Descriptive complexity of the sizes of subsets of groups
We study the Borel complexity of some basic families of subsets of a countable group (large, small, thin, rarefied, etc.) determined by the sizes of their elements. The obtained results are applied to the Czech – Stone compactification $\beta G$ of the group $G$. In particular, it is shown that the...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1780 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507638941351936 |
|---|---|
| author | Banakh, T. O. Protasov, I. V. Protasova, K. D. Банах, Т. О. Протасов, І. В. Протасова, К. Д. |
| author_facet | Banakh, T. O. Protasov, I. V. Protasova, K. D. Банах, Т. О. Протасов, І. В. Протасова, К. Д. |
| author_sort | Banakh, T. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:26:20Z |
| description | We study the Borel complexity of some basic families of subsets of a countable group (large, small, thin, rarefied, etc.)
determined by the sizes of their elements. The obtained results are applied to the Czech – Stone compactification $\beta G$ of the
group $G$. In particular, it is shown that the closure of the minimal ideal $\beta G$ has the $F_{\sigma \delta}$ type. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Т. О. Банах (Львiв. нац. ун-т iм I. Франка),
I. В. Протасов, К. Д. Протасова (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ДЕСКРИПТИВНА СКЛАДНIСТЬ РОЗМIРIВ ПIДМНОЖИН ГРУП
We study the Borel complexity of some basic families of subsets of a countable group (large, small, thin, rarefied, etc.)
determined by the sizes of their elements. The obtained results are applied to the Czech – Stone compactification \beta G of the
group G. In particular, it is shown that the closure of the minimal ideal \beta G has the F\sigma \delta type.
Исследуется борелева сложность некоторых основных семейств подмножеств счетной группы (больших, малых,
тонких, разреженных и других), определенных размерами ее членов. Полученные результаты применены к чех-
стоуновой компактификации \beta G группы G. В частности, доказано, что замыкание минимального идеала \beta G имеет
тип F\sigma \delta .
Для групи G позначимо через \bfP G та \bfF G булеву алгебру всiх пiдмножин G та її iдеал всiх
скiнченних пiдмножин. Ми надiляємо \bfP G топологiєю, що виникає з iдентифiкацiї (через харак-
теристичнi функцiї) \bfP G з \{ 0, 1\} G. Для K \in \bfF G множини
\{ X \in \bfP G : K \subseteq X\} , \{ X \in \bfP G : X \cap K = \varnothing \}
утворюють передбазу цiєї топологiї.
Пiсля топологiзацiї кожну сiм’ю \scrF пiдмножин групи G можна розглядати як пiдпростiр
\bfP G, тож природно поставити питання про борелеву складнiсть \scrF (питання типове для де-
скриптивної теорiї множин [1]). Ми ставимо вiдповiднi питання для найбiльш iнтенсивно
дослiджуваних сiмей у комбiнаторицi груп. Щодо витокiв цих сiмей, означених у пунктi 1,
див. огляд [2]. Основнi результати наведено в пунктi 2, а їх застосування до чех-стоунової ком-
пактифiкацiї \beta G дискретної групи G — в пунктi 3. Завершується стаття деякими коментарями
i вiдкритими питаннями.
1. Розмаїття пiдмножин груп. Пiдмножина A групи G називається:
великою, якщо G = FA для деякої пiдмножини F \in \bfF G;
надвеликою, якщо A \cap L велика для кожної великої пiдмножини L;
малою, якщо L \setminus A велика для кожної великої пiдмножини L;
товстою, якщо для кожної пiдмножини F \in \bfF G iснує такий елемент g \in G, що Fg \subseteq A;
передтовстою, якщо FA товста для деякої пiдмножини F \in \bfF G.
Наведено деякi очевиднi або простi (див. [3]) спiввiдношення мiж означеними пiдмножи-
нами: A велика тодi i тiльки тодi, коли G \setminus A не є товстою; A мала тодi i тiльки тодi, коли A
не є передтовстою (еквiвалентно, G \setminus A надвелика). Сiм’я всiх малих пiдмножин групи G є
iдеалом в \bfP G.
Пiдмножина A групи G називається:
P -малою, якщо iснує iн’єктивна послiдовнiсть (gn)n\in \omega в G така, що пiдмножини \{ gnA :
n \in \omega \} попарно не перетинаються;
слабко P -малою, якщо для довiльного n \in \omega iснують такi елементи g0, . . . , gn групи, що
пiдмножини g0A, . . . , gnA попарно не перетинаються;
майже P -малою, якщо iснує iн’єктивна послiдовнiсть (gn)n\in \omega в G така, що пiдмножина
gnA \cap gmA скiнченна для довiльних рiзних n,m;
c\bigcirc Т. О. БАНАХ, I. В. ПРОТАСОВ, К. Д. ПРОТАСОВА, 2017
1280 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
ДЕСКРИПТИВНА СКЛАДНIСТЬ РОЗМIРIВ ПIДМНОЖИН ГРУП 1281
ледь P -малою, якщо для кожного n \in \omega iснують такi елементи g0, . . . , gn групи, що пiд-
множина giA \cap gjA скiнченна для довiльних рiзних i, j \in \{ 0, . . . , n\} .
Кожна нескiнченна група G мiстить слабко P -малу пiдмножину, що не є P -малою [4]. Кож-
ну майже P -малу пiдмножину можна розбити на двi P -малi пiдмножини [5]. Кожна злiченна
абелева група мiстить ледь P -малу пiдмножину, що не є слабко P -малою i майже P -малою [6].
Пiдмножина A групи G з одиницею e називається:
тонкою, якщо перетин gA \cap A скiнченний для кожного g \in G \setminus \{ e\} ;
рiдкою, якщо довiльна нескiнченна пiдмножина Y групи G мiстить скiнченну пiдмножину
F \subset Y таку, що пiдмножина
\bigcap
g\in F gA є скiнченною.
Об’єднання двох тонких пiдмножин може не бути тонким, проте сiм’я всiх рiдких пiдмно-
жин є iдеалом в \bfP G [7]. Про численнi модифiкацiї й узагальнення тонких та рiдких пiдмножин
див. [5, 8 – 11].
2. Основнi результати. Для групи G позначимо через \bfL G, \bfE \bfL G, \bfS G, \bfT G та \bfP \bfT G множини
всiх великих, надвеликих, малих, товстих i передтовстих пiдмножин групи G вiдповiдно.
Теорема 1. Для злiченної групи G пiдмножина \bfL G має тип F\sigma , \bfT G — тип G\delta , \bfP \bfT G —
тип G\delta \sigma , \bfS G та \bfE \bfL G мають тип F\sigma \delta .
Доведення. Вiзьмемо довiльнi F,H \in \bfF G i доведемо допомiжне твердження: множина
T (F,H) = \{ A \in \bfP G : H \subseteq FA\} є вiдкритою.
Дiйсно, нехай F = \{ g1, . . . , gn\} i (H1, . . . ,Hn) — розбиття H. Множина \{ A \in \bfP G : H1 \subseteq
\subseteq g1A, . . . ,Hn \subseteq gnA\} є вiдкритою, а тому i T (F,H) вiдкрита як об’єднання скiнченних (по
всiх розбиттях H ) вiдкритих множин.
Далi, множина TH(F ) =
\bigcup
\{ T (F,Hg) : g \in G\} є вiдкритою i множина T (F ) =
\bigcap
\{ TH(F ) :
H \in \bfF G\} має тип G\delta . Оскiльки \bfT G = T (\{ e\} ) i \bfP \bfT G =
\bigcup
\{ T (F ) : F \in \bfF G\} , то \bfT G має тип
G\delta , а \bfP \bfT G — тип G\delta \sigma .
Оскiльки \bfS G = \bfP G \setminus \bfP \bfT G , то \bfS G має тип F\delta \sigma . Вiдображення, визначене як A \mapsto - \rightarrow G\setminus A,
є гомеоморфiзмом \bfP G, а тому сiм’я \bfL G гомеоморфна \bfP G \setminus \bfT G, а \bfE \bfL G гомеоморфна \bfS G. Отже,
\bfL G має тип F\sigma , а \bfE \bfL G — тип F\delta \sigma .
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Для злiченної групи G множини тонких слабко P -малих i ледь P -малих пiд-
множин групи G мають тип F\delta \sigma .
Доведення. Для F \in \bfF G i g \in G \setminus \{ e\} множина X(F, g) = \{ A \in \bfP G : ga /\in A для кожного
a \in A \setminus F\} є замкненою. Множина X(g) =
\bigcup
\{ X(F, g) : F \in \bfF G\} має тип F\sigma i
\bigcap
\{ X(g) :
g \in G \setminus \{ e\} \} — це множина всх тонких пiдмножин.
Для n \in \omega , \omega = \{ 0, 1, . . .\} , позначимо через [G]n сiм’ю всiх n-пiдмножин G. Для F \in [G]n
множина Y (F ) = \{ A \in \bfP G : gA
\bigcap
hA = \varnothing для всiх рiзних g, h \in F\} є замкненою, а множина
слабко P -малих пiдмножин групи G збiгається з\bigcap
n\in \omega
\bigcup
\{ Y (F ) : F \in [G]n\} .
Для F \in [G]n i H \in \bfF G множина Y (F,H) = \{ A \in \bfP G : g(A\setminus H)
\bigcap
h(A\setminus H) = \varnothing для всiх
рiзних g, h \in F\} є замкненою, а множина ледь P -малих пiдмножин збiгається з\bigcap
n\in \omega
\bigcup
\{ Y (F,H) : F \in [G]n, H \in \bfF G\} .
Теорему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1282 Т. О. БАНАХ, I. В. ПРОТАСОВ, К. Д. ПРОТАСОВА
3. Застосування до \bfitbeta \bfitG . Чех-стоунову компактифiкацiю \beta G дискретної групи G ототож-
нимо з множиною всiх ультрафiльтрiв на G i розглянемо \beta G як правотопологiчну напiвгрупу
(див. [12]). Кожна непорожня замкнена пiдмножина X простору \beta G визначається деяким
фiльтром \varphi X на G:
X =
\bigcap
\{ \Phi : \Phi \in \varphi X\} , \Phi = \{ p \in \beta G : \Phi \in p\} .
З iншого боку, кожен фiльтр \Phi на G є пiдпростором \bfP G, а тому можна ставити питання
про складнiсть X як складнiсть \varphi X в \bfP G.
Напiвгрупа \beta G має мiнiмальний iдеал KG, що вiдiграє ключову роль у комбiнаторних
застосуваннях \beta G. За теоремою 1.5 з [3] замикання \mathrm{c}\mathrm{l} (KG) визначається фiльтром усiх надве-
ликих пiдмножин G. Якщо G злiченна, то, застосовуючи теорему 1, приходимо до висновку,
що \mathrm{c}\mathrm{l} (KG) має тип F\sigma \delta .
4. Коментарi. 1. Вiдповiдаючи на питання з [13], П. Закржевський довiв [14], що для
злiченної аменабельної групи G iдеал абсолютно нульових пiдмножин має борелеву складнiсть
F\sigma \delta . Кожна абсолютно нульова пiдмножина є малою, але для довiльного \varepsilon > 0, iснує мала
пiдмножина A групи G така, що \mu (A) > 1 - \varepsilon для деякої банахової мiри \mu на G (див. [5]).
2. Класифiкацiю пiдмножин груп за їх розмiрами можна розглядати в загальному контекс-
тi асимптологiї (див. [15]). В цьому контекстi великi, товстi i малi пiдмножини вiдiграють
роль щiльних, вiдкритих i нiде не щiльних пiдмножин рiвномiрних топологiчних просторiв.
Динамiчний погляд на пiдмножини груп викладено в [16].
3. Нагадаємо, що топологiчний простiр X називають польським, якщо X гомеоморфний
деякому повному сепарабельному метричному простору. Пiдмножину A польського простору
X називають аналiтичною, якщо A є неперервним образом деякого польського простору, i
коаналiтичною, якщо X\setminus A аналiтична.
Використовуючи технiку, розроблену в статтi [10], можна довести, що iдеал рiдких пiд-
множин злiченної групи G коаналiтичний, а пiдпростiр P -малих пiдмножин простору \bfP G
аналiтичний, проте жоден iз цих пiдпросторiв не є борелевим.
Ультрафiльтр p на групi G називають строго простим, якщо p /\in \mathrm{c}\mathrm{l} (G\ast G\ast ), де G\ast —
напiвгрупа всiх вiльних ультрафiльтрiв на G. Покладемо X = \mathrm{c}\mathrm{l} (G\ast G\ast ) i позначимо через \varphi X
фiльтр, що визначає X. У [7] доведено, що A \in \varphi X тодi i тiльки тодi, коли подмножина G \setminus A
є рiдкою. Отже, якщо G злiченна, то пiдпростiр \varphi X є аналiтичним у \bfP G.
4. У [17] доведено, що кожна худа (першої категорiї) топологiчна група G може бути
зображена як добуток G = CN деякої злiченної множини C i нiде не щiльної множини N.
Кожну нескiнченну групу G можна подати як об’єднання злiченної сiм’ї малих пiдмножин [3].
Чи кожну нескiнченну групу G можна розкласти в добуток G = CS деякої злiченної
множини C i малої пiдмножини S?
Вiдповiдь на це питання є ствердною, якщо G аменабельна або має пiдгрупу злiченного
iндексу.
Лiтература
1. Kechris A. Classical descriptive set theory. – Springer, 1995.
2. Protasov I. V. Selective survey on subset combinatorics of groups // Ukr. Math. Bull. – 2011. – 7. – P. 220 – 257.
3. Protasov I., Banakh T. Ball structures and colorings of graphs and groups // Math. Stud. Monogr. Ser. – Lviv: VNTL
Publ., 2003. – 11.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
ДЕСКРИПТИВНА СКЛАДНIСТЬ РОЗМIРIВ ПIДМНОЖИН ГРУП 1283
4. Banakh T., Lyaskovska N. Weakly P -small not P -small subsets in groups // Int. J. Algebra Comput. – 2008. – 18. –
P. 1 – 6.
5. Lutsenko Ie., Protasov I. Sparse, thin and other subsets of groups // Int. J. Algebra Comput. – 2009. – 19. – P. 491 – 510.
6. Protasov I. V., Protasova K. D. Around P -small subsets of groups // Carpath. Math. Publ. – 2014. – 6. – P. 337 – 341.
7. Filali M., Lutsenko Ie., Protasov I. Boolean group ideals and the ideal structure of \beta G // Math. Stud. – 2008. – 30. –
P. 1 – 10.
8. Lutsenko Ie., Protasov I. Relatively thin and sparse subsets of groups // Ukr. Math. J. – 2011. – 63, № 2. – P. 216 – 225.
9. Protasov I., Slobodianiuk S. Thin subsets of groups // Ukr. Math. J. – 2013. – 65, № 9. – P. 1245 – 1253.
10. Banakh T., Lyaskovska N. On thin-complete ideals of subsets of groups // Ukr. Math. J. – 2011. – 63, № 6. –
P. 741 – 754.
11. Banakh T., Protasov I., Slobodianiuk S. Scattered subsets of groups // Ukr. Math. J. – 2015. – 65, № 3. – P. 291 – 298.
12. Hindman N., Strauss D. Algebra in the Stone – Čech compactification: theory and applications. – Berlin; New York:
Walter de Gruyter, 1998.
13. Banakh T., Lyaskovska N. Completeness of translation-invariant ideals on groups // Ukr. Math. J. – 2010. – 62, № 8. –
P. 1022 – 1031.
14. Zakrzewski P. On the complexity of the ideal of absolute null sets // Ukr. Math. J. – 2012. – 64, № 2. – P. 306 – 308.
15. Protasov I., Zarichnyi M. General asymptology // Math Stud. Monogr. Ser. – Lviv: VNTL Publ., 2007. – 12.
16. Protasov I., Slobodianiuk S. The dynamical look at the subsets of a group // Appl. Gen. Top. – 2015. – 16, № 2. –
P. 217 – 224.
17. Banakh T., Guran I., Ravsky O. Characterizing meager paratopological groups // Appl. Gen. Top. – 2011. – 12, № 1. –
P. 27 – 33.
Одержано 23.06.16,
пiсля доопрацювання — 19.02.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1780 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:30Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5a/13dce45d6b6ee36e2034b3e44caa655a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17802019-12-05T09:26:20Z Descriptive complexity of the sizes of subsets of groups Дескриптивна складнiсть розмiрiв пiдмножин груп Banakh, T. O. Protasov, I. V. Protasova, K. D. Банах, Т. О. Протасов, І. В. Протасова, К. Д. We study the Borel complexity of some basic families of subsets of a countable group (large, small, thin, rarefied, etc.) determined by the sizes of their elements. The obtained results are applied to the Czech – Stone compactification $\beta G$ of the group $G$. In particular, it is shown that the closure of the minimal ideal $\beta G$ has the $F_{\sigma \delta}$ type. Исследуется борелева сложность некоторых основных семейств подмножеств счетной группы (больших, малых, тонких, разреженных и других), определенных размерами ее членов. Полученные результаты применены к чех-стоуновой компактификации $\beta G$ группы $G$. В частности, доказано, что замыкание минимального идеала $\beta G$ имеет тип $F_{\sigma \delta}$ . Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1780 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 9 (2017); 1280-1283 Український математичний журнал; Том 69 № 9 (2017); 1280-1283 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1780/762 Copyright (c) 2017 Banakh T. O.; Protasov I. V.; Protasova K. D. |
| spellingShingle | Banakh, T. O. Protasov, I. V. Protasova, K. D. Банах, Т. О. Протасов, І. В. Протасова, К. Д. Descriptive complexity of the sizes of subsets of groups |
| title | Descriptive complexity of the sizes of subsets of
groups |
| title_alt | Дескриптивна складнiсть розмiрiв пiдмножин
груп |
| title_full | Descriptive complexity of the sizes of subsets of
groups |
| title_fullStr | Descriptive complexity of the sizes of subsets of
groups |
| title_full_unstemmed | Descriptive complexity of the sizes of subsets of
groups |
| title_short | Descriptive complexity of the sizes of subsets of
groups |
| title_sort | descriptive complexity of the sizes of subsets of
groups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1780 |
| work_keys_str_mv | AT banakhto descriptivecomplexityofthesizesofsubsetsofgroups AT protasoviv descriptivecomplexityofthesizesofsubsetsofgroups AT protasovakd descriptivecomplexityofthesizesofsubsetsofgroups AT banahto descriptivecomplexityofthesizesofsubsetsofgroups AT protasovív descriptivecomplexityofthesizesofsubsetsofgroups AT protasovakd descriptivecomplexityofthesizesofsubsetsofgroups AT banakhto deskriptivnaskladnistʹrozmirivpidmnožingrup AT protasoviv deskriptivnaskladnistʹrozmirivpidmnožingrup AT protasovakd deskriptivnaskladnistʹrozmirivpidmnožingrup AT banahto deskriptivnaskladnistʹrozmirivpidmnožingrup AT protasovív deskriptivnaskladnistʹrozmirivpidmnožingrup AT protasovakd deskriptivnaskladnistʹrozmirivpidmnožingrup |