Reconstruction of the Sturm – Liouville operator with nonseparated boundary conditions and a spectral parameter in the boundary condition
We study the inverse problem for the Sturm – Liouville operator with nonseparated boundary conditions one of which contains a spectral parameter. The uniqueness theorem is presented and sufficient conditions for the solvability of the inverse problem are obtained.
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1771 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507628721930240 |
|---|---|
| author | Ibadzadeh, Ch. G., Nabiev, I.M. Ибадзаде, Ч. Г. Набиев, И. М. Ибадзаде, Ч. Г. Набиев, И. М. |
| author_facet | Ibadzadeh, Ch. G., Nabiev, I.M. Ибадзаде, Ч. Г. Набиев, И. М. Ибадзаде, Ч. Г. Набиев, И. М. |
| author_sort | Ibadzadeh, Ch. G., |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:26:20Z |
| description | We study the inverse problem for the Sturm – Liouville operator with nonseparated boundary conditions one of which
contains a spectral parameter. The uniqueness theorem is presented and sufficient conditions for the solvability of the
inverse problem are obtained. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.984.5
Ч. Г. Ибадзаде (Бакин. гос. ун-т, Азербайджан),
И. М. Набиев (Бакин. гос. ун-т, Ин-т математики и механики НАН Азербайджана, Ун-т Хазар, Азербайджан)
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА ШТУРМА – ЛИУВИЛЛЯ
С НЕРАЗДЕЛЕННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
И СО СПЕКТРАЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ В ГРАНИЧНОМ УСЛОВИИ
We study the inverse problem for the Sturm – Liouville operator with nonseparated boundary conditions one of which
contains a spectral parameter. The uniqueness theorem is presented and sufficient conditions for the solvability of the
inverse problem are obtained.
Роботу присвячено дослiдженню оберненої задачi для оператора Штурма – Лiувiлля з нероздiленими граничними
умовами, одна з яких мiстить спектральний параметр. Наведено теорему єдиностi й отримано достатнi умови
розв’язностi оберненої задачi.
1. Введение. Одно из ведущих направлений исследований в математике связано с обратны-
ми задачами спектрального анализа для дифференциальных операторов, в которых требуется
восстановить операторы по их некоторым заданным спектральным данным. Такими спектраль-
ными данными могут быть один, два и большее число спектров, спектральная функция, спектр
и нормировочные числа, функция Вейля, данные рассеяния и т. д. В зависимости от выбора
спектральных данных такие задачи различаются своими постановками.
Многие вопросы теории колебаний в математической физике приводят к обратным зада-
чам спектрального анализа для дифференциальных операторов со спектральным параметром в
уравнении и в граничных условиях. В случае разделенных граничных условий (т. е. когда гра-
ничные условия задаются отдельно в каждом конце рассматриваемого промежутка) некоторые
варианты таких задач полностью решены в работах [1 – 10]. Изучены свойства спектральных
данных, доказаны теоремы единственности, а также необходимые и достаточные условия раз-
решимости обратных задач. Важную роль во многих физических и технических приложениях
[10 – 12] играют периодические, антипериодические, квазипериодические, обобщенно периоди-
ческие задачи, вообще, краевые задачи для дифференциального уравнения Штурма – Лиувилля
и дифференциального пучка уравнений Штурма – Лиувилля при неразделенных граничных
условиях (т. е. когда граничные формы содержат комбинации значений искомой функции на кон-
цах отрезка). Вопросы восстановления таких задач с граничными условиями без спектрального
параметра подробно исследованы в [13 – 25]. В соответствующих обратных задачах неизвест-
ный коэффициент дифференциального уравнения и параметры граничных условий восстанав-
ливаются либо по спектрам двух или трех краевых задач с различными разделенными и нераз-
деленными граничными условиями, либо по двум спектрам и трем собственным значениям,
либо по спектрам двух подобных или неподобных краевых задач, некоторой последовательнос-
ти знаков и некоторому комплексному числу (краевые задачи называются подобными, если их
характеристические функции отличаются на константу). Обратные задачи для операторов с по-
линомиальным вхождением спектрального параметра в неразделенные граничные условия изу-
чены в [26 – 31]. Отметим, что в этих работах доказана теорема единственности и составлен ал-
горитм решения, но не установлены условия разрешимости соответствующих обратных задач.
В настоящей работе исследуется обратная спектральная задача восстановления операто-
ра Штурма – Лиувилля с неразделенными граничными условиями, одно из которых содержит
c\bigcirc Ч. Г. ИБАДЗАДЕ, И. М. НАБИЕВ, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9 1217
1218 Ч. Г. ИБАДЗАДЕ, И. М. НАБИЕВ
спектральный параметр. Приведена теорема единственности и получены достаточные условия
разрешимости обратной задачи. В качестве спектральных данных используются спектры двух
краевых задач и некоторая последовательность знаков.
2. Спектральные данные краевых задач. Рассмотрим краевую задачу, порожденную на
отрезке [0, \pi ] уравнением Штурма – Лиувилля
- y\prime \prime + q(x)y = \lambda 2y (1)
и граничными условиями вида
y\prime (0) + (\alpha \lambda + \beta )y(0) + \omega y(\pi ) = 0,
y\prime (\pi ) + \gamma y(\pi ) - \omega y(0) = 0,
(2)
где q(x) — вещественная функция, принадлежащая пространству L2[0, \pi ], \lambda — спектральный
параметр, \alpha , \beta , \gamma , \omega — вещественные числа, причем \alpha \not = 0, \omega \not = 0. Эту задачу будем обозначать
через Y (\alpha ). Отметим, что вопрос восстановления такой задачи в случае \alpha = 0 разными
подходами полностью решен в работах [15, 17, 19, 25].
Пусть c(x, \lambda ), s(x, \lambda ) — фундаментальная система решений уравнения (1), определяемая
начальными условиями c(0, \lambda ) = s\prime (0, \lambda ) = 1, c\prime (0, \lambda ) = s(0, \lambda ) = 0. Учитывая тождество
c(x, \lambda )[s\prime (x, \lambda ) + \gamma s(x, \lambda )] - s(x, \lambda )[c\prime (x, \lambda ) + \gamma c(x, \lambda )] = 1,
легко убедиться, что характеристической функцией краевой задачи Y (\alpha ) будет
\delta (\lambda ) = 2\omega - \eta (\pi , \lambda ) + \omega 2s(\pi , \lambda ) + (\alpha \lambda + \beta )\sigma (\pi , \lambda ),
где
\eta (\pi , \lambda ) = c\prime (\pi , \lambda ) + \gamma c(\pi , \lambda ), \sigma (\pi , \lambda ) = s\prime (\pi , \lambda ) + \gamma s(\pi , \lambda ).
Нули функции \delta (\lambda ) являются собственными значениями задачи Y (\alpha ).
Обозначим через Wn
2 [0, \pi ] пространство С. Л. Соболева, состоящее из заданных на отрезке
[0, \pi ] комплекснозначных функций, которые имеют n - 1 абсолютно непрерывную производную
и производную n-го порядка, суммируемую с квадратом на [0, \pi ]. В дальнейшем для краткости
будем говорить, что выполняется условие (A), если для всех функций y(x) \in W 2
2 [0, \pi ], y(x) \not \equiv 0,
удовлетворяющих условиям (2) c \alpha = 0, выполняется неравенство
\gamma | y(\pi )| 2 - 2\omega \mathrm{R}\mathrm{e}
\Bigl[
y(0)y(\pi )
\Bigr]
- \beta | y(0)| 2 +
\pi \int
0
\bigl\{
| y\prime (x)| 2 + q(x)| y(x)| 2
\bigr\}
dx > 0. (3)
Легко заметить, что это неравенство заведомо выполняется, если \beta \leq 0, \gamma \geq 0, | \omega | \leq
\sqrt{}
| \beta | \gamma ,
q(x) > 0. При выполнении условия (A) задача Y (\alpha ) имеет следующие спектральные свойства,
которые доказываются методами работы [32].
1. Краевая задача имеет счетное множество собственных значений \{ \mu k\} , k = \pm 0,\pm 1,
\pm 2, . . . . Все собственные значения вещественны и отличны от нуля. Эта задача не имеет
присоединенных функций к собственным функциям.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА ШТУРМА – ЛИУВИЛЛЯ С НЕРАЗДЕЛЕННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ. . . 1219
2. Если y(x) — собственная функция задачи Y (\alpha ), соответствующая собственному значе-
нию \lambda , то 2\lambda M +N \not = 0; более того, имеет место соотношение \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(2\lambda M +N) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\lambda , где
M =
\int \pi
0
| y(x)| 2 dx, N = \alpha | y(0)| 2.
3. Собственные значения \mu
(1)
k и \mu
(2)
k , k = \pm 0,\pm 1,\pm 2, . . . , краевых задач Y (\alpha 1) и Y (\alpha 2)
(\alpha 1 < \alpha 2) соответственно при \omega < 0 удовлетворяют неравенствам
0 < \mu
(2)
+0 \leq \mu
(1)
+0 \leq \mu
(2)
1 \leq \mu
(1)
1 < \mu
(2)
2 \leq \mu
(1)
2 \leq \mu
(2)
3 \leq \mu
(1)
3 < . . . ,
0 > \mu
(2)
- 0 \geq \mu
(1)
- 0 \geq \mu
(2)
- 1 \geq \mu
(1)
- 1 > \mu
(2)
- 2 \geq \mu
(1)
- 2 \geq \mu
(2)
- 3 \geq \mu
(1)
- 3 > . . . ,
а при \omega > 0 — неравенствам
0 < \mu
(2)
+0 < \mu
(1)
+0 < \mu
(2)
1 \leq \mu
(1)
1 \leq \mu
(2)
2 \leq \mu
(1)
2 < \mu
(2)
3 \leq \mu
(1)
3 \leq . . . ,
0 > \mu
(2)
- 0 > \mu
(1)
- 0 > \mu
(2)
- 1 \geq \mu
(1)
- 1 \geq \mu
(2)
- 2 \geq \mu
(1)
- 2 > \mu
(2)
- 3 \geq \mu
(1)
- 3 \geq . . . ,
причем если \mu
(j)
k = \mu
(j)
k+1, то \mu
(3 - j)
k - 1 < \mu
(3 - j)
k < \mu
(3 - j)
k+1 .
В дальнейшем будем предполагать, что j принимает значения 1 и 2, \alpha j \not = 0 и \alpha 1 \not = \alpha 2.
Известно [31], что для собственных значений \mu
(j)
k , k = \pm 0,\pm 1,\pm 2, . . . , краевой задачи Y (\alpha j)
при | k| \rightarrow \infty имеет место асимптотическая формула
\mu
(j)
k = k + aj +
( - 1)k+1Aj - Bj
k\pi
+
\tau
(j)
k
k
, (4)
где
aj = - 1
\pi
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha j , Aj =
2\omega \sqrt{}
1 + \alpha 2
j
,
Bj =
\beta
1 + \alpha 2
j
- \gamma - 1
2
\pi \int
0
q(x) dx, \{ \tau (j)k \} \in l2.
Обозначим \sigma n = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}
\bigl[
1 - | \omega s(\pi , \nu n)|
\bigr]
, n = \pm 1,\pm 2, . . . , где \nu n — нули функции \sigma (\pi , \lambda ),
квадраты которых являются собственными значениями краевой задачи, порожденной уравне-
нием (1) и граничными условиями y(0) = y\prime (\pi ) + \gamma y(\pi ) = 0. Последовательности
\bigl\{
\mu
(1)
k
\bigr\}
,\bigl\{
\mu
(2)
k
\bigr\}
и \{ \sigma n\} будем называть спектральными данными краевых задач Y (\alpha 1) и Y (\alpha 2).
3. Обратная задача. В этом пункте приводятся результаты по решению обратной задачи,
которая ставится следующим образом: по заданным спектральным данным построить коэф-
фициентную функцию q(x) в уравнении Штурма – Лиувилля и коэффициенты \alpha j , \beta , \gamma , \omega в
граничных условиях.
Справедлива следующая теорема единственности.
Теорема 1. Краевые задачи Y (\alpha 1) и Y (\alpha 2) однозначно восстанавливаются по своим
спектральным данным.
Доказательство этой теоремы во многом аналогично доказательству теоремы 2.1 работы
[21] (см. также [17]). Алгоритм восстановления краевых задач Y (\alpha 1) и Y (\alpha 2) по спектральным
данным составляется аналогично алгоритму в [31].
Приведем теперь основной результат настоящей статьи — достаточные условия разреши-
мости обратной задачи.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1220 Ч. Г. ИБАДЗАДЕ, И. М. НАБИЕВ
Теорема 2. Для того чтобы последовательности вещественных чисел
\bigl\{
\mu
(1)
k
\bigr\}
,
\bigl\{
\mu
(2)
k
\bigr\}
, k =
= \pm 0,\pm 1,\pm 2, . . . , и \{ \sigma n\} , \sigma n = - 1, 0, 1, n = \pm 1,\pm 2, . . . , были спектральными данными крае-
вых задач вида Y (\alpha 1) и Y (\alpha 2) (\alpha 1 < \alpha 2), достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
1) имеет место асимптотическая формула (4), в которой Aj = 2\omega \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\pi aj , \omega , aj , Bj —
вещественные числа, - 1
2
< aj <
1
2
, a1 > a2, \omega \not = 0,
\sum \infty
k= - \infty
\Bigl(
\tau
(j)
k
\Bigr) 2
< \infty ;
2) числа \mu
(1)
k и \mu
(2)
k удовлетворяют неравенствам в свойстве 3;
3) выполняется неравенство bn
df
= | \delta j(\nu n) - 2\omega | - 2| \omega | \geq 0, где
\delta j(\lambda ) =
\pi
\bigl(
\mu
(j)
- 0 - \lambda
\bigr) \bigl(
\mu
(j)
+0 - \lambda
\bigr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\pi aj
\infty \prod
k= - \infty
k \not =0
\mu
(j)
k - \lambda
k
, (5)
\nu n — нули функции \delta 1(\lambda ) - \delta 2(\lambda ), причем \nu - n = - \nu n;
4) \sigma n принимает значение, равное нулю, если bn = 0, и значение 1 или –1, если bn > 0,
причем существует такое N > 0, что \sigma n = 1 для всех | n| \geq N.
Доказательство. Положим \alpha j = - \mathrm{t}\mathrm{g} \pi aj . Тогда из a1 > a2 следует, что \alpha 1 < \alpha 2. Посколь-
ку числа \mu
(j)
k подчиняются асимптотике (4), то в силу леммы 1.3 статьи [21] для функции (5)
справедливо представление
\delta j(\lambda ) =
\sqrt{}
1 + \alpha 2
j
\bigl[
Aj + \lambda \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\pi (\lambda - aj) +Bj \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\pi (\lambda - aj) + fj(\lambda - aj)
\bigr]
,
где
fj(\lambda ) = Mj \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda \pi + gj(\lambda ), gj(\lambda ) =
\pi \int
- \pi
\~gj(t)e
i\lambda t dt, \~gj(t) \in L2[ - \pi , \pi ].
Отсюда
\delta j(\lambda ) = 2\omega + \lambda (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda \pi + \alpha j \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\lambda \pi ) + (Bj + \alpha jMj) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\lambda \pi +
+(Mj - \alpha jBj) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda \pi +
\sqrt{}
1 + \alpha 2
j
\pi \int
- \pi
\~gj(t)e
i(\lambda - aj)t dt. (6)
Поскольку \delta 1(\nu n) = \delta 2(\nu n) и \nu - n = - \nu n, то из (6) имеем B1 + \alpha 1M1 = B2 + \alpha 2M2. Поэтому
согласно формуле (6) для функции \sigma (\lambda ) =
\delta 1(\lambda ) - \delta 2(\lambda )
(\alpha 1 - \alpha 2)\lambda
имеет место представление
\sigma (\lambda ) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\lambda \pi - B3\pi
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda \pi
\lambda
+
\pi \int
0
\~g(t)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda t
\lambda
dt,
где
B3 =
M2 - M1 + \alpha 1B1 - \alpha 2B2
\pi (\alpha 1 - \alpha 2)
, \~g(t) \in L2[0, \pi ].
Согласно лемме 3.4.2 работы [33] (см. также лемму 12.3.3 в [10]) для нулей \nu n функции \sigma (\lambda )
справедлива асимптотическая формула
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА ШТУРМА – ЛИУВИЛЛЯ С НЕРАЗДЕЛЕННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ. . . 1221
\nu n = n - 1
2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}n - B3
n
+
\eta n
n
, \{ \eta n\} \in l2. (7)
Используя (6), для функции
u1(\lambda ) =
\alpha 1\delta 2(\lambda ) - \alpha 2\delta 1(\lambda )
\alpha 1 - \alpha 2
- 2\omega (8)
получаем представление вида
u1(\lambda ) = \lambda \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda \pi +D \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\lambda \pi +M \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda \pi +
\pi \int
- \pi
r(t)ei\lambda t dt, (9)
где D,M — некоторые постоянные и r(t) \in L2[ - \pi , \pi ]. Как в [21], определяется функция u2(\lambda ),
удовлетворяющая условию
u2(\nu n) = ( - 1)n+1\sigma n
\sqrt{}
u21(\nu n) - 4\omega 2, (10)
следующим образом:
u2(\lambda ) = u1(\lambda ) - 2\omega 2
\biggl[
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda \pi
\lambda
+B4\pi
4 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\lambda \pi
4\lambda 2 - 1
- M \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda \pi
\lambda 2
+
m(\lambda )
\lambda 2
\biggr]
, (11)
где B4 — некоторая постоянная, m(\lambda ) = 2\sigma (\lambda )
\sum \infty
n=1
\nu nmn
\sigma \prime (\nu n)(\lambda 2 - \nu n)
— четная целая функция
экспоненциального типа не выше \pi , принадлежащая L2( - \infty ,\infty ) и \{ mn\} \in l2. Принимая во
внимание (9) и (11), для функции
\lambda s(\lambda ) =
\lambda
2\omega 2
[u1(\lambda ) - u2(\lambda )] (12)
получаем представление
\lambda s(\lambda ) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda \pi +B4\pi
4\lambda \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\lambda \pi
4\lambda 2 - 1
+
p(\lambda )
\lambda
,
где p(\lambda ) = - M \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda \pi +m(\lambda ), p(0) = p\prime (0) = 0. Равенство p\prime (0) = 0 показывает, что M = 0.
Поэтому в силу леммы 3.4.2 [33], если через \lambda n, n = \pm 1,\pm 2, . . . , обозначить нули функции
\lambda s(\lambda ), то для них будет иметь место асимптотическая формула
\lambda n = n - B4
n
+
\xi n
n
, \{ \xi n\} \in l2. (13)
Из (8) следует, что u1(\nu n) = \delta j(\nu n) - 2\omega . Тогда согласно второму и третьему условиям
теоремы выполняются неравенства
u1(\nu 2n - 1) \geq 2| \omega | , u1(\nu 2n) \leq - 2| \omega | .
Следовательно, найдется число \theta n такое, что
u1(\nu n) = 2| \omega | ( - 1)n+1 \mathrm{c}\mathrm{h} \theta n. (14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1222 Ч. Г. ИБАДЗАДЕ, И. М. НАБИЕВ
Из соотношения (10) с учетом (14) получаем
u2(\nu n) = 2| \omega | ( - 1)n+1\sigma n| \mathrm{s}\mathrm{h} \theta n| . (15)
Согласно равенствам (12), (14) и (15) имеем
s(\nu n) =
1
2\omega 2
[u1(\nu n) - u2(\nu n)] =
( - 1)n+1
| \omega |
(\mathrm{c}\mathrm{h} \theta n - \sigma n| \mathrm{s}\mathrm{h} \theta n| ) =
=
( - 1)n+1 \mathrm{c}\mathrm{h} \theta n
| \omega |
(1 - \sigma n| \mathrm{t}\mathrm{h} \theta n| ) .
Отсюда в силу очевидного неравенства | \mathrm{t}\mathrm{h} \theta n| < 1 следует, что \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} s(\nu n) = ( - 1)n+1. Тогда
легко убедиться, что \nu 2m < \lambda 2
m < \nu 2m+1, m = 1, 2, . . . . Таким образом, нули функций \sigma
\bigl( \surd
\lambda
\bigr)
и
\surd
\lambda s(
\surd
\lambda ) перемежаются и удовлетворяют асимптотическим формулам (7) и (13), откуда
следует (см. [34]), что существует единственная вещественная функция q(x) \in L2[0, \pi ] такая,
что рассматриваемые последовательности нулей являются спектрами краевых задач, порож-
денных на отрезке [0, \pi ] одним и тем же уравнением (1) с найденным коэффициентом q(x) и
граничными условиями
y(0) = y(\pi ) = 0, y(0) = y\prime (\pi ) + \gamma y(\pi ) = 0
(где \gamma = (B4 - B3)\pi ), и справедливы равенства s(\lambda ) = s(\pi , \lambda ), \sigma (\lambda ) = \sigma (\pi , \lambda ). Учитывая
эти равенства, легко доказать, что спектры построенных краевых задач совпадают с последо-
вательностями \{ \mu (1)
k \} и \{ \mu (2)
k \} .
Теорема доказана.
Замечание . Из результатов пункта 2 и доказательства теоремы 2.1 работы [17] видно, что
условия теоремы 2 также являются необходимыми при условии (A). Однако функция q(x),
построенная в доказательстве этой теоремы, может не удовлетворять неравенству (3).
Литература
1. Chugunova M. V. Inverse spectral problem for the Sturm – Liouville operator with eigenvalue parameter dependent
boundary conditions // Oper. Theory: Adv. and Appl. – 2001. – 123. – P. 187 – 194.
2. Pivovarchik V. N., Van der Mee C. The inverse generalized Regge problem // Inverse Problems. – 2001. – 17. –
P. 1831 – 1845.
3. Ван Дер Мей К., Пивоварчик В. Н. Обратная задача Штурма – Лиувилля с зависящими от спектрального
параметра краевыми условиями // Функцион. анализ и его прил. – 2002. – 36, № 4. – C. 74 – 77.
4. Guliyev N. J. Inverse eigenvalue problems for Sturm – Liouville equaitons with spectral parameter linearly contained
in one of the boundary conditions // Inverse Problems. – 2005. – 21. – P. 1315 – 1330.
5. Mamedov Kh. R. On the inverse problem for Strum – Liouville operator with a non-linear spectral parameter in the
boundary condition // J. Korean Math. Soc. – 2009. – 46, № 6. – P. 1243 – 1254.
6. Freiling G., Yurko V. Inverse problems for Sturm – Liouville equations with boundary conditions polynomially
dependent on the spectral parameter // Inverse Problems. – 2010. – 26. – 17 p.
7. Amirov R. Kh., Topsakal N., Güldü Y. On impulsive Sturm – Liouville operators with Coulomb potential and spectral
parameter linearly contained in boundary conditions // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 9. – С. 1155 – 1172.
8. Panakhov E. S., Koyunbakan H., Unal Ic. Reconstruction formula for the potential function of Sturm – Liouville
problem with eigenparameter boundary condition // Inverse Probl. Sci. and Eng. – 2010. – 18, № 1. – P. 173 – 180.
9. Güldü Y., Amirov R. Kh., Topsakal N., On impulsive Sturm – Liouville operators with singularity and spectral parameter
in boundary conditions // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 12. – С. 1610 – 1629.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА ШТУРМА – ЛИУВИЛЛЯ С НЕРАЗДЕЛЕННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ. . . 1223
10. Möller M., Pivovarchik V. Spectral theory of operator pencils, Hermite – Biehler functions, and their applications. –
Birkhäuser: Cham, 2015. – 412 p.
11. Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). – М.: Наука, 1968. – 504 с.
12. Ахтямов А. М. Теория идентификации краевых условий и ее приложения. – М.: Физматлит, 2009. – 272 с.
13. Станкевич И. В. Об одной обратной задаче спектрального анализа для уравнения Хилла // Докл. АН СССР. –
1970. – 192, № 1. – С. 34 – 37.
14. Марченко В. А., Островский И. В. Характеристика спектра оператора Хилла // Мат. сб. – 1975. – 97, № 4. –
С. 540 – 606.
15. Плаксина О. А. Обратные задачи спектрального анализа для оператора Штурма – Лиувилля с неразделенными
граничными условиями. II // Мат. сб. – 1988. – 136, № 1. – С. 140 – 159.
16. Гусейнов И. М., Набиев И. М. Об одном классе обратных краевых задач для операторов Штурма – Лиувилля //
Дифференц. уравнения. – 1989. – 25, № 7. – С. 1114 – 1120.
17. Гасымов М. Г., Гусейнов И. М., Набиев И. М. Обратная задача для оператора Штурма – Лиувилля с неразде-
ленными самосопряженными граничными условиями // Сиб. мат. журн. – 1990. – 31, № 6. – C. 46 – 54.
18. Гусейнов И. М., Набиев И. М. Решение одного класса обратных краевых задач Штурма – Лиувилля // Мат. сб. –
1995. – 186, № 5. – С. 35 – 48.
19. Yurko V. A. The inverse spectral problem for differential operators with nonseparated boundary conditions // J. Math.
Anal. and Appl. – 2000. – 250. – P. 266 – 289.
20. Набиев И. М. Обратная спектральная задача для оператора диффузии на отрезке // Мат. физика, анализ,
геометрия. – 2004. – 11, № 3. – С. 302 – 313.
21. Гусейнов И. М., Набиев И. М. Обратная спектральная задача для пучков дифференциальных операторов //
Мат. сб. – 2007. – 198, № 11. – С. 47 – 66.
22. Макин А. С. Обратные задачи спектрального анализа для оператора Штурма – Лиувилля с регулярными крае-
выми условиями. II // Дифференц. уравнения. – 2007. – 43, № 12. – С. 1626 – 1636.
23. Nabiev I. M. Determination of the diffusion operator on an interval // Colloq. Math. – 2014. – 134, № 2. – P. 165 – 178.
24. Садовничий В. А., Султанаев Я. Т., Ахтямов А. М. Теоремы разрешимости обратной несамосопряженной зада-
чи Штурма – Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями // Дифференц. уравнения. – 2015. – 51, № 6. –
С. 706 – 713.
25. Садовничий В. А., Султанаев Я. Т., Ахтямов А. М. О разрешимости обратных задач Штурма – Лиувилля с
самосопряженными краевыми условиями // Докл. РАН. – 2016. – 466, № 5. – С. 526 – 528.
26. Садовничий В. А., Султанаев Я. Т., Ахтямов А. М. Обратная задача для пучка операторов с нераспадающимися
краевыми условиями // Докл. РАН. – 2009. – 425, № 1. – С. 31 – 33.
27. Yurko V. A. Inverse problems for nonselfadjoint quasi-periodic differential pencils // Anal. and Math. Phys. – 2012. –
2. – P. 215 – 230.
28. Nabiev I. M., Shukurov A. Sh. Properties of the spectrum and uniqueness of reconstruction of Sturm – Liouville
operator with a spectral parameter in the boundary condition // Proc. Inst. Math. and Mech. NAS Azerbaijan. –
2014. – 40, Special Issue. – P. 332 – 341.
29. Freiling G., Yurko V. Recovering nonselfadjoint differential pencils with nonseparated boundary conditions // Appl.
Anal. – 2015. – 94, № 8. – P. 1649 – 1661.
30. Ахтямов А. М., Кумушбаев Р. Р. Идентификация полинома в нераспадающихся краевых условиях по одному
собственному значению // Дифференц. уравнения. – 2016. – 52, № 5. – С. 692 – 695.
31. Ibadzadeh Ch. G., Nabiev I. M. An inverse problem for Sturm – Liouville operators with non-separated boundary
conditions containing the spectral parameter // J. Inverse and Ill-Posed Probl. – 2016. – 24, № 4. – P. 407 – 411.
32. Набиев И. М. Кратность и взаимное расположение собственных значений квадратичного пучка операторов
Штурма – Лиувилля // Мат. заметки. – 2000. – 67, № 3. – С. 369 – 381.
33. Марченко В. А. Операторы Штурма – Лиувилля и их приложения. – Киев: Наук. думка, 1977. – 332 с.
34. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. – М.: Физматлит, 2007. – 384 с.
Получено 12.11.16,
после доработки — 01.01.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1771 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:20Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ad/fbdfad23df0ffc20a4fa877435b857ad.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17712019-12-05T09:26:20Z Reconstruction of the Sturm – Liouville operator with nonseparated boundary conditions and a spectral parameter in the boundary condition Восстановление оператора Штурма – Лиувилля с неразделенными граничными условиями и со спектральным параметром в граничном условии Ibadzadeh, Ch. G., Nabiev, I.M. Ибадзаде, Ч. Г. Набиев, И. М. Ибадзаде, Ч. Г. Набиев, И. М. We study the inverse problem for the Sturm – Liouville operator with nonseparated boundary conditions one of which contains a spectral parameter. The uniqueness theorem is presented and sufficient conditions for the solvability of the inverse problem are obtained. Роботу присвячено дослiдженню оберненої задачi для оператора Штурма – Лiувiлля з нероздiленими граничними умовами, одна з яких мiстить спектральний параметр. Наведено теорему єдиностi й отримано достатнi умови розв’язностi оберненої задачi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1771 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 9 (2017); 1217-1223 Український математичний журнал; Том 69 № 9 (2017); 1217-1223 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1771/753 Copyright (c) 2017 Ibadzadeh Ch. G.,; Nabiev I.M. |
| spellingShingle | Ibadzadeh, Ch. G., Nabiev, I.M. Ибадзаде, Ч. Г. Набиев, И. М. Ибадзаде, Ч. Г. Набиев, И. М. Reconstruction of the Sturm – Liouville operator with nonseparated boundary conditions and a spectral parameter in the boundary condition |
| title | Reconstruction of the Sturm – Liouville operator with nonseparated
boundary conditions and a spectral parameter in the boundary condition |
| title_alt | Восстановление оператора Штурма – Лиувилля
с неразделенными граничными условиями и со спектральным параметром в граничном
условии |
| title_full | Reconstruction of the Sturm – Liouville operator with nonseparated
boundary conditions and a spectral parameter in the boundary condition |
| title_fullStr | Reconstruction of the Sturm – Liouville operator with nonseparated
boundary conditions and a spectral parameter in the boundary condition |
| title_full_unstemmed | Reconstruction of the Sturm – Liouville operator with nonseparated
boundary conditions and a spectral parameter in the boundary condition |
| title_short | Reconstruction of the Sturm – Liouville operator with nonseparated
boundary conditions and a spectral parameter in the boundary condition |
| title_sort | reconstruction of the sturm – liouville operator with nonseparated
boundary conditions and a spectral parameter in the boundary condition |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1771 |
| work_keys_str_mv | AT ibadzadehchg reconstructionofthesturmliouvilleoperatorwithnonseparatedboundaryconditionsandaspectralparameterintheboundarycondition AT nabievim reconstructionofthesturmliouvilleoperatorwithnonseparatedboundaryconditionsandaspectralparameterintheboundarycondition AT ibadzadečg reconstructionofthesturmliouvilleoperatorwithnonseparatedboundaryconditionsandaspectralparameterintheboundarycondition AT nabievim reconstructionofthesturmliouvilleoperatorwithnonseparatedboundaryconditionsandaspectralparameterintheboundarycondition AT ibadzadečg reconstructionofthesturmliouvilleoperatorwithnonseparatedboundaryconditionsandaspectralparameterintheboundarycondition AT nabievim reconstructionofthesturmliouvilleoperatorwithnonseparatedboundaryconditionsandaspectralparameterintheboundarycondition AT ibadzadehchg vosstanovlenieoperatorašturmaliuvillâsnerazdelennymigraničnymiusloviâmiisospektralʹnymparametromvgraničnomuslovii AT nabievim vosstanovlenieoperatorašturmaliuvillâsnerazdelennymigraničnymiusloviâmiisospektralʹnymparametromvgraničnomuslovii AT ibadzadečg vosstanovlenieoperatorašturmaliuvillâsnerazdelennymigraničnymiusloviâmiisospektralʹnymparametromvgraničnomuslovii AT nabievim vosstanovlenieoperatorašturmaliuvillâsnerazdelennymigraničnymiusloviâmiisospektralʹnymparametromvgraničnomuslovii AT ibadzadečg vosstanovlenieoperatorašturmaliuvillâsnerazdelennymigraničnymiusloviâmiisospektralʹnymparametromvgraničnomuslovii AT nabievim vosstanovlenieoperatorašturmaliuvillâsnerazdelennymigraničnymiusloviâmiisospektralʹnymparametromvgraničnomuslovii |