Order estimates of the $L_q$-norms of generalized derivatives of the Dirichlet-type kernels with an arbitrary choice of harmonics
We obtain the exact order estimates of the norms of generalized derivatives of the Dirichlet-type kernels with an arbitrary choice of harmonics in the space $L_q,\; 2 < q < \infty$.
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1784 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507645473980416 |
|---|---|
| author | Vlasyk, H. M. Власик, Г. М. |
| author_facet | Vlasyk, H. M. Власик, Г. М. |
| author_sort | Vlasyk, H. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:26:39Z |
| description | We obtain the exact order estimates of the norms of generalized derivatives of the Dirichlet-type kernels with an arbitrary
choice of harmonics in the space $L_q,\; 2 < q < \infty$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Г. М. Власик (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ \bfitL \bfitq -НОРМ УЗАГАЛЬНЕНИХ ПОХIДНИХ ЯДЕР
ТИПУ ДIРIХЛЕ З ДОВIЛЬНИМ ВИБОРОМ ГАРМОНIК
We obtain the exact order estimates of the norms of generalized derivatives of the Dirichlet-type kernels with an arbitrary
choice of harmonics in the space Lq, 2 < q <\infty .
Получены точные по порядку оценки норм обобщенных производных ядер типа Дирихле с произвольным выбором
гармоник в пространстве Lq, 2 < q <\infty .
Вступ. У роботi дослiджуються можливостi тригонометричних полiномiв iз довiльним вибо-
ром гармонiк по вiдношенню до вiдомої проблеми Лiттлвуда [1], а саме: чи може ядро типу
Дiрiхле з довiльним вибором гармонiк мати кращi диференцiальнi властивостi, нiж класичне
ядро Дiрiхле? Детальнiше на цьому зупинимося нижче, а спочатку наведемо необхiднi для
подальшого викладу позначення та означення.
Нехай Lq — простiр 2\pi -перiодичних i сумовних у степенi q, 1 \leq q <\infty (вiдповiдно суттєво
обмежених при q = \infty ), функцiй f на вiдрiзку [ - \pi , \pi ]. Норма в цьому просторi визначається
таким чином:
\| f\| Lq = \| f\| q =
\left\{
\biggl(
1
2\pi
\int \pi
- \pi
| f(x)| qdx
\biggr) 1
q
, 1 \leq q <\infty ,
\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in [ - \pi ,\pi ]
| f(x)| , q = \infty .
Для функцiї f \in L1 розглянемо її ряд Фур’є\sum
k\in \BbbZ
\^f(k)eikx,
де \^f(k) =
1
2\pi
\int \pi
- \pi
f(x)e - ikxdx — коефiцiєнти Фур’є функцiї f.
Далi, нехай \psi (\tau ) \not = 0, \tau \in \BbbN , — довiльна функцiя натурального аргумента, \beta — довiльне
фiксоване дiйсне число. Якщо ряд \sum
k\in \BbbZ \setminus \{ 0\}
\^f(k)
\psi (| k| )
ei(kx+\beta
\pi
2
sign k)
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї, то її, наслiдуючи О. I. Степанця [2, с. 25] (див. також
[3, ч. I, с. 132]), назвемо (\psi , \beta )-похiдною функцiї f i позначимо f\psi \beta . Зауважимо, що якщо
\psi (| k| ) = | k| - r, r > 0, k \in \BbbZ \setminus \{ 0\} , то (\psi , \beta )-похiдна функцiї f збiгається з її (r, \beta )-похiдною
(позначення f r\beta ) у сенсi Вейля – Надя.
Через \Psi позначимо множину функцiй \psi (\tau ), \tau \in \BbbN , що задовольняють такi умови:
1) \psi (\tau ) є додатними i незростаючими;
2) iснує така стала C > 0, що
\psi (\tau )
\psi (2\tau )
\leq C.
c\bigcirc Г. М. ВЛАСИК, 2017
1310 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ Lq -НОРМ УЗАГАЛЬНЕНИХ ПОХIДНИХ ЯДЕР ТИПУ ДIРIХЛЕ . . . 1311
Зазначимо, що до множини \Psi належать, наприклад, функцiї
1
\tau r
,
\mathrm{l}\mathrm{n}\gamma (\tau + 1)
\tau r
, \gamma \in \BbbR , r > 0,
\tau \in \BbbN , та iн.
Далi, для величин A i B запис A \asymp B означає, що iснують додатнi сталi C1 та C2 такi, що
C1A \leq B \leq C2A. Якщо тiльки B \leq C2A (B \geq C1A), то пишемо B \ll A (B \gg A).
Тепер зупинимося коротко на iсторiї питання, яке буде дослiджуватися в роботi. У 1948 р.
Дж. Лiттлвуд висловив гiпотезу [1]:
для будь-якого набору цiлих чисел j1, . . . , jm справджується нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
m\sum
n=1
eijnx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\gg \mathrm{l}\mathrm{n}m.
У зв’язку з цiєю гiпотезою зазначимо, що для ядра Дiрiхле (див., наприклад, [4, с. 25])
\| Dm\| 1 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
m\sum
k= - m
eikx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\asymp \mathrm{l}\mathrm{n}m.
Позитивний розв’язок гiпотези Лiттлвуда незалежно i майже одночасно було одержано
С. В. Конягiним [5] та Мак-Гi, Пiно i Смiтом [6] у 1981 р. Згодом В. М. Тихомиров у оглядi
[7] запропонував узагальнити задачу Лiттлвуда i дослiдити асимптотику при m\rightarrow \infty величини
вигляду
Lm(r, q) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
Km
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Biggl(
m\sum
n=1
eijnx
\Biggr) (r)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
, 1 \leq q \leq \infty , (1)
де Km — довiльний набiр рiзних цiлих чисел j1, . . . , jm i похiдна порядку r \geq 0 розумiється в
сенсi Вейля, тобто \beta = r.
Величину (1), наслiдуючи В. Є. Майорова [8], далi будемо називати константою Лебе-
га – Лiттлвуда. Першi оцiнки величини Lm(r, q) були отриманi В. Є. Майоровим [8]. Згодом
Е. С. Белiнським [9, 10] було доповнено результати з [8]. Зауважимо, що Е. С. Белiнський у
роботi [10] зазначив, що одночасно i незалежно вiд нього про оцiнки величини Lm(r, q) при
0 \leq r <
1
q
i 2 < q < \infty було повiдомлено С. В. Конягiним на 4-й Саратовськiй зимовiй школi
по теорiї функцiй i наближень у 1988 роцi. Згодом дослiдження величини (1) було поширено i
на багатовимiрний випадок у роботах [11, 12].
Зазначимо, що ранiше порядковi оцiнки норм похiдних ядра Дiрiхле Dm у просторi Lq,
1 < q < \infty , як в одновимiрному, так i в багатовимiрному випадках було отримано Е. М. Галє-
євим [13].
Природно звернути увагу на порядковi оцiнки норм ядра Дiрiхле та ядер типу Дiрiхле з
довiльним вибором фiксованої кiлькостi гармонiк. Iз робiт [8, 10] випливає, що
Lm(0, 1) \asymp \mathrm{l}\mathrm{n}m,
Lm(0, q) \asymp m1 - 1/q, 1 < q \leq 2,
Lm(0, q) \asymp m1/2, 2 < q <\infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1312 Г. М. ВЛАСИК
Водночас вiдомо (див., наприклад, [4, с. 25]), що для ядра Дiрiхле
\| Dm\| 1 \asymp \mathrm{l}\mathrm{n}m,
\| Dm\| q \asymp m1 - 1/q, 1 < q <\infty , (2)
\| Dm\| \infty \asymp m.
Метою даної роботи є встановлення точних за порядком оцiнок величини
Lm(\psi , \beta , q) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
Km
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Biggl(
m\sum
n=1
eijnx
\Biggr) \psi
\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
при 2 < q <\infty , певних умовах на \psi (\tau ), \tau \in \BbbN , i \beta \in \BbbR .
Зазначимо, що одержаний нижче результат доповнює оцiнки цiєї величини, якi при iнших
умовах на \psi (\tau ), \tau \in \BbbN , i параметр q були встановленi в роботi [14]. Бiльш детально про це
буде йти мова в коментарях.
1. Допомiжнi твердження. У цьому пунктi сформулюємо кiлька вiдомих тверджень, якi
будемо використовувати у подальшому.
Позначимо через T (m) множину тригонометричних полiномiв вигляду
T (m) =
\Biggl\{
t : t(x) =
m\sum
k= - m
cke
ikx
\Biggr\}
.
Твердження А (див., наприклад, [3, ч. II, с. 115]). Нехай 1 < q < \infty , \psi (\tau ), \tau \in \BbbN , —
довiльна незростаюча послiдовнiсть невiд’ємних чисел. Тодi для довiльного полiнома t \in T (m)
справедливою є оцiнка \bigm\| \bigm\| \bigm\| t\psi \beta \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\ll \psi - 1(m)\| t\| q.
Нехай f \in Lq, 1 < q <\infty . Для s \in \BbbZ + розглянемо множину
\rho (s) =
\bigl\{
k \in \BbbZ :
\bigl[
2s - 1
\bigr]
\leq | k| < 2s
\bigr\}
,
де [a] — цiла частина числа a, i покладемо
\delta s(f, x) =
\sum
k\in \rho (s)
\^f(k)eikx.
Теорема А [15]. Нехай \psi (\tau ) \in \Psi , \tau \in \BbbN , \beta \in \BbbR i 1 < q < \infty . Тодi для f\psi \beta (x) справджу-
ється спiввiдношення
\bigm\| \bigm\| \bigm\| f\psi \beta \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\asymp
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\left( \sum
s\in \BbbZ +
\bigm| \bigm| \psi - 1 (2s) \delta s(f, x)
\bigm| \bigm| 2\right) 1/2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ Lq -НОРМ УЗАГАЛЬНЕНИХ ПОХIДНИХ ЯДЕР ТИПУ ДIРIХЛЕ . . . 1313
Теорема Б (Лiттлвуда – Пелi, див., наприклад, [4, с. 17]). Нехай задано 1 < q < \infty . Тодi
iснують додатнi сталi C3(q), C4(q) такi, що для кожної функцiї f \in Lq має мiсце оцiнка
C3(q)\| f\| q \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\left( \sum
s\in \BbbZ +
| \delta s(f, x)| 2
\right) 1/2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\leq C4(q)\| f\| q.
Лема А [12]. Нехай 2 \leq q <\infty , \Theta n = \{ jk\} nk=1 \subset \BbbZ i
T (\Theta n, x) =
n\sum
k=1
eijkx.
Тодi для довiльного m \leq n iснує тригонометричний полiном \~T (\Theta m, x) iз кiлькiстю гармонiк
не бiльше m i такий, що
\| T (\Theta n, x) - \~T (\Theta m, x)\| q \leq C5
n\surd
m
,
причому \Theta m \subset \Theta n, всi коефiцiєнти полiнома \~T (\Theta m, x) однаковi i не перевищують за моду-
лем
n
m
.
Теорема В (див., наприклад, [16, с. 159]). Нехай t \in T (m), m > 0. Тодi при 1 \leq q \leq p \leq
\leq \infty виконується нерiвнiсть
\| t\| p \ll m1/q - 1/p\| t\| q.
Це спiввiдношення є частковим випадком нерiвностi, яка була доведена в багатовимiрному
випадку С. М. Нiкольським i вiдома як „нерiвнiсть рiзних метрик”. Зауважимо також, що в
одновимiрному випадку при p = \infty вiдповiдну нерiвнiсть довiв Джексон [17].
Теорема Г (Марцинкевича, див., наприклад, [18, с. 346]). Нехай задано послiдовнiсть
\{ \lambda n\} \infty n= - \infty , що задовольняє умови:
1) | \lambda n| \leq C6, n \in \BbbZ ;
2)
\sum \pm 2\nu - 1
\mu =\pm 2\nu - 1
| \lambda \mu +1 - \lambda \mu | \leq C6, \nu \in \BbbN .
Тодi якщо
f(x) =
+\infty \sum
k= - \infty
\^f(k)eikx \in Lq, 1 < q <\infty ,
то
F (x) =
+\infty \sum
k= - \infty
\lambda k \^f(k)e
ikx \in Lq
i iснує стала C7(q) така, що
\| F\| q \leq C7(q)C6\| f\| q.
2. Основнi результати. Перш нiж перейти до формулювання i доведення основного ре-
зультату, встановимо точну за порядком оцiнку Lq -норми (\psi , \beta )-похiдної ядра Дiрiхле Dm при
1 < q <\infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1314 Г. М. ВЛАСИК
Теорема 1. Нехай \psi (\tau ), \tau \in \BbbN , — додатна i незростаюча послiдовнiсть, \beta \in \BbbR i 1 < q <
<\infty . Тодi справджується оцiнка\bigm\| \bigm\| \bigm\| (Dm)
\psi
\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\ll \psi - 1(m)m1 - 1/q. (3)
Якщо ж \psi (\tau ) \in \Psi , \tau \in \BbbN , то\bigm\| \bigm\| \bigm\| (Dm)
\psi
\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\asymp \psi - 1(m)m1 - 1/q. (4)
Доведення. Доведемо в (3) оцiнку зверху. Оскiльки функцiя Dm(x) — тригонометричний
полiном iз множини T (m), то, скориставшись твердженням А, отримаємо\bigm\| \bigm\| \bigm\| (Dm)
\psi
\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\ll \psi - 1(m)\| Dm\| q.
Звiдси, згiдно зi спiввiдношенням (2), будемо мати\bigm\| \bigm\| \bigm\| (Dm)
\psi
\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\ll \psi - 1(m)m1 - 1/q.
Тепер встановимо в (4) вiдповiдну оцiнку знизу. За заданим m виберемо \mu \in \BbbN таким
чином, щоб виконувалась умова 2\mu - 1 \leq m \leq 2\mu . Тодi для будь-якого s \leq \mu можемо записати
\delta s(x) =
\sum
l\in \rho (s)
eilx =
\sum
2s - 1\leq | l| <2s
eilx = 2
\sum
2s - 1\leq l<2s
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} lx =
=
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2s - 2x \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2 - 1(3 \cdot 2s - 1 - 1)x
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2 - 1x
i вiдповiдно
\delta s(f, x) =
\sum
l\in \rho (s)
\psi - 1(| l| )eilx \asymp \psi - 1(2s)
\sum
l\in \rho (s)
eilx. (5)
Нехай
\Delta n =
\bigl\{
x \in \BbbR : \pi 2 - n - 1 < | x| \leq \pi 2 - n
\bigr\}
, n \geq 0.
Тодi, використавши спiввiдношення
2x
\pi
\leq \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x \leq x при 0 \leq x \leq \pi
2
i врахувавши, що l \in \rho (s),
а x \in \Delta n, s < n, для \delta s(x) будемо мати
\delta s(x) = 2
\sum
2s - 1\leq l<2s
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} lx =
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2s - 2x \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2 - 1
\bigl(
3 \cdot 2s - 1 - 1
\bigr)
x
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2 - 1x
\geq
\geq
2 \cdot 2
\pi \cdot 2s - 2x \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2 - 1
\bigl(
3 \cdot 2s - 1 - 1
\bigr)
x
2 - 1x
=
=
2s+1
\pi
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2 - 1
\bigl(
3 \cdot 2s - 1 - 1
\bigr)
x \geq
\geq 2s+1
\pi
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2 - 1
\bigl(
3 \cdot 2s - 1 - 1
\bigr)
\pi 2 - s =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ Lq -НОРМ УЗАГАЛЬНЕНИХ ПОХIДНИХ ЯДЕР ТИПУ ДIРIХЛЕ . . . 1315
=
2s+1
\pi
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
3\pi
4
- \pi 2 - s - 1
\biggr)
\geq 2s+1
\pi
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
3\pi
8
. (6)
Використавши теореми А, Б та спiввiдношення (5), отримаємо
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (Dm)
\psi
\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\left( \sum
| k| \leq m
eikx
\right) \psi
\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\asymp
\asymp
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\left( \sum
s\leq \mu
\bigm| \bigm| \psi - 1(2s)\delta s(x)
\bigm| \bigm| 2\right) 1/2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\asymp
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\left( \sum
s\leq \mu
| \delta s(f, x)| 2
\right) 1/2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\asymp
\asymp
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
s\leq \mu
\psi - 1(2s)\delta s(x)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
=
\left( 1
2\pi
\pi \int
- \pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\sum
s\leq \mu
\psi - 1(2s)\delta s(x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
q
dx
\right) 1/q
= I.
Далi, розбивши вiдрiзок iнтегрування на областi \Delta n, взявши в сумi по s тiльки доданок з s = n
та врахувавши (6), будемо мати
I \gg
\left( \sum
n\leq \mu
\psi - q(2n)
\int
\Delta n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2n+1
\pi
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
3\pi
8
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q dx
\right) 1/q
\geq
\geq
\left( \sum
n\leq \mu
\psi - q(2n)
\pi
2n+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2n+1
\pi
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
3\pi
8
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q
\right) 1/q
\gg
\gg
\left( \sum
n\leq \mu
\psi - q(2n)2n(q - 1)
\right) 1/q
\geq
\geq \psi - 1 (2\mu ) 2\mu (1 - 1/q) \asymp \psi - 1(m)m1 - 1/q.
Таким чином, оцiнку знизу, а разом з нею i теорему доведено.
Зауваження 1. У випадку 1 < q < \infty , \psi (| k| ) = | k| - r, \beta = r, r > 1/q - 1, вiдповiдне
твердження було встановлено у роботi [13].
Тепер сформулюємо i доведемо твердження, в якому встановлено точну за порядком оцiн-
ку величини Lm(\psi , \beta , q), 2 < q < \infty , i при цьому виявлено, що ця величина при певних
обмеженнях на \psi (\tau ), \tau \in \BbbN , вiдрiзняється за порядком вiд Lq -норми (\psi , \beta )-похiдної ядра
Дiрiхле.
Теорема 2. Нехай 2 < q <\infty , \psi (\tau ) \in \Psi , \tau \in \BbbN , i \beta \in \BbbR . Тодi справджується оцiнка
Lm(\psi , \beta , q) \ll \psi - 1
\Bigl( \Bigl[
mq/2
\Bigr] \Bigr) \surd
m. (7)
Якщо ж, крiм цього, iснують \varepsilon 1, \varepsilon 2 > 0 такi, що послiдовнiсть \psi (\tau )\tau 1/q - \varepsilon 1 не спадає, а
послiдовнiсть \psi (\tau )\tau \varepsilon 2 не зростає, то
Lm(\psi , \beta , q) \asymp \psi - 1
\Bigl( \Bigl[
mq/2
\Bigr] \Bigr) \surd
m. (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1316 Г. М. ВЛАСИК
Доведення. Для доведення в (7) оцiнки зверху розглянемо полiном
D2s(x) =
2s\sum
k=1
eikx,
де 2s > m, число s буде уточнено у подальших мiркуваннях. Згiдно з лемою А, знайдеться
тригонометричний полiном
t\ast m(x) =
m\sum
n=1
aeijnx, | a| \leq 2s
m
,
який мiстить не бiльше нiж m гармонiк i такий, що\bigm\| \bigm\| D2s - t\ast m
\bigm\| \bigm\|
q
\leq C8
2s\surd
m
. (9)
Очевидно, можна вважати, що C8 > 1. Тодi будуть справедливими спiввiдношення\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| t\ast m(0)a
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = 1
| a|
| t\ast m(0)| \geq
m
2s
\| t\ast m\| \infty \geq m
2s
\bigl( \bigm\| \bigm\| D2s
\bigm\| \bigm\|
\infty -
\bigm\| \bigm\| D2s - t\ast m
\bigm\| \bigm\|
\infty
\bigr)
. (10)
Тому, використавши теорему В, оцiнку (9) i врахувавши, що 2s > m, будемо мати\bigm\| \bigm\| D2s - t\ast m
\bigm\| \bigm\|
\infty \ll 2s/q
\bigm\| \bigm\| D2s - t\ast m
\bigm\| \bigm\|
q
\leq C82
s/q 2s\surd
m
. (11)
Таким чином, пiдставивши (11) в (10), отримаємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| t\ast m(0)a
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \geq m
2s
\bigl( \bigm\| \bigm\| D2s
\bigm\| \bigm\|
\infty -
\bigm\| \bigm\| D2s - t\ast m
\bigm\| \bigm\|
\infty
\bigr)
\geq m
2s
\biggl(
2s - C82
s/q 2s\surd
m
\biggr)
=
= m
\Biggl(
1 - C8
2s/q\surd
m
\Biggr)
\geq m
2
,
якщо тiльки 2s \leq mq/2(2C8)
- q. Тому будемо вважати, що
2s =
\Bigl[
mq/2(2C8)
- q
\Bigr]
.
Далi нам буде потрiбна оцiнка знизу величини | a| . Оскiльки
| 2s - | a| m| =
\bigm| \bigm| \bigm\| \bigm\| D2s
\bigm\| \bigm\|
\infty - \| t\ast m\| \infty
\bigm| \bigm| \leq \bigm\| \bigm\| D2s - t\ast m
\bigm\| \bigm\|
\infty ,
то, скориставшись спiввiдношенням (11), отримаємо
2s - | a| m \leq C82
s/q 2s\surd
m
.
Звiдси, взявши до уваги умову на 2s, будемо мати
| a| \geq 2s
m
- C82
s/q 2s\surd
m \cdot m
\geq 2s
m
- 2s
2m
=
2s
2m
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ Lq -НОРМ УЗАГАЛЬНЕНИХ ПОХIДНИХ ЯДЕР ТИПУ ДIРIХЛЕ . . . 1317
Розглянемо тепер тригонометричний полiном
tm(x) =
1
a
t\ast m(x),
який, очевидно, має m гармонiк, i всi його коефiцiєнти дорiвнюють 1. Скориставшись послi-
довно твердженням А, спiввiдношеннями (9), (2) i врахувавши, що 2s > m, можемо записати\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigl( tm\bigr) \psi \beta \bigm\| \bigm\| \bigm\| q =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl(
1
a
t\ast m
\biggr) \psi
\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
=
1
| a|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (t\ast m)\psi \beta \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\ll
\ll m
2s
\psi - 1(2s) \| t\ast m\| q \leq
m
2s
\psi - 1(2s)
\Bigl( \bigm\| \bigm\| D2s - t\ast m
\bigm\| \bigm\|
q
-
\bigm\| \bigm\| D2s
\bigm\| \bigm\|
q
\Bigr)
\leq
\leq m
2s
\psi - 1(2s)
\biggl(
C8
2s\surd
m
- 2s(1 - 1/q)
\biggr)
\ll \psi - 1(2s)
\surd
m. (12)
Далi, оскiльки \psi \in \Psi i 2s =
\bigl[
C9m
q/2
\bigr]
, де C9 = (2C8)
- q, то зi спiввiдношення (12) одержимо\bigm\| \bigm\| \bigm\| (tm)\psi \beta \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\ll \psi - 1
\Bigl( \Bigl[
C9m
q/2
\Bigr] \Bigr) \surd
m.
Звiдси, врахувавши, що C9 < 1, отримаємо шукану оцiнку зверху
Lm(\psi , \beta , q) \ll \psi - 1
\Bigl( \Bigl[
C9m
q/2
\Bigr] \Bigr) \surd
m \leq \psi - 1
\Bigl( \Bigl[
mq/2
\Bigr] \Bigr) \surd
m.
Встановимо у (8) оцiнку знизу. Як буде зрозумiло з подальших мiркувань, можна вважати,
що Km = \{ j1, . . . , jm\} , 0 < j1 < . . . < jm, — довiльний набiр iз m натуральних чисел,
ms = | Km \cap \rho (s)| — кiлькiсть елементiв даного набору, якi потрапляють до множини \rho (s),
s \in \BbbZ +.
Далi, для кожного s \in \BbbZ + розглянемо полiном
tm,s(x) =
\sum
l\in Km\cap \rho (s)
eilx
i покажемо, що виконується спiввiдношення\bigm\| \bigm\| \bigm\| (tm,s)\psi \beta \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\gg \psi - 1(2s)\| tm,s\| q, 2 < q <\infty . (13)
З цiєю метою розглянемо послiдовнiсть \{ \lambda l,s\} , яка задається формулою
\{ \lambda l,s\} =
\biggl\{
\psi (l)
\psi (2s)
e - i\beta
\pi
2
\biggr\}
, l \in Km \cap \rho (s),
i переконаємося, що \{ \lambda l,s\} задовольняє умови 1 i 2 теореми Г.
Оскiльки \psi \in \Psi i за умовою l є додатними, то
| \lambda l,s| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \psi (l)\psi (2s)
e - i\beta
\pi
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \psi (l)
\psi (2s)
\leq C10,
\sum
l\in Km\cap \rho (s)
| \lambda l,s - \lambda l+1,s| =
\sum
l\in Km\cap \rho (s)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \psi (l)\psi (2s)
e - i\beta
\pi
2 - \psi (l + 1)
\psi (2s)
e - i\beta
\pi
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1318 Г. М. ВЛАСИК
\leq 1
\psi (2s)
\sum
l\in Km\cap \rho (s)
(\psi (l) - \psi (l + 1)) \leq
\leq 1
\psi (2s)
\bigl(
\psi (2s - 1) - \psi (2s)
\bigr)
\leq \psi (2s - 1)
\psi (2s)
\leq C10.
Таким чином, оператор \Lambda l,s, який задається послiдовнiстю \{ \lambda l,s\} i дiє як мультиплiкатор,
задовольняє умови теореми Г.
Тепер подiємо оператором \Lambda l,s на полiном
t
\ast
m,s(x) =
\sum
l\in Km\cap \rho (s)
\psi - 1(l)ei\beta
\pi
2 eilx.
У результатi одержимо
\Lambda l,st
\ast
m,s(x) = \Lambda l,s
\sum
l\in Km\cap \rho (s)
\psi - 1(l)ei\beta
\pi
2 eilx =
=
\sum
l\in Km\cap \rho (s)
\psi (l)
\psi (2s)
e - i\beta
\pi
2 \psi - 1(l)ei\beta
\pi
2 eilx =
=
1
\psi (2s)
\sum
l\in Km\cap \rho (s)
eilx =
1
\psi (2s)
tm,s(x).
Звiдси будемо мати
\bigm\| \bigm\| \Lambda l,st\ast m,s\bigm\| \bigm\| q = 1
\psi (2s)
\bigm\| \bigm\| tm,s\bigm\| \bigm\| q . (14)
З iншого боку, згiдно з теоремою Г,
\bigm\| \bigm\| \Lambda l,st\ast m,s\bigm\| \bigm\| q =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \Lambda l,s
\sum
l\in Km\cap \rho (s)
\psi - 1(l)ei\beta
\pi
2 eilx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\leq
\leq C11
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
l\in Km\cap \rho (s)
\psi - 1(l)ei\beta
\pi
2 eilx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
= C11
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigl( tm,s\bigr) \psi \beta \bigm\| \bigm\| \bigm\| q . (15)
Отже, спiвставивши (14) i (15), отримаємо потрiбне спiввiдношення (13).
Далi, використавши теорему Б i нерiвнiсть
\Biggl( \sum
n
| an| 2
\Biggr) 1/2
\geq
\Biggl( \sum
n
| an| q
\Biggr) 1/q
, 2 \leq q <\infty , (16)
згiдно з (13) одержимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ Lq -НОРМ УЗАГАЛЬНЕНИХ ПОХIДНИХ ЯДЕР ТИПУ ДIРIХЛЕ . . . 1319\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Biggl(
m\sum
k=1
eijkx
\Biggr) \psi
\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
q
\geq
\pi \int
- \pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\sum
jk\in Km
\psi - 1(jk)e
ijkx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
q
dx \asymp
\asymp
\pi \int
- \pi
\left( \sum
s\in \BbbZ +
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\sum
l\in Km\cap \rho (s)
\psi - 1(l)eilx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2\right) q/2
dx\gg
\gg
\sum
s\in \BbbZ +
\pi \int
- \pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\sum
l\in Km\cap \rho (s)
\psi - 1(l)eilx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
q
dx\gg
\gg
\sum
s\in \BbbZ +
\psi - q(2s)
\pi \int
- \pi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\sum
l\in Km\cap \rho (s)
eilx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
q
dx \asymp
\sum
s\in \BbbZ +
\psi - q(2s)\| tm,s\| qq. (17)
Щоб продовжити (17), розглянемо множини S1, S2 та будемо вважати, що s \in S1, якщо
ms > 2
2s
q , а всi iншi iндекси s вiднесемо до S2. Вiдповiдно останню суму в (17) запишемо у
виглядi двох доданкiв\sum
s\in \BbbZ +
\psi - q(2s)\| tm,s\| qq =
\sum
s\in S1
\psi - q(2s)\| tm,s\| qq +
\sum
s\in S2
\psi - q(2s)\| tm,s\| qq. (18)
Для оцiнки першої суми використаємо спiввiдношення, яке випливає iз нерiвностi рiзних
метрик (теорема В). А саме, оскiльки
ms =
\bigm\| \bigm\| tm,s\bigm\| \bigm\| \infty \leq 2s/q\| tm,s\| q,
то
\| tm,s\| q \geq
ms
2s/q
. (19)
Для оцiнки другої суми у (18) скористаємося нерiвнiстю\bigm\| \bigm\| tm,s\bigm\| \bigm\| q > \bigm\| \bigm\| tm,s\bigm\| \bigm\| 2 = \surd
ms, q > 2. (20)
Тодi, пiдставляючи (19) i (20) у (18), отримуємо\sum
s\in \BbbZ +
\psi - q(2s)
\bigm\| \bigm\| tm,s\bigm\| \bigm\| qq \geq \sum
s\in S1
\psi - q(2s)
mq
s
2s
+
\sum
s\in S2
\psi - q(2s)
\sqrt{}
mq
s. (21)
Для продовження мiркувань розглянемо спочатку випадок, коли\sum
s\in S1
ms >
m
2
,
i оцiнимо належним чином знизу першу суму в правiй частинi спiввiдношення (21). З умови
ms > 2
2s
q випливає, що
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in S1
s \leq \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2
\Bigl( \Bigl[
mq/2
\Bigr]
+ 1
\Bigr)
. (22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1320 Г. М. ВЛАСИК
Тодi, використавши нерiвнiсть Гельдера, будемо мати
m
2
\leq
\sum
s\in S1
ms =
\sum
s\in S1
\psi - 1(2s)2 - s/qms\psi (2
s)2s/q \leq
\leq
\left( \sum
s\in S1
\psi - q(2s)2 - smq
s
\right) 1/q\left( \sum
s\in S1
\psi q
\prime
(2s)2sq
\prime /q
\right) 1/q\prime
. (23)
Тепер, врахувавши (17), (18) i (21), одержимо
Lm(\psi , \beta , q) \gg
\left( \sum
s\in S1
\psi - q(2s)2 - smq
s
\right) 1/q
,
i згiдно з (23) можемо записати
m
2
\leq Lm(\psi , \beta , q)
\left( \sum
s\in S1
\psi q
\prime
(2s)2sq
\prime /q
\right) 1/q\prime
.
Звiдси випливає оцiнка
Lm(\psi , \beta , q) \geq
m
2
\left( \sum
s\in S1
\psi q
\prime
(2s)2sq
\prime /q
\right) - 1/q\prime
. (24)
З iншого боку, оскiльки послiдовнiсть \psi (\tau )\tau 1/q - \varepsilon 1 , \tau \in \BbbN , не спадає, то, врахувавши умову
(22), отримаємо\left( \sum
s\in S1
\psi q
\prime
(2s)2sq
\prime /q
\right) 1/q\prime
=
\left( \sum
s\in S1
\psi q
\prime
(2s)2sq
\prime /q2 - sq
\prime \varepsilon 12sq
\prime \varepsilon 1
\right) 1/q\prime
\leq
\leq
\biggl(
\psi q
\prime
\Bigl( \Bigl[
mq/2
\Bigr]
+ 1
\Bigr) \Bigl( \Bigl[
mq/2
\Bigr]
+ 1
\Bigr) q\prime /q - q\prime \varepsilon 1 \Bigl( \Bigl[
mq/2
\Bigr]
+ 1
\Bigr) q\prime \varepsilon 1\biggr) 1/q\prime
=
=
\biggl(
\psi q
\prime
\Bigl( \Bigl[
mq/2
\Bigr]
+ 1
\Bigr) \Bigl( \Bigl[
mq/2
\Bigr]
+ 1
\Bigr) q\prime /q\biggr) 1/q\prime
=
= \psi
\Bigl( \Bigl[
mq/2
\Bigr]
+ 1
\Bigr) \Bigl( \Bigl[
mq/2
\Bigr]
+ 1
\Bigr) 1/q
. (25)
Легко переконатися, що
\psi
\Bigl( \Bigl[
mq/2
\Bigr]
+ 1
\Bigr)
\asymp \psi
\Bigl( \Bigl[
mq/2
\Bigr] \Bigr)
. (26)
Дiйсно, оскiльки, з одного боку, \psi є додатними i незростаючими, то
\psi
\Bigl( \Bigl[
mq/2
\Bigr] \Bigr)
> \psi
\Bigl( \Bigl[
mq/2
\Bigr]
+ 1
\Bigr)
, (27)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ Lq -НОРМ УЗАГАЛЬНЕНИХ ПОХIДНИХ ЯДЕР ТИПУ ДIРIХЛЕ . . . 1321
а з iншого боку, врахувавши, що \psi \in \Psi , отримаємо
\psi
\Bigl( \Bigl[
mq/2
\Bigr] \Bigr)
\leq C12\psi
\Bigl(
2
\Bigl[
mq/2
\Bigr] \Bigr)
. (28)
Тому звiдси безпосередньо випливає, що
\psi
\Bigl( \Bigl[
mq/2
\Bigr] \Bigr)
\leq C13\psi
\Bigl( \Bigl[
mq/2
\Bigr]
+ 1
\Bigr)
. (29)
Таким чином, спiвставивши (27) i (29), отримаємо спiввiдношення (26) i, вiдповiдно, (25)
набере вигляду \left( \sum
s\in S1
\psi q
\prime
(2s)2sq
\prime /q
\right) 1/q\prime
\ll \psi
\Bigl( \Bigl[
mq/2
\Bigr] \Bigr) \surd
m.
Звiдси маємо \left( \sum
s\in S1
\psi q
\prime
(2s)2sq
\prime /q
\right) - 1/q\prime
\gg \psi - 1
\Bigl( \Bigl[
mq/2
\Bigr] \Bigr)
m - 1/2 (30)
i, пiдставляючи (30) у (24), одержуємо шукану оцiнку:
Lm(\psi , \beta , q) \gg m\psi - 1
\Bigl( \Bigl[
mq/2
\Bigr] \Bigr)
m - 1/2 = \psi - 1
\Bigl( \Bigl[
mq/2
\Bigr] \Bigr) \surd
m.
Нехай тепер \sum
s\in S2
ms >
m
2
.
Оскiльки в цьому випадку ms \leq 2
2s
q , то виберемо s таким чином, щоб виконувалась умова
s < \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2
\Bigl[
mq/2
\Bigr]
- 3
2
q. (31)
Тодi \sum
s\in S2
s<log2[mq/2] - 3
2
q
ms \leq
\sum
s\in S2
s<log2[mq/2] - 3
2
q
2
2s
q \leq m
8
.
Вiдповiдно \sum
s\in S2
s\geq log2[mq/2] - 3
2
q
ms >
3m
8
.
Тепер, скориставшись нерiвнiстю Гельдера з показником
q
2
, будемо мати
3m
8
\ll
\sum
s\in S2
s\geq log2[mq/2] - 3
2
q
ms =
\sum
s\in S2
s\geq log2[mq/2] - 3
2
q
\psi - 2(2s)ms\psi
2(2s) \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1322 Г. М. ВЛАСИК
\leq
\left( \sum
s\in S2
\psi - q(2s)mq/2
s
\right) 2/q
\left( \sum
s\geq log2[m
q/2] - 3
2
q
\psi
2q
q - 2 (2s)
\right)
q - 2
q
. (32)
Далi, оскiльки згiдно з умовою теореми \psi (\tau )\tau \varepsilon 2 , \tau \in \BbbN , не зростає, то, врахувавши (31),
отримаємо \left( \sum
s\geq log2[mq/2] - 3
2
q
\psi
2q
q - 2 (2s)
\right)
q - 2
q
=
=
\left( \sum
s\geq log2[mq/2] - 3
2
q
\psi
2q
q - 2 (2s)2
s\varepsilon 2
2q
q - 2 2
- s\varepsilon 2 2q
q - 2
\right)
q - 2
q
\leq
\leq
\left( \psi 2q
q - 2
\Bigl(
2 -
3
2
q
\Bigl[
mq/2
\Bigr] \Bigr) \Bigl(
2 -
3
2
q
\Bigl[
mq/2
\Bigr] \Bigr) \varepsilon 2 2q
q - 2
\sum
s\geq log2[mq/2] - 3
2
q
2
- s\varepsilon 2 2q
q - 2
\right)
q - 2
q
\leq
\leq
\biggl(
\psi
2q
q - 2
\Bigl(
2 -
3
2
q
\Bigl[
mq/2
\Bigr] \Bigr) \Bigl(
2 -
3
2
q
\Bigl[
mq/2
\Bigr] \Bigr) \varepsilon 2 2q
q - 2
\Bigl(
2 -
3
2
q
\Bigl[
mq/2
\Bigr] \Bigr) - \varepsilon 2 2q
q - 2
\biggr) q - 2
q
=
= \psi 2
\Bigl(
2 -
3
2
q
\Bigl[
mq/2
\Bigr] \Bigr)
. (33)
А оскiльки \psi (\tau ) \in \Psi , \tau \in \BbbN , то, виконавши елементарнi перетворення, будемо мати
\psi
\Bigl(
2 -
3
2
q
\Bigl[
mq/2
\Bigr] \Bigr)
\leq C14\psi
\Bigl( \Bigl[
mq/2
\Bigr] \Bigr)
. (34)
Тепер, врахувавши (17), (18) i (21), одержимо
Lm(\psi , \beta , q) \gg
\left( \sum
s\in S2
\psi - q(2s)
\sqrt{}
mq
s
\right) 1/q
. (35)
Таким чином, спiвставивши (32) – (35), можемо записати
3m
8
\ll L2
m(\psi , \beta , q)\psi
2
\Bigl( \Bigl[
mq/2
\Bigr] \Bigr)
,
звiдки одержуємо шукану оцiнку:
Lm(\psi , \beta , q) \gg \psi - 1
\Bigl( \Bigl[
mq/2
\Bigr] \Bigr) \surd
m.
Теорему 2 доведено.
Зауваження 2. Якщо 2 < q < \infty , \psi (| k| ) = | k| - r, \beta = r, 0 \leq r < 1/q, то вiдповiдне
твердження було встановлено у роботi [10].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ Lq -НОРМ УЗАГАЛЬНЕНИХ ПОХIДНИХ ЯДЕР ТИПУ ДIРIХЛЕ . . . 1323
Зазначимо, що спiввiдношення (8) доповнює точнi за порядком оцiнки величин Lm(\psi , \beta , q),
1 < q < \infty , якi були одержанi в роботi [14] за iнших умов на послiдовнiсть \psi (\tau ), \tau \in \BbbN . Для
зручностi порiвнянь наведемо вiдповiдний результат до теореми 2.
Теорема Д [14]. Нехай \psi (\tau ), \tau \in \BbbN , — додатна i незростаюча послiдовнiсть, \beta \in \BbbR i
2 < q <\infty . Тодi справедливою є оцiнка
Lm(\psi , \beta , q) \ll \psi - 1(m)m1 - 1/q.
Якщо ж \psi (\tau ) \in \Psi , \tau \in \BbbN , i, крiм того, iснує таке \varepsilon > 0, що послiдовнiсть \psi (\tau )\tau 1/q+\varepsilon не
зростає, то
Lm(\psi , \beta , q) \asymp \psi - 1(m)m1 - 1/q.
Отже, спiвставляючи теореми 1 i 2, бачимо, що при виконаннi умов теореми 2 на послiдов-
нiсть \psi (\tau ), \tau \in \BbbN , величина Lm(\psi , \beta , q) i Lq -норма (\psi , \beta )-похiдної ядра Дiрiхле вiдрiзняються
за порядком.
Лiтература
1. Hardy G. H., Littlewood J. Е. A new proof of a theorem of rearrangements // J. London Math. Soc. – 1948. – 23,
№ 91. – P. 163 – 168.
2. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка, 1987. – 268 с.
3. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – 40. –
Ч. I. – 427 с.; Ч. II. – 468 с.
4. Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions. – New York: Nova Sci. Publ. Inc., 1993. – 419 p.
5. Конягин С. В. О проблеме Литтлвуда // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1981. – 45, № 2. – С. 243 – 265.
6. McGehe O. C., Pigno L., Smith B. Hardy inequality and L1 -norm of exponential sums // Ann. Math. – 1981. – 113,
№ 3. – P. 613 – 618.
7. Тихомиров В. М. Теория приближений // Совр. пробл. математики. Фундам. направления. — М.: ВИНИТИ,
1987. – 14. – С. 103 – 260.
8. Майоров В. Е. Неравенства Бернштейна – Никольского и оценки норм ядер Дирихле для тригонометрических
полиномов по произвольным гармоникам // Мат. заметки. – 1990. – 47, № 6. – С. 55 – 61.
9. Белинский Э. С. Приближение тригонометрическими полиномами заданной длины на классах функций с
ограниченной смешанной производной и некоторые экстремальные задачи // Теория функций и приближений:
Тр. 4-й Саратов. зимней школы (25 января – 5 февраля 1988 г.) – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1990. – Ч. 2. –
С. 43 – 45.
10. Белинский Э. С. Две экстремальные задачи для тригонометрических полиномов с заданным числом гармоник //
Мат. заметки. – 1991. – 49, № 1. – С. 12 – 18.
11. Galeev E. M. Approximation of periodic functions of one and several variables // Constr. Theory Functions’87. –
Sofia, 1988. – P. 138 – 144.
12. Белинский Э. С., Галеев Э. М. О наименьшей величине норм смешанных производных тригонометрических
полиномов с заданным числом гармоник // Вестн. Моск. гос. ун-та. Сер. 1. Мат., мех. – 1991. – 2. – С. 3 – 7.
13. Галеев Э. М. Порядковые оценки производных периодического многомерного \alpha -ядра Дирихле в смешанной
норме // Мат. сб. – 1982. – 117(159), № 1. – С. 32 – 43.
14. Власик Г. М. Оцiнки норм узагальнених похiдних ядер типу Дiрiхле з довiльним вибором гармонiк // Дифе-
ренцiальнi рiвняння i сумiжнi питання аналiзу: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2016. – 13, № 2. –
С. 88 – 100.
15. Романюк А. С. Неравенства для Lp -норм (\psi , \beta )-производных и поперечников по Колмогорову классов функ-
ций многих переменных L\psi \beta ,p // Исследования по теории аппроксимации функций: Сб. науч. тр. – Киев: Ин-т
математики АН УССР, 1987. – С. 92 – 105.
16. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1989. – 480 с.
17. Jackson D. Certain problems of closest approximation // Bull. Amer. Math. Soc. – 1933. – 39, № 12. – P. 889 – 906.
18. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. – М.: Мир, 1965. – Т. 2. – 538 с.
Одержано 28.03.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-1784 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:36Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5a/4d1b6fccdefb716993b5a207189fa05a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17842019-12-05T09:26:39Z Order estimates of the $L_q$-norms of generalized derivatives of the Dirichlet-type kernels with an arbitrary choice of harmonics Порядкові оцінки $L_q$ -норм узагальнених похідних ядер типу Діріхле з довільним вибором гармонік Vlasyk, H. M. Власик, Г. М. We obtain the exact order estimates of the norms of generalized derivatives of the Dirichlet-type kernels with an arbitrary choice of harmonics in the space $L_q,\; 2 < q < \infty$. Получены точные по порядку оценки норм обобщенных производных ядер типа Дирихле с произвольным выбором гармоник в пространстве $L_q,\; 2 < q < \infty$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1784 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 10 (2017); 1299-1309 Український математичний журнал; Том 69 № 10 (2017); 1299-1309 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1784/766 Copyright (c) 2017 Vlasyk H. M. |
| spellingShingle | Vlasyk, H. M. Власик, Г. М. Order estimates of the $L_q$-norms of generalized derivatives of the Dirichlet-type kernels with an arbitrary choice of harmonics |
| title | Order estimates of the $L_q$-norms of generalized derivatives of the Dirichlet-type
kernels with an arbitrary choice of harmonics |
| title_alt | Порядкові оцінки $L_q$ -норм узагальнених похідних ядер типу Діріхле з довільним вибором гармонік |
| title_full | Order estimates of the $L_q$-norms of generalized derivatives of the Dirichlet-type
kernels with an arbitrary choice of harmonics |
| title_fullStr | Order estimates of the $L_q$-norms of generalized derivatives of the Dirichlet-type
kernels with an arbitrary choice of harmonics |
| title_full_unstemmed | Order estimates of the $L_q$-norms of generalized derivatives of the Dirichlet-type
kernels with an arbitrary choice of harmonics |
| title_short | Order estimates of the $L_q$-norms of generalized derivatives of the Dirichlet-type
kernels with an arbitrary choice of harmonics |
| title_sort | order estimates of the $l_q$-norms of generalized derivatives of the dirichlet-type
kernels with an arbitrary choice of harmonics |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1784 |
| work_keys_str_mv | AT vlasykhm orderestimatesofthelqnormsofgeneralizedderivativesofthedirichlettypekernelswithanarbitrarychoiceofharmonics AT vlasikgm orderestimatesofthelqnormsofgeneralizedderivativesofthedirichlettypekernelswithanarbitrarychoiceofharmonics AT vlasykhm porâdkovíocínkilqnormuzagalʹnenihpohídnihâdertipudíríhlezdovílʹnimviboromgarmoník AT vlasikgm porâdkovíocínkilqnormuzagalʹnenihpohídnihâdertipudíríhlezdovílʹnimviboromgarmoník |