Finite groups with 2pqr elements of the maximal order
Let $3 < p < q < r$ be odd prime numbers. In this paper, we prove that the finite groups with exactly $2pqr$ elements of maximal order are solvable.
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1779 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507639196155904 |
|---|---|
| author | Asadiyan, B. Ahanjideh, N. Асадян, Б. Аханжиде, Н. Асадян, Б. Аханжиде, Н. |
| author_facet | Asadiyan, B. Ahanjideh, N. Асадян, Б. Аханжиде, Н. Асадян, Б. Аханжиде, Н. |
| author_sort | Asadiyan, B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:26:20Z |
| description | Let $3 < p < q < r$ be odd prime numbers. In this paper, we prove that the finite groups with exactly $2pqr$ elements of maximal order are solvable. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.5
Б. Асадян, Н. Аханжиде (Ун-т Шахрекорда, Иран)
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С \bftwo \bfitp \bfitq \bfitr ЭЛЕМЕНТАМИ
МАКСИМАЛЬНОГО ПОРЯДКА
Let 3 < p < q < r be odd prime numbers. In this paper, we prove that the finite groups with exactly 2pqr elements of
maximal order are solvable.
Нехай 3 < p < q < r — простi числа. Доведено, що кожна скiнченна група з точно 2pqr елементами максимального
порядку є розв’язною.
1. Введение. Разрешимость группы является одной из важных тем в теории групп. Некоторые
вопросы теории групп связаны с разрешимостью групп, удовлетворяющих заданным конкрет-
ным условиям. Пусть G — конечная группа. Обозначим через O(x) порядок элемента x \in G,
через \pi (G) множество простых делителей числа | G| , а через \pi e(G) множество порядков эле-
ментов группы G. Для целого положительного числа t положим Mt(G) = \{ g \in G : O(g) = t\} .
Две группы G1 и G2 называются конформными, если \pi e(G1) = \pi e(G2) и Mt(G1) = Mt(G2)
для всех t \in \pi e(G1) (см. [7]). Важная проблема, связанная с конформными группами, была
предложена Дж. Г. Томпсоном [5] (проблема 12.37): можно ли утверждать, что каждая группа,
конформная конечной разрешимой группе, является разрешимой?
До сих пор нет исчерпывающего ответа на этот вопрос. В качестве одного из подходов
для доказательства разрешимости группы некоторые авторы использовали разного рода огра-
ничения на количество элементов максимального порядка. Например, доказано, что если p
и q — простые числа, то группы с точно 6pq элементами максимального порядка являются
разрешимыми (см. [10]). В работах [1, 4], авторы исследовали структуру групп с заданным
числом элементов максимального порядка. Целью настоящей работы является изучение вопро-
са о разрешимости конечной группы G с точно 2pqr элементами максимального порядка, где
3 < p < q < r — простые числа.
Далее в этой статье мы используем следующие обозначения. Для p \in \pi e(G) множество всех
силовских p-подгрупп группы G обозначается через \mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{l}p(G). Кроме того, Sp(G) обозначает
силовскую p-подгруппу группы G, при этом полагаем np(G) = | \mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{l}p(G)| . При отсутствии
неоднозначности пишем Sp вместо Sp(G). Функция Эйлера обозначается через \phi . Подгруппа
группы G, порожденная элементом x \in G, обозначается через \langle x\rangle ; централизатор и нормализа-
тор последней группы в группе G обозначаются через CG(\langle x\rangle ) и NG(\langle x\rangle ) соответственно. Мы
пишем a | n, если a является делителем n, и полагаем | n| a = ae, если ae | | n, т. е. если ae | n,
но ae+1 \nmid n. Ниже везде k обозначает максимальный порядок элементов в группе G, M(G)
равно числу элементов порядка k и n, l \in \BbbN ; p, q и r — такие простые числа, что 3 < p < q < r.
Все остальные обозначения стандартны и могут быть найдены в [2]. В настоящей статье мы
доказываем следующую теорему.
Теорема. Пусть p, q и r — такие простые числа, что 3 < p < q < r. Если G — конечная
группа и M(G) = 2pqr, то G разрешима.
c\bigcirc Б. АСАДЯН, Н. АХАНЖИДЕ, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9 1275
1276 Б. АСАДЯН, Н. АХАНЖИДЕ
2. Предварительные результаты. Всюду в этой статье мы предполагаем, что p, q и r —
такие простые числа, что 3 < p < q < r. Пусть G — конечная группа и k = \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{x} (\pi e(G)).
Кроме того, пусть n – число циклических подгрупп порядка k. При доказательстве основной
теоремы нам понадобятся следующие вспомогательные утверждения.
Лемма 2.1 ([9], лемма 2.2). Пусть G имеет ровно n циклических подгрупп порядка l. Тог-
да ml(G) = n\phi (l). В частности, если n — число циклических подгрупп группы G порядка k,
то M(G) = n\phi (k).
Лемма 2.2 ([1], лемма 8). Существует положительное число \alpha такое, что | G| делит
M(G)k\alpha .
Лемма 2.3 ([9], теорема 1.1). Если M(G) = \phi (k), то группа G сверхразрешима.
Лемма 2.4 ([1], лемма 7). Если существует простой делитель p числа k такой, что p(p -
- 1) > M(G), то группа G содержит единственную нормальную силовскую p-подгруппу S и
| S| = p.
Лемма 2.5 ([10], лемма 2.7). Если M(G) = 2m, где m — нечетное положительное целое
число, то:
(1) k = 4, s\alpha или 2s\alpha , где s — нечетное простое число и \alpha \in \BbbN ;
(2) если группа G неразрешима, то k = 2s\alpha для некоторого нечетного простого числа
s и 2| | \phi (k) = (s - 1)s\alpha - 1; более того, каждая силовская 2-подгруппа группы G содержит
максимальную подгруппу, которая является элементарной абелевой;
(3) если k = 14, | G| = 2\alpha \cdot 3 \cdot 7\beta и группа G неразрешима, то G \sim = E \times L2(7), где E —
элементарная абелева 2-группа.
Лемма 2.6 ([10], лемма 2.9). Пусть G содержит n циклических подгрупп Ai порядка k,
где i = 1, 2, . . . , n; \{ A1, A2, . . . , Ad\} — полная система представителей сопряженных классов
n циклических подгрупп порядка k и ni — мощность сопряженного класса, содержащего Ai.
Тогда справедливы следующие утверждения:
(1) ni = [G : NG(Ai)], n =
\sum d
i=1
ni, \pi (ni) \cup \pi (Ai) = \pi (n1) \cup \pi (A1), где i = 1, 2, . . . , d.
(2) \pi (CG(Ai)) = \pi (Ai), [NG(Ai) : CG(Ai)] | \phi (k) и | G| = | G : NG(Ai)| [NG(Ai) :
CG(Ai)]| CG(Ai)| , где i = 1, 2, . . . , d.
(3) Пусть A = \langle a\rangle и O(a) = k. Если i = 1 и M(G) = 2m, где m — нечетное положитель-
ное целое число, то группа G разрешима.
Конечная группа G называется простой Kn-группой, если G — простая группа, для которой
| \pi (G)| = n.
Таким образом, простая K3-группа — это простая группа, для которой | \pi (G)| = 3. В сле-
дующей лемме описаны простые K3- и K4-группы, а также их порядки.
Лемма 2.7 [3]. Пусть G — простая K3-группа. Тогда G изоморфна одной из следующих
простых групп:
A5(2
2 \cdot 3 \cdot 5), A6(2
3 \cdot 32 \cdot 5), L2(7)(2
3 \cdot 3 \cdot 7), L2(8)(2
3 \cdot 32 \cdot 7),
L2(17)(2
4 \cdot 32 \cdot 17), L3(3)(2
4 \cdot 33 \cdot 13), U3(3)(2
5 \cdot 33 \cdot 7), U4(2)(2
6 \cdot 34 \cdot 5).
Лемма 2.8 ([8], теорема 2). Пусть G — простая K4-группа. Тогда G изоморфна одной из
следующих групп:
(1) A7(2
3 \cdot 32 \cdot 5 \cdot 7), A8(2
6 \cdot 32 \cdot 5 \cdot 7), A9(2
6 \cdot 34 \cdot 5 \cdot 7), A10(2
7 \cdot 34 \cdot 52 \cdot 7);
(2) M11(2
4 \cdot 32 \cdot 5 \cdot 11), M12(2
6 \cdot 33 \cdot 5 \cdot 11), J2(27 \cdot 33 \cdot 52 \cdot 7);
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С 2pqr ЭЛЕМЕНТАМИ МАКСИМАЛЬНОГО ПОРЯДКА 1277
(3) (a) L2(r), где r — такое простое число, что r2 - 1 = 2a \cdot 3b \cdot vc для a \geq 1, b \geq 1,
c \geq 1 и простого числа v > 3;
(b) L2(2
m), где число m \geq 2 такое, что число 2m - 1 = u простое и 2m+1 = 3tb, причем
t > 3 — простое число и b \geq 1;
(c) L2(3
m), где число m \geq 2 такое, что 3m + 1 = 4t, 3m - 1 = 2uc или 3m + 1 = 4tb и
3m - 1 = 2u, причем числа u и t являются нечетными простыми, b \geq 1 и c \geq 1;
(d) L2(16)(2
4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 17), L2(25)(2
3 \cdot 3 \cdot 52 \cdot 13), L2(49)(2
4 \cdot 3 \cdot 52 \cdot 72),
L2(81)(2
4 \cdot 34 \cdot 5 \cdot 41), L3(4)(2
6 \cdot 32 \cdot 5 \cdot 7), L3(5)(2
5 \cdot 3 \cdot 53 \cdot 31), L3(7)(2
5 \cdot 32 \cdot 73 \cdot 19),
L3(8)(2
9 \cdot 32 \cdot 72 \cdot 73), L3(17)(2
9 \cdot 32 \cdot 173 \cdot 307), L4(3)(2
7 \cdot 36 \cdot 5 \cdot 13),
S4(4)(2
8 \cdot 32 \cdot 52 \cdot 17), S4(5)(2
6 \cdot 32 \cdot 54 \cdot 13), S4(7)(2
8 \cdot 32 \cdot 52 \cdot 74),
S4(9)(2
8 \cdot 38 \cdot 52 \cdot 41), S6(2)(2
9 \cdot 34 \cdot 5 \cdot 7), O+
8 (2)(2
12 \cdot 35 \cdot 52 \cdot 7), G2(3)(2
6 \cdot 36 \cdot 7 \cdot 13),
U3(4)(2
6 \cdot 3 \cdot 52 \cdot 13), U3(5)(2
4 \cdot 32 \cdot 53 \cdot 7), U3(7)(2
7 \cdot 3 \cdot 73 \cdot 43), U3(8)(2
9 \cdot 34 \cdot 7 \cdot 19),
U3(9)(2
5 \cdot 36 \cdot 52 \cdot 73), U4(3)(2
7 \cdot 36 \cdot 5 \cdot 7), U5(2)(2
10 \cdot 35 \cdot 5 \cdot 11), Sz(8)(26 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13),
Sz(32)(210 \cdot 52 \cdot 31 \cdot 41), 3D4(2)(2
12 \cdot 34 \cdot 72 \cdot 13), 2F4(2)
\prime (211 \cdot 33 \cdot 52 \cdot 13).
Замечание 2.1. Если S — простая K4-группа, то 3 делит | S| или S \sim = Sz(8)(26 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13)
или Sz(32)(210 \cdot 52 \cdot 31 \cdot 41).
Лемма 2.9. Пусть G — конечная неразрешимая группа такая, что M(G) = 2pqr =
= \phi (k) \cdot n. Тогда k = 2s\alpha , где \alpha \in \BbbN , \alpha \leq 2 и s — простое число. Кроме того, имеет
место одно из следующих утверждений:
(i) \alpha = 2 и либо s = q = 2p+ 1, n = r, либо s = r \in \{ 2p+ 1, 2q + 1\} ;
(ii) \alpha = 1 и s \in \{ 2p+ 1, 2q + 1, 2r + 1, 2pq + 1, 2pr + 1, 2qr + 1\} .
Доказательство. Поскольку группа G неразрешима, из леммы 2.5(2) следует, что k = 2s\alpha ,
где s — нечетное простое число. Тогда 2pqr = \phi (2s\alpha )\cdot n по лемме 2.1. Если \alpha > 2, то s2 | \phi (s\alpha ),
поэтому s2 | pqr, что приводит к противоречию. Если \alpha = 2, то
s - 1
2
s
\bigm| \bigm| \bigm| pqr. Рассмотрим
возникающие при этом три случая.
1. Если s = p, то (s - 1)/2 < p, поэтому (s - 1)/2 = 1 и s = p = 3, что противоречит
нашему предположению.
2. Если s = q, то (s - 1)/2 = p, поэтому s = q = 2p+ 1 и n = r.
3. Если s = r, то (s - 1)/2 \in \{ p, pq, q\} . Если (s - 1)/2 = pq, то \phi (k) = 2pqr, поэтому из
леммы 2.3 следует, что группа G сверхразрешима, что приводит к противоречию.
Таким образом, s = r \in \{ 2p+ 1, 2q + 1\} .
Если \alpha = 1, то (s - 1)/2 | pqr. Если s = 2pqr + 1, то с учетом того, что \phi (k) = 2pqr =
= M(G), приходим к противоречию по лемме 2.3. Таким образом, s \in \{ 2p + 1, 2q + 1, 2r +
+ 1, 2pq + 1, 2pr + 1, 2qr + 1\} .
3. Доказательство теоремы. Пусть G — неразрешимая группа. Согласно нашему пред-
положению G имеет n циклических подгрупп порядка k. Для каждого 1 \leq i \leq d выберем
полную систему представителей Ai сопряженных классов этих подгрупп и положим ni = [G :
NG(Ai)]. Поскольку группа G неразрешима, из леммы 2.6(3) следует, что d \geq 2. Кроме то-
го, согласно предположениям леммы 2.5, число s является простым. Рассмотрим структуру
группы G при различных значениях s, указанных в лемме 2.9.
Случай 1. Пусть \alpha = 2, s = q = 2p + 1 и n = r. Тогда k = 2(2p + 1)2 = 2q2 по лем-
ме 2.9. Предположим, что группа Ai = \langle ai\rangle такова, что O(ai) = 2q2. Из леммы 2.2 следует, что
| G| | 2\alpha prq\beta , причем \alpha , \beta > 0. В силу нашего предположения n = r, поэтому n =
\sum d
i=1
ni = r
по лемме 2.6(1), так что r \nmid ni для всех 1 \leq i \leq d. Кроме того, из леммы 2.6(2) следует, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1278 Б. АСАДЯН, Н. АХАНЖИДЕ
[NG(Ai) : CG(Ai)] | 2pq и \pi (CG(Ai)) = \{ 2, q\} . Поэтому G является \{ 2, p, q\} -группой. Однако в
силу леммы 2.7 3 \in \pi (H) для каждой простой K3-группы H. Но наше предположение влечет,
что 3 < p < q и, следовательно, мы приходим к противоречию.
Случай 2. Пусть \alpha = 2 и s = r \in \{ 2p + 1, 2q + 1\} . Кроме того, пусть сначала s = r =
= 2p + 1. Предположим, что группа Ai = \langle ai\rangle такова, что O(ai) = 2r2. Поскольку k = 2r2,
из леммы 2.2 следует, что G является \{ 2, p, q, r\} -группой. В силу лемм 2.1 и 2.6(1) отсюда
получаем n =
\sum d
i=1
ni = q, так что q \nmid ni для каждого 1 \leq i \leq d. По лемме 2.6(2) имеем
[NG(Ai) : CG(Ai)] | 2pr и \pi (CG(Ai)) = \{ 2, r\} . Значит, G является \{ 2, p, r\} -группой. Поскольку
3 < p < r, это приводит к противоречию по лемме 2.7. Заменяя в предыдущем случае q на p,
приходим к противоречию и в случае, когда s = r = 2q + 1.
Случай 3. Пусть \alpha = 1 и s \in \{ 2pr + 1, 2qr + 1, 2pq + 1\} . Тогда k \in \{ 2(2pr + 1), 2(2qr +
+ 1), 2(2pq + 1)\} по лемме 2.9. Если s = 2pr + 1, то в силу неравенства (2pr + 1)2pr > 2pqr
и леммы 2.4 имеем S2pr+1 \unlhd G и | S2pr+1| = 2pr + 1. Поэтому S2pr+1(G) — циклическая
подгруппа группы G. Поскольку (2pr + 1)q > k, имеем (2pr + 1)q \not \in \pi e(G). Следовательно,
действие группы Sq на S2pr+1 является фробениусовым. Отсюда получаем делимость q | 2pr,
приводящую к противоречию. Снова заменяя в предыдущем рассуждении q на p, приходим к
противоречию и в случае, когда s = 2qr + 1.
Если s = 2pq+1, то с учетом k = 2s из леммы 2.2 следует, что | G| | 2\alpha pqrs\beta , где \alpha , \beta > 0.
Следовательно, n = r по лемме 2.1. Пусть группа Ai = \langle ai\rangle такова, что O(ai) = 2s. Тогда
n =
\sum d
i=1
ni = r по лемме 2.6(1), так что r \nmid ni для каждого 1 \leq i \leq d. Кроме того, по
лемме 2.6(2) имеем [NG(Ai) : CG(Ai)] | 2pq, \pi (CG(Ai)) = \{ 2, s\} и, значит, \pi (G) \subseteq \{ 2, p, q, s\} .
Однако из нашего предположения следует, что 3 < p < q < s, поэтому в силу леммы 2.7 группа
G не допускает в качестве фактора никакой простой K3-группы. Следовательно, существует
фактор группы G, изоморфный простой K4-группе. Однако 3 \not \in \pi (G). Поэтому G \sim = Sz(8)
или Sz(32) в силу замечания 2.1 и, следовательно, s = 2pq + 1 = 13 или 41 соответственно.
Пришли к противоречию.
Случай 4. Пусть \alpha = 1 и s = 2r + 1. Тогда k = 2s по лемме 2.9. В силу леммы 2.2
справедливо включение \pi (G) \subseteq \{ 2, p, q, r, s\} . Пусть группа Ai = \langle ai\rangle такова, что O(ai) = 2s.
Тогда реализуется одна из двух возможностей, рассматриваемых ниже.
1. Если существует такое 1 \leq i \leq d, что p \nmid ni, то [NG(Ai) : CG(Ai)] | 2r и \pi (CG(Ai)) =
= \pi (Ai) = \{ 2, s\} по лемме 2.6(2). Следовательно, \pi (G) \subseteq \{ 2, q, r, s\} . Поскольку 3 < q < r < s,
в силу леммы 2.7 группа G не допускает в качестве фактора никакой простой K3-группы.
Значит, существует фактор группы G, изоморфный простой K4-группе. Но тогда 3 \not \in \pi (G)
и из замечания 2.1 следует, что G \sim = Sz(8) или Sz(32). Поэтому s = 2r + 1 = 13 или 41
соответственно, что дает требуемое противоречие.
2. Если p | ni для каждого 1 \leq i \leq d, то в силу лемм 2.6(1) и 2.2 имеем n =
\sum d
i=1
ni = pq.
Поэтому существует 1 \leq i \leq d такое, что q \nmid ni. Таким образом, G является \{ 2, p, r, s\} -
группой по лемме 2.6(2). Поскольку 3 < p < r < s, в силу леммы 2.7 группа G не допускает в
качестве фактора никакой простой K3-группы. Значит, существует фактор группы G, изоморф-
ный простой K4-группе. Проводя рассуждение, аналогичное использованному в предыдущем
случае, мы снова приходим к противоречию.
Случай 5. Пусть \alpha = 1 и s = 2q + 1. Тогда k = 2s по лемме 2.9. В силу леммы 2.2
справедливо включение \pi (G) \subseteq \{ 2, p, q, r, s\} . Пусть группа Ai = \langle ai\rangle такова, что O(ai) = 2s.
Тогда реализуется одна из двух возможностей, рассматриваемых ниже.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С 2pqr ЭЛЕМЕНТАМИ МАКСИМАЛЬНОГО ПОРЯДКА 1279
1. Если существует такое 1 \leq i \leq d, что p \nmid ni, то из леммы 2.6(2) следует, что [NG(Ai) :
CG(Ai)] | 2q и \pi (CG(Ai)) = \pi (Ai) = \{ 2, s\} , поэтому \pi (G) \subseteq \{ 2, q, r, s\} . Поскольку 3 < q < s и
3 < r, в силу леммы 2.7 группа G не допускает в качестве фактора никакой простой K3-группы.
Значит, существует фактор группы G, изоморфный простой K4-группе. Однако 3 \not \in \pi (G), и,
значит, G \sim = Sz(8) или Sz(32) в силу замечания 2.1 и соответственно s = 2q + 1 = 13 или 41.
Получили противоречие.
2. Если p | ni для каждого 1 \leq i \leq d, то n =
\sum d
i=1
ni = pr по леммам 2.6(1) и 2.2. Поэтому
найдется такое 1 \leq i \leq d, что r \nmid ni. Поскольку [NG(Ai) : CG(Ai)] | 2q и \pi (CG(Ai)) = \pi (Ai) =
= \{ 2, s\} , из леммы 2.6(2) следует, что G является \{ 2, p, q, s\} -группой. Поскольку 3 < p < q <
< s, в силу леммы 2.7 группа G не допускает в качестве фактора никакой простой K3-груп-
пы. Значит, существует фактор группы G, изоморфный простой K4-группе. Это приводит к
противоречию так же, как и в предыдущем случае.
Случай 6. Пусть \alpha = 1 и s = 2p+ 1. Тогда k = 2(2p+ 1) по лемме 2.9. В силу леммы 2.2
отсюда следует, что \pi (G) \subseteq \{ 2, p, q, r, s\} . Пусть группа Ai = \langle ai\rangle такова, что O(ai) = 2s. Тогда
реализуется одна из двух возможностей, рассматриваемых ниже.
1. Если существует такое 1 \leq i \leq d, что q \nmid ni, то [NG(Ai) : CG(Ai)] | 2p и \pi (CG(Ai)) =
= \pi (Ai) = \{ 2, s\} по лемме 2.6(2). Поэтому \pi (G) \subseteq \{ 2, p, r, s\} . Поскольку 3 < p < s и 3 < r,
в силу леммы 2.7 группа G не допускает в качестве фактора никакой простой K3-группы.
Значит, существует фактор группы G, изоморфный простой K4-группе. Однако 3 \not \in \pi (G),
поэтому в силу замечания 2.1 имеем G \sim = Sz(8) или Sz(32) и, значит, s = 2p+ 1 = 13 или 41
соответственно. Получили противоречие.
2. Если q | ni для каждого 1 \leq i \leq d, то n =
\sum d
i=1
ni = qr по леммам 2.6(1) и 2.2.
Следовательно, существует такое 1 \leq i \leq d, что r \nmid ni. Поскольку [NG(Ai) : CG(Ai)] | 2p и
\pi (CG(Ai)) = \pi (Ai) = \{ 2, s\} , группа G является \{ 2, p, q, s\} -группой по лемме 2.6(2). Поскольку
3 < p < s и 3 < q, в силу леммы 2.7 группа G не допускает в качестве фактора никакой
простой K3-группы. Значит, существует фактор группы G, изоморфный простой K4-группе.
Это приводит к противоречию так же, как и в предыдущем случае.
Таким образом, группа G является разрешимой, что и требовалось доказать.
Литература
1. Chen G. Y., Shi J. Finite groups with 30 elements of maximal order // Appl. Categ. Structures. – 2008. – 16, № 1. –
P. 239 – 247.
2. Gorenstein D. Finite groups. – New York: Harper and Row Press, 1968.
3. Herzog M. On finite simple groups of order divisible by three primes only // J. Algebra. – 1968. – 120, № 10. –
P. 383 – 388.
4. Jiang Q., Shao C. Finite groups with 24 elements of maxiamal order // Front. Math. China. – 2010. – 5, № 4. –
P. 665 – 678.
5. Mazurov V., Khukhro E. I. The Kourovka notebook: unsolved problems in group theory. – 17th ed. – Novosibirsk:
Russ. Acad. Sci. Sib. Division. Inst. Math., 2010.
6. Miller G. Addition to a theorem due to Frobenius // Bull. Amer. Math. Soc. – 1904. – 11, № 1. – P. 6 – 7.
7. Shi W. Groups whose elements have given orders // Chin. Sci. Bull. – 1997. – 42, № 21. – P. 1761 – 1764.
8. Shi W. On simple K4 -group // Chin. Sci. Bull. – 1991. – 36, № 7. – P. 1281 – 1283.
9. Yang C. Finite groups based on the numbers of elements of maximal order // Chin. Ann. Math. Ser. A. – 1993. – 14,
№ 5. – P. 561 – 567 (in Chinese).
10. Yong X., Juanjuan G., Hailong H. Finite groups with 6pq elements of the largest order // Ital. J. Pure and Appl.
Math. – 2013. – 31. – P. 277 – 284.
Получено 08.08.14,
после доработки — 30.07.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1779 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:30Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/cd/19d2cbf93aa0c57d83c809814e2404cd.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17792019-12-05T09:26:20Z Finite groups with 2pqr elements of the maximal order Конечные группы с $2pqr$ элементами максимального порядка Asadiyan, B. Ahanjideh, N. Асадян, Б. Аханжиде, Н. Асадян, Б. Аханжиде, Н. Let $3 < p < q < r$ be odd prime numbers. In this paper, we prove that the finite groups with exactly $2pqr$ elements of maximal order are solvable. Нехай $3 < p < q < r$ — простi числа. Доведено, що кожна скiнченна група з точно $2pqr$ елементами максимального порядку є розв’язною. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1779 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 9 (2017); 1275-1279 Український математичний журнал; Том 69 № 9 (2017); 1275-1279 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1779/761 Copyright (c) 2017 Asadiyan B.; Ahanjideh N. |
| spellingShingle | Asadiyan, B. Ahanjideh, N. Асадян, Б. Аханжиде, Н. Асадян, Б. Аханжиде, Н. Finite groups with 2pqr elements of the maximal order |
| title | Finite groups with 2pqr elements of the maximal order |
| title_alt | Конечные группы с $2pqr$ элементами максимального порядка |
| title_full | Finite groups with 2pqr elements of the maximal order |
| title_fullStr | Finite groups with 2pqr elements of the maximal order |
| title_full_unstemmed | Finite groups with 2pqr elements of the maximal order |
| title_short | Finite groups with 2pqr elements of the maximal order |
| title_sort | finite groups with 2pqr elements of the maximal order |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1779 |
| work_keys_str_mv | AT asadiyanb finitegroupswith2pqrelementsofthemaximalorder AT ahanjidehn finitegroupswith2pqrelementsofthemaximalorder AT asadânb finitegroupswith2pqrelementsofthemaximalorder AT ahanžiden finitegroupswith2pqrelementsofthemaximalorder AT asadânb finitegroupswith2pqrelementsofthemaximalorder AT ahanžiden finitegroupswith2pqrelementsofthemaximalorder AT asadiyanb konečnyegruppys2pqrélementamimaksimalʹnogoporâdka AT ahanjidehn konečnyegruppys2pqrélementamimaksimalʹnogoporâdka AT asadânb konečnyegruppys2pqrélementamimaksimalʹnogoporâdka AT ahanžiden konečnyegruppys2pqrélementamimaksimalʹnogoporâdka AT asadânb konečnyegruppys2pqrélementamimaksimalʹnogoporâdka AT ahanžiden konečnyegruppys2pqrélementamimaksimalʹnogoporâdka |