Some holomorphic generalizations of loxodromic functions
The functional equation of the form $f(qz) = p(z)f(z), z \in C\setminus \{ 0\} , q \in C\setminus \{ 0\} , | q| < 1$ is considered. For certain fixed elementary functions $p(z)$, holomorphic solutions of this equation are found. These solutions are some generalizations of loxodromic functi...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1781 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507640202788864 |
|---|---|
| author | Lukivska, Dz. V. Луківська, Дз. В. |
| author_facet | Lukivska, Dz. V. Луківська, Дз. В. |
| author_sort | Lukivska, Dz. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:26:20Z |
| description | The functional equation of the form $f(qz) = p(z)f(z), z \in C\setminus \{ 0\} , q \in C\setminus \{ 0\} , | q| < 1$ is considered. For certain fixed
elementary functions $p(z)$, holomorphic solutions of this equation are found. These solutions are some generalizations of
loxodromic functions. Some of solutions are represented via the Schottky – Klein prime function. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.53
Дз. В. Лукiвська (Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка)
ДЕЯКI ГОЛОМОРФНI УЗАГАЛЬНЕННЯ ЛОКСОДРОМНИХ ФУНКЦIЙ
The functional equation of the form f(qz) = p(z)f(z), z \in \BbbC \setminus \{ 0\} , q \in \BbbC \setminus \{ 0\} , | q| < 1 is considered. For certain fixed
elementary functions p(z), holomorphic solutions of this equation are found. These solutions are some generalizations of
loxodromic functions. Some of solutions are represented via the Schottky – Klein prime function.
Рассматривается функциональное уравнение f(qz) = p(z)f(z), z \in \BbbC \setminus \{ 0\} , q \in \BbbC \setminus \{ 0\} , | q| < 1. При опреде-
ленных фиксированных элементарных функциях p(z) найдены его голоморфные решения. Эти решения являются
некоторыми обобщениями локсодромных функций. Некоторые из решений представляются с помощью первичной
функции Шоттки – Кляйна.
Вступ. Позначимо \BbbC \ast = \BbbC \setminus \{ 0\} . Для z \in \BbbC \ast розглянемо рiвняння
f(qz) = p(z)f(z), (1)
де p(z) — деяка функцiя, q \in \BbbC \ast , | q| < 1.
У випадку p(z) \equiv 1 розв’язком цього рiвняння є класична локсодромна функцiя [3].
Клас локсодромних функцiй iз мультиплiкатором q (тобто таких, що задовольняють умову
f(qz) = f(z), q \in \BbbC \ast , | q| < 1) позначатимемо \scrL q. Теорiя локсодромних функцiй була роз-
роблена О. Раузенбергером [14]. Ж. Валiрон [17] назвав цi функцiї локсодромними, тому що
точки, в яких цi функцiї у випадку недодатного q набувають однакових значень, лежать на ло-
гарифмiчних спiралях. Поверхня Землi може бути змодельованою математично у виглядi сфери
Рiмана, тобто як проекцiя сфери на комплексну площину. Образи логарифмiчних спiралей при
стереографiчнiй проекцiї на сферу Рiмана перетинають меридiани пiд одним i тим же кутом i
називаються локсодромними кривими (\lambda o\xi o\zeta — косий, \delta \rho o\mu o\zeta — шлях).
Iсторiя локсодроми сягає тих часiв, коли мореплавцi вперше зрозумiли, що Земля не є
плоскою. Отже, вони повиннi були взяти до уваги кривину. Важливою подiєю стала поява
у 1569 р. проекцiї Меркатора, тобто рiвнокутної цилiндричної проекцiї. „Рiвнокутна” в назвi
проекцiї пiдкреслює те, що проекцiя зберiгає кути мiж напрямками. Проекцiя Меркатора ви-
явилася досить зручною для потреб мореплавства. Пояснюється це тим, що траєкторiя руху
корабля, що йде пiд одним i тим же румбом до меридiана (тобто з незмiнним положенням стрiл-
ки компаса щодо шкали), зображується прямою лiнiєю на картi в проекцiї Меркатора, тобто
всi локсодроми в нiй зображуються прямими лiнiями. Для проекцiї Меркатора характерно те,
що на картах не спотворюються кути i форми, а вiдстанi зберiгаються тiльки на екваторi (на
пiвночi i пiвднi iстотно спотворюються вiдстанi i розмiри). В даний час вона застосовується
для складання морських навiгацiйних i аеронавiгацiйних карт, а також в геодезiї, системах GPS
навiгацiї. Сьогоднi у геоiнформацiйних системах широко застосовується унiверсальна транс-
версальна проекцiя Меркатора (Universal Transverse Mercator — UTM). Багато навiгацiйних
сервiсiв, зокрема Google Maps, користуються системою координат Web Mercator. У статтях [2,
15] також можна знайти деякi застосування локсодромних функцiй.
Вiдновлення iнтересу до вивчення локсодромних мероморфних функцiй вiдбулося вiдносно
нещодавно, пiсля звернення до цiєї тематики А. Кондратюка. Так, у серiї робiт А. Кондратюка
та його учнiв отримано важливi результати в теорiї локсодромних функцiй та їх узагальнень.
c\bigcirc ДЗ. В. ЛУКIВСЬКА, 2017
1284 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
ДЕЯКI ГОЛОМОРФНI УЗАГАЛЬНЕННЯ ЛОКСОДРОМНИХ ФУНКЦIЙ 1285
Уперше до питання локсодромностi А. Кондратюк звернувся у статтi [9], присвяченiй меро-
морфним вiдображенням двовимiрного тора на сферу Рiмана та їх зв’язку з локсодромними
мероморфними функцiями у проколенiй комплекснiй площинi. У роботах [4, 5, 10] вивчається
зв’язок локсодромностi з Жюлiа-винятковiстю. Розглянувши локсодромнi рiзницi субгармо-
нiчних функцiй, А. Кондратюк спiльно зi своїми учнями отримав зображення таких функцiй та
описав їх мiри Рiса у [6, 8 12, 13]. Варто також згадати роботу Н. Сокульської та В. Хорощак
[7], у якiй розглядаються класи локсодромних (мультиплiкативно перiодичних) мероморфних
функцiй у верхнiй пiвплощинi комплексної площини.
Природним чином постало завдання узагальнити поняття локсодромної функцiї, тобто знай-
ти розв’язок рiвняння (1) i для iнших функцiй p(z). У [5] знайдено мероморфний i голоморфний
розв’язок цього рiвняння у випадку p(z) \equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.
Мета даної статтi — отримати голоморфнi розв’язки рiвняння (1), де p(z) — деякi елемен-
тарнi функцiї. Цi розв’язки будуть деякими узагальненнями локсодромних функцiй.
Випадок \bfitp (\bfitz ) = \bfone /(\bfone - \bfitz ). Розглянемо функцiональне рiвняння
f(qz) =
1
1 - z
f(z), z \in \BbbC \ast . (2)
Наше завдання полягає у знаходженнi голоморфних у \BbbC \ast розв’язкiв даного рiвняння.
Для цього визначимо цiлу функцiю
H(z) =
\infty \prod
n=0
(1 - qnz)
з послiдовнiстю нулiв \{ q - n\} , n \in \BbbN \cup \{ 0\} , 0 < | q| < 1.
Теорема 1. Цiла функцiя f(z) = CH(z), де C — стала, задовольняє рiвняння (2).
Доведення. Справдi,
(1 - z)f(qz) = (1 - z)C
\infty \prod
n=0
\bigl(
1 - qn+1z
\bigr)
=
= C(1 - z)
\infty \prod
k=1
\Bigl(
1 - qkz
\Bigr)
= C
\infty \prod
n=0
(1 - qnz) = f(z).
Теорема 2. Кожен голоморфний у \BbbC \ast розв’язок рiвняння (1) має вигляд f(z) = CH(z), де
C — стала.
Доведення. Iз теореми 1 вiдомо, що f задовольняє рiвняння (2). Оскiльки f(z) голоморфна
в \BbbC \ast , звiдси випливає, що f(qz) голоморфна в \BbbC \ast . Отже, f(1) = 0.
Покладемо у рiвняннi (2) z =
1
q
. Ми отримали
f
\biggl(
1
q
\biggr)
=
\biggl(
1 - 1
q
\biggr)
f
\biggl(
q
1
q
\biggr)
=
\biggl(
1 - 1
q
\biggr)
f(1) = 0.
Методом математичної iндукцiї легко показати, що f
\biggl(
1
qn
\biggr)
= 0 для всiх n \in \BbbN . Оскiльки
f(1) = 0 i f
\biggl(
1
qn
\biggr)
= 0 для кожного n \in \BbbN , то f(z) = g(z)H(z), де g — голоморфна функцiя.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1286 ДЗ. В. ЛУКIВСЬКА
Таким чином,
f(qz) = g(qz)H(qz) = g(qz)
1
1 - z
H(z). (3)
Використовуючи рiвняння (2), отримуємо
f(qz) =
1
1 - z
g(z)H(z). (4)
Прирiвнюючи правi частини рiвностей (3) i (4), бачимо, що g(qz) = g(z) для кожного z \not = q - n,
n \in \BbbZ +. Iншими словами, для всiх z \in \BbbC \ast виконується g(qz) = g(z). З останньої рiвностi
безпосередньо випливає, що функцiя g є локсодромною. Крiм того, g голоморфна. Отже, g є
сталою [3, с. 93].
Теорему 2 доведено.
Зауваження. З теореми 2 випливає, що всi голоморфнi розв’язки рiвняння (2) є цiлими
функцiями.
Випадок \bfitp (\bfitz ) = \bfone /\bfitz . Тепер розглянемо функцiональне рiвняння
f(qz) =
1
z
f(z), z \in \BbbC \ast . (5)
Знайдемо його голоморфний у \BbbC \ast розв’язок. Для цього розглянемо первинну функцiю
Шотткi – Кляйна [1, 5]
P (z) = (1 - z)
\infty \prod
n=1
(1 - qnz)
\biggl(
1 - qn
z
\biggr)
. (6)
Її дослiджували Ф. Кляйн [11] та Ф. Шотткi [16] у другiй половинi XIX — на початку
XX столiття. Дана функцiя голоморфна в \BbbC \ast . Вона має нулi у точках \{ qn\} , n \in \BbbZ . Первинна
функцiя Шотткi – Кляйна має властивiсть [3, с. 94]
P (qz) = - z - 1P (z). (7)
Нам знадобиться таке допомiжне твердження.
Лема . Для всiх z \in \BbbC \ast
P (z) = A
+\infty \sum
n= - \infty
( - 1)nq
n(n - 1)
2 zn, (8)
де
A =
\infty \prod
n=1
(1 + qn)2 /
+\infty \sum
n=1
q
n(n - 1)
2 . (9)
Доведення. Функцiя P аналiтична в \BbbC \ast , розвинемо її в ряд Лорана в \BbbC \ast . Нехай
P (z) =
+\infty \sum
n= - \infty
anz
n. (10)
Знайдемо коефiцiєнти an. Розглянувши функцiю P (qz) i застосувавши до неї властивiсть (7),
одержимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
ДЕЯКI ГОЛОМОРФНI УЗАГАЛЬНЕННЯ ЛОКСОДРОМНИХ ФУНКЦIЙ 1287
+\infty \sum
n= - \infty
anq
nzn = P (qz)
(6)
= - 1
z
P (z)
(9)
= - 1
z
+\infty \sum
n= - \infty
anz
n =
=
+\infty \sum
n= - \infty
( - an)z
n - 1 =
+\infty \sum
n= - \infty
( - an+1)z
n.
Прирiвнюючи коефiцiєнти при однакових степенях z, бачимо, що an+1 = - anq
n для всiх
n \in \BbbZ . Нехай a0 = A. Застосовуючи метод математичної iндукцiї по n, можна показати,
що an = ( - 1)nAqn(n - 1)/2 для кожного n \in \BbbN . Подiбнi мiркування застосуємо до n \in \BbbZ - i
отримаємо a - n = ( - 1)nAqn(n+1)/2, n \in \BbbN . Оскiльки q
n(n - 1)
2 = q
( - n)( - n+1)
2 , то можна зробити
висновок, що для всiх z \in \BbbC \ast
P (z) = A
+\infty \sum
n= - \infty
( - 1)nq
n(n - 1)
2 zn.
Залишилося знайти A. Розглянемо P ( - 1):
P ( - 1) = A
+\infty \sum
n= - \infty
q
n(n - 1)
2 = . . .+ Aq3
n= - 2
+ Aq
n= - 1
+ A
n=0
+ A
n=1
+ Aq
n=2
+Aq3
n=3
+ . . . = 2A
+\infty \sum
n=1
q
n(n - 1)
2 .
З iншого боку, iз виразу (6) ми бачимо, що
P ( - 1) = 2
\infty \prod
n=1
(1 + qn)2.
Таким чином,
A =
\infty \prod
n=1
(1 + qn)2 /
+\infty \sum
n=1
q
n(n - 1)
2 .
Зауважимо, що оскiльки 0 < | q| < 1, то
\prod \infty
n=1
(1 + qn)2 i
\sum +\infty
n=1
q
n(n - 1)
2 є збiжними.
Теорема 3. Голоморфна в \BbbC \ast функцiя f(z) = CP ( - z), де C — стала, задовольняє рiвнян-
ня (5).
Доведення. Використовуючи рiвнiсть (7), отримуємо
f(qz) = CP ( - qz) = C
1
z
P ( - z) =
1
z
f(z).
Теорема 4. Кожен голоморфний у \BbbC \ast розв’язок рiвняння (5) має вигляд f(z) = CP ( - z),
де C — стала.
Доведення. Нехай функцiя f(z) =
\sum +\infty
n= - \infty
anz
n є голоморфним у \BbbC \ast розв’язком рiвнян-
ня (5). Тодi для всiх z \in \BbbC \ast маємо
+\infty \sum
n= - \infty
anq
nzn = f(qz)
(5)
=
1
z
+\infty \sum
n= - \infty
anz
n =
+\infty \sum
n= - \infty
anz
n - 1 =
+\infty \sum
n= - \infty
an+1z
n.
Прирiвнюючи вiдповiднi коефiцiєнти, отримуємо an+1 = anq
n для кожного n \in \BbbZ . Нехай
a0 = B. Якщо B = 0, то f(z) \equiv 0, i немає що доводити. Нехай B \not = 0. За iндукцiєю
легко показати, що an = Bqn(n - 1)/2 для всiх n \in \BbbN . Аналогiчнi мiркування застосовуємо для
вiд’ємних цiлих n. Отже, для всiх n \in \BbbZ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1288 ДЗ. В. ЛУКIВСЬКА
f(z) = B
+\infty \sum
n= - \infty
q
n(n - 1)
2 zn. (11)
З леми вiдомо розвинення в ряд Лорана функцiї P в \BbbC \ast . Комбiнуючи (8), (9) i (11), отри-
муємо f(z) = CP ( - z), де C = B/A, що i потрiбно було довести.
Як наслiдок, ми отримуємо наступну цiкаву властивiсть розв’язкiв рiвняння (5).
Наслiдок. Нехай f є голоморфним у \BbbC \ast розв’язком рiвняння (5) i для довiльного R вико-
нується
\int
| z| =R
f(z)
z
dz = 0. Тодi f(z) \equiv 0.
Доведення. Оскiльки f голоморфна в \BbbC \ast , ми можемо розвинути її в ряд Лорана в \BbbC \ast :
f(z) =
\sum +\infty
n= - \infty
anz
n, де an = a0q
n(n - 1)/2 для всiх n \in \BbbZ згiдно з теоремою 4. З рiвностi
a0 =
\int
| z| =R
f(z)
z
dz = 0 випливає, що an = 0 для всiх n \in \BbbZ . Таким чином, f(z) \equiv 0.
Лiтература
1. Crowdy D. G. Geometric function theory: a modern view of a classical subject // Nonlinearity. – 2008. – 21, № 10. –
P. T205 – T219.
2. Marcotte J., Salomone M. Loxodromic spirals in M. C. Escher’s sphere surface // J. Humanist. Math. – 2014. – 4,
№ 2. – P. 25 – 46.
3. Hellegouarch Y. Invitation to the mathematics of Fermat – Wiles. – Acad. Press, 2002.
4. Hushchak O., Kondratyuk A. The Julia exceptionality of loxodromic meromorphic functions // Visnyk Lviv Univ.
Ser. Mech., Mat. – 2013. – 78. – P. 35 – 41.
5. Khoroshchak V. S., Khrystiyanyn A. Ya., Lukivska D. V. A class of Julia exceptional functions // Carpath. Math. Publ. –
2016. – 8, № 1. – P. 172 – 180.
6. Khoroshchak V. S., Kondratyuk A. A. The Riesz measures and a representation of multiplicatively periodic \delta -
subharmonic functions in a punctured Euclidean space // Mat. Stud. – 2015. – 43, № 1. – P. 61 – 65.
7. Khoroshchak V. S., Sokulska N. B. Multiplicatively periodic meromorphic functions in the upper halfplane // Mat.
Stud. – 2014. – 42, № 2. – P. 143 – 148.
8. Khoroshchak V. S., Kondratyuk A. A. Stationary harmonic functions on homogeneous spaces // Ufimsk. Mat. Zh. –
2015. – 7, № 4. – P. 155 – 159.
9. Khrystiyanyn A. Ya., Kondratyuk A. A. Meromorphic mappings of torus onto the Riemann sphere // Carpath. Math.
Publ. – 2012. – 4, № 1. – P. 155 – 159.
10. Khrystiyanyn A. Ya., Kondratyuk A. A. Modulo-loxodromic meromorphic function in C\setminus 0 // Ufimsk. Mat. Zh. –
2016. – 8, № 4. – P. 156 – 162.
11. Klein F. Zur Theorie der Abel’schen Functionen // Math. Ann. – 1890. – 36. – P. 1 – 83.
12. Kondratyuk A. A., Zaborovska V. S. Multiplicatively periodic subharmonic functions in the punctured Euclidean space
// Mat. Stud. – 2013. – 40, № 2. – P. 159 – 164.
13. Kondratyuk A. A. Loxodromic meromorphic and \delta -subharmonic functions // Proc. Workshop Complex Anal. and
Appl. Different. and Funct. Equat. – Joensuu, Finland: Publ. Univ. East. Finland Repts and Stud. Forestry and Natural
Sci., 2014. – 14. – P. 89 – 99.
14. Rausenberger O. Lehrbuch der Theorie der Periodischen Functionen Einer variabeln. – Leipzig: Druck und Ferlag
von B. G. Teubner, 1884.
15. Kos S., Pogány T. K. On the mathematics of navigational calculations for meridian sailing // Electron. J. Geography
and Math. – 2012.
16. Schottky F. Über eine specielle Function welche bei einer bestimmten linearen Transformation ihres Arguments
unverändert bleibt // J. reine and angew. Math. – 1887. – 101. – S. 227 – 272.
17. Valiron G. Cours d’Analyse Mathematique, Theorie des fonctions. – 2nd ed. – Paris: Masson et Cie., 1947.
Одержано 27.10.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1781 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:31Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/eb/1f8441d756b1ba9fef97b31bc283fceb.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17812019-12-05T09:26:20Z Some holomorphic generalizations of loxodromic functions Деякі голоморфні узагальнення локсодромних функцій Lukivska, Dz. V. Луківська, Дз. В. The functional equation of the form $f(qz) = p(z)f(z), z \in C\setminus \{ 0\} , q \in C\setminus \{ 0\} , | q| < 1$ is considered. For certain fixed elementary functions $p(z)$, holomorphic solutions of this equation are found. These solutions are some generalizations of loxodromic functions. Some of solutions are represented via the Schottky – Klein prime function. Рассматривается функциональное уравнение $f(qz) = p(z)f(z), z \in C\setminus \{ 0\} , q \in C\setminus \{ 0\} , | q| < 1$. При определенных фиксированных элементарных функциях $p(z)$ найдены его голоморфные решения. Эти решения являются некоторыми обобщениями локсодромных функций. Некоторые из решений представляются с помощью первичной функции Шоттки – Кляйна. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1781 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 9 (2017); 1284-1288 Український математичний журнал; Том 69 № 9 (2017); 1284-1288 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1781/763 Copyright (c) 2017 Lukivska Dz. V. |
| spellingShingle | Lukivska, Dz. V. Луківська, Дз. В. Some holomorphic generalizations of loxodromic functions |
| title | Some holomorphic generalizations of loxodromic functions |
| title_alt | Деякі голоморфні узагальнення локсодромних функцій |
| title_full | Some holomorphic generalizations of loxodromic functions |
| title_fullStr | Some holomorphic generalizations of loxodromic functions |
| title_full_unstemmed | Some holomorphic generalizations of loxodromic functions |
| title_short | Some holomorphic generalizations of loxodromic functions |
| title_sort | some holomorphic generalizations of loxodromic functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1781 |
| work_keys_str_mv | AT lukivskadzv someholomorphicgeneralizationsofloxodromicfunctions AT lukívsʹkadzv someholomorphicgeneralizationsofloxodromicfunctions AT lukivskadzv deâkígolomorfníuzagalʹnennâloksodromnihfunkcíj AT lukívsʹkadzv deâkígolomorfníuzagalʹnennâloksodromnihfunkcíj |