Exact solutions of the nonliear equation $u_{tt} = = a(t) uu_{xx} + b(t) u_x^2 + c(t) u $
Ans¨atzes that reduce the equation$u_{tt} = = a(t) uu_{xx} + b(t) u_x^2 + c(t) u $ to a system of two ordinary differential equations are defined. Also it is shown that the problem of constructing exact solutions of the form $u = \mu 1(t)x_2 + \mu 2(t)x\alpha , \alpha \in \bfR$, to this equation,...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1768 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507624502460416 |
|---|---|
| author | Barannyk, T. A. Barannyk, A. F. Yuryk, I. I. Баранник, Т. А. Баранник, А. Ф. Юрик, І. І. |
| author_facet | Barannyk, T. A. Barannyk, A. F. Yuryk, I. I. Баранник, Т. А. Баранник, А. Ф. Юрик, І. І. |
| author_sort | Barannyk, T. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:26:20Z |
| description | Ans¨atzes that reduce the equation$u_{tt} =
= a(t) uu_{xx} + b(t) u_x^2 + c(t) u $ to a system of two ordinary differential equations are defined. Also it is shown that the problem of constructing exact solutions of the form $u = \mu 1(t)x_2 + \mu 2(t)x\alpha , \alpha \in \bfR$,
to this equation, reduces to integrating of a system of linear equations $\mu \prime \prime
1 = \Phi 1(t)\mu 1, \mu \prime \prime
2 = \Phi 2(t)\mu 2$, where $\Phi 1(t)$ and
\Phi 2(t) are arbitrary predefined functions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
А. Ф. Баранник (Помор. академiя, Слупськ, Польща),
Т. А. Баранник (Полтав. нац. пед. ун-т),
I. I. Юрик (Нац. ун-т харч. технологiй, Київ)
ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНОГО РIВНЯННЯ
\bfitu \bfitt \bfitt = \bfita (\bfitt )\bfitu \bfitu \bfitx \bfitx + \bfitb (\bfitt )\bfitu \bftwo
\bfitx + \bfitc (\bfitt )\bfitu
Ansätzes that reduce the equation utt = a(t)uuxx + b(t)u2
x + c(t)u to a system of two ordinary differential equations are
defined. Also it is shown that the problem of constructing exact solutions of the form u = \mu 1(t)x
2 + \mu 2(t)x
\alpha , \alpha \in \bfR ,
to this equation, reduces to integrating of a system of linear equations \mu \prime \prime
1 = \Phi 1(t)\mu 1, \mu
\prime \prime
2 = \Phi 2(t)\mu 2, where \Phi 1(t) and
\Phi 2(t) are arbitrary predefined functions.
Найдены анзацы, редуцирующие уравнение utt = a(t)uuxx + b(t)u2
x + c(t)u к системе двух обыкновенных диф-
ференциальных уравнений. Также показано, что задача построения точных решений вида u = \mu 1(t)x
2 + \mu 2(t)x
\alpha ,
\alpha \in \bfR , этого уравнения сводится к интегрированию системы линейных уравнений \mu \prime \prime
1 = \Phi 1(t)\mu 1, \mu
\prime \prime
2 = \Phi 2(t)\mu 2,
где \Phi 1(t) и \Phi 2(t) — произвольные наперед заданные функции.
1. Вступ. У данiй роботi розглядається задача побудови точних розв’язкiв з узагальненим
вiдокремленням змiнних для нелiнiйного рiвняння
\partial 2u
\partial t2
= a(t)u
\partial 2u
\partial x2
+ b(t)
\biggl(
\partial u
\partial x
\biggr) 2
+ c(t)u, (1)
де a = a(t), b = b(t), c = c(t) — функцiї вiд t. Рiвняння цього типу зустрiчаються в задачах
хвильової i газової динамiки.
У загальному випадку рiвняння (1) має точний розв’язок вигляду [5]
u = \mu 2(t)x
2 + \mu 1(t)x+ \mu 0(t).
Частиннi випадки даного рiвняння вивчалися в [1, 2, 4, 5]. У роботах [1 – 4] запропоновано
метод побудови точних розв’язкiв з узагальненим вiдокремленням змiнних
u =
n\sum
i=1
\psi i(t)\varphi i(x),
який ґрунтується на вiдшуканнi скiнченновимiрних пiдпросторiв, iнварiантних вiдносно нелi-
нiйного диференцiального оператора, що вiдповiдає рiвнянню (1). При цьому система коор-
динатних функцiй \varphi i(x) задавалася апрiорно, а для визначення функцiй \psi i(t) застосовувався
метод невизначених коефiцiєнтiв.
У роботах [6, 7] для побудови точних розв’язкiв рiвняння (1) використовувався анзац ви-
гляду
u = d(x)\omega (t) + f(t, x), (2)
де невiдомi функцiї d = d(x), \omega = \omega (t) i f = f(t, x) визначалися з умови, що анзац (2) редукує
рiвняння (1) дo звичайного диференцiального рiвняння з невiдомою функцiєю \omega = \omega (t).
У данiй роботi за допомогою анзацу (2) знайдено системи координатних функцiй для точних
розв’язкiв рiвняння (1), що зводить задачу побудови таких розв’язкiв до iнтегрування системи
звичайних диференцiальних рiвнянь. Так, у випадку
a(t) =
\alpha
1 - \alpha
b(t), \alpha \in \bfR , \alpha \not = 1, 2, 3,
c\bigcirc А. Ф. БАРАННИК, Т. А. БАРАННИК, I. I. ЮРИК, 2017
1180 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНОГО РIВНЯННЯ . . . 1181
систему координатних функцiй утворюють функцiї x2, x\alpha , а якщо a(t) = - 2b(t), то коор-
динатну систему утворюють функцiї x2, x2 \mathrm{l}\mathrm{n} | x| . Показано, зокрема, що вiдшукання точних
розв’язкiв рiвняння (1) вигляду
u = \mu 1(t)x
2 + \mu 2(t)x
\alpha
зводиться до iнтегрування системи звичайних диференцiальних рiвнянь
\mu \prime \prime 1 = \Phi 1(t)\mu 1, \mu \prime \prime 2 = \Phi 2(t)\mu 2, (3)
де \Phi 1(t) i \Phi 2(t) — довiльнi наперед заданi функцiї. У багатьох випадках система (3) може бути
зiнтегрована.
2. Редукцiя рiвняння (1) до системи звичайних диференцiальних рiвнянь. Почнемо
розгляд частинного випадку рiвняння (1):
\partial 2u
\partial t2
= a(t)u
\partial 2u
\partial x2
+ b(t)
\biggl(
\partial u
\partial x
\biggr) 2
. (4)
Для побудови точних розв’язкiв рiвняння (4) використаємо анзац (2). Анзац (2) редукує (4) до
рiвняння
\omega \prime \prime d - \omega (afxxd+ 2bfxd
\prime + afd\prime \prime ) - \omega 2(add\prime \prime + bd\prime 2) + ftt - affxx - bf2x = 0. (5)
Враховуючи, що рiвняння (5) повинно бути звичайним диференцiальним рiвнянням з невiдо-
мою функцiєю \omega = \omega (f), отримуємо
add\prime \prime + b(d\prime )2 = \beta (t)d, (6)
adfxx + 2bd\prime fx + ad\prime \prime f = \~\gamma (t)d. (7)
Питання про знаходження розв’язкiв рiвняння (4) вигляду (2) ми звели до iнтегрування системи
двох звичайних диференцiальних рiвнянь, одне з яких є лiнiйним. Рiвняння (6) має частинний
розв’язок
d(x) = x\alpha , a(t) =
\alpha
1 - \alpha
b(t), \beta = 0, \alpha \not = 1. (8)
Пiдставивши d = x\alpha у рiвняння (7), отримаємо
x2fxx + 2(1 - \alpha )xfx + \alpha (\alpha - 1)f = \gamma (t)x2, (9)
де \gamma (t) =
1 - d
b
\~\gamma (t).
Розглянемо три випадки.
Випадок \bfitalpha = \bftwo . З (8) випливає, що a(t) = - 2b(t). Загальним розв’язком рiвняння (9) для
\alpha = 2 є функцiя
f = \gamma (t)x2 \mathrm{l}\mathrm{n} | x| + \~\beta (t)x2 + \sigma (t)x,
i на пiдставi (2)
u = \gamma (t)x2 \mathrm{l}\mathrm{n} | x| + \beta (t)x2 + \delta (t)x, (10)
де \beta (t) = \~\beta (t) + \omega (t). Пiдставивши (10) у (4), знайдемо \delta (t) = 0 i систему рiвнянь для
визначення функцiй \beta (t) i \gamma (t):
\gamma \prime \prime = - 2b\gamma 2, \beta \prime \prime = - 2b\gamma \beta + b\gamma 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1182 А. Ф. БАРАННИК, Т. А. БАРАННИК, I. I. ЮРИК
Випадок \bfitalpha = \bfthree . З (8) випливає, що a(t) =
3
2
b(t). Загальним розв’язком рiвняння (9) для
\alpha = 3 є функцiя
f = - \gamma (t)x2 \mathrm{l}\mathrm{n} | x| + \beta (t)x2 + \~\delta (t)x3,
а тому на пiдставi (2)
u = - \gamma (t)x2 \mathrm{l}\mathrm{n} | x| + \beta (t)x2 + \delta (t)x3, (11)
де \delta (t) = \~\delta (t) + \omega (t). Пiдставивши (11) у (4), отримаємо \gamma (t) = 0, а тому розв’язок (11) має
вигляд
u = \beta (t)x2 + \delta (t)x3.
Вiн є частинним випадком бiльш загального розв’язку
u = \mu 3(t)x
3 + \mu 2(t)x
2 + \mu 1(t)x+ \mu 0(t),
який наведено в [4].
Випадок \bfitalpha \not = \bfone , \bftwo , \bfthree . Загальним розв’язком рiвняння (9) є функцiя
f =
\gamma (t)
(\alpha - 2)(\alpha - 3)
x2 + \~\mu 2(t)x
\alpha + \mu 0(t)x
- 1+\alpha ,
i вiдповiдно до (2)
u = \mu 1(t)x
2 + \mu 2(t)x
\alpha + \mu 0(t)x
- 1+\alpha , (12)
де невiдомi функцiї \mu 0(t), \mu 1(t) =
\gamma (t)
(\alpha - 2)(\alpha - 3)
i \mu 2(t) = \~\mu 2(t) + \omega (t) необхiдно визначити.
Пiдставивши (12) в (4), знайдемо \mu 0(t) = 0 i систему рiвнянь для визначення функцiй \mu 1(t) i
\mu 2(t):
\mu \prime \prime 1 = (2a+ 4b)\mu 21, (13)
\mu \prime \prime 2 =
\biggl(
- a2b
(a+ b)2
+
2a2 + 6ab
a+ b
\biggr)
\mu 1\mu 2. (14)
Результати, отриманi для рiвняння (4), можна узагальнити на рiвняння (1). Маємо такi
випадки.
Випадок \bfita (\bfitt ) = - \bftwo \bfitb (\bfitt ). Анзац
u = \gamma (t)x2 \mathrm{l}\mathrm{n} | x| + \beta (t)x2
редукує рiвняння (1) до системи
\gamma \prime \prime = - 2b\gamma 2 + c\gamma , \beta \prime \prime = - 2b\gamma \beta + b\gamma 2 + c\beta .
Випадок \bfita (\bfitt ) = -
\bfthree
\bftwo
\bfitb (\bfitt ). Анзац
u = \beta (t)x2 + \delta (t)x3
редукує рiвняння (1) до системи
\delta \prime \prime = c\delta , \beta \prime \prime = b\beta 2 + c\beta .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНОГО РIВНЯННЯ . . . 1183
Випадок \bfita (\bfitt ) \not = - \bfitb (\bfitt ), - \bftwo \bfitb (\bfitt ), -
\bfthree
\bftwo
\bfitb (\bfitt ). Анзац
u = \mu 1(t)x
2 + \mu 2(t)x
\alpha , \alpha =
a
a+ b
, \alpha \in \bfR ,
редукує рiвняння (1) до системи
\mu \prime \prime 1 = (2a+ 4b)\mu 21 + c\mu 1, (15)
\mu \prime \prime 2 =
\biggl(
- a2b
(a+ b)2
+
2a2 + 6ab
a+ b
\biggr)
\mu 1\mu 2 + c\mu 2. (16)
3. Точнi розв’язки рiвняння \bfitu \bfitt \bfitt = \bfita (\bfitt )\bfitu \bfitu \bfitx \bfitx + \bfitb (\bfitt )\bfitu \bftwo
\bfitx . Розглянемо випадок a(t) =
=
\alpha
1 - \alpha
b(t), \alpha \in \bfR , \alpha \not = 1, 2, 3. Систему рiвнянь (13), (14) для визначення розв’язкiв вигляду
u = \mu 1(t)x
2 + \mu 2(t)x
\alpha
даного рiвняння запишемо у виглядi
\mu \prime \prime 1 =
4 - 2\alpha
\alpha
a\mu 21, (17)
\mu \prime \prime 2 = (\alpha - 2)(\alpha - 3)a\mu 1\mu 2. (18)
Систему (17), (18) можна зiнтегрувати не для кожної функцiї a = a(t). У випадку a = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}
деякi класи точних розв’язкiв цiєї системи наведено в [6]. Нашою задачею є видiлення тих
функцiй a = a(t), для яких система (17), (18) є iнтегровною. За допомогою функцiї
(\alpha - 2)(\alpha - 3)a\mu 1 = \Phi (t) (19)
систему рiвнянь (17), (18) запишемо так:
\mu \prime \prime 1 = - 2
\alpha (\alpha - 3)
\Phi (t)\mu 1, (20)
\mu \prime \prime 2 = \Phi (t)\mu 2. (21)
Рiвняння (21) є лiнiйним вiдносно \mu 2 (для вiдомих функцiй a i \mu 1). Враховуючи, що
функцiя a = a(t) є довiльною, можна вважати, що в системi (20), (21) \Phi (t) є довiльною наперед
заданою функцiєю, для якої рiвняння (21) цiєї системи є iнтегровним. Таким чином, знаходжен-
ня розв’язкiв системи (17), (18) при умовi, що виконується умова (19), де \Phi (t) є довiльною
наперед заданою функцiєю, зводиться до iнтегрування системи звичайних диференцiальних
рiвнянь (20), (21). Iнтегруючи рiвняння (20) i використовуючи (19), знаходимо a = a(t).
Розглянемо два найпростiшi випадки.
Випадок \bfPhi (\bfitt ) = - \bfitA , \bfitA = \bfc \bfo \bfn \bfs \bft \not = \bfzero . Нехай B = - 2A
\alpha (\alpha - 3)
. Якщо A < 0 i B < 0, то
система (20), (21) має розв’язок
\mu 1 = C1 \mathrm{c}\mathrm{h}
\bigl( \sqrt{}
| B| t
\bigr)
+ C2 \mathrm{s}\mathrm{h}
\bigl( \sqrt{}
| B| t
\bigr)
,
\mu 2 = C3 \mathrm{c}\mathrm{h}
\Bigl( \sqrt{}
| A| t
\Bigr)
+ C4 \mathrm{s}\mathrm{h}
\Bigl( \sqrt{}
| A| t
\Bigr)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1184 А. Ф. БАРАННИК, Т. А. БАРАННИК, I. I. ЮРИК
де C1, C2, C3 i C4 — довiльнi сталi. З рiвностi (19) знаходимо
a(t) = - A
(\alpha - 2)(\alpha - 3)
\bigl[
C1 \mathrm{c}\mathrm{h}
\bigl( \sqrt{}
| B| t
\bigr)
+ C2 \mathrm{s}\mathrm{h}
\bigl( \sqrt{}
| B| t
\bigr) \bigr] ,
де C2
1 + C2
2 \not = 0, а вiдповiдне рiвняння (4) має розв’язок
u =
\Bigl[
C1 \mathrm{c}\mathrm{h}
\bigl( \sqrt{}
| B| t
\bigr)
+ C2 \mathrm{s}\mathrm{h}
\bigl( \sqrt{}
| B| t
\bigr) \Bigr]
x2 +
\Bigl[
C3 \mathrm{c}\mathrm{h}
\Bigl( \sqrt{}
| A| t
\Bigr)
+ C4 \mathrm{s}\mathrm{h}
\Bigl( \sqrt{}
| A| t
\Bigr) \Bigr]
x\alpha .
Випадок \bfPhi (\bfitt ) = \bfitA \bfitt - \bftwo , \bfitA = \bfc \bfo \bfn \bfs \bft \not = \bfzero . Нехай B = - 2A
\alpha (\alpha - 3)
. Якщо s21 = B +
1
4
> 0
i s22 = A+
1
4
> 0, то система (20), (21) має розв’язок
\mu 1 = C1t
1/2+s1 + C2t
1/2 - s1 , \mu 2 = C3t
1/2+s2 + C4t
1/2 - s2 ,
де C1, C2, C3 i C4 — довiльнi сталi. З рiвностi (19) знаходимо
a(t) =
A
(\alpha - 2)(\alpha - 3)
\bigl[
C1t5/2+s1 + C2t5/2 - s1
\bigr] ,
де C2
1 + C2
2 \not = 0, а вiдповiдне рiвняння (4) має розв’язок
u =
\bigl[
C1t
1/2+s1 + C2t
1/2 - s1
\bigr]
x2 +
\bigl[
C3t
1/2+s2 + C4t
1/2 - s2
\bigr]
x\alpha .
Якщо s21 = - B - 1
4
> 0 i s22 = - A - 1
4
> 0, то система (20), (21) має розв’язок
\mu 1 = C1t
1/2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(s1 \mathrm{l}\mathrm{n} t) + C2t
1/2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(s1 \mathrm{l}\mathrm{n} t),
\mu 2 = C3t
1/2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(s2 \mathrm{l}\mathrm{n} t) + C4t
1/2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(s2 \mathrm{l}\mathrm{n} t),
де C1, C2, C3 i C4 — довiльнi сталi. З рiвностi (19) знаходимо
a(t) =
A
(\alpha - 2)(\alpha - 3)
\bigl[
C1t5/2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(s1 \mathrm{l}\mathrm{n} t) + C2t5/2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(s1 \mathrm{l}\mathrm{n} t)
\bigr] ,
де C2
1 + C2
2 \not = 0, а вiдповiдне рiвняння (4) має розв’язок
u =
\bigl[
C1t
1/2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(s1 \mathrm{l}\mathrm{n} t) + C2t
1/2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(s1 \mathrm{l}\mathrm{n} t)
\bigr]
x2 +
\bigl[
C3t
1/2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(s2 \mathrm{l}\mathrm{n} t) + C4t
1/2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(s2 \mathrm{l}\mathrm{n} t)
\bigr]
x\alpha .
4. Точнi розв’язки рiвняння (1). Вiдшукання розв’язкiв вигляду
u = \mu 1(t)x
2 + \mu 2(t)x
\alpha (22)
для рiвняння (1) у випадку a(t) =
\alpha
1 - \alpha
b(t), \alpha \in \bfR , \alpha \not = 1, 2, 3, ми звели до iнтегрування
системи рiвнянь (15), (16), яку можна записати так:
\mu \prime \prime 1 =
\biggl[
4 - 2\alpha
\alpha
a\mu 1 + c
\biggr]
\mu 1, (23)
\mu \prime \prime 2 =
\bigl[
(\alpha - 2)(\alpha - 3)a\mu 1 + c
\bigr]
\mu 2. (24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
ТОЧНI РОЗВ’ЯЗКИ НЕЛIНIЙНОГО РIВНЯННЯ . . . 1185
За допомогою функцiй
4 - 2\alpha
\alpha
a\mu 1 + c = \Phi 1(t), (25)
(\alpha - 2)(\alpha - 3)a\mu 1 + c = \Phi 2(t) (26)
система рiвнянь (23), (24) набере вигляду
\mu \prime \prime 1 = \Phi 1(t)\mu 1, \mu \prime \prime 2 = \Phi 2(t)\mu 2. (27)
Друге рiвняння системи (27) є лiнiйним вiдносно \mu 2 (для вiдомих функцiй a\mu 1 i c). Так
само перше рiвняння системи (27) є лiнiйним вiдносно \mu 1, якщо є вiдомими функцiї a\mu 1 i c.
Враховуючи, що функцiї a = a(t) i c = c(t) є довiльними, можна вважати, що в системi (27)
функцiї \Phi 1(t) i \Phi 2(t) є довiльними наперед заданими функцiями, для яких обидва рiвняння цiєї
системи є iнтегровними. Iнтегруючи систему (27), знаходимо функцiї \mu 1 = \mu 1(t), \mu 2 = \mu 2(t),
a отже, i розв’язок рiвняння (1). Розв’язавши систему рiвнянь (25), (26), визначимо функцiї a\mu 1
i c, а тому i функцiї a = a(t) i c = c(t) рiвняння (1).
Розглянемо, наприклад, випадок \Phi 1(t) = At - 2, \Phi 2(t) = - B, де A i B — сталi, вiдмiннi вiд
нуля. Розв’язуючи систему (25), (26), знаходимо
a\mu 1 =
\alpha ( - At - 2 - B)
(\alpha - 1)(\alpha - 2)2
, (28)
c = - 2B
(\alpha - 1)(\alpha - 2)
- \alpha (\alpha - 3)A
(\alpha - 1)(\alpha - 2)
t - 2. (29)
Якщо s2 = - A - 1
4
> 0, B < 0, то система (27) має розв’язок
\mu 1 = C1t
1/2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(s \mathrm{l}\mathrm{n} t) + C2t
1/2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(s \mathrm{l}\mathrm{n} t),
\mu 2 = C3 \mathrm{c}\mathrm{h}
\bigl( \sqrt{}
| B| t
\bigr)
+ C4 \mathrm{s}\mathrm{h}
\bigl( \sqrt{}
| B| t
\bigr)
,
де C1, C2, C3 i C4 — довiльнi сталi. З рiвностi (28) отримуємо
a =
\alpha ( - At - 2 - B)
(\alpha - 1)(\alpha - 2)2
\bigl[
C1t1/2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(s \mathrm{l}\mathrm{n} t) + C2t1/2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(s \mathrm{l}\mathrm{n} t)
\bigr] , (30)
де C2
1 + C2
2 \not = 0. Тому рiвняння (1), у якому функцiї a = a(t), c = c(t) визначаються формула-
ми (29), (30), має точний розв’язок
u =
\Bigl[
C1t
1/2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(s \mathrm{l}\mathrm{n} t) + C2t
1/2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(s \mathrm{l}\mathrm{n} t)
\Bigr]
x2 +
\Bigl[
C3 \mathrm{c}\mathrm{h}
\bigl( \sqrt{}
| B| t
\bigr)
+ C4 \mathrm{s}\mathrm{h}
\bigl( \sqrt{}
| B| t
\bigr) \Bigr]
x\alpha .
Якщо s2 = A+
1
4
> 0, B > 0, то система (27) має розв’язок
\mu 1 = C1t
1/2+s + C2t
1/2 - s,
\mu 2 = C3 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\bigl( \surd
B t
\bigr)
+ C4 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl( \surd
B t
\bigr)
,
де C1, C2, C3 i C4 — довiльнi сталi. На пiдставi рiвностi (28)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1186 А. Ф. БАРАННИК, Т. А. БАРАННИК, I. I. ЮРИК
a =
\alpha (At - 2 - B)
(\alpha - 1)(\alpha - 2)2[C1t1/2+s + C2t1/2 - s]
, C2
1 + C2
2 \not = 0. (31)
Отже, рiвняння (1), у якому функцiї a = a(t) i c = c(t) визначаються формулами (31) i (29),
має такий розв’язок:
u =
\bigl[
C1t
1/2+s + C2t
1/2 - s
\bigr]
x2 +
\Bigl[
C3 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\bigl( \surd
B t
\bigr)
+ C4 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl( \surd
B t
\bigr) \Bigr]
x\alpha .
5. Висновки. У випадку b(t) =
1 - \alpha
\alpha
a(t), \alpha \in \bfR , \alpha \not = 1, 2, 3, анзац
u = \mu 1(t)x
2 + \mu 2(t)x
\alpha (32)
зводить побудову розв’язкiв рiвняння
utt = a(t)uuxx + b(t)u2x + c(t)u (33)
до iнтегрування системи лiнiйних рiвнянь
\mu \prime \prime 1 = \Phi 1(t)\mu 1, \mu \prime \prime 2 = \Phi 2(t)\mu 2, (34)
де \Phi 1(t) i \Phi 2(t) — довiльнi наперед заданi функцiї. Iнтегровнi рiвняння такого типу добре
вивченi. До них належать, наприклад, узагальнене рiвняння Лежандра, вироджене гiпергеомет-
ричне рiвняння, а також рiвняння Бесселя i рiвняння Матьє. Довiльний вибiр функцiй \Phi 1(t) i
\Phi 2(t) дозволяє будувати розв’язки, що мають наперед заданi властивостi. Вiдповiднi функцiї
a = a(t) i c = c(t) рiвняння (33) можна визначити, розв’язавши систему рiвнянь (25), (26).
Анзац (32) дає можливiсть знаходити також точнi розв’язки рiвняння
utt = a(t)uuxx + b(t)u2x + c(t)u+ d(t)x2 + e(t)x\alpha , (35)
де b(t) =
1 - \alpha
\alpha
a(t), \alpha \in \bfR , \alpha \not = 1, 2, 3. Анзац (32) редукує рiвняння (35) до системи
\mu \prime \prime 1 = \Phi 1(t)\mu 1 + d, \mu \prime \prime 2 = \Phi 2(t)\mu 2 + e,
де \Phi 1(t) i \Phi 2(t) — довiльнi наперед заданi функцiї, пов’язанi з функцiями a = a(t), c = c(t)
i \mu 1 = \mu 1(t) спiввiдношеннями (25), (26). Функцiї \Phi 1(t) i \Phi 2(t) потрiбно вибирати так, щоб
вiдповiдна система лiнiйних рiвнянь (34) була iнтегровною.
Лiтература
1. Галактионов В. А., Посашков С. А. Точные решения и инвариантные пространства для нелинейных уравнений
градиентной диффузии // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 1994. – 34, № 3. – С. 373 – 383.
2. Galaktionov V. A. Invariant subspaces and new explicit solutions to evolution equations with quadratic nonlinearities //
Proc. Roy. Soc. Edinburgh. – 1995. – 125, № 2. – P. 225.
3. Galaktionov V. A., Posashkov S. A., Svirshchevskii S. R. Generalized separation of variables for differential equations
with polynomial nonlinearities // Different. Equat. – 1995. – 31. – P. 233 – 240.
4. Galaktionov V. A., Svirshchevskii S. R. Exact solutions and invariant subspaces of nonlinear partial differential
equations in mechanics and physics. – Boca Raton etc.: Chapman & Hall/CRC, 2007.
5. Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbook of nonlinear partial differential equations. – Boca Raton, FL: Chapman &
Hall/CRC, 2004.
6. Barannyk A. F., Barannyk T. A., Yuryk I. I. Separation of variables for nonlinear equations of hyperbolic and
Korteweg – de Vries type // Rep. Math. Phys. – 2011. – 68, № 1. – P. 97.
7. Barannyk A. F., Barannyk T. A., Yuryk I. I. Generalized separation of variables for nonlinear equation utt =
= F (u)uxx + aF \prime (u)u2
x // Rep. Math. Phys. – 2013. – 71, № 1. – P. 1 – 13.
Одержано 15.11.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1768 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:16Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a4/9d9a293fa59fdfbebc41c747231c24a4.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17682019-12-05T09:26:20Z Exact solutions of the nonliear equation $u_{tt} = = a(t) uu_{xx} + b(t) u_x^2 + c(t) u $ Точні розв’язки нелінійного рівняння $u_{tt} = = a(t) uu_{xx} + b(t) u_x^2 + c(t) u $ Barannyk, T. A. Barannyk, A. F. Yuryk, I. I. Баранник, Т. А. Баранник, А. Ф. Юрик, І. І. Ans¨atzes that reduce the equation$u_{tt} = = a(t) uu_{xx} + b(t) u_x^2 + c(t) u $ to a system of two ordinary differential equations are defined. Also it is shown that the problem of constructing exact solutions of the form $u = \mu 1(t)x_2 + \mu 2(t)x\alpha , \alpha \in \bfR$, to this equation, reduces to integrating of a system of linear equations $\mu \prime \prime 1 = \Phi 1(t)\mu 1, \mu \prime \prime 2 = \Phi 2(t)\mu 2$, where $\Phi 1(t)$ and \Phi 2(t) are arbitrary predefined functions. Найдены анзацы, редуцирующие уравнение $u_{tt} = = a(t) uu_{xx} + b(t) u_x^2 + c(t) u $ к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Также показано, что задача построения точных решений вида $u = \mu 1(t)x_2 + \mu 2(t)x\alpha,\;\alpha \in \bf{R}$, этого уравнения сводится к интегрированию системы линейных уравнений $\mu \prime \prime 1 = \Phi 1(t)\mu 1, \mu \prime \prime 2 = \Phi 2(t)\mu 2,$ где $\Phi 1(t)$ и $\Phi 2(t)$ — произвольные наперед заданные функции. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1768 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 9 (2017); 1180-1186 Український математичний журнал; Том 69 № 9 (2017); 1180-1186 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1768/750 Copyright (c) 2017 Barannyk T. A.; Barannyk A. F.; Yuryk I. I. |
| spellingShingle | Barannyk, T. A. Barannyk, A. F. Yuryk, I. I. Баранник, Т. А. Баранник, А. Ф. Юрик, І. І. Exact solutions of the nonliear equation $u_{tt} = = a(t) uu_{xx} + b(t) u_x^2 + c(t) u $ |
| title | Exact solutions of the nonliear equation $u_{tt} =
= a(t) uu_{xx} + b(t) u_x^2 + c(t) u $ |
| title_alt | Точні розв’язки нелінійного рівняння $u_{tt} =
= a(t) uu_{xx} + b(t) u_x^2 + c(t) u $ |
| title_full | Exact solutions of the nonliear equation $u_{tt} =
= a(t) uu_{xx} + b(t) u_x^2 + c(t) u $ |
| title_fullStr | Exact solutions of the nonliear equation $u_{tt} =
= a(t) uu_{xx} + b(t) u_x^2 + c(t) u $ |
| title_full_unstemmed | Exact solutions of the nonliear equation $u_{tt} =
= a(t) uu_{xx} + b(t) u_x^2 + c(t) u $ |
| title_short | Exact solutions of the nonliear equation $u_{tt} =
= a(t) uu_{xx} + b(t) u_x^2 + c(t) u $ |
| title_sort | exact solutions of the nonliear equation $u_{tt} =
= a(t) uu_{xx} + b(t) u_x^2 + c(t) u $ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1768 |
| work_keys_str_mv | AT barannykta exactsolutionsofthenonliearequationuttatuuxxbtux2ctu AT barannykaf exactsolutionsofthenonliearequationuttatuuxxbtux2ctu AT yurykii exactsolutionsofthenonliearequationuttatuuxxbtux2ctu AT barannikta exactsolutionsofthenonliearequationuttatuuxxbtux2ctu AT barannikaf exactsolutionsofthenonliearequationuttatuuxxbtux2ctu AT ûrikíí exactsolutionsofthenonliearequationuttatuuxxbtux2ctu AT barannykta točnírozvâzkinelíníjnogorívnânnâuttatuuxxbtux2ctu AT barannykaf točnírozvâzkinelíníjnogorívnânnâuttatuuxxbtux2ctu AT yurykii točnírozvâzkinelíníjnogorívnânnâuttatuuxxbtux2ctu AT barannikta točnírozvâzkinelíníjnogorívnânnâuttatuuxxbtux2ctu AT barannikaf točnírozvâzkinelíníjnogorívnânnâuttatuuxxbtux2ctu AT ûrikíí točnírozvâzkinelíníjnogorívnânnâuttatuuxxbtux2ctu |