Asymptotic behavior of the solutions of second-order differential equations with rapidly varying nonlinearities
We establish conditions for the existence of one class of solutions of two-term nonautonomous differential equations of the second-order with rapidly varying nonlinearities and the asymptotic representations for these solutions and their first-order derivatives as и $t \uparrow \omega (\omega \le...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1786 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507646028677120 |
|---|---|
| author | Evtukhov, V. M. Chernikova, A. G. Евтухов, В. М. Черникова, А. Г. Евтухов, В. М. Черникова, А. Г. |
| author_facet | Evtukhov, V. M. Chernikova, A. G. Евтухов, В. М. Черникова, А. Г. Евтухов, В. М. Черникова, А. Г. |
| author_sort | Evtukhov, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:26:39Z |
| description | We establish conditions for the existence of one class of solutions of two-term nonautonomous differential equations of the
second-order with rapidly varying nonlinearities and the asymptotic representations for these solutions and their first-order
derivatives as и $t \uparrow \omega (\omega \leq +\infty )$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925
В. М. Евтухов, А. Г. Черникова (Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова)
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
С БЫСТРО МЕНЯЮЩИМИСЯ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
We establish conditions for the existence of one class of solutions of two-term nonautonomous differential equations of the
second-order with rapidly varying nonlinearities and the asymptotic representations for these solutions and their first-order
derivatives as t \uparrow \omega (\omega \leq +\infty ).
Встановлено умови iснування одного класу розв’язкiв двочленного неавтономного диференцiального рiвняння дру-
гого порядку з швидко змiнною нелiнiйнiстю, а також асимптотичнi при t \uparrow \omega (\omega \leq +\infty ) зображення для таких
розв’язкiв та їх похiдних першого порядку.
1. Введение. Рассматривается дифференциальное уравнение
y\prime \prime = \alpha 0p(t)\varphi (y), (1.1)
где \alpha 0 \in \{ - 1, 1\} , p : [a, \omega [ - \rightarrow ]0,+\infty [ — непрерывная функция, - \infty < a < \omega \leq +\infty , \varphi :
\Delta Y0 - \rightarrow ]0,+\infty [ — дважды непрерывно дифференцируемая функция, такая, что
\varphi \prime (y) \not = 0 при y \in \Delta Y0 , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\varphi (y) =
\left\{ либо 0,
либо +\infty ,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\varphi (y)\varphi \prime \prime (y)
\varphi \prime 2(y)
= 1, (1.2)
Y0 равно либо нулю, либо \pm \infty , \Delta Y0 — некоторая односторонняя окрестность Y0.
Из тождества
\varphi \prime \prime (y)\varphi (y)
\varphi \prime 2(y)
=
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) \prime
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) 2 + 1 при y \in \Delta Y0
и условий (1.2) следует, что
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\sim \varphi \prime \prime (y)
\varphi \prime (y)
при y \rightarrow Y0 (y \in \Delta Y0) и \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
y\varphi \prime (y)
\varphi (y)
= \pm \infty . (1.3)
Значит, в рассматриваемом уравнении функция \varphi и ее производная первого порядка являются
(см. [1, с. 91, 92], гл. 3, § 3.4, леммы 3.2, 3.3) быстро меняющимися при y \rightarrow Y0.
При выполнении условий (1.2) асимптотическое поведение решений дифференциального
уравнения (1.1) исследовалось в монографии [1, с. 90 – 99] (гл. 3, § 3.4) в частном случае, когда
\alpha 0 = 1, \omega = +\infty , Y0 = 0 и p — правильно меняющаяся функция при t \rightarrow +\infty , и в работе [2]
в общем случае. Однако в [2] изучался класс решений, который определялся через функцию
\varphi , что не является естественным. Более естественным представляется исследовать для (1.1)
тот же класс решений, который изучался ранее (см., например, работу [3]) в случае правильно
меняющейся при y \rightarrow Y0 функции \varphi .
Определение 1.1. Решение y дифференциального уравнения (1.1) называется P\omega (Y0, \lambda 0)-
решением, где - \infty \leq \lambda 0 \leq +\infty , если оно определено на промежутке [t0, \omega [\subset [a, \omega [ и удовлет-
воряет условиям
c\bigcirc В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10 1345
1346 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА
y(t) \in \Delta Y0 при t \in [t0, \omega [, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
y(t) = Y0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
y\prime (t) =
\left\{ либо 0,
либо \pm \infty ,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
y\prime 2(t)
y\prime \prime (t)y(t)
= \lambda 0.
Целью настоящей работы является установление необходимых и достаточных условий су-
ществования P\omega (Y0, \lambda 0)-решений уравнения (1.1) в неособом случае, когда \lambda 0 \in \BbbR \setminus \{ 0, 1\} , а
также асимптотических при t \uparrow \omega представлений для таких решений и их производных первого
порядка.
2. Некоторые вспомогательные утверждения. Сначала отметим ряд важных свойств
класса дважды непрерывно дифференцируемых функций f : \Delta Y0 - \rightarrow \BbbR \setminus \{ 0\} , где Y0 равно
либо нулю, либо \pm \infty , и \Delta Y0 — некоторая односторонняя окрестность Y0, каждая из которых
удовлетворяет условиям
f \prime (y) \not = 0 при y \in \Delta Y0 , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
f(y) =
\left\{ либо 0,
либо \pm \infty ,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
f(y)f \prime \prime (y)
f \prime 2(y)
= 1. (2.1)
Не ограничивая общности будем в дальнейшем считать, что
\Delta Y0 =
\left\{ [y0, Y0[, если \Delta Y0 - левая окрестность Y0,
]Y0, y0], если \Delta Y0 - правая окрестность Y0,
(2.2)
где y0 \in \BbbR такое, что | y0| < 1 при Y0 = 0 и y0 > 1 (y0 < - 1) при Y0 = +\infty (при Y0 = - \infty ).
Для таких функций, кроме асимптотических соотношений (1.3) с заменой в них \varphi на f,
имеет место следующее утверждение.
Лемма 2.1. Если дважды непрерывно дифференцируемая функция f : \Delta Y0 - \rightarrow \BbbR \setminus \{ 0\} ,
где Y0 равно либо нулю, либо \pm \infty , и \Delta Y0 — некоторая односторонняя окрестность Y0,
удовлетворяет условиям (2.1), то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
f2(y)
f \prime (y)
\int y
Y
f(x) dx
= 1, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\biggl[ \int y
Y
f(x) dx
\biggr] 2
f(y)
\int y
Y
\biggl( \int x
Y
f(u) du
\biggr)
dx
= 1, (2.3)
где
Y =
\left\{
y0, если \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
f(y) = +\infty ,
Y0, если \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
f(y) = 0.
Доказательство. В силу асимптотических соотношений (1.3) с заменой в них \varphi на f и
выбора предела интегрирования Y каждый из интегралов, стоящих в (2.3), стремится либо к
нулю, либо к \pm \infty при y \rightarrow Y0.
Учитывая этот факт, докажем сначала справедливость первого из предельных соотноше-
ний (2.3). Положим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 1347
z(y) =
f2(y)
f \prime (y)
\int y
Y
f(x)dx
. (2.4)
Тогда
z\prime (y) =
2f(y)\int y
Y
f(x) dx
- f2(y)f \prime \prime (y)
f \prime 2(y)
\int y
Y
f(x) dx
- f3(y)
f \prime (y)
\biggl[ \int y
Y
f(x) dx
\biggr] 2 =
=
f(y)\int y
Y
f(x) dx
\biggl[
2 - f \prime \prime (y)f(y)
f \prime 2(y)
- z(y)
\biggr]
,
т. е. функция (2.4) является решением дифференциального уравнения
z\prime =
f(y)\int y
Y
f(x) dx
\biggl[
2 - f \prime \prime (y)f(y)
f \prime 2(y)
- z
\biggr]
. (2.5)
Запишем соответствующую этому уравнению функцию
F (y, c) =
f(y)\int y
Y
f(x) dx
\biggl[
2 - f \prime \prime (y)f(y)
f \prime 2(y)
- c
\biggr]
.
В силу условий (2.1) она при любом вещественном значении c \not = 1 сохраняет знак в некоторой
окрестности Y0, содержащейся в \Delta Y0 . Поэтому согласно лемме 2.1 из работы [3] для каждого
решения дифференциального уравнения (2.5), определенного в окрестности Y0, содержащейся
в \Delta Y0 , а значит, и для функции (2.4) существует конечный или равный \pm \infty предел при y \rightarrow Y0.
Покажем, что этим пределом может быть только единица. Допустим противное. Тогда
либо \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
z(y) = c = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} \not = 1, либо \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
z(y) = \pm \infty .
В первом случае из (2.5) с учетом (2.1) следует, что
z\prime (y) =
f(y)\int y
Y
f(x) dx
[1 - c+ o(1)] при y \rightarrow Y0.
Интегрируя это соотношение на промежутке от y1 до y, где y1 — любая внутренняя точка из
промежутка с концами y0 и Y0, и учитывая, что
\int y
Y
f(x) dx стремится либо к нулю, либо к
\pm \infty при y \rightarrow Y0, а c \not = 1, получаем
z(y) - z(y1) = [1 - c+ o(1)] \mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
y\int
Y
f(x) dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| - \rightarrow \pm \infty при y \rightarrow Y0.
Однако это невозможно, поскольку выражение, стоящее слева, имеет конечный предел при
y \rightarrow Y0.
Допустим теперь, что \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
z(y) = \pm \infty . В этом случае соотношение для z\prime (y) запишем
с учетом (2.4) в виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1348 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА
z\prime (y) =
f \prime (y)
f(y)
z(y)
\biggl[
2 - f \prime \prime (y)f(y)
f \prime 2(y)
- z(y)
\biggr]
,
откуда в силу последнего из условий (2.1) и сделанного предположения имеем
z\prime (y) = - f \prime (y)
f(y)
z2(y)
\bigl[
1 + o(1)
\bigr]
при y \rightarrow Y0.
Поскольку f(y) стремится либо к нулю, либо к +\infty при y \rightarrow Y0, то, разделив обе части этого
соотношение на z2(y) и затем проинтегрировав на промежутке от y1 до y, получим
- 1
z(y)
+
1
z(y1)
=
\bigl[
1 + o(1)
\bigr]
\mathrm{l}\mathrm{n} f(y) - \rightarrow \pm \infty при y \rightarrow Y0.
Тем самым пришли к противоречию, так как здесь предел при y \rightarrow Y0 выражения, стоящего
слева, равен константе
1
z(y1)
.
Вследствие полученных в рассмотренных выше двух случаях противоречий приходим к вы-
воду, что \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
z(y) = 1, и поэтому выполняется первое из предельных соотношений (2.3).
Аналогичным образом с использованием уже установленного первого из предельных соот-
ношений (2.3) доказывается справедливость второго.
Лемма доказана.
В силу этой леммы и теоремы 3.10.8 из монографии [5, с. 178] дважды непрерывно диф-
ференцируемая функция f : \Delta Y0 - \rightarrow ]0,+\infty [, удовлетворяющая условиям (2.1), принадлежит
при Y0 = +\infty и выполнении условия \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}y\rightarrow +\infty f(y) = +\infty классу функций \Gamma , введенному
Л. Ханом (см., например, [5, с.175]).
Определение 2.1. Класс \Gamma состоит из измеримых неубывающих и непрерывных справа
функций f : [y0,+\infty [ - \rightarrow ]0,+\infty [, для каждой из которых существует измеримая функция g :
[y0,+\infty [ - \rightarrow ]0,+\infty [, дополняющая для функции f, такая, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow +\infty
f (y + ug(y))
f(y)
= eu для любого u \in \BbbR .
Для функций из класса \Gamma имеют место, в частности (см. [5, с. 174 – 178]), следующие
утверждения.
Лемма 2.2. 1. Если f \in \Gamma с дополняющей функцией g, то \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}y\rightarrow +\infty
g(y)
y
= 0.
2. Если f \in \Gamma с дополняющей функцией g, то для любой функции u : [y0,+\infty [ - \rightarrow \BbbR ,
удовлетворяющей условиям
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow +\infty
u(y) = u0 \in [ - \infty ,+\infty ], \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow +\infty
f(y + u(y)g(y)] = +\infty ,
имеет место предельное соотношение
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow +\infty
f (y + u(y)g(y))
f(y)
= eu0 .
3. Для f \in \Gamma дополняющая функция единственна с точностью до эквивалентных при
y \rightarrow +\infty функций, и в качестве одной из них может быть выбрана, например, функция\int y
y0
f(x) dx
f(y)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 1349
4. Условия f \in \Gamma и
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow +\infty
\biggl[ \int y
y0
f(x) dx
\biggr] 2
f(y)
\int y
y0
\biggl( \int x
y0
f(u) du
\biggr)
dx
= 1
являются эквивалентными, т. е. из одного из них следует второе и наоборот.
С использованием замен переменных класс \Gamma может быть легко расширен до класса \Gamma Y0(Z0)
функций f : \Delta Y0 - \rightarrow ]0,+\infty [, где Y0 равно либо нулю, либо \pm \infty , а \Delta Y0 — односторонняя
окрестность Y0, для которых
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
f(y) = Z0 =
\left\{ либо 0,
либо +\infty .
Определение 2.2. Будем говорить, что функция f : \Delta Y0 - \rightarrow ]0,+\infty [ принадлежит классу
функций \Gamma Y0(Z0), если классу \Gamma принадлежит:
1) функция f0(y) =
1
f(y)
при Y0 = +\infty и Z0 = 0 ;
2) функция f0(y) = f( - y) при Y0 = - \infty и Z0 = +\infty ;
3) функция f0(y) = f
\biggl(
1
y
\biggr)
при Y0 = 0, когда \Delta Y0 — правая окрестность нуля и Z0 = +\infty ;
4) функция f0(y) =
1
f
\biggl(
1
y
\biggr) при Y0 = 0, когда \Delta Y0 — правая окрестность нуля и Z0 = 0 ;
5) функция f0(y) = f
\biggl(
- 1
y
\biggr)
при Y0 = 0, когда \Delta Y0 — левая окрестность нуля и Z0 = +\infty ;
6) функция f0(y) =
1
f
\biggl(
- 1
y
\biggr) при Y0 = 0, когда \Delta Y0 — левая окрестность нуля и Z0 = 0 ;
7) функция f0(y) \equiv f(y) при Y0 = +\infty и Z0 = +\infty .
С использованием этих двух определений и первых двух утверждений леммы 2.2 приходим
к выводу, что для функции f \in \Gamma Y0(Z0) имеет место предельное соотношение
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
f(y + ug(y))
f(y)
= eu для любого u \in \BbbR , (2.6)
в котором функция g, дополняющая для f, в каждом из случаев 1 – 7 может быть выражена
через функцию g0, дополняющую для f0, следующим (соответственно) образом:
1) g(y) = - g0(y);
2) g(y) = - g0( - y);
3) g(y) = - y2g0
\biggl(
1
y
\biggr)
;
4) g(y) = y2g0
\biggl(
1
y
\biggr)
;
5) g(y) = y2g0
\biggl(
- 1
y
\biggr)
;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1350 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА
6) g(y) = - y2g0
\biggl(
- 1
y
\biggr)
;
7) g(y) = g0(y).
Здесь в силу третьего утверждения леммы 2.2 каждая из функций g0 : [x0,+\infty [ - \rightarrow ]0,+\infty [
определяется однозначно с точностью до эквивалентных при x \rightarrow +\infty функций, и в качестве
одной из них может быть выбрана, например, функция
\int x
x0
f0(s) ds
f0(x)
.
C использованием первых двух утверждений леммы 2.2 приходим также к выводу, что
справедлива следующая лемма.
Лемма 2.3. 1. Если f \in \Gamma Y0(Z0) с дополняющей функцией g, то \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
g(y)
y
= 0.
2. Если f \in \Gamma Y0(Z0) с дополняющей функцией g, то для любой функции u : \Delta Y0 - \rightarrow \BbbR ,
удовлетворяющей условиям
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
u(y) = u0 \in \BbbR , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
f(y + u(y)g(y)] = Z0,
имеет место предельное соотношение
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
f (y + u(y)g(y))
f(y)
= eu0 .
Если f \in \Gamma Y0(Z0) с дополняющей функцией g и, кроме того, является непрерывной и строго
монотонной, то для нее существует непрерывная строго монотонная обратная функция f - 1 :
\Delta Z0 - \rightarrow \Delta Y0 , где
\Delta Z0 =
\left\{ либо [z0, Z0[,
либо ]Z0, z0],
z0 = f(y0), Z0 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
f(y).
В силу теорем 3.1.16, 3.10.4 из монографии [5, с. 139, 176] и определения 2.2 эта обратная
функция имеет следующие свойства.
Лемма 2.4. Пусть f \in \Gamma Y0(Z0) с дополняющей функцией g и является непрерывной стро-
го монотонной функцией на промежутке \Delta Y0 . Тогда обратная для нее функция f - 1(z) явля-
ется медленно меняющейся при z \rightarrow Z0 и удовлетворяет предельному соотношению
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
z\rightarrow Z0
z\in \Delta Z0
f - 1(\lambda z) - f(z)
g(f - 1(z))
= \mathrm{l}\mathrm{n}\lambda при любом \lambda > 0.
Более того, для любого \Lambda > 1 данное предельное соотношение выполняется равномерно по
\lambda \in
\biggl[
1
\Lambda
,\Lambda
\biggr]
.
Рассмотрим, наконец, случай, когда функция f : \Delta Y0 - \rightarrow ]0,+\infty [ является дважды непре-
рывно дифференцируемой и удовлетворяет условиям (2.1). В этом случае для каждой из указан-
ных в определении 2.2 функций f0 : [x0,+\infty [ - \rightarrow ]0,+\infty [, где x0 — некоторое положительное
число, выполняются условия
f \prime
0(x) \not = 0 при x \in [x0,+\infty [, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
f0(x) = +\infty , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
f0(x)f
\prime \prime
0 (x)
f \prime 2
0 (x)
= 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 1351
В силу этих условий, леммы 2.1, третьего и четвертого утверждений леммы 2.2 справедливо
следующее утверждение.
Лемма 2.5. Если дважды непрерывно дифференцируемая функция f : \Delta Y0 - \rightarrow ]0,+\infty [
удовлетворяет условиям (2.1), то она принадлежит классу \Gamma Y0(Z0) с дополняющей функ-
цией g : \Delta Y0 - \rightarrow \BbbR , которая определяется однозначно с точностью до эквивалентных при
y \rightarrow Y0 функций, в качестве которой может быть выбрана, например, одна из функций\int y
Y
\biggl( \int t
Y
f(u) du
\biggr)
dt\int y
Y
f(x) dx
\sim
\int y
Y
f(x) dx
f(y)
\sim f(y)
f \prime (y)
\sim f \prime (y)
f \prime \prime (y)
при y \rightarrow Y0,
где предел интегрирования Y такой же, как в (2.2).
Замечание 2.1. Леммы 2.3 – 2.5 относятся к случаю, когда функция
f : \Delta Y0 - \rightarrow ]0,+\infty [ (т. е. принимает положительные значения). В случае функции f : \Delta Y0 - \rightarrow
- \rightarrow ] - \infty , 0[ будем говорить, что она принадлежит классу \Gamma Y0(Z0), если ( - f) \in \Gamma Y0( - Z0).
Тогда нетрудно проверить, что для нее леммы 2.3 – 2.5 также остаются справедливыми.
Кроме указанных выше свойств дважды непрерывно дифференцируемых функций f :
\Delta Y0 - \rightarrow \BbbR \setminus \{ 0\} , удовлетворяющих условиям (2.1), в дальнейшем потребуется еще одно
вспомогательное утверждение об априорных асимптотических свойствах P\omega (Y0, \lambda 0)-решений
дифференциального уравнения (1.1), которое вытекает из следствия 10.1 работы [6].
Лемма 2.6. Если \lambda 0 \in \BbbR \setminus \{ 0; 1\} , то для каждого P\omega (Y0, \lambda 0)-решения дифференциального
уравнения (1.1) имеют место асимптотические соотношения
\pi \omega (t)y
\prime (t)
y(t)
=
\lambda 0
\lambda 0 - 1
\bigl[
1 + o(1)
\bigr]
,
\pi \omega (t)y
\prime \prime (t)
y\prime (t)
=
1 + o(1)
\lambda 0 - 1
при t \uparrow \omega , (2.7)
где
\pi \omega (t) =
\left\{ t, если \omega = +\infty ,
t - \omega , если \omega < +\infty .
(2.8)
3. Основные результаты. Прежде всего введем необходимые для дальнейшего вспомога-
тельные обозначения. Будем считать, что область определения функции \varphi в уравнении (1.1)
определяется формулой (2.2). Далее, положим
\mu 0 = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\varphi \prime (y), \nu 0 = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} y0, \nu 1 =
\left\{ 1, если \Delta Y0 = [y0, Y0[,
- 1, если \Delta Y0 =]Y0, y0],
и введем функции
J(t) =
t\int
A
\pi \omega (\tau )p(\tau ) d\tau , \Phi (y) =
y\int
B
ds
\varphi (s)
,
где \pi \omega определяется формулой (2.8),
A =
\left\{
\omega , если
\int \omega
a
\pi \omega (\tau )p(\tau ) d\tau = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},
a, если
\int \omega
a
\pi \omega (\tau )p(\tau ) d\tau = \pm \infty ,
B =
\left\{
Y0, если
\int Y0
y0
ds
\varphi (s)
= \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},
y0, если
\int Y0
y0
ds
\varphi (s)
= \pm \infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1352 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА
Учитывая определение P\omega (Y0, \lambda 0)-решения дифференциального уравнения (1.1), заметим,
что числа \nu 0, \nu 1 и \alpha 0 определяют знаки любого P\omega (Y0, \lambda 0)-решения, его первой и второй
производных (соответственно) в некоторой левой окрестности \omega . При этом ясно, что условия
\nu 0\nu 1 < 0, если Y0 = 0, \nu 0\nu 1 > 0, если Y0 = \pm \infty , (3.1)
и
\nu 1\alpha 0 < 0, если \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
y\prime (t) = 0, \nu 1\alpha 0 > 0, если \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
y\prime (t) = \pm \infty , (3.2)
являются необходимыми для существования таких решений. Более того, при \lambda 0 \in \BbbR \setminus \{ 0; 1\}
согласно лемме 2.6 имеем
\nu 0\nu 1 = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}[\lambda 0(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)], \nu 1\alpha 0 = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}[(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)] при t \in [a, \omega [, (3.3)
откуда, в частности, следует, что
\alpha 0\nu 0\lambda 0 > 0. (3.4)
Теперь отметим некоторые свойства функции \Phi . Она сохраняет знак на промежутке \Delta y0 ,
стремится либо к нулю, либо к \pm \infty при y \rightarrow Y0 и является возрастающей на \Delta Y0 , поскольку
на этом промежутке \Phi \prime (y) =
1
\varphi (y)
> 0. Поэтому для нее существует обратная функция \Phi - 1 :
\Delta Z0 - \rightarrow \Delta Y0 , где в силу второго из условий (1.2) и монотонного возрастания \Phi - 1
Z0 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\Phi (y) =
\left\{ либо 0,
либо +\infty ,
\Delta Z0 =
\left\{ [z0, Z0[, если \Delta Y0 = [y0, Y0[,
]Z0, z0], если \Delta Y0 =]Y0, y0],
z0 = \varphi (y0).
(3.5)
В силу правила Лопиталя в форме Штольца и последнего из условий (1.2)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\Phi (y)
1
\varphi \prime (y)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
1
\varphi (y)
- \varphi \prime \prime (y)
\varphi \prime 2(y)
= - \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\varphi \prime 2(y)
\varphi \prime \prime (y)\varphi (y)
= - 1.
Значит,
\Phi (y) \sim - 1
\varphi \prime (y)
при y \rightarrow Y0 и \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\Phi (y) = - \mu 0 при y \in \Delta Y0 . (3.6)
Из первого из этих соотношений также следует, что
\Phi \prime (y)
\Phi (y)
=
1
\varphi (y)
\Phi (y)
\sim - \varphi \prime (y)
\varphi (y)
,
\Phi \prime \prime (y)\Phi (y)
\Phi \prime 2(y)
=
- \varphi \prime (y)
\varphi 2(y)
\Phi (y)
1
\varphi 2(y)
\sim 1 при y \rightarrow Y0. (3.7)
Поэтому согласно лемме 2.5 \Phi \in \Gamma Y0(Z0) с дополняющей функцией, в качестве которой может
быть выбрана одна из эквивалентных функций
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 1353
\Phi \prime (y)
\Phi \prime \prime (y)
\sim \Phi (y)
\Phi \prime (y)
\sim - \varphi (y)
\varphi \prime (y)
при y \rightarrow Y0. (3.8)
Кроме указанных выше обозначений введем также вспомогательные функции
q(t) =
\alpha 0(\lambda 0 - 1)\pi 2
\omega (t)\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\bigr)
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
,
H(t) =
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))\varphi \prime \bigl( \Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\bigr)
\varphi (\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)))
.
Для уравнения (1.1) имеют место следующие утверждения.
Теорема 3.1. Пусть \lambda 0 \in \BbbR \setminus \{ 0; 1\} . Тогда для существования P\omega (Y0, \lambda 0)-решений диф-
ференциального уравнения (1.1) необходимо, чтобы наряду с (3.4) выполнялись условия
\alpha 0\mu 0(\lambda 0 - 1)J(t) < 0 при t \in ]a, \omega [, (3.9)
\alpha 0(\lambda 0 - 1) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
J(t) = Z0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\pi \omega (t)J
\prime (t)
J(t)
= \pm \infty , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
q(t) =
\lambda 0
\lambda 0 - 1
. (3.10)
Более того, для каждого такого решения имеют место асимптотические представления
y(t) = \Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\biggl[
1 +
o(1)
H(t)
\biggr]
при t \uparrow \omega , (3.11)
y\prime (t) =
\lambda 0
\lambda 0 - 1
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\pi \omega (t)
\bigl[
1 + o(1)
\bigr]
при t \uparrow \omega . (3.12)
Теорема 3.2. Пусть \lambda 0 \in \BbbR \setminus \{ 0; 1\} и наряду с (3.4), (3.9), (3.10) существует конечный или
равный \pm \infty предел
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) \prime
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) 2
\sqrt{} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| y\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| . (3.13)
Тогда: 1) если
(\lambda 0 - 1)J(t) < 0 при t \in ]a, \omega [ и \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\biggl[
\lambda 0
\lambda 0 - 1
- q(t)
\biggr]
| H(t)| 1/2 = 0, (3.14)
то существует однопараметрическое семейство P\omega (Y0, \lambda 0)-решений с представлениями (3.12),
(3.13) дифференциального уравнения (1.1), причем таких, производная которых удовлетворяет
асимптотическому соотношению
y\prime (t) =
\lambda 0
\lambda 0 - 1
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\pi \omega (t)
\Bigl[
1 + | H(t)| - 1/2o(1)
\Bigr]
при t \uparrow \omega ; (3.15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1354 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА
2) если
(\lambda 0 - 1)J(t) > 0 при t \in ]a, \omega [, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\biggl[
\lambda 0
\lambda 0 - 1
- q(t)
\biggr]
| H(t)| 1/2
\left( t\int
t0
| H(\tau )| 1/2 d\tau
\pi \omega (\tau )
\right) 2
= 0
(3.16)
и
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\int t
t0
| H(\tau )| 1/2 d\tau
\pi \omega (\tau )
| H(t)| 1/2
= 0,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
| H(t)| 1/2
\left( t\int
t0
| H(\tau )| 1/2 d\tau
\pi \omega (\tau )
\right)
\biggl(
y\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) \prime
\biggl(
y\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
y=\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
= 0,
(3.17)
где t0 — некоторое число из промежутка [a, \omega [, то при \omega = +\infty уравнение (1.1) имеет одно
P\omega (Y0, \lambda 0)-решение, допускающее асимптотические представления
y(t) = \Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\left[ 1 +
\left( H(t)
t\int
t0
| H(\tau )| 1/2 d\tau
\pi \omega (\tau )
\right) - 1
o(1)
\right] при t \uparrow \omega , (3.18)
y\prime (t) =
\lambda 0
\lambda 0 - 1
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\pi \omega (t)
\left[ 1 +
\left( t\int
t0
| H(\tau )| 1/2 d\tau
\pi \omega (\tau )
\right) - 1
o(1)
\right] при t \uparrow \omega , (3.19)
а при \omega < +\infty — двупараметрическое семейство P\omega (Y0, \lambda 0)-решений с такими представле-
ниями.
Доказательство теоремы 3.1. Пусть y : [t0, \omega [ - \rightarrow \BbbR — произвольное P\omega (Y0, \lambda 0)-решение
дифференциального уравнения (1.1). Тогда согласно лемме 2.6 имеют место асимптотические
соотношения (2.7). В силу этих соотношений и (1.1) данное решение и его производные первого
и второго порядка сохраняют знаки на некотором промежутке [t1, \omega [\subset [t0, \omega [, причем для этих
знаков имеют место равенства (3.2), из которых следует условие (3.4). Кроме того, из (1.1) с
учетом второго из асимптотических соотношений (2.7) следует, что
y\prime (t)
\varphi (y(t))
= \alpha 0(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)p(t)
\bigl[
1 + o(1)
\bigr]
при t \uparrow \omega . (3.20)
Интегрируя это соотношение на промежутке от t0 до t, получаем
y(t)\int
y(t0)
ds
\varphi (s)
= \alpha 0(\lambda 0 - 1)
t\int
t0
\pi \omega (\tau )p(\tau )
\bigl[
1 + o(1)
\bigr]
d\tau при t \uparrow \omega .
Поскольку согласно определению P\omega (Y0, \lambda 0)-решения y(t) - \rightarrow Y0 при t \uparrow \omega , то отсюда следует,
что несобственные интегралы
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 1355
Y0\int
y(t0)
ds
\varphi (s)
и
\omega \int
t0
\pi \omega (\tau )p(\tau ) d\tau
сходятся или расходятся одновременно. С учетом этого факта и правила выбора пределов
интегрирования A и B в введенных в начале данного пункта функциях J и \Phi установленное
выше соотношение может быть записано в виде
\Phi (y(t)) = \alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)
\bigl[
1 + o(1)
\bigr]
при t \uparrow \omega . (3.21)
Отсюда с учетом второго из условий (3.6) следует, что выполняются неравенство (3.9) и первое
из условий (3.10). В силу же первого из условий (3.6) из (3.20) и (3.21) следует, что
y\prime (t)\varphi \prime (y(t))
\varphi (y(t))
= - \pi \omega (t)p(t)
J(t)
\bigl[
1 + o(1)
\bigr]
при t \uparrow \omega ,
и поэтому в силу первого из асимптотических соотношений (2.7)
y(t)\varphi \prime (y(t))
\varphi (y(t))
= - (\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)p(t)
\lambda 0J(t)
\bigl[
1 + o(1)
\bigr]
при t \uparrow \omega .
Из данного соотношения в силу (1.3) и определения P\omega (Y0, \lambda 0)-решения непосредственно
следует справедливость второго из предельных условий (3.10).
Теперь из (3.21) находим
y(t) = \Phi - 1
\bigl(
\alpha 0(\lambda - 1)J(t)
\bigl[
1 + o(1)
\bigr] \bigr)
при t \uparrow \omega . (3.22)
Функция \Phi , как было установлено ранее, принадлежит классу \Gamma Y0(Z0), где Z0 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\Phi (y),
и в качестве ее дополняющей функции может быть выбрана функция g(y) = - \varphi (y)
\varphi \prime (y)
. Тогда
в силу условий \alpha 0(\lambda 0 - 1) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\uparrow \omega J(t) = Z0 и \alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t) \in \Delta Z0 при t \in [t0, \omega [, которые
вытекают из (3.20) и (3.5), согласно лемме 2.4 имеем
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\Phi - 1
\bigl(
\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)
\bigl[
1 + o(1)
\bigr] \bigr)
- \Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
-
\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\bigr)
\varphi \prime (\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)))
=
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
z\rightarrow Z0
z\in \Delta Z0
\Phi - 1(z(1 + o(1))) - \Phi - 1(z)
- \varphi (z)
\varphi \prime (z)
= 0,
откуда следует, что
\Phi - 1
\bigl(
\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)
\bigl[
1 + o(1)
\bigr] \bigr)
=
= \Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)) +
\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\bigr)
\varphi \prime (\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)))
o(1) при t \uparrow \omega .
В силу этого соотношения из (3.22) получаем асимптотическое представление (3.11). Если же
учесть, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1356 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))\varphi \prime \bigl( \Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\bigr)
\varphi (\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)))
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
y\varphi \prime (y)
\varphi (y)
= \pm \infty ,
то (3.11) может быть записано в виде
y(t) = \Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\bigl[
1 + o(1)
\bigr]
при t \uparrow \omega ,
и поэтому в силу первого из асимптотических соотношений (2.7) имеет место асимптотическое
представление (3.12).
Далее, используя представление (3.11), из (1.1) находим
y\prime \prime (t) = \alpha 0p(t)\varphi
\biggl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)) +
\varphi (\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\varphi \prime (\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
o(1)
\biggr)
при t \uparrow \omega . (3.23)
Поскольку \varphi \in \Gamma Y0(Z0), где Z0 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\varphi (y), который согласно второму из условий (1.2) ра-
вен либо нулю, либо +\infty , и в качестве ее дополняющей функции может быть выбрана функция
g(y) =
\varphi (y)
\varphi \prime (y)
, то на основании леммы 2.3 с учетом условий \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\uparrow \omega \Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)) = Y0 и
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)) \in \Delta Y0 при t \in [t0, \omega [ получаем
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\varphi
\biggl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)) +
\varphi (\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\varphi \prime (\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
o(1)
\biggr)
\varphi (\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)))
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\varphi
\biggl(
y +
\varphi (y)
\varphi \prime (y)
o(1)
\biggr)
\varphi (y)
= 1.
Поэтому при t \uparrow \omega
\varphi
\left( \Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)) +
\varphi
\Bigl(
\Phi - 1
\bigl(
\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)
\bigr) \Bigr)
\varphi \prime
\Bigl(
\Phi - 1
\bigl(
\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)
\bigr) \Bigr) o(1)
\right) =
= \varphi
\Bigl(
\Phi - 1
\bigl(
\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)
\bigr) \Bigr)
[1 + o(1)]
и асимптотическое соотношение (3.23) может быть записано в виде
y\prime \prime (t) = \alpha 0p(t)\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\bigr) \bigl[
1 + o(1)
\bigr]
при t \uparrow \omega .
В силу этого представления и (3.12)
\pi \omega (t)y
\prime \prime (t)
y\prime (t)
=
\alpha 0(\lambda 0 - 1)\pi 2
\omega (t)p(t)\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\bigr)
\lambda 0\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\bigl[
1 + o(1)
\bigr]
при t \uparrow \omega .
Отсюда с учетом второго из асимптотических соотношений (2.7) следует справедливость тре-
тьего из условий (3.10).
Теорема 3.1 доказана.
Доказательство теоремы 3.2. Предположим, что существует конечный или равный \pm \infty
предел (3.13) и для некоторого \lambda 0 \in \BbbR \setminus \{ 0, 1\} выполняются условия (3.4), (3.9), (3.10), а также
одно из условий либо (3.14), либо (3.16) и (3.17). При этих условиях установим существова-
ние P\omega (Y0, \lambda 0)-решений дифференциального уравнения (1.1), допускающих асимптотические
представления (3.11), (3.12), и выясним вопрос о количестве таких решений.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 1357
Сначала, учитывая существование конечного или равного \pm \infty предела (3.13), покажем, что
этим пределом может быть только нуль. Допустим противное. Тогда имеет место соотношение\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) \prime
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \varphi \prime (y)
\varphi (y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 3/2
=
z(y)
| y| 1/2
,
где функция z : \Delta Y0 - \rightarrow \BbbR непрерывна и такова, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
z(y) =
\left\{ либо c = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} \not = 0,
либо \pm \infty .
(3.24)
Интегрируя это соотношение на промежутке от y0 до y, получаем
- 2\mu 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \varphi \prime (y)
\varphi (y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| - 1/2
= c0 +
y\int
y0
z(s)
| s| 1/2
ds, (3.25)
где c0 — некоторая постоянная.
Если
\int Y0
y0
z(s) ds
| s| 1/2
= \pm \infty , то отсюда после деления на | y| 1/2 имеем
- 2\mu 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| y\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| - 1/2
=
\int y
y0
z(s)ds
| s| 1/2
| y| 1/2
\bigl[
1 + o(1)
\bigr]
при y \rightarrow Y0.
Здесь выражение, стоящее слева, в силу (1.3) стремится к нулю при y \rightarrow Y0, а стоящее справа
в силу условия (3.24) — либо к отличной от нуля постоянной, либо к \pm \infty , поскольку согласно
правилу Лопиталя в форме Штольца
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\int y
y0
z(s)ds
| s| 1/2
| y| 1/2
= 2\mu 0 \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
z(y),
что невозможно.
Если же
\int Y0
y0
z(s) ds
| s| 1/2
сходится, что возможно лишь в случае, когда Y0 = 0, то (3.25) запишем
в виде
- 2\mu 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \varphi \prime (y)
\varphi (y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| - 1/2
= c1 +
y\int
0
z(s)ds
| s| 1/2
,
где c1 = c0 +
\int 0
y0
z(s)ds
| s| 1/2
. Докажем, что здесь c1 = 0. В самом деле, если c1 \not = 0, то из данного
соотношения следует, что
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
=
4\mu 0
c21
+ o(1) при y \rightarrow 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1358 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА
Отсюда в результате интегрирования на промежутке от y0 до y получаем
\mathrm{l}\mathrm{n} | \varphi (y)| = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}+o(1) при y \rightarrow 0,
что противоречит второму из условий (1.2). Значит, c1 = 0 и поэтому имеем
- 2\mu 0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \varphi \prime (y)
\varphi (y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| - 1/2
=
y\int
0
z(s)ds
| s| 1/2
.
Разделив обе части этого равенства на | y| 1/2, заметим, что левая часть полученного соотно-
шения в силу условий (1.3) стремится к нулю при y \rightarrow 0, а правая в силу правила Лопиталя
и (3.24) — либо к отличной от нуля постоянной, либо к \pm \infty .
Полученные в каждом из двух возможных случаев противоречия приводят к выводу, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) \prime
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) 2
\sqrt{} \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| y\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = 0. (3.26)
Теперь, применяя к уравнению (1.1) преобразование
y(t) = \Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\biggl[
1 +
y1
H(t)
\biggr]
,
y\prime (t) =
\lambda 0
(\lambda 0 - 1)\pi \omega (t)
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\bigl[
1 + y2(t)
\bigr]
,
(3.27)
получаем систему дифференциальных уравнений
y\prime 1 =
H(t)
\pi \omega (t)
\biggl[
\lambda 0
\lambda 0 - 1
- q(t) + h(t)y1 +
\lambda 0
\lambda 0 - 1
y2
\biggr]
,
y\prime 2 =
1
\pi \omega (t)
\biggl[
1 - \lambda 0 - 1
\lambda 0
q(t) +
q(t)
\lambda 0
y1 + (1 - q(t)) y2 +
1
\lambda 0
q(t)R(t, y1)
\biggr]
,
(3.28)
в которой
h(t) = q(t)
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) \prime
\biggl(
\varphi \prime (y)
\varphi (y)
\biggr) 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
y=\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
,
R(t, y1) =
\varphi
\Biggl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)) +
\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\bigr)
\varphi \prime (\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)))
y1
\Biggr)
\varphi (\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)))
- 1 - y1.
Эту систему уравнений рассмотрим на множестве \Omega = [t0, \omega [\times D1\times D2, где Di = \{ yi : | yi| \leq 1\} ,
i = 1, 2, и число t0 \in [a, \omega [ выбрано с учетом условий (1.3), (3.5), (3.6), (3.9) и (3.10) так, чтобы
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 1359
\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t) \in \Delta Z0 при t \in [t0, \omega [,
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)) +
\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\bigr)
\varphi \prime (\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)))
y1 \in \Delta Y0 при t \in [t0, \omega [ и | y1| \leq 1.
На данном множестве правые части системы дифференциальных уравнений (3.28) непрерывны
и функция R имеет на множестве [t0, \omega [\times D1 непрерывные частные производные до второго
порядка включительно по переменной y1. При этом имеем
R\prime
y1(t, y1) =
\varphi \prime
\Biggl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)) +
\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\bigr)
\varphi \prime (\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)))
y1
\Biggr)
\varphi \prime (\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)))
- 1.
Здесь \varphi \prime \in \Gamma Y0(Z0) с дополняющей функцией g(y) =
\varphi (y)
\varphi \prime (y)
. Поэтому
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\varphi \prime
\Biggl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)) +
\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\bigr)
\varphi \prime (\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)))
y1
\Biggr)
\varphi \prime (\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)))
=
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow Y0
y\in \Delta Y0
\varphi \prime
\biggl(
y + y1
\varphi (y)
\varphi \prime (y)
\biggr)
\varphi \prime (y)
= ey1 .
В силу этого предельного соотношения и леммы 2.3
R\prime
y1(t, y1) = ey1
\bigl[
1 + r(t, y1)
\bigr]
- 1,
где \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\uparrow \omega r(t, y1) = 0 равномерно по y1 \in [ - 1, 1]. Значит, для любого \varepsilon > 0 существуют
t1 \in [t0, \omega [ и \delta > 0 такие, что
| R\prime
y1(t, y1)| \leq \varepsilon при t \in [t1, \omega [ и y1 \in D1\delta = \{ y1 : | y1| \leq \delta \leq 1\} .
Отсюда следует, что функция R на множестве [t1, \omega [\times D1\delta удовлетворяет условию Липшица
по переменной y1 с постоянной Липшица \varepsilon , из которого в силу тождества R(t, 0) \equiv 0 следует
оценка
| R(t, y1)| \leq \varepsilon | y1| при t \in [t1, \omega [ и y1 \in D1\delta . (3.29)
Если же при фиксированном t \in [t0, \omega [ функцию R разложить по формуле Маклорена с
остаточным членом в форме Лагранжа до членов второго порядка, то получим
R(t, v1) =
=
\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\bigr)
\varphi \prime 2 (\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)))
\varphi \prime \prime
\Biggl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)) +
\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\bigr)
\varphi \prime (\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)))
\xi
\Biggr)
y21,
(3.30)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1360 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА
где | \xi | < | y1| . Здесь в силу последнего из условий (1.2)
\varphi \prime \prime
\Biggl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)) +
\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\bigr)
\varphi \prime (\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)))
\xi
\Biggr)
=
=
\varphi \prime 2
\Biggl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)) +
\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\bigr)
\varphi \prime (\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)))
\xi
\Biggr)
\varphi
\Biggl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)) +
\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\bigr)
\varphi \prime (\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)))
\xi
\Biggr) \bigl[
1 + r1(t, y1)
\bigr]
,
где \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\uparrow \omega r1(t, y1) = 0 равномерно по y1 \in D1. Поэтому, учитывая, что функции \varphi ,\varphi \prime \in
\in \Gamma Y0(Z0) с дополняющей функцией g(y) =
\varphi (y)
\varphi \prime (y)
, имеем
\varphi \prime \prime
\Biggl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)) +
\varphi
\bigl(
\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\bigr)
\varphi \prime (\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)))
\xi
\Biggr)
=
=
\varphi \prime 2 \bigl( \Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t))
\bigr)
\varphi (\Phi - 1(\alpha 0(\lambda 0 - 1)J(t)))
e\xi
\bigl[
1 + r2(t, y1)
\bigr]
,
где \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\uparrow \omega r2(t, y1) = 0 равномерно по y1 \in D1. Значит, (3.25) может быть записано в виде
R(t, y1) = e\xi
\bigl[
1 + r1(t, y1)
\bigr] \bigl[
1 + r2(t, y1)
\bigr]
y21.
Отсюда ясно, что для любого \varepsilon > 0 существуют \delta > 0 и t1 \in [t0, \omega [ такие, что
| R(t, y1)| \leq (1 + \varepsilon )| y1| 2 при t \in [t1, \omega [ и y1 \in D1\delta = \{ y1 : | y1| \leq \delta \} . (3.31)
Кроме того, в системе уравнений (3.28) в силу условий (1.2), (1.3), (3.5), (3.9) и (3.10)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
q(t) =
\lambda 0
\lambda 0 - 1
, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
h(t) = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
H(t) = \pm \infty . (3.32)
Согласно вышеизложенному система (3.28) является квазилинейной системой дифферен-
циальных уравнений. Для установления существования P\omega (Y0, \lambda 0)-решений уравнения (1.1),
допускающих асимптотические представления (3.11), (3.12), следует согласно преобразова-
нию (3.27) доказать существование стремящихся к нулю при t \uparrow \omega решений системы диф-
ференциальных уравнений (3.28). С целью использования известных результатов о наличии
исчезающих в особой точке решений квазилинейных систем дифференциальных уравнений
приведем систему (3.28) к виду, допускающему применение таких результатов.
Применяя к системе (3.28) дополнительное преобразование
y1 = v1, y2 = | H(t)| - 1/2v2, (3.33)
получаем систему дифференциальных уравнений вида
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 1361
v\prime 1 =
| H(t)| 1/2
\pi \omega (t)
\bigl[
f1(t) + c11(t)v1 + c12(t)v2
\bigr]
,
v\prime 2 =
| H(t)| 1/2
\pi \omega (t)
\bigl[
f2(t) + c21(t)v1 + c22(t)v2 + V (t, v1)
\bigr]
,
(3.34)
где
f1(t) =
\biggl[
\lambda 0
\lambda 0 - 1
- q(t)
\biggr]
| H(t)| 1/2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}H(t), f2(t) = 1 - \lambda 0 - 1
\lambda 0
q(t),
c11(t) = h(t)| H(t)| 1/2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}H(t), c12(t) =
\lambda 0
\lambda 0 - 1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}H(t),
c21(t) =
q(t)
\lambda 0
, c22(t) = | H(t)| - 1/2
\biggl(
1 - q(t)
2
+
h(t)
2
| H(t)| 1/2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}H(t)
\biggr)
,
V (t, v1) =
1
\lambda 0
q(t)R(t, v1).
Выбрав произвольным образом число \varepsilon > 0, подберем для него, с учетом вышеизложен-
ного о свойствах функции R, числа \delta > 0 и t1 \in [t0, \omega [ таким образом, чтобы выполнялось
неравенство (3.31), и рассмотрим систему (3.34) на множестве
\Omega 1 =
\bigl\{
(t, v1, v2) \in \BbbR 3 : t \in [t1, \omega [, v1 \in [ - \delta , \delta ], v2 \in [ - 1, 1]
\bigr\}
.
В силу (3.31), замены y1 на v1 и первого из условий (3.32)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
v1\rightarrow 0
V (t, v1)
| v1|
= 0 равномерно по t \in [t1, \omega [.
Кроме того, с учетом условий (3.32), (3.26) и введенных в начале данного пункта обозначений
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
f2(t) = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
c11(t) = 0, c12(t) \equiv
\nu 0\mu 0\lambda 0
\lambda 0 - 1
, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
c21(t) =
1
\lambda 0 - 1
, (3.35)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
c22(t) = 0,
\omega \int
t1
| H(\tau )| 1/2
\pi \omega (\tau )
d\tau = \pm \infty . (3.36)
Отсюда, в частности, следует, что предельная матрица коэффициентов, стоящих при v1 и v2 в
квадратных скобках системы (3.34), имеет вид
C =
\left( 0
\nu 0\mu 0\lambda 0
\lambda 0 - 1
1
\lambda 0 - 1
0
\right)
и ее характеристическим уравнением является уравнение вида
\rho 2 - \nu 0\mu 0\lambda 0
(\lambda 0 - 1)2
= 0. (3.37)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1362 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ЧЕРНИКОВА
Здесь в силу условий (3.4) и (3.9) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(\nu 0\mu 0\lambda 0) = - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}[(\lambda 0 - 1)J(t)] при t \in ]a, \omega [.
Допустим далее, что выполняются условия (3.14). В этом случае алгебраическое уравне-
ние (3.37) имеет два вещественных корня противоположных знаков и наряду с (3.35) и (3.36)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
f1(t) = 0.
Отсюда следует, что для системы дифференциальных уравнений (3.34) выполнены все условия
теоремы 2.2 из работы [7]. Согласно этой теореме система дифференциальных уравнений (3.34)
имеет однопараметрическое семейство исчезающих при t \uparrow \omega решений (v1, v2) : [t\ast , \omega [ - \rightarrow
- \rightarrow \BbbR 2 (t\ast \in [t1, \omega [). Каждому из них в силу замен (3.27) и (3.33) соответствует решение y :
[t\ast , \omega [ - \rightarrow \BbbR , допускающее асимптотические представления (3.11) и (3.15).
Пусть теперь выполняются условия (3.16) и (3.17). В этом случае в силу первого из усло-
вий (3.16) алгебраическое уравнение (3.37) имеет чисто мнимые корни, и для выяснения во-
проса о наличии у системы уравнений (3.34) исчезающих при t \uparrow \omega решений воспользуемся
результатами, полученными в [8]. Для этого систему уравнений (3.34) с помошью замены
независимой переменной
v1(t) = z1(x), v2(t) = z2(x), x =
t\int
t1
| H(\tau )| 1/2d\tau
| \pi \omega (\tau )|
(3.38)
сведем к системе дифференциальных уравнений
z\prime 1 = q1(x) + b1(x)z1 +
\beta \nu 0\mu 0\lambda 0
\lambda 0 - 1
z2,
z\prime 2 = q2(x) +
\beta
\lambda 0 - 1
z1 + b2(x)z2 + Z(x, z1),
(3.39)
где
q1(x(t)) = \beta \nu 0\mu 0
\biggl[
\lambda 0
\lambda 0 - 1
- q(t)
\biggr]
| H(t)| 1/2, q2(x(t)) = \beta
\biggl[
1 - \lambda 0 - 1
\lambda 0
q(t)
\biggr]
,
b1(x(t)) = \beta \nu 0\mu 0h(t)| H(t)| 1/2, b2(x(t)) = \beta | H(t)| - 1/2
\biggl(
1 - q(t)
2
+
\nu 0\mu 0h(t)
2
| H(t)| 1/2
\biggr)
,
Z(x(t), z1) =
\beta q(t)
\lambda 0
R(t, z1), \beta = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\pi \omega (t).
Поскольку x\prime (t) > 0 при t \in ]t0, \omega [ и в силу третьего из условий (3.32) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\uparrow \omega x(t) = +\infty , то
система уравнений (3.39) определена на множестве G = \{ (x, z1, z2) \in \BbbR 3 : x \in [0,+\infty [, | z1| \leq
\leq \delta , | z2| \leq 1\} и в силу (3.32), (3.16), (3.17), (3.31)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
x2qi(x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\left( t\int
t1
| H(\tau )| 1/2 d\tau
| \pi \omega (t)|
\right) 2
qi(x(t)) = 0, i = 1, 2,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
xbi(x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\uparrow \omega
\left( t\int
t1
| H(\tau )| 1/2 d\tau
| \pi \omega (t)|
\right) bi(x(t)) = 0, i = 1, 2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 1363
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
z1\rightarrow 0
x2Z
\Bigl(
x,
z
x
\Bigr)
z1
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
z1\rightarrow 0
x2(t)q(t)R
\biggl(
t,
z1
x(t)
\biggr)
\lambda 0z1
= 0 равномерно по x \in [0,+\infty [.
При этом характеристическим уравнением предельной матрицы коэффициентов линейной час-
ти системы является алгебраическое уравнение (3.37), которое в данном случае имеет чисто
мнимые корни.
В силу вышеизложенного для системы дифференциальных уравнений (3.39) выполнены все
условия теоремы 2.2 из работы [8] (при r = \varepsilon = 1). Согласно этой теореме система дифферен-
циальных уравнений (3.39) при \omega < +\infty имеет двупараметрическое семейство исчезающих на
бесконечности решений (z1, z2) : [x0,+\infty [ - \rightarrow \BbbR 2(x0 \geq 0) вида
zi(x) = o
\biggl(
1
x
\biggr)
при x \rightarrow +\infty , i = 1, 2,
а при \omega = +\infty система имеет по крайней мере одно решение с такими представлениями
(его единственность следует из того, что функция R удовлетворяет условию Липшица по
переменной z1). Каждому такому решению в силу замен (3.27), (3.33) и (3.38) cоответствует
P\omega (Y0, \lambda 0)-решение y : [t2, \omega [ - \rightarrow \BbbR (t2 \in [a, \omega [, допускающее асимптотические представления
вида (3.18) и (3.19).
Теорема 3.2 доказана.
4. Выводы. В настоящей работе впервые для уравнения вида (1.1) с быстро меняющейся
при y \rightarrow Y0, где Y0 равно либо нулю, либо \pm \infty , нелинейностью \varphi установлены условия
существования P\omega (Y0, \lambda 0)-решений в неособом случае \lambda 0 \in \BbbR \setminus \{ 0; 1\} , а также асимптотические
представления при t \uparrow \omega (\omega \leq +\infty ) для таких решений и их производных первого порядка.
Раньше для класса P\omega (Y0, \lambda 0)-решений достаточно полно был исследован вопрос о их наличии
и асимптотике в случае правильно меняющейся при y \rightarrow Y0 нелинейности \varphi .
Литература
1. Mari\'c V. Regular variation and differential equations // Lect. Notes Math. – 2000. – 1726. – 128 p.
2. Евтухов В. М., Харьков В. М. Асимптотические представления решений существенно нелинейных дифферен-
циальных уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения. – 2007. – 43, № 9. – С. 1311 – 1323.
3. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Асимптотические представления решений неавтономных обыкновенных
дифференциальных уравнений с правильно меняющимися нелинейностями // Дифференц. уравнения. – 2011. –
47, № 5. – С. 628 – 650.
4. Евтухов В. М., Шинкаренко В. Н. Асимптотические представления двучленных неавтономных обыкновенных
дифференциальных уравнений n-го порядка с экспоненциальной нелинейностью // Дифференц. уравнения. –
2008. – 5, № 3. – С. 308 – 322.
5. Bingham N. H., Goldie C. M., Teugels J. L. Regular variation // Encycl. math. and Appl. – Cambridge: Cambridge
Univ. Press, 1987. – 494 p.
6. Евтухов В. М. Асимптотические представления решений неавтономных обыкновенных дифференциальных
уравнений: Дис. . . . д-ра физ.-мат. наук. – Киев, 1998. – 295 c.
7. Евтухов В. М. Условия существования исчезающих в особой точке решений вещественных неавтономных
систем квазилинейных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 1. – С. 52 – 80.
8. Евтухов В. М. Об исчезающих на бесконечности решениях неавтономных систем квазилинейных дифферен-
циальных уравнений // Дифференц. уравнения. – 2003. – 39, № 4. – С. 441 – 452.
Получено 03.02.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-1786 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:37Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/28/80fa0de62e7d6e1a2901403cdcc22d28.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17862019-12-05T09:26:39Z Asymptotic behavior of the solutions of second-order differential equations with rapidly varying nonlinearities Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с быстро меняющимися нелинейностями Evtukhov, V. M. Chernikova, A. G. Евтухов, В. М. Черникова, А. Г. Евтухов, В. М. Черникова, А. Г. We establish conditions for the existence of one class of solutions of two-term nonautonomous differential equations of the second-order with rapidly varying nonlinearities and the asymptotic representations for these solutions and their first-order derivatives as и $t \uparrow \omega (\omega \leq +\infty )$. Встановлено умови iснування одного класу розв’язкiв двочленного неавтономного диференцiального рiвняння дру- гого порядку з швидко змiнною нелiнiйнiстю, а також асимптотичнi при $t \uparrow \omega (\omega \leq +\infty )$ зображення для таких розв’язкiв та їх похiдних першого порядку. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1786 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 10 (2017); 1345-1363 Український математичний журнал; Том 69 № 10 (2017); 1345-1363 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1786/768 Copyright (c) 2017 Evtukhov V. M.; Chernikova A. G. |
| spellingShingle | Evtukhov, V. M. Chernikova, A. G. Евтухов, В. М. Черникова, А. Г. Евтухов, В. М. Черникова, А. Г. Asymptotic behavior of the solutions of second-order differential equations with rapidly varying nonlinearities |
| title | Asymptotic behavior of the solutions of second-order
differential equations with rapidly varying nonlinearities |
| title_alt | Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с быстро меняющимися нелинейностями |
| title_full | Asymptotic behavior of the solutions of second-order
differential equations with rapidly varying nonlinearities |
| title_fullStr | Asymptotic behavior of the solutions of second-order
differential equations with rapidly varying nonlinearities |
| title_full_unstemmed | Asymptotic behavior of the solutions of second-order
differential equations with rapidly varying nonlinearities |
| title_short | Asymptotic behavior of the solutions of second-order
differential equations with rapidly varying nonlinearities |
| title_sort | asymptotic behavior of the solutions of second-order
differential equations with rapidly varying nonlinearities |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1786 |
| work_keys_str_mv | AT evtukhovvm asymptoticbehaviorofthesolutionsofsecondorderdifferentialequationswithrapidlyvaryingnonlinearities AT chernikovaag asymptoticbehaviorofthesolutionsofsecondorderdifferentialequationswithrapidlyvaryingnonlinearities AT evtuhovvm asymptoticbehaviorofthesolutionsofsecondorderdifferentialequationswithrapidlyvaryingnonlinearities AT černikovaag asymptoticbehaviorofthesolutionsofsecondorderdifferentialequationswithrapidlyvaryingnonlinearities AT evtuhovvm asymptoticbehaviorofthesolutionsofsecondorderdifferentialequationswithrapidlyvaryingnonlinearities AT černikovaag asymptoticbehaviorofthesolutionsofsecondorderdifferentialequationswithrapidlyvaryingnonlinearities AT evtukhovvm asimptotičeskoepovedenierešenijobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkasbystromenâûŝimisânelinejnostâmi AT chernikovaag asimptotičeskoepovedenierešenijobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkasbystromenâûŝimisânelinejnostâmi AT evtuhovvm asimptotičeskoepovedenierešenijobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkasbystromenâûŝimisânelinejnostâmi AT černikovaag asimptotičeskoepovedenierešenijobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkasbystromenâûŝimisânelinejnostâmi AT evtuhovvm asimptotičeskoepovedenierešenijobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkasbystromenâûŝimisânelinejnostâmi AT černikovaag asimptotičeskoepovedenierešenijobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkasbystromenâûŝimisânelinejnostâmi |