Karamata integral representations for functions generalizing regularly varying functions
We consider the classes of functions that generalized regularly varying and receive Karamata’s type integral representations for this functions.
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1782 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507642599833600 |
|---|---|
| author | Pavlenkov, V. V. Павленков, В. В. |
| author_facet | Pavlenkov, V. V. Павленков, В. В. |
| author_sort | Pavlenkov, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:26:20Z |
| description | We consider the classes of functions that generalized regularly varying and receive Karamata’s type integral representations
for this functions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
В. В. Павленков (Нац. техн. ун-т України „КПI iм. I. Сiкорського”, Київ)
IНТЕГРАЛЬНI ЗОБРАЖЕННЯ КАРАМАТИ ДЛЯ ФУНКЦIЙ,
ЯКI УЗАГАЛЬНЮЮТЬ ПРАВИЛЬНО ЗМIННI ФУНКЦIЇ
We consider the classes of functions that generalized regularly varying and receive Karamata’s type integral representations
for this functions.
Рассмотрены классы функций, обобщающих правильно меняющиеся функции, и получены интегральные представ-
ления типа Караматы для таких функций.
1. Вступ. Поняття правильно змiнної (RV) функцiї з’явилося в 30-x роках ХХ столiття в роботах
Й. Карамати [1, 2]. У своїх роботах Й. Карамата довiв ряд фундаментальних теорем для RV
функцiй, серед яких є теорема про iнтегральне зображення. На сьогоднi теорiя правильно
змiнних функцiй широко використовується в рiзних роздiлах математики, зокрема в теорiї
ймовiрностей та аналiзi (див., наприклад, [4 – 6]).
Iснує багато узагальнень поняття правильної змiни, головне з яких — О-регулярна змiна
(ORV) (див., наприклад, [3, 7, 8]). Теорема про iнтегральне зображення ORV функцiї є вiдомою.
Нижче будуть розглянутi деякi iншi класи функцiй, якi узагальнюють правильно змiннi функцiї,
та теореми про їх iнтегральне зображення.
Всi результати роботи були анонсованi пiд час доповiдi на Сiмнадцятiй мiжнароднiй науко-
вiй конференцiї iм. акад. Михайла Кравчука (див. [14]).
2. Означення та попереднi вiдомостi. Нехай \bfR — множина дiйсних чисел та \bfR + —
множина додатних дiйсних чисел. Скрiзь далi вимiрнiсть розумiтимемо в сенсi Лебега. Для
A > 0 розглянемо сiм’ю \BbbF \BbbM +(A) додатних i вимiрних функцiй f = (f(x), x \geq A) та
\BbbF \BbbM + =
\bigcup
A>0
\BbbF \BbbM +(A).
Для f \in \BbbF \BbbM + розглянемо верхню i нижню граничнi функцiї:
f\ast (\lambda ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\rightarrow \infty
f(\lambda x)
f(x)
та f\ast (\lambda ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
x\rightarrow \infty
f(\lambda x)
f(x)
, \lambda > 0. (1)
Зауваження 1. Верхня та нижня граничнi функцiї з (1) набувають значень у множинi
[0,\infty ].
RV та ORV функцiї.
Означення 1. Функцiя f \in \BbbF \BbbM + називається правильно змiнною (RV ), якщо для кожного
\lambda > 0
f\ast (\lambda ) = f\ast (\lambda ) = \kappa f (\lambda ) \in (0,\infty ), (2)
тобто якщо границя
\kappa f (\lambda ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
f(\lambda x)
f(x)
iснує та є додатною i скiнченною для кожного \lambda > 0.
c\bigcirc В. В. ПАВЛЕНКОВ, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9 1289
1290 В. В. ПАВЛЕНКОВ
Правильно змiнну функцiю f називають повiльно змiнною (SV), якщо \kappa f (\lambda ) = 1 для всiх
\lambda > 0. В теоремi про зображення RV функцiй стверджується (див., наприклад, [4]), що якщо
f — RV функцiя, то знайдеться таке \rho \in \bfR , що \kappa f (\lambda ) = \lambda \rho , \lambda > 0. Число \rho називають iндексом
або показником функцiї f. Iндекс \rho = 0 мають SV функцiї i тiльки вони. Довiльна RV функцiя
f з iндексом \rho має вигляд
f(x) = x\rho \ell (x), x \geq A,
де \ell — вiдповiдна SV функцiя.
Зауваження 2. Вiдомо (див., наприклад, [4]), що для довiльної RV функцiї f з iндексом \rho
справджується рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} f(x)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x
= \rho .
Означення 2. Функцiя f \in \BbbF \BbbM + називається О-регулярно змiнною (ORV ) (див. [3, 7]),
якщо для кожного \lambda > 0
f\ast (\lambda ) < \infty . (3)
З (3) випливають нерiвностi (див., наприклад, [6])
0 < f\ast (\lambda ) \leq f\ast (\lambda ) < \infty , \lambda > 0,
якi також використовуються як означення ORV функцiї.
ORV функцiї з iндексом. У роботi [8] показано, що для довiльної ORV функцiї f iснують
границi
p = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow 0+
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} f\ast (x)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x
, q = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} f\ast (x)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x
,
для яких
- \infty < p \leq q < \infty .
Бiльш того, в роботi [8] також показано, що для довiльної ORV функцiї f та вiдповiдних їй
чисел p та q виконуються нерiвностi
p \leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
x\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} f(x)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x
\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} f(x)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x
\leq q. (4)
Тому для довiльної ORV функцiї f визначено її верхнiй та нижнiй iндекси
\rho \ast = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
x\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} f(x)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x
, \rho \ast = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} f(x)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x
.
Бiльш детально про верхнiй та нижнiй iндекси ORV функцiї див., наприклад, у [4].
Означення 3. ORV функцiя f називається ORV функцiєю з iндексом \rho , якщо для її ниж-
нього та верхнього iндексiв виконується рiвнiсть
\rho \ast = \rho \ast = \rho .
Клас таких функцiй будемо позначати ORV(\rho ). Нехай також
ORVind =
\bigcup
\rho \in R
ORV (\rho ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
IНТЕГРАЛЬНI ЗОБРАЖЕННЯ КАРАМАТИ ДЛЯ ФУНКЦIЙ, ЯКI УЗАГАЛЬНЮЮТЬ . . . 1291
ORV функцiї з невиродженими групами регулярних точок. Прикладами ORV функ-
цiй з iндексом є ORV функцiї з невиродженими групами регулярних точок та регулярно log-
перiодичнi функцiї (див. [6, 9, 10]).
Означення 4. Число \lambda > 0 називається регулярною точкою функцiї f \in \BbbF \BbbM +, якщо
f\ast (\lambda ) = f\ast (\lambda ) \in (0,\infty ).
Множину всiх регулярних точок функцiї f позначимо через \BbbG r(f). Зауважимо, що множина
\BbbG r(f) непорожня, оскiльки 1 \in \BbbG r(f). Крiм того, \BbbG r(f) є групою вiдносно множення (див. [6,
9]). Будемо казати, що \BbbG r(f) є невиродженою, якщо вона мiстить принаймнi два елементи.
Клас ORV функцiй iз невиродженими групами регулярних точок позначимо через ORN.
Означення 5. Функцiя f \in \BbbF \BbbM + називається регулярно \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}-перiодичною функцiєю, якщо
для деякого A > 0
f(x) = x\rho \ell (x)H(\mathrm{l}\mathrm{n}x), x \geq A, (5)
де \rho \in \bfR , \ell = (\ell (x), x \geq A) — повiльно змiнна функцiя та H = (H(u), u \in \bfR ) — додатна
неперервна перiодична функцiя. Клас таких функцiй позначимо через RLP.
Клас регулярно log-перiодичних функцiй мiститься у класi ORV функцiй iз невиродженими
групами регулярних точок (див. [6, 9, 10]). У роботi будуть отриманi результати для ORV функ-
цiй iз невиродженими групами регулярних точок, i цi результати будуть також справедливими
i для регулярно \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}-перiодичних функцiй.
Зауваження 3. В [9] показано, що для довiльної ORV функцiї f iз невиродженою групою
регулярних точок має мiсце таке зображення її верхньої граничної функцiї:
f\ast (\lambda ) = \lambda \rho P (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \lambda ), \lambda > 0,
де \rho \in \bfR — деяке єдине число, P — додатна обмежена перiодична функцiя (будемо далi її
називати перiодичною компонентою для функцiї f ). Тому з (4) випливає, що верхнiй та нижнiй
iндекси такої функцiї задовольняють рiвнiсть
\rho \ast = \rho \ast = \rho .
Отже, ORV функцiя f iз невиродженою групою регулярних точок є ORV функцiєю з iндексом,
а тому
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} f(x)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x
= \rho . (6)
Клас функцiй \bfscrM . Для розглянутих вище функцiй f, якi узагальнюють правильно змiннi
функцiї, можна говорити про їх iндекс, який знаходиться з рiвностi (6). Зауважимо, що є iншi
пiдходи до означення iндексу функцiї, наприклад iндекси Матушевської (див. [13]). У цiй роботi
iндекс функцiї будемо розумiти лише в сенсi рiвностi (6).
У роботах [11, 12] вводиться клас \scrM функцiй, якi узагальнюють правильно змiннi функцiї
i для яких також можна означити iндекс за допомогою рiвностi (6).
Означення 6. Функцiя f \in \BbbF \BbbM + належить класу \scrM , якщо знайдеться таке число \rho \in \bfR ,
що для кожного \varepsilon > 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
f(x)
x\rho +\varepsilon
= 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
f(x)
x\rho - \varepsilon
= \infty .
Число \rho з означення 6 називають iндексом функцiї з класу \scrM . Через \scrM \rho позначимо клас
функцiй з \scrM , якi мають iндекс \rho .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1292 В. В. ПАВЛЕНКОВ
Зауваження 4. В [11] доводиться, що рiвнiсть (6) є визначальною для класу \scrM . Тобто
довiльна функцiя f \in \BbbF \BbbM + належить класу \scrM тодi i тiльки тодi, коли виконується рiвнiсть (6).
Iнтегральнi зображення типу Карамати. Вiдомо (див., наприклад, [8]), що f належить
RV з iндексом \rho тодi i тiльки тодi, коли для деякого x0 > 0 та для всiх x \geq x0
f(x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ \alpha (x) +
x\int
x0
\beta (s)
ds
s
\right\} , (7)
де \alpha та \beta — обмеженi вимiрнi функцiї, для яких iснують скiнченнi границi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\alpha (x) = a, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\beta (x) = \rho .
Зображення типу (7) будемо називати iнтегральним зображенням типу Карамати.
Вiдомим (див., наприклад, [8]) є наступне iнтегральне зображення типу Карамати для ORV
функцiй.
Твердження 1. Функцiя f належить ORV тодi i тiльки тодi, коли виконується (7), де \alpha
та \beta — обмеженi вимiрнi функцiї.
В роботi [11] отримано наступне iнтегральне зображення для функцiй iз класу \scrM .
Твердження 2. Функцiя f належить \scrM \rho тодi i тiльки тодi, коли для деякого x0 > 0 та
для всiх x \geq x0
f(x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ \^\alpha (x) + \^\epsilon (x)
x\int
x0
\^\beta (s)
ds
s
\right\} , (8)
де \^\alpha , \^\beta та \^\epsilon — вимiрнi функцiї , для яких
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\^\alpha (x)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x
= 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\^\beta (x) = \rho , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\^\epsilon (x) = 1.
Зауважимо, що зображення (8) не є зображенням типу Карамати через наявнiсть функцiї
\^\epsilon . Також на сьогоднi не iснує iнтегрального зображення типу Карамати для ORV функцiй iз
невиродженими групами регулярних точок.
Основною метою роботи є отримання iнтегральних зображень типу Карамати для ORV
функцiй iз невиродженими групами регулярних точок та для функцiй iз класу \scrM . У пунк-
тi 3 сформульовано основнi результати та встановлено наслiдки з них; пункт 4 присвячено
доведенню основних результатiв.
3. Iнтегральнi зображення типу Карамати для функцiй iз класу \bfscrM та для ORV функ-
цiй iз невиродженими групами регулярних точок. У цьому пунктi наводяться формулювання
теорем про iнтегральнi зображення типу Карамати та встановлюються основнi наслiдки з них.
Теорема 1. Нехай f належить \BbbF \BbbM +. Функцiя f належить \scrM \rho тодi i тiльки тодi, коли
для деякого x0 > 0 та для всiх x \geq x0 виконується (7), де \alpha та \beta — такi вимiрнi функцiї , що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\alpha (x)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x
= 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\beta (x) = \rho . (9)
Тобто для функцiй iз класу \scrM має мiсце iнтегральне зображення типу Карамати.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
IНТЕГРАЛЬНI ЗОБРАЖЕННЯ КАРАМАТИ ДЛЯ ФУНКЦIЙ, ЯКI УЗАГАЛЬНЮЮТЬ . . . 1293
Зауваження 5. З умови (9) випливає обмеженiсть функцiї \beta (x) для достатньо великих x,
проте обмеженiсть функцiї \alpha не випливає. У випадку ORV функцiї \alpha та \beta iз (7) мають бути
обмеженими (див. твердження 1). Тому \scrM \nsubseteq ORV. Приклад функцiї з класу \scrM , який не
належить класу ORV, наведено у [12], а саме
f(x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x)a \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}((\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x)b)
\bigr\}
,
де 0 < a < 1, 0 < b < 1, a+ b > 1.
Зауваження 6. В iнтегральному зображеннi для ORV функцiї вiдсутня умова
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow \infty \beta (x) = \rho , тому не кожна ORV функцiя має iндекс, а отже, ORV \nsubseteq \scrM .
Розглянемо функцiї f \in \BbbF \BbbM +, для яких має мiсце зображення (7), в якому \alpha та \beta — вимiрнi
обмеженi функцiї, та \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow \infty \beta (x) = \rho . Оскiльки \alpha та \beta — вимiрнi обмеженi функцiї, то з
твердження 1 випливає, що f — ORV функцiя. Бiльш того, оскiльки \alpha — обмежена функцiя,
то виконується (9), i тому за теоремою 1 функцiя f належить класу \scrM . Тобто такi функцiї
належать класу ORV функцiй з iндексом. Отже, справджується такий наслiдок.
Наслiдок 1.
ORVind = ORV
\bigcap
\scrM . (10)
Рiвнiсть (10) також отримано у [12], але iншим способом.
Наступна теорема встановлює iнтегральнi зображення типу Карамати для ORV функцiй iз
невиродженими групами регулярних точок.
Теорема 2. Нехай f належить \BbbF \BbbM +. Функцiя f належить ORN тодi i тiльки тодi, коли
для деякого x0 > 0 та для всiх x \geq x0 виконується (7), де \alpha та \beta — такi обмеженi вимiрнi
функцiї , що:
(A1) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow \infty \beta (x) = \rho ;
(A2) для всiх u \in \bfR +
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\rightarrow \infty
(\alpha (ux) - \alpha (x)) = p(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} u), \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
x\rightarrow \infty
(\alpha (ux) - \alpha (x)) = - p( - \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} u);
(A3) p — така перiодична функцiя, що p(0) = 0 та
- \infty < \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in R
p(u) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in R
p(u) < \infty .
При цьому група регулярних точок \BbbG r(f) мiстить такi числа \lambda , для яких \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \lambda є перiодом
функцiї p.
Наслiдок 2. З твердження 1, теорем 1 та 2 випливає, що ORN \subset ORVind.
Перiодична функцiя p з теореми 2 однозначно визначається функцiєю f, але вона може
бути достатньо загальною. Справджується таке твердження.
Твердження 3. Нехай p — довiльна обмежена перiодична функцiя та p(0) = 0, тобто
виконано умову (A3) теореми 2, крiм того,
f(x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
p(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x)
\bigr\}
, x > 0.
Тодi для функцiї f виконується рiвнiсть (7), причому виконано умови (A1) – (A3) теореми 2 з
функцiєю p = p.
Пiдсумовуючи результати, отриманi у пунктi 3, можна сформулювати наступне твердження
щодо введених класiв функцiй.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1294 В. В. ПАВЛЕНКОВ
Твердження 4.
RV \subset RLP \subset ORN \subset ORVind = ORV
\bigcap
\scrM .
4. Доведення основних результатiв. У цьому пунктi наведено доведення теорем 1 та 2.
Зауважимо, що доведення теореми 1 базується на доведеннi твердження 2, яке мiститься в
роботi [11], та є дещо модифiкованим.
Доведення теореми 1. Необхiднiсть. Нехай f належить \scrM \rho . Тодi iз зауваження 4 випливає,
що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} f(x)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x
= \rho . (11)
Тому з теореми про iнтегральне зображення RV функцiї маємо, що для деякого x0 > 0 функцiя
R(x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{
x\int
x0
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} f(s)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} s
ds
s
\right\} , x \geq x0,
є правильно змiнною з iндексом \rho , а тому
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}R(x)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x
= \rho .
Отже, для деякого x0 > 0 можна записати рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\int x
x0
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} f(s)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} s
ds
s
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} f(x)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x
= \rho . (12)
Покладемо
\gamma (x) =
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} f(x)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x
-
\int x
x0
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} f(s)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} s
ds
s
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x
, x \geq x0. (13)
Тодi з (12) випливає, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\gamma (x) = 0. (14)
З рiвностi (13) отримуємо таке зображення:
f(x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ \gamma (x) \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x+
x\int
x0
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} f(s)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} s
ds
s
\right\} , x \geq x0. (15)
Позначимо
\alpha (x) = \gamma (x) \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x, \beta (x) =
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} f(x)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x
, x \geq x0. (16)
Тодi з (15) та (16) випливає зображення (7).
Покажемо, що виконуються рiвностi (9). З (11) бачимо, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\beta (x) = \rho ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
IНТЕГРАЛЬНI ЗОБРАЖЕННЯ КАРАМАТИ ДЛЯ ФУНКЦIЙ, ЯКI УЗАГАЛЬНЮЮТЬ . . . 1295
а з (14) та (16) випливає, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\alpha (x)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x
= 0.
Вимiрнiсть функцiй \alpha та \beta випливає з їх означення та вимiрностi функцiї f. Отже, необхiднiсть
доведено.
Достатнiсть. Нехай деяка функцiя f має зображення (7) та виконується умова (9) для
вимiрних функцiй \alpha та \beta . Тодi f є вимiрною та
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} f(x)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\alpha (x)
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x
+
\int x
x0
\beta (s)
ds
s
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x
= \rho .
Тому iз зауваження 4 випливає, що f належить \scrM \rho .
Теорему 1 доведено.
Доведення теореми 2. Необхiднiсть. Нехай f належить ORN. Тодi з теореми 7.2 з [9]
випливає, що функцiю f можна записати у виглядi
f(x) = x\rho \ell (x) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
h(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x)
\bigr\}
, x > 0, (17)
де \rho \in \bfR , (\ell (x), x > 0) — SV функцiя, (h(u), u \in \bfR ) — така вимiрна обмежена функцiя, що для
всiх u \in \bfR
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\rightarrow \infty
(h(u+ x) - h(x)) = p(u), \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
x\rightarrow \infty
(h(u+ x) - h(x)) = - p( - u), (18)
а (p(u), u \in \bfR ) — функцiя, яка задовольняє умову (A3) теореми 2.
Функцiя r(x) = x\rho \ell (x), x > 0, належить класу RV функцiй, а тому для неї має мiсце
iнтегральне зображення
r(x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ \alpha 1(x) +
x\int
x0
\beta (s)
ds
s
\right\} , x \geq x0, (19)
де \alpha 1 та \beta — такi обмеженi вимiрнi функцiї, що iснують границi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\alpha 1(x) = a, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\beta (x) = \rho . (20)
Покладемо \alpha (x) = \alpha 1(x)+h(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x), x \geq x0. Тодi iз зображень (17) та (19) випливає зображен-
ня (7). Iз (20) випливає твердження (A1) теореми 2.
Для доведення твердження (A2) розглянемо двi функцiї:
f1(x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ h(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x)\} , f2(x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \alpha (x)\} , x \geq x0.
Використовуючи рiвностi (18), можна показати, що f1 є ORN функцiєю. Бiльш того, функцiя
f2(x) = \~\ell (x)f1(x), x \geq x0, де \~\ell — SV функцiя, а тому вона є також ORN функцiєю i перiодичнi
компоненти цих функцiй однаковi та дорiвнюють \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ p\} . Тому виконуються твердження (A2),
(A3) теореми 2. Це доводить необхiднiсть.
Достатнiсть. Нехай має мiсце зображення (7) та виконуються умови (A1) – (A3) теореми 2.
Тодi з (7) та умов (A1) – (A3) теореми 2 для довiльного \lambda > 0 та деякого x0 > 0 маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
1296 В. В. ПАВЛЕНКОВ
f\ast (\lambda ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\rightarrow \infty
f(\lambda x)
f(x)
=
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\rightarrow \infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ \alpha (\lambda x) - \alpha (x) +
\lambda x\int
x0
\beta (s)
ds
s
-
x\int
x0
\beta (s)
ds
s
\right\} = \lambda \rho \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ p(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \lambda )\} .
Аналогiчно
f\ast (\lambda ) =
\lambda \rho
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ p( - \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \lambda )\}
.
Тепер зрозумiло, що якщо \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \lambda є перiодом функцiї p, то \lambda належить \BbbG r(f), а оскiльки функ-
цiя p має принаймнi один додатний перiод T > 0, то група регулярних точок \BbbG r(f) буде
невиродженою.
Теорему 2 доведено.
Лiтература
1. Karamata J. Sur un mode de croissance reguliere // Mathematica (Cluj). – 1930. – 4. – P. 38 – 53.
2. Karamata J. Sur un mode de croissance régulière. Théoremès fondamentaux // Bull. Soc. Math. France. – 1933. –
61. – P. 55 – 62.
3. Karamata J. Bemerkung über die vorstehende Arbeit des Herrn Avakumović, mit näherer Betrachtung einer Klasse
von Funktionen, welche bei den Inversionssätzen vorkommen // Bull. Int. Acad. Youg. Sci. – 1936. – 29-30. –
P. 117 – 123.
4. Bingham N. M., Goldie C. M., Teugels J. L. Regular variation. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1987. – 508 p.
5. de Haan L. On regular variation and its application to the weak convergence of sample extremes. – Amsterdam:
Math. Centrum, 1975. – 124 p.
6. Булдигiн В. В., Iндлекофер К.-Х., Клесов О. I., Штайнебах Й. Г. Псевдорегулярнi функцiї та узагальненi
процеси вiдновлення. – Київ: ТВiМС, 2012. – 441 с.
7. Avakumović V. G. Über einen O-Inversionssatz // Bull. Int. Acad. Youg. Sci. – 1936. – 29-30. – P. 107 – 117.
8. Aljancić S., Arandelović D. O-regularly varying functions // Publ. Inst. Math. (Beograd). – 1977. – 22. – P. 5 – 22.
9. Buldygin V. V., Klesov O. I., Steinebach J. G. On factorization representation for Avakumovic – Karamata functions
with nondegenerate groups of regular points // Anal. Math. – 2004. – 30. – P. 161 – 192.
10. Булдыгин В. В., Павленков В. В. Теорема Караматы для регулярно LOG-периодических функций // Укр. мат.
журн. – 2012. – 64, № 11. – C. 1443 – 1463.
11. Cadena M., Kratz M. A new extension of the class of regularly varying functions // Hal-01181346v1. – 2015.
12. Cadena M. Revisiting extensions of the class of regularly varying functions // ArXiv:1502.06488v2 [math. CA]. –
2015.
13. Matuszewska W. A remark on my paper “Regularly increasing functions in connection with the theory of L\ast \varphi -spaces” //
Stud. Math. – 1965. – P. 265 – 269.
14. Павленков В. В. Iнтегральнi представлення функцiй, якi узагальнюють правильно змiннi // Сiмнадцята мiжнар.
конф. iм. акад. Михайла Кравчука (Київ, 19 – 20 травня 2016 р.): Матер. конф. – 2016. – Т. 3. – С. 121 – 123.
Одержано 09.09.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1782 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:34Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/db/2bf2894c4745f8a0d3b8ff8d731b04db.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17822019-12-05T09:26:20Z Karamata integral representations for functions generalizing regularly varying functions Iнтегральні зображення Карамати для функцій, які узагальнюють правильно зміннi функції Pavlenkov, V. V. Павленков, В. В. We consider the classes of functions that generalized regularly varying and receive Karamata’s type integral representations for this functions. Рассмотрены классы функций, обобщающих правильно меняющиеся функции, и получены интегральные представления типа Караматы для таких функций. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1782 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 9 (2017); 1289-1296 Український математичний журнал; Том 69 № 9 (2017); 1289-1296 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1782/764 Copyright (c) 2017 Pavlenkov V. V. |
| spellingShingle | Pavlenkov, V. V. Павленков, В. В. Karamata integral representations for functions generalizing regularly varying functions |
| title | Karamata integral representations for functions generalizing regularly varying
functions |
| title_alt | Iнтегральні зображення Карамати для функцій, які узагальнюють правильно зміннi функції |
| title_full | Karamata integral representations for functions generalizing regularly varying
functions |
| title_fullStr | Karamata integral representations for functions generalizing regularly varying
functions |
| title_full_unstemmed | Karamata integral representations for functions generalizing regularly varying
functions |
| title_short | Karamata integral representations for functions generalizing regularly varying
functions |
| title_sort | karamata integral representations for functions generalizing regularly varying
functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1782 |
| work_keys_str_mv | AT pavlenkovvv karamataintegralrepresentationsforfunctionsgeneralizingregularlyvaryingfunctions AT pavlenkovvv karamataintegralrepresentationsforfunctionsgeneralizingregularlyvaryingfunctions AT pavlenkovvv integralʹnízobražennâkaramatidlâfunkcíjâkíuzagalʹnûûtʹpravilʹnozmínnifunkcíí AT pavlenkovvv integralʹnízobražennâkaramatidlâfunkcíjâkíuzagalʹnûûtʹpravilʹnozmínnifunkcíí |