Lie-algebraic structure of the Lax-integrable (2| 1+ 1) -dimensional supersymmetric matrix dynamical systems
By using a specially constructed Backlund transformation, we obtain the Hamiltonian representation for the hierarchy of Laxtype flows on the dual space to the Lie algebra of matrix superintegral-differential operators with one anticommutative variable, coupled with suitable evolutions of eigenfuncti...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1785 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507645667966976 |
|---|---|
| author | Hentosh, О. Ye. Гентош, О. Є. |
| author_facet | Hentosh, О. Ye. Гентош, О. Є. |
| author_sort | Hentosh, О. Ye. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:26:39Z |
| description | By using a specially constructed Backlund transformation, we obtain the Hamiltonian representation for the hierarchy of Laxtype
flows on the dual space to the Lie algebra of matrix superintegral-differential operators with one anticommutative variable,
coupled with suitable evolutions of eigenfunctions and adjoint eigenfunctions of the associated spectral problems. We
also propose the Hamiltonian description of the corresponding set of the hierarchies of additional homogeneous symmetries
(squared eigenfunction symmetries). The connection between these hierarchies and the Lax-integrable (2| 1+1)-dimensional
supersymmetric matrix nonlinear dynamical systems and their triple Lax-type linearizations is analyzed. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
О. Є. Гентош (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв)
ЛI-АЛГЕБРАЇЧНА СТРУКТУРА IНТЕГРОВНИХ ЗА ЛАКСОМ
(\bftwo | \bfone + \bfone )-ВИМIРНИХ СУПЕРСИМЕТРИЧНИХ
МАТРИЧНИХ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ
By using a specially constructed Backlund transformation, we obtain the Hamiltonian representation for the hierarchy of Lax-
type flows on the dual space to the Lie algebra of matrix superintegral-differential operators with one anticommutative vari-
able, coupled with suitable evolutions of eigenfunctions and adjoint eigenfunctions of the associated spectral problems. We
also propose the Hamiltonian description of the corresponding set of the hierarchies of additional homogeneous symmetries
(squared eigenfunction symmetries). The connection between these hierarchies and the Lax-integrable (2| 1+1)-dimensional
supersymmetric matrix nonlinear dynamical systems and their triple Lax-type linearizations is analyzed.
С помощью специально сконструированного преобразования Бэклунда получено гамильтоновое представление для
иерархии потоков типа Лакса на сопряженном пространстве к алгебре Ли матричных суперинтегро-дифференциаль-
ных операторов с одной антикоммутативной переменной, дополненной соответствующими эволюциями собствен-
ных функций ассоциированных спектральных задач. Предложено также гамильтоновое описание соответствующего
множества иерархий дополнительных однородных симметрий. Изучается связь этих иерархий с интегрируемыми
по Лаксу (2| 1 + 1)-измеримыми суперсимметричными матричными нелинейными динамическими системами и их
тройной линеаризацией типа Лакса.
1. Вступ. Добре вiдомою є Лi-алгебраїчна iнтерпретацiя iнтегровних за Лаксом [1 – 6] нелiнiй-
них динамiчних систем на функцiональних многовидах однiєї комутативної змiнної як гамiль-
тонових потокiв типу Лакса на спряжених просторах до алгебр Лi iнтегро-диференцiальних
операторiв [7] та їх суперузагальнень як гамiльтонових потокiв на спряжених просторах до
алгебр Лi суперiнтегро-диференцiальних операторiв з однiєю i двома антикомутативними змiн-
ними [8 – 10]. Такi потоки породжуються \scrR -деформованою дужкою Лi – Пуассона [4, 5, 11 – 13]
та вiдповiдними функцiоналами Казимира. Однак у випадку функцiональних многовидiв двох
комутативних змiнних єдиного Лi-алгебраїчного пiдходу до опису iнтегровних динамiчних сис-
тем не iснує. У роботах [12 – 16] розглядались кiлька Лi-алгебраїчних пiдходiв, якi дозволили
описати окремi класи iнтегровних (2 + 1)-вимiрних динамiчних систем. У межах одного з
таких пiдходiв [12, 14, 15] iнтегровнi за Лаксом динамiчнi системи виникають з умови су-
мiсностi двох потокiв типу Лакса на коприєднанiй орбiтi оператора загального виду. Iнший
пiдхiд [13, 16] пов’язаний iз застосуванням технiки центрального розширення до алгебри Лi
iнтегро-диференцiальних операторiв з однiєю комутативною змiнною.
У роботах [17, 19] запропоновано вводити у динамiчнi системи ще одну комутативну змiн-
ну iз збереженням їх iнтегровностi за Лаксом за допомогою додаткових однорiдних симетрiй
iєрархiї потокiв типу Лакса на розширеннi спряженого простору до операторної алгебри Лi
(розширеному фазовому просторi). У роботах [20 – 23] автором статтi показано, що цi симетрiї
є гамiльтоновими потоками на розширених фазових просторах, а також встановлено, що їх
гамiльтонове зображення задає пуассонова структура, яка породжує гамiльтонове зображення
для iєрархiї динамiчних систем, утворених потоками типу Лакса та вiдповiдними еволюцi-
ями власних функцiй асоцiйованих спектральних задач. Проблема iснування гамiльтонового
зображення для таких iєрархiй розглядалась у статтях [20 – 23, 25].
c\bigcirc О. Є. ГЕНТОШ, 2017
1324 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ЛI-АЛГЕБРАЇЧНА СТРУКТУРА IНТЕГРОВНИХ ЗА ЛАКСОМ (2| 1 + 1)-ВИМIРНИХ . . . 1325
У данiй статтi дослiджується гамiльтонова структура iєрархiй додаткових однорiдних си-
метрiй для алгебри Лi матричних суперiнтегро-диференцiальних операторiв з однiєю анти-
комутативною змiнною, за допомогою яких можна описати деякий клас (2| 1 + 1)-вимiрних
суперсиметричних матричних нелiнiйних динамiчних систем iз потрiйною лiнеаризацiєю типу
Лакса.
У п. 2 наведено загальну Лi-алгебраїчну схему побудови iєрархiї потокiв типу Лакса на
спряженому просторi алгебри Лi матричних суперiнтегро-диференцiальних операторiв з однiєю
антикомутативною змiнною.
У п. 3 за допомогою знайденого перетворення Беклунда на розширеному фазовому просторi
отримано гамiльтонове зображення для iєрархiї динамiчних систем, утворених потоками типу
Лакса та вiдповiдними еволюцiями власних функцiй.
У п. 4 показано, що додатковi однорiднi симетрiї цiєї iєрархiї також є гамiльтоновими пото-
ками, якi породжуються знайденою на розширеннi спряженого простору дужкою Пуассона та
вiдповiдними натуральними степенями власних значень асоцiйованої спектральної задачi.
У п. 5 додатковi однорiднi симетрiї використано для отримання (2| 1+1)-вимiрних суперси-
метричних матричних нелiнiйних динамiчних систем, що a priori мають трилiнiйне зображення
Лакса.
2. Загальна Лi-алгебраїчна схема. У статтi [24] розглядалась алгебра Лi суперiнтегро-
диференцiальних операторiв iз функцiональними коефiцiєнтами, надiлена iнварiантним ска-
лярним добутком. Нижче буде побудовано матричний аналог такої алгебри Лi у випадку однiєї
антикомутативної змiнної, на якiй буде введено iнварiантний скалярний добуток.
Позначимо через \mathrm{g} лiнiйний простiр матричних суперiнтегро-диференцiальних операторiв
з однiєю антикомутативною змiнною:
A := cq\partial
q +
\sum
p<2q
ApD
p
\theta =
\sum
\ell \leq q, r=0,1
a\ell ,r\partial
\ell Dr
\theta \in \mathrm{g},
aq,0 = cq, aq,1 = 0, a\ell ,0 = A2\ell , a\ell ,1 = A2\ell +1, \ell < q,
де Ar \in C\infty (\BbbS \times \Lambda 1; gl(m| n)), gl(m| n)) — напiвпроста супералгебра Лi квадратних супер-
матриць, дiагональнi блоки яких мають розмiри m\times m та n\times n, починаючи з верхнього лiвого
кута, Ap = Ap(x, \theta ) := A0
p(x) + \theta A1
p(x), p \in \BbbZ , суперматрицi Ap парнi (елементи дiагональних
блокiв комутують) для парних p i непарнi (елементи дiагональних блокiв антикомутують) для
непарних p, cq \in gl(m| n) — стала парна суперматриця, q \in \BbbN , \partial = \partial /\partial x, x \in \BbbS \simeq \BbbR /2\pi \BbbZ ,
\theta \in \Lambda 1, \Lambda := \Lambda 0 \oplus \Lambda 1 — алгебра Грассмана над полем \BbbC \supset \Lambda 0, D\theta := \partial /\partial \theta + \theta \partial /\partial x —
суперпохiдна, для якої D2
\theta = \partial /\partial x. Для будь-яких гладких матричнозначних функцiй a =
= a(x, \theta ) := a0(x) + \theta a1(x) та b = b(x, \theta ) := b0(x) + \theta b1(x) мають мiсце спiввiдношення
(D\theta ab) = (D\theta a)b+ ( - 1)\varrho (a)IaI(D\theta b),
\varrho (.) — функцiя парностi, I := \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (1, . . . , 1\underbrace{} \underbrace{}
m
, - 1, . . . , - 1\underbrace{} \underbrace{}
n
).
Введемо на просторi \mathrm{g} комутатор у виглядi
[A,B] = A \circ B - B \circ A, A,B \in \mathrm{g}, (1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1326 О. Є. ГЕНТОШ
де множення операторiв A, B визначається правилом
A \circ B =
\sum
\alpha \in \BbbZ +,\nu =0,1
1
\alpha !
\biggl(
\partial \alpha
\partial \xi \alpha
\biggl(
A
\partial \nu r
\partial \eta \nu
\biggr) \biggr) \biggl(
\partial \alpha
\partial x\alpha
\partial \nu B
\partial \theta \nu
\biggr)
,
\xi :=
\partial
\partial x
, \eta :=
\partial
\partial \theta
,
\partial
\partial \theta
та
\partial r
\partial \theta
— оператори лiвої та правої похiдних за змiнною \theta .
Розглянемо на алгебрi Лi \mathrm{g} бiлiнiйну форму
(A,B) =
2\pi \int
0
dx
\int
d\theta \mathrm{s}\mathrm{S}\mathrm{p} \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s} (A \circ B), A,B \in \mathrm{g}, (2)
де символ \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s} позначає коефiцiєнт при операторi D - 1
\theta , \mathrm{s}\mathrm{S}\mathrm{p} — суперслiд суперматрицi.
Лема 1. Бiлiнiйна форма (2) задає на алгебрi Лi \mathrm{g} скалярний добуток, iнварiантний вiднос-
но комутатора (1), тобто для будь-яких A, B, C \in \mathrm{g} виконується рiвнiсть
(A, [B,C]) = ([A,B], C). (3)
Доведення. Щоб довести симетричнiсть бiлiнiйної форми (2), обчислимо суперслiди кое-
фiцiєнтiв при операторi D - 1
\theta у добутках
a\ell ,r1\partial
\ell Dr1
\theta \circ b\kappa ,r2\partial \kappa D
r2
\theta = a\ell ,r1\partial
\ell \circ (Dr1
\theta b\kappa ,r2)\partial
\kappa Dr2
\theta + r1( - 1)r2a\ell ,r1\partial
\ell \circ (Ib\kappa ,r2I)\partial \kappa D
r1
\theta D
r2
\theta =
=
\sum
\varsigma \geq 0
(C\ell
\varsigma a\ell ,r1(\partial
\varsigma Dr1
\theta b\kappa ,r2)\partial
\kappa Dr2
\theta + r1( - 1)r2a\ell ,r1(I\partial
\varsigma b\kappa ,r2I)\partial
\kappa Dr1
\theta D
r2
\theta )
та
b\kappa ,r2\partial
kDr2
\theta \circ a\ell ,r1\partial \ell D
r1
\theta = b\kappa ,r2\partial
k \circ (Dr2
\theta a\ell ,r1)\partial
\ell Dr1
\theta + r2( - 1)r1b\kappa ,r2\partial
\kappa \circ (Ia\ell ,r1I)\partial \ell D
r2
\theta D
r1
\theta =
=
\sum
\varsigma \geq 0
(C\ell
\varsigma a\ell ,r1(\partial
\varsigma Dr1
\theta b\kappa ,r2)\partial
\kappa Dr2
\theta + r1( - 1)r2a\ell ,r1(I\partial
\varsigma b\kappa ,r2I)\partial
\kappa Dr1
\theta D
r2
\theta ),
де \ell , \kappa \in \BbbZ , r1 = 0, 1, r2 = 0, 1, а також
C\ell
\varsigma =
\left\{
\Biggl(
\ell
\varsigma
\Biggr)
, \ell \geq \varsigma \geq 0,
0, \varsigma \geq \ell \geq 0 або \varsigma < 0,\Biggl(
| \ell | + \varsigma - 1
\varsigma
\Biggr)
( - 1)\varsigma , \ell < 0, \varsigma \geq 0,
\biggl(
\ell
\varsigma
\biggr)
=
\ell (\ell - 1) . . . (\ell - \varsigma + 1)
1 \cdot 2 . . . \varsigma
.
Тодi
(a\ell ,r1\partial
\ell Dr1
\theta , b\kappa ,r2\partial
\kappa Dr2
\theta ) =
\sum
\ell +\kappa +1\geq 0
C\ell
\ell +\kappa +1
2\pi \int
0
dx
\int
d\theta \mathrm{s}\mathrm{S}\mathrm{p} (a\ell ,0(\partial
\ell +\kappa +1b\kappa ,1)+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ЛI-АЛГЕБРАЇЧНА СТРУКТУРА IНТЕГРОВНИХ ЗА ЛАКСОМ (2| 1 + 1)-ВИМIРНИХ . . . 1327
+a\ell ,1(\partial
\ell +\kappa +1D\theta b\kappa ,1) + a\ell ,1(\partial
\ell +\kappa +1Ib\kappa ,0I)),
(b\kappa ,r2\partial
\kappa Dr2
\theta , a\ell ,r1\partial
\ell Dr1
\theta ) =
\sum
\ell +\kappa +1\geq 0
C\kappa
\ell +\kappa +1
2\pi \int
0
dx
\int
d\theta \mathrm{s}\mathrm{S}\mathrm{p} (b\kappa ,0(\partial
\ell +\kappa +1a\ell ,1)+
+b\kappa ,1(\partial
\ell +\kappa +1D\theta a\ell ,1) + b\kappa ,1(\partial
\ell +\kappa +1Ia\ell ,0I)) =
=
\sum
\ell +\kappa +1\geq 0
( - 1)\ell +\kappa +1C\kappa
\ell +\kappa +1
2\pi \int
0
dx
\int
d\theta \mathrm{s}\mathrm{S}\mathrm{p} ((\partial \ell +\kappa +1b\kappa ,0)a\ell ,1+
+(\partial \ell +\kappa +1D\theta Ib\kappa ,1I)a\ell ,1 + (\partial \ell +\kappa +1b\kappa ,1)(Ia\ell ,0I)) =
= (a\ell ,r1\partial
\ell Dr1
\theta , b\kappa ,r2\partial
\kappa Dr2
\theta ),
де C\ell
\ell +\kappa +1 = ( - 1)\ell +\kappa +1C\kappa
\ell +\kappa +1. Отже, для будь-яких A, B \in \mathrm{g}
(A,B) = (B,A).
Для комутаторiв у виглядi (1) рiвнiсть (3) є наслiдком асоцiативностi операцiї множення
(див. [13]).
Лему 1 доведено.
Алгебра Лi \mathrm{g} розкладається у пряму суму двох пiдалгебр Лi \mathrm{g}+ \subset \mathrm{g} та \mathrm{g} - \subset \mathrm{g}:
\mathrm{g}+ :=
\left\{ A := cq\partial
q +
2q - 1\sum
\ell 1=0
A\ell D
\ell 1
\theta : \ell 1 = 0, 2q - 1
\right\} ,
\mathrm{g} - :=
\left\{ A :=
\infty \sum
\ell 2=0
A\ell 2D
- (\ell 2+1)
\theta : \ell 2 \in \BbbZ +
\right\} ,
тобто \mathrm{g} = \mathrm{g}+ \oplus \mathrm{g} - . Скалярний добуток (2) дозволяє ототожнити такi простори:
\mathrm{g}\ast \simeq \mathrm{g}, \mathrm{g}\ast + \simeq \mathrm{g} - , \mathrm{g}\ast - \simeq \mathrm{g}+.
На основi загального пiдходу [4, 5, 11 – 13] до побудови нового комутатора на алгебрi Лi за
допомогою її ендоморфiзму як лiнiйного простору введемо на \mathrm{g} ще один комутатор
[A,B]\scrR := [\scrR A,B] + [A,\scrR B], A,B \in \mathrm{g},
де ендоморфiзм R : \mathrm{g} \rightarrow \mathrm{g} має вигляд
\scrR := (P+ - P - )/2, P\pm \mathrm{g} := \mathrm{g}\pm , P\pm \mathrm{g}\mp = 0,
i задовольняє рiвняння Янга – Бакстера
\scrR [A,B]\scrR - [\scrR A,\scrR B] =
1
4
[A,B], A,B \in \mathrm{g}.
Цей комутатор породжує на спряженому вiдносно скалярного добутку (2) просторi \mathrm{g}\ast дужку
Лi – Пуассона
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1328 О. Є. ГЕНТОШ
\{ \gamma , \nu \} \scrR (l) = (l, [\nabla \gamma (l),\nabla \nu (l)]\scrR ) := (\nabla \gamma (l),\scrL \nabla \nu (l)) , (4)
де \gamma , \nu \in \scrD (\mathrm{g}\ast ) — деякi гладкi за Фреше функцiонали на \mathrm{g}\ast , \scrL : \scrT \ast (\mathrm{g}\ast ) \rightarrow \scrT (\mathrm{g}\ast ) — оператор
Пуассона, який вiдповiдає дужцi Пуассона (4), \nabla — оператор градiєнта вiдносно скалярного
добутку (2), l \in \mathrm{g}\ast . Градiєнт гладкого функцiонала \gamma \in \scrD (\mathrm{g}\ast ) у точцi l \in \mathrm{g}\ast знаходимо за
правилом
\delta \gamma (l) := (\nabla \gamma (l), \delta l) .
Будь-який функцiонал Казимира \gamma \in \scrI (\mathrm{g}\ast ) як iнварiант коприєднаної дiї вiдповiдної групи Лi
задовольняє у точцi l \in \mathrm{g}\ast рiвнiсть
[l,\nabla \gamma (l)] = 0. (5)
Дужка Лi – Пуассона (4) та функцiонал Казимира \gamma \in \scrI (\mathrm{g}\ast ) задають на \mathrm{g}\ast гамiльтоновий потiк
типу Лакса:
dl
dt
:= [\scrR \nabla \gamma (l), l] = [(\nabla \gamma (l))+, l],
де t \in \BbbR — еволюцiйний параметр, нижнiй символ + позначає проекцiю вiдповiдного оператора
на пiдалгебру Лi \mathrm{g}+. Неважко перевiрити, що функцiонали
\gamma j(l) =
q
j + q
\Bigl(
l
1
q , l
j
q
\Bigr)
, j \in \BbbN , (6)
є розв’язками рiвняння (5). Функцiонали Казимира (6) перебувають в iнволюцiї вiдносно дужки
Лi – Пуассона (4), тобто
\{ \gamma j , \gamma k\} \scrR = 0
для будь-яких j, k \in \BbbN , а тому породжують за допомогою дужки Лi – Пуассона (4) iєрархiю
комутуючих гамiльтонових потокiв типу Лакса на \mathrm{g}\ast :
dl
dtj
:= [\scrR \nabla \gamma j(l), l] = [(\nabla \gamma j(l))+, l], j \in \BbbN . (7)
Вiдповiднi твердження про властивостi функцiоналiв Казимира для алгебри Лi з iнварiантним
скалярним добутком, на якiй можна ввести новий комутатор за допомогою деякого її ендомор-
фiзму \scrR як лiнiйного простору, мiстяться у роботi [11].
Кожне рiвняння з iєрархiї (6) будемо розглядати як умову сумiсностi спектрального спiв-
вiдношення
lF = \lambda F, (8)
де \lambda \in \BbbC — спектральний параметр, та еволюцiйного рiвняння
dF
dtj
= (\nabla \gamma j(l))+F, j \in \BbbN , (9)
де F \in W0 := L2(\BbbS \times \Lambda 1; \Lambda
m
0 \times \Lambda n
1 ) або F \in W1 := L2(\BbbS \times \Lambda 1; \Lambda
m
1 \times \Lambda n
0 ). Можливiсть такого
вибору власної функцiї пов’язана з тим, що оператор l \in \mathrm{g}\ast дiє на (m + n)-вимiрних вектор-
функцiях вiд комутуючої x \in \BbbS i антикомутуючої \theta \in \Lambda 1 незалежних змiнних, якi утворюють
\BbbZ 2-градуйований лiнiйний простiр W0 \oplus W1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ЛI-АЛГЕБРАЇЧНА СТРУКТУРА IНТЕГРОВНИХ ЗА ЛАКСОМ (2| 1 + 1)-ВИМIРНИХ . . . 1329
Будемо називати парними вектор-функцiї, що належать простору W0, i непарними вектор-
функцiї, що належать простору W1. Це означає, що \varrho (F ) = 1, якщо F \in W0, та \varrho (F ) = 0,
якщо F \in W1.
Розглянемо на просторi W0 \oplus W1 бiлiнiйну форму
\langle G,F \rangle =
2\pi \int
0
dx
\int
d\theta (G\top F ), (10)
де верхнiй iндекс \top є символом звичайного транспонування. Функцiї у спiввiдношеннi (10)
будемо вибирати таким чином, щоб ця бiлiнiйна форма була парною, тобто G \in W1, якщо
F \in W0, i G \in W0, якщо F \in W1.
Тодi еволюцiя вiдповiдної власної функцiї спряженої до (8) спектральної задачi
I\varrho (F )l\ast I\varrho (F )F \ast = \lambda F \ast (11)
набирає вигляду
dF \ast
dtj
= - I\varrho (F )(\nabla \gamma j(l))\ast +I\varrho (F )F \ast . (12)
У формулах (11), (12) F \ast \in W1, якщо F \in W0, i F \ast \in W0, якщо F \in W1. Тут оператор A\ast \in \mathrm{g}
задовольняє спiввiдношення
\langle A\ast G,F \rangle = \langle G,AF \rangle ,
де F \in W0 i G \in W1, для будь-якого матричного суперiнтегро-диференцiального оператора
A \in \mathrm{g}.
Далi будемо вважати, що суперiнтегро-диференцiальний оператор l \in \mathrm{g}\ast у спектральнiй
задачi (8) має N \in \BbbN рiзних власних значень \lambda i \in \BbbC , i = 1, N. Для кожного j \in \BbbN дослiдимо
гамiльтонову структуру рiвняння типу Лакса (7), доповненого 2N еволюцiйними рiвняння-
ми (9):
dFi
dtj
= (\nabla \gamma j(l))+Fi,
d\Phi i
dtj
= (\nabla \gamma j(l))+\Phi i
(13)
для вiдповiдних власних векторiв Fi \in W0 i \Phi i \in W1, i = 1, N, спектральної задачi (8) та 2N
еволюцiйними рiвняннями (12):
dF \ast
i
dtj
= - (\nabla \gamma j(l))\ast +F \ast
i ,
d\Phi \ast
i
dtj
= - I(\nabla \gamma j(l))\ast +I\Phi \ast
i (14)
для вiдповiдних власних векторiв F \ast
i \in W1 i \Phi \ast
i \in W0, i = 1, N, спряженої спектральної
задачi (11), як динамiчної системи на розширеному фазовому просторi \mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1330 О. Є. ГЕНТОШ
3. Дужка Пуассона на розширеному фазовому просторi. Для бiльш компактного опису
введемо позначення для градiєнта будь-якого гладкого за Фреше функцiонала \~\gamma \in \scrD (\mathrm{g}\ast \oplus
\oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 ):
\nabla \~\gamma (\~l, \~\bfF , \~\bfPhi \ast , \~\bfF \ast , \~\bfPhi ) :=
\biggl(
\delta \~\gamma
\delta \~l
,
\delta \~\gamma
\delta \~\bfF
,
\delta \~\gamma
\delta \~\bfPhi \ast
,
\delta \~\gamma
\delta \~\bfF \ast
,
\delta \~\gamma
\delta \~\bfPhi
\biggr) \top
,
де \~\bfF := ( \~F1, . . . , \~FN )\top , \~\bfPhi := (\~\Phi 1, . . . , \~\Phi N )\top , \~\bfF \ast := ( \~F \ast
1 , . . . ,
\~F \ast
N )\top , \~\bfPhi := (\~\Phi \ast
1, . . . ,
\~\Phi \ast
N )\top , а
також
\delta \~\gamma
\delta \~\bfF
:=
\biggl(
\delta \~\gamma
\delta \~F1
, . . . ,
\delta \~\gamma
\delta \~FN
\biggr) \top
,
\delta \~\gamma
\delta \~\bfPhi
:=
\biggl(
\delta \~\gamma
\delta \~\Phi 1
, . . . ,
\delta \gamma
\delta \~\Phi N
\biggr) \top
,
\delta \~\gamma
\delta \~\bfF \ast
:=
\Biggl(
\delta \~\gamma
\delta \~F \ast
1
, . . . ,
\delta \~\gamma
\delta \~F \ast
N
\Biggr) \top
,
\delta \~\gamma
\delta \~\bfPhi \ast
:=
\Biggl(
\delta \~\gamma
\delta \~\Phi \ast
1
, . . . ,
\delta \~\gamma
\delta \~\Phi \ast
N
\Biggr) \top
,
у точцi (\~l, \~\bfF , \~\bfPhi \ast , \~\bfF \ast , \~\bfPhi )\top \in \mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 . Цей градiєнт знаходимо за допомогою спiввiд-
ношення
\delta \~\gamma (\~l, \~\bfF , \~\bfPhi \ast , \~\bfF \ast ,\bfPhi ) := (\langle (\delta l, \delta \bfF , \delta \bfPhi \ast , \delta \bfF \ast , \delta \bfPhi )\top ,\nabla \v \gamma j(l,\bfF ,\bfPhi
\ast ,\bfF \ast ,\bfPhi )\rangle ) =
=
\biggl(
\delta l,
\delta \~\gamma
\delta \~l
\biggr)
+
N\sum
i=1
\biggl\langle
\delta \~Fi,
\delta \~\gamma j
\delta \~Fi
\biggr\rangle
+
N\sum
i=1
\Biggl\langle
\delta \~\Phi \ast
i ,
\delta \~\gamma j
\delta \~\Phi \ast
i
\Biggr\rangle
+
+
N\sum
i=1
\Biggl\langle
\delta \~F \ast
i ,
\delta \~\gamma j
\delta \~F \ast
i
\Biggr\rangle
+
N\sum
i=1
\biggl\langle
\delta \~\Phi i,
\delta \~\gamma j
\delta \~\Phi i
\biggr\rangle
,
де
\biggl(
\delta l,
\delta \~\gamma
\delta \~l
\biggr)
=
\biggl(
\delta \~\gamma
\delta \~l
, \delta l
\biggr)
.
Оператор Пуассона \scrL : \scrT \ast (\mathrm{g}\ast ) \rightarrow \scrT (\mathrm{g}\ast ), який вiдповiдає дужцi Лi – Пуассона (4), у точцi
\~l \in \mathrm{g}\ast дiє за правилом
\delta \~\gamma 1
\delta \~l
\scrL \mapsto \rightarrow
\biggl[
\~l,
\biggl(
\delta \~\gamma 1
\delta \~l
\biggr)
+
\biggr]
-
\biggl[
\~l,
\delta \~\gamma 1
\delta \~l
\biggr]
+
(15)
для будь-якого гладкого за Фреше функцiонала \~\gamma 1 \in \scrD (\mathrm{g}\ast ).
На просторi W 2N
0 \oplus W 2N
1 власних функцiй введемо непарну суперсимплектичну структу-
ру [26, 27]
\omega (2) =
N\sum
i=1
(dFi \wedge dF \ast
i + d\Phi i \wedge d\Phi \ast
i ), (16)
де (\bfF ,\bfF \ast ,\bfPhi ,\bfPhi \ast )\top \in W 2N
0 \oplus W 2N
1 , \bfF := (F1, . . . , FN )\top , \bfF \ast := (F \ast
1 , . . . , F
\ast
N )\top , \bfPhi := (\Phi 1, . . .
. . . ,\Phi N )\top , \bfPhi := (\Phi \ast
1, . . . ,\Phi
\ast
N )\top , символ \wedge позначає зовнiшнє диференцiювання в алгебрi
Грассмана диференцiальних форм на W 2N
0 \oplus W 2N
1 . Iз суперсимплектичною структурою (16)
пов’язана дужка Пуассона \{ ., .\} J (див. [26]), якiй вiдповiдає оператор Пуассона J : \scrT \ast (W 2N
0 \oplus
\oplus W 2N
1 ) \rightarrow \scrT (W 2N
0 \oplus W 2N
1 ), що у точцi (\~\bfF , \~\bfPhi \ast , \~\bfF \ast , \~\bfPhi )\top \in W 2N
0 \oplus W 2N
1 дiє за правилом
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ЛI-АЛГЕБРАЇЧНА СТРУКТУРА IНТЕГРОВНИХ ЗА ЛАКСОМ (2| 1 + 1)-ВИМIРНИХ . . . 1331\left(
\delta \~\gamma 2
\delta \~\bfF
\delta \~\gamma 2
\delta \~\bfPhi \ast
\delta \~\gamma 2
\delta \~\bfF \ast
\delta \~\gamma 2
\delta \~\bfPhi
\right)
J\mapsto \rightarrow
\left(
- \delta \~\gamma 2
\delta \~\bfF \ast
\delta \~\gamma 2
\delta \~\bfPhi
\delta \~\gamma 2
\delta \~\bfF
- \delta \gamma 2
\delta \~\bfPhi \ast
\right)
, (17)
де \~\gamma 2 \in \scrD (W 2N
0 \oplus W 2N
1 ) — деякий гладкий за Фреше функцiонал.
Пряма сума операторiв \scrL \oplus J : \scrT \ast (\mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 ) \rightarrow \scrT (\mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 ) на просторi
функцiоналiв \~\gamma \in \scrD (\mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 ) таких, що
\~\gamma (\~l,\bfF ,\bfF \ast ,\bfPhi ,\bfPhi \ast ) := \~\gamma 1(\~l) + \~\gamma 2(\bfF ,\bfF \ast ,\bfPhi ,\bfPhi \ast ), (18)
задає дужку Пуассона
\{ ., .\} \scrL \oplus J := \{ ., .\} \scrR + \{ ., .\} J . (19)
Справдi, для будь-яких \~\gamma , \~\nu \in \scrD (\mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 ) у виглядi (18)
\{ \~\gamma , \~\nu \} \scrL \oplus J = \{ \~\gamma 1, \~\nu 1\} \scrR + \{ \~\gamma 2, \~\nu 2\} J = - \{ \~\nu 1, \~\gamma 1\} \scrR - \{ \~\nu 2, \~\gamma 2\} J = - \{ \~\nu , \~\gamma \} \scrL \oplus J ,
тобто виконується умова кососиметричностi. Тотожнiсть Якобi також має мiсце для будь-яких
\~\gamma , \~\nu , \~\varepsilon \in \scrD (\mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 ) у виглядi (18), оскiльки
\{ \{ \~\gamma , \~\nu \} \scrL \oplus J , \~\varepsilon \} \scrL \oplus J = \{ \{ \~\gamma 1, \~\nu 1\} \scrR , \~\varepsilon 1\} \scrR + \{ \{ \~\gamma 2, \~\nu 2\} J , \~\varepsilon 2\} J =
= - \{ \{ \~\varepsilon 1, \~\gamma 1\} \scrR , \~\nu 1\} \scrR - \{ \{ \~\nu 1, \~\varepsilon 1\} \scrR , \~\gamma 1\} \scrR - \{ \{ \~\varepsilon 2, \~\gamma 2\} J , \~\nu 2\} J - \{ \{ \~\nu 2, \~\varepsilon 2\} J , \~\gamma 2\} J =
= - \{ \{ \~\varepsilon , \~\gamma \} \scrL \oplus J , \~\nu \} \scrL \oplus J - \{ \{ \~\nu , \~\varepsilon \} \scrL \oplus J , \~\gamma \} \scrL \oplus J .
Щоб отримати гамiльтонове зображення
d
dtj
(l,\bfF ,\bfPhi \ast ,\bfF \ast ,\bfPhi )\top = - \Theta \nabla \v \gamma j(l,\bfF ,\bfPhi
\ast ,\bfF \ast ,\bfPhi ), (20)
де \Theta : \scrT \ast (\mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 ) \rightarrow \scrT (\mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 ) — деякий оператор Пуассона на просторi
гладких за Фреше функцiоналiв, заданих на \mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 , \v \gamma j \in \scrD (\mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 ),
динамiчної системи (7), (13) та (14) для кожного j \in \BbbN , використаємо пiдхiд, запропонований
у роботах [5, 20 – 23, 25].
Зауважимо, що функцiонал \v \gamma j(l,\bfF ,\bfPhi
\ast ,\bfF \ast ,\bfPhi ) у рiвняннi (20), який не залежить явно вiд
власних функцiй \bfF , \bfPhi \ast , \bfF \ast , \bfPhi , збiгається з функцiоналом Казимира \gamma j \in \scrD (\mathrm{g}\ast ) для кожного
j \in \BbbN .
Побудуємо на розширеному фазовому просторi \mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 перетворення Беклунда\left(
\~l
\~\bfF
\~\bfPhi \ast
\~\bfF \ast
\~\bfPhi
\right)
B\mapsto \rightarrow
\left(
l = l(\~l, \~\bfF , \~\bfPhi \ast , \~\bfF \ast , \~\bfPhi )
\bfF = \~\bfF
\bfPhi \ast = \~\bfPhi \ast
\bfF \ast = \~\bfF \ast
\bfPhi = \~\bfPhi
\right)
, (21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1332 О. Є. ГЕНТОШ
при якому траєкторiї гамiльтонового векторного поля
d\~l
dtj
=
\biggl[ \biggl(
\delta \~\gamma
\delta \~l
\biggr)
+
, \~l
\biggr]
-
\biggl[
\delta \~\gamma
\delta \~l
, \~l
\biggr]
+
,
d\~\bfF
dtj
=
\delta \~\gamma j
\delta \~\bfF \ast
,
d \~\bfPhi \ast
dtj
= - \delta \~\gamma j
\delta \~\bfPhi
, (22)
d\~\bfF \ast
dtj
= - \delta \~\gamma j
\delta \~\bfF
,
d \~\bfPhi
dtj
=
\delta \~\gamma j
\delta \~\bfPhi \ast
,
породженого дужкою Пуассона \{ ., .\} \scrL \oplus J та функцiоналом
\~\gamma j(\~l, \~\bfF , \~\bfF \ast , \~\bfPhi , \~\bfPhi \ast ) := \gamma j(l)
\bigm| \bigm| \bigm|
l=l(\~l,\~\bfF , \~\bfF \ast , \~\bfPhi , \~\bfPhi \ast )
\~\bfF =\bfF ,\~\bfF \ast =\bfF \ast , \~\bfPhi =\bfPhi , \~\bfPhi \ast =\bfPhi \ast
,
вiдображаються на траєкторiї вiдповiдного векторного поля (7), (13) та (14). У цьому випадку
функцiонал \~\gamma 2j \in \scrD (W 2N
0 \oplus W 2N
1 ) у розкладi (18) має вигляд
\~\gamma 2j =
N\sum
i=1
(\langle (\nabla \gamma j(l))+Fi, F
\ast
i \rangle + \langle (\nabla \gamma j(l))+\Phi i,\Phi
\ast
i \rangle ).
Знайдемо варiацiю функцiонала \~\gamma j(l,\bfF ,\bfF
\ast ,\bfPhi ,\bfPhi \ast ), j \in \BbbN , при додатковому обмеженнi \delta \~l = 0
з урахуванням перетворення Беклунда (21):
\delta \~\gamma j(\~l, \~\bfF , \~\bfPhi
\ast , \~\bfF \ast , \~\bfPhi )
\bigm| \bigm| \bigm|
\delta \~l=0
=
=
N\sum
i=1
\Biggl( \biggl\langle
\delta \~Fi,
\delta \~\gamma j
\delta \~Fi
\biggr\rangle
+
\Biggl\langle
\delta \~F \ast
i ,
\delta \~\gamma j
\delta \~F \ast
i
\Biggr\rangle \Biggr)
+
+
N\sum
i=1
\Biggl( \biggl\langle
\delta \~\Phi i,
\delta \~\gamma j
\delta \~\Phi i
\biggr\rangle
+
\Biggl\langle
\delta \~\Phi \ast
i ,
\delta \~\gamma j
\delta \~\Phi \ast
i
\Biggr\rangle \Biggr)
=
=
N\sum
i=1
\Biggl( \Biggl\langle
\delta \~Fi, -
d \~F \ast
i
dtj
\Biggr\rangle
+
\Biggl\langle
\delta \~F \ast
i ,
d \~Fi
dtj
\Biggr\rangle
+
+
\Biggl\langle
\delta \~\Phi i, -
d\~\Phi \ast
i
dtj
\Biggr\rangle
+
\Biggl\langle
\delta \~\Phi \ast
i ,
d\~\Phi i
dtj
\Biggr\rangle \Biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\~\bfF =\bfF ,\~\bfF \ast =\bfF \ast , \~\bfPhi =\bfPhi , \~\bfPhi \ast =\bfPhi \ast
=
=
N\sum
i=1
\biggl(
\langle \delta Fi, (\nabla \gamma j(l))\ast +F \ast
i \rangle + \langle \delta F \ast
i , (\nabla \gamma j(l))+Fi\rangle +
+\langle \delta \Phi \ast
i , (\nabla \gamma j(l))+\Phi i\rangle + \langle \delta \Phi i, I(\nabla \gamma j(l))\ast +I\Phi \ast
i \rangle
\biggr)
=
=
N\sum
i=1
\biggl(
\langle (\nabla \gamma j(l))+(\delta Fi), F
\ast
i \rangle + \langle (\nabla \gamma j(l))+Fi, \delta F
\ast
i \rangle +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ЛI-АЛГЕБРАЇЧНА СТРУКТУРА IНТЕГРОВНИХ ЗА ЛАКСОМ (2| 1 + 1)-ВИМIРНИХ . . . 1333
+\langle (\nabla \gamma j(l))+(\delta \Phi i),\Phi
\ast
i \rangle + \langle (\nabla \gamma j(l))+\Phi i, \delta \Phi
\ast
i \rangle
\biggr)
=
=
N\sum
i=1
\biggl(
(\nabla \gamma j(l), \delta (FiD
- 1
\theta \otimes F \ast
i )) + (\nabla \gamma j(l), \delta (\Phi iD
- 1
\theta \otimes \Phi \ast
i ))
\biggr)
=
=
\biggl(
\nabla \gamma j(l), \delta
N\sum
i=1
(FiD
- 1
\theta \otimes F \ast
i +\Phi iD
- 1
\theta \otimes \Phi \ast
i )
\biggr)
:= (\nabla \gamma j(l), \delta l),
де \gamma j \in \scrI (\mathrm{g}\ast ), j \in \BbbN . Таким чином, у випадку, коли
\delta l| \delta \~l=0 =
N\sum
i=1
\delta (FiD
- 1
\theta \otimes F \ast
i +\Phi iD
- 1
\theta \otimes \Phi \ast
i ), (23)
траєкторiї гамiльтонового векторного поля (22) для кожного j \in \BbbN при перетвореннi Беклун-
да (21) вiдображаються на траєкторiї векторного поля (20), гамiльтонiаном якого є функцiонал
Казимира \gamma j \in \scrI (\mathrm{g}\ast ).
Iз спiввiдношення (23) випливає, що
l = \scrK (\~l) +
N\sum
i=1
(FiD
- 1
\theta \otimes F \ast
i +\Phi iD
- 1
\theta \otimes \Phi \ast
i ),
де \scrK — деякий гладкий за Фреше оператор на \mathrm{g}\ast . Якщо \scrK (\~l) = \~l для будь-якого \~l \in \mathrm{g}\ast , то
перетворення Беклунда (21) набирає вигляду\left(
\~l
\~\bfF
\~\bfPhi \ast
\~\bfF \ast
\~\bfPhi
\right)
B\rightarrow
\left(
l = \~l +
N\sum
i=1
( \~FiD
- 1
\theta \otimes \~F \ast
i + \~\Phi iD
- 1
\theta \otimes \~\Phi \ast
i )
\bfF = \~\bfF
\bfPhi \ast = \~\bfPhi \ast
\bfF \ast = \~\bfF \ast
\bfPhi = \~\bfPhi
\right)
. (24)
Отже, має мiсце таке твердження.
Теорема 1. Для будь-якого j \in \BbbN динамiчна система (20) на \mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 еквiвалентна
системi еволюцiйних рiвнянь (22), де \~\gamma j := \gamma j | l=l(\~l,\~\bfF , \~\bfPhi \ast ,\~\bfF \ast , \~\bfPhi ) i \gamma j \in \scrI (\mathrm{g}\ast ) є функцiоналом
Казимира у точцi l \in \mathrm{g}\ast , вiдносно перетворення Беклунда (24).
Доведення. Перетворення Беклунда (24) отримано як таке, що вiдображає траєкторiї систе-
ми еволюцiйних рiвнянь (22) на траєкторiї динамiчної системи (20) iз гамiльтонiаном \gamma j \in \scrI (\mathrm{g}\ast )
для кожного j \in \BbbN .
Лема 2. При перетвореннi Беклунда (24) оператор Пуассона \Theta задовольняє спiввiдношен-
ня
\Theta = B
\prime
(\scrL \oplus J)B
\prime \ast , (25)
де B
\prime
: \scrT (\mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 ) \rightarrow \scrT (\mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 ) — похiдна Фреше перетворення Бек-
лунда (24), а B
\prime \ast : \scrT \ast (\mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 ) \rightarrow \scrT \ast (\mathrm{g}\ast \oplus W 2N
1 \oplus W 2N
1 ) — спряжений до неї
оператор.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1334 О. Є. ГЕНТОШ
Доведення. Знайдемо варiацiю функцiонала \v \gamma j(l,\bfF ,\bfPhi
\ast ,\bfF \ast ,\bfPhi ), j \in \BbbN , з урахуванням пе-
ретворення Беклунда B :
\delta \v \gamma j(l,\bfF ,\bfPhi
\ast ,\bfF \ast ,\bfPhi ) =
= (\langle (\delta l, \delta \bfF , \delta \bfPhi \ast , \delta \bfF \ast , \delta \bfPhi )\top ,\nabla \v \gamma j(l,\bfF ,\bfPhi
\ast ,\bfF \ast ,\bfPhi )\rangle ) =
= (\langle B\prime
(\delta \~l, \delta \~\bfF , \delta \~\bfPhi \ast , \delta \~\bfF \ast , \delta \bfPhi )\top ,\nabla \v \gamma j(l,\bfF , \~\bfPhi \ast , \~\bfF \ast , \~\bfPhi )\rangle ) =
= (\langle (\delta \~l, \delta \~\bfF , \delta \~\bfPhi \ast , \delta \~\bfF \ast , \delta \bfPhi )\top , B
\prime \ast \nabla \v \gamma j(l,\bfF , \~\bfPhi \ast , \~\bfF \ast , \~\bfPhi )\rangle ).
При перетвореннi Беклунда B
d
dtj
(l,\bfF ,\bfPhi \ast ,\bfF \ast ,\bfPhi )\top = B
\prime d
dtj
(\~l, \~\bfF , \~\bfPhi \ast , \~\bfF \ast , \~\bfPhi )\top =
= - (B
\prime
(\scrL \oplus J)B
\prime \ast )\nabla \v \gamma j(l,\bfF ,\bfPhi
\ast ,\bfF \ast ,\bfPhi ) (26)
для кожного j \in \BbbN . Таким чином, має мicце спiввiдношення (25).
Лему 2 доведено.
Теорема 2. Iєрархiя динамiчних систем (7), (13) та (14) є гамiльтоновою вiдносно пуас-
сонової структури \Theta у виглядi
\nabla \gamma (l,\bfF ,\bfPhi \ast ,\bfF \ast ,\bfPhi )
\Theta \mapsto \rightarrow
\left(
\biggl[
l,
\biggl(
\delta \gamma
\delta l
\biggr)
+
\biggr]
-
\biggl[
l,
\delta \gamma
\delta l
\biggr]
+
+
+
N\sum
i=1
\biggl(
FiD
- 1
\theta \otimes \delta \gamma
\delta Fi
- \delta \gamma
\delta F \ast
i
D - 1
\theta \otimes F \ast
i +
+ \Phi iD
- 1
\theta \otimes \delta \gamma
\delta \Phi i
- \delta \gamma
\delta \Phi \ast
i
D - 1
\theta \otimes \Phi \ast
i
\biggr)
- \delta \gamma
\delta \~\bfF \ast
-
\biggl(
\delta \gamma
\delta l
\biggr)
+
\bfF
\delta \gamma
\delta \~\bfPhi
+ I
\biggl(
\delta \gamma
\delta l
\biggr) \ast
+
I\bfPhi \ast
\delta \gamma
\delta \~\bfF
+
\biggl(
\delta \gamma
\delta l
\biggr) \ast
+
\bfF \ast
- \delta \gamma
\delta \~\bfPhi \ast
-
\biggl(
\delta \gamma
\delta l
\biggr)
+
\bfPhi
\right)
, (27)
де \gamma \in \scrD (\mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 ), та функцiоналiв Казимира \v \gamma j := \gamma j \in \scrI (\mathrm{g}\ast ), j \in \BbbN .
Доведення. Пуассонову структуру \Theta на \mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 у виглядi (27) отримуємо за до-
помогою спiввiдношення (25) з урахуванням явного вигляду похiдної Фреше B
\prime
перетворення
Беклунда (24) та вiдповiдного спряженого оператора B
\prime \ast :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ЛI-АЛГЕБРАЇЧНА СТРУКТУРА IНТЕГРОВНИХ ЗА ЛАКСОМ (2| 1 + 1)-ВИМIРНИХ . . . 1335\left(
h
d
g
\chi
\rho
\right)
B
\prime
\mapsto \rightarrow
\left(
h+
N\sum
i=1
\bigl(
FiD
- 1
\theta \otimes \chi i + diD
- 1
\theta \otimes F \ast
i
\bigr)
+
+
N\sum
i=1
\bigl(
\rho iD
- 1
\theta \otimes \Phi \ast
i +\Phi iD
- 1
\theta \otimes gi
\bigr)
d
g
\chi
\rho
\right)
,
\left(
\=h
\=d
\=g
\=\chi
\=\rho
\right)
B
\prime \ast
\mapsto \rightarrow
\left(
\=h
\=d+ (\=h\ast +\bfF
\ast )
\=g + (\=h+\bfPhi )
\=\chi + (\=h+\bfF )
\=\rho + (I\=h\ast +I\bfPhi
\ast )
\right)
,
де (h, d, g, \chi , \rho )\top \in \scrT (\~l,\~\bfF , \~\bfPhi \ast ,\~\bfF \ast , \~\bfPhi )(\mathrm{g}
\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 ) i (\=h, \=d, \=g, \=\chi , \=\rho )\top \in \scrT \ast
(l,\bfF ,\bfPhi \ast ,\bfF \ast ,\bfPhi )(\mathrm{g}
\ast \oplus W 2N
0 \oplus
\oplus W 2N
1 ).
Теорему 2 доведено.
За допомогою зображення (20) на розширеному фазовому просторi \mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1
можна отримати нову iєрархiю гамiльтонових динамiчних систем, породжених iнволютивними
вiдносно деформованої дужки Лi – Пуассона (4) функцiоналами Казимира \gamma j \in \scrI (\mathrm{g}\ast ), j = 1, N,
у виглядi (6). На орбiтах коприєднаної дiї алгебри Лi \mathrm{g} вона редукується до зображень Лакса для
деяких (1| 1+1)-вимiрних суперсиметричних матричних нелiнiйних динамiчних систем [8, 10].
4. Iєрархiї додаткових однорiдних симетрiй. Iєрархiя динамiчних систем (7), (13) та (14)
має ще одну множину iнварiантiв, а саме, натуральнi степенi власних значень \lambda i, i = 1, N,
якi можна розглядати як гладкi за Фреше функцiонали на \mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 вiдповiдно до
зображення
\lambda sk = \langle lsFk, F
\ast
k \rangle + \langle ls\Phi k,\Phi
\ast
k\rangle , (28)
де s \in \BbbN , k = 1, N, при умовi нормування
\langle Fk, F
\ast
k \rangle + \langle \Phi k,\Phi
\ast
k\rangle = 1.
Гладкi за Фреше функцiонали \mu k \in \scrD (\mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 ), k = 1, N,
\mu k := \langle Fk, F
\ast
k \rangle + \langle \Phi k,\Phi
\ast
k\rangle ,
iнварiантнi вiдносно динамiчних систем (7), (13) та (14).
Для будь-яких k = 1, N та s \in \BbbN знайдемо варiацiю функцiонала \lambda sk \in \scrD (\mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 )
з урахуванням перетворення Беклунда (24):
\delta \lambda sk =
s - 1\sum
p=0
\bigl(
\langle ls - 1 - p(\delta l)lpFk, F
\ast
k \rangle + \langle ls - 1 - p(\delta l)lp\Phi k,\Phi
\ast
k\rangle
\bigr)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1336 О. Є. ГЕНТОШ
+\langle ls(\delta Fk), F
\ast
k \rangle + \langle ls(\delta \Phi k),\Phi
\ast
k\rangle + \langle lsFk, \delta F
\ast
k \rangle + \langle ls\Phi k, \delta \Phi
\ast
k\rangle =
=
s - 1\sum
p=0
\Bigl(
\langle (\delta l)lpFk, l
(s - 1 - p)\ast F \ast
k \rangle + \langle (\delta l)lp\Phi k, Il
(s - 1 - p)\ast I\Phi \ast
k\rangle
\Bigr)
+
+\langle \delta Fk, l
s\ast F \ast
k \rangle + \langle \delta \Phi k, Il
s\ast I\Phi \ast
k\rangle + \langle \delta F \ast
k , l
sFk\rangle + \langle \delta \Phi \ast
k, l
s\Phi k\rangle =
=
s - 1\sum
p=0
\Bigl(
\langle (\delta \~l)lpFk, l
(s - 1 - p)\ast F \ast
k \rangle + \langle (\delta \~l)lp\Phi k, Il
(s - 1 - p)\ast I\Phi \ast
k\rangle
\Bigr)
+
+
N\sum
i=1
s - 1\sum
p=0
(\langle (\delta Fi)D
- 1
\theta \otimes F \ast
i (l
pFk), l
(s - 1 - p)\ast F \ast
k \rangle + \langle (\delta \Phi i)D
- 1
\theta \otimes \Phi \ast
i (l
pFk), l
(s - 1 - p)\ast F \ast
k \rangle +
+\langle (\delta Fi)D
- 1
\theta \otimes F \ast
i (l
p\Phi k), Il
(s - 1 - p)\ast I\Phi \ast
k\rangle + \langle (\delta \Phi i)D
- 1
\theta \otimes \Phi \ast
i (l
p\Phi k), Il
(s - 1 - p)\ast I\Phi \ast
k\rangle )+
+
N\sum
i=1
s - 1\sum
p=0
(\langle FiD
- 1
\theta \otimes (\delta F \ast
i )l
pFk, l
(s - 1 - p)\ast F \ast
k \rangle + \langle \Phi iD
- 1
\theta \otimes (\delta \Phi \ast
i )l
pFk, l
(s - 1 - p)\ast F \ast
k \rangle +
+\langle FiD
- 1
\theta \otimes (\delta F \ast
i )l
p\Phi k, Il
(s - 1 - p)\ast I\Phi \ast
k\rangle ) + \langle \Phi iD
- 1
\theta \otimes (\delta \Phi \ast
i )l
p\Phi k, Il
(s - 1 - p)\ast I\Phi \ast
k\rangle )+
+\langle \delta Fk, l
s\ast F \ast
k \rangle + \langle \delta \Phi k, Il
s\ast I\Phi \ast
k\rangle + \langle \delta F \ast
k , l
sFk\rangle + \langle \delta \Phi \ast
k, l
s\Phi k\rangle =
=
s - 1\sum
p=0
\Bigl(
\langle (\delta \~l)lpFk, l
(s - 1 - p)\ast F \ast
k \rangle + \langle (\delta \~l)lp\Phi k, Il
(s - 1 - p)\ast I\Phi \ast
k\rangle
\Bigr)
+
+
N\sum
i=1
\biggl(
\langle (\delta Fi, ( - M s
k + \delta ikl
s)\ast F \ast
i \rangle + \langle \delta \Phi \ast
i , ( - M s
k + \delta ikl
s)\Phi i\rangle +
+\langle \delta F \ast
i , ( - M s
k + \delta ikl
s)Fi\rangle + \langle \delta \Phi i, I( - M s
k + \delta ikl
s)\ast I\Phi \ast
i \rangle
\biggr)
,
де
M s
k =
s - 1\sum
p=0
((lpFk)D
- 1
\theta \otimes (l(s - 1 - p)\ast F \ast
k ) + (lp\Phi k)D
- 1
\theta \otimes (Il(s - 1 - p)\ast I\Phi \ast
k)),
M s\ast
k = -
s - 1\sum
p=0
((l(s - 1 - p)\ast F \ast
k )D
- 1
\theta \otimes (lpFk) + (l(s - 1 - p)\ast I\Phi \ast
k)D
- 1
\theta \otimes (lp\Phi k)I),
\delta ik, i, k = 1, N, — символ Кронекера. Рiвностi
\langle (\delta \~l)lpFk, l
(s - 1 - p)\ast F \ast
k \rangle = (\delta \~l, (lpFk)D
- 1
\theta \otimes (l(s - 1 - p)\ast F \ast
k )),
\langle (\delta \~l)lp\Phi k, Il
(s - 1 - p)\ast I\Phi \ast
k\rangle = (\delta \~l, (lp\Phi k)D
- 1
\theta \otimes I(l(s - 1 - p)\ast I\Phi \ast
k))
мають мiсце тодi i тiльки тодi, коли \~l = \~l+. У цьому випадку
\delta \lambda sk = (\delta \~l+,M
s
k) +
N\sum
i=1
\biggl(
\langle (\delta Fi, ( - M s
k + \delta ikl
s)\ast F \ast
i \rangle +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ЛI-АЛГЕБРАЇЧНА СТРУКТУРА IНТЕГРОВНИХ ЗА ЛАКСОМ (2| 1 + 1)-ВИМIРНИХ . . . 1337
+\langle \delta \Phi \ast
i , ( - M s
k + \delta ikl
s)\Phi i\rangle + \langle \delta F \ast
i , ( - M s
k + \delta ikl
s)Fi\rangle +
+\langle \delta \Phi i, I( - M s
k + \delta ikl
s)\ast I\Phi \ast
i \rangle
\biggr)
. (29)
Таким чином, варiацiйну похiдну
\delta \~\gamma s,k
\delta \~l
вiд функцiонала
\~\gamma s,k(\~l,\bfF ,\bfF
\ast ,\bfPhi ,\bfPhi \ast ) := \lambda sk(l,\bfF ,\bfF
\ast ,\bfPhi ,\bfPhi \ast )
\bigm| \bigm| \bigm|
l=l(\~l,\~\bfF , \~\bfF \ast , \~\bfPhi , \~\bfPhi \ast ),
\langle Fk,F
\ast
k \rangle +\langle \Phi k,\Phi
\ast
k\rangle =1
,
де k = 1, N, s \in \BbbN , можна знайти тодi i тiльки тодi, коли оператор l \in \mathrm{g}\ast у перетвореннi
Беклунда (24) має вигляд
l = l+ +
N\sum
i=1
(FiD
- 1
\theta \otimes F \ast
i +\Phi iD
- 1
\theta \otimes \Phi \ast
i ), (30)
тобто \~l = l+. Для будь-яких k = 1, N та s \in \BbbN функцiонал \~\gamma s,k \in \scrD (\mathrm{g}\ast - \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 )
записується як сума двох функцiоналiв:
\~\gamma s,k(l+,\bfF ,\bfF
\ast ,\bfPhi ,\bfPhi \ast ) := \~\gamma 1s,k(l+) + \~\gamma 2s,k(\bfF ,\bfF
\ast ,\bfPhi ,\bfPhi \ast ),
де
\~\gamma 2s,k =
N\sum
i=1
(\langle ( - M s
k + \delta ikl
s)Fi, F
\ast
i \rangle + \langle ( - M s
k + \delta ikl
s)\Phi i,\Phi
\ast
i \rangle ).
Лема 3. Дужку Лi – Пуассона \{ ., .\} \scrR , якiй вiдповiдає оператор (27), можна редукувати
на пiдпростiр \mathrm{g}\ast - , де \mathrm{g}\ast - \simeq \mathrm{g}+.
Доведення. Для будь-якого \~l = \~l+ \in \mathrm{g}\ast - у виглядi
\~l = cq +A2q - 1D
2q - 1
\theta +A2q - 2D
2q - 2
\theta + . . .+A1D\theta +A0 (31)
градiєнт довiльного гладкого за Фреше функцiонала \~\gamma \in \scrD (\mathrm{g}\ast - ) записується таким чином:
\delta \~\gamma
\delta \~l
= - D - 2q
\theta I
\delta \~\gamma
\delta A2n - 1
I - D - 2q+1
\theta I
\delta \~\gamma
\delta A2n - 2
I + . . . - D - 1
\theta I
\delta \~\gamma
\delta A0
I.
Тому дужка Пуассона \{ ., .\} \scrR породжує у точцi \~l \in \mathrm{g}\ast - гамiльтонове векторне поле
-
\biggl[
\delta \~\gamma
\delta \~l
, \~l
\biggr]
+
, (32)
де оператор (32) є супердиференцiальним оператором порядку 2q - 1:
- [cq, A0]D
2q - 1
\theta +B2q - 2D
2q - 2
\theta + . . .+B1D\theta +B0.
Оскiльки похiдна вiд оператора (31) вiдносно будь-якого еволюцiйного параметра \^t \in \BbbR \biggl(
d
d\^t
A2q - 1
\biggr)
D2q - 1
\theta +
\biggl(
d
d\^t
A2q - 2
\biggr)
D2q - 2
\theta + . . .+
\biggl(
d
d\^t
A1
\biggr)
D\theta +
\biggl(
d
d\^t
A0
\biggr)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1338 О. Є. ГЕНТОШ
також є супердиференцiальним оператором порядку 2q - 1, то дужку Пуассона \{ ., .\} \scrR можна
обмежити на пiдпростiр \mathrm{g}\ast - .
Лему 3 доведено.
Таким чином, повторивши мiркування з п. 4 для редукованої на \mathrm{g}\ast - дужки Пуассона \{ ., .\} \scrR ,
отримуємо дужку Пуассона на розширеному фазовому просторi \scrD (\mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 ) iз вiд-
повiдним оператором Пуассона \Theta red, що дiє за правилом
\nabla \gamma (l,\bfF ,\bfPhi \ast ,\bfF \ast ,\bfPhi )
\Theta red\mapsto \rightarrow
\Theta red\mapsto \rightarrow
\left(
-
\biggl[
l,
\delta \gamma
\delta l
\biggr]
+
+
\Biggl[
N\sum
i=1
(FiD
- 1
\theta \otimes F \ast
i +\Phi iD
- 1
\theta \otimes \Phi \ast
i ),
\biggl(
\delta \gamma
\delta l
\biggr)
+
\Biggr]
+
+
N\sum
i=1
\biggl(
FiD
- 1
\theta \otimes \delta \gamma
\delta Fi
- \delta \gamma
\delta F \ast
i
D - 1
\theta \otimes F \ast
i +
+ \Phi iD
- 1
\theta \otimes \delta \gamma
\delta \Phi i
- \delta \gamma
\delta \Phi \ast
i
D - 1
\theta \otimes \Phi \ast
i
\biggr)
- \delta \gamma
\delta \~\bfF \ast
-
\biggl(
\delta \gamma
\delta l
\biggr)
+
\bfF
\delta \gamma
\delta \~\bfPhi
+ I
\biggl(
\delta \gamma
\delta l
\biggr) \ast
+
I\bfPhi \ast
\delta \gamma
\delta \~\bfF
+
\biggl(
\delta \gamma
\delta l
\biggr) \ast
+
\bfF \ast
- \delta \gamma
\delta \~\bfPhi \ast
-
\biggl(
\delta \gamma
\delta l
\biggr)
+
\bfPhi
\right)
, (33)
де \gamma \in \scrD (\mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 ).
Для кожного k = 1, N за допомогою явного вигляду градiєнтiв функцiоналiв \~\gamma s,k \in \scrD (\mathrm{g}\ast - \oplus
\oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 ), s \in \BbbN :
\nabla \~\gamma s,k(l+,\bfF ,\bfPhi
\ast ,\bfF \ast ,\bfPhi ) =
\left(
M s
k
( - M s
k + \delta ikl
s)\ast F \ast
i
( - M s
k + \delta ikl
s)\Phi i
( - M s
k + \delta ikl
s)Fi
I( - M s
k + \delta ikl
s)\ast I\Phi \ast
i
\right)
, i = 1, N, (34)
дужка Пуассона з оператором Пуассона \scrL red\oplus J, де оператор Пуассона \scrL red вiдповiдає редуко-
ванiй на \mathrm{g}\ast - дужцi Лi – Пуассона \{ ., .\} \scrR , породжує на \mathrm{g}\ast - \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 iєрархiю еволюцiйних
рiвнянь
dl+
d\tau s,k
= - [M s
k , l+]+, (35)
dFi
d\tau s,k
= ( - M s
k + \delta ikl
s)Fi,
d\Phi \ast
i
d\tau s,k
= I(M s
k - \delta ikl
s)\ast I\Phi \ast
i ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ЛI-АЛГЕБРАЇЧНА СТРУКТУРА IНТЕГРОВНИХ ЗА ЛАКСОМ (2| 1 + 1)-ВИМIРНИХ . . . 1339
dF \ast
i
d\tau s,k
= (M s
k - \delta ikl
s)\ast F \ast
i ,
d\Phi i
d\tau s,k
= ( - M s
k + \delta ikl
s)\Phi i. (36)
При перетвореннi Беклунда (24) з оператором l \in \mathrm{g}\ast у виглядi (30) рiвняння (35) набирає
комутаторного вигляду
dl
d\tau s,k
= - [M s
k , l] = - s\lambda s - 1
k [M1
k , l] = s\lambda s - 1
k
dl
d\tau 1,k
, p = 0, s - 1. (37)
Оскiльки функцiонали \mu i \in \scrD (\mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 ), i = 1, N, iнварiантнi вiдносно динамiчних
систем (37) i (36), то має мiсце таке твердження.
Теорема 3. Для будь-якого k = 1, N гамiльтонове зображення для iєрархiї динамiчних
систем (37) i (36) на її iнварiантному пiдпросторi \scrM k \subset \mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 ,
\scrM k := \{ (l,\bfF ,\bfPhi \ast ,\bfF \ast ,\bfPhi )\top \in \mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 : \mu k = 1\} ,
задають редукованi на \scrM k дужка Пуассона з оператором Пуассона \Theta red у виглядi (33) та
функцiонали \lambda sk \in \scrD (\mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 ), s \in \BbbN , у виглядi (28).
Доведення. Для заданого k = 1, N iєрархiю динамiчних систем (37) i (36) отримано як
результат перетворення Беклунда (24) з оператором l \in \mathrm{g}\ast у виглядi (30) iєрархiї гамiльто-
нових динамiчних систем, породжених дужкою Пуассона з оператором Пуассона \scrL red \oplus J та
функцiоналами \~\gamma s,k \in \scrD (\mathrm{g}\ast - \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 ), s \in \BbbN . Цi функцiонали є редукцiями вiдповiд-
них функцiоналiв \lambda sk \in \scrD (\mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 ) на \mathrm{g}\ast - \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1
\bigcap
Mk. Дужка Пуассона
на \mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 з оператором Пуассона \Theta red виникає при згаданому вище перетвореннi
Беклунда дужки Пуассона на \mathrm{g}\ast - \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 , якiй вiдповiдає оператор Пуассона \scrL red \oplus J.
Теорему 3 доведено.
Для операторiв l \in \mathrm{g}\ast у виглядi (30) потоки
d
dtj
, j \in \BbbN , можна записати таким чином:
d
dtj
= j
N\sum
k=1
\lambda j - 1
k
d
d\tau 1,k
. (38)
Теорема 4. Еволюцiйнi рiвняння (37) i (36) описують iєрархiї потокiв на \mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 ,
що комутують мiж собою та iєрархiєю потокiв типу Лакса (7), (13) та (14).
Доведення. Оскiльки має мiсце формула (38), то достатньо показати, що\biggl[
d
d\tau 1,k1
,
d
d\tau 1,k2
\biggr]
= 0
для будь-яких k1, k2 = 1, N, k1 \not = k2. Ця рiвнiсть є еквiвалентною тотожностi
d
d\tau 1,k2
M1
k1 -
d
d\tau 1,k1
M1
k2 = [M1
k1 ,M
1
k2 ],
яка випливає iз спiввiдношення
Mk1M
1
k2 = (M1
k1Fk2)D
- 1
\theta \otimes F \ast
k2 + (M1
k1\Phi k2)D
- 1
\theta \otimes \Phi \ast
k2+
+Fk1D
- 1
\theta \otimes (M1\ast
k2F
\ast
k1) + \Phi k1D
- 1
\theta \otimes (IM1\ast
k2 I\Phi
\ast
k1) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1340 О. Є. ГЕНТОШ
= - dFk2
d\tau 1,k1
D - 1
\theta \otimes F \ast
k2 -
d\Phi k2
d\tau 1,k1
D - 1
\theta \otimes \Phi \ast
k2+
+Fk1D
- 1
\theta \otimes
dF \ast
k1
d\tau 1,k2
+\Phi k1D
- 1
\theta \otimes
d\Phi \ast
k1
d\tau 1,k2
.
Рiвнiсть \biggl[
d
dtj
,
d
d\tau 1,k
\biggr]
= 0
є наслiдком тотожностi
d
d\tau 1,k
(\nabla \gamma j(l))+ = [(\nabla \gamma j(l))+,M1
k ]+,
де j \in \BbbN , k = 1, N.
Теорему 4 доведено.
Таким чином, для будь-яких k = 1, N та s \in \BbbN еволюцiйнi рiвняння (37) i (36) на \mathrm{g}\ast \oplus
\oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 утворюють додаткову множину однорiдних симетрiй iєрархiї типу Лакса (7),
(13) i (14).
5. Iнтегровна за Лаксом (\bftwo | \bfone + \bfone )-вимiрна суперсиметрична матрична система Девi –
Стюартсона. За допомогою iєрархiй додаткових однорiдних симетрiй у випадку, коли N \geq 2,
можна отримати на \mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 новий клас нетривiальних потокiв типу Лакса
d
dTj,K
:=
:=
d
dtj
+
\sum K
k=1
d
d\tau j,k
, j \in \BbbN , K = 1, [N/2]. Цi потоки є гамiльтоновими на їх iнварiантних
пiдпросторах
\bigcap K
k=1
Mk \subset \mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 (див. [30]), оскiльки для будь-яких k1, k2 = 1, N
мають мiсце спiввiдношення
\{ \mu k1 , \mu k2\} \~J = 0,
де \mu k1 , \mu k2 \in \scrD (\mathrm{g}\ast \oplus W 2N
0 \oplus W 2N
1 ), \{ ., .\} \~J — дужка Пуассона W 2N
0 \oplus W 2N
1 , яка вiдповiдає
оператору Пуассона (17). Дiючи на власнi вектори Fi, F
\ast
i ,\Phi i,\Phi
\ast
i , i = 1, N, вони породжують
деякi iнтегровнi суперсиметричнi матричнi нелiнiйнi динамiчнi системи.
Якщо N = 2 та q = 1, cq = \bfone , A2q - 1 = 0, A2q - 2 = 0, то при дiї потокiв
d
d\tau
:=
d
d\tau 1,1
i
d
dT
:=
d
dT2,1
=
d
dt2
+
d
d\tau 2,1
на функцiї Fi, F
\ast
i ,\Phi i,\Phi
\ast
i , i \in \{ 1, 2\} , отримуємо суперсиметричнi
нелiнiйнi динамiчнi системи
F1,\tau = F1,x + u1F2 - \alpha 1I\Phi 2, F \ast
1,\tau = F \ast
1,x + \=u1F
\ast
2 - \=\alpha 1\Phi
\ast
2,
\Phi 1,\tau = \Phi 1,x + \alpha 2IF2 + u2\Phi 2, \Phi \ast
1,\tau = \Phi \ast
1,x - \=\alpha 2F
\ast
2 - \=u2\Phi
\ast
2,
F2,\tau = - \=u1F1 + \=\alpha 2I\Phi 1, F \ast
2,\tau = - u1F \ast
1 + \alpha 2\Phi
\ast
1,
\Phi 2,\tau = - \=\alpha 1IF1 - \=u2\Phi 1, \Phi \ast
2,\tau = \alpha 1F
\ast
1 - u2\Phi
\ast
1
(39)
та
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ЛI-АЛГЕБРАЇЧНА СТРУКТУРА IНТЕГРОВНИХ ЗА ЛАКСОМ (2| 1 + 1)-ВИМIРНИХ . . . 1341
F1,T = F1,xx + F1,\tau \tau + w1(D\theta F1) + w0F1+
+2((D\theta F
\ast \top
1 F1) + u1\=u1 - \alpha 1\=\alpha 1)F1 - 2((D\theta \Phi
\ast \top
1 F1) + u1\=\alpha 2 + \=u2\alpha 1)I\Phi 1,
F \ast
1,T = - F \ast
1,xx - F \ast
1,\tau \tau - (D\theta Iw
\top s
1 IF \ast
1 ) - w\top s
0 F \ast
1 -
- 2((D\theta F
\ast \top
1 F1) + u1\=u1 - \alpha 1\=\alpha 1)F
\ast
1 + 2((D\theta F
\ast \top
1 \Phi 1) + \=u1\alpha 2 + u2\=\alpha 1)I\Phi
\ast
1,
\Phi 1,T = \Phi 1,xx +\Phi 1,\tau \tau + w1(D\theta \Phi 1) + w0\Phi 1+
+2((D\theta \Phi
\ast \top
1 \Phi 1) + u2\=u2 - \alpha 2\=\alpha 2)\Phi 1 + 2((D\theta F
\ast \top
1 \Phi 1) + \=u1\alpha 2 + u2\=\alpha 1)IF1,
\Phi \ast
1,T = - \Phi \ast
1,xx - \Phi \ast
1,\tau \tau - (D\theta w
\top s
1 \Phi \ast
1) - Iw\top s
0 I\Phi \ast
1 -
- 2((D\theta \Phi
\ast \top
1 \Phi 1) + u2\=u2 - \alpha 2\=\alpha 2)\Phi
\ast
1 + 2((D\theta \Phi
\ast \top
1 F1) + u1\=\alpha 2 + \=u2\alpha 1)F
\ast
1 ,
F2,T = F2,xx + w1(D\theta F2) + w0F2 - \=u1F1,\tau + \=\alpha 2I\Phi 1,\tau + \=u1,\tau F1 - \=\alpha 2,\tau I\Phi 1, (40)
F \ast
2,T = - F \ast
2,xx - (D\theta Iw
\top s
1 IF \ast
2 ) - w\top s
0 F \ast
2 + u1F
\ast
1,\tau - \alpha 2\Phi
\ast
1,\tau - u1,\tau F
\ast
1 + \alpha 2,\tau \Phi
\ast
1,
\Phi 2,T = \Phi 2,xx + w1(D\theta \Phi 2) + w0\Phi 2 - \=\alpha 1IF1,\tau - \=u2\Phi 1,\tau + \=\alpha 1,\tau IF1 + \=u2,\tau \Phi 1,
\Phi \ast
2,T = - \Phi \ast
2,xx - (D\theta w
\top s
1 \Phi \ast
2) - Iw\top s
0 I\Phi \ast
2 - \alpha 1F
\ast
1,\tau + u2\Phi
\ast
1,\tau + \alpha 1,\tau F
\ast
1 - u2,\tau \Phi
\ast
1,
D\theta u1 = F\top
1 F
\ast
2 , D\theta u2 = \Phi \top
1 \Phi
\ast
2, D\theta \=u1 = F \ast \top
1 F2, D\theta \=u2 = \Phi \ast \top
1 \Phi 2,
D\theta \alpha 1 = \Phi \ast \top
2 F1, D\theta \alpha 2 = F \ast \top
2 \Phi 1, D\theta \=\alpha 1 = F \ast \top
1 \Phi 2, D\theta \=\alpha 2 = \Phi \ast \top
1 F2,
де (\nabla \gamma 2(l))+ := \partial 2+w1D\theta +w0, w0, w1 \in C\infty (\BbbS \times \Lambda 1; gl(m| n)), w0 — парна i w1 — вiдповiдно
непарна суперматрицi, верхнiй iндекс \top s є символом супертранспонування, тобто
w\top s =
\biggl(
w11 w12
w21 w22
\biggr) \top s
=
\Biggl(
w\top
11 w\top
21
- w\top
12 w\top
22
\Biggr)
для будь-якої суперматрицi w \in gl(m| n). Cистему (40) записано з урахуванням рiвностей
lsF1 = (d/d\tau +M1
1 )
sF1, l\ast sF \ast
1 = ( - d/d\tau +M1\ast
1 )sF \ast
1 ,
ls\Phi 1 = (d/d\tau +M1
1 )
s\Phi 1, l\ast s(I\Phi \ast
1) = ( - d/d\tau +M1\ast
1 )s(I\Phi \ast
1)
та
M s
1 =
s - 1\sum
p=0
\biggl(
((d/d\tau +M1
1 )
pF1)D
- 1
\theta \otimes (( - d/d\tau +M1\ast
1 )(s - 1 - p)F \ast
1 )+
+((d/d\tau +M1
1 )
p\Phi 1)D
- 1
\theta \otimes (I( - d/d\tau +M1\ast
1 )(s - 1 - p)I\Phi \ast
1)
\biggr)
,
M s\ast
1 = -
s - 1\sum
p=0
\biggl(
(( - d/d\tau +M1\ast
1 )(s - 1 - p)F \ast
1 )D
- 1
\theta \otimes ((d/d\tau +M1
1 )
pF1)+
+(( - d/d\tau +M1\ast
1 )(s - 1 - p)I\Phi \ast
1)D
- 1
\theta \otimes ((d/d\tau +M1
1 )
p\Phi 1)I
\biggr)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1342 О. Є. ГЕНТОШ
де s \in \BbbN . З умови комутування потокiв
d
d\tau
i
d
dT
виникають додатковi нелiнiйнi обмеження
w0,\tau = w1(IF1 \otimes F \ast
1 - I\Phi 1 \otimes \Phi \ast
1) + F1 \otimes Iw\top s
1 IF \ast
1 +\Phi 1 \otimes w\top s
1 \Phi \ast
1+
+2(F1 \otimes (D\theta F
\ast
1 ) + \Phi 1 \otimes (D\theta \Phi
\ast
1))x,
w1,\tau = 2( - F1 \otimes F \ast
1 +\Phi 1 \otimes \Phi \ast
1)x.
(41)
Система (40) разом з нелiнiйними обмеженнями (41) задає (2| 1+ 1)-вимiрну суперсиметричну
нелiнiйну динамiчну систему з нескiнченною послiдовнiстю законiв збереження у виглядi (6),
яку можна розглядати як (2| 1 + 1)-вимiрний суперсиметричний матричний аналог системи
Девi – Стюартсона.
Її трилiнiйним зображенням Лакса є спектральна задача (8) та еволюцiйнi рiвняння
F\tau = - M1
1F,
FT = ((\nabla \gamma 2(l))+ - M2
1 )F
(42)
для довiльної власної функцiї F \in W0 або F \in W1. Умова сумiсностi рiвнянь (42) еквiвалентна
умовi комутування потокiв
d
d\tau
i
d
dT
:
d
d\tau
l2+ = [l2+,M
1
1 ]+.
Якщо m = 1 i n = 0, то рiвняння (40) – (41) описують (2| 1 + 1)-вимiрну суперсиметричну
систему, отриману у роботi [20], яка у випадку F1 := \psi , F \ast
1 := \theta \psi \ast , F2 = F \ast
2 = 0 i \Phi 1 =
= \Phi \ast
1 = \Phi 2 = \Phi \ast
2 = 0 редукується до iнтегровної за Лаксом (2+1)-вимiрної динамiчної системи
Девi – Стюартсона [3]
\psi T = \psi xx + \psi \tau \tau + 2(S - 2\psi \psi \ast )\psi ,
\psi \ast
T = - \psi \ast
xx - \psi \ast
\tau \tau - 2(S - 2\psi \psi \ast )\psi \ast ,
Sx\tau =
\biggl(
\partial
\partial x
+
\partial
\partial \tau
\biggr) 2
\psi \psi \ast ,
де 2S = w0
0 + 2\psi \psi \ast , w0 = w0
0 i \psi ,\psi \ast \in L2(\BbbS ;\BbbC ).
6. Висновки. Застосовуючи описаний вище метод додаткових однорiдних симетрiй, можна
отримати достатньо широкий клас (2| 1 + 1)-вимiрних суперсиметричних матричних нелiнiй-
них динамiчних систем з потрiйною лiнеаризацiєю типу Лакса. Така лiнеаризацiя дозволяє
знаходити солiтоноподiбнi розв’язки систем iз цього класу за допомогою перетворень типу
Дарбу [31 – 33]. З огляду на iснування повної лiнеаризацiї типу Лакса за всiма незалежними
змiнними цiкаво дослiдити можливiсть застосування до згаданих вище систем методу редуку-
вання на iнварiантнi скiнченновимiрнi пiдпростори розв’язкiв [5, 6, 34].
Структура перетворення Беклунда (24) на розширеному фазовому просторi, використаного
для знаходження гамiльтонових зображень динамiчної системи (7), (13) i (14) та її додаткових
однорiдних симетрiй, суттєво залежить вiд вибору iнварiантного вiдносно комутатора скаляр-
ного добутку на алгебрi Лi та розкладу цiєї алгебри у пряму суму двох пiдалгебр Лi. Iншi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ЛI-АЛГЕБРАЇЧНА СТРУКТУРА IНТЕГРОВНИХ ЗА ЛАКСОМ (2| 1 + 1)-ВИМIРНИХ . . . 1343
розклади [9, 10] алгебри Лi приведуть до нових перетворень Беклунда на розширеннi її спря-
женого простору.
Передбачається також дослiдити можливiсть Лi-алгебраїчної iнтепретацiї iнтегровних за
Лаксом (2| 2 + 1)-вимiрних суперсиметричних матричних нелiнiйних динамiчних систем на
основi алгебри Лi матричних суперiнтегро-диференцiальних операторiв з двома антикомута-
тивними змiнними.
Автор вдячна професору Прикарпатському А. К. за корисне обговорення статтi, яке сприяло
суттєвому покращенню її змiсту.
Лiтература
1. Lax P. D. Periodic solutions of the KdV equation // Communs Pure and Appl. Math. – 1975. – 28, № 1. – P. 141 – 188.
2. Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский А. П. Теория солитонов: метод обратной задачи /
Под ред. Новикова С. П. – М.: Наука, 1980. – 319 с.
3. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи: Пер. с англ. – М.: Мир, 1987. – 479 с.
4. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход к теории солитонов. – М.: Наука, 1986. – 528 с.
5. Prykarpatsky A. K., Mykytiuk I. V. Algebraic integrability of nonlinear dynamical systems on manifolds: classical and
quantum aspects. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1998. – 554 p.
6. Гентош О., Притула М., Прикарпатський А. Диференцiально-геометричнi та Лi-алгебраїчнi основи дослiд-
ження iнтегровних нелiнiйних динамiчних систем на функцiональних многовидах. – Львiв: Вид. центр Львiв.
нац. ун-ту iм. I. Франка, 2006. – 408 с.
7. Adler M. On a trace functional for formal pseudo-differential operators and the symplectic structure of the Korteweg –
deVries type equations // Invent. Math. – 1979. – 50, № 3. – P. 219 – 248.
8. Manin Yu. I., Radul A. O. A supersymmetric extension of the Kadomtsev – Petviashvili hierarchy // Communs Math.
Phys. – 1985. – 98, № 1. – P. 65 – 77.
9. Brunelli J. C., Das A. Supersymmetric two boson equation, its reductions and the nonstandard supersymmetric KP
hierarchy // Int. J. Modern Phys. A. – 1995. – 10, № 32. – P. 4563 – 4599.
10. Oevel W., Popowicz Z. The bi-Hamiltonian structure of fully supersymmetriс Korteweg – de Vries systems // Communs
Math. Phys. – 1991. – 139, № 3. – P. 441 – 460.
11. Семенов-Тян-Шанский М. А. Что такое \scrR -матрица // Функцион. анализ и его прил. – 1983. – 17, № 4. –
С. 17 – 33.
12. Konopelchenko B., Oevel W. An \scrR -matrix approach to nonstandard classes of integrable equations // Publ. RIMS,
Kyoto Univ. – 1993. – 29, № 4. – P. 581 – 666.
13. Blaszak M., Szablikowski B. M. Classical \scrR -matrix theory for bi-Hamiltonian field systems // J. Phys. A: Math. and
Theor. – 2009. – 42. – 35 p.
14. Sato M. Soliton equations as dynamical systems on infinite Grassmann manifolds // RIMS Kokyuroku, Kyoto Univ. –
1981. – 439. – P. 30 – 40.
15. Xiao T., Zeng Y. Bäcklund transformations for the KP and mKP hierarchies with self-consistent sources // J. Phys. A:
Math. and Gen. – 2006. – 39, № 1. – P. 139 – 156.
16. Рейман А. Г., Семенов-Тян-Шанский М. А. Гамильтонова структура уравнений типа Кадомцева – Петвиашви-
ли // Зап. науч. сем. ЛОМИ. – 1987. – 164. – С. 212 – 227.
17. Carillo S., Oevel W. Squared eigenfunction symmetries for soliton equations. I // J. Math. Anal. and Appl. – 1998. –
217, № 1. – P. 161 – 178.
18. Carillo S., Oevel W. Squared eigenfunction symmetries for soliton equations. II // J. Math. Anal. and Appl. – 1998. –
217, № 1. – P. 179 – 199.
19. Nissimov E., Pacheva S. Symmetries of supersymmetric integrable hierarchies of KP type // J. Math. Phys. – 2002. –
43, № 5. – P. 2547 – 2586.
20. Hentosh O. Ye. Lax integrable supersymmetric hierarchies on extended phase spaces // SIGMA. – 2006. – 2. – 11 p.
21. Hentosh O. Ye., Prykarpatsky A. K. Integrable three-dimensional coupled nonlinear dynamical systems related with
centrally extended operator Lie algebras // Opusc. Math. – 2007. – 27, № 2. – P. 231 – 244.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1344 О. Є. ГЕНТОШ
22. Hentosh O. Ye. Lax integrable supersymmetric hierarchies on extended phase spaces of two anticommuting variables //
Oper. Theory: Adv. and Appl. – 2009. – 191, № 2. – P. 365 – 379.
23. Hentosh O. Ye. Lax integrable differential-difference dynamical systems on extended phase spaces // SIGMA. – 2010. –
6. – 14 p.
24. Радул А. О. Алгебры Ли дифференциальных операторов, их центральные расширения и W-алгебры // Функ-
цион. анализ и его прил. – 1991. – 25, № 1. – С. 33 – 49.
25. Prykarpatsky A. K., Hentosh O. Ye. The Lie-algebraic structure of (2+1)-dimensional Lax type integrable nonlinear
dynamical systems // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 7. – С. 939 – 946.
26. Березин Ф. А. Введение в алгебру с антикоммутирующими переменными. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. –
208 с.
27. Shander V. N. Analogues of the Frobenius and Darboux theorems for supermanifolds // Докл. Болгар. акад. наук. –
1983. – 36, № 3. – С. 309 – 311.
28. Fuchssteiner B., Fokas A. S. Symplectic structures, their Bäcklund transformations and hereditary symmetries //
Physica D. – 1981. – 4, № 1. – P. 47 – 66.
29. Oevel W., Strampp W. Constrained KP hierarchy and bi-Hamiltonian structures // Communs Math. Phys. – 1993. –
157, № 1. – P. 51 – 81.
30. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям: Пер. с англ. – М.: Мир, 1989. – 639 с.
31. Matveev V. B., Salle M. A. Darboux transformations and solitons. – Berlin: Springer-Verlag, 1991. – 120 p.
32. Прикарпатський Я. А., Самойленко А. М., Самойленко В. Г. Структура бiнарних перетворень типу Дарбу та
їх застосування в теорiї солiтонiв // Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 12. – С. 1704 – 1719.
33. Samoilenko A. M., Prykarpatsky A. K., Prykarpatsky Y. A. The spectral and differential-geometric aspects of a generali-
zed de Rham – Hodge theory related with Delsarte tramsmutation operators in multi-dimension and its applications to
spectral and soliton problems // Nonlinear Anal. – 2006. – 65, № 2. – P. 395 – 432.
34. Гентош О. Є. Iнтегровна за Лаксом iєрархiя Лаберже – Матьє суперсиметричних нелiнiйних динамiчних
систем та її скiнченновимiрна редукцiя типу Неймана // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 7. – С. 906 – 921.
Одержано 24.09.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-1785 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:37Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/02/c895a596f7ba7672a8d0eea7eb464e02.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17852019-12-05T09:26:39Z Lie-algebraic structure of the Lax-integrable (2| 1+ 1) -dimensional supersymmetric matrix dynamical systems Лі-алгебраїчна структура інтегровних за Лаксом (2| 1+ 1) -вимірних супер- симетричних матричних динамічних систем Hentosh, О. Ye. Гентош, О. Є. By using a specially constructed Backlund transformation, we obtain the Hamiltonian representation for the hierarchy of Laxtype flows on the dual space to the Lie algebra of matrix superintegral-differential operators with one anticommutative variable, coupled with suitable evolutions of eigenfunctions and adjoint eigenfunctions of the associated spectral problems. We also propose the Hamiltonian description of the corresponding set of the hierarchies of additional homogeneous symmetries (squared eigenfunction symmetries). The connection between these hierarchies and the Lax-integrable (2| 1+1)-dimensional supersymmetric matrix nonlinear dynamical systems and their triple Lax-type linearizations is analyzed. С помощью специально сконструированного преобразования Бэклунда получено гамильтоновое представление для иерархии потоков типа Лакса на сопряженном пространстве к алгебре Ли матричных суперинтегро-дифференциальных операторов с одной антикоммутативной переменной, дополненной соответствующими эволюциями собственных функций ассоциированных спектральных задач. Предложено также гамильтоновое описание соответствующего множества иерархий дополнительных однородных симметрий. Изучается связь этих иерархий с интегрируемыми по Лаксу (2| 1 + 1)-измеримыми суперсимметричными матричными нелинейными динамическими системами и их тройной линеаризацией типа Лакса. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1785 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 10 (2017); 1310-1323 Український математичний журнал; Том 69 № 10 (2017); 1310-1323 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1785/767 Copyright (c) 2017 Hentosh О. Ye. |
| spellingShingle | Hentosh, О. Ye. Гентош, О. Є. Lie-algebraic structure of the Lax-integrable (2| 1+ 1) -dimensional supersymmetric matrix dynamical systems |
| title | Lie-algebraic structure of the Lax-integrable (2| 1+ 1) -dimensional
supersymmetric matrix dynamical systems |
| title_alt | Лі-алгебраїчна структура інтегровних за Лаксом (2| 1+ 1) -вимірних супер- симетричних матричних динамічних систем |
| title_full | Lie-algebraic structure of the Lax-integrable (2| 1+ 1) -dimensional
supersymmetric matrix dynamical systems |
| title_fullStr | Lie-algebraic structure of the Lax-integrable (2| 1+ 1) -dimensional
supersymmetric matrix dynamical systems |
| title_full_unstemmed | Lie-algebraic structure of the Lax-integrable (2| 1+ 1) -dimensional
supersymmetric matrix dynamical systems |
| title_short | Lie-algebraic structure of the Lax-integrable (2| 1+ 1) -dimensional
supersymmetric matrix dynamical systems |
| title_sort | lie-algebraic structure of the lax-integrable (2| 1+ 1) -dimensional
supersymmetric matrix dynamical systems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1785 |
| work_keys_str_mv | AT hentoshoye liealgebraicstructureofthelaxintegrable211dimensionalsupersymmetricmatrixdynamicalsystems AT gentošoê liealgebraicstructureofthelaxintegrable211dimensionalsupersymmetricmatrixdynamicalsystems AT hentoshoye líalgebraíčnastrukturaíntegrovnihzalaksom211vimírnihsupersimetričnihmatričnihdinamíčnihsistem AT gentošoê líalgebraíčnastrukturaíntegrovnihzalaksom211vimírnihsupersimetričnihmatričnihdinamíčnihsistem |