Asymptotic representation of solutions of differential equations with rightly varying nonlinearities
The conditions of existence of some types of power-mode solutions of a binomial nonautonomous ordinary differential equation with regularly varying nonlinearities are established.
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1770 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507629614268416 |
|---|---|
| author | Evtukhov, V. M. Korepanova, Е. S. Евтухов, В. М. Корепанова, Е. С. Евтухов, В. М. Корепанова, Е. С. |
| author_facet | Evtukhov, V. M. Korepanova, Е. S. Евтухов, В. М. Корепанова, Е. С. Евтухов, В. М. Корепанова, Е. С. |
| author_sort | Evtukhov, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:26:20Z |
| description | The conditions of existence of some types of power-mode solutions of a binomial nonautonomous ordinary differential
equation with regularly varying nonlinearities are established. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925
В. М. Евтухов, Е. С. Корепанова (Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова)
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПРАВИЛЬНО МЕНЯЮЩИМИСЯ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
The conditions of existence of some types of power-mode solutions of a binomial nonautonomous ordinary differential
equation with regularly varying nonlinearities are established.
Для двочленного неавтономного звичайного диференцiального рiвняння з правильно змiнними нелiнiйностями
встановлено умови iснування деяких типiв розв’язкiв степеневого вигляду.
1. Постановка задачи. Рассмотрим дифференциальное уравнение
y(n) = \alpha p(t)
n - 1\prod
j=0
\varphi j
\bigl(
y(j)
\bigr)
, (1.1)
в котором n \geq 2, \alpha \in \{ - 1, 1\} , p : [a, \omega [ \rightarrow ] 0,+\infty [ — непрерывная функция, - \infty < a < \omega \leq
\leq +\infty , \varphi j : \Delta Yj \rightarrow ]0; +\infty [ — непрерывная и правильно меняющаяся при y(j) \rightarrow Yj функция
порядка \sigma j , j = 0, n - 1, \Delta Yj — некоторая односторонняя окрестность точки Yj , Yj равно
либо 0, либо \pm \infty .
Функции \varphi j , j = 0, n - 1 (см. [12, с. 10], гл. I, § 1), представимы в виде
\varphi j
\bigl(
y(j)
\bigr)
=
\bigm| \bigm| y(j)\bigm| \bigm| \sigma jLj
\bigl(
y(j)
\bigr)
, j = 0, n - 1, (1.2)
где Lj : \Delta Yj \rightarrow ]0,+\infty [, j = 0, n - 1, — медленно меняющиеся при y(j) \rightarrow Yj функции.
Согласно определению и свойствам медленно меняющихся функций
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y(j)\rightarrow Yj
y(j)\in \Delta Yj
Lj(\lambda y
(j))
Lj(y(j))
= 1 для любого \lambda > 0, j = 0, n - 1, (1.3)
причем данные предельные соотношения выполняются равномерно по \lambda на любом отрезке
[c, d] \in ]0,+\infty [.
При Lj(y
(j)) \equiv 1, j = 0, n - 1, уравнение (1.1) является обобщенным уравнением типа
Эмдена – Фаулера
y(n) = \alpha p(t)
n - 1\prod
j=0
\bigm| \bigm| y(j)\bigm| \bigm| \sigma j \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} y, (1.4)
где n \geq 2, \alpha \in \{ - 1, 1\} , \sigma j \in \BbbR , j = 0, n - 1, p : [a, \omega [ \rightarrow ]0,+\infty [ — непрерывная функция,
- \infty < a < \omega \leq +\infty , частные случаи которого (при n = 2), а именно уравнения вида
y\prime \prime = \alpha p(t)| y| \sigma \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} y, y\prime \prime = \alpha p(t)| y| \sigma
\bigm| \bigm| y\prime \bigm| \bigm| \lambda \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} y, \sigma , \lambda \in \BbbR , (1.5)
возникают во многих областях естествознания. Большой обзор исследований асимптотических
свойств решений первого из уравнений (1.5) приведен в монографии [9]. Асимптотические
при t \uparrow \omega свойства решений второго из уравнений (1.5) и уравнений вида (1.4) были детально
исследованы в работе [11], а также в работах [2 – 6].
Все решения уравнения (1.1), заданные в некоторой левой окрестности \omega , в силу условий
на функции p и \varphi j , j = 0, n - 1, являются монотонными, вместе с производными до (n - 1)-го
порядка включительно и, как несложно показать, их множество распадается на два класса:
c\bigcirc В. М. ЕВТУХОВ, Е. С. КОРЕПАНОВА, 2017
1198 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1199
1) решения, для каждого из которых
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
y(k - 1)(t) =
\left\{ или \pm \infty ,
или 0,
k = 1, n;
2) решения, для каждого из которых существует такое k \in \{ 1, . . . , n\} , что
y(t) = \pi k - 1
\omega (t)[c+ o(1)] при t \uparrow \omega , c \not = 0, (1.6)
где
\pi \omega (t) =
\left\{ t, если \omega = +\infty ,
t - \omega , если \omega < +\infty .
В работах [8, 10] из решений первого класса был выделен достаточно широкий подкласс ре-
шений уравнения (1.1), для которых были получены асимптотические при t \uparrow \omega представления
и установлены необходимые и достаточные условия их существования.
Целью настоящей работы является установление необходимых и достаточных условий су-
ществования решений уравнения (1.1) при \omega = +\infty (и некоторых его частных случаев), для
каждого из которых при некотором k \in \{ 1, . . . , n\} имеют место представления
y(t) = tk - 1[c0 + o(1)] при t \rightarrow +\infty , y(k - 1) = c0 + o(1), c0 \not = 0,
а также получение асимптотических при t \rightarrow +\infty формул для их производных до порядка
n - 1 включительно. Кроме того, решается вопрос о количестве исследуемых решений.
2. Основные результаты. При установлении основных результатов будем использовать
вспомогательное утверждение, которое следует из теоремы 1.2 работы [7], о существовании
исчезающих решений дифференциального уравнения вида
dyi
dx
=
n\sum
j=1
pij(x)yj +
2\sum
m=1
gim(x)Yim(x, y1, . . . , yn), i = 1, n, (2.1)
где Yi2(x, 0, . . . , 0) \equiv 0, i = 1, n, на промежутке [a,+\infty [, a \in \BbbR , gim, pij : [a,+\infty [ - \rightarrow \BbbR ,
i, j = 1, n, m = 1, 2, и Yim : \Omega n
ab - \rightarrow \BbbR , i = 1, n, m = 1, 2, — непрерывные функции,
\Omega n
ab = [a,+\infty [\times \BbbR n
b , \BbbR n
b =
\bigl\{
(y1, . . . , yn) \in \BbbR n : | yi| \leq b, b \in \BbbR +, i = 1, n
\bigr\}
.
При этом будем предполагать, что функции Yim, i = 1, n, m = 1, 2, удовлетворяют условиям
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
Yi1(x, y1, . . . , yn) = 0, i = 1, n, равномерно по (y1, . . . , yn) \in \BbbR n
b , (2.2)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| y1| +...+| yn| \rightarrow 0
Yi2(x, y1, . . . , yn)
| y1| + . . .+ | yn|
= 0, i = 1, n, равномерно по x \in [a,+\infty [. (2.3)
Замечание 2.1. Условия (2.3) заведомо выполняются, если функции Yi2, i = 1, n, име-
ют непрерывные на множестве \Omega n
ab частные производные первого порядка по переменным
y1, . . . , yn и
\partial Yi2(y1, . . . , yn)
\partial yk
- \rightarrow 0, i, k = 1, n, при | y1| + . . . + | yn| - \rightarrow 0 равномерно по
x \in [a,+\infty [.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1200 В. М. ЕВТУХОВ, Е. С. КОРЕПАНОВА
Лемма 2.1. Пусть функции Yim, i = 1, n, m = 1, 2, удовлетворяют условиям (2.2), (2.3)
и выполняются следующие условия при любом i \in \{ 1, . . . , n\} :
pii(x) \not = 0 в некоторой окрестности +\infty ,
+\infty \int
a
| pii(x)| dx = +\infty ,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\rightarrow +\infty
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| gim(x)
pii(x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < +\infty , m = 1, 2,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\rightarrow +\infty
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| pij(x)pii(x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = P 0
ij = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, j \not = i, j = 1, n.
Пусть, кроме того, постоянные B0
i , i = 1, n, определяемые (начиная с i = n) рекуррентными
соотношениями
B0
n =
n - 1\sum
j=1
\bigm| \bigm| P 0
nj
\bigm| \bigm| , B0
i =
i - 1\sum
j=1
\bigm| \bigm| P 0
ij
\bigm| \bigm| + n\sum
j=i+1
B0
j
\bigm| \bigm| P 0
ij
\bigm| \bigm| , i = 1, n - 1,
удовлетворяют неравенствам B0
i < 1 при всех i \in \{ 1, . . . , n\} . Тогда система дифферен-
циальных уравнений (2.1) имеет по крайней мере одно решение (yi)
n
i=1 : [x0,+\infty [ - \rightarrow \BbbR n
b ,
где x0 \in [a,+\infty [, стремящееся к нулю при x \rightarrow +\infty , причем таких решений существует
k-параметрическое семейство, если среди функций pii, i \in \{ 1, . . . , n\} , имеется k функций,
которые являются отрицательными в некоторой окрестности +\infty .
Наряду с этой леммой для обозначения знаков чисел из окрестностей \Delta Yj
1, j = 0, n - 1,
положим
\mu j =
\left\{ 1, если Yj = 0 и \Delta Yj — правая окрестность 0 либо Yj = +\infty ,
- 1, если Yj = 0 и \Delta Yj — левая окрестность 0 либо Yj = - \infty .
Теорема 2.1. Для существования решений уравнения (1.1) при \omega = +\infty , для которых
имеет место представление
y(n - 1) = c+ o(1) при t \rightarrow +\infty , c \not = 0, (2.4)
необходимо и достаточно, чтобы c \in \Delta Yn - 1 и выполнялись условия
Yj - 1 =
\left\{ +\infty , если \mu n - 1 > 0,
- \infty , если \mu n - 1 < 0,
при j = 1, n - 1, (2.5)
+\infty \int
a0
p(\tau )
n - 2\prod
j=0
\varphi j
\bigl(
\mu j\tau
n - j - 1
\bigr)
d\tau < +\infty , (2.6)
где a0 \geq a такое, что \mu k - 1t
n - k \in \Delta Yk - 1, k = 1, n - 1, при t \geq a0. Более того, при выполнении
этих условий существует n-параметрическое семейство таких решений и для каждого из них
при t \rightarrow +\infty имеют место асимптотические представления
1При Yj = \pm \infty здесь и далее будем полагать, что все числа из окрестности \Delta Yj одного знака.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1201
y(j - 1)(t) =
ctn - j
(n - j)!
[1 + o(1)], j = 1, n - 1,
y(n - 1)(t) = c+ \alpha M(c)\varphi n - 1(c)
t\int
+\infty
p(\tau )
n - 2\prod
j=0
\varphi j
\bigl(
\mu j\tau
n - j - 1
\bigr)
d\tau [1 + o(1)],
(2.7)
где M(c) =
\prod n - 1
k=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| c
(n - k)!
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \sigma k - 1
.
Доказательство. Необходимость. Пусть существует решение y уравнения (1.1) при \omega =
= +\infty , заданное на [t0,+\infty [ и удовлетворяющее (2.4). Тогда y(j)(t) \in \Delta Yj , j = 0, n - 1, при
всех t \geq t0. Отсюда, в частности, следует, что c \in \Delta Yn - 1. Интегрируя (2.4) на [t0, t], а также
получаемые при этом асимптотические при t \rightarrow +\infty соотношения, приходим к выводу, что
для решения и его производных до (n - 2)-го порядка включительно имеют место первые n - 1
представление из (2.7), из которых следует справедливость условий (2.5).
Учитывая представления (1.2) правильно меняющихся при t \rightarrow +\infty функций \varphi j
\bigl(
y(j)
\bigr)
,
j = 0, n - 2, и справедливость выполнения соотношений (1.3) равномерно по \lambda на любом
отрезке [d1, d2] \subset ]0,+\infty [, имеем
\varphi k - 1
\biggl(
ctn - k
(n - k)!
[1 + o(1)]
\biggr)
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ctn - k
(n - k)!
[1 + o(1)]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \sigma k - 1
Lk - 1
\biggl(
ctn - k
(n - k)!
[1 + o(1)]
\biggr)
=
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| c
(n - k)!
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \sigma k - 1
t(n - k)\sigma k - 1Lk - 1
\Bigl(
\mu k - 1t
n - k
\Bigr)
[1 + o(1)] =
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| c
(n - k)!
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \sigma k - 1
\varphi k - 1
\Bigl(
\mu k - 1t
n - k
\Bigr)
[1 + o(1)] при t \rightarrow +\infty , k = 1, n - 1.
Тогда, подставляя решение вместе с производными до (n - 1)-го порядка включительно в (1.1)
при \omega = +\infty , получаем
y(n)(t) = \alpha M(c)\varphi n - 1(c)p(t)
n - 2\prod
j=0
\varphi j
\bigl(
\mu jt
n - j - 1
\bigr)
[1 + o(1)] при t \rightarrow +\infty .
Интегрируя данное соотношение на [t\ast , t], где t\ast = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ a0, t0\} , имеем
y(n - 1)(t) = y(n - 1)(t\ast ) + \alpha M(c)\varphi n - 1(c)
t\int
t\ast
p(\tau )
n - 2\prod
j=0
\varphi j
\bigl(
\mu j\tau
n - j - 1
\bigr)
[1 + o(1)]d\tau .
В силу предположения (2.4)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
t\int
t\ast
p(\tau )
n - 2\prod
j=0
\varphi j
\bigl(
\mu j\tau
n - j - 1
\bigr)
[1 + o(1)]d\tau = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}
и по признаку сравнения выполняется (2.6). Используя предложение 6 из монографии [1, с. 293]
(гл. V, § 3) об асимптотическом вычислении интегралов и условие (2.4), из последнего асимп-
тотического при t \rightarrow +\infty соотношения получаем справедливость последнего представления
из (2.7).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1202 В. М. ЕВТУХОВ, Е. С. КОРЕПАНОВА
Достаточность. Выберем произвольным образом число c \in \Delta Yn - 1 и промежуток ]c1, c2[ \subset
\subset \Delta Yn - 1 такой, что c \in ]c1, c2[. Предположим, что выполняются условия (2.5), (2.6), и покажем,
что при этом фиксированном c уравнение (1.1) при \omega = +\infty имеет (n - 1)-параметрическое
семейство решений, заданных на промежутке [t0,+\infty [, удовлетворяющих условию (2.4) и
допускающих при t \rightarrow +\infty асимптотические представления (2.7).
Полагая
W (t) = M(c)\varphi n - 1(c)
t\int
+\infty
p(\tau )
n - 2\prod
j=0
\varphi j
\bigl(
\mu j\tau
n - j - 1
\bigr)
d\tau
и применяя к уравнению (1.1) при \omega = +\infty преобразование
y(j - 1)(t) =
ctn - j
(n - j)!
[1 + vj(t)], j = 1, n - 1,
y(n - 1)(t) = c+ \alpha W (t)[1 + vn(t)],
(2.8)
получаем систему дифференциальных уравнений
v\prime j =
n - j
t
[ - vj + vj+1], j = 1, n - 2,
v\prime n - 1 =
\alpha W (t)
tc
- 1
t
vn - 1 +
\alpha W (t)
tc
vn, (2.9)
v\prime n =
1
W (t)
\Biggl[
- W \prime (t)[1 + vn] + p(t)
n - 2\prod
j=0
\varphi j
\biggl(
ctn - j - 1
(n - j - 1)!
[1 + vj+1]
\biggr)
\varphi n - 1(c+ \alpha W (t)[1 + vn])
\Biggr]
.
Рассмотрим ее на множестве \Omega n = [t0,+\infty [\times \BbbR n
1/2, где
\BbbR n
1/2 =
\biggl\{
(v1, . . . , vn) \in \BbbR n : | vj | \leq
1
2
, j = 1, n
\biggr\}
и t0 выбрано с учетом (2.6) так, чтобы при t > t0 \geq a0 и (v1, . . . , vn) \in \BbbR n
1/2 выполнялись
условия
cit
n - j - 1
(n - j - 1)!
[1 + vj+1] \in \Delta Yj , j = 0, n - 2, ci + \alpha W (t)[1 + vn] \in \Delta Yn - 1, i = 1, 2.
Так как c \in ]c1, c2[, то при замене в этих включениях ci на c они также будут выполняться.
Поскольку функции \varphi k(y
(k)), k = 0, n - 2, представимы в виде (1.2) и соотношения (1.3)
выполняются равномерно по \lambda на любом отрезке [d1, d2] \subset ]0,+\infty [, вследствие непрерывности
функции \varphi n - 1(y
(n - 1)) на \Delta Yn - 1 и (2.6) имеем
\varphi k
\biggl(
ctn - k - 1
(n - k - 1)!
[1 + vk+1]
\biggr)
= \varphi k
\biggl(
ctn - k - 1
(n - k - 1)!
\biggr)
(1 + vk+1)
\sigma k(1 +Rk(t, vk+1)) =
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| c
(n - k - 1)!
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \sigma k
\varphi k
\Bigl(
\mu kt
n - k - 1
\Bigr)
(1 + vk+1)
\sigma k(1 +Rk(t, vk+1)), k = 0, n - 2,
\varphi n - 1(c+ \alpha W (t))[1 + vn] = \varphi n - 1(c)(1 +Rn - 1(t, vn)),
где функции Rk(t, vk+1), k = 0, n - 1, стремятся к нулю при t \rightarrow +\infty равномерно по vk+1 \in
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1203
\in
\biggl[
- 1
2
,
1
2
\biggr]
.
В силу этих представлений систему уравнений (2.9) запишем в виде
v\prime j =
n - j
t
[ - vj + vj+1], j = 1, n - 2,
v\prime n - 1 =
\alpha W (t)
tc
- 1
t
vn - 1 +
\alpha W (t)
tc
vn, (2.10)
v\prime n =
W \prime (t)
W (t)
\left[ n - 1\sum
j=1
\sigma j - 1vj - vn +
2\sum
k=1
Ynk(t, v1, . . . , vn)
\right] ,
где Yn1(t, v1, . . . , vn) = R(t, v1, . . . , vn)(1+ v1)
\sigma 0(1+ v2)
\sigma 1 . . . (1+ vn - 1)
\sigma n - 2 , R(t, v1, . . . , vn) =
= (1 + R0(t, v1)) . . . (1 + Rn - 1(t, vn)) - 1 при t \rightarrow +\infty стремится к нулю равномерно по
vi \in
\biggl[
- 1
2
,
1
2
\biggr]
, i = 1, n,
Yn2(t, v1, . . . , vn) = (1 + v1)
\sigma 0(1 + v2)
\sigma 1 . . . (1 + vn - 1)
\sigma n - 2 - \sigma 0v1 - . . . - \sigma n - 2vn - 1 - 1.
Полагая в ней
vj = \delta zj , j = 1, n - 1, vn = zn, (2.11)
где \delta выбрано так, чтобы выполнялось неравенство 0 < \delta <
1
| \sigma 0| + . . .+ | \sigma n - 2|
, получаем
систему дифференциальных уравнений
z\prime j =
n - j
t
[ - zj + zj+1] j = 1, n - 2,
z\prime n - 1 =
\alpha W (t)
\delta tc
- 1
t
zn - 1 +
\alpha W (t)
\delta tc
zn, (2.12)
z\prime n =
W \prime (t)
W (t)
\Biggl[
\delta (\sigma 0z1 + . . .+ \sigma n - 2zn - 1) - zn +
2\sum
k=1
Znk(t, z1, . . . , zn)
\Biggr]
,
в которой Znk(t, z1, . . . , zn) = Ynk
\biggl(
t,
1
\delta
v1, . . . ,
1
\delta
vn - 1, vn
\biggr)
, k = 1, 2, и такие, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow +\infty Zn1(t, z1, . . . , zn) = 0 равномерно по (z1, . . . , zn) \in \BbbR n
l =
\bigl\{
(z1, . . . , zn) \in \BbbR n :
| zj | \leq l, j = 1, n
\bigr\}
, l = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
1
2\delta
,
1
2
\biggr\}
, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}| z1| +...+| zn| \rightarrow 0
\partial Zn2(t, z1, . . . , zn)
\partial zk
= 0, k = 1, n,
равномерно по t \in ]t1,+\infty [, t1 \in [t0,+\infty [.
В силу вида W (t) и (2.6)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
W (t) = 0,
+\infty \int
t0
W \prime (t)dt
W (t)
= \pm \infty ,
W \prime (t)
W (t)
< 0 при t > t0.
При указанном выборе числа \delta в силу приведенных выше условий для системы (2.12) вы-
полнены все условия леммы 2.1. Тогда у нее существует (n - 1)-параметрическое семейство
стремящихся к нулю при t \rightarrow +\infty решений (zj)
n
j=1 : [t1,+\infty [ - \rightarrow \BbbR n
l , каждому из которых в
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1204 В. М. ЕВТУХОВ, Е. С. КОРЕПАНОВА
силу замен (2.8) и (2.11) соответствует решение вида (2.4) дифференциального уравнения (1.1)
при \omega = +\infty , допускающее асимптотические представления (2.7). А поскольку это утвержде-
ние справедливо при любом c \in ]c1, c2[, то существует n-параметрическое семейство решений
уравнения (1.1) при \omega = +\infty с такими представлениями.
Теорема 2.1 доказана.
Чтобы сформулировать следующий результат, будем считать, что
\Delta Yn - 1 =
\left\{
\bigl[
y0n - 1, Yn - 1
\bigl[
, если \Delta Yn - 1 — левая окрестность Yn - 1,\bigr]
Yn - 1, y
0
n - 1
\bigr]
, если \Delta Yn - 1 — правая окрестность Yn - 1,
и положим
\Phi (y) =
y\int
B
ds
\varphi n - 1(s)
, B =
\left\{
Yn - 1, если
\int Yn - 1
y0n - 1
ds
\varphi n - 1(s)
< +\infty ,
y0n - 1, если
\int Yn - 1
y0n - 1
ds
\varphi n - 1(s)
= \pm \infty .
Поскольку \Phi \prime (y) > 0 при y \in \Delta Yn - 1, то \Phi : \Delta Yn - 1 \rightarrow \Delta Zn - 1, где
\Delta Zn - 1 =
\left\{ [z0n - 1, Zn - 1[, если \Delta Yn - 1 — левая окрестность Yn - 1,
]Zn - 1, z
0
n - 1], если \Delta Yn - 1 — правая окрестность Yn - 1,
Zn - 1 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}y\rightarrow Yn - 1 \Phi (y), z0n - 1 = \Phi (y0n - 1), и для нее существует обратная функция \Phi - 1 :
\Delta Zn - 1 \rightarrow \Delta Yn - 1.
Кроме того, при Yj - 1 = \pm \infty , j = 1, n - 2, введем функцию
I(t) =
t\int
A
p(\tau )
n - 3\prod
j=0
\varphi j
\bigl(
\mu j\tau
n - j - 2
\bigr)
d\tau ,
где
A =
\left\{
+\infty , если
\int +\infty
a0
p(\tau )
\prod n - 3
j=0
\varphi j
\bigl(
\mu j\tau
n - j - 2
\bigr)
d\tau < +\infty ,
a0, если
\int +\infty
a0
p(\tau )
\prod n - 3
j=0
\varphi j
\bigl(
\mu j\tau
n - j - 2
\bigr)
d\tau = \pm \infty ,
a0 \geq a такое, что \mu k - 1t
n - k - 1 \in \Delta Yk - 1 при t \geq a0, k = 1, n - 2.
Теорема 2.2. Пусть \sigma n - 1 \not = 1. Для существования решений уравнения (1.1) при \omega = +\infty ,
для которых имеет место представление
y(n - 2)(t) = c+ o(1) при t \rightarrow +\infty , c \not = 0, (2.13)
необходимо и достаточно, чтобы c \in \Delta Yn - 2 и выполнялись условия
Yn - 1 = 0, Yj - 1 =
\left\{ +\infty , если \mu n - 2 > 0,
- \infty , если \mu n - 2 < 0,
при j = 1, n - 2, (2.14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1205
A = +\infty , если B = 0, A = a0, если B = y0n - 1, (2.15)
\alpha y0n - 1(1 - \sigma n - 1)I(t) > 0 при t \in ]a0,+\infty ] (2.16)
и
+\infty \int
a1
\bigm| \bigm| \Phi - 1(\alpha I(\tau ))
\bigm| \bigm| d\tau < +\infty , (2.17)
где a1 \geq a0 такое, что \alpha I(t) \in \Delta Zn - 1 при t \geq a1. Более того, при выполнении этих условий
в случае \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} I(t) = 1 при t > a0 существует n-параметрическое, а в случае \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} I(t) = - 1
при t > a0 — (n - 1)-параметрическое семейство таких решений и для каждого из них при
t \rightarrow +\infty имеют место асимптотические представления
y(j - 1)(t) =
ctn - j - 1
(n - j - 1)!
[1 + o(1)], j = 1, n - 2,
y(n - 2)(t) = c+ (\varphi n - 2(c)M(c))
1
1 - \sigma n - 1
t\int
+\infty
\Phi - 1(\alpha I(s))ds [1 + o(1)], (2.18)
y(n - 1)(t) = (\varphi n - 2(c)M(c))
1
1 - \sigma n - 1 \Phi - 1(\alpha I(t)) [1 + o(1)],
где M(c) =
\prod n - 2
k=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| c
(n - k - 1)!
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \sigma k - 1
.
Доказательство. Необходимость. Пусть существует решение y уравнения (1.1) при \omega =
= +\infty , заданное на [t0,+\infty [ и удовлетворяющее (2.13). Тогда y(j)(t) \in \Delta Yj , j = 0, n - 1, при
всех t \geq t0. Отсюда, в частности, следует, что c \in \Delta Yn - 2. Из уравнения (1.1) при \omega = +\infty
следует, что y(n - 1)(t) является строго монотонной функцией на [t0,+\infty [, и в силу того, что
c \in \Delta Yn - 2, ее пределом может быть только 0. Таким образом, первое из условий (2.14)
выполнено.
Интегрируя (2.13) на [t0, t], а также получаемые при этом асимптотические при t \rightarrow +\infty
соотношения, приходим к выводу, что для решения и его производных до (n - 3)-го порядка
включительно имеют место первые n - 2 представления из (2.18), из которых следует справед-
ливость условий (2.14).
Кроме того, учитывая представления (1.2) правильно меняющихся при t \rightarrow +\infty функций
\varphi j
\bigl(
y(j)
\bigr)
, j = 0, n - 3, и справедливость выполнения соотношений (1.3) равномерно по \lambda на
любом отрезке [d1, d2] \subset ]0,+\infty [, имеем
\varphi k - 1
\biggl(
ctn - k - 1
(n - k - 1)!
[1 + o(1)]
\biggr)
=
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| c
(n - k - 1)!
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \sigma k - 1
\varphi k - 1
\Bigl(
\mu k - 1t
n - k - 1
\Bigr)
[1 + o(1)] при t \rightarrow +\infty , k = 1, n - 2.
Тогда, подставляя решение вместе с производными до (n - 2)-го порядка включительно в (1.1)
при \omega = +\infty , получаем
y(n)(t)
\varphi n - 1(y(n - 1)(t))
= \alpha M(c)p(t)\varphi n - 2(c)
n - 3\prod
j=0
\varphi j
\bigl(
\mu jt
n - j - 2
\bigr)
[1 + o(1)] при t \rightarrow +\infty .
Интегрируя данное соотношение на [t\ast , t], где t\ast = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ a0, t0\} , и выполняя в интеграле,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1206 В. М. ЕВТУХОВ, Е. С. КОРЕПАНОВА
стоящем слева, замену переменной s = y(n - 1)(t), имеем
yn - 1(t)\int
yn - 1(t\ast )
ds
\varphi n - 1(s)
= \alpha \varphi n - 2(c)M(c)
t\int
t\ast
p(\tau )
n - 3\prod
j=0
\varphi j
\bigl(
\mu j\tau
n - j - 2
\bigr)
[1 + o(1)]d\tau .
Так как y(n - 1)(t) \rightarrow Yn - 1 = 0 при t \rightarrow +\infty , то интегралы
0\int
y(n - 1)(t\ast )
ds
\varphi n - 1(s)
и
+\infty \int
t\ast
p(\tau )
n - 3\prod
j=0
\varphi j
\bigl(
\mu j\tau
n - j - 2
\bigr)
d\tau
сходятся и расходятся одновременно. Поэтому справедливо (2.15). Кроме того, с учетом вида
функции \Phi и ее свойств, а также предложения 6 из монографии [1, с. 293] (гл. V, § 3) об
асимптотическом вычислении интегралов, имеем
\Phi (y(n - 1)(t)) = \alpha \varphi n - 2(c)M(c)I(t)[1 + o(1)] при t \rightarrow +\infty . (2.19)
Используя предложение 2 из [13, p. 123] (Appendix) и учитывая то, что \varphi n - 1 — правильно
меняющаяся при y \rightarrow 0 функция порядка \sigma n - 1 \not = 1, получаем, что \Phi (y) \sim 1
1 - \sigma n - 1
y
\varphi n - 1(y)
при y \rightarrow 0. Тогда
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow 0
y\Phi \prime (y)
\Phi (y)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow 0
y
\varphi n - 1(y)
\Phi (y)
= 1 - \sigma n - 1.
Отсюда следует, что \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\Phi (y) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}
\bigl(
y0n - 1(1 - \sigma n - 1)
\bigr)
при y \in \Delta Yn - 1 и из (2.19) вытекает
справедливость знакового условия (2.16). Кроме того, получили, что \Phi (y) — правильно ме-
няющаяся при y \rightarrow 0 функция порядка 1 - \sigma n - 1 и, в силу свойств правильно меняющихся
функций и условия \sigma n - 1 \not = 1, обратная к ней функция \Phi - 1(z) является правильно меняю-
щейся при z \rightarrow Zn - 1 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}y\rightarrow 0\Phi (y) функцией порядка
1
1 - \sigma n - 1
. Тогда с учетом теоремы о
равномерной сходимости (см. [12, c. 10], гл. I, § 1) из (2.19) следует, что при t \rightarrow +\infty
y(n - 1)(t) = \Phi - 1(\alpha \varphi n - 2(c)M(c)I(t)[1 + o(1)]) = \Phi - 1(\alpha \varphi n - 2(c)M(c)I(t))[1 + o(1)],
т. е. имеет место последнее представление из (2.18). Интегрируя его на [t\ast , t], где t\ast =
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ a1, t0\} , получаем
y(n - 2)(t) = y(n - 2)(t\ast ) + (\varphi n - 2(c)M(c))
1
1 - \sigma n - 1
t\int
t\ast
\Phi - 1(\alpha I(\tau ))[1 + o(1)] d\tau .
В силу предположения (2.13) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow +\infty
\int t
t\ast
\Phi - 1(\alpha I(\tau ))[1 + o(1)] d\tau = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, тогда по признаку
сравнения справедливо (2.17). Используя предложение 6 из монографии [1, с. 293] (гл. V, § 3)
об асимптотическом вычислении интегралов, для (n - 2)-й производной решения получаем
представление из (2.18).
Достаточность. Предположим, что выполняются условия (2.14) – (2.17). Выберем произ-
вольным образом число c \in \Delta Yn - 2 и промежуток ]c1, c2[ \subset \Delta Yn - 2 такой, что c \in ]c1, c2[.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1207
Полагая W (t) = (\varphi n - 2(c)M(c))
1
1 - \sigma n - 1
\int t
+\infty
\Phi - 1(\alpha I(\tau )) d\tau и применяя к уравнению (1.1)
при \omega = +\infty преобразование
y(j - 1)(t) =
ctn - j - 1
(n - j - 1)!
[1 + vj(t)], j = 1, n - 2,
y(n - 2)(t) = c+W (t)[1 + vn - 1(t)], (2.20)
y(n - 1)(t) = W \prime (t)[1 + vn(t)],
получаем систему дифференциальных уравнений
v\prime j =
n - j - 1
t
[ - vj + vj+1], j = 1, n - 3,
v\prime n - 2 = - 1
t
vn - 2 +
W (t)
tc
vn - 1 +
W (t)
tc
,
v\prime n - 1 =
W \prime (t)
W (t)
[ - vn - 1 + vn],
(2.21)
v\prime n =
1
W \prime (t)
\Biggl[
- W \prime \prime (t)[1 + vn] + \alpha p(t)
n - 3\prod
j=0
\varphi j
\biggl(
ctn - j - 2
(n - j - 2)!
[1 + vj+1]
\biggr)
\times
\times \varphi n - 2(c+W (t)[1 + vn - 1])\varphi n - 1
\bigl(
W \prime (t)[1 + vn]
\bigr) \Biggr]
.
Рассмотрим ее на множестве \Omega n = [t0,+\infty [\times \BbbR n
1/2, где
\BbbR n
1/2 =
\biggl\{
(v1, . . . , vn) \in \BbbR n : | vj | \leq
1
2
, j = 1, n
\biggr\}
и t0 выбрано с учетом (2.17) так, чтобы при t > t0 \geq a0 и (v1, . . . , vn) \in \BbbR n
1/2 выполнялись
условия
cit
n - j - 2
(n - j - 2)!
[1 + vj+1] \in \Delta Yj , j = 0, n - 3,
ci +W (t)[1 + vn - 1] \in \Delta Yn - 2, i = 1, 2, W \prime (t)[1 + vn] \in \Delta Yn - 1.
Так как c \in ]c1, c2[, то при замене в этих включениях ci на c они также будут выполняться.
Поскольку функции \varphi k(y
(k)), k = 0, n - 3, и \varphi n - 1(y
(n - 1)) представимы в виде (1.2) и
соотношения (1.3) выполняются равномерно по \lambda на любом отрезке [d1, d2] \subset ]0,+\infty [, в силу
непрерывности функции \varphi n - 2(y
(n - 2)) на \Delta Yn - 2 и (2.17) имеем
\varphi k
\biggl(
ctn - k - 2
(n - k - 2)!
[1 + vk+1]
\biggr)
=
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| c
(n - k - 2)!
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \sigma k
\varphi k
\Bigl(
\mu kt
n - k - 2
\Bigr)
(1 + vk+1)
\sigma k(1 +Rk(t, vk+1)),
\varphi n - 1
\bigl(
W \prime (t)[1 + vn]
\bigr)
= \varphi n - 1
\bigl(
W \prime (t)
\bigr)
(1 + vn)
\sigma n - 1(1 +Rn - 1(t, vn)),
\varphi n - 2(c+W (t))[1 + vn - 1] = \varphi n - 2(c)(1 +Rn - 2(t, vn - 1)),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1208 В. М. ЕВТУХОВ, Е. С. КОРЕПАНОВА
где функции Rk(t, vk+1), k = 0, n - 1, стремятся к нулю при t \rightarrow +\infty равномерно по vk+1 \in
\in
\biggl[
- 1
2
,
1
2
\biggr]
. Кроме того,
W \prime \prime (t) = \varphi n - 1
\bigl(
W \prime (t)
\bigr)
\alpha I \prime (t)(\varphi n - 2(c)M(c))
1
1 - \sigma n - 1 .
В силу этих представлений систему уравнений (2.21) запишем в виде
v\prime j =
n - j - 1
t
[ - vj + vj+1], j = 1, n - 3,
v\prime n - 2 = - 1
t
vn - 2 +
W (t)
tc
vn - 1 +
W (t)
tc
,
(2.22)
v\prime n - 1 =
W \prime (t)
W (t)
[ - vn - 1 + vn],
v\prime n =
W \prime \prime (t)
W \prime (t)
\left[ n - 2\sum
j=1
\sigma j - 1vj + (\sigma n - 1 - 1)vn +
2\sum
k=1
Ynk(t, v1, . . . , vn)
\right] ,
где Yn1(t, v1, . . . , vn) = R(t, v1, . . . , vn)
\prod n - 2
j=1
(1 + vj)
\sigma j - 1(1 + vn)
\sigma n - 1 , R(t, v1, . . . , vn) =
= (1 + R0(t, v1)) . . . (1 + Rn - 1(t, vn)) - 1 при t \rightarrow +\infty стремится к нулю равномерно по
vi \in
\biggl[
- 1
2
,
1
2
\biggr]
, i = 1, n, Yn2(t, v1, . . . , vn) =
\prod n - 2
j=1
(1 + vj)
\sigma j - 1(1 + vn)
\sigma n - 1 -
\prod n - 2
j=1
\sigma j - 1vj -
- \sigma n - 1vn - 1.
Полагая в ней
vj = \delta zj , j = 1, n - 2, vn - 1 = zn - 1, vn = zn, (2.23)
где \delta выбрано так, чтобы выполнялось неравенство 0 < \delta <
| \sigma n - 1 - 1|
| \sigma 0| + . . .+ | \sigma n - 3|
, получаем
систему дифференциальных уравнений
z\prime j =
n - j - 1
t
[ - zj + zj+1], j = 1, n - 3,
z\prime n - 2 = - 1
t
zn - 2 +
W (t)
\delta tc
zn - 1 +
W (t)
\delta tc
,
(2.24)
z\prime n - 1 =
W \prime (t)
W (t)
[ - zn - 1 + zn],
z\prime n =
W \prime \prime (t)
W \prime (t)
\left[ \delta
\left( n - 2\sum
j=1
\sigma j - 1zj
\right) + (\sigma n - 1 - 1)zn +
2\sum
k=1
Znk(t, z1, . . . , zn)
\right] ,
в которой Znk(t, z1, . . . , zn) = Ynk
\biggl(
t,
1
\delta
v1, . . . ,
1
\delta
vn - 2, vn - 1, vn
\biggr)
, k = 1, 2, и такие, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow +\infty Zn1(t, z1, . . . , zn) = 0 равномерно по (z1, . . . , zn) \in \BbbR n
l =
\bigl\{
(z1, . . . , zn) \in \BbbR n : | zj | \leq
\leq l, j = 1, n
\bigr\}
, l = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
1
2\delta
,
1
2
\biggr\}
, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}| z1| +...+| zn| \rightarrow 0
\partial Zn2(t, z1, . . . , zn)
\partial zk
= 0 равномерно по
t \in ]a1,+\infty [, a1 \in [t0,+\infty [, k = 1, n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1209
В силу вида W (t) и (2.17)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
W (t) = 0,
+\infty \int
t0
W \prime (t)dt
W (t)
= \pm \infty ,
+\infty \int
t0
W \prime \prime (t)dt
W \prime (t)
= \pm \infty
и
W \prime (t)
W (t)
< 0,
\left\{
W \prime \prime (t)
W \prime (t)
(\sigma n - 1 - 1) < 0, если \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} I(t) = 1,
W \prime \prime (t)
W \prime (t)
(\sigma n - 1 - 1) > 0, если \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} I(t) = - 1,
при t > t0.
При указанном выборе числа \delta в силу указанных выше условий для системы (2.24) выполнены
все условия леммы 2.1. Тогда она имеет k-параметрическое семейство стремящихся к нулю
при t \rightarrow +\infty решений (zj)
n
j=1 : [a1,+\infty [ - \rightarrow \BbbR n
l , где
k =
\left\{ n - 1, если \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} I(t) = 1,
n - 2, если \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} I(t) = - 1,
каждому из которых в силу замен (2.20) и (2.23) соответствует решение вида (2.13) дифферен-
циального уравнения (1.1) при \omega = +\infty , допускающее асимптотические представления (2.18).
А поскольку это утверждение справедливо при любом c \in ]c1, c2[, то существует (k+ 1)-пара-
метрическое семейство решений уравнения (1.1) при \omega = +\infty с такими представлениями.
Теорема 2.2 доказана.
Далее рассмотрим частный случай уравнения (1.1) при \omega = +\infty , а именно
y(n) = \alpha p(t)
n - k\prod
j=0
\varphi j
\bigl(
y(j)
\bigr)
, (2.25)
в котором n \geq 2, \alpha \in \{ - 1, 1\} , k \in \{ 1, . . . , n\} , p : [a,+\infty [ \rightarrow ]0,+\infty [ — непрерывная функция,
a \in \BbbR , \varphi j : \Delta Yj \rightarrow ]0; +\infty [ — непрерывная и правильно меняющаяся при y(j) \rightarrow Yj функция
порядка \sigma j , j = 0, n - k, \Delta Yj — некоторая односторонняя окрестность точки Yj , Yj равно
либо 0, либо \pm \infty .
Теорема 2.3. Пусть i \in \{ 1, . . . , k\} . Для существования решений уравнения (2.25), для
которых имеет место представление
y(n - k)(t) =
cti - 1
(i - 1)!
[1 + o(1)] при t \rightarrow +\infty , c \not = 0, (2.26)
необходимо и достаточно, чтобы
Yj - 1 =
\left\{ +\infty , если \mu n - k > 0,
- \infty , если \mu n - k < 0,
при i = 1, j = 1, n - k, c \in \Delta Yn - k, (2.271)
Yj - 1 =
\left\{ +\infty , если \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} c > 0,
- \infty , если \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} c < 0,
при i > 1, j = 1, n - k + 1, (2.27i)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1210 В. М. ЕВТУХОВ, Е. С. КОРЕПАНОВА
и выполнялось условие
+\infty \int
a0
\bigm| \bigm| Wk - i(\tau )
\bigm| \bigm| d\tau < +\infty , (2.28)
где a0 \geq a такое, что \mu j - 1t
n - k+i - j \in \Delta Yj - 1, j = 1, n - k, при t \geq a0,
Wm(t) =
t\int
+\infty
Wm - 1(s)ds, m = 1, k - i, W0(t) = p(t)
n - k\prod
j=0
\varphi j
\bigl(
\mu jt
n - k+i - j - 1
\bigr)
.
Более того, при выполнении этих условий существует (n - k+ i)-параметрическое семейство
таких решений и для каждого из них при t \rightarrow +\infty имеют место асимптотические представ-
ления
y(j - 1)(t) =
ctn - k+i - j
(n - k + i - j)!
[1 + o(1)], j = 1, n - k + i - 1,
y(n - k+i - 1)(t) = c+ \alpha M(c)Wk - i+1(t)[1 + o(1)], (2.29)
y(j)(t) = \alpha M(c)Wn - j(t)[1 + o(1)], j = n - k + i, n - 1,
где M(c) =
\prod n - k+1
j=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| c
(n - k + i - j)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \sigma k - 1
, Wk - i+1(t) =
\int t
+\infty
Wk - i(s) ds.
Доказательство. Необходимость. Пусть существует решение y уравнения (2.25), заданное
на [t0,+\infty [ и удовлетворяющее (2.26). Тогда y(j)(t) \in \Delta Yj , j = 0, n - k, при всех t \geq t0.
Отсюда, в частности, ясно, что c \in \Delta Yn - k при i = 1. Интегрируя (2.26) на промежутке [t0, t], а
также получаемые при этом асимптотические при t \rightarrow +\infty соотношения, приходим к выводу,
что для решения и всех его производных до (n - k)-го порядка включительно имеют место
первые n - k+ 1 представление из (2.29), из которых следует справедливость условий (2.27i),
i \in \{ 1, . . . , k\} .
Учитывая представления (1.2) правильно меняющихся при t \rightarrow +\infty функций \varphi j
\bigl(
y(j)
\bigr)
,
j = 0, n - k, и справедливость выполнения соотношений (1.3) равномерно по \lambda на любом
отрезке [d1, d2] \subset ]0,+\infty [, при t \rightarrow +\infty имеем
\varphi s - 1
\biggl(
ctn - k+i - s
(n - k + i - s)!
[1 + o(1)]
\biggr)
=
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| c
(n - k + i - s)!
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \sigma s - 1
\varphi s - 1
\Bigl(
\mu s - 1t
n - k+i - s
\Bigr)
[1 + o(1)], s = 1, n - k + 1.
Тогда, подставляя решение вместе с производными до (n - k)-го порядка включительно в
(2.25), получаем
y(n)(t) = \alpha M(c)p(t)
n - k\prod
j=0
\varphi j
\bigl(
\mu jt
n - k+i - j - 1
\bigr)
[1 + o(1)] при t \rightarrow +\infty .
Интегрируя это соотношение на [t\ast , t], где t\ast = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ a0, t0\} , имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1211
y(n - 1)(t) = y(n - 1)(t\ast ) + \alpha M(c)
t\int
t\ast
p(\tau )
n - k\prod
j=0
\varphi j
\bigl(
\mu j\tau
n - k+i - j - 1
\bigr)
[1 + o(1)] d\tau . (2.30)
Из уравнения (2.25) следует, что y(n)(t) сохраняет знак на [t0,+\infty [. Тогда y(n - l)(t), l =
= 1, k - i, являются строго монотонными функциями на [t0,+\infty [ и, следовательно, имеют
предел при t \rightarrow +\infty . Предполагая, что предел y(n - 1)(t) при t \rightarrow +\infty отличен от нуля,
приходим к противоречию с условием (2.26). Отсюда следует, что в (2.30) интеграл, стоящий
справа, при t \rightarrow +\infty имеет конечный предел и для (n - 1)-й производной решения имеет
место представление из (2.29). Продолжая рассуждения аналогичным образом, устанавливаем
справедливость последних k - i представлений из (2.29). Интегрируя полученное соотношение
для (n - k + i)-й производной на [t\ast , t], где t\ast = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ a0, t0\} , имеем
y(n - k+i - 1)(t) = y(n - k+i - 1) (t\ast )+
+\alpha M(c)
t\int
t\ast
tk - i\int
+\infty
. . .
t1\int
+\infty
p(\tau )
n - k\prod
j=0
\varphi j
\bigl(
\mu j\tau
n - k+i - j - 1
\bigr)
[1 + o(1)] d\tau dt1 . . . dtk - i. (2.31)
Если предел y(n - k+i - 1)(t) при t \rightarrow +\infty отличен от c \not = 0, то отсюда получаем противоречие
с представлением (2.26). Поэтому
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
t\int
t\ast
tk - i\int
+\infty
. . .
t1\int
+\infty
p(\tau )
n - k\prod
j=0
\varphi j
\bigl(
\mu j\tau
n - k+i - j - 1
\bigr)
[1 + o(1)] d\tau dt1 . . . dtk - i = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}
и по признаку сравнения выполняется (2.28), а соотношение (2.31) может быть записано в виде
(n - k + i - 1)-го представления из (2.29).
Далее, с учетом того, что y(n - k+i - 1)(t) \rightarrow c при t \rightarrow +\infty , в результате интегрирования
получим оставшиеся i - 2 представления из (2.29), т. е.
y(n - k+j)(t) =
cti - j - 1
(i - j - 1)!
[1 + o(1)] при t \rightarrow +\infty , j = 1, i - 2.
Достаточность. Допустим сначала, что i \in \{ 2, . . . , k\} и выполняются условия (2.27i),
(2.28). Выберем произвольным образом число c \not = 0 и промежуток ]c1, c2[ \ni c такой, что
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} c1 = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} c2 = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} c.
Применяя к уравнению (2.25) преобразование
y(j - 1)(t) =
ctn - k+i - j
(n - k + i - j)!
[1 + vj(t)], j = 1, n - k + i - 1,
y(n - k+i - 1)(t) = c+ \alpha M(c)Wk - i+1(t)[1 + vn - k+i(t)], (2.32)
y(j)(t) = \alpha M(c)Wn - j(t)[1 + vj+1(t)], j = n - k + i, n - 1,
получаем систему дифференциальных уравнений
v\prime j =
n - k + i - j
t
[ - vj + vj+1], j = 1, n - k + i - 2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1212 В. М. ЕВТУХОВ, Е. С. КОРЕПАНОВА
v\prime n - k+i - 1 =
\alpha M(c)Wk - i+1(t)
tc
- 1
t
vn - k+i - 1 +
\alpha M(c)Wk - i+1(t)
tc
vn - k+i,
(2.33)
v\prime j =
Wn - j(t)
Wn - j+1(t)
[ - vj + vj+1], j = n - k + i, n - 1,
v\prime n = - W0(t)
W1(t)
(1 + vn) +
1
W1(t)
p(t)
n - k\prod
j=0
\varphi j
\biggl(
ctn - k+i - j - 1
(n - k + i - j - 1)!
[1 + vj+1]
\biggr)
.
Рассмотрим ее на множестве \Omega n = [t0,+\infty [\times \BbbR n
1/2, где
\BbbR n
1/2 =
\biggl\{
(v1, . . . , vn) \in \BbbR n : | vj | \leq
1
2
, j = 1, n
\biggr\}
и t0 выбрано с учетом (2.28) так, чтобы при t > t0 \geq a0 и (v1, . . . , vn) \in \BbbR n
1/2 выполнялись
условия
cmtn - k+i - j
(n - k + i - j)!
[1 + vj ] \in \Delta Yj - 1, j = 1, n - k + 1, m = 1, 2.
Так как c \in ]c1, c2[, то при замене в этих включениях cm на c они также будут выполняться.
Поскольку функции \varphi j(y
(j)), j = 0, n - k, представимы в виде (1.2) и соотношения (1.3)
выполняются равномерно по \lambda на любом отрезке [d1, d2] \subset ]0,+\infty [, то
\varphi j
\biggl(
ctn - k+i - j - 1
(n - k + i - j - 1)!
[1 + vj+1]
\biggr)
=
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| c
(n - k + i - j - 1)!
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \sigma j
\varphi j
\bigl(
\mu jt
n - k+i - j - 1
\bigr)
(1 + vj+1)
\sigma j
\bigl(
1 +Rj(t, vj+1)
\bigr)
,
где Rj(t, vj+1) стремятся к нулю при t \rightarrow +\infty равномерно по vj+1 \in
\biggl[
- 1
2
,
1
2
\biggr]
.
В силу этих представлений систему уравнений (2.33) запишем в виде
v\prime j =
n - k + i - j
t
[ - vj + vj+1], j = 1, n - k + i - 2,
v\prime n - k+i - 1 =
\alpha M(c)Wk - i+1(t)
tc
- 1
t
vn - k+i - 1 +
\alpha M(c)Wk - i+1(t)
tc
vn - k+i,
(2.34)
v\prime j =
Wn - j(t)
Wn - j+1(t)
[ - vj + vj+1], j = n - k + i, n - 1,
v\prime n =
W0(t)
W1(t)
\left[ n - k+1\sum
j=1
\sigma j - 1vj - vn +
2\sum
m=1
Ynm(t, v1, . . . , vn)
\right] ,
где Yn1(t, v1, . . . , vn) = R(t, v1, . . . , vn)(1+v1)
\sigma 0(1+v2)
\sigma 1 . . . (1+vn - k+1)
\sigma n - k , R(t, v1, . . . , vn) =
= (1 + R0(t, v1)) . . . (1 + Rn - k(t, vn - k+1)) - 1 при t \rightarrow +\infty стремится к нулю равномерно по
vj \in
\biggl[
- 1
2
,
1
2
\biggr]
, j = 1, n, Yn2(t, v1, . . . , vn) =
\prod n - k+1
j=1
(1 + vj)
\sigma j - 1 -
\prod n - k+1
j=1
\sigma j - 1vj - 1.
Полагая в ней
vj = \delta zj , j = 1, n - k + 1, vj = zj , j = n - k + 2, n, (2.35)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1213
где \delta выбрано так, чтобы выполнялось неравенство 0 < \delta <
1
| \sigma 0| + . . .+ | \sigma n - k+1|
, получаем
систему дифференциальных уравнений
z\prime j =
n - k + i - j
t
[ - zj + zj+1], j = 1, n - k - 1,
z\prime n - k =
i
t
\biggl[
- zn - k +
1
\delta
zn - k+1
\biggr]
,
z\prime j =
n - k + i - j
t
[ - zj + zj+1], j = n - k + 1, n - k + i - 2,
(2.36)
z\prime n - k+i - 1 =
\alpha M(c)Wk - i+1(t)
tc
- 1
t
zn - k+i - 1 +
\alpha M(c)Wk - i+1(t)
tc
zn - k+i,
z\prime j =
Wn - j(t)
Wn - j+1(t)
[ - zj + zj+1], j = n - k + i, n - 1,
z\prime n =
W0(t)
W1(t)
\left[ n - k+1\sum
j=1
\delta \sigma j - 1zj - zn +
2\sum
m=1
Znm(t, z1, . . . , zn)
\right] ,
в которой Znm(t, z1, . . . , zn) = Ynm
\biggl(
t,
1
\delta
v1, . . . ,
1
\delta
vn - k+1, vn - k+2, . . . , vn
\biggr)
, m = 1, 2, и такие,
что \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow +\infty Zn1(t, z1, . . . , zn) = 0 равномерно по (z1, . . . , zn) \in \BbbR n
l =
\bigl\{
(z1, . . . , zn) \in \BbbR n :
| zj | \leq l, j = 1, n
\bigr\}
, l = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
1
2\delta
,
1
2
\biggr\}
, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}| z1| +...+| zn| \rightarrow 0
\partial Zn2(t, z1, . . . , zn)
\partial zk
= 0, k = 1, n,
равномерно по t \in ]t1,+\infty [, t1 \in [t0,+\infty [.
В силу вида Wj(t), j = 1, k - i+ 1, и (2.28) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow +\infty Wj(t) = 0,
+\infty \int
t0
Wn - j(t)dt
Wn - j+1(t)
= \pm \infty , и при t > t0
Wn - j(t)
Wn - j+1(t)
< 0, j = n - k + i, n. (2.37)
При указанном выборе числа \delta в силу приведенных выше условий для системы (2.35) вы-
полнены все условия леммы 2.1. Тогда она имеет (n - k + i - 1)-параметрическое семейство
стремящихся к нулю при t \rightarrow +\infty решений (zj)
n
j=1 : [t1,+\infty [ \rightarrow \BbbR n
l , каждому из которых
в силу замен (2.32) и (2.35) соответствует решение вида (2.26) дифференциального уравне-
ния (2.25), допускающее представления (2.29). А поскольку это утверждение справедливо при
любом c \in ]c1, c2[, то существует (n - k + i)-параметрическое семейство решений уравне-
ния (2.25) с такими представлениями.
Далее, пусть i = 1 и выполняются условия (2.271), (2.28). Выберем произвольным образом
число c \in \Delta Yn - k и ]c1, c2[ \subset \Delta Yn - k такой, что c \in ]c1, c2[.
Сначала, применяя к уравнению (2.25) преобразование (2.32) при i = 1, получаем систему
дифференциальных уравнений
v\prime j =
n - k + 1 - j
t
[ - vj + vj+1], j = 1, n - k - 1,
v\prime n - k =
\alpha M(c)Wk(t)
tc
- 1
t
vn - k +
\alpha M(c)Wk(t)
tc
vn - k+1,
(2.38)
v\prime j =
Wn - j(t)
Wn - j+1(t)
[ - vj + vj+1], j = n - k + 1, n - 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1214 В. М. ЕВТУХОВ, Е. С. КОРЕПАНОВА
v\prime n = - W0(t)
W1(t)
(1 + vn) +
1
W1(t)
p(t)
n - k - 1\prod
j=0
\varphi j
\biggl(
ctn - k - j
(n - k - j)!
[1 + vj+1]
\biggr)
\times
\times \varphi n - k
\bigl(
c+ \alpha M(c)Wk(t)[1 + vn - k+1]
\bigr)
.
Рассмотрим полученную систему на множестве \Omega n = [t0,+\infty [\times \BbbR n
1/2, где
\BbbR n
1/2 =
\biggl\{
(v1, . . . , vn) \in \BbbR n : | vj | \leq
1
2
, j = 1, n
\biggr\}
и t0 выбрано с учетом (2.28) так, чтобы при t > t0 \geq a0 и (v1, . . . , vn) \in \BbbR n
1/2 выполнялись
условия
cmtn - k - j+1
(n - k - j + 1)!
[1 + vj ] \in \Delta Yj - 1, j = 1, n - k,
cm + \alpha M(cm)Wk(t)[1 + vn - k+1(t)] \in \Delta Yn - k, m = 1, 2.
Поскольку c \in ]c1, c2[, то при замене в этих включениях cm на c они также будут выполняться.
По аналогии со случаем i \in \{ 2, . . . , k\} запишем систему (2.38) в виде
v\prime j =
n - k + 1 - j
t
[ - vj + vj+1], j = 1, n - k - 1,
v\prime n - k =
\alpha M(c)Wk(t)
tc
- 1
t
vn - k +
\alpha M(c)Wk(t)
tc
vn - k+1,
(2.39)
v\prime j =
Wn - j(t)
Wn - j+1(t)
[ - vj + vj+1], j = n - k + 1, n - 1,
v\prime n =
W0(t)
W1(t)
\left[ n - k\sum
j=1
\sigma j - 1vj - vn +
2\sum
m=1
Ynm(t, v1, . . . , vn)
\right] ,
где Yn1(t, v1, . . . , vn) = R(t, v1, . . . , vn)(1+v1)
\sigma 0(1+v2)
\sigma 1 . . . (1+vn - k)
\sigma n - k - 1 , R(t, v1, . . . , vn) =
= (1 + R0(t, v1)) . . . (1 + Rn - k(t, vn - k+1)) - 1 при t \rightarrow +\infty стремится к нулю равномерно по
vj \in
\biggl[
- 1
2
,
1
2
\biggr]
, j = 1, n, Yn2(t, v1, . . . , vn) =
\prod n - k
j=1
(1 + vj)
\sigma j - 1 -
\prod n - k
j=1
\sigma j - 1vj - 1.
Полагая в ней
vj = \delta zj , j = 1, n - k, vj = zj , j = n - k + 1, n, (2.40)
где \delta выбрано так, чтобы выполнялось неравенство 0 < \delta <
1
| \sigma 0| + . . .+ | \sigma n - k|
, получаем
систему дифференциальных уравнений
z\prime j =
n - k + 1 - j
t
[ - zj + zj+1], j = 1, n - k - 2,
z\prime n - k - 1 =
2
t
\biggl[
- zn - k - 1 +
1
\delta
zn - k
\biggr]
,
z\prime n - k =
\alpha M(c)Wk(t)
tc
- 1
t
zn - k +
\alpha M(c)Wk(t)
tc
zn - k+1, (2.41)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 1215
z\prime j =
Wn - j(t)
Wn - j+1(t)
[ - zj + zj+1], j = n - k + 1, n - 1,
z\prime n =
W0(t)
W1(t)
\left[ n - k\sum
j=1
\delta \sigma j - 1zj - zn +
2\sum
m=1
Znm(t, z1, . . . , zn)
\right] ,
в которой Znm(t, z1, . . . , zn) = Ynm
\biggl(
t,
1
\delta
v1, . . . ,
1
\delta
vn
\biggr)
, m = 1, 2, и такие же, как и в случае
i \in \{ 2, . . . , k\} .
С учетом вида Wj(t), j = 1, k, и (2.28) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow +\infty Wj(t) = 0 и имеют место условия (2.37)
при i = 1. При указанном выборе числа \delta в силу указанных выше условий для системы (2.41)
справедлива лемма 2.1. Тогда она имеет (n - k)-параметрическое семейство стремящихся к
нулю при t \rightarrow +\infty решений (zj)
n
j=1 : [t1,+\infty [\rightarrow \BbbR n
l , t1 \in [t0,+\infty [, каждому из которых в силу
замен (2.32) и (2.40) соответствует решение вида (2.26) дифференциального уравнения (2.25),
допускающее асимптотические представления (2.29). А поскольку это утверждение справед-
ливо при любом c \in ]c1, c2[, то существует (n - k + 1)-параметрическое семейство решений
уравнения (2.25) с такими представлениями.
Теорема 2.3 доказана.
Из теоремы 2.3 непосредственно следует утверждение для дифференциального уравнения
y(n)(t) = \alpha p(t)\varphi (y), (2.42)
в котором n \geq 2, \alpha \in \{ - 1, 1\} , p : [a,+\infty [ \rightarrow ]0,+\infty [ — непрерывная функция, a \in \BbbR , \varphi :
\Delta Y \rightarrow ]0; +\infty [ — непрерывная и правильно меняющаяся при y \rightarrow Y функция порядка \sigma ,
\Delta Y — некоторая односторонняя окрестность точки Y, Y равно либо 0, либо \pm \infty .
Следствие 2.1. Пусть i \in \{ 1, . . . , n\} . Для существования решений уравнения (2.42), для
которых имеет место представление
y(t) =
cti - 1
(i - 1)!
[1 + o(1)] при t \rightarrow +\infty , c \not = 0,
необходимо и достаточно, чтобы c \in \Delta Y при i = 1,
Y =
\left\{ +\infty , если \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} c > 0,
- \infty , если \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} c < 0,
при i > 1,
и выполнялось условие
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow +\infty
t\int
a0
(\tau - t)n - ip(\tau )\varphi
\bigl(
\mu 0\tau
i - 1
\bigr)
d\tau = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},
где a0 \geq a такое, что \mu 0t
i - 1 \in \Delta Y при t \geq a0.
Более того, при выполнении этих условий существует i-параметрическое семейство таких
решений и для каждого из них имеют место при t \rightarrow +\infty асимптотические представления
y(j - 1)(t) =
cti - j
(i - j)!
[1 + o(1)], j = 1, i - 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1216 В. М. ЕВТУХОВ, Е. С. КОРЕПАНОВА
y(i - 1)(t) = c+
\alpha c
(i - 1)!
Wn - i+1(t)[1 + o(1)],
y(j)(t) =
\alpha c
(i - 1)!
Wn - j(t)[1 + o(1)], j = i, n - 1,
где Wj(t) =
\int t
+\infty
Wj - 1(s) ds, j = 1, n - i+ 1, W0(t) = p(t)\varphi
\bigl(
\mu 0t
i - 1
\bigr)
.
3. Выводы. В данной работе для двучленного неавтономного обыкновенного дифференци-
ального уравнения n-го порядка с правильно меняющимися нелинейностями (1.1) при \omega = +\infty
получены необходимые и достаточные условия существования решений, для которых (n - 1)-
или (n - 2)-я производная стремится к отличной от нуля константе при t \rightarrow +\infty , а также
решений вида
y(t) = ti - 1[c+ o(1)], c \not = 0, i \in \{ 1, . . . , n\} при t \rightarrow +\infty
для некоторых частных случаев уравнения (1.1) при \omega = +\infty .
При этом были установлены асимптотические при t \rightarrow +\infty формулы для производных
таких типов решений до порядка n - 1 включительно и выяснен вопрос о количестве решений
с найденными представлениями. Эти результаты дополняют теорему 16.9 из монографии [9] для
уравнений вида (1.4) и следствие 8.2 из монографии [9], касающееся уравнений общего вида.
Литература
1. Бурбаки Н. Функции действительного переменного. – М.: Наука, 1965. – 424 с.
2. Евтухов В. М. Об одном нелинейном дифференциальном уравнении второго порядка // Докл. АН СССР. –
1977. – 233, № 4. – С. 531 – 534.
3. Евтухов В. М. Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных урав-
нений второго порядка // Сообщ. АН ГССР. – 1982. – 106, № 3. – С. 473 – 476.
4. Евтухов В. М. Асимптотические свойства решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений
второго порядка // Math. Nachr. – 1984. – 115. – P. 215 – 236.
5. Евтухов В. М. Об одном классе монотонных решений нелинейного дифференциального уравнения n-го
порядка типа Эмдена – Фаулера // Сообщ. АН Грузии. – 1992. – 145, № 2. – С. 269 – 273.
6. Евтухов В. М. Асимптотические представления монотонных решений нелинейного дифференциального урав-
нения типа Эмдена – Фаулера n-го порядка // Докл. АН России. – 1992. – 324, № 2. – С. 258 – 260.
7. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Условия существования исчезающих в особой точке решений вещественных
неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 1. –
С. 52 – 80.
8. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Асимптотическое представление решений неавтономных обыкновенных
дифференциальных уравнений с правильно меняющимися нелинейностями // Дифференц. уравнения. – 2011. –
47, № 5. – С. 628 – 650.
9. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифферен-
циальных уравнений. – М.: Наука, 1990. – 430 с.
10. Клопот А. М. Асимптотические представления решений дифференциальных уравнений n-го порядка с пра-
вильно меняющимися нелинейностями: Дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Одесса, 2015. – 148 с.
11. Костин А. В., Евтухов В. М. Асимптотика решений одного нелинейного дифференциального уравнения //
Докл. АН СССР. – 1976. – 231, № 5. – С. 1059 – 1062.
12. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 144 с.
13. Maric V. Regular variation and differential equations // Lect. Notes Math. – 2000. – 1726. – 140 p.
Получено 04.06.16,
после доработки — 22.05.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1770 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:21Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/34/8129315dcb5190f34e7ceb6f1f495334.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17702019-12-05T09:26:20Z Asymptotic representation of solutions of differential equations with rightly varying nonlinearities Асимптотические представления решений дифференциальных уравнений с правильно меняющимися нелинейностями Evtukhov, V. M. Korepanova, Е. S. Евтухов, В. М. Корепанова, Е. С. Евтухов, В. М. Корепанова, Е. С. The conditions of existence of some types of power-mode solutions of a binomial nonautonomous ordinary differential equation with regularly varying nonlinearities are established. Для двочленного неавтономного звичайного диференцiального рiвняння з правильно змiнними нелiнiйностями встановлено умови iснування деяких типiв розв’язкiв степеневого вигляду. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1770 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 9 (2017); 1198-1216 Український математичний журнал; Том 69 № 9 (2017); 1198-1216 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1770/752 Copyright (c) 2017 Evtukhov V. M.; Korepanova Е. S. |
| spellingShingle | Evtukhov, V. M. Korepanova, Е. S. Евтухов, В. М. Корепанова, Е. С. Евтухов, В. М. Корепанова, Е. С. Asymptotic representation of solutions of differential equations with rightly varying nonlinearities |
| title | Asymptotic representation of solutions of differential equations
with rightly varying nonlinearities |
| title_alt | Асимптотические представления решений
дифференциальных уравнений с правильно меняющимися нелинейностями |
| title_full | Asymptotic representation of solutions of differential equations
with rightly varying nonlinearities |
| title_fullStr | Asymptotic representation of solutions of differential equations
with rightly varying nonlinearities |
| title_full_unstemmed | Asymptotic representation of solutions of differential equations
with rightly varying nonlinearities |
| title_short | Asymptotic representation of solutions of differential equations
with rightly varying nonlinearities |
| title_sort | asymptotic representation of solutions of differential equations
with rightly varying nonlinearities |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1770 |
| work_keys_str_mv | AT evtukhovvm asymptoticrepresentationofsolutionsofdifferentialequationswithrightlyvaryingnonlinearities AT korepanovaes asymptoticrepresentationofsolutionsofdifferentialequationswithrightlyvaryingnonlinearities AT evtuhovvm asymptoticrepresentationofsolutionsofdifferentialequationswithrightlyvaryingnonlinearities AT korepanovaes asymptoticrepresentationofsolutionsofdifferentialequationswithrightlyvaryingnonlinearities AT evtuhovvm asymptoticrepresentationofsolutionsofdifferentialequationswithrightlyvaryingnonlinearities AT korepanovaes asymptoticrepresentationofsolutionsofdifferentialequationswithrightlyvaryingnonlinearities AT evtukhovvm asimptotičeskiepredstavleniârešenijdifferencialʹnyhuravnenijspravilʹnomenâûŝimisânelinejnostâmi AT korepanovaes asimptotičeskiepredstavleniârešenijdifferencialʹnyhuravnenijspravilʹnomenâûŝimisânelinejnostâmi AT evtuhovvm asimptotičeskiepredstavleniârešenijdifferencialʹnyhuravnenijspravilʹnomenâûŝimisânelinejnostâmi AT korepanovaes asimptotičeskiepredstavleniârešenijdifferencialʹnyhuravnenijspravilʹnomenâûŝimisânelinejnostâmi AT evtuhovvm asimptotičeskiepredstavleniârešenijdifferencialʹnyhuravnenijspravilʹnomenâûŝimisânelinejnostâmi AT korepanovaes asimptotičeskiepredstavleniârešenijdifferencialʹnyhuravnenijspravilʹnomenâûŝimisânelinejnostâmi |