии выпуклых тел позволяют построить уравнение в вариациях в окрестности неподвижной
точки ДДС в пространстве \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n. Уравнение в вариациях порождает ДДС в банаховом про-
странстве C(Sn - 1), что дает возможность установить условия асимптотической устойчивости
неподвижных точек ДДС в пространстве \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n по линейному приближению. Для изученных
в настоящей работе квазилинейных ДДС установлено, что ограничение \bfA q = \beta \bfI на линейную
часть ДДС позволяет свести вопрос об устойчивости неподвижной точки к локализации корней
характеристического многочлена степени q, аналогично случаю конечномерной динамической
системы. Представляет интерес исследование ДДС в пространстве \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\BbbR n при более общих
предположениях относительно оператора \bfA .
Литература
1. Плотников В. А., Плотников А. В., Витюк А. Н. Дифференциальные уравнения с многозначной правой частью.
Асимптотические методы. – Одесса: Астропринт, 1999. – 356 с.
2. Плотников А. В., Скрипник Н. В. Дифференциальные уравнения с „четкой” и нечеткой многозначной правой
частью: асимптотические методы. – Одесса: Астропринт, 2009.
3. Перестюк Н. А., Плотников В. А., Самойленко А. М., Скрипник Н. В. Импульсные дифференциальные урав-
нения с многозначной и разрывной правой частью. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2007.
4. Gnana Bhaskar T., Shaw M. Stability results for set difference equations // Dynam. Systems and Appl. – 2004. –
13. – P. 479– 485.
5. Lakshmikantham V., Gnana Bhaskar T., Vasundhara Devi J. Theory of set differential equations in metric spaces. –
London: Cambridge Sci. Publ., 2006.
6. Slyn’ko V. I. The stability of fixed points of discrete dynamical systems in the space \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}Rn // Funct. Anal. and
Appl. – 2016. – 50, № 2. – P. 163 – 165.
7. Slyn’ko V. I. Stability in terms of two measures for set difference equations in space \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}Rn // Appl. Anal. – 2017. –
96, № 2. – P. 278 – 292.
8. Александров А. Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. I. Расширение некоторых понятий теории
выпуклых тел // Мат. сб. – 1937. – 2(44), № 5. – С. 947 – 972.
9. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. – М.: Наука, 1988. – 319 c.
10. Radstrem H. An embedding theorem for spaces of convex sets // Proc. Amer. Math. Soc. – 1952. – 3. – P. 165 – 169.
11. Половинкин Е. С. Многозначный анализ и дифференциальные включения. – М.: Физматлит, 2014. – 597 с.
12. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом простран-
стве. – М.: Наука, 1970. – 356 с.
13. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. – М.: Наука, 1979. – 304 с.
14. Бляшке В. Круг и шар. – М.: Наука, 1967. – 232 с.
15. Крейн М. Г., Нудельман А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. – М.: Наука, 1973. – 552 с.
16. Горин Е. А. Об асимптотических свойствах многочленов и алгебраических функций от нескольких перемен-
ных // Успехи мат. наук. – 1961. – 16, № 1. – С. 91 – 118.
Получено 24.01.17,
после доработки — 20.02.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1766 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:13Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/57/ca8024d7c468431151eb79eae6c22a57.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17662019-12-05T09:25:58Z Stability of fixed points for a class of quasilinear cascades in the space conv $R^n$ Устойчивость неподвижных точек одного класса квазилинейных каскадов в пространстве conv $R^n$ Atamas', I. V. Slyn'ko, V. I. Атамась, И. В. Слынько, В. И. Атамась, И. В. Слынько, В. И. The discrete dynamical systems (cascades) in semilinear metric space of nonempty convex compacts of finite-dimensional space are studied. Using the methods of convex geometry of H. Minkowski and A. D. Alexandrov the sufficient conditions of the stability of the fixed points were established. Under certain restrictions on the mappings generating the cascade, the problem of asymptotic stability of fixed point of the cascade was reduced to localization of the roots of a polynomial inside the unit circle in the complex plane. Examples of cascades in the plane were given. Вивчаються дискретнi динамiчнi системи (каскади) в напiвлiнiйному метричному просторi непорожнiх опуклих компактiв скiнченновимiрного простору. Використовуючи методи геометрiї опуклих тiл Г. Мiнковського i О. Д. Александрова, встановлено достатнi умови стiйкостi нерухомих точок. При деяких обмеженнях на вiдображення, якi породжують каскад, питання про асимптотичну стiйкiсть нерухомої точки каскаду зведено до локалiзацiї коренiв полiнома в одиничному колi комплексної площини. Наведено приклади каскадiв на площинi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1766 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 8 (2017); 1166-1179 Український математичний журнал; Том 69 № 8 (2017); 1166-1179 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1766/748 Copyright (c) 2017 Atamas' I. V.; Slyn'ko V. I. |
| spellingShingle | Atamas', I. V. Slyn'ko, V. I. Атамась, И. В. Слынько, В. И. Атамась, И. В. Слынько, В. И. Stability of fixed points for a class of quasilinear cascades in the space conv $R^n$ |
| title | Stability of fixed points for a class of quasilinear cascades in the
space conv $R^n$ |
| title_alt | Устойчивость неподвижных точек одного класса
квазилинейных каскадов в пространстве conv $R^n$ |
| title_full | Stability of fixed points for a class of quasilinear cascades in the
space conv $R^n$ |
| title_fullStr | Stability of fixed points for a class of quasilinear cascades in the
space conv $R^n$ |
| title_full_unstemmed | Stability of fixed points for a class of quasilinear cascades in the
space conv $R^n$ |
| title_short | Stability of fixed points for a class of quasilinear cascades in the
space conv $R^n$ |
| title_sort | stability of fixed points for a class of quasilinear cascades in the
space conv $r^n$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1766 |
| work_keys_str_mv | AT atamas039iv stabilityoffixedpointsforaclassofquasilinearcascadesinthespaceconvrn AT slyn039kovi stabilityoffixedpointsforaclassofquasilinearcascadesinthespaceconvrn AT atamasʹiv stabilityoffixedpointsforaclassofquasilinearcascadesinthespaceconvrn AT slynʹkovi stabilityoffixedpointsforaclassofquasilinearcascadesinthespaceconvrn AT atamasʹiv stabilityoffixedpointsforaclassofquasilinearcascadesinthespaceconvrn AT slynʹkovi stabilityoffixedpointsforaclassofquasilinearcascadesinthespaceconvrn AT atamas039iv ustojčivostʹnepodvižnyhtočekodnogoklassakvazilinejnyhkaskadovvprostranstveconvrn AT slyn039kovi ustojčivostʹnepodvižnyhtočekodnogoklassakvazilinejnyhkaskadovvprostranstveconvrn AT atamasʹiv ustojčivostʹnepodvižnyhtočekodnogoklassakvazilinejnyhkaskadovvprostranstveconvrn AT slynʹkovi ustojčivostʹnepodvižnyhtočekodnogoklassakvazilinejnyhkaskadovvprostranstveconvrn AT atamasʹiv ustojčivostʹnepodvižnyhtočekodnogoklassakvazilinejnyhkaskadovvprostranstveconvrn AT slynʹkovi ustojčivostʹnepodvižnyhtočekodnogoklassakvazilinejnyhkaskadovvprostranstveconvrn |