Cauchy problem for matrix factorizations of the Helmholtz equation
We study the Cauchy problem for a system of elliptic equations of the first order with constant coefficients factorizing the Helmholtz operator in a two-dimensional bounded domain. An approximate solution of this problem based on the method of Carleman matrix is constructed.
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1787 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507648017825792 |
|---|---|
| author | Zhuraev, D. A. Жураев, Д. А. Жураев, Д. А. |
| author_facet | Zhuraev, D. A. Жураев, Д. А. Жураев, Д. А. |
| author_sort | Zhuraev, D. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:26:39Z |
| description | We study the Cauchy problem for a system of elliptic equations of the first order with constant coefficients factorizing the
Helmholtz operator in a two-dimensional bounded domain. An approximate solution of this problem based on the method
of Carleman matrix is constructed. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.946
Д. А. Жураев (Каршин. гос. ун-т, Узбекистан)
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ МАТРИЧНЫХ ФАКТОРИЗАЦИЙ
УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
We study the Cauchy problem for a system of elliptic equations of the first order with constant coefficients factorizing the
Helmholtz operator in a two-dimensional bounded domain. An approximate solution of this problem based on the method
of Carleman matrix is constructed.
Розглядається задача Кошi для системи рiвнянь елiптичного типу першого порядку зi сталими коефiцiєнтами,
що факторизують оператор Гельмгольца у двовимiрнiй обмеженiй областi. Побудовано наближений розв’язок цiєї
задачi, що ґрунтується на методi матриць Карлемана.
1. Введение. Задача Коши для системы уравнений эллиптического типа первого порядка с
постоянными коэффициентами, факторизующих оператор Гельмгольца, как и многие задачи
Коши для нахождения регулярных решений эллиптических уравнений, в общем случае оказы-
ваeтся неустойчивой относительно малых изменений начальных данных. Таким образом, эти
задачи являются некорректно сформулированными.
В некорректных задачах теорема существования не доказывается, существование предпола-
гается заданным априори. Более того, предполагается, что решение принадлежит некоторому
заданному подмножеству функционального пространства, обычно компактному. Единствен-
ность решения следует из общей теоремы Холмгрена [8]. Условная устойчивость задачи следует
из работы А. Н. Тихонова [7], если сузить класс возможных решений до компакта.
В работе построено семейство вектор-функций U\sigma \delta (x) = U\sigma (x, f\delta ), зависящих от парамет-
ра \sigma , и доказано, что при некоторых условиях и специальном выборе параметра \sigma = \sigma (\delta ) при
\delta \rightarrow 0 семейство U\sigma \delta (x) сходится в обычном смысле к решению U(x) в точке x \in G.
Следуя А. Н. Тихонову [7], семейство вектор-функций U\sigma \delta (x) назовем регуляризованным
решением задачи. Регуляризованное решение определяет устойчивый метод приближенного
решения задачи. Для специальных областей задача продолжения ограниченных аналитиче-
ских функций в случае, когда данные задаются только на части границы, было рассмотрена
Т. Карлеманом [2]. Исследования Т. Карлемана были продолжены Г. М. Голузиным и В. И. Кры-
ловым [6]. В работе [5] построен многомерный аналог формулы Карлемана для аналитических
функций многих переменных. Использование классической формулы Грина для построения
регуляризованного решения задачи Коши для уравнения Лапласа было предложено М. М. Лав-
рентьевым в монографии [3]. Используя идеи М. М. Лаврентьева, Ш. Ярмухамедов построил в
явном виде регуляризованное решение задачи Коши для уравнения Лапласа [4]. Построением
матрицы Карлемана для эллиптических систем занимались Ш. Ярмухамедов, Н. Н. Тарханов,
О. И. Махмудов и др.
Система, рассматриваемая в данной работе, была введена Н. Н. Тархановым. Для этой
системы им были изучены корректные граничные задачи и найден аналог интегральной фор-
мулы Коши в ограниченной области. Во многих корректных задачах для систем уравнений
эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами, факторизующих опе-
ратор Гельмгольца, недоступно вычисление значения вектор-функции на всей границе. Поэтому
c\bigcirc Д. А. ЖУРАЕВ, 2017
1364 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ МАТРИЧНЫХ ФАКТОРИЗАЦИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА 1365
задача восстановления решения системы уравнений эллиптического типа первого порядка с по-
стоянными коэффициентами, факторизующих оператор Гельмгольца [10 – 15], является одной
из актуальных задач теории дифференциальных уравнений.
Пусть \BbbR 2 — двумерное вещественное евклидово пространство,
x = (x1, x2)\in \BbbR 2, y = (y1, y2)\in \BbbR 2.
G \subset \BbbR 2 — ограниченная односвязная область, граница которой состоит из отрезка a \leq y1 \leq b
и некоторой гладкой кривой S (S \in y1), лежащей на полуплоскости y2 > 0, т. е. \partial G = S
\bigcup
T.
Введем следующие обозначения:
xT =
\biggl(
x1
x2
\biggr)
— транспонированный вектор x, r = | y - x| , \alpha = | y1 - x1| ,
w = i
\sqrt{}
u2 + \alpha 2 + y2, u \geq 0,
\partial
\partial x
=
\biggl(
\partial
\partial x1
,
\partial
\partial x2
\biggr) T
,
U(x) = (U1(x), . . . , Un(x))
T , u0 = (1, . . . , 1) \in \BbbR \itn , n = 2m, m = 2,
E(z) =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
z1 . . . 0
. . . . . .
0 . . . zn
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| — диагональная матрица, z = (z1, . . . , zn) \in \BbbR \itn .
Пусть D(xT ) — (n\times n)-матрица с элементами, состоящими из множества линейных функций
с постоянными коэффициентами комплексной плоскости, для которых выполняется условие
D\ast (xT )D(xT ) = E((| x| 2 + \lambda 2)u0),
где D\ast (xT ) — эрмитово-сопряженная матрица D(xT ), \lambda — вещественное число.
Пусть x = (x1, x2) \in G, y = (y1, y2) \in \partial G. Рассмотрим в области G систему дифферен-
циальных уравнений
D
\biggl(
\partial
\partial x
\biggr)
U(x) = 0, (1)
где D
\biggl(
\partial
\partial x
\biggr)
— матрица дифференциальных операторов первого порядка.
Обозначим через H(G) класс вектор-функций в области G, непрерывных на G = G
\bigcup
\partial G
и удовлетворяющих системе (1).
2. Задача Коши и построение функции Карлемана. Пусть U(y) \in H(G) и
U(y)| S = f(y), y \in S. (2)
Здесь f(y) — заданная непрерывная вектор-функция на S.
Требуется восстановить вектор-функцию U(y) в области G, исходя из ее значений f(y)
на S.
Если U(y) \in H(G), то справедлива следующая интегральная формула типа Коши:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1366 Д. А. ЖУРАЕВ
U(x) =
\int
\partial G
M(y, x)U(y)dsy, x \in G, (3)
где
M(y, x) =
\biggl(
E
\biggl(
- i
4
H
(1)
0 (\lambda r)u0
\biggr)
D\ast
\biggl(
\partial
\partial y
\biggr) \biggr)
D(tT ).
Здесь t = (t1, t2) — единичная внешняя нормаль, проведенная в точке y поверхности \partial G,
- i
4
H
(1)
0 (\lambda r) — фундаментальное решение уравнения Гельмгольца, определяемое через функ-
цию Ханкеля первого рода [9].
Обозначим через K(w), w = \xi + i\eta , целую функцию, принимающую вещественные значе-
ния при вещественном w (\xi , \eta — действительные числа) и удовлетворяющую условиям
K(\xi ) \not = 0, \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\eta \geq 1
| \xi pKp(w)| = \mathrm{M}(\xi , p) < \infty , - \infty < \xi < \infty , p = 0, 1. (4)
Функцию \Phi (y, x) при y \not = x определим равенством
\Phi (y, x) = - 1
2\pi K(x2)
\infty \int
0
\mathrm{I}\mathrm{m}
K(w)
w - x2
u I0(\lambda u)\surd
u2 + \alpha 2
du. (5)
Здесь I0(\lambda u) = J0(i\lambda u) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка [8].
В дальнейшем воспользуемся равенствами
- 2\pi K(x2)
\partial \Phi (y, x)
\partial y1
=
(y1 - x1)\mathrm{R}\mathrm{e}K(w0) - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(y1 - x1)(y2 - x2)\mathrm{I}\mathrm{m}K(w0)
r2
-
- (y1 - x1)\lambda
\infty \int
0
\surd
u2 + \alpha 2\mathrm{R}\mathrm{e}K(w) - (y2 - x2)\mathrm{I}\mathrm{m}K(w)
u2 + r2
I1(\lambda u)du\surd
u2 + \alpha 2
, y \not = x, (6)
w0 = i | y1 - x1| + y2, I1(\lambda u) = I
\prime
0(\lambda u),
и
- 2\pi K(x2)
\partial \Phi (y, x)
\partial y2
=
(y2 - x2)\mathrm{R}\mathrm{e}K(w0) - (y1 - x1)\mathrm{I}\mathrm{m}K(w0)
r2
-
- \lambda
\infty \int
0
(y2 - x2)\mathrm{R}\mathrm{e}K(w) -
\surd
u2 + \alpha 2\mathrm{I}\mathrm{m}K(w)
u2 + r2
I1(\lambda u)du, y1 \not = x1, (7)
которые получаются из (5).
Выбирая в формуле (5)
K(w) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\sigma w2), K(x2) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\sigma x22), \sigma > 0, (8)
получаем
\Phi \sigma (y, x) = - e - \sigma x2
2
2\pi
\infty \int
0
\mathrm{I}\mathrm{m}
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\sigma w2)
w - x2
u I0(\lambda u)\surd
u2 + \alpha 2
du, (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ МАТРИЧНЫХ ФАКТОРИЗАЦИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА 1367
\sigma \geq \lambda + \sigma 0, \sigma 0 > 0.
Формула (3) справедлива, если вместо - i
4
H
(1)
0 (\lambda r) подставить функцию
\Phi \sigma (y, x) = - i
4
H
(1)
0 (\lambda r) + g\sigma (y, x), (10)
где g\sigma (y, x) — регулярное решение уравнения Гельмгольца по переменной y, включая и точку
y = x.
Тогда интегральная формула имеет вид
U(x) =
\int
\partial G
N\sigma (y, x)U(y)dsy, x \in G, (11)
где
N\sigma (y, x) =
\biggl(
E
\bigl(
\Phi \sigma (y, x)u
0
\bigr)
D\ast
\biggl(
\partial
\partial y
\biggr) \biggr)
D(tT ).
Теорема 1. Пусть U(y) \in H(G) удовлетворяет неравенству
| U(y)| \leq 1, y \in T. (12)
Если
U\sigma (x) =
\int
S
N\sigma (y, x)U(y)dsy, x \in G, (13)
то справедлива оценка
| U(x) - U\sigma (x)| \leq C(\lambda , x)\sigma e - \sigma x2
2 , \sigma > 1, x \in G. (14)
Здесь и ниже для удобства функции, зависящие от \lambda и x, обозначим через C(\lambda , x), причем
в различных неравенствах они различные.
Доказательство. Используя формулы (11) и равенство (13), получаем
U(x) = U\sigma (x) +
b\int
a
N\sigma (y, x)U(y)dsy, x \in G.
Учитывая неравенства (12), оцениваем следующее:
| U(x) - U\sigma (x)| \leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
T
N\sigma (y, x)U(y)dsy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\int
T
| N\sigma (y, x)| dsy, x \in G. (15)
Оценим интегралы
\int b
a
| \Phi \sigma (y, x)| dy1,
\int b
a
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi \sigma (y, x)
\partial y1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dsy и
\int b
a
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi \sigma (y, x)
\partial y2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dsy.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1368 Д. А. ЖУРАЕВ
Пусть \sigma > 0. Отделяя мнимую часть равенства (9), получаем
\Phi \sigma (y, x) =
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\sigma (y22 - x22)
2\pi
\left[ \infty \int
0
e - \sigma (u2+\alpha 2) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2\sigma y2
\surd
u2 + \alpha 2
u2 + r2
uI0(\lambda u)du -
-
\infty \int
0
e - \sigma (u2+\alpha 2)(y2 - x2) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\sigma y2
\surd
u2 + \alpha 2
u2 + r2
u I0(\lambda u)\surd
u2 + \alpha 2
du
\right] , y \not = x, x2 > 0. (16)
Учитывая (16) и неравенство
I0(\lambda u) \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda u), (17)
имеем
b\int
a
| \Phi \sigma (y, x)| dsy \leq C(\lambda , x)\sigma e - \sigma x2
2 , \sigma > 1, x \in G. (18)
Для оценки интегралов
\int b
a
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi \sigma (y, x)
\partial y1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dsy и
\int b
a
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi \sigma (y, x)
\partial y2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dsy воспользуемся равен-
ствами (6) и (7). Для этого, используя равенства (8) и выбирая
K(w0) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\sigma w2
0), \sigma > 0, (19)
получаем следующие формулы:
- 2\pi \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\sigma x22)
\partial \Phi \sigma (y, x)
\partial y1
=
(y1 - x1)\mathrm{R}\mathrm{e} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\sigma w2
0) + \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}(y1 - x1)(y2 - x2)\mathrm{I}\mathrm{m} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\sigma w2
0)
r2
-
- (y1 - x1)\lambda
\infty \int
0
\surd
u2 + \alpha 2\mathrm{R}\mathrm{e} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\sigma w2) - (y2 - x2)\mathrm{I}\mathrm{m} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\sigma w2)
u2 + r2
I1(\lambda u)du\surd
u2 + \alpha 2
, y \not = x, (20)
и
- 2\pi \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\sigma x22)
\partial \Phi \sigma (y, x)
\partial y2
=
(y2 - x2)\mathrm{R}\mathrm{e} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\sigma w2
0) + (y1 - x1)\mathrm{I}\mathrm{m} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\sigma w2
0)
r2
-
- \lambda
\infty \int
0
(y2 - x2)\mathrm{R}\mathrm{e} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\sigma w2) -
\surd
u2 + \alpha 2\mathrm{I}\mathrm{m} \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\sigma w2)
u2 + r2
I1(\lambda u)du, y1 \not = x1. (21)
Учитывая равенство (20) и неравенство
I1(\lambda u) \leq \lambda u \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\lambda u), (22)
имеем
b\int
a
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi \sigma (y, x)
\partial y1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dsy \leq C(\lambda , x)\sigma e - \sigma x2
2 , \sigma > 1, x \in G. (23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ МАТРИЧНЫХ ФАКТОРИЗАЦИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА 1369
Аналогично, учитывая равенство (21) и неравенство (22), оцениваем интеграл
b\int
a
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi \sigma (y, x)
\partial y2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dsy \leq C(\lambda , x)\sigma e - \sigma x2
2 , \sigma > 1, x \in G. (24)
Из неравенств (18), (23) и (24) следует (14).
Теорема 1 доказана.
Следствие 1. Предельное равенство
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\sigma \rightarrow \infty
U\sigma (x) = U(x)
имеет место равномерно на каждом компакте из области G.
Теорема 2. Пусть U(y) \in H(G) удовлетворяет условию (12), а на гладкой кривой S —
неравенству
| U(y)| \leq \delta , 0 < \delta < e - \sigma \=y22 , (25)
где \=y22 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}y\in S y22. Тогда справедлива оценка
| U(x)| \leq C(\lambda , x)\sigma \delta
x22
\=y22 , \sigma > 1, x \in G. (26)
Доказательство. Из (11) и равенства (13) при x \in G имеем
U(x) =
\int
S
N\sigma (y, x)U(y)dsy +
b\int
a
N\sigma (y, x)U(y)dsy. (27)
Оценим следующее:
| U(x)| \leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
S
N\sigma (y, x)U(y)dsy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
b\int
a
N\sigma (y, x)U(y)dsy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , x \in G. (28)
Учитывая неравенство (25), оцениваем первое слагаемое неравенства (28):\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
S
N\sigma (y, x)U(y)dsy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\int
S
| N\sigma (y, x)| | U(y)| dsy \leq
\leq \delta
\int
S
| N\sigma (y, x)| dsy, x \in G. (29)
Далее, оценим интегралы \delta
\int
S
| \Phi \sigma (y, x)| dsy, \delta
\int
S
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi \sigma (y, x)
\partial y1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dsy и \delta
\int
S
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi \sigma (y, x)
\partial y2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dsy
на гладкой поверхности S.
Учитывая равенство (16) и неравенство (17), находим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1370 Д. А. ЖУРАЕВ
\delta
\int
S
| \Phi \sigma (y, x)| dsy \leq C(\lambda , x)\sigma \delta e\sigma (y
2
2 - x2
2), \sigma > 1, x \in G. (30)
Используя равенство (20) и неравенство (22), имеем
\delta
\int
S
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi \sigma (y, x)
\partial y1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dsy \leq C(\lambda , x)\sigma \delta e\sigma (y
2
2 - x2
2), \sigma > 1, x \in G. (31)
Аналогично, используя равенство (21) и неравенство (22), получаем
\delta
\int
S
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi \sigma (y, x)
\partial y2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dsy \leq C(\lambda , x)\sigma \delta e\sigma (y
2
2 - x2
2), \sigma > 1, x \in G. (32)
Из (30) – (32) следует, что\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
S
N\sigma (y, x)U(y)dsy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq C(\lambda , x)\sigma \delta e\sigma (y
2
2 - x2
2), \sigma > 1, x \in G. (33)
Известно, что \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
b\int
a
N\sigma (y, x)U(y)dsy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq C(\lambda , x)\sigma e - \sigma x2
2 , \sigma > 1, x \in G. (34)
Теперь, учитывая (33), (34), имеем
| U(x)| \leq C(\lambda , x)\sigma
2
(\delta e\sigma \=y22 + 1)e - \sigma x2
2 , \sigma > 1, x \in G. (35)
Выбирая \sigma из равенства
\sigma =
1
\=y22
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\delta
, (36)
получаем неравенство (26).
Теорема 2 доказана.
Пусть U(y) \in H(G) и вместо U(y) на S задано ее приближение f\delta (y) с погрешностью
0 < \delta < e - \sigma \=y22 , \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}S | U(y) - f\delta (y)| \leq \delta .
Положим
U\sigma \delta (x) =
\int
S
N\sigma (y, x)f\delta (y)dsy, x \in G. (37)
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Пусть U(y) \in H(G) на части плоскости y2 = 0 удовлетворяет неравенству
(12). Тогда справедлива оценка
| U(x) - U\sigma \delta (x)| \leq C(\lambda , x)\sigma \delta
x22
\=y22 , \sigma > 1, x \in G. (38)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ МАТРИЧНЫХ ФАКТОРИЗАЦИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА 1371
Доказательство. Из интегральной формулы (11) и равенства (37) имеем
U(x) - U\sigma \delta (x) =
\int
S
N\sigma (y, x) \{ U(y) - f\delta (y)\} dsy +
b\int
a
N\sigma (y, x)U(y) dsy.
Теперь, повторяя рассуждения из доказательств теорем 1 и 2, находим
| U(x) - U\sigma \delta (x)| \leq
C(\lambda , x)\sigma
2
(\delta e\sigma \=y22 + 1) e - \sigma x2
2 .
Отсюда, выбирая \sigma из равенства (36), получаем (38).
Теорема 3 доказана.
Следствие 2. Предельное равенство
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\delta \rightarrow 0
U\sigma \delta (x) = U(x)
имеет место равномерно на каждом компакте из области G.
Литература
1. Тарханов Н. Н. Об интегральном представлении решений систем линейных дифференциальных уравнений
1-го порядка в частных производных и некоторых его приложениях // Некоторые вопросы многомерного
комплексного анализа. – Красноярск: Ин-т физики АН СССР, 1980. – С. 147 – 160.
2. Carleman Т. Les fonctions quasi analytiques. – Paris: Gautier-Villars et Cie., 1926.
3. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. – Новосибирск: Наука, 1962. –
96 с.
4. Ярмухамедов Ш. Функция Карлемана и задача Коши для уравнения Лапласа // Сиб. мат. журн. – 2004. – 45,
№ 3. – С. 702 – 719.
5. Айзенберг Л. А. Формулы Карлемана в комплексном анализе. – Новосибирск: Наука, 1990. – 116 с.
6. Голузин Г. М., Крылов В. И. Обобщенная формула Карлемана и ее приложение к аналитическому продолжению
функций // Мат. сб. – 1993. – 40, № 2. – С. 144 – 149.
7. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Докл. АН СССР. – 1963. –
151, № 3. – С. 501 – 504.
8. Берс А., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. – М.: Мир, 1966. – 351 с.
9. Алексидзе М. А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. – М.: Наука, 1991. –
164 с.
10. Жураев Д. А. Интегральная формула для систем уравнений эллиптического типа // II Междунар. науч.-практ.
конф. студентов и аспирантов „Математика и ее приложения в современной науке и практике” (Курск, 5-6 апр.
2012 г.). – С. 33 – 38.
11. Жураев Д. А. Регуляризированное решение задачи Коши для систем уравнений эллиптического типа первого
порядка с постоянными коэффициентами, факторизующих оператор Гельмгольца в трехмерной ограниченной
области // Междунар. конф. „Обратные и некорректные задачи математической физики”, посвященная 80-летию
со дня рождения академика М. М. Лаврентьева (Новосибирск, 5 – 12 авг. 2012 г.). – С. 124 – 125.
12. Жураев Д. А. Интегральная формула для систем уравнений эллиптического типа в ограниченной области //
Междунар. конф. „Актуальные проблемы механики, математики, информатики-2012”, посвященная 100-летию
со дня рождения профессоров С. Н. Черникова, И. Ф. Верещагина, Л. И. Волковысского (30 окт. — 1 нояб.
2012 г.) – Пермь: Перм. гос. нац. исслед. ун-т, 2012. – C. 43.
13. Жураев Д. А. Регуляризация задачи Коши для систем уравнений эллиптического типа первого порядка в
трехмерной ограниченной области // Прикл. математика, управление и информатика: Сб. тр. Междунар. мол.
конф. (Белгород, 3 – 5 окт. 2012 г.). – 2012. – Т. 1. – С. 132 – 135.
14. Жураев Д. А. Конструкция фундаментального решения уравнения Гельмгольца // Докл. АН Республики Узбе-
кистан. – 2012. – № 4. – С. 14 – 17.
Получено 23.01.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-1787 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:39Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/19/0feece5782d6c763ed3d5844d6516919.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17872019-12-05T09:26:39Z Cauchy problem for matrix factorizations of the Helmholtz equation Задача Коши для матричных факторизаций уравнения Гельмгольца Zhuraev, D. A. Жураев, Д. А. Жураев, Д. А. We study the Cauchy problem for a system of elliptic equations of the first order with constant coefficients factorizing the Helmholtz operator in a two-dimensional bounded domain. An approximate solution of this problem based on the method of Carleman matrix is constructed. Розглядається задача Кошi для системи рiвнянь елiптичного типу першого порядку зi сталими коефiцiєнтами, що факторизують оператор Гельмгольца у двовимiрнiй обмеженiй областi. Побудовано наближений розв’язок цiєї задачi, що ґрунтується на методi матриць Карлемана. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1787 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 10 (2017); 1364-1371 Український математичний журнал; Том 69 № 10 (2017); 1364-1371 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1787/769 Copyright (c) 2017 Zhuraev D. A. |
| spellingShingle | Zhuraev, D. A. Жураев, Д. А. Жураев, Д. А. Cauchy problem for matrix factorizations of the Helmholtz equation |
| title | Cauchy problem for matrix factorizations of the Helmholtz equation |
| title_alt | Задача Коши для матричных факторизаций уравнения Гельмгольца |
| title_full | Cauchy problem for matrix factorizations of the Helmholtz equation |
| title_fullStr | Cauchy problem for matrix factorizations of the Helmholtz equation |
| title_full_unstemmed | Cauchy problem for matrix factorizations of the Helmholtz equation |
| title_short | Cauchy problem for matrix factorizations of the Helmholtz equation |
| title_sort | cauchy problem for matrix factorizations of the helmholtz equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1787 |
| work_keys_str_mv | AT zhuraevda cauchyproblemformatrixfactorizationsofthehelmholtzequation AT žuraevda cauchyproblemformatrixfactorizationsofthehelmholtzequation AT žuraevda cauchyproblemformatrixfactorizationsofthehelmholtzequation AT zhuraevda zadačakošidlâmatričnyhfaktorizacijuravneniâgelʹmgolʹca AT žuraevda zadačakošidlâmatričnyhfaktorizacijuravneniâgelʹmgolʹca AT žuraevda zadačakošidlâmatričnyhfaktorizacijuravneniâgelʹmgolʹca |