Well-posedness of the Dirichlet problem in a cylindrical domain for three-dimensional elliptic equations with degeneration of type and order
The paper shows the unique solvability of the classical Dirichlet problem in cylindrical domain for three-dimensional elliptic equations with degeneration type and order.
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1778 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507635151798272 |
|---|---|
| author | Aldashev, S. A. Kitaibekov, E. T. Алдашев, С. А. Китайбеков, Є. Т. |
| author_facet | Aldashev, S. A. Kitaibekov, E. T. Алдашев, С. А. Китайбеков, Є. Т. |
| author_sort | Aldashev, S. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:26:20Z |
| description | The paper shows the unique solvability of the classical Dirichlet problem in cylindrical domain for three-dimensional
elliptic equations with degeneration type and order. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.956
С. А. Алдашев, Е. Т. Китайбеков (Казах. нац. пед. ун-т им. Абая, Алматы)
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ
ДЛЯ ТРЕХМЕРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С ВЫРОЖДЕНИЕМ ТИПА И ПОРЯДКА
The paper shows the unique solvability of the classical Dirichlet problem in cylindrical domain for three-dimensional
elliptic equations with degeneration type and order.
Показано однозначну розв’язнiсть класичного розв’язку задачi Дiрiхле в цилiндричнiй областi для тривимiрних
елiптичних рiвнянь iз виродженням типу i порядку.
Введение. Корректные постановки краевых задач на плоскости для эллиптических уравнений
методом теории аналитических функций комплексной переменной приведены в [1, 2].
При изучении аналогичных вопросов, когда число независимых переменных больше двух,
возникают трудности принципиального характера. Весьма привлекательный и удобный ме-
тод сингулярных интегральных уравнений теряет свою силу из-за отсутствия сколько-нибудь
полной теории многомерных сингулярных интегральных уравнений [3].
В [4] установлена корректность задачи Дирихле для вырождающегося трехмерного эллип-
тического уравнения.
В данной работе показана однозначная разрешимость классического решения задачи Дирих-
ле в цилиндрической области для трехмерных эллиптических уравнений с вырождением типа
и порядка.
1. Постановка задачи и результат. Пусть D\beta — цилиндрическая область евклидова про-
странства E3 точек (x1, x2, t), ограниченная цилиндром \Gamma = \{ (x, t) : | x| = 1\} , плоскостями
t = \beta > 0 и t = 0, где | x| — длина вектора x = (x1, x2). Части этих поверхностей, образующих
границу \partial D\beta области D\beta , обозначим через \Gamma \beta , S\beta , S0 соответственно.
В области D\beta рассмотрим уравнение
Lu \equiv
2\sum
i=1
ki(t)uxixi + k3(t)utt +
2\sum
i=1
ai(x, t)uxi + b(x, t)ut + c(x, t)u = 0, (1)
где ki(t) > 0 при t > 0 и обращаются в нуль при t = 0, ki(t) \in C([0, \beta ])\cap C2((0, \beta )), i = 1, 2, 3.
Уравнение (1) эллиптично при t > 0, а вдоль плоскости t = 0 имеет место вырождение его
типа и порядка.
В дальнейшем нам понадобится связь декартовых координат x1, x2, t с полярными r, \theta , t :
x1 = r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta , x2 = r \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta , r \geq 0, 0 \leq \theta < 2\pi .
В качестве многомерной задачи Дирихле рассмотрим следующую задачу.
Задача D. Найти решение уравнения (1) в области D\beta из класса C( \=D\beta )\cap C2(D\beta ), удовлет-
воряющее краевым условиям
c\bigcirc С. А. АЛДАШЕВ, Е. Т. КИТАЙБЕКОВ, 2017
1270 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ТРЕХМЕРНЫХ . . . 1271
u
\bigm| \bigm|
S\beta
= \varphi (r, \theta ), u
\bigm| \bigm|
\Gamma \beta
= \psi (t, \theta ), u
\bigm| \bigm|
S0
= \tau (r, \theta ), (2)
при этом \varphi (1, \theta ) = \psi (\beta , \theta ), \psi (0, \theta ) = \tau (1, \theta ).
Пусть
ai(x, t)
k3(t)
,
b(x, t)
k3(t)
,
c(x, t)
k3(t)
\in C( \=D\beta ) \cap C1(D\beta ), i = 1, 2, c(x, t) \leq 0 \forall (x, t) \in D\beta .
Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема. Если \varphi (r, \theta ), \tau (r, \theta ) \in C( \=S0) \cap C2(S0), \psi (t, \theta ) \in C(\=\Gamma \beta ) \cap C2(\Gamma \beta ), то задача
однозначно разрешима.
2. Доказательство. Единственность решения задачи D следует из принципа Хопфа [5].
Перейдем к установлению задачи D. Ее решение в полярных координатах будем искать в виде
ряда
u(r, \theta , t) = u10(r, t) +
\infty \sum
n=1
\bigl(
u1n(r, t) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta + u2n(r, t) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta
\bigr)
, (3)
где u10(r, t), u1n(r, t), u2n(r, t) — функции, которые будут определены ниже.
Подставив (3) в (1), в полярных координатах будем иметь
Lu \equiv k1(t)
\biggl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 \theta u10rr +
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \theta
r
u10r
\biggr)
+ k2(t)
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \theta u10rr +
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 \theta
r
u10r
\biggr)
+ k3(t)u10tt+
+a1(r, \theta , t) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta u10r + a2(r, \theta , t) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta u10r + b(r, \theta , t)u10t + c(r, \theta , t)u10+
+
\infty \sum
n=1
\biggl\{
k1(t)
\biggl[
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 \theta (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta u1nrr + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta u2nrr) +
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \theta
r
(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta u1nr + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta u2nr)+
+
n \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\theta
r
(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta u1nr - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta u2nr) +
n \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\theta
r2
(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta u2n - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta u1n) -
- n
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \theta
r2
(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta u1n + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta u2n)
\biggr]
+ k2(t)
\biggl[
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 \theta (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta u1nrr + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta u2nrr) +
+
n \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\theta
r
(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta u2nr - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta u1nr) +
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 \theta
r
(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta u1nr - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta u2nr)+
+
n \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\theta
2r2
(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta u1n - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta u2n) -
n2
r2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 \theta (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta u1n + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta u2n)
\biggr]
+ k3(t)u1ntt \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta +
+k3(t)u2ntt \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta + a1
\biggl[
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta u1nr + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta u2nr) +
n \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta
r
(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta u1n - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta u2n)
\biggr]
+
+a2
\biggl[
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta u1nr + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta u2nr) +
n \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta
r
(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta u2n - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta u1n)
\biggr]
+
+ b(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta u1nt + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta u2nt) + c(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta u1n + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta u2n)
\biggr\}
= 0. (4)
Теперь выражение (4) сначала умножим на \rho (\theta ) \not = 0, а затем проинтегрируем от 0 до 2\pi . После
несложных преобразований получим ряд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1272 С. А. АЛДАШЕВ, Е. Т. КИТАЙБЕКОВ
k1 + k2
2
\rho 10
\biggl(
u10rr +
1
r
u10r
\biggr)
+ k3(t)\rho 10u10tt +
k1 - k2
2
d10
\biggl(
u10rr -
1
r
u10
\biggr)
+
+a10(r, t)u10r + b10(r, t)u10t + c10(r, t)u10 +
\infty \sum
n=1
\left\{
2\sum
j=1
\Biggl[
k1 + k2
2
\rho jn
\biggl(
ujnrr+
+
1
r
ujnr -
n2
r2
ujn
\biggr)
+ k3(t)\rho jnujntt +
k1 - k2
2
djn
\biggl(
ujnrr -
1
r
ujnr -
n2
r2
ujn
\biggr)
+
+
(k2 - k1)n
2
ejn
\biggl(
ujnr -
ujn
2r
\biggr)
+ ajn(r, t)ujnr + bjn(r, t)ujnt + cjn(r, t)ujn
\Biggr] \right\} = 0, (5)
в котором
\rho 1n =
2\pi \int
0
\rho (\theta ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta d\theta , \rho 2n =
2\pi \int
0
\rho \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta d\theta , d1n =
2\pi \int
0
\rho \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta d\theta ,
d2n =
2\pi \int
0
\rho \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2\theta \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta d\theta , e1n = -
2\pi \int
0
\rho \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\theta \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta d\theta , e2n =
2\pi \int
0
\rho \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta d\theta ,
a1n =
2\pi \int
0
\rho (a1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta + a2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta d\theta , a2n =
2\pi \int
0
\rho (a1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta + a2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta d\theta ,
b1n =
2\pi \int
0
\rho b \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta d\theta , b2n =
2\pi \int
0
\rho b \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta d\theta ,
c1n =
2\pi \int
0
\rho
\biggl[
(a1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta - a2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta )
n \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta
r
+ c \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta
\biggr]
d\theta ,
c2n =
2\pi \int
0
\rho
\biggl[
(a2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta - a1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta )
n \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta
r
+ c \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta
\biggr]
d\theta , n = 0, 1, . . . .
Далее рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений
k(t)\rho 10
\biggl(
u10rr +
1
r
u10r
\biggr)
+ k3(t)\rho 10u10tt = 0, k(t) =
k1(t) + k2(t)
2
, (6)
k(t)\rho j1
\biggl(
uj1rr +
1
r
uj1r -
uj1
r2
\biggr)
+ k3(t)\rho 10uj1tt =
=
(k1 - k2)d10
2
\Bigl(
u10rr -
u10r
r
\Bigr)
- a10u10r - b10u10t - c10u10, (7)
k(t)\rho jn
\biggl(
ujnrr +
1
r
ujnr -
n2
r2
ujn
\biggr)
+ k3(t)\rho jnujntt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ТРЕХМЕРНЫХ . . . 1273
= - k1 - k2
2
djn
\biggl(
ujn - 1rr -
1
r
ujn - 1r -
(n - 1)2
r2
ujn - 1
\biggr)
-
- (k2 - k1)(n - 1)
r
ejn - 1
\Bigl(
ujn - 1r -
ujn - 1
r
\Bigr)
- ajn - 1ujn - 1r -
- bjn - 1tujn - 1t - cjn - 1ujn - 1, j = 1, 2, n = 2, 3, . . . . (8)
Нетрудно показать, что если \{ u10, ujn\} , j = 1, 2, n = 1, 2, . . . , — решение системы (6) – (8), то
оно является и решением уравнения (5).
Далее, учитывая ортогональность [6] систем тригонометрических функций \{ 1, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta , \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta ,
n = 1, 2, . . .\} на отрезке [0, 2\pi ], из краевого условия (2) в силу (3) будем иметь
u10(r, \beta ) = \varphi 10(r), u10(1, t) = \psi 10(t), u10(r, 0) = \tau 10(r), (9)
ujn(r, \beta ) = \varphi jn(r), ujn(1, t) = \psi jn(t), ujn(r, 0) = \tau jn(r), j = 1, 2, n = 1, 2, . . . , (10)
\varphi 10(r) =
1
2\pi
2\pi \int
0
\varphi (r, 0)d\theta , \psi 10(t) =
1
2\pi
2\pi \int
0
\psi (t, \theta )d\theta , \tau 10(r) =
1
2\pi
2\pi \int
0
\tau (r, \theta )d\theta ,
\varphi 1n(r) =
1
\pi
2\pi \int
0
\varphi (r, \theta ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta d\theta , \psi 1n(t) =
1
\pi
2\pi \int
0
\psi (t, \theta ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta d\theta ,
\tau 1n(r) =
1
\pi
2\pi \int
0
\tau (r, \theta ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\theta d\theta ,
\varphi 2n(r) =
1
\pi
2\pi \int
0
\varphi (r, \theta ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta d\theta , \psi 2n(t) =
1
\pi
2\pi \int
0
\psi (t, \theta ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta d\theta ,
\tau 2n(r) =
1
\pi
2\pi \int
0
\tau (r, \theta ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\theta d\theta .
Таким образом, задача D сведена к системе задач Дирихле для уравнений (6) – (8) с данны-
ми (9), (10). Найдем решения этих задач.
Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (6) – (8) можно представить в виде
\=k(t)
\biggl(
uknrr +
1
r
uknr -
n2
r2
un
\biggr)
+ untt = fkn(r, t), n = 0, 1, . . . , (11)
где \=k(t) = k(t)/k3(t), fn(r, t) определяются из предыдущих уравнений этой системы, при этом
f0(r, t) \equiv 0.
В [4] показано, что задачи для уравнения (11) с краевыми условиями (9) и (10) имеют
единственные решения.
Следовательно, сначала решив задачу (6), (9) (j = 1, n = 0), а затем (7), (10) (j = 1, 2,
n = 1) и т. д., найдем последовательно все u10(r, t), ujn(r, t), j = 1, 2, n = 1, 2, . . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1274 С. А. АЛДАШЕВ, Е. Т. КИТАЙБЕКОВ
Итак, показано, что
2\pi \int
0
\rho (\theta )Lud\theta = 0. (12)
Пусть f(r, \theta , t) = R(r)\rho (\theta )T (t), причем R(r) \in V0, V0 плотна в L2((0, 1)), \rho (\theta ) \in
\in C\infty ((0, 2\pi )) плотна в L2((0, 2\pi )), а T (t) \in V1, V1 плотна в L2((0, \beta )). Тогда f(r, \theta , t) \in V,
V = V0 \otimes (0, 2\pi )\otimes V1плотна в L2(D\beta ) [6]. Отсюда и из (12) следует, что\int
D\beta
f(r, \theta , t)LudD\beta = 0
и
Lu = 0 \forall (r, \theta , t) \in D\beta .
Таким образом, решением задачи D является функция (3), где u10(r, t), ujn(r, t), j = 1, 2,
n = 1, 2, . . . , определяются из предыдущих двумерных задач.
Учитывая ограничения на коэффициенты уравнения (1) и на заданные функции \varphi (r, \theta ),
\psi (t, \theta ), \tau (r, \theta ), как и в [7], можно показать, что полученное решение (3) принадлежит искомому
классу C(D\beta ) \cap C2(D\beta ).
Следовательно, разрешимость задачи D установлена.
Теорема доказана.
Литература
1. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. – М.: Изд-во АН СССР, 1959. – 164 с.
2. Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. – М.: Наука, 1966. – 203 с.
3. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. – М.: Наука, 1981. – 448 с.
4. Алдашев С. А. Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для вырождающегося трехмерного
эллиптического уравнения // Материалы VII междунар. научн. конф. им. академика И. И. Ляшко. – 2014. –
С. 14 – 15.
5. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. – М.: Мир, 1966.
6. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1976. –
543 с.
7. Алдашев С. А. Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для вырождающихся многомерных
эллиптических уравнений // Мат. заметки. – 2013. – 94, вып. 6. – С. 936 – 939.
Получено 11.11.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1778 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:27Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5b/58c6b814b8e0642aa255a84bc6990c5b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17782019-12-05T09:26:20Z Well-posedness of the Dirichlet problem in a cylindrical domain for three-dimensional elliptic equations with degeneration of type and order Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для трехмерных эллиптических уравнений с вырождением типа и порядка Aldashev, S. A. Kitaibekov, E. T. Алдашев, С. А. Китайбеков, Є. Т. The paper shows the unique solvability of the classical Dirichlet problem in cylindrical domain for three-dimensional elliptic equations with degeneration type and order. Показано однозначну розв’язнiсть класичного розв’язку задачi Дiрiхле в цилiндричнiй областi для тривимiрних елiптичних рiвнянь iз виродженням типу i порядку. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1778 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 9 (2017); 1270-1274 Український математичний журнал; Том 69 № 9 (2017); 1270-1274 1027-3190 en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1778/760 Copyright (c) 2017 Aldashev S. A.; Kitaibekov E. T. |
| spellingShingle | Aldashev, S. A. Kitaibekov, E. T. Алдашев, С. А. Китайбеков, Є. Т. Well-posedness of the Dirichlet problem in a cylindrical domain for three-dimensional elliptic equations with degeneration of type and order |
| title | Well-posedness of the Dirichlet problem in a cylindrical domain for three-dimensional elliptic equations with degeneration of type and order |
| title_alt | Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области
для трехмерных эллиптических уравнений с вырождением типа и порядка |
| title_full | Well-posedness of the Dirichlet problem in a cylindrical domain for three-dimensional elliptic equations with degeneration of type and order |
| title_fullStr | Well-posedness of the Dirichlet problem in a cylindrical domain for three-dimensional elliptic equations with degeneration of type and order |
| title_full_unstemmed | Well-posedness of the Dirichlet problem in a cylindrical domain for three-dimensional elliptic equations with degeneration of type and order |
| title_short | Well-posedness of the Dirichlet problem in a cylindrical domain for three-dimensional elliptic equations with degeneration of type and order |
| title_sort | well-posedness of the dirichlet problem in a cylindrical domain for three-dimensional elliptic equations with degeneration of type and order |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1778 |
| work_keys_str_mv | AT aldashevsa wellposednessofthedirichletprobleminacylindricaldomainforthreedimensionalellipticequationswithdegenerationoftypeandorder AT kitaibekovet wellposednessofthedirichletprobleminacylindricaldomainforthreedimensionalellipticequationswithdegenerationoftypeandorder AT aldaševsa wellposednessofthedirichletprobleminacylindricaldomainforthreedimensionalellipticequationswithdegenerationoftypeandorder AT kitajbekovêt wellposednessofthedirichletprobleminacylindricaldomainforthreedimensionalellipticequationswithdegenerationoftypeandorder AT aldashevsa korrektnostʹzadačidirihlevcilindričeskojoblastidlâtrehmernyhélliptičeskihuravnenijsvyroždeniemtipaiporâdka AT kitaibekovet korrektnostʹzadačidirihlevcilindričeskojoblastidlâtrehmernyhélliptičeskihuravnenijsvyroždeniemtipaiporâdka AT aldaševsa korrektnostʹzadačidirihlevcilindričeskojoblastidlâtrehmernyhélliptičeskihuravnenijsvyroždeniemtipaiporâdka AT kitajbekovêt korrektnostʹzadačidirihlevcilindričeskojoblastidlâtrehmernyhélliptičeskihuravnenijsvyroždeniemtipaiporâdka |