Transitivity of the surface measures on Banach manifolds with uniform structure
We perform the analysis of transitivity of associated measures on the surfaces with finite codimension imbedded in a Banach manifold with uniform atlas.
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1783 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507645753950208 |
|---|---|
| author | Bogdanskii, Yu. V. Moravets’ka, E. V. Богданский, Ю. В. Моравецкая, Е. В. Богданский, Ю. В. Моравецкая, Е. В. |
| author_facet | Bogdanskii, Yu. V. Moravets’ka, E. V. Богданский, Ю. В. Моравецкая, Е. В. Богданский, Ю. В. Моравецкая, Е. В. |
| author_sort | Bogdanskii, Yu. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:26:39Z |
| description | We perform the analysis of transitivity of associated measures on the surfaces with finite codimension imbedded in a
Banach manifold with uniform atlas. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.98+515.164.17
Ю. В. Богданский, Е. В. Моравецкая
(Ин-т прикл. систем. анализа Нац. техн. ун-та Украины „КПИ им. И. Сикорского”, Киев)
ТРАНЗИТИВНОСТЬ ПОВЕРХНОСТНЫХ МЕР
НА БАНАХОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ С РАВНОМЕРНОЙ СТРУКТУРОЙ
We perform the analysis of transitivity of associated measures on the surfaces with finite codimension imbedded in a
Banach manifold with uniform atlas.
Проведено аналiз транзитивностi асоцiйованих мiр на поверхнях скiнченної корозмiрностi, вкладених у банахiв
многовид з рiвномiрним атласом.
Работа является логическим продолжением работы [1]. Рассматривается банахово многообра-
зие M с равномерным атласом. На вложенной в M поверхности конечной коразмерности S
предложена схема построения поверхностной меры, ассоциированной с заданной на M боре-
левской мерой \mu .
Различные подходы к построению поверхностных мер в линейных топологических про-
странствах предлагались в работах [2 – 6]. Конструкция, предложенная в работе [1], является
принципиально иной. Оправданием предложенного подхода являются результаты, полученные
в работах [7 – 9] для случая поверхностей коразмерности 1.
В настоящей статье исследован вопрос транзитивности предложенной конструкции.
1. Предварительные сведения (см. [7]). Пусть M — связное хаусдорфово банахово мно-
гообразие класса C2 с модельным вещественным пространством E.
Атлас \Omega =
\bigl\{
(U\alpha , \varphi \alpha )
\bigr\}
на M называем ограниченным, если существует число K > 0 такое,
что отображение склейки F\beta \alpha = \varphi \beta \circ \varphi - 1
\alpha для каждой пары карт атласа удовлетворяет условию\bigl(
x \in \varphi \alpha (U\alpha \cap U\beta )
\bigr)
=\Rightarrow
\Bigl( \bigm\| \bigm\| F \prime
\beta \alpha (x)
\bigm\| \bigm\| \leq K,
\bigm\| \bigm\| F \prime \prime
\beta \alpha (x)
\bigm\| \bigm\| \leq K
\Bigr)
. Ограниченные атласы \Omega 1 и \Omega 2
называем эквивалентными, если \Omega 1 \cup \Omega 2 снова является ограниченным атласом. Если на M
задан класс эквивалентных ограниченных атласов, то говорим, что на M задана ограниченная
структура (класса C2).
Пусть (M1,\Omega 1) и (M2,\Omega 2) — два банаховых многообразия M1 и M2 класса C2 с модельны-
ми пространствами E1 и E2 и ограниченными атласами \Omega 1 и \Omega 2 соответственно. Отображение
f : M1 \rightarrow M2 класса C2 назовем ограниченным морфизмом, если для него существует такое
число C > 0, что для любой пары карт (U,\varphi ) \in \Omega 1 и (V, \psi ) \in \Omega 2 выполнено условие\bigl(
p \in U, f(p) \in V
\bigr)
=\Rightarrow
\Bigl( \bigm\| \bigm\| (\psi \circ f \circ \varphi - 1)(k)
\bigl(
\varphi (p)
\bigr) \bigm\| \bigm\| \leq C, k = 1, 2
\Bigr)
. Естественным образом
определен ограниченный изоморфизм (M1,\Omega 1) и (M2,\Omega 2).
Свойство отображения f быть ограниченным морфизмом не зависит от выбора предста-
вителей в классах эквивалентных ограниченных атласов исходных многообразий, и можно
говорить о категории банаховых многообразий класса C2 с ограниченной структурой.
Задание на M ограниченного атласа позволяет ввести на M метрику. Для кусочно-гладкой
кривой [t1, t2] \ni t \mapsto \rightarrow x(t) \in M рассматриваем всевозможные разбиения \Delta : t1 = \tau 0 < \tau 1 < . . .
. . . < \tau m = t2 отрезка параметра, при которых каждая кривая \Gamma k =
\bigl\{
x(t) | \tau k - 1 \leq t \leq \tau k
\bigr\}
c\bigcirc Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Е. В. МОРАВЕЦКАЯ, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10 1299
1300 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Е. В. МОРАВЕЦКАЯ
лежит в области определения Uk одной из карт (Uk, \varphi k) исходного атласа. Каждому такому
разбиению \Delta сопоставляем число l(\Gamma ;\Delta ) =
\sum m
k=1
l(\Gamma k)\varphi k
\biggl(
здесь l(\Gamma k)\varphi — длина представ-
ления кривой \Gamma k в карте \varphi :
\int \tau k
\tau k - 1
\bigm\| \bigm\| (x\varphi )\prime (\tau )\bigm\| \bigm\| d\tau ; x\varphi (\tau ) = \varphi
\bigl(
x(\tau )
\bigr) \biggr)
. Ограниченность атласа
приводит к корректному определению длины кривой \Gamma : L(\Gamma ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Delta
\bigl\{
l(\Gamma ;\Delta )
\bigr\}
. Расстояние
между точками вводим как точную нижнюю грань длин всевозможных кусочно-гладких кри-
вых, соединяющих эти точки.
Полученная метрика согласована с исходной топологией. При переходе к эквивалентному
ограниченному атласу метрика заменяется на эквивалентную
\bigl(
существуют такие C1, C2 > 0,
что для любых x, y \in M : C1\rho 1(x, y) \leq \rho 2(x, y) \leq C2\rho 1(x, y)
\bigr)
. Ограниченный морфизм f :
(M1,\Omega 1) \rightarrow (M2,\Omega 2) при фиксированных ограниченных атласах \Omega 1 и \Omega 2 является липшице-
вым отображением относительно метрик, порожденных этими атласами.
Фиксация ограниченного атласа позволяет ввести в касательном пространстве TpM к мно-
гообразию M норму, эквивалентную норме модельного пространства. Для \xi \in TpM поло-
жим | | | \xi | | | p = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\alpha \| \xi \varphi \alpha \| , где \{ (U\alpha , \varphi \alpha )\} — полный набор карт, для которых p \in U\alpha , а
\xi \varphi \in E — представление касательного вектора \xi в карте \varphi . При этом имеет место свойство
равномерного топологического изоморфизма пространств TpM и модельного пространства E :
\| \xi \varphi \| \leq | | | \xi | | | p \leq K\| \xi \varphi \| , где K — постоянная из определения ограниченного атласа, а \varphi — карта
в точке p \in M.
На многообразии с ограниченным атласом (M,\Omega ) корректно задание ограниченного тен-
зорного поля T класса C1. Предполагается существование числа C > 0, ограничивающего
сверху норму главной части T\alpha каждого локального представления тензора T вместе с нормой
ее производной:
\bigl(
(U\alpha , \varphi \alpha ) \in \Omega ; x \in \varphi \alpha (U\alpha )
\bigr)
=\Rightarrow
\Bigl( \bigm\| \bigm\| T\alpha (x)\bigm\| \bigm\| \leq C;
\bigm\| \bigm\| T \prime
\alpha (x)
\bigm\| \bigm\| \leq C
\Bigr)
. Свойство
ограниченности тензорного поля инвариантно относительно перехода к эквивалентному огра-
ниченному атласу. Такие тензорные поля в дальнейшем называем тензорными полями клас-
са C1
b (M). Естественным образом определяем гладкие функции класса Cp
b (M), p = 0, 1, 2,
Cb(M) = C0
b (M). Кроме того, подобные обозначения будут применяться и для открытых под-
множеств U \subset M, а также без указания области определения полей. Указанный класс полей
также инвариантен относительно перехода к эквивалентному атласу.
Ограниченный атлас \Omega называем равномерным, если существует такое число r > 0, что
для любой точки p \in M существует карта (U,\varphi ) \in \Omega , для которой \varphi (U) содержит шар в E с
центром \varphi (p) радиуса r [10, 11].
Метрика на M, порожденная равномерным атласом, превращает M в полное метриче-
ское пространство. Если ограниченный атлас эквивалентен равномерному, то метрика, порож-
денная этим атласом, также является полной. Если среди эквивалентных атласов, задающих
на M ограниченную структуру, есть равномерный атлас, то эту структуру будем называть
равномерной. Структуры ограниченно изоморфных многообразий одновременно равномерны
или нет.
В случае равномерного атласа поток \Phi (t, x) векторного поля X класса C1
b (M) определен на
\BbbR \times M [10, с. 96]. Следовательно, данное свойство имеет место на многообразии с равномерной
структурой.
Примером банахова многообразия класса C2, допускающего равномерный атлас, является
поверхность уровня S гладкой функции F в гильбертовом пространстве. Если F принадлежит
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ТРАНЗИТИВНОСТЬ ПОВЕРХНОСТНЫХ МЕР НА БАНАХОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ . . . 1301
классу C2
b в некоторой окрестности S и \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
S
\bigm\| \bigm\| F \prime (\cdot )
\bigm\| \bigm\| > 0, то в качестве равномерного атласа на
S можно предложить \Omega =
\bigl\{
(Ux, \varphi x) | x \in S
\bigr\}
, где \varphi x — ортогональная проекция окрестности
в S точки x на касательное пространство TxS.
Если (M1,\Omega 1) и (M2,\Omega 2) — банаховы многообразия с ограниченными атласами и модель-
ными пространствами E1 и E2, то на M1 \times M2 определен атлас \Omega 1 \times \Omega 2 :=
\bigl\{
(U \times V, \varphi \times \psi ) |
(U,\varphi ) \in \Omega 1; (V, \psi ) \in \Omega 2
\bigr\}
. Получаем многообразие с ограниченным атласом (M1\times M2,\Omega 1\times \Omega 2)
и модельным пространством E1 \dotplus E2. Если V — открытое множество в \BbbR m, то для многооб-
разия с ограниченным атласом (M,\Omega ) ограниченную структуру на M \times V условимся задавать
атласом \Omega \times id =
\bigl\{
(U \times V, \varphi \times id) | (U,\varphi ) \in \Omega
\bigr\}
.
2. Вложенные поверхности. В соответствии с определением 1 из [1] вложенную в M
поверхность \Sigma коразмерности m определяем следующим образом.
Пусть N1 — многообразие с ограниченной структурой, модельное пространство которого E1
является подпространством в E коразмерности m (в дальнейшем E отождествляем с E1\dotplus \BbbR m);
V1 — открытая окрестность нуля \vec{}0 \in \BbbR m и g1 : N1\times V1 \rightarrow U \subset M — ограниченный изоморфизм
на открытое подмножество U в M. При этом \Sigma = g1
\bigl(
N1 \times \{ \vec{}0\}
\bigr)
.
Желание не ограничиваться рассмотрением замкнутых поверхностей приводит к необхо-
димости рассмотрения специального класса подмножеств \Sigma . В дальнейшем фиксируем на M
ограниченный атлас \Omega . Тем самым на M индуцируется внутренняя метрика \rho . Для \varepsilon > 0
множество \Sigma - \varepsilon определено формулой
\Sigma - \varepsilon = \Sigma
\bigcap \bigl\{
x | \rho (x,M \setminus U) \geq \varepsilon
\bigr\}
. (1)
\Sigma - \varepsilon замкнуто в M, \Sigma =
\bigcup \infty
n=1\Sigma - 1/n, существует \alpha > 0 такое, что для \varepsilon \in (0, \alpha ) :
\Sigma - \varepsilon \not = \varnothing . В случае замкнутой поверхности на многообразии с равномерной структурой для
достаточно малых \varepsilon > 0 выполнено равенство \Sigma - \varepsilon = \Sigma .
Поверхность \Sigma естественным образом наделяется структурой банахова многообразия с
ограниченным атласом. Если \Omega 1 — ограниченный атлас на N1, то карта \widetilde \varphi : \widetilde U \rightarrow E1 атласа \Omega 1
индуцирует на M карту
\varphi =
\bigl( \widetilde \varphi \times id
\bigr)
\circ (g1) - 1 : g1
\bigl( \widetilde U \times V
\bigr)
\rightarrow \widetilde \varphi (\widetilde U)\times V \subset E,
согласованную с атласом \Omega .
Ограничения карт на \Sigma
\Bigl(
\varphi
\bigm| \bigm|
\Sigma
: g1
\Bigl( \widetilde U \times \{ \vec{}0\}
\Bigr)
\rightarrow \widetilde \varphi (\widetilde U)\times \{ \vec{}0\} \subset E1
\Bigr)
образуют ограниченный
атлас \Omega \Sigma на \Sigma (образ атласа \Omega 1 при изоморфизме g1).
Пусть теперь S — вложенная в \Sigma поверхность коразмерности n. Покажем, что S является
вложенной в M поверхностью коразмерности m+ n.
Обозначим через g2 ограниченный изоморфизм, определяющий вложение S в \Sigma : g2 : N2\times
\times V2 \rightarrow U1 \subset \Sigma . Здесь V2 — открытая окрестность нуля \BbbR n, U1 открыто в \Omega . Без потери
общности считаем, что E = E1 \dotplus \BbbR m = E2 \dotplus \BbbR m+n, где E2 — модельное пространство
многообразия N2.
Ограниченный изоморфизм
h : N2 \times V2 \times V1 \rightarrow \widetilde U \subset M, (2)
определяющий вложение S в M, строим как композицию трех ограниченных изоморфизмов:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1302 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Е. В. МОРАВЕЦКАЯ
g2 \times id : N2 \times V2 \times V1 \rightarrow U1 \times V1 \subset \Sigma \times V1,\biggl(
P1 \circ
\Bigl(
g1
\bigm| \bigm|
N1\times \{ \vec{}0\}
\Bigr) - 1
\biggr)
\times id : U1 \times V1 \rightarrow \widehat U \times V1 \subset N1 \times V1
(здесь P1 : N1 \times V1 \rightarrow N1 — проекция на первый сомножитель; \widehat U — открытое подмножество
в N1, содержащее образ N2 \times \{ \vec{}0\BbbR n\} при действии композиции указанных изоморфизмов) и,
наконец,
g1 : N1 \times V1 \rightarrow U \subset M.
При этом h
\bigl(
N2 \times \{ \vec{}0\BbbR m+n\}
\bigr)
= g2
\bigl(
N2 \times \{ \vec{}0\BbbR n\}
\bigr)
= S и \widetilde U = h(N2 \times V2 \times V1) открыто в M,\widetilde U \subset U.
Для \varepsilon > 0 в соответствии с формулой (1) определено S - \varepsilon = S
\bigcap \bigl\{
x | \rho (x,M \setminus \widetilde U) \geq \varepsilon
\bigr\}
.
Следствием вложений S \subset \Sigma и \widetilde U \subset U является вложение
S - \varepsilon \subset \Sigma - \varepsilon . (3)
3. Ассоциированные формы поверхностей. Пусть \Sigma — вложенная в M поверхность
коразмерности m, S — вложенная в \Sigma поверхность коразмерности n. Тогда, как показано в
п. 2, S представляет собой вложенную в M поверхность коразмерности m+ n.
Пусть \alpha — ассоциированная m-форма вложения поверхности \Sigma в M. Согласно определе-
нию из работы [1], \alpha — дифференциальная m-форма, определенная на U (или, возможно, на
большем открытом подмножестве M ) класса C1
b такая, что для любой точки x \in \Sigma касатель-
ное пространство Tx\Sigma является ассоциированным подпространством внешней формы \alpha (x) в
пространстве TxM
\bigl(
иными словами, Tx\Sigma =
\bigl\{
Y \in TxM | iY \alpha (x) = 0
\bigr\}
, где iY — внутреннее
умножение внешней формы на вектор Y
\bigr)
. При этом для каждого достаточно малого \varepsilon > 0\bigl(
\varepsilon \in (0, r)
\bigr)
существует такое \delta > 0, что для любых x \in \Sigma - \varepsilon и карты (W,\varphi ) \in \Omega в точке x
(т. е. x \in W ) для представления \alpha в этой карте имеет место неравенство
\bigm\| \bigm\| \alpha \varphi
\bigl(
\varphi (x)
\bigr) \bigm\| \bigm\| \geq \delta .
Определение ассоциированной формы инвариантно относительно перехода к эквивалент-
ному ограниченному атласу.
Пусть, далее, \beta — дифференциальная n-форма класса C1
b на \widetilde U (см. (2)), ограничение
которой \widetilde \beta на \Sigma \cap \widetilde U совпадает с ассоциированной n-формой вложения поверхности S в \Sigma .
В работе [1] доказано существование ассоциированной формы вложения \Sigma в M (а также
вложения S в \Sigma ). Поясним существование формы \beta . Если \widetilde \beta — ассоциированная форма вложе-
ния S в \Sigma , то g\ast 2 \widetilde \beta — ассоциированная форма вложения N2 \times \{ \vec{}0\} в N2 \times V2. Обозначив через
P канонический проектор N2 \times V2 \times V1 на N2 \times V2, искомую форму \beta получим по формуле
\beta =
\bigl(
h - 1
\bigr) \ast
P \ast g\ast 2
\widetilde \beta , где h определено формулой (2). Заметим также (смысл этого замечания
прояснится в конце статьи), что если n-форма \widetilde \beta замкнута, то и n-форма \beta тоже замкнута.
Лемма 1. Определенная на \widetilde U дифференциальная (m + n)-форма \omega = \alpha \wedge \beta является
ассоциированной формой вложения S в M.
Доказательство. Необходимо проверить два факта:
а) для каждой точки x \in S и вектора Y \in TxM выполнено условие (Y \in TxS) \Leftarrow \Rightarrow
\Leftarrow \Rightarrow
\bigl(
iY \omega (x) = 0
\bigr)
;
б) для заданного ограниченного атласа \Omega на M существует такое r > 0, что для каждого
\varepsilon \in (0, r) найдется \delta > 0, для которого при всех x \in S - \varepsilon и карты (U,\varphi ) \in \Omega в точке x
выполнена оценка
\bigm\| \bigm\| \omega \varphi
\bigl(
\varphi (x)
\bigr) \bigm\| \bigm\| \geq \delta .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ТРАНЗИТИВНОСТЬ ПОВЕРХНОСТНЫХ МЕР НА БАНАХОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ . . . 1303
Первое из условий сводится в карте к следующему. Пусть E1 — подпространство в E
коразмерности m; внешняя m-форма \alpha на E такова, что для вектора X \in E выполнено
соотношение (X \in E1) \Leftarrow \Rightarrow
\bigl(
iX\alpha = 0
\bigr)
; E2 — подпространство в E1 коразмерности n;
\beta — внешняя n-форма в E, для которой \widetilde \beta = \beta
\bigm| \bigm|
E1
имеет свойство: для Y \in E1 выполнено
соотношение (Y \in E2) \Leftarrow \Rightarrow
\bigl(
iY \widetilde \beta = 0
\bigr)
. Для Y \in E необходимо проверить, что (Y \in E2) \Leftarrow \Rightarrow
\Leftarrow \Rightarrow
\bigl(
iY (\alpha \wedge \beta ) = 0
\bigr)
.
Воспользуемся равенством
iY (\alpha \wedge \beta ) = (iY \alpha ) \wedge \beta + ( - 1)m\alpha \wedge iY \beta . (4)
Пусть сначала Y /\in E1, E = E1 \dotplus L1 = E2 \dotplus L2 \dotplus L1, \{ e1, . . . , en\} — базис в L2, \{ en+1, . . .
. . . , en+m\} — базис в L1. Разложение в прямую сумму и базисы выберем таким образом, чтобы
Y = en+m. В результате получим
iY (\alpha \wedge \beta )(e1, . . . , en+m - 1) =
=
1
(m - 1)!n!
\sum
\sigma \in Sm+n - 1
\eta (\sigma )\alpha (Y, e\sigma (1), . . . , e\sigma (m - 1))\beta (e\sigma (m), . . . , e\sigma (m+n - 1))+
+ ( - 1)m
1
(n - 1)!m!
\sum
\sigma \in Sm+n - 1
\eta (\sigma )\alpha (e\sigma (1), . . . , e\sigma (m))\beta (Y, e\sigma (m+1), . . . , e\sigma (m+n - 1)), (5)
где \eta (\sigma ) — знак подстановки \sigma .
В каждом слагаемом последней суммы правой части равенства (5) среди векторов e\sigma (1), . . .
. . . , e\sigma (m) есть по крайней мере один вектор базиса L2 \subset E1. Поэтому \alpha (e\sigma (1), . . . , e\sigma (m)) = 0
для всех \sigma \in Sm+n - 1. В первой сумме правой части равенства (5) не равными нулю могут
быть лишь те слагаемые, для которых выполнено соотношение (1 \leq k \leq m - 1) =\Rightarrow
\bigl(
n+ 1 \leq
\leq \sigma (k) \leq m+ n - 1
\bigr)
, причем эти слагаемые попарно равны. Отсюда получаем\bigm| \bigm| iY (\alpha \wedge \beta )(e1, . . . , en+m - 1)
\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| \alpha (em+n, en+1, . . . , en+m - 1)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \beta (e1, . . . , en)\bigm| \bigm| \not = 0.
Пусть теперь Y \in E1 \setminus E2. В разложении E = E1 \dotplus L1 = E2 \dotplus L2 \dotplus L1 базисы выберем
следующим образом: \{ e1, . . . , em\} — базис в L1, \{ em+1, . . . , em+n\} — базис в L2. Разложение
в прямую сумму и базисы выбираем таким образом, чтобы Y = em+n.
Теперь iY \alpha = 0 и в равенстве (5) первая сумма в правой части равна нулю. Во второй
сумме не равными нулю могут быть лишь те слагаемые, для которых выполнено соотношение
(1 \leq k \leq m) =\Rightarrow
\bigl(
1 \leq \sigma (k) \leq m
\bigr)
, и все они равны между собой. Поэтому\bigm| \bigm| iY (\alpha \wedge \beta )(e1, . . . , en+m - 1)
\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| \alpha (e1, . . . , em)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \beta (em+n, em+1, . . . , em+n - 1)
\bigm| \bigm| \not = 0.
В случае, когда Y \in E2, из (4) следует, что iY (\alpha \wedge \beta ) = 0.
При проверке второго условия следует учесть, что, как доказано выше, при достаточно
малом r > 0 для \varepsilon \in (0, r) имеет место вложение S - \varepsilon \subset \Sigma - \varepsilon , поэтому также допустимо ло-
кальное исследование, приводящее, в прежних обозначениях, к оценке снизу нормы \| \alpha \wedge \beta \| , где
\alpha и \widetilde \beta — внешние формы, определенные соответственно на E и E1. При этом предполагается,
что \| \alpha \| E \geq \delta > 0, \| \widetilde \beta \| E1 \geq \delta > 0. Покажем (и этого достаточно), что \| \alpha \wedge \beta \| E \geq \delta 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1304 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Е. В. МОРАВЕЦКАЯ
Возьмем \xi > 0 и векторы e1, . . . , em \in E, для которых \| e1\| = . . . = \| em\| = 1 и\bigm| \bigm| \alpha (e1, . . . , em)
\bigm| \bigm| \geq \delta - \xi ; em+1, . . . , em+n \in E1, для которых \| em+1\| = . . . = \| em+n\| = 1
и
\bigm| \bigm| \widetilde \beta (em+1, . . . , em+n)
\bigm| \bigm| \geq \delta - \xi . Тогда
(\alpha \wedge \beta )(e1, . . . , en+m) =
1
m!n!
\sum
\sigma \in Sm+n
\eta (\sigma )\alpha (e\sigma (1), . . . , e\sigma (m))\beta (e\sigma (m+1), . . . , e\sigma (m+n)) =
= \alpha (e1, . . . , em)\widetilde \beta (em+1, . . . , em+n) (6)
(здесь учтено, что iY \alpha = 0 для Y \in E1). Поэтому
\bigm| \bigm| (\alpha \wedge \beta )(e1, . . . , en+m)
\bigm| \bigm| \geq (\delta - \xi )2, что и
доказывает утверждение вследствие произвольности \xi > 0.
Лемма 1 доказана.
4. Трансверсальные наборы векторных полей. Пусть \Sigma — вложенная в M поверхность
коразмерности m, g1 : N1 \times V1 \rightarrow U \subset M — ограниченный изоморфизм, определяющий вло-
жение \Sigma в M, и \vec{}Z := \{ Z1, . . . , Zm\} — набор определенных на U (или, возможно, на большем
открытом подмножестве M ) векторных полей класса C1
b . Согласно определению 3 работы [1],
набор полей \vec{}Z называем строго трансверсальным к \Sigma , если для некоторой (а значит, и для
любой) ассоциированной m-формы \omega поверхности \Sigma выполнено следующее условие: для
каждого \varepsilon > 0 существует такое \delta > 0, что для любого x \in \Sigma - \varepsilon имеет место неравенство\bigm| \bigm| \omega (\vec{}Z)(x)\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| \omega (Z1, . . . , Zm)(x)
\bigm| \bigm| \geq \delta .
Пусть \widetilde \Sigma — открытое подмножество в \Sigma . Тогда \widetilde \Sigma также представляет собой вложенную в
M поверхность с определяющим ее изоморфизмом g1 : \widetilde N1\times V1 \rightarrow \widetilde U \subset M. При этом \widetilde N1 \subset N1,\widetilde g1 — ограничение g1, \widetilde U — открытое подмножество в U. Если m-форма \omega ассоциирована с \Sigma ,
то она ассоциирована и с \widetilde \Sigma . Если набор векторных полей \{ Z1, . . . , Zm\} строго трансверсален
к \Sigma , то он строго трансверсален и к \widetilde \Sigma .
Лемма 2. Пусть \Sigma — вложенная в M поверхность коразмерности m, S — поверхность,
вложенная в \Sigma коразмерности n (относительно вложения в \Sigma ). Пусть g1 : N1\times V1 \rightarrow U \subset M,
g2 : N2 \times V2 \rightarrow U1 \subset \Sigma — определяющие их ограниченные изоморфизмы, \widetilde g1 : \widetilde N1 \times V1 \rightarrow \widetilde U \subset
\subset M — ограниченный изоморфизм, определяющий вложенную поверхность U1. Пусть \vec{}X =
= \{ X1, . . . , Xm+n\} — набор определенных на \widetilde U попарно коммутирующих векторных полей
класса C1
b (
\widetilde U), строго трансверсальный к S, причем поля X1, . . . , Xn касательны к поверхнос-
ти U1, а поднабор полей \widetilde \vec{}X = \{ Xn+1, . . . , Xm+n\} строго трансверсален к U1. Тогда набор
\vec{}Y = \{ Y1, . . . , Yn\} ограничений на U1 векторных полей Xk, k = 1, 2, . . . , n, представляет
собой набор попарно коммутирующих полей класса C1
b (U1), строго трансверсальный к S при
ее вложении в \Sigma .
Доказательство. Пусть \beta — дифференциальная n-форма на \widetilde U, ограничение которой \widetilde \beta на
\Sigma \cap \widetilde U является ассоциированной n-формой поверхности S при ее вложении в \Sigma (см. п. 3).
Возьмем \varepsilon > 0. Согласно (3) S - \varepsilon \subset \Sigma - \varepsilon .
Если \alpha — ассоциированная форма вложения \Sigma в M, то, согласно лемме 1, \alpha \wedge \beta — ассоци-
ированная форма вложения S в M. Поэтому существует такое \delta > 0, что для каждого x \in S - \varepsilon
выполнено неравенство \bigm| \bigm| (\alpha \wedge \beta )(X1, . . . , Xm+n)(x)
\bigm| \bigm| \geq \delta .
Поскольку \alpha (Xi1 , . . . , Xim)(x) = 0 для x \in \Sigma , если ik \leq n для некоторого k, то для x \in S
имеют место равенства
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ТРАНЗИТИВНОСТЬ ПОВЕРХНОСТНЫХ МЕР НА БАНАХОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ . . . 1305\bigm| \bigm| (\alpha \wedge \beta )(X1, . . . , Xm+n)(x)
\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| \alpha (Xn+1, . . . , Xm+n)(x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \beta (X1, . . . , Xn)(x)
\bigm| \bigm| =
=
\bigm| \bigm| \alpha (Xn+1, . . . , Xm+n)(x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \widetilde \beta (Y1, . . . , Yn)(x)\bigm| \bigm| . (7)
А поскольку формы \alpha и \beta ограничены на M, то из (7) следует неравенство
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
x\in S - \varepsilon
\bigm| \bigm| \widetilde \beta (Y1, . . . , Yn)(x)\bigm| \bigm| > 0.
Коммутируемость полей Yk следует из коммутируемости их потоков.
Лемма 2 доказана.
Простейший модельный пример выполнения условий леммы 2 строим по следующей схеме.
Пусть g1 : N1\times V1 \rightarrow U \subset M — ограниченный изоморфизм, определяющий поверхность \Sigma .
Если S — поверхность, вложенная в \Sigma , и g2 : N2\times V2 \rightarrow U1 \subset \Sigma — соответствующий ограничен-
ный изоморфизм, определяющий S, то существует строго трансверсальное к S (при вложении
в \Sigma ) семейство попарно коммутирующих векторных полей \{ Y1, . . . , Yn\} , определенных на U1
(см. [1]). Пусть \{ \widetilde Y1, . . . ,\widetilde Yn\} — \widetilde g1-связанные с \{ Y1, . . . , Yn\} векторные поля, определенные
на \widetilde N1 \times \{ \vec{}0\} . Определим векторные поля \widetilde X1, . . . , \widetilde Xn+m на \widetilde N1 \times V1 по правилу \widetilde Xk — P1-
связано с \widetilde Yk, k = 1, . . . , n (P1 — проектор \widetilde N1 \times V1 на первый сомножитель), Xn+k =
\partial
\partial tk
,
k = 1, 2, . . . ,m.
Тогда искомые векторные поля X1, . . . , Xn+m получаем как \widetilde g1-связанные с полями \widetilde X1, . . .
. . . , \widetilde Xn+m.
5. Согласованность поверхностных мер первого типа. Напомним определение поверх-
ностной меры первого типа [1].
Пусть \mu — конечная борелевская мера на M ; \Sigma — вложенная в M поверхность коразмерно-
сти m; g1 : N1\times V1 \rightarrow U \subset M — ограниченный изоморфизм, определяющий вложение \Sigma в M ;
\vec{}X = \{ X1, . . . , Xm\} — строго трансверсальный к \Sigma набор попарно коммутирующих векторных
полей класса C1
b (U). Предполагается, что набор векторных полей \vec{}X удовлетворяет следую-
щему условию: отображение \Phi : \Sigma \times \BbbR m \ni (x,\vec{}t ) \mapsto \rightarrow \Phi
\vec{}X
\vec{}t
x \in \Phi
\vec{}X
\BbbR m\Sigma определено и взаимно
однозначно. В частности, данное условие предполагает полноту векторных полей Xk. Модель-
ный пример набора векторных полей \vec{}X, удовлетворяющего данному требованию, приведен в
примере 1 из [1]. Тройку (\Sigma , \vec{}X, \mu ) называем согласованной, если для любой подстановки \tau
степени m определена мера dX\tau (1)
dX\tau (2)
. . . dX\tau (m)
\mu (а значит, не зависящая от \tau ).
Пусть \varepsilon > 0. Если B — борелевское множество в \BbbR m, A — борелевское в \Sigma - \varepsilon , то на
борелевской \sigma -алгебре подмножеств малой окрестности \vec{}0 \in \BbbR m для каждого A \in \scrB (\Sigma - \varepsilon )
определена мера \omega A формулой \omega A(B) = \mu
\Bigl(
\Phi
\vec{}X
BA
\Bigr)
.
В случае согласованной тройки (\Sigma , \vec{}X, \mu ) определено
\sigma \vec{}X(A) := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow 0+
wA(Br)
\lambda m(Br)
,
где Br =
\bigl\{
\vec{}t | \| \vec{}t\| \leq r
\bigr\}
, \lambda m — лебегова мера в \BbbR m, \sigma \vec{}X — мера на \scrB (\Sigma - \varepsilon ), при этом
\sigma \vec{}X(A) = (dX1dX2 . . . dXm\mu )( \widehat A), где \widehat A = \Phi X1
( - \infty ,0]\Phi
X2
( - \infty ,0] . . .\Phi
Xm
( - \infty ,0]A. (8)
Вследствие произвольности \varepsilon > 0 и равенства \Sigma = \cup \infty
n=1\Sigma - 1/n получаем меру \sigma \vec{}X = \sigma \vec{}X [\mu ]
на \scrB (\Sigma ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1306 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Е. В. МОРАВЕЦКАЯ
Заметим, что если \widetilde \Sigma — открытое подмножество в \Sigma , то из согласованности тройки (\Sigma , \vec{}X, \mu )
следует согласованность тройки (\widetilde \Sigma , \vec{}X, \mu ), и при этом сужение меры \sigma \vec{}X [\Sigma ] на \widetilde \Sigma совпадает с
поверхностной мерой \sigma \vec{}X [\widetilde \Sigma ], построенной для вложенной в M поверхности \widetilde \Sigma . Поэтому, не
теряя общности, в дальнейшем будем предполагать, что множеством U1 является вся поверх-
ность \Sigma .
Теорема 1. Пусть в условиях леммы 2 тройка (S, \vec{}X, \mu ) согласована. Тогда согласованы
тройки (\Sigma ,
\widetilde \vec{}X, \mu ), (S, \vec{}Y , \sigma \widetilde \vec{}X), и при этом
\sigma \vec{}X = \sigma \vec{}Y
\bigl[
\sigma \widetilde \vec{}X
\bigr]
. (9)
Доказательство. Взаимная однозначность отображения \Phi
\widetilde \vec{}X следует из соответствующе-
го условия для набора \vec{}X. Поэтому в силу леммы 2 для проверки согласованности тройки\Bigl(
\Sigma ,
\widetilde \vec{}X, \mu \Bigr) следует убедиться лишь в существовании dX\tau (n+1)
dX\tau (n+2)
. . . dX\tau (n+m)
\mu для любой
подстановки \tau множества \{ n + 1, n + 2, . . . , n + m\} . Но этот факт следует из аналогичного
условия вследствие согласованности тройки
\bigl(
S, \vec{}X, \mu
\bigr)
.
При этом для A \in \scrB (\Sigma - \varepsilon ) получим
\sigma \widetilde \vec{}X(A) = (dXn+1dXn+2 . . . dXn+m\mu )(
\widehat A), где \widehat A = \Phi
\widetilde \vec{}X
\times ( - \infty ,0]A (см. (8)). (10)
Перейдем к проверке согласованности тройки
\Bigl(
S, \vec{}Y , \sigma \widetilde \vec{}X
\Bigr)
. Поскольку, согласно условию
согласованности тройки
\bigl(
S, \vec{}X, \mu
\bigr)
, траектории \Phi Xk
t (\cdot ) векторных полей X1, . . . , Xn определены
при всех t \in \BbbR , то это же свойство сохраняется и для полей Y1, . . . , Yn.
В силу коммутируемости векторных полей семейства \vec{}X для k = 1, 2, . . . , n и t \in \BbbR имеет
место равенство
\widehat
\Phi Yk
t A = \Phi Xk
t
\widehat A для всех A \in \scrB (\Sigma ) (см. (8)). (11)
Поэтому из (10) следует существование dY\tau (1)
dY\tau (2)
. . . dY\tau (n)
\sigma \widetilde \vec{}X , так как для A \in \scrB (\Sigma ) в силу
(10), (11) выполнено равенство\bigl(
dY\tau (1)
. . . dY\tau (n)
\sigma \widetilde \vec{}X
\bigr)
(A) =
\bigl(
dX\tau (1)
. . . dX\tau (n)
dXn+1 . . . dXn+m\mu
\bigr)
( \widehat A). (12)
Перейдем к проверке равенства (9). Пусть A \in \scrB (S). Тогда
\sigma \vec{}X(A) = (dX1 . . . dXn+m\mu )(
\widehat \widehat A), где \widehat \widehat A = \Phi X1
( - \infty ,0]\Phi
X2
( - \infty ,0] . . .\Phi
Xm+n
( - \infty ,0]A. (13)
Если \widetilde A = \Phi X1
( - \infty ,0]\Phi
X2
( - \infty ,0] . . .\Phi
Xn
( - \infty ,0]A \in \scrB (\Sigma ), то \widehat \widehat A =
\widehat \widetilde A, и в силу (12), (13) получаем
\sigma \vec{}X(A) =
\bigl(
dY1 . . . dYn\sigma \widetilde \vec{}X
\bigr)
( \widetilde A) = \sigma \vec{}Y
\bigl[
\sigma \widetilde \vec{}X
\bigr]
(A).
Теорема 1 доказана.
6. Согласованность поверхностных мер второго типа. Следующая конструкция предпо-
лагает неотрицательность меры \mu и задание на M равномерного атласа.
Если \alpha — ассоциированная m-форма вложенной в M поверхности \Sigma , а тройка
\bigl(
\Sigma , \vec{}X, \mu
\bigr)
согласована, то мера \mu \alpha на \Sigma вводится формулой \mu \alpha =
1\bigm| \bigm| \alpha ( \vec{}X)
\bigm| \bigm| \sigma \vec{}X . Это определение корректно,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ТРАНЗИТИВНОСТЬ ПОВЕРХНОСТНЫХ МЕР НА БАНАХОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ . . . 1307
так как инвариантно относительно перехода к другой согласованной тройке
\bigl(
\Sigma , \vec{}Z, \mu
\bigr)
(см. [1],
теорема 3).
Пусть S — поверхность, вложенная в \Sigma , коразмерность вложения в \Sigma равна n и \beta — диффе-
ренциальная n-форма класса C1
b на \widetilde U, ограничение которой \widetilde \beta на \Sigma является ассоциированной
формой вложения S в \Sigma . Согласно лемме 1, (m + n)-форма \alpha \wedge \beta — ассоциированная форма
вложения S в M.
Поскольку поверхность S вложена в многообразие M, имеющее равномерную структуру,
то на ней также корректно определена мера \mu \alpha \wedge \beta . Атлас на \Sigma , согласованный с вложением \Sigma
в M, вообще говоря, равномерным не является. Тем не менее в силу вложения (3) применима
лемма 5 из работы [1], в силу которой переход от меры \nu на поверхности \Sigma к индуцированной
вложением S в \Sigma мере \nu \widetilde \beta корректен
\biggl(
\nu \widetilde \beta вводится формулой \nu \widetilde \beta =
1\bigm| \bigm| \widetilde \beta (\vec{}Y )
\bigm| \bigm| \sigma \vec{}Y [\nu ] инвариантно
относительно перехода к другой согласованной тройке
\Bigl(
S,
\widetilde \vec{}Y , \nu \Bigr) \biggr) .
Лемма 3. Пусть тройка
\bigl(
S, \vec{}Z, \mu
\bigr)
согласована, функция \widehat f определена в области задания
векторных полей семейства \vec{}Z и принадлежит классу C1
b ,
\widehat f является первым интегралом
полей Zk набора \vec{}Z и \widehat f \bigm| \bigm|
S
= f. Тогда тройка
\bigl(
S, \vec{}Z, \widehat f \cdot \mu \bigr) согласована и имеет место равенство
\sigma \vec{}Z
\bigl[ \widehat f \cdot \mu
\bigr]
= f \cdot \sigma \vec{}Z [\mu ]. (14)
Доказательство. Для проверки согласованности тройки
\bigl(
S, \vec{}Z, \widehat f \cdot \mu
\bigr)
достаточно прове-
рить существование меры dX\tau (1)
dX\tau (2)
. . . dX\tau (m)
\bigl( \widehat f \cdot \mu
\bigr)
для любой подстановки \tau степени m.
Поскольку \widehat f является первым интегралом каждого векторного поля Xk, то для каждого k
имеет место равенство dZk
\bigl( \widehat f\nu \bigr) = \widehat fdZk
\nu (если dZk
\nu существует). Повторное применение дан-
ного равенства позволяет сделать вывод о том, что переход от меры \mu к мере \widehat f \cdot \mu сохранит
согласование тройки.
Для получения формулы (14) зафиксируем \varepsilon > 0 и заметим, что в силу утверждения б)
теоремы 1 из работы [1] существуют окрестности W и W1 нуля в \BbbR m, для которых \Phi
\vec{}Z
WS - \varepsilon /4 \supset
\supset g(N - \varepsilon /2 \times W1)
\bigl(
здесь N - \varepsilon \times \{ \vec{}0\} := g - 1(S - \varepsilon )
\bigr)
. Кроме того, значение меры \sigma \vec{}Z [\mu ] на
S - \varepsilon полностью определено значением меры \mu и векторных полей в окрестности S - \varepsilon вида
g(N - \varepsilon /2 \times W1).
Пусть h — кусочно-постоянная борелевская функция на S - \varepsilon /4, h =
\sum p
k=1
ckjAk
, где Ak \in
\in \scrB (S - \varepsilon /4), S - \varepsilon /4 =
p\bigvee
k=1
Ak. Продолжая функцию h до функции, постоянной на траекториях
векторных полей набора \vec{}Z, получаем корректно определенную в g(N - \varepsilon /2 \times W1) борелевскую
функцию \widehat h и соответствующую меру \widehat h \cdot \mu .
Уменьшив, если необходимо, окрестность W нуля \vec{}0 \in \BbbR m, добьемся вложения \Phi
\vec{}Z
WS - \varepsilon \subset
\subset g(N - \varepsilon /2 \times W1) (см. [1]). Если A \in \scrB (S - \varepsilon ), B \in \scrB (W ), то
\bigl( \widehat h \cdot \mu
\bigr) \bigl(
\Phi
\vec{}Z
BA
\bigr)
=
p\sum
k=1
ck\mu
\Bigl(
\Phi
\vec{}Z
B(A \cap Ak)
\Bigr)
=
p\sum
k=1
ck wA\cap Ak
(B),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1308 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, Е. В. МОРАВЕЦКАЯ
\sigma \vec{}Z
\bigl[ \widehat h \cdot \mu
\bigr]
(A) =
p\sum
k=1
ck \sigma \vec{}Z [\mu ](A \cap Ak) =
\int
A
h d\sigma \vec{}Z .
Пусть теперь hj и gj — две последовательности простых борелевских функций на S - \varepsilon /4,
для которых при каждом j выполнены неравенства 0 \leq hj \leq f \leq gj ; при этом обе последова-
тельности hj и gj равномерно на S - \varepsilon /4 сходятся к f.
Зафиксируем A \in \scrB (S - \varepsilon ) и \delta > 0. Существуют j \in \BbbN , для которого выполнено неравенство\int
A
(gj - hj) d\sigma \vec{}Z < \delta , (15)
и r0 > 0 такое, что при r \in (0, r0) имеют место неравенства\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
\lambda m(Br)
\bigl( \widehat hj \cdot \mu \bigr) \Bigl( \Phi \vec{}Z
Br
A
\Bigr)
-
\int
A
hj d\sigma \vec{}Z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < \delta ,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
\lambda m(Br)
\bigl( \widehat gj \cdot \mu \bigr) \Bigl( \Phi \vec{}Z
Br
A
\Bigr)
-
\int
A
gj d\sigma \vec{}Z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < \delta .
(16)
В силу неотрицательности меры \mu выполняются неравенства
1
\lambda m(Br)
\bigl( \widehat hj \cdot \mu \bigr) \Bigl( \Phi \vec{}Z
Br
A
\Bigr)
\leq 1
\lambda m(Br)
( \widehat f \cdot \mu )
\Bigl(
\Phi
\vec{}Z
Br
A
\Bigr)
\leq 1
\lambda m(Br)
\bigl( \widehat gj \cdot \mu \bigr) \Bigl( \Phi \vec{}Z
Br
A
\Bigr)
,
поэтому из (15), (16) следует, что при r \in (0, r0) выполнено неравенство\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
A
f d\sigma \vec{}Z - 1
\lambda m(Br)
( \widehat f \cdot \mu )
\Bigl(
\Phi
\vec{}Z
Br
A
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < 3 \delta ,
что в силу произвольности \delta > 0, \varepsilon > 0 и A \in \scrB (S - \varepsilon ) доказывает лемму.
Теорема 2. Пусть m-форма \alpha замкнута. Тогда \mu \alpha \wedge \beta = (\mu \alpha )\widetilde \beta .
Доказательство. Выберем набор векторных полей \vec{}X = \{ X1, X2, . . . , Xm+n\} в соответ-
ствии с условиями леммы 2 и теоремы 1.
Поскольку поля X1, X2, . . . , Xn касаются поверхности \Sigma , то
\bigm| \bigm| (\alpha \wedge \beta )( \vec{}X)
\bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| \bigm| \alpha ( \widetilde \vec{}X)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \widetilde \beta (\vec{}Y )
\bigm| \bigm|
(здесь Yk — ограничение поля Xk на \Sigma , k = 1, 2, . . . , n). Поэтому в силу теоремы 1
\mu \alpha \wedge \beta =
1\bigm| \bigm| (\alpha \wedge \beta )( \vec{}X)
\bigm| \bigm| \sigma \vec{}X =
1\bigm| \bigm| \widetilde \beta (\vec{}Y )
\bigm| \bigm| 1\bigm| \bigm| \bigm| \alpha ( \widetilde \vec{}X)
\bigm| \bigm| \bigm| \sigma \vec{}Y
\bigl[
\sigma \widetilde \vec{}X
\bigr]
. (17)
По условию теоремы дифференциальная форма \alpha замкнута. Потому из попарной коммути-
руемости векторных полей X1, . . . , Xm+n и того факта, что X1, . . . , Xn касаются \Sigma , следует в
U тождественное равенство (см., например, [12, с. 88])
Xk\alpha (Xn+1, . . . , Xm+n) = 0, k = 1, . . . , n.
Применив лемму 3, из (17) получим
\mu \alpha \wedge \beta =
1\bigm| \bigm| \widetilde \beta (\vec{}Y )
\bigm| \bigm| \sigma \vec{}Y
\Biggl[
1\bigm| \bigm| \alpha ( \vec{}X)
\bigm| \bigm| \sigma \widetilde \vec{}X
\Biggr]
= (\mu \alpha )\widetilde \beta .
Теорема 2 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ТРАНЗИТИВНОСТЬ ПОВЕРХНОСТНЫХ МЕР НА БАНАХОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ . . . 1309
Замечание. Условие замкнутости дифференциальной формы \alpha не является обременитель-
ным. Любая m-форма \omega на V1 \subset \BbbR m является замкнутой, а потому замкнутой является
форма P \ast
2\omega , где P2 — проекция N1 \times V1 на второй сомножитель. Поэтому „модельные ас-
социированные формы \alpha вида (g - 1)\ast (P \ast
2\omega ) являются замкнутыми m-формами на U (здесь
\omega = h dt1 \wedge . . . \wedge dtm, \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}V1
\bigm| \bigm| h(\vec{}t )\bigm| \bigm| > 0).
По-видимому, для дальнейшего построения содержательной теории следует ограничиться
рассмотрением замкнутых ассоциированных форм.
Литература
1. Богданский Ю. В., Моравецкая Е. В. Поверхностные меры на банаховых многообразиях с равномерной
структурой // Укр. мат. журн. – 2017. – 69, № 8. – С. 1030 – 1048.
2. Скороход А. В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. – М.: Наука, 1975. – 231 с.
3. Угланов А. В. Поверхностные интегралы в пространствах Фреше // Мат. сб. – 1998. – 189, № 11. – С. 139 – 157.
4. Uglanov A. V. Integration on infinite-dimensional surfaces and its applications. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.,
2000. – 262 p.
5. Bogachev V. I. Smooth measures, the Malliavin calculus and approximation in infinite dimensional spaces // Acta
Univ. carol. Math. et phys. – 1990. – 31, № 2. – P. 9 – 23.
6. Пугачев О. В. Емкости и поверхностные меры в локально выпуклых пространствах // Теория вероятностей и
ее применения. – 2008. – 53, № 1. – С. 178 – 188.
7. Богданский Ю. В. Банаховы многообразия с ограниченной структурой и формула Гаусса – Остроградского //
Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 10. – С. 1299 – 1313.
8. Богданский Ю. В., Санжаревский Я. Ю. Задача Дирихле с лапласианом по мере на гильбертовом простран-
стве // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 6. – С. 733 – 739.
9. Богданский Ю. В. Граничный оператор следа в области гильбертова пространства и характеристическое
свойство его ядра // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 11. – С. 1450 – 1460.
10. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. – М.: Мир, 1967. – 204 с.
11. Далецкий Ю. Л., Белопольская Я. И. Стохастические уравнения и дифференциальная геометрия. – Киев: Вища
шк., 1989. – 295 с.
12. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. – М.: Мир, 1973. – 188 с.
Получено 04.02.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-1783 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:37Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/62/5e702ca6a13fbd928c414c1a1b408e62.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17832019-12-05T09:26:39Z Transitivity of the surface measures on Banach manifolds with uniform structure Транзитивность поверхностных мер на банаховых многообразиях с равномерной структурой Bogdanskii, Yu. V. Moravets’ka, E. V. Богданский, Ю. В. Моравецкая, Е. В. Богданский, Ю. В. Моравецкая, Е. В. We perform the analysis of transitivity of associated measures on the surfaces with finite codimension imbedded in a Banach manifold with uniform atlas. Проведено аналiз транзитивностi асоцiйованих мiр на поверхнях скiнченної корозмiрностi, вкладених у банахiв многовид з рiвномiрним атласом. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1783 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 10 (2017); 1299-1309 Український математичний журнал; Том 69 № 10 (2017); 1299-1309 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1783/765 Copyright (c) 2017 Bogdanskii Yu. V.; Moravets’ka E. V. |
| spellingShingle | Bogdanskii, Yu. V. Moravets’ka, E. V. Богданский, Ю. В. Моравецкая, Е. В. Богданский, Ю. В. Моравецкая, Е. В. Transitivity of the surface measures on Banach manifolds with uniform structure |
| title | Transitivity of the surface measures on Banach
manifolds with uniform structure |
| title_alt | Транзитивность поверхностных мер на банаховых
многообразиях с равномерной структурой |
| title_full | Transitivity of the surface measures on Banach
manifolds with uniform structure |
| title_fullStr | Transitivity of the surface measures on Banach
manifolds with uniform structure |
| title_full_unstemmed | Transitivity of the surface measures on Banach
manifolds with uniform structure |
| title_short | Transitivity of the surface measures on Banach
manifolds with uniform structure |
| title_sort | transitivity of the surface measures on banach
manifolds with uniform structure |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1783 |
| work_keys_str_mv | AT bogdanskiiyuv transitivityofthesurfacemeasuresonbanachmanifoldswithuniformstructure AT moravetskaev transitivityofthesurfacemeasuresonbanachmanifoldswithuniformstructure AT bogdanskijûv transitivityofthesurfacemeasuresonbanachmanifoldswithuniformstructure AT moraveckaâev transitivityofthesurfacemeasuresonbanachmanifoldswithuniformstructure AT bogdanskijûv transitivityofthesurfacemeasuresonbanachmanifoldswithuniformstructure AT moraveckaâev transitivityofthesurfacemeasuresonbanachmanifoldswithuniformstructure AT bogdanskiiyuv tranzitivnostʹpoverhnostnyhmernabanahovyhmnogoobraziâhsravnomernojstrukturoj AT moravetskaev tranzitivnostʹpoverhnostnyhmernabanahovyhmnogoobraziâhsravnomernojstrukturoj AT bogdanskijûv tranzitivnostʹpoverhnostnyhmernabanahovyhmnogoobraziâhsravnomernojstrukturoj AT moraveckaâev tranzitivnostʹpoverhnostnyhmernabanahovyhmnogoobraziâhsravnomernojstrukturoj AT bogdanskijûv tranzitivnostʹpoverhnostnyhmernabanahovyhmnogoobraziâhsravnomernojstrukturoj AT moraveckaâev tranzitivnostʹpoverhnostnyhmernabanahovyhmnogoobraziâhsravnomernojstrukturoj |