Lie algebras associated with modules over polynomial rings
Let $\mathbb{K}$ be an algebraically closed field of characteristic zero. Let $V$ be a module over the polynomial ring $K[x, y]$. The actions of $x$ and $ y$ determine linear operators P and Q on V as a vector space over $\mathbb{K}$. Define the Lie algebra $L_V = K\langle P,Q\rangle \rightthreetim...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1773 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507633028431872 |
|---|---|
| author | Petravchuk, A. P. Sysak, K. Ya. Петравчук, А. П. Сисак, К. Я. |
| author_facet | Petravchuk, A. P. Sysak, K. Ya. Петравчук, А. П. Сисак, К. Я. |
| author_sort | Petravchuk, A. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:26:20Z |
| description | Let $\mathbb{K}$ be an algebraically closed field of characteristic zero. Let $V$ be a module over the polynomial ring $K[x, y]$.
The actions of $x$ and $ y$ determine linear operators P and Q on V as a vector space over $\mathbb{K}$. Define the Lie algebra
$L_V = K\langle P,Q\rangle \rightthreetimes V$ as the semidirect product of two abelian Lie algebras with the natural action of $\mathbb{K}\langle P,Q\rangle$ on $V$.
We show that if $\mathbb{K}[x, y]$-modules $V$ and $W$ are isomorphic or weakly isomorphic, then the corresponding associated Lie
algebras $L_V$ and $L_W$ are isomorphic. The converse is not true: we construct two $\mathbb{K}[x, y]$-modules $V$ and $W$ of dimension 4 that are not weakly isomorphic but their associated Lie algebras are isomorphic. We characterize such pairs of $\mathbb{K}[x, y]$-modules of arbitrary dimension over K. We prove that indecomposable modules $V$ and $W$ with $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathbb{K} V = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}KW \geq 7$
are weakly isomorphic if and only if their associated Lie algebras $L_V$ and $L_W$ are isomorphic. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.715, 512.554.31
А. П. Петравчук, К. Я. Сисак (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
АЛГЕБРИ ЛI, АСОЦIЙОВАНI З МОДУЛЯМИ
НАД КIЛЬЦЯМИ МНОГОЧЛЕНIВ
Let \BbbK be an algebraically closed field of characteristic zero. Let V be a module over the polynomial ring \BbbK [x, y].
The actions of x and y determine linear operators P and Q on V as a vector space over \BbbK . Define the Lie algebra
LV = \BbbK \langle P,Q\rangle \rightthreetimes V as the semidirect product of two abelian Lie algebras with the natural action of \BbbK \langle P,Q\rangle on V.
We show that if \BbbK [x, y]-modules V and W are isomorphic or weakly isomorphic, then the corresponding associated Lie
algebras LV and LW are isomorphic. The converse is not true: we construct two \BbbK [x, y]-modules V and W of dimension
4 that are not weakly isomorphic but their associated Lie algebras are isomorphic. We characterize such pairs of \BbbK [x, y]-
modules of arbitrary dimension over \BbbK . We prove that indecomposable modules V and W with \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK V = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK W \geq 7
are weakly isomorphic if and only if their associated Lie algebras LV and LW are isomorphic.
Пусть \BbbK — алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики и V — модуль над кольцом многочленов \BbbK [x, y].
Действие x и y определяет линейные операторы P и Q на V, как на векторном пространстве над \BbbK . Определим
алгебру Ли LV = \BbbK \langle P,Q\rangle \rightthreetimes V как полупрямое произведение двух абелевых алгебр Ли с естественным действием
\BbbK \langle P,Q\rangle на V. Доказано, что если \BbbK [x, y]-модули V и W изоморфны либо слабо изоморфны, то соответствующие
ассоциированные алгебры Ли LV и LW изоморфны. Обратное утверждение в общем случае неверно: построены два
\BbbK [x, y]-модуля V и W размерности 4, которые не являются слабо изоморфными, но их ассоциированные алгебры
Ли изоморфны. Приведена характеристика таких пар \BbbK [x, y]-модулей произвольной размерности над полем \BbbK .
Доказано, что неразложимые модули V и W такие, что \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK V = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK W \geq 7, слабо изоморфны тогда и только
тогда, когда их ассоциированные алгебры Ли LV и LW изоморфны.
1. Вступ. Нехай \BbbK — алгебраїчно замкнене поле характеристики 0 i V — модуль над кiльцем
многочленiв \BbbK [x, y]. Визначимо комутуючi лiнiйнi оператори P i Q на V, поклавши P (v) = x\cdot v
та Q(v) = y \cdot v для всiх v \in V. Навпаки, якщо P i Q — комутуючi лiнiйнi оператори на
V, то векторний простiр V може бути розглянутий як \BbbK [x, y]-модуль з операцiєю множення
f(x, y) \cdot v = f(P,Q)(v) для всiх v \in V та f(x, y) \in \BbbK [x, y].
Для кожного \BbbK [x, y]-модуля V побудуємо метабелеву алгебру Лi LV = \BbbK \langle P,Q\rangle \rightthreetimes V, яка
є зовнiшнiм напiвпрямим добутком абелевої алгебри Лi \BbbK \langle P,Q\rangle розмiрностi 2 та абелевої
алгебри Лi V з природною дiєю \BbbK \langle P,Q\rangle на V. Будемо говорити, що алгебра Лi LV асоцiйована
з \BbbK [x, y]-модулем V.
Модулi над кiльцями многочленiв вивчалися багатьма авторами: I. Гельфанд i В. Понома-
рьов [3] довели, що задача класифiкацiї скiнченновимiрних модулiв над \BbbK [x, y] мiстить задачу
класифiкацiї пар матриць з точнiстю до подiбностi.
Д. Квiллен [4] та А. Суслiн [5] вивчали проективнi модулi над полiномiальними кiльцями у
зв’язку з проблемою Серра.
Наша мета — вивчити спiввiдношення мiж скiнченновимiрними \BbbK [x, y]-модулями V та
вiдповiдними асоцiйованими алгебрами Лi LV .
Для кожного автоморфiзму \theta абелевої алгебри Лi \BbbK \langle P,Q\rangle такого, що
\theta (P ) = \alpha 11P + \alpha 12Q, \theta (Q) = \alpha 21P + \alpha 22Q, \alpha ij \in \BbbK ,
напiвпрямий добуток \BbbK \langle \theta (P ), \theta (Q)\rangle \rightthreetimes V iзоморфний LV . Вiдповiдне перетворення кiльця
\BbbK [x, y] є автоморфiзмом \BbbK [x, y], визначеним за правилом \theta (x) = \alpha 11x + \alpha 12y та \theta (y) =
= \alpha 21x+ \alpha 22y. Цей автоморфiзм визначає „пiдкручений” модуль V\theta з операцiєю множення на
c\bigcirc А. П. ПЕТРАВЧУК, К. Я. СИСАК, 2017
1232 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
АЛГЕБРИ ЛI, АСОЦIЙОВАНI З МОДУЛЯМИ НАД КIЛЬЦЯМИ МНОГОЧЛЕНIВ 1233
векторному просторi V :
x \circ v = \theta (x) \cdot v та y \circ v = \theta (y) \cdot v для всiх v \in V.
Модулi V та V\theta називаються слабко iзоморфними; це поняття в матричнiй формi вивчалося
Г. Белiцьким, Р. Лiпянським та В. Сергейчуком [2]. У твердженнi 1 стверджується, що якщо
\BbbK [x, y]-модулi V та W iзоморфнi (або навiть слабко iзоморфнi), то асоцiйованi алгебри Лi
LV та LW iзоморфнi. Обернене твердження в загальному випадку не виконується: в лемi 3
наведено приклад не слабко iзоморфних \BbbK [x, y]-модулiв V, W з iзоморфними асоцiйованими
алгебрами Лi LV та LW . Однак якщо V i W нерозкладнi та \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK V = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK W \geq 7, то за
теоремою 2 модулi V i W слабко iзоморфнi тодi i лише тодi, коли асоцiйованi алгебри Лi LV
i LW iзоморфнi.
Теорема 1 мiстить характеризацiю таких пар \BbbK [x, y]-модулiв (V,W ), якi не є слабко iзо-
морфними, але їхнi асоцiйованi алгебри Лi iзоморфнi. Це показує, що задача класифiкацiї
скiнченновимiрних алгебр Лi вигляду L = B \rightthreetimes A з абелевим iдеалом A та двовимiрною абе-
левою пiдалгеброю B еквiвалентна до задачi класифiкацiї скiнченновимiрних \BbbK [x, y]-модулiв
з точнiстю до слабкого iзоморфiзму. На думку авторiв, остання задача є дикою. Дикiсть задачi
класифiкацiї деяких класiв метабелевих алгебр Лi була встановлена Г. Белiцьким, В. Бондарен-
ком, Р. Лiпянським, В. Плахотнiком та В. Сергейчуком [1, 2].
Далi основне поле \BbbK алгебраїчно замкнене характеристики нуль. Всi алгебри Лi та модулi
над \BbbK [x, y], якi ми розглядаємо, скiнченновимiрнi над \BbbK .
Нехай L1, L2 — алгебри Лi над полем \BbbK . Нехай \varphi : L1 \rightarrow \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK L2 — гомоморфiзм алгебр
Лi, де \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK L2 — алгебра Лi усiх \BbbK -диференцiювань L2. Зовнiшнiй напiвпрямий добуток L1
та L2
\bigl(
позначається L1 \rightthreetimes \varphi L2 або L1 \rightthreetimes L2
\bigr)
— це векторний простiр L1 \oplus L2 з операцiєю\bigl[
(a1, b1), (a2, b2)
\bigr]
=
\bigl(
[a1, a2], D1(b2) - D2(b1)
\bigr)
,
де D1 := \varphi (a1), D2 := \varphi (a2).
Якщо алгебра Лi L мiстить iдеал N i пiдалгебру B таку, що L = N +B та N \cap B = 0, то
L — внутрiшнiй напiвпрямий добуток алгебр Лi B та N (пишемо L = B \rightthreetimes N ) з природним
гомоморфiзмом алгебри Лi B в алгебру Лi \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}\BbbK N.
Нехай W — пiдпростiр векторного простору V над полем \BbbK . Елементи v1, . . . , vn \in V
називаються лiнiйно незалежними над W , якщо v1+W, . . . , vn+W лiнiйно незалежнi в фактор-
просторi V/W. Якщо V та W — iзоморфнi \BbbK [x, y]-модулi, то пишемо V \simeq W.
2. \BbbK [\bfitx , \bfity ]-модулi з iзоморфними асоцiйованими алгебрами Лi. Г. Белiцький, Р. Лiпян-
ський та В. Сергейчук [2] розглядали поняття слабкiше, нiж подiбнiсть матричних пар. Їхнє
поняття у випадку комутуючих матриць можна сформулювати на мовi \BbbK [x, y]-модулiв таким
чином. Нехай \theta — лiнiйний автоморфiзм кiльця многочленiв \BbbK [x, y], визначений лiнiйними
однорiдними многочленами, i V\theta — \BbbK [x, y]-модуль, визначений вище.
Означення 1. \BbbK [x, y]-модулi V та W називаються слабко iзоморфними, якщо iснує послi-
довнiсть \BbbK [x, y]-модулiв V := V1, V2, . . . , Vk := W така, що або Vi \simeq Vi+1, або Vi+1 = (Vi)\theta i
для деякого лiнiйного автоморфiзму \theta i \in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\BbbK [x, y]), i = 1, 2, . . . , k.
Кожний слабкий iзоморфiзм є вiдношенням еквiвалентностi на класi всiх \BbbK [x, y]-модулiв.
Зрозумiло, що iзоморфнi \BbbK [x, y]-модулi є слабко iзоморфними. Обернене твердження, як пока-
зує наступний приклад, є хибним.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1234 А. П. ПЕТРАВЧУК, К. Я. СИСАК
Приклад 1. Нехай V — n-вимiрний векторний простiр над полем \BbbK . Виберемо базис у
V над \BbbK i вiзьмемо довiльну ненульову (n \times n)-матрицю A з коефiцiєнтами в \BbbK . Позначимо
через V \BbbK [x, y]-модуль над векторним простором V з дiєю x i y на V, визначеною матричною
парою (A, 0n), де 0n — нульова (n\times n)-матриця. Нехай \theta \in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\BbbK [x, y]) — такий автоморфiзм,
що \theta (x) = y, \theta (y) = x. Визначимо дiю \BbbK [x, y] на V\theta матричною парою (0n, A). Тодi модулi V
та V\theta не iзоморфнi, оскiльки пари (A, 0n) та (0n, A) не є подiбними.
Зауваження 1. \BbbK [x, y]-модулi V та W слабко iзоморфнi тодi i лише тодi, коли iснує
\BbbK [x, y]-модуль U такий, що U \simeq V та W = U\theta для деякого лiнiйного автоморфiзму \theta кiльця
\BbbK [x, y].
Твердження 1. Якщо V та W — слабко iзоморфнi модулi над кiльцем \BbbK [x, y], то вiдпо-
вiднi асоцiйованi алгебри Лi LV та LW iзоморфнi.
Доведення. Iзоморфiзм \varphi \BbbK [x, y]-модулiв V та W можна продовжити до iзоморфiзму \varphi
алгебр Лi LV = \BbbK \langle P,Q\rangle \rightthreetimes V та LW = \BbbK \langle S, T \rangle \rightthreetimes W за правилом \varphi (P ) = S, \varphi (Q) = T i
далi за лiнiйнiстю. Припустимо, що модулi V та W слабко iзоморфнi, але не iзоморфнi. Тодi
iснує \BbbK [x, y]-модуль U такий, що U \simeq V та U\theta = W для деякого лiнiйного автоморфiзму
\theta \in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\BbbK [x, y]), заданого невиродженою (2\times 2)-матрицею [aij ] над \BbbK :
\theta (x) = \alpha 11x+ \alpha 12y, \theta (y) = \alpha 21x+ \alpha 22y.
Достатньо показати, що алгебри Лi LU та LU\theta
iзоморфнi. Запишемо LU = \BbbK \langle T1, T2\rangle \rightthreetimes U, де
T1, T2 : U \rightarrow U — комутуючi лiнiйнi оператори, якi визначають дiю x та y вiдповiдно на U.
Тодi LU\theta
= \BbbK \langle \theta (T1), \theta (T2)\rangle \rightthreetimes U, де \theta (T1) = \alpha 11T1 + \alpha 12T2 i \theta (T2) = \alpha 21T1 + \alpha 22T2. Легко
бачити, що \BbbK \langle \theta (T1), \theta (T2)\rangle = \BbbK \langle T1, T2\rangle . Тому LU та LU\theta
— це одна i та ж алгебра Лi.
Твердження 1 доведено.
Твердження 2. Нехай LV = \BbbK \langle P,Q\rangle \rightthreetimes V та LW = \BbbK \langle S, T \rangle \rightthreetimes W — алгебри Лi, асоцiйованi
з \BbbK [x, y]-модулями V та W вiдповiдно. Якщо \varphi — iзоморфiзм алгебр Лi LV i LW такий, що
\varphi (V ) =W, то звуження \varphi на V є слабким iзоморфiзмом модулiв V та W.
Доведення. Нехай \varphi (P ) = \alpha 1S + \alpha 2T + w1 i \varphi (Q) = \beta 1S + \beta 2T + w2, де \alpha i, \beta j \in \BbbK ,
w1, w2 \in W. Розглянемо слабко iзоморфний модуль W\theta з автоморфiзмом \theta , визначеним за
правилом \theta (x) = \alpha 1x+ \alpha 2y та \theta (y) = \beta 1x+ \beta 2y. Ми можемо вважати, що \varphi (P ) = S + w1 та
\varphi (Q) = T +w2. Тодi звуження \varphi на V є iзоморфiзмом \BbbK [x, y]-модуля V на \BbbK [x, y]-модуль W\theta .
Твердження 2 доведено.
Лема 1. Нехай V та W — \BbbK [x, y]-модулi, якi мають скiнченну розмiрнiсть над \BbbK . Нехай
асоцiйованi алгебри Лi LV = \BbbK \langle P,Q\rangle \rightthreetimes V i LW = \BbbK \langle S, T \rangle \rightthreetimes W iзоморфнi i \varphi : LV \rightarrow LW —
який-небудь iзоморфiзм цих алгебр Лi. Позначимо W1 := \varphi (V )\cap W, V1 := \varphi - 1(W1). Тодi V1 —
пiдмодуль в V i W1 — пiдмодуль в W. Бiльш того:
(i) якщо \varphi (V ) +W = LW , то \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK V/V1 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK W/W1 = 2;
(ii) якщо \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK (\varphi (V ) +W )/W = 1, то \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK V/V1 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK W/W1 = 1.
Доведення. Маємо канонiчний iзоморфiзм \BbbK [x, y]-модулiв
\varphi (V ) +W/W \simeq \varphi (V )/(\varphi (V ) \cap W ) = \varphi (V )/W1. (1)
Нехай \varphi (V ) +W = LW . Оскiльки \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK LW /W = 2, то з (1) випливає, що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK \varphi (V )/W1 =
= 2. Використовуючи iзоморфiзм \varphi - 1, отримуємо рiвнiсть \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK V/V1 = 2. З \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK LV /V1 =
= 4 випливає, що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK LW /W1 = 4. Але тодi \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK W/W1 = 2. Твердження (ii) доводиться
аналогiчно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
АЛГЕБРИ ЛI, АСОЦIЙОВАНI З МОДУЛЯМИ НАД КIЛЬЦЯМИ МНОГОЧЛЕНIВ 1235
Лема 2. Нехай V та W — модулi над кiльцем \BbbK [x, y], якi мають скiнченну розмiрнiсть
над \BbbK . Нехай LV = \BbbK \langle P,Q\rangle \rightthreetimes V i LW = \BbbK \langle S, T \rangle \rightthreetimes W — вiдповiднi асоцiйованi алгебри Лi. Якщо
iснує iзоморфiзм алгебр Лi \varphi : LV \rightarrow LW такий, що \varphi (\BbbK \langle P,Q\rangle )+W = LW , то \BbbK [x, y]-модулi
V i W слабко iзоморфнi.
Доведення. Оскiльки \varphi iн’єктивне i \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK V = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK W < \infty , то легко бачити, що з
\varphi (V ) \subseteq W випливає \varphi (V ) =W. З урахуванням твердження 2 можемо вважати, що \varphi (V ) \not \subseteq W.
Оскiльки \varphi (\BbbK \langle P,Q\rangle ) +W = LW , то ми можемо також вважати, що
\varphi (P ) = S + w1, \varphi (Q) = T + w2
для деяких w1, w2 \in W (якщо необхiдно, то перейти до деякого слабко iзоморфного моду-
ля W\theta ).
Розглянемо два випадки:
Випадок 1: \varphi (V ) +W = LW . Запишемо W1 := \varphi (V ) \cap W i V1 := \varphi - 1(W1). За лемою 1
V1 – пiдмодуль \BbbK [x, y]-модуля V з \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK V/V1 = 2 i W1 — пiдмодуль у W з \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK W/W1 = 2.
Тому V = \BbbK \langle v1, v2\rangle +V1 для деяких v1, v2 \in V \setminus V1. Нехай \varphi (v1) = \alpha 11S+\alpha 12T +u1, \varphi (v2) =
= \alpha 21S + \alpha 22T + u2 для деяких \alpha ij \in \BbbK , i, j = 1, 2, i u1, u2 \in W. Оскiльки \varphi (V ) +W = LW ,
то матриця [\alpha ij ] невироджена. Тому ми можемо вибрати елементи v1 та v2 таким чином, щоб
виконувались умови
\varphi (v1) = S + u1, \varphi (v2) = T + u2.
Оскiльки [P,Q] = 0 в алгебрi Лi LV i \varphi — iзоморфiзм алгебр Лi, то
0 = \varphi
\bigl(
[P,Q]
\bigr)
=
\bigl[
\varphi (P ), \varphi (Q)
\bigr]
= [S + w1, T + w2] = S(w2) - T (w1),
i тому
T (w1) = S(w2). (2)
Аналогiчно з рiвностi [v1, v2] = 0 в LV випливає, що
S(u2) = T (u1). (3)
Знайдемо образи добуткiв елементiв з LV в алгебрi Лi LW :
\varphi
\bigl(
[P, v1]
\bigr)
= [S + w1, S + u1] = S(u1) - S(w1) = S(u1 - w1), (4)
\varphi
\bigl(
[Q, v2]
\bigr)
= [T + w2, T + u2] = T (u2) - T (w2) = T (u2 - w2). (5)
Використовуючи спiввiдношення (2) та (3), отримуємо також
\varphi
\bigl(
[P, v2]
\bigr)
= [S + w1, T + u2] = S(u2) - T (w1) = S(u2 - w2), (6)
\varphi
\bigl(
[Q, v1]
\bigr)
= [T + w2, S + u1] = T (u1) - S(w2) = T (u1 - w1). (7)
З рiвностi [V, V1] = 0 в алгебрi Лi LV випливає, що
\varphi
\bigl(
[V, V1]
\bigr)
= 0 =
\bigl[
\varphi (V ), \varphi (V1)
\bigr]
= [\varphi (V ),W1].
Оскiльки [W,W1] = 0 i LW = \varphi (V )+W, то [LW ,W1] = 0, звiдки випливає рiвнiсть [LV , V1] =
= 0. Як наслiдок з останнiх двох рiвностей отримаємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1236 А. П. ПЕТРАВЧУК, К. Я. СИСАК
[P, V1] = [Q,V1] = 0, [S,W1] = [T,W1] = 0.
Покажемо, що лiнiйнi оператори P,Q дiють тривiально на фактор-модулi V/V1. Розгляне-
мо, наприклад, елемент P (v1) = [P, v1]. Оскiльки P (v1) \in V i \varphi (P (v1)) \in W (див. (4)), то
\varphi (P (v1)) \in W1. Далi, з рiвностi V1 = \varphi - 1(W1) отримаємо включення P (v1) \in V1. Використо-
вуючи спiввiдношення (5) – (7), можна довести також, що P (v2), Q(v1), Q(v2) \in V1.
Визначимо лiнiйне вiдображення \widehat \varphi : V \rightarrow W за правилом \widehat \varphi (v) = \varphi (v) для v \in V1 i\widehat \varphi (v1) = u1 - w1, \widehat \varphi (v2) = u2 - w2. Легко перевiрити, що для всiх v \in V1 виконується\widehat \varphi (x \cdot v) = \widehat \varphi (P (v)) = 0 = S(\varphi (v)) = x \cdot \widehat \varphi (v),
\widehat \varphi (x \cdot v1) = \widehat \varphi (P (v1)) = \varphi (P (v1)) = S(u1 - w1) = x \cdot (u1 - w1) = x \cdot \widehat \varphi (v1).
Аналогiчнi спiввiдношення виконуються для x \cdot v2, y \cdot v1 та y \cdot v2. Тому лiнiйне вiдображення\widehat \varphi є гомоморфiзмом \BbbK [x, y]-модуля V на \BbbK [x, y]-модуль W.
Покажемо, що \widehat \varphi — сюр’єктивний гомоморфiзм. Достатньо перевiрити, що u1 - w1 та
u2 - w2 лiнiйно незалежнi над W1 у векторному просторi W. Припустимо протилежне, нехай
\alpha (u1 - w1) + \beta (u2 - w2) \in W1 для деяких коефiцiєнтiв \alpha , \beta \in \BbbK , принаймнi один з яких
ненульовий. Тодi
\varphi (\alpha (v1 - P ) + \beta (v2 - Q)) = \alpha (u1 - w1) + \beta (u2 - w2) \in W1,
звiдки \alpha (v1 - P )+\beta (v2 - Q) \in V1, i тому \alpha P+\beta Q \in V, що неможливо, оскiльки \BbbK \langle P,Q\rangle \cap V = 0.
Ми довели, що \widehat \varphi є сюр’єктивним. Оскiльки модулi V i W мають однакову розмiрнiсть над \BbbK ,
то вiдображення \widehat \varphi є iзоморфiзмом \BbbK [x, y]-модулiв V та W.
Випадок 2: \varphi (V )+W \not = LW . Тодi \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK \varphi (V )+W/W = 1, i за лемою 1 W1 = \varphi (V )\cap W є
пiдмодулем в W з \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK W/W1 = 1. Аналогiчно V1 = \varphi - 1(W1) — пiдмодуль в V з \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK V/V1 =
= 1. Вiзьмемо довiльний v0 \in V \setminus V1. Тодi V = \BbbK \langle v0\rangle +V1 i \varphi (v0) = \alpha S+\beta T +w0 для деяких
\alpha , \beta \in \BbbK , w0 \in W. Як i ранiше, не втрачаючи загальностi, можна вважати, що \varphi (P ) = S +w1,
\varphi (Q) = T + w2. Тодi
\varphi
\bigl(
[P, v0]
\bigr)
=
\bigl[
\varphi (P ), \varphi (v0)
\bigr]
= [S + w1, \alpha S + \beta T + w0] = S(w0) - \alpha S(w1) - \beta T (w1),
\varphi
\bigl(
[Q, v0]
\bigr)
=
\bigl[
\varphi (Q), \varphi (v0)
\bigr]
= [T + w2, \alpha S + \beta T + w0] = T (w0) - \alpha S(w2) - \beta T (w2).
Використовуючи (2), одержуємо
\varphi
\bigl(
[P, v0]
\bigr)
= S(w0 - \alpha w1 - \beta w2), \varphi
\bigl(
[Q, v0]
\bigr)
= S(w0 - \alpha w1 - \beta w2). (8)
З цих рiвностей випливає, що \varphi (P (v0)), \varphi (Q(v0)) \in W. Так само, як у випадку 1, можна
показати, що P (v0), Q(v0) \in V1. Визначимо лiнiйне вiдображення \widetilde \varphi : V \rightarrow W за правилом\widetilde \varphi (v) = \varphi (v) для v \in V1 та \widetilde \varphi (v0) = w0 - \alpha w1 - \beta w2. За спiввiдношенням (8) \widetilde \varphi — гомоморфiзм
\BbbK [x, y]-модулiв (зазначимо, що [P, v1], [Q, v1] \in V1 для всiх v1 \in V1).
Покажемо, що w0 - \alpha w1 - \beta w2 \not \in W1. Припустимо протилежне. Тодi iснує v \in V1 такий,
що w0 - \alpha w1 - \beta w2 = \varphi (v). Звiдси отримуємо
\varphi (v0 - v) = \alpha S + \beta T + w0 - w0 + \alpha w1 + \beta w2 = \alpha (S + w1) + \beta (T + w2) = \varphi (\alpha P + \beta Q).
Оскiльки \varphi — iзоморфiзм алгебр Лi, то з останнiх спiввiдношень випливає, що v0 - v = \alpha P+\beta Q.
Тодi v0 - v \in V \cap \BbbK \langle P,Q\rangle = 0. Звiдси v = v0 i v0 \in V1, що суперечить вибору v0. Отже,
w0 - \alpha w1 - \beta w2 \not \in W1 i \widetilde \varphi — сюр’єктивний гомоморфiзм, а тому iзоморфiзм \BbbK [x, y]-модулiв.
Лему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
АЛГЕБРИ ЛI, АСОЦIЙОВАНI З МОДУЛЯМИ НАД КIЛЬЦЯМИ МНОГОЧЛЕНIВ 1237
Лема 3. Нехай V = \BbbK \langle v1, v2, a1, a2\rangle i W = \BbbK \langle w1, w2, b1, b2\rangle — модулi над кiльцем \BbbK [x, y]
з такою дiєю x та y :
1) xv1 = a1, xv2 = a2, iншi добутки x, y з базисними елементами V дорiвнюють 0;
2) xw1 = b1, yw1 = b2, iншi добутки x, y з базисними елементами W дорiвнюють 0.
Тодi \BbbK [x, y]-модулi V та W не є слабко iзоморфними, але вiдповiднi асоцiйованi алгебри Лi
LV та LW iзоморфнi.
Доведення. Анулятор \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}W (\BbbK [x, y]) = \{ w \in W | \BbbK [x, y] \cdot w = 0\} кiльця \BbbK [x, y] в W є
пiдмодулем модуля W. Тодi \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}W (\BbbK [x, y]) = \BbbK \langle w2, b1, b2\rangle i
\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}W\theta
(\BbbK [x, y]) = \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}W (\BbbK [x, y]) = \BbbK \langle w2, b1, b2\rangle
для довiльного лiнiйного автоморфiзму \theta \in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\BbbK [x, y]). Покажемо, що \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}V (\BbbK [x, y]) =
= \BbbK \langle a1, a2\rangle . Вiзьмемо довiльний елемент v \in V i запишемо v = \gamma 1v1 + \gamma 2v2 + z, де \gamma 1, \gamma 2 \in \BbbK
i z \in \BbbK \langle a1, a2\rangle . Якщо v \in \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}V (\BbbK [x, y]), то x \cdot v = 0, звiдки \gamma 1a1 + \gamma 2a2 = 0, оскiльки
x \cdot z = 0. Елементи a1, a2 лiнiйно незалежнi над \BbbK i тому \gamma 1 = \gamma 2 = 0, тобто v = z \in \BbbK \langle a1, a2\rangle .
Зрозумiло, що \BbbK \langle a1, a2\rangle \subseteq \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}V (\BbbK [x, y]). Отже, \BbbK \langle a1, a2\rangle = \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}V (\BbbK [x, y]).
Тепер припустимо, що \BbbK [x, y]-модулi V i W слабко iзоморфнi. Тодi iснує \BbbK [x, y]-модуль
U такий, що V \simeq U i W = U\theta для деякого лiнiйного автоморфiзму \theta кiльця \BbbK [x, y]. Оскiльки
V \simeq U, то \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}U (\BbbK [x, y]) = 2. Легко бачити, що \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}U (\BbbK [x, y]) = \mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}U\theta
(\BbbK [x, y]). Тодi
\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}W (\BbbK [x, y]) має розмiрнiсть два над \BbbK , що неможливо. Отримана суперечнiсть показує, що
V та W не є слабко iзоморфними.
Нехай LV та LW — алгебри Лi, якi асоцiйованi з \BbbK [x, y]-модулями V i W вiдповiдно.
Визначимо лiнiйне вiдображення \varphi : LV \rightarrow LW за правилом
\varphi (P ) = - w1, \varphi (Q) = - w2, \varphi (v1) = S, \varphi (v2) = T, \varphi (a1) = b1, \varphi (a2) = b2.
Тодi
\varphi ([P, v1]) = \varphi (P (v1)) = \varphi (a1) = b1 = S(w1) =
= [S,w1] = [ - w1, S] = [\varphi (P ), \varphi (v1)],
\varphi ([Q, v1]) = \varphi (Q(v1)) = \varphi (0) = 0 = S(w2) = [ - w2, S] = [\varphi (Q), \varphi (v1)].
Аналогiчно перевiряється, що \varphi ([P, v2]) =
\bigl[
\varphi (P ), \varphi (v2)
\bigr]
та \varphi ([Q, v2]) =
\bigl[
\varphi (Q), \varphi (v2)
\bigr]
.
Оскiльки iншi добутки x i y з базисними елементами iз V дорiвнюють нулю, то, очевидно,
\varphi — iзоморфiзм алгебр Лi LV та LW .
Лему 3 доведено.
Лема 4. Нехай V i W — модулi над кiльцем \BbbK [x, y], якi скiнченновимiрнi над \BbbK i не є
слабко iзоморфними. Нехай LV = \BbbK \langle P,Q\rangle \rightthreetimes V i LW = \BbbK \langle S, T \rangle \rightthreetimes W — їхнi асоцiйованi алгебри
Лi. Якщо iснує iзоморфiзм \varphi : LV \rightarrow LW алгебр Лi такий, що \varphi (\BbbK \langle P,Q\rangle ) \subseteq W, то V = V0\oplus V2
i W = W0 \oplus W2, де V2 i W2 — iзоморфнi \BbbK [x, y]-модулi з тривiальною дiєю кiльця \BbbK [x, y] на
них, V0 i W0 — не слабко iзоморфнi \BbbK [x, y]-модулi з \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK V0 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK W0 \leq 6.
Доведення. Виконується рiвнiсть \varphi (V ) +W = LW . Дiйсно, якщо це не так, то
\varphi (LV ) \subseteq \varphi (\BbbK \langle P,Q\rangle ) + \varphi (V ) \subseteq \varphi (V ) +W \subset LW ,
що неможливо, оскiльки \varphi (LV ) = LW . Запишемо W1 := \varphi (V ) \cap W i V1 := \varphi - 1(W1). За
лемою 1 W1 — пiдмодуль корозмiрностi 2 в W i V1 — пiдмодуль корозмiрностi 2 в V. Вiзьмемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1238 А. П. ПЕТРАВЧУК, К. Я. СИСАК
довiльнi v1, v2 \in V \setminus V1 такi, що V = \BbbK \langle v1, v2\rangle + V1. За умовою леми \varphi (\BbbK \langle P,Q\rangle ) \subseteq W, тому
\varphi (P ) = w1 i \varphi (Q) = w2 для деяких w1, w2 \in W. Оскiльки \varphi (V ) +W = LW , то v1, v2 \in V
можна вибрати так, щоб виконувалися рiвностi \varphi (v1) = S+u1 i \varphi (v2) = T +u2, де u1, u2 \in W.
Оскiльки [v1, v2] = 0, то
\varphi
\bigl(
[v1, v2]
\bigr)
=
\bigl[
\varphi (v1), \varphi (v2)
\bigr]
= [S + u1, T + u2] = S(u2) - T (u1) = 0,
звiдки випливає, що S(u2) = T (u1). Аналогiчно отримуємо
\varphi
\bigl(
[P, v1]
\bigr)
=
\bigl[
\varphi (P ), \varphi (v1)
\bigr]
= [w1, S + u1] = - S(w1),
\varphi ([P, v2]) = [\varphi (P ), \varphi (v2)] = [w1, T + u2] = - T (w1),
\varphi
\bigl(
[Q, v1]
\bigr)
=
\bigl[
\varphi (Q), \varphi (v1)
\bigr]
= [w2, S + u1] = - S(w2),
\varphi
\bigl(
[Q, v2]
\bigr)
=
\bigl[
\varphi (Q), \varphi (v2)
\bigr]
= [w2, T + u2] = - T (w2).
З [v1, V1] = [v2, V1] = 0 випливає, що
\varphi
\bigl(
[v1, V1]
\bigr)
= [S + u1,W1] = [S,W1] = 0, \varphi
\bigl(
[v2, V1]
\bigr)
= [T + u2,W1] = [T,W1] = 0.
Звiдси W1 \subseteq Z(LW ), i тому V1 = \varphi - 1(W1) \subseteq Z(LV ), де Z(LV ), Z(LW ) — центри алгебр Лi
LV та LW вiдповiдно.
Покажемо, що похiдна пiдалгебра L\prime
V алгебри Лi LV має розмiрнiсть \leq 4 над \BbbK . Всi
g1, g2 \in LV зображуються у виглядi
g1 = \alpha 1P + \beta 1Q+ \gamma 1v1 + \delta 1v2 + u3, g2 = \alpha 2P + \beta 2Q+ \gamma 2v1 + \delta 2v2 + u4,
де \alpha i, \beta i, \gamma i, \delta i \in \BbbK , i = 1, 2, i u3, u4 \in V1. Маємо
[g1, g2] = \alpha 11[P, v1] + \alpha 12[P, v2] + \alpha 21[Q, v1] + \alpha 22[Q, v2]
для деяких \alpha ij \in \BbbK , i, j = 1, 2. Очевидно, L\prime
V — \BbbK -лiнiйна оболонка елементiв [P, v1], [P, v2],
[Q, v1], [Q, v2], i тому \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK L
\prime
V \leq 4.
Розглянемо пiдалгебру V0 алгебри Лi LV , породжену v1, v2 та їхнiми образами пiд дiєю
операторiв P i Q. Легко показати, що V0 є пiдмодулем \BbbK [x, y]-модуля V i V0 — лiнiйна оболонка
елементiв v1, v2, P (v1), P (v2), Q(v1) i Q(v2), i тому \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK V0 \leq 6. Вiзьмемо довiльний
пiдпростiр V2 векторного простору V1 такий, що V1 = (V0 \cap V1) \oplus V2. Легко бачити, що
V = V0 \oplus V2 i \BbbK [x, y] дiє тривiально на V2, оскiльки V2 \subset V1 i [P, V1] = [Q,V1] = 0. Отже,
V = V0 \oplus V2 — пряма сума \BbbK [x, y]-пiдмодулiв.
Аналогiчно розглянемо пiдалгебру W0 алгебри Лi LW , породжену елементами w1, w2 i їхнi-
ми образами пiд дiєю операторiв S i T. Зрозумiло, що L\prime
W збiгається з \BbbK -лiнiйною оболонкою
елементiв [S,w1], [S,w2], [T,w1] та [T,w2]. Оскiльки LV та LW — iзоморфнi алгебри Лi, то
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK L
\prime
V = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK L
\prime
W \leq 4. Крiм того, W0 — пiдмодуль в W i \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK V0 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK W0 \leq 6. Вiзьмемо
довiльне пряме доповнення W2 до W0\cap W1 в \BbbK [x, y]-модулi W1. Тодi W =W0\oplus W2 — пряма су-
ма пiдмодулiв i \BbbK [x, y] дiє на W2 тривiально, тому що W2 \subset W1. Оскiльки \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK V2 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK W2,
то V2 i W2 — iзоморфнi \BbbK [x, y]-модулi. За умовою леми \BbbK [x, y]-модулi V та W не є слабко
iзоморфними, тому пiдмодулi V0 та W0 також не є слабко iзоморфними.
Лему 4 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
АЛГЕБРИ ЛI, АСОЦIЙОВАНI З МОДУЛЯМИ НАД КIЛЬЦЯМИ МНОГОЧЛЕНIВ 1239
Лема 5. Нехай V, W — \BbbK [x, y]-модулi, якi скiнченновимiрнi над \BbbK , i LV = \BbbK \langle P,Q\rangle \rightthreetimes V,
LW = \BbbK \langle S, T \rangle \rightthreetimes W — вiдповiднi асоцiйованi алгебри Лi. Якщо iснує iзоморфiзм \varphi : LV \rightarrow LW
алгебр Лi такий, що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK (\varphi (V ) +W/W ) = 1 i \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK (\varphi (\BbbK \langle P,Q\rangle ) +W/W ) = 1, то \BbbK [x, y]-
модулi V i W слабко iзоморфнi.
Доведення. Запишемо W1 := \varphi (V ) \cap W i V1 := \varphi - 1(W1). За лемою 1 W1 — пiдмодуль
корозмiрностi 1 у W i V1 — пiдмодуль корозмiрностi 1 у V. Вiзьмемо довiльний v1 \in V \setminus V1.
Тодi \BbbK \langle v1\rangle + V1 = V. Переходячи до слабко iзоморфного модуля W\theta , якщо потрiбно, можна
вiдразу вважати, що \varphi (v1) = S + u1 для деякого u1 \in W. З умови \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK (\BbbK \langle P,Q\rangle +W )/W = 1
випливає, що \varphi (\BbbK \langle P,Q\rangle ) \cap W \not = 0, i тому \varphi (\alpha P + \beta Q) = w1 \in W для деяких \alpha , \beta \in \BbbK
i ненульового w1 \in W. Переходячи до слабко iзоморфного модуля V\sigma , якщо потрiбно, ми
можемо вважати, що \varphi (P ) = w1, i тодi одержимо
\varphi (v1) = S + u1, \varphi (P ) = w1. (9)
Оскiльки V — абелева пiдалгебра алгебри Лi LV , то [v1, V1] = 0. Використовуючи рiвнiсть
\varphi (V1) =W1, отримуємо
\varphi
\bigl(
[v1, V1]
\bigr)
=
\bigl[
\varphi (v1), \varphi (V1)
\bigr]
= [S + u1,W1] = [S,W1] = 0.
Аналогiчно, з [w1,W1] = 0 випливає рiвнiсть \varphi - 1([w1,W1]) = [P, V1] = 0. Оскiльки P \not \in V1,
то \varphi (P ) = w1 \not \in W1. Тому W = \BbbK \langle w1\rangle +W1.
Без обмеження загальностi можемо вважати, що u1 \in \BbbK \langle w1\rangle , де u1 визначено в (9). Дiйсно,
u1 = \alpha 1w1 + w2 для деяких \alpha 1 \in \BbbK та w2 \in W1. Якщо w2 \not = 0, то ми можемо взяти
v1 - v2 замiсть v1 для деякого v2 \in V1 такого, що \varphi (v2) = w2 (це можливо, тому що \varphi :
V1 \rightarrow W1 — бiєкцiя). Тому далi вважаємо, що u1 = \alpha 1w1. Далi, \varphi (Q) = \gamma S+\delta T+u2 для деяких
\gamma , \delta \in \BbbK , u2 \in W. Зазначимо, що \delta \not = 0, оскiльки iнакше \varphi (\BbbK \langle P,Q, v1, V1\rangle ) \subseteq \BbbK \langle S\rangle +W \not = LW ,
що неможливо. Не втрачаючи загальностi можна вважати, що \varphi (Q) = T + u3 для деякого
u3 \in W
\bigl(
перейти до модуля W\pi , якщо це необхiдно, де \pi (x) = x, \pi (y) = y/\delta - \gamma x/\delta
\bigr)
. Бiльш
того, замiнюючи Q на Q\prime = Q - \mu P для деякого \mu \in \BbbK та використовуючи \varphi (P ) = w1, можемо
вважати, що u3 \in W1. Це означає перехiд до модуля V\rho з автоморфiзмом \rho , визначеним за
правилом \rho (x) = x та \rho (y) = y - \mu x. Останнi два автоморфiзми зберiгають спiввiдношення (9),
тому ми можемо послiдовно їх використати.
Iз спiввiдношень
0 = \varphi
\bigl(
[P,Q]
\bigr)
=
\bigl[
\varphi (P ), \varphi (Q)
\bigr]
= [w1, T + u3] = - T (w1)
випливає, що
T (w1) = 0. (10)
Далi, виконуються рiвностi
\varphi
\bigl(
[P, v1]
\bigr)
=
\bigl[
\varphi (P ), \varphi (v1)
\bigr]
= [w1, S + u1] = - S(w1), (11)
\varphi
\bigl(
[Q, v1]
\bigr)
=
\bigl[
\varphi (Q), \varphi (v1)
\bigr]
= [T + u3, S + u1] = T (u1) - S(u3) = 0. (12)
Остання рiвнiсть у (12) виконується тому, що T (u1) = 0 (з огляду на (10)) i S(u3) = 0,
тому що u3 \in W1 та [S,W1] = 0. Оскiльки \varphi
\bigl(
[Q, v1]
\bigr)
= 0, то [Q, v1] = 0. Покажемо, що
P (v1) \in V1. Справдi, iз (11) випливає, що \varphi (P (v1)) = - S(w1) \in W. Бiльш того, P (v1) \in V,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1240 А. П. ПЕТРАВЧУК, К. Я. СИСАК
i тому \varphi
\bigl(
P (v1)
\bigr)
\in \varphi (V ). Тодi \varphi
\bigl(
P (v1)
\bigr)
\in W1 i P (v1) \in \varphi - 1(W1) = V1. Визначимо лiнiйне
вiдображення \psi : V \rightarrow W за правилом \psi (v) = \varphi (v) для v \in V1 та \psi (v1) = - w1. Тодi
звуження \psi на V1 є iзоморфiзмом \BbbK [x, y]-модулiв V1 та W1. Використовуючи (11) i (12),
неважко переконатися, що \psi — iзоморфiзм \BbbK [x, y]-модулiв V та W.
Лему 5 доведено.
3. Основнi теореми.
Теорема 1. Нехай V i W — \BbbK [x, y]-модулi, якi скiнченновимiрнi над \BbbK , i LV = \BbbK \langle P,Q\rangle \rightthreetimes
\rightthreetimes V, LW = \BbbK \langle S, T \rangle \rightthreetimes W — асоцiйованi з ними алгебри Лi. Нехай LV i LW iзоморфнi. Тодi
виконується одна з таких умов:
(i) V i W — слабко iзоморфнi \BbbK [x, y]-модулi;
(ii) V = V0 \oplus V2, W = W0 \oplus W2, де V0, W0 — не слабко iзоморфнi пiдмодулi такi, що
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK V0 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK W0 \leq 6, i V2, W2 — iзоморфнi пiдмодулi однакової розмiрностi такi, що
\BbbK [x, y] дiє на них тривiально.
Доведення. Нехай \varphi : LV \rightarrow LW — iзоморфiзм алгебр Лi. Якщо \varphi (V ) =W або \varphi (\BbbK \langle P,Q\rangle )+
+W = LW , то V i W — слабко iзоморфнi модулi за зауваженням 2 i лемою 2. Якщо \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK \varphi (V )+
+W/W = 1 i \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK \varphi (\langle P,Q\rangle ) +W/W = 1, то модулi V i W слабко iзоморфнi за лемою 5.
Якщо \varphi (\langle P,Q\rangle ) \subseteq W i модулi V та W не слабко iзоморфнi, то V i W є типу (ii) теореми за
лемою 4.
Отже, ми можемо вважати, що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK \varphi (\langle P,Q\rangle )+W/W = 1 i \varphi (V )+W = LW . За лемою 1
W1 = \varphi (V )\cap W — пiдмодуль корозмiрностi 2 в W i V1 = \varphi - 1(W1) — пiдмодуль корозмiрностi
2 в V. Виберемо v1, v2 \in V \setminus V1 такi, що V = \BbbK \langle v1, v2\rangle + V1 i
\varphi (v1) = S + u1, \varphi (v2) = T + u2
для деяких u1, u2 \in W (це можливо тому, що v1, v2 лiнiйно незалежнi над V1 i \varphi (V ) +
+W = LW ). Так само, як i в доведеннi леми 4, можна показати, що [P, V1] = [Q,V1] = 0 i
[S,W1] = [T,W1] = 0.
Оскiльки \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK \varphi (\langle P,Q\rangle ) + W/W = 1, то \varphi (\BbbK \langle P,Q\rangle ) \cap W \not = 0. Вiзьмемо ненульовий
елемент w3 \in \varphi (\BbbK \langle P,Q\rangle )\cap W i запишемо \varphi (\alpha P +\beta Q) = w3 для деяких \alpha , \beta \in \BbbK . Ми можемо
вважати, що \varphi (Q) = w3 (перейшовши до слабко iзоморфного модуля V\theta , якщо необхiдно).
Бiльш того, \varphi (\BbbK \langle P,Q\rangle ) \not \subseteq W, тому ми вважаємо, що \varphi (P ) = S + u3 для деякого u3 \in W
(перейшовши до слабко iзоморфного модуля W\sigma , якщо потрiбно).
Оскiльки [P,Q] = 0 i [v1, v2] = 0, то одержуємо
[\varphi (P ), \varphi (Q)] = [S + u3, w3] = S(w3) = 0,
[\varphi (v1), \varphi (v2)] = [S + u1, T + u2] = S(u2) - T (u1) = 0.
Як наслiдок,
S(w3) = 0, S(u2) = T (u1). (13)
Аналогiчно отримуємо спiввiдношення
\varphi
\bigl(
[P, v1]
\bigr)
=
\bigl[
\varphi (P ), \varphi (v1)
\bigr]
= [S + u3, S + u1] = S(u1 - u3), (14)
\varphi
\bigl(
[P, v2]
\bigr)
= [S + u3, T + u2] = S(u2) - T (u3) = - T (u1 - u3), (15)
\varphi
\bigl(
[Q, v1]
\bigr)
=
\bigl[
\varphi (Q), \varphi (v1)
\bigr]
= [w3, S + u1] = - S(w3) = 0, (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
АЛГЕБРИ ЛI, АСОЦIЙОВАНI З МОДУЛЯМИ НАД КIЛЬЦЯМИ МНОГОЧЛЕНIВ 1241
\varphi
\bigl(
[Q, v2]
\bigr)
=
\bigl[
\varphi (Q), \varphi (v2)
\bigr]
= [w3, T + u2] = - T (w3), (17)
(ми використали (13) у (15) та (16)).
Оскiльки \varphi — iзоморфiзм алгебри Лi LV на алгебру Лi LW i \varphi
\bigl(
[Q, v1]
\bigr)
= 0 за (16),
очевидно, [Q, v1] = 0. Зауважимо, що \BbbK \langle u1 - u3, w3\rangle +W1 = W. Дiйсно, легко бачити, що
u1 - u3 = \varphi (v1 - P ). Оскiльки v1 - P i Q лiнiйно незалежнi в LV над V1, то їхнi образи
u1 - u3 та w3 при iзоморфiзмi \varphi лiнiйно незалежнi над W1 в W.
Запишемо V0 := \BbbK \langle v1, v2, P (v1), P (v2), Q(v2)\rangle . Легко бачити, що V0 є пiдмодулем \BbbK [x, y]-
модуля V i \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK V0 \leq 5. Вiзьмемо довiльний \BbbK -пiдмодуль V2 \subseteq V1 такий, що V1 = (V0 \cap
\cap V1)\oplus V2 (такий пiдмодуль iснує, тому що P i Q дiють тривiально на V1). Тодi V = V0\oplus V2 —
пряма сума \BbbK [x, y]-пiдмодулiв. Аналогiчно розглянемо пiдмодуль W0 := \BbbK \langle u1 - u3, w3, S(u1 -
- u3), S(w3), T (u1 - u3)\rangle в W i вiзьмемо пiдмодуль W2 в W1 такий, що W1 = (W0\cap W1)\oplus W2
(вiн iснує, оскiльки T i S дiють тривiально на W1). Тодi W =W0\oplus W2 — пряма сума пiдмодулiв,
i \BbbK [x, y] дiє тривiально на W2. Крiм того, \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK V0 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK W0 \leq 5 i \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK V2 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK W2. Тому
V2 i W2 — iзоморфнi \BbbK [x, y]-модулi. Якщо V та W не є слабко iзоморфними, то \BbbK [x, y]-модулi
V0 i W0 також не є слабко iзоморфними. Ми бачимо, що модулi V i W є типу (ii) теореми.
Теорему 1 доведено.
Наступне твердження є безпосереднiм наслiдком попереднiх результатiв.
Теорема 2. Нехай V i W — нерозкладнi модулi над кiльцем \BbbK [x, y] i LV = \BbbK \langle P,Q\rangle \rightthreetimes V, i
LW = \BbbK \langle S, T \rangle \rightthreetimes W — асоцiйованi з ними алгебри Лi. Нехай \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK V = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\BbbK W \geq 7. \BbbK [x, y]-
модулi V i W слабко iзоморфнi тодi i лише тодi, коли алгебри Лi LV i LW iзоморфнi.
Наслiдок. Задача класифiкацiї скiнченновимiрних алгебр Лi вигляду L = B \rightthreetimes A з абеле-
вим iдеалом A i двовимiрною абелевою пiдалгеброю B еквiвалентна до задачi класифiкацiї
скiнченновимiрних \BbbK [x, y]-модулiв з точнiстю до слабкого iзоморфiзму.
Автори вдячнi В. В. Сергейчуку за кориснi обговорення та поради.
Лiтература
1. Belitskii G., Bondarenko V. M., Lipyanski R., Plachotnik V. V., Sergeichuk V. V. The problems of classifying pairs of
forms and local algebras with zero cube radical are wild // Linear Algebra and Appl. – 2005. – 402. – P. 135 – 142.
2. Belitskii G., Lipyanski R., Sergeichuk V. V. Problems of classifying associative or Lie algebras and triples of symmetric
or skew-symmetric matrices are wild // Linear Algebra and Appl. – 2005. – 407. – P. 249 – 262.
3. Gelfand I. M., Ponomarev V. A. Remarks on the classification of a pair of commuting linear transformations in a
finite dimensional space // Funkc. Anal. i Prilozhen. – 1969. – 3, № 4. – P. 81 – 82.
4. Quillen D. Projective modules over polynomial rings // Invent. Math. – 1976. – 36. – P. 167 – 171.
5. Suslin A. Projective modules over polynomial rings are free // Transl. Soviet Math. – 1976. – 17, № 4. – P. 1160 – 1164.
Одержано 24.01.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1773 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:25Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/6d/e6fc0d117fda99a6c550b28f045edf6d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17732019-12-05T09:26:20Z Lie algebras associated with modules over polynomial rings Алгебри Лі, асоційовані з модулями над кільцями многочленів Petravchuk, A. P. Sysak, K. Ya. Петравчук, А. П. Сисак, К. Я. Let $\mathbb{K}$ be an algebraically closed field of characteristic zero. Let $V$ be a module over the polynomial ring $K[x, y]$. The actions of $x$ and $ y$ determine linear operators P and Q on V as a vector space over $\mathbb{K}$. Define the Lie algebra $L_V = K\langle P,Q\rangle \rightthreetimes V$ as the semidirect product of two abelian Lie algebras with the natural action of $\mathbb{K}\langle P,Q\rangle$ on $V$. We show that if $\mathbb{K}[x, y]$-modules $V$ and $W$ are isomorphic or weakly isomorphic, then the corresponding associated Lie algebras $L_V$ and $L_W$ are isomorphic. The converse is not true: we construct two $\mathbb{K}[x, y]$-modules $V$ and $W$ of dimension 4 that are not weakly isomorphic but their associated Lie algebras are isomorphic. We characterize such pairs of $\mathbb{K}[x, y]$-modules of arbitrary dimension over K. We prove that indecomposable modules $V$ and $W$ with $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathbb{K} V = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}KW \geq 7$ are weakly isomorphic if and only if their associated Lie algebras $L_V$ and $L_W$ are isomorphic. Пусть $\mathbb{K}$ — алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики и $V$ — модуль над кольцом многочленов $\mathbb{K}[x, y]$. Действие $x$ и $y$ определяет линейные операторы $P$ и $Q$ на $V$, как на векторном пространстве над $\mathbb{K}$. Определим алгебру Ли $L_V = \mathbb{K}\langle P,Q\rangle \rightthreetimes V$ как полупрямое произведение двух абелевых алгебр Ли с естественным действием $\mathbb{K}\langle P, Q\rangle$ на $V$. Доказано, что если $\mathbb{K}[x, y]$-модули $V$ и $W$ изоморфны либо слабо изоморфны, то соответствующие ассоциированные алгебры Ли $L_V$ и $L_W$ изоморфны. Обратное утверждение в общем случае неверно: построены два $\mathbb{K}[x, y]$-модуля $V$ и $W$ размерности 4, которые не являются слабо изоморфными, но их ассоциированные алгебры Ли изоморфны. Приведена характеристика таких пар $\mathbb{K}[x, y]$-модулей произвольной размерности над полем $\mathbb{K}$. Доказано, что неразложимые модули $V$ и $W$ такие, что $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathbb{K} V = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}KW \geq 7$, слабо изоморфны тогда и только тогда, когда их ассоциированные алгебры Ли $L_V$ и $L_W$ изоморфны. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1773 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 9 (2017); 1232-1241 Український математичний журнал; Том 69 № 9 (2017); 1232-1241 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1773/755 Copyright (c) 2017 Petravchuk A. P.; Sysak K. Ya. |
| spellingShingle | Petravchuk, A. P. Sysak, K. Ya. Петравчук, А. П. Сисак, К. Я. Lie algebras associated with modules over polynomial rings |
| title | Lie algebras associated with modules over polynomial rings |
| title_alt | Алгебри Лі, асоційовані з модулями над кільцями многочленів |
| title_full | Lie algebras associated with modules over polynomial rings |
| title_fullStr | Lie algebras associated with modules over polynomial rings |
| title_full_unstemmed | Lie algebras associated with modules over polynomial rings |
| title_short | Lie algebras associated with modules over polynomial rings |
| title_sort | lie algebras associated with modules over polynomial rings |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1773 |
| work_keys_str_mv | AT petravchukap liealgebrasassociatedwithmodulesoverpolynomialrings AT sysakkya liealgebrasassociatedwithmodulesoverpolynomialrings AT petravčukap liealgebrasassociatedwithmodulesoverpolynomialrings AT sisakkâ liealgebrasassociatedwithmodulesoverpolynomialrings AT petravchukap algebrilíasocíjovanízmodulâminadkílʹcâmimnogočlenív AT sysakkya algebrilíasocíjovanízmodulâminadkílʹcâmimnogočlenív AT petravčukap algebrilíasocíjovanízmodulâminadkílʹcâmimnogočlenív AT sisakkâ algebrilíasocíjovanízmodulâminadkílʹcâmimnogočlenív |