Differential equations with small stochastic summands under the Levy approximating conditions
The proposed methods enable us to study a model of stochastic evolution that includes Markov switchings and to identify the diffusion component and big jumps of perturbing process in the limiting equation. Big jumps of this type may describe rare catastrophic events in different applied problems. We...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1774 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507632556572672 |
|---|---|
| author | Nikitin, A. V. Samoilenko, I. V. Нікітін, А. В. Самойленко, І. В. |
| author_facet | Nikitin, A. V. Samoilenko, I. V. Нікітін, А. В. Самойленко, І. В. |
| author_sort | Nikitin, A. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:26:20Z |
| description | The proposed methods enable us to study a model of stochastic evolution that includes Markov switchings and to identify the
diffusion component and big jumps of perturbing process in the limiting equation. Big jumps of this type may describe rare
catastrophic events in different applied problems. We consider the case where the perturbation of the system is determined
by an impulse process in the nonclassical approximation scheme. Special attention is given to the asymptotic behavior of
the generator of the analyzed evolutionary system. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
I. В. Самойленко, А. В. Нiкiтiн (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ ЗI СТОХАСТИЧНО МАЛИМИ ДОДАТКАМИ
В УМОВАХ АПРОКСИМАЦIЇ ЛЕВI
The proposed methods enable us to study a model of stochastic evolution that includes Markov switchings and to identify the
diffusion component and big jumps of perturbing process in the limiting equation. Big jumps of this type may describe rare
catastrophic events in different applied problems. We consider the case where the perturbation of the system is determined
by an impulse process in the nonclassical approximation scheme. Special attention is given to the asymptotic behavior of
the generator of the analyzed evolutionary system.
Предлагаемые в работе методы позволяют изучать модель стохастической эволюции, содержащую марковские
переключения, а также выделять в предельном уравнении диффузионную составляющую и большие скачки возму-
щающего процесса, которые в прикладных задачах могут описывать редкие катастрофические события. Рассмотрен
случай, когда возмущение системы задается импульсным процессом в неклассической схеме аппроксимации. Осо-
бое внимание уделяется асимптотическому поведению генератора исследуемой эволюционной системы.
1. Вступ. Випадкова еволюцiя у виглядi диференцiального рiвняння зi стохастичними додатка-
ми використовується для опису широкого класу природних процесiв у багатьох галузях науки.
Винятково важливим випадком є дослiдження поведiнки подiбних еволюцiйних систем у ви-
падковому середовищi. Вивченню таких систем присвячено велику кiлькiсть робiт видатних
учених, серед яких А. В. Скороход, М. Й. Гiхман, М. М. Боголюбов та iн. Детальну бiблiо-
графiю з цiєї проблематики можна знайти, наприклад, у монографiях В. С. Королюка [2, 3].
Особливу увагу варто звернути на роботу [5], в якiй започатковано пiдходи, що використанi в
данiй статтi, зокрема i до дослiдження стiйкостi еволюцiйної системи з дифузiйним збуренням.
У данiй роботi розглядається випадок, коли збурення системи визначаються iмпульсним
процесом у схемi апроксимацiї Левi (детальнiше щодо схеми апроксимацiї див. [3, 4]). Насам-
перед нас цiкавитиме питання асимптотичної поведiнки генератора вказаної системи. Подiбнi
проблеми розглядались ранiше iз застосуванням якiсно iнших методiв (див. [6] та наведену в
нiй бiблiографiю). Зауважимо, що ефект виокремлення детермiнованого зсуву зi збурюючого
iмпульсного процесу у граничному рiвняннi, який отримано в данiй статтi, ранiше спостерi-
гався, наприклад, у роздiлi 5.1 монографiї [6]. Натомiсть запропонованi в нашiй роботi методи
дозволяють дослiдити складнiшу модель, яка мiстить марковськi перемикання, що вiдповiда-
ють випадковому середовищу, а також видiлити у граничному рiвняннi додатково дифузiйну
складову та великi стрибки збурюючого процесу, якi у прикладних задачах можуть описувати
рiдкiснi катастрофiчнi подiї.
Отриманi результати дозволять продовжити дослiдження в трьох напрямках:
1. Доведення граничних функцiональних теорем, якi описують поведiнку системи на зро-
стаючих iнтервалах часу (див., наприклад, [3] та оглядову роботу щодо методiв доведення
граничних функцiональних теорем у некласичних схемах апроксимацiї [4]).
2. Доведення дисипативностi системи, що дозволить дослiджувати питання щодо її стiй-
костi, наявностi атракторiв тощо (див. монографiю [6], в якiй подiбнi задачi розглянуто для
класичних схем апроксимацiї, а також [7, 8]).
c\bigcirc I. В. САМОЙЛЕНКО, А. В. НIКIТIН, 2017
1242 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ ЗI СТОХАСТИЧНО МАЛИМИ ДОДАТКАМИ . . . 1243
3. Асимптотична поведiнка нормованого керування з марковськими перемиканнями в схемi
апроксимацiї Левi [9].
2. Постановка задачi. Розглянемо стохастичну еволюцiйну систему в ергодичному мар-
ковському середовищi, задану стохастичним диференцiальним рiвнянням
du\varepsilon (t) = C
\bigl(
u\varepsilon , x(t/\varepsilon 2)
\bigr)
dt+ d\eta \varepsilon (t), u\varepsilon (t) \in \bfR , (1)
де x(t) — рiвномiрно ергодичний марковський процес у стандартному фазовому просторi
(X,\bfX ), визначений з допомогою генератора
\bfQ \varphi (x) = q(x)
\int
X
P (x, dy)
\bigl[
\varphi (y) - \varphi (x)
\bigr]
на банаховому просторi B(X) дiйснозначних обмежених функцiй \varphi (x) з супремум-нормою
\| \varphi \| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x\in X | \varphi (x)| .
Стохастичне ядро P (x,B), x \in X, B \in \bfX , визначає рiвномiрно ергодичний вкладений
ланцюг Маркова xn = x(\tau n), n \geq 0, зi стацiонарним розподiлом \rho (B), B \in \bfX . Cтацiонарний
розподiл \pi (B), B \in \bfX , марковського процесу x(t), t \geq 0, можна визначити зi спiввiдношення
\pi (dx)q(x) = q\rho (dx), q =
\int
X
\pi (dx)q(x).
Позначимо через R0 потенцiальний оператор для генератора \bfQ , який визначається рiв-
нiстю [3]
R0 = \Pi - (\Pi +\bfQ ) - 1,
де \Pi \varphi (x) =
\int
X
\pi (dy)\varphi (y)1(x) — проектор на пiдпростiр NQ = \{ \varphi : \bfQ \varphi = 0\} нулiв опера-
тора \bfQ .
3. Iмпульсний процес збурень. Iмпульсний процес збурень \eta \varepsilon (t), t \geq 0, у схемi апрокси-
мацiї Левi задається спiввiдношенням
\eta \varepsilon (t) =
t\int
0
\eta \varepsilon
\bigl(
ds, x(s/\varepsilon 2)
\bigr)
, (2)
де сукупнiсть процесiв iз незалежними приростами \eta \varepsilon (t, x), t \geq 0, x \in X, визначається
генераторами
\Gamma \epsilon (x)\varphi (w) = \varepsilon - 2
\int
R
\bigl(
\varphi (w + v) - \varphi (w)
\bigr)
\Gamma \varepsilon (dv, x), x \in X, (3)
та задовольняє умови апроксимацiї Левi (детальнiше див. [3, 4]):
L1. Апроксимацiя середнiх:\int
R
v\Gamma \varepsilon (dv, x) = \varepsilon a1(x) + \varepsilon 2
\bigl(
a2(x) + \theta a(x)
\bigr)
, \theta a(x) \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0,
та \int
R
v2\Gamma \varepsilon (dv, x) = \varepsilon 2
\bigl(
b(x) + \theta b(x)
\bigr)
, \theta b(x) \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1244 I. В. САМОЙЛЕНКО, А. В. НIКIТIН
L2. Умова на функцiю розподiлу:\int
R
g(v)\Gamma \varepsilon (dv, x) = \varepsilon 2
\bigl(
\Gamma g(x) + \theta g(x)
\bigr)
, \theta g(x) \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0,
для всiх g(v) \in C3(\bfR ) (простiр дiйснозначних обмежених функцiй таких, що g(v)/| v| 2 \rightarrow 0,
| v| \rightarrow 0). Тут мiра \Gamma g(x) обмежена для всiх g(v) \in C3(\bfR ) i визначається спiввiдношенням
(функцiї з простору C3(\bfR ) роздiляють мiри [1, c. 395])
\Gamma g(x) =
\int
R
g(v)\Gamma 0(dv, x), g(v) \in C3(\bfR ).
L3. Рiвномiрно квадратична iнтегровнiсть:
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
c\rightarrow \infty
\int
| v| >c
v2\Gamma 0(dv, x) = 0.
Приклад 1. Найпростiшим прикладом випадкової величини, яка задовольняє умови апрок-
симацiї Левi, є випадкова величина \alpha :
\mathrm{P}\{ \alpha = b\} = \varepsilon 2p,
\mathrm{P}\{ \alpha = \varepsilon a1 + \varepsilon 2a2\} = 1 - \varepsilon 2p.
Тодi для моментiв цiєї випадкової величини маємо
\bfE \alpha = \varepsilon a1 + \varepsilon 2(a2 + bp) + o(\varepsilon 2),
\bfE \alpha 2 = \varepsilon 2(a21 + b2p) + o(\varepsilon 2).
Нехай виконується умова балансу
\^a1 :=
\int
X
\pi (dx)a1(x) = 0. (4)
Розглянемо асимптотичнi властивостi процесу збурення.
Теорема 1. При виконаннi умови балансу (4) та умов L1 – L3 гарантовано слабку збiж-
нiсть у сенсi збiжностi вiдповiдних генераторiв
\eta \varepsilon (t) \rightarrow \eta 0(t), \varepsilon \rightarrow 0.
Граничний процес \eta 0(t) визначається генератором
\Gamma \varphi (w) = \^a2\varphi
\prime (w) +
1
2
\sigma 2\varphi \prime \prime (w) +
\int
R
\bigl[
\varphi (w + v) - \varphi (w)
\bigr]
\^\Gamma 0(dv),
де
\^a2 =
\int
X
\pi (dx)(a2(x) - a0(x)), \sigma 2 =
\int
X
\pi (dx)(b(x) - b0(x)) + 2
\int
X
\pi (dx)a1(x)R0a1(x),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ ЗI СТОХАСТИЧНО МАЛИМИ ДОДАТКАМИ . . . 1245
a0(x) =
\int
R
v\Gamma 0(dv, x), b0(x) =
\int
R
v2\Gamma 0(dv, x), \^\Gamma 0(v) =
\int
X
\pi (dx)\Gamma 0(v, x),
i є процесом Левi, яки має три складовi: детермiнований зсув, дифузiйну складову та пуассо-
нiвську стрибкову частину.
Доведення теореми 1. Спочатку доведемо кiлька лем.
Лема 1. Генератори процесiв iз незалежними приростами \eta \varepsilon (t, x), t \geq 0, x \in X, на тест-
функцiях \varphi (w) \in C3(\bfR ) при виконаннi умов L1 – L3 допускають асимптотичне зображення
\bfGamma \varepsilon (x)\varphi (w) = \varepsilon - 1\Gamma 1(x)\varphi (w) + \Gamma 2(x)\varphi (w), (5)
де
\Gamma 1(x)\varphi (w) = a1(x)\varphi
\prime (w),
\Gamma 2(x)\varphi (w) = (a2(x) - a0(x))\varphi
\prime (w) +
1
2
(b(x) - b0(x))\varphi
\prime \prime (w)+
+
\int
R
\bigl[
\varphi (w + v) - \varphi (w)
\bigr]
\Gamma 0(dv, x).
Доведення. Використавши розвинення функцiї \varphi (w) у ряд Тейлора, виконаємо перетворен-
ня генератора (3):
\bfGamma \varepsilon (x)\varphi (w) = \varepsilon - 2
\int
R
(\varphi (w + v) - \varphi (w))\Gamma \varepsilon (dv, x) =
= \varepsilon - 2
\int
R
\biggl(
\varphi (w + v) - \varphi (w) - v\varphi \prime (w) - 1
2
v2\varphi \prime \prime (w)
\biggr)
\Gamma \varepsilon (dv, x)+
+\varepsilon - 2
\int
R
v\varphi \prime (w)\Gamma \varepsilon (dv, x) +
1
2
v2\varepsilon - 2
\int
R
v2\varphi \prime \prime (w)\Gamma \varepsilon (dv, x) =
=
\int
R
\biggl(
\varphi (w + v) - \varphi (w) - v\varphi \prime (w) - 1
2
v2\varphi \prime \prime (w)
\biggr)
\Gamma 0(dv, x)+
+\varepsilon - 1a1(x)\varphi
\prime (w) + a2(x)\varphi
\prime (w) +
1
2
b(x)\varphi \prime \prime (w) + \gamma \varepsilon (x)\varphi (w) =
= \varepsilon - 1a1(x)\varphi
\prime (w) +
\bigl(
a2(x) - a0(x)
\bigr)
\varphi \prime (w) +
1
2
\bigl(
b(x) - b0(x)
\bigr)
\varphi \prime \prime (w)+
+
\int
R
(\varphi (w + v) - \varphi (w))\Gamma 0(dv, x) + \gamma \varepsilon (w)\varphi (w),
де передостання рiвнiсть випливає з умов L1 – L3
\biggl(
зауважимо також, що функцiя \varphi (w + v) -
- \varphi (w) - v\varphi \prime (w) - 1
2
v2\varphi \prime \prime (w) \in C3(\bfR ), оскiльки вона обмежена на пiдставi обмеженостi \varphi (w)
разом з її похiдними, i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1246 I. В. САМОЙЛЕНКО, А. В. НIКIТIН\biggl[
\varphi (w + v) - \varphi (w) - v\varphi \prime (w) - 1
2
v2\varphi \prime \prime (w)
\biggr]
/| v2| \rightarrow 0, | v| \rightarrow 0
\biggr)
.
Пам’ятаючи, що \gamma \varepsilon (w)\varphi (w) = O(\varepsilon 2), \varphi (w) \in C3(\bfR ), отримуємо зображення (5).
Лема 2. Генератор двокомпонентного марковського процесу (\eta \varepsilon , x(t/\varepsilon 2)), t \geq 0, має
вигляд
\^\Gamma \varepsilon (x)\varphi (w, x) = \varepsilon - 2\bfQ \varphi (w, x) + \varepsilon - 1\Gamma 1(x)\varphi (w, x) + \Gamma 2(x)\varphi (w, x) + \gamma \varepsilon (x)\varphi (w, x), (6)
де оператори \Gamma 1(x), \Gamma 2(x) визначенi у лемi 1, а залишковий член
\bigm\| \bigm\| \gamma \varepsilon (x)\varphi (w, x)\bigm\| \bigm\| \rightarrow 0 при
\varepsilon \rightarrow 0, \varphi (w, \cdot ) \in C3(\bfR ).
Доведення. Твердження леми стає очевидним, якщо використати визначення генератора
марковського процесу та вигляд вiдповiдних генераторiв процесiв \eta \varepsilon (t, x) i x(t/\varepsilon 2).
Зрiзаний оператор має таку структуру [8]:
\Gamma \varepsilon
0(x)\varphi (w) = \varepsilon - 2\bfQ \varphi (w, x) + \varepsilon - 1\Gamma 1(x)\varphi (w, x) + \Gamma 2(x)\varphi (w, x). (7)
Лема 3. При виконаннi умови балансу (4) розв’язок задачi сингулярного збурення для зрiза-
ного оператора (7) на тест-функцiях
\varphi \varepsilon (w, x) = \varphi (w) + \varepsilon \varphi 1(w, x) + \varepsilon 2\varphi 2(w, x)
реалiзується спiввiдношенням
\Gamma \varepsilon
0(x)\varphi
\varepsilon (w, x) = \Gamma \varphi (w) + \varepsilon \theta \varepsilon \eta (x)\varphi (w), (8)
де залишковий член \theta \varepsilon \eta (x)\varphi (w) рiвномiрно обмежений по x.
Граничний оператор визначається формулою
\Gamma = \Pi \Gamma 1(x)R0\Gamma 1(x)\Pi + \Pi \Gamma 2(x)\Pi . (9)
Доведення. Для виконання рiвностi (8) необхiдно, щоб коефiцiєнти при однакових степенях
\varepsilon злiва i справа стали однаковими. Обчислимо
\Gamma \varepsilon
0(x)\varphi
\varepsilon (w, x) = \varepsilon - 2\bfQ \varphi (w) + \varepsilon - 1
\bigl[
\bfQ \varphi 1(w, x) + \Gamma 1(x)\varphi (w)
\bigr]
+
+
\bigl[
\bfQ \varphi 2(w, x) + \Gamma 1(x)\varphi 1(w, x) + \Gamma 2(x)\varphi (w)
\bigr]
+
+\varepsilon
\bigl[
\Gamma 1(x)\varphi 2(w, x) + \Gamma 2(x)\varphi 1(w, x)
\bigr]
+ \varepsilon 2\Gamma 2(x)\varphi 2(w, x).
Перший доданок дає
\bfQ \varphi (w) = 0 \leftrightarrow \varphi (w) \in NQ.
Звiдси бачимо, що \varphi (w) не залежить вiд x.
Умова балансу (4) є умовою розв’язностi рiвняння
\bfQ \varphi 1(w, x) + \Gamma 1(x)\varphi (w) = 0.
Тому
\varphi 1(w, x) = R0\Gamma 1(x)\varphi (w). (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ ЗI СТОХАСТИЧНО МАЛИМИ ДОДАТКАМИ . . . 1247
Рiвняння
\bfQ \varphi 2(w, x) + \Gamma 1(x)\varphi 1(w, x) + \Gamma 2(x)\varphi (w) = \Gamma \varphi (w)
з урахуванням (10) можна звести до вигляду
\bfQ \varphi 2(w, x) + \Gamma 1(x)R0\Gamma 1(x)\varphi (w) + \Gamma 2(x)\varphi (w) = \Gamma \varphi (w).
Умова розв’язностi останнього рiвняння дасть граничний оператор у виглядi (9). Тодi
\varphi 2(w, x) = R0
\bigl[
\Gamma 1(x)R0\Gamma 1(x) + \Gamma 2(x) - \Gamma
\bigr]
\varphi (w). (11)
Використавши (10) та (11), решту членiв розвинення можна записати так:
\varepsilon [\Gamma 1(x)\varphi 2(w, x) + \Gamma 2(x)\varphi 1(w, x)] + \varepsilon 2\Gamma 2(x)\varphi 2(w, x) =
= \varepsilon
\bigl[
[\Gamma 1(x)R0[\Gamma 1(x)R0\Gamma 1(x) + \Gamma 2(x) - \Gamma ] + \Gamma 2(x)R0\Gamma 1(x)
\bigr]
+
+\varepsilon
\bigl[
\Gamma 2(x)R0[\Gamma 1(x)R0\Gamma 1(x) + \Gamma 2(x) - \Gamma ]
\bigr]
\varphi (w) = \varepsilon \theta \varepsilon \eta (x)\varphi (w).
Обмеженiсть \theta \varepsilon \eta (x)\varphi (w) випливає з вигляду операторiв \Gamma 1, \Gamma 2 i R0.
Завершується доведення теореми використанням леми 3 та теореми 4.2 з [3].
4. Поведiнка динамiчної системи. Розглянемо асимптотичнi властивостi вихiдної еволю-
цiйної системи (1).
Теорема 2. При виконаннi умови балансу (4) має мiсце слабка збiжнiсть у сенсi збiжностi
вiдповiдних генераторiв
u\varepsilon (t) \rightarrow \^u(t), \varepsilon \rightarrow 0.
Граничний процес \^u(t) визначається генератором
\bfL \varphi (w) = \^C(u)\varphi \prime (w) + \Gamma \varphi (w), (12)
де \^C(u) =
\int
X
\pi (dx)C(u, x).
Зауваження 1. Слабка збiжнiсть процесiв u\varepsilon (t) \Rightarrow \^u(t), \varepsilon \rightarrow 0, буде випливати зi збiж-
ностi вiдповiдних генераторiв за умови компактностi дограничної сукупностi процесiв u\varepsilon (t).
Вiдповiднi теореми про компактнiсть процесiв iз незалежними приростами у схемi апроксимацiї
Левi були доведенi, зокрема, в [4].
Зауваження 2. Граничний процес \^u(t) задається стохастичним диференцiальним рiвнян-
ням
d\^u(t) =
\bigl[
\^C(\^u(t)) + \^a2
\bigr]
dt+ \sigma dW (t) +
\int
R
v\~v(dt, dv),
де \bfE \~\nu (dt, dv) = dt\~\Gamma 0(dv).
Зауваження 3. Граничний процес \^u(t) має три складовi. Детермiнований зсув визнача-
ється розв’язком диференцiального рiвняння
d\^ud(t) =
\bigl[
\^C(\^ud(t)) + \^a2
\bigr]
dt,
де додатковий доданок \^a2 виникає за рахунок накопичення зi зростанням нормованого часу
t/\varepsilon 2, \varepsilon \rightarrow 0, дуже малих стрибкiв порядку \varepsilon 2, якi вiдбуваються з iмовiрнiстю, близькою до
одиницi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1248 I. В. САМОЙЛЕНКО, А. В. НIКIТIН
Друга, дифузiйна, складова визначається параметром \sigma та виникає за рахунок накопичення
зi зростанням нормованого часу t/\varepsilon 2, \varepsilon \rightarrow 0, малих стрибкiв порядку \varepsilon , якi також вiдбуваються
з iмовiрнiстю, близькою до одиницi.
Третя складова вiдображає рiдкiснi великi стрибки, що вiдбуваються з iмовiрнiстю, близь-
кою до нуля, i визначаються через усереднену мiру стрибкiв \~\Gamma 0(dv) генератором
\Gamma j\varphi (w) =
\int
R
\bigl[
\varphi (w + v) - \varphi (w)
\bigr]
\~\Gamma 0(dv).
Доведення теореми 2. Спочатку доведемо кiлька лем.
Лема 4. Генератор двокомпонентного марковського процесу
\bigl(
u\varepsilon (t), x(t/\varepsilon 2)
\bigr)
, t \geq 0, має
зображення
\bfL \varepsilon (x)\varphi (w, x) = \varepsilon - 2\bfQ \varphi (w, x) + \Gamma \varepsilon (x)\varphi (w, x)+
+\bfC (x)\varphi (w, x) + \theta \varepsilon w\varphi (w, x),
де \Gamma \varepsilon (x) — генератор сукупностi iмпульсних процесiв збурень (3),
\bfC (x)\varphi (w, x) = C(u, x)\varphi \prime
w(w, x).
Залишковий член
\bigm\| \bigm\| \theta \varepsilon w\varphi (w, x)\bigm\| \bigm\| \rightarrow 0 при \varepsilon \rightarrow 0.
Доведення леми можна знайти в [7].
Лема 5. Генератор \bfL \varepsilon (x) у випадку iмпульсного процесу збурень допускає асимптотичне
зображення
\bfL \varepsilon (x)\varphi (w, x) = \varepsilon - 2\bfQ \varphi (w, x) + \varepsilon - 1\Gamma 1(x)\varphi (w, x)+
+\Gamma 2(x)\varphi (w, x) +\bfC (x)\varphi (w, x) + \^\theta \varepsilon w\varphi (w, x),
де
\^\theta \varepsilon w(x) = \gamma \varepsilon + \theta \varepsilon w(x),
\Gamma 1(x) та \Gamma 2(x) визначенi у лемi 1.
Залишковий член
\bigm\| \bigm\| \^\theta \varepsilon w\varphi (w, x)\bigm\| \bigm\| \rightarrow 0 при \varepsilon \rightarrow 0.
Доведення проводиться з допомогою зображення оператора (5) та леми 4.
Зрiзаний оператор має вигляд
\bfL \varepsilon
0(x)\varphi = \varepsilon 2\bfQ \varphi + \varepsilon - 1\Gamma 1(x)\varphi + \Gamma 2(x)\varphi +\bfC (x)\varphi . (13)
Лема 6. При виконаннi умови балансу (4) розв’язання проблеми сингулярного збурення для
зрiзаного оператора (13) на тест-функцiях
\varphi \varepsilon (w, x) = \varphi (w) + \varepsilon \varphi 1(w, x) + \varepsilon 2\varphi 2(w, x)
реалiзується спiввiдношенням
\bfL \varepsilon
0(x)\varphi
\varepsilon (w, x) = \bfL \varphi (w) + \varepsilon 2\theta \varepsilon w(x)\varphi (w), (14)
де залишковий член \theta \varepsilon w(x) рiвномiрно обмежений по x.
Граничний оператор \bfL задається формулою
\bfL = \Pi
\bigl[
\bfC (x) + \Gamma 1(x)R0\Gamma 1(x) + \Gamma 2(x)
\bigr]
\Pi . (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ ЗI СТОХАСТИЧНО МАЛИМИ ДОДАТКАМИ . . . 1249
Доведення. Для виконання рiвностi (14) необхiдно, щоб коефiцiєнти при однакових степе-
нях \varepsilon злiва та справа були рiвними. З цiєю метою обчислимо
\bfL \varepsilon
0(x)\varphi
\varepsilon (w, x) = \varepsilon - 2\bfQ (x)\varphi (w) + \varepsilon - 1
\bigl[
\bfQ \varphi 1(w, x) + \Gamma 1(x)\varphi (w)
\bigr]
+
+
\bigl[
\bfQ \varphi 2(w, x) + \Gamma 1(x)\varphi 1(w, x) + \Gamma 2(x)\varphi (w) +\bfC (x)\varphi (w)
\bigr]
+
+ \varepsilon
\bigl[
\Gamma 1(x)\varphi 2(w, x) + \Gamma 2(x)\varphi 1(w, x)) +\bfC (x)\varphi 1(w, x)
\bigr]
+
+\varepsilon 2
\bigl[
\Gamma 2(x)\varphi 2(w, x) +\bfC (x)\varphi 2(w, x)
\bigr]
.
Оскiльки
\bfQ \varphi (w) = 0 \leftrightarrow \varphi (w) \in NQ,
то очевидно, що \varphi (w) не залежить вiд x.
Умова балансу (4) є умовою розв’язностi рiвняння
\bfQ \varphi 1(w, x) + \Gamma 1(x)\varphi (w) = 0.
Тому
\varphi 1(w, x) = R0\Gamma 1(x)\varphi (w).
Останнє рiвняння
\bfQ \varphi 2(w, x) + \Gamma 1(x)\varphi 1(w, x)+
+\Gamma 2(x)\varphi (w) +\bfC (x)\varphi (w) = \bfL \varphi (w).
Запишемо його у виглядi
\bfQ \varphi 2(w, x) =
\bigl[
\bfL - \Gamma 1(x)R0\Gamma 1(x) - \Gamma 2(x) - \bfC (x)
\bigr]
\varphi (w).
Умова розв’язностi останнього рiвняння i дає граничний оператор \bfL у виглядi (15).
Завершення доведення теореми проводиться за тiєю ж схемою, що i доведення теореми 4.2
в [3].
Лiтература
1. Jacod J., Shiryaev A. N. Limit theorems for stochastic processes. – Berlin: Springer-Verlag, 2003. – 601 p.
2. Korolyuk V. S., Korolyuk V. V. Stochastic models of systems. – Dordrecht: Kluwer, 1999. – 185 p.
3. Korolyuk V. S., Limnios N. Stochastic systems in merging phase space. – World Sci., 2005. – 330 p.
4. Korolyuk V. S., Limnios N., Samoilenko I. V. Lévy and Poisson approximations of switched stochastic systems by a
semimartingale approach // Comptes Rend. Math. – 2016. – 354. – P. 723 – 728.
5. Papanicolaou G., Stroock D., Varadhan S. R. S. Martingale approach to some limit theorems // Duke Turbulence
Conf. (Durham, NC, April 23 – 25, 1976): Duke Univ. Math. Ser. III. – New York: Duke Univ., 1977. – 120 p.
6. Samoilenko A. M., Stanzhytskyi O. M. Qualitative and asymptotic analysis of differential equations with random
perturbations. – Singapore: World Sci., 2011. – 323 p.
7. Семенюк С. А., Чабанюк Я. М. Cтохастичнi еволюцiйнi системи з iмпульсними збуреннями // Вiсн. Нац. ун-ту
„Львiв. полiтехнiка”. Фiз.-мат. науки. – 2009. – Вип. 660. – С. 56 – 60.
8. Чабанюк Я. М. Апроксимацiя дифузiйним процесом в схемi усереднення // Доп. НАН України. – 2004. –
№ 12. – С. 35 – 40.
9. Nikitin A. V., Khimka U. T. Asymptotics of normalized control with Markov switchings // Ukr. Math. J. – 2017. – 68,
№ 8. – P. 1252 – 1262.
Одержано 21.12.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1774 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:24Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/37/1eff412cfbab130c8e071571e9a11237.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17742019-12-05T09:26:20Z Differential equations with small stochastic summands under the Levy approximating conditions Диференціальні рівняння зі стохастично малими додатками в умовах апроксимації Леві Nikitin, A. V. Samoilenko, I. V. Нікітін, А. В. Самойленко, І. В. The proposed methods enable us to study a model of stochastic evolution that includes Markov switchings and to identify the diffusion component and big jumps of perturbing process in the limiting equation. Big jumps of this type may describe rare catastrophic events in different applied problems. We consider the case where the perturbation of the system is determined by an impulse process in the nonclassical approximation scheme. Special attention is given to the asymptotic behavior of the generator of the analyzed evolutionary system. Предлагаемые в работе методы позволяют изучать модель стохастической эволюции, содержащую марковские переключения, а также выделять в предельном уравнении диффузионную составляющую и большие скачки возму- щающего процесса, которые в прикладных задачах могут описывать редкие катастрофические события. Рассмотрен случай, когда возмущение системы задается импульсным процессом в неклассической схеме аппроксимации. Осо- бое внимание уделяется асимптотическому поведению генератора исследуемой эволюционной системы. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1774 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 9 (2017); 1242-1249 Український математичний журнал; Том 69 № 9 (2017); 1242-1249 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1774/756 Copyright (c) 2017 Nikitin A. V.; Samoilenko I. V. |
| spellingShingle | Nikitin, A. V. Samoilenko, I. V. Нікітін, А. В. Самойленко, І. В. Differential equations with small stochastic summands under the Levy approximating conditions |
| title | Differential equations with small stochastic summands under the
Levy approximating conditions |
| title_alt | Диференціальні рівняння зі стохастично малими додатками
в умовах апроксимації Леві |
| title_full | Differential equations with small stochastic summands under the
Levy approximating conditions |
| title_fullStr | Differential equations with small stochastic summands under the
Levy approximating conditions |
| title_full_unstemmed | Differential equations with small stochastic summands under the
Levy approximating conditions |
| title_short | Differential equations with small stochastic summands under the
Levy approximating conditions |
| title_sort | differential equations with small stochastic summands under the
levy approximating conditions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1774 |
| work_keys_str_mv | AT nikitinav differentialequationswithsmallstochasticsummandsunderthelevyapproximatingconditions AT samoilenkoiv differentialequationswithsmallstochasticsummandsunderthelevyapproximatingconditions AT níkítínav differentialequationswithsmallstochasticsummandsunderthelevyapproximatingconditions AT samojlenkoív differentialequationswithsmallstochasticsummandsunderthelevyapproximatingconditions AT nikitinav diferencíalʹnírívnânnâzístohastičnomalimidodatkamivumovahaproksimacííleví AT samoilenkoiv diferencíalʹnírívnânnâzístohastičnomalimidodatkamivumovahaproksimacííleví AT níkítínav diferencíalʹnírívnânnâzístohastičnomalimidodatkamivumovahaproksimacííleví AT samojlenkoív diferencíalʹnírívnânnâzístohastičnomalimidodatkamivumovahaproksimacííleví |