On one method for the solution of an analog of the Cauchy problem for a polycaloric equation with singular Bessel operator
We study an analog of the Cauchy problem for an inhomogeneous singular polycaloric (polyparabolic) equation with Bessel operator. By using the Erd´elyi–Kober operator of the fractional order, we deduce an explicit formula for the solution of the formulated problem.
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1788 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507647970639872 |
|---|---|
| author | Karimov, Sh. T. Каримов, Ш. Т. Каримов, Ш. Т. |
| author_facet | Karimov, Sh. T. Каримов, Ш. Т. Каримов, Ш. Т. |
| author_sort | Karimov, Sh. T. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:26:39Z |
| description | We study an analog of the Cauchy problem for an inhomogeneous singular polycaloric (polyparabolic) equation with Bessel
operator. By using the Erd´elyi–Kober operator of the fractional order, we deduce an explicit formula for the solution of the
formulated problem. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:12:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956
Ш. Т. Каримов (Ферган. гос. ун-т, Узбекистан)
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ АНАЛОГА ЗАДАЧИ КОШИ
ДЛЯ ПОЛИКАЛОРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
С СИНГУЛЯРНЫМ ОПЕРАТОРОМ БЕССЕЛЯ
We study an analog of the Cauchy problem for an inhomogeneous singular polycaloric (polyparabolic) equation with Bessel
operator. By using the Erdélyi–Kober operator of the fractional order, we deduce an explicit formula for the solution of the
formulated problem.
Дослiджується аналог задачi Кошi для неоднорiдного сингулярного полiкалоричного (полiпараболiчного) рiвняння з
оператором Бесселя. З допомогою оператора Ердеї – Кобера дробового порядку побудовано явну формулу розв’язку
цiєї задачi.
1. Введение. Постановка задачи. Сингулярные параболические уравнения с оператором Бес-
селя относятся к классу уравнений, вырождающихся на границе области по пространственным
переменным, и часто встречаются в приложениях. Например, при математическом моделиро-
вании многих задач теплопереноса в неподвижной среде (твердом теле), задач диффузионного
пограничного слоя [1] и задач распространения тепла при закачке горячей жидкости в нефтяной
пласт [2] возникают сингулярные параболические уравнения с оператором Бесселя.
Вырождающиеся уравнения и уравнения с сингулярными коэффициентами представляют
собой одно из важных направлений в современной теории дифференциальных уравнений с
частными производными, и число опубликованных работ по этой тематике весьма значительно.
Среди них особое место занимают начальные и краевые задачи для параболических уравнений
с оператором Бесселя. Теория классических решений задачи Коши для сингулярных парабо-
лических уравнений второго порядка развита в работах [3 – 13]. Задача Коши для сингулярных
параболических уравнений в классах распределений и в классах обобщенных функций типа S\prime
изучалась [14, 15]. Однако начальные и краевые задачи для уравнений с оператором Бесселя
высокого порядка к настоящему времени остаются малоизученными.
В данной работе для сингулярного полипараболического уравнения, т. е. для уравнения с
оператором Бесселя высокого порядка вида
Lm
\gamma (u) \equiv
\biggl(
\partial
\partial t
- Bx
\gamma
\biggr) m
u(x, t) = f(x, t), x > 0, t > 0, (1)
где m \in N, \gamma \in R, причем \gamma > - 1/2, f(x, t) — заданная гладкая функция,
Bx
\gamma \equiv x - 2\gamma - 1 \partial
\partial x
x2\gamma +1 \partial
\partial x
=
\partial 2
\partial x2
+
2\gamma + 1
x
\partial
\partial x
— сингулярный дифференциальный оператор Бесселя, будем исследовать следующую задачу:
найти классическое решение u(x, t) уравнения (1), удовлетворяющее начальным\biggl(
\partial ku
\partial tk
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
= \varphi k(x), x > 0, k = 0,m - 1, (2)
и граничным
c\bigcirc Ш. Т. КАРИМОВ, 2017
1372 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ АНАЛОГА ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ПОЛИКАЛОРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1373\biggl(
\partial 2k+1u
\partial x2k+1
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=0
= 0 t > 0, k = 0,m - 1, (3)
условиям. Здесь \varphi k(x), k = 0,m - 1, — заданные гладкие функции, удовлетворяющие условиям
согласования
\varphi
(2j+1)
k - j (0) = 0, j = 0, k, k = 0,m - 1.
Следует отметить, что подобная задача исследована в работе [16] для однородного абстракт-
ного уравнения (\partial 2/\partial t2 - A)mu(t) = 0, t > 0, где A — позитивный оператор в банаховом
пространстве. Решение поставленной задачи при f(x, y) \equiv 0 можно получить из результатов
этой работы как частный случай. В настоящей работе рассмотрено неоднородное уравнение (1)
и получена явная формула решения поставленной задачи. Кроме того, для решения задачи при
f(x, y) \equiv 0, в отличие от традиционных методов, в которых применяются соответствующие
интегральные преобразования Фурье – Бесселя, применен другой подход. В связи с этим крат-
ко изложим этот подход, который основан на применении свойств оператора Эрдейи – Кобера
дробного порядка. Но сначала рассмотрим некоторые свойства этого оператора.
2. Операторы Эрдейи – Кобера дробного порядка. В теории и приложениях широко ис-
пользуются различные модификации и обобщения классических операторов интегрирования и
дифференцирования дробного порядка. К таким модификациям относятся, в частности, опера-
торы Эрдейи – Кобера дробного порядка [17]
I\eta ,\alpha f(x) =
2x - 2(\eta +\alpha )
\Gamma (\alpha )
x\int
0
(x2 - \xi 2)\alpha - 1\xi 2\eta +1f(\xi ) d\xi , (4)
где f(x) \in L1(0, b), \alpha , \eta , b \in R, причем \alpha > 0, \eta \geq - 1/2, b > 0, \Gamma (\alpha ) — гамма-функция
Эйлера [18].
Основные свойства этого оператора можно найти в работе [17].
Оператор, обратный к оператору (4), при 0 < \alpha < 1 имеет вид
I - 1
\eta ,\alpha g(x) =
x - 2\eta - 1
\Gamma (1 - \alpha )
d
dx
x\int
0
(x2 - s2) - \alpha s2(\eta +\alpha )+1g(s)ds. (5)
Пусть функция u(x, t) по переменной x имеет непрерывные производные до порядка 2m
включительно, а по t — порядка не меньше чем m; L — линейный дифференциальный оператор
любого конечного порядка по переменной t, не зависящий от x; [Bx
\eta ]
0 = E, E — единичный
оператор, [Bx
\eta ]
m = [Bx
\eta ]
m - 1[Bx
\eta ] = [Bx
\eta ][B
x
\eta ] . . . [B
x
\eta ] — m-я степень оператора Бесселя. В работе
[19] доказаны следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть \alpha > 0, \eta \geq - 1/2, x2\eta +1[Bx
\eta ]
ku(x, t) интегрируемы при x \rightarrow 0 и
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow 0 x
2\eta +1 \partial
\partial x
[Bx
\eta ]
ku(x, t) = 0, k = 0,m - 1. Тогда имеет место равенство
(L\pm Bx
\eta +\alpha )
mI(x)\eta ,\alpha u(x, t) = I(x)\eta ,\alpha (L\pm Bx
\eta )
mu(x, t),
причем верхний индекс x в операторе I
(x)
\eta ,\alpha означает переменную, по которой действует этот
оператор.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1374 Ш. Т. КАРИМОВ
Теорема 2. Пусть 0 < \alpha < 1, \eta \geq - 1/2, g(x) \in C2m(0, b), b > 0, m \in N, функции
x2(\eta +\alpha )+1[Bx
\eta +\alpha ]
k+1g(x) интегрируемы при x \rightarrow 0 и \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow 0 x
2(\eta +\alpha )+1 d
dx
[Bx
\eta +\alpha ]
kg(x) = 0,
k = 0,m - 1. Тогда справедливо равенство
[Bx
\eta ]
mI - 1
\eta ,\alpha g(x) = I - 1
\eta ,\alpha [B
x
\eta +\alpha ]
mg(x).
В частности, при \eta = - 1/2 и выполнении остальных условий теоремы 2 имеет место
равенство
d2m
dx2m
I - 1
- 1/2,\alpha g(x) = I - 1
- 1/2,\alpha [B
x
\gamma ]
mg(x), \gamma = \alpha - 1/2. (6)
3. Решение поставленной задачи в случае однородного уравнения. Предположим, что
решение однородного уравнения Lm
\gamma (u) = 0, удовлетворяющее условиям (2), (3), существует.
Это решение будем искать в виде
u(x, t) = I
(x)
- 1/2,\alpha v(x, t), (7)
где v(x, t) — неизвестная достаточное число раз дифференцируемая функция, \alpha = \gamma +1/2 > 0,
причем \alpha \in (0, 1).
Подставляя (7) в уравнение Lm
\gamma (u) = 0, начальные условия (2), а затем используя теорему 2
при L \equiv \partial /\partial t и учитывая граничные условия (3), получаем задачу нахождения решения v(x, t)
уравнения \biggl(
\partial
\partial t
- \partial 2
\partial x2
\biggr) m
v(x, t) = 0, x > 0, t > 0, (8)
удовлетворяющего начальным\biggl(
\partial kv
\partial tk
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
= \Phi k(x), x > 0, k = 0,m - 1, (9)
и однородным граничным\biggl(
\partial 2k+1v
\partial x2k+1
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=0
= 0, t > 0, k = 0,m - 1, (10)
условиям, где
\Phi k(x) = I - 1
- 1/2,\alpha \varphi k(x), k = 0,m - 1. (11)
Учитывая граничные условия (10), продолжаем функции \Phi k(x) четным образом на x < 0,
и продолженные функции обозначим через \~\Phi k(x). Тогда в верхней полуплоскости получим
задачу нахождения решения уравнения (8), удовлетворяющего начальным условиям\biggl(
\partial kv
\partial tk
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
= \~\Phi k(x), x \in R, k = 0,m - 1. (12)
Введем обозначения
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ АНАЛОГА ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ПОЛИКАЛОРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1375
w0(x, t) = v(x, t), wk(x, t) =
\biggl(
\partial
\partial t
- \partial 2
\partial x2
\biggr) k
w0(x, t).
В этих обозначениях задача (8), (12) эквивалентна задаче нахождения функций wk(x, t), k =
= 0,m - 1, удовлетворяющих системе уравнений
\partial wk
\partial t
- \partial 2wk
\partial x2
= wk+1, k = 0,m - 2,
\partial wm - 1
\partial t
- \partial 2wm - 1
\partial x2
= 0
(13)
и начальным условиям
wk(x, 0) = Fk(x), x \in R, k = 0,m - 1, (14)
где
Fk(x) =
k\sum
j=0
( - 1)jCj
k
\~\Phi
(2j)
k - j(x), k = 0,m - 1, (15)
Cj
k = k!/[ j!(k - j)!] — биномиальные коэффициенты.
При решении задачи (13), (14) воспользуемся следующей леммой.
Лемма 1. Если g(x) принадлежит L1(R), то имеет место равенство
1
2
\surd
\pi
t\int
0
d\eta \surd
t - \eta
+\infty \int
- \infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
- (\xi - x)2
4(t - \eta )
\biggr] \left\{ 1
2
\surd
\pi \eta
+\infty \int
- \infty
g(s) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
- (s - \xi )2
4\eta
\biggr] \right\} d\xi =
=
t
2
\surd
\pi t
+\infty \int
- \infty
g(s) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
- (s - x)2
4t
\biggr]
ds. (16)
Доказательство. В левой части равенства (16), в силу равномерной сходимости несоб-
ственных интегралов, выполним перестановку порядка интегрирования по \xi и s. Затем, вы-
числив внутренний интеграл по формуле [20]
+\infty \int
- \infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl[
- p\xi 2 - q\xi
\bigr]
d\xi =
\sqrt{}
\pi
p
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
q2
4p
\biggr)
, \mathrm{R}\mathrm{e} p > 0,
получим
+\infty \int
- \infty
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
- (\xi - x)2
4(t - \eta )
- (s - \xi )2
4\eta
\biggr]
d\xi = 2
\surd
\pi \surd
t
\sqrt{}
\eta (t - \eta ) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
- (s - x)2
4t
\biggr]
. (17)
Подставляя (17) в левую часть равенства (16), после сокращения подобных членов получаем
равенство (16).
Лемма 1 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1376 Ш. Т. КАРИМОВ
Теперь, последовательно решая каждое уравнение системы (13), начиная с последнего,
и используя начальные условия (14) и лемму 1, находим решение задачи (13), (14). Затем,
принимая во внимание w0(x, t) = v(x, t), получаем решение задачи (8), (12) в виде
v(x, t) =
1
2
\surd
\pi t
m - 1\sum
k=0
tk
k!
+\infty \int
- \infty
Fk(s) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
- (s - x)2
4t
\biggr]
ds, (18)
где Fk(x) — известные функции, определяемые равенствами (15).
Принимая во внимание четность функций Fk(x), k = 0,m - 1, равенство (18) записываем
в виде
v(x, t) =
m - 1\sum
k=0
tk
k!
vk(x, t), (19)
где
vk(x, t) =
+\infty \int
0
Fk(s)G0(x, t, s) ds,
G0(x, t, s) =
1
2
\surd
\pi t
\biggl\{
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
- (s - x)2
4t
\biggr]
+ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
- (s+ x)2
4t
\biggr] \biggr\}
.
(20)
Чтобы исследовать поведение функций Fk(x), k = 0,m - 1, выполним некоторые пре-
образования. Для этого введем обозначение R+ = \{ x \in R : x > 0\} и докажем следующую
лемму.
Лемма 2. Пусть функции \varphi j(x) \in C2(m - j) - 1(R+), j = 0,m - 1, непрерывны, ограничены
и все производные функций \varphi j(x) до порядка 2(m - j) - 1, j = 0,m - 1, включительно равны
нулю при x = 0. Тогда имеют место равенства
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow 0
x2\alpha
d
dx
[Bx
\gamma ]
p\varphi k - j(x) = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow 0
[Bx
\gamma ]
j\varphi k - j(x) = 0, (21)
p = 0, j, j = 0, k, k = 0,m - 1.
Доказательство. Методом математической индукции можно доказать, что справедливо
равенство \biggl(
1
x
d
dx
\biggr) k
f(x) =
k\sum
j=1
( - 1)j+1Akj
f (k - j+1)(x)
xk+j - 1
, (22)
где Akj — постоянные, определяемые из рекуррентных равенств
A(k+1)1 = Ak1 = 1, k \geq 1, A(k+1)j = (k + j - 1)Ak(j - 1) +Akj , k \geq 2, j = 2, k,
A(k+1)(k+1) = (2k - 1)Akk = (2k - 1)!!, k \geq 1.
Первое из равенств (21) запишем в виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ АНАЛОГА ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ПОЛИКАЛОРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1377
h(x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow 0
x2\alpha
d
dx
[Bx
\gamma ]
p\varphi k - j(x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow 0
x1+2\alpha
p\sum
q=0
Cq
p(2\alpha )
p - q
\biggl(
1
x
d
dx
\biggr) p - q+1
\varphi
(2q)
k - j(x).
Учитывая равенство (22), имеем
h(x) =
p\sum
q=0
Cq
p(2\alpha )
p - q
p - q+1\sum
l=1
( - 1)l+1A(p - q+1)l \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow 0
\varphi
(p - q - l+2)
k - j (x)
xp - q+l - 1 - 2\alpha
.
Применяя к последнему равенству правило Лопиталя p - q + l - 1 раз [21, с. 270] и учитывая
условия доказываемой леммы, получаем
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow 0
\varphi
(p - q - l+2)
k - j (x)
xp - q+l - 1 - 2\alpha
=
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow 0
x2\alpha \varphi
(2p+1)
k - j (x)
( - 2\alpha )p - q+l - 1
= 0.
Отсюда следует справедливость первого из равенств (21). Остальные равенства из (21) дока-
зываются аналогично.
Лемма 2 доказана.
Теперь преобразуем функции Fk(x), k = 0,m - 1. В силу леммы 2 для функций \Phi k(x)
выполняются условия теоремы 2. Поэтому, учитывая обозначение (11) и формулу (6), равен-
ство (15) при x > 0 можно представить в виде
Fk(x) = I - 1
- 1/2,\alpha fk(x), (23)
где
fk(x) =
k\sum
j=0
( - 1)jCj
k[B
x
\gamma ]
j\varphi k - j(x), k = 0,m - 1. (24)
Согласно формуле (5) равенство (23) запишем в виде Fk(x) = \~F \prime
k(x), где
\~Fk(x) =
1
\Gamma (1 - \alpha )
x\int
0
(x2 - s2) - \alpha s2\alpha fk(s) ds. (25)
Кроме того, в силу леммы 2 из равенства (24) следует, что функции fk(x) при x \geq 0 непре-
рывны, ограничены и удовлетворяют равенствам fk(0) = 0, k = 0,m - 1. С учетом этого из
последнего равенства следует, что
\~Fk(0) = 0, k = 0,m - 1. (26)
Теперь, подставляя в равенство (20) выражение Fk(x) = \~F \prime
k(x), а затем применяя правило
интегрирования по частям и учитывая равенство (26), получаем
vk(x, t) = -
\infty \int
0
G0\xi (x, t, \xi ) \~Fk(\xi ) d\xi .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1378 Ш. Т. КАРИМОВ
Подставляя выражение (25) в последний интеграл и учитывая равномерную сходимость инте-
гралов, меняем порядок интегрирования:
vk(x, t) = - 1
\Gamma (1 - \alpha )
+\infty \int
0
fk(s)s
2\alpha G1(x, t, s) ds, (27)
где
G1(x, t, s) =
+\infty \int
s
G0\xi (x, t, \xi )(\xi
2 - s2) - \alpha d\xi . (28)
Вычислим интеграл (28). Применив формулу [20, с. 451]
+\infty \int
0
e - a\lambda 2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(b\lambda ) d\lambda =
\sqrt{}
\pi
4a
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
- b2
4a
\biggr]
, \mathrm{R}\mathrm{e} a > 0,
функцию G0(x, t, s) представим в виде
G0(x, t, \xi ) =
2
\pi
+\infty \int
0
e - t\lambda 2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(x\lambda ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\xi \lambda ) d\lambda .
Отсюда вычислим производную по \xi и полученное выражение функции G0\xi подставим в
(28). Затем, учитывая равномерную сходимость интегралов, меняем порядок интегрирования.
После этого, вычисляя внутренний интеграл с помощью формулы Мелера – Сонина [18, с. 93],
находим
G1(x, t, s) = - 2
1
2
- \alpha
\surd
\pi
\Gamma (1 - \alpha )s
1
2
- \alpha
+\infty \int
0
e - t\lambda 2
\lambda \alpha + 1
2J\alpha - 1/2(\lambda s) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(x\lambda ) d\lambda , (29)
где J\nu (z) — функция Бесселя первого рода порядка \nu [18, с. 12].
Теперь, подставляя (27) в (19), а (19) в (7) и меняя порядок интегрирования, находим
решение поставленной задачи в виде
u(x, t) = - 2x1 - 2\alpha
\Gamma (\alpha )\Gamma (1 - \alpha )
m - 1\sum
k=0
tk
k!
+\infty \int
0
fk(s)s
2\alpha G2(x, t, s) ds, (30)
где
G2(x, t, s) =
x\int
0
(x2 - \xi 2)\alpha - 1 G1(\xi , t, s) d\xi . (31)
Далее преобразуем формулу (31). С этой целью подставляем (29) в (31) и меняем порядок
интегрирования. Затем, вычисляя внутренний интеграл с помощью формулы Пуассона [18,
с. 93], имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ АНАЛОГА ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ПОЛИКАЛОРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1379
G2(x, t, s) = - 1
2
\Gamma (\alpha )\Gamma (1 - \alpha )
\Bigl( s
x
\Bigr) 1/2 - \alpha
\infty \int
0
e - t\lambda 2
J\alpha - 1/2(s\lambda )J\alpha - 1/2(x\lambda )\lambda d\lambda .
Отсюда, учитывая формулу [20, с. 60]
\infty \int
0
e - t\lambda 2
J\nu (s\lambda )J\nu (x\lambda )\lambda d\lambda =
1
2t
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- x2 + s2
4t
\biggr)
I\nu
\Bigl( xs
2t
\Bigr)
, \mathrm{R}\mathrm{e} \nu > - 1, \mathrm{R}\mathrm{e} t > 0,
получаем
G2(x, t, s) = - 1
4t
\Gamma (\alpha )\Gamma (1 - \alpha )
\Bigl( s
x
\Bigr) 1/2 - \alpha
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- x2 + s2
4t
\biggr)
I\alpha - 1/2
\Bigl( xs
2t
\Bigr)
, (32)
где I\nu (z) — модифицированная функция Бесселя порядка \nu [18, с. 13].
Теперь, подставляя (32) в (30) и учитывая неравенства \alpha = \gamma + 1/2 < 1 и \gamma > - 1/2,
находим окончательный вид решения уравнения Lm
\gamma (u) = 0, удовлетворяющего условиям (2),
(3), при | \gamma | < 1/2 :
u(x, t) =
x - \gamma
2t
m - 1\sum
k=0
tk
k!
+\infty \int
0
fk(s)s
\gamma +1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- x2 + s2
4t
\biggr)
I\gamma
\Bigl( xs
2t
\Bigr)
ds, (33)
где fk(x), k = 0,m - 1, — известные функции, определяемые равенствами (24).
Замечание 1. При m = 1 формула (33) совпадает с формулами, найденными в работах
[11, 14] другими методами.
Поскольку при получении решения (33) мы исходили из предположения о его существова-
нии, необходимо это решение обосновать. Покажем, что функция u(x, t), определяемая равен-
ством (33), является решением уравнения Lm
\gamma (u) = 0, удовлетворяющего условиям (2), (3). С
этой целью равенство (33) запишем в виде
u(x, t) =
m - 1\sum
k=0
tk
k!
uk(x, t), (34)
где
uk(x, t) =
+\infty \int
0
fk(s)s
2\gamma +1G(x, t, s)ds,
G(x, t, s) =
(xs) - \gamma
2t
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- x2 + s2
4t
\biggr)
I\gamma
\Bigl( xs
2t
\Bigr)
.
(35)
Функции uk(x, t), k = 0,m - 1, определяемые равенствами (35), удовлетворяют уравне-
нию L1
\gamma (uk) = 0, так как функция G(x, t, s) является фундаментальным решением данного
однородного уравнения [11, 14]. Кроме того, легко доказать, что если L1
\gamma (uk) = 0, то функция
u(x, t), определяемая равенством (34), является решением уравнения Lm
\gamma (u) = 0. Аналогич-
но, исходя из свойств фундаментального решения G(x, t, s), можно доказать выполнимость
условий (2), (3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1380 Ш. Т. КАРИМОВ
4. Решение поставленной задачи в случае неоднородного уравнения. Теперь рассмот-
рим задачу о нахождении решения неоднородного уравнения (1), удовлетворяющего однород-
ным граничным условиям (3) и однородным начальным условиям\biggl(
\partial ku
\partial tk
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
= 0, x > 0, k = 0,m - 1. (36)
Чтобы найти решение задачи (1), (3), (36), воспользуемся следующим аналогом второго
принципа Дюамеля для уравнения высокого порядка.
Лемма 3. Пусть функция U(x, t, \tau ), зависящая от параметра \tau , является решением од-
нородного уравнения Lm
\gamma (U) = 0, x > 0, t > \tau , удовлетворяющего однородным граничным
условиям (3) при t > \tau и начальным условиям
\partial kU
\partial tk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=\tau
= 0, x > 0, k = 0,m - 2,
\partial m - 1U
\partial tm - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=\tau
= f(x, \tau ), x > 0. (37)
Тогда функция
w(x, t) =
t\int
0
U(x, t, \tau ) d\tau (38)
будет решением задачи (1), (3), (36).
Доказательство. Дифференцируя равенство (38) по t и учитывая первое из условий (37),
находим
\partial w
\partial t
= U(x, t, \tau )
\bigm| \bigm|
\tau =t
+
t\int
0
\partial
\partial t
U(x, t, \tau ) d\tau =
t\int
0
\partial
\partial t
U(x, t, \tau ) d\tau ,
Далее, применяя к равенству (38) оператор Bx
\gamma , имеем
Bx
\gamma w(x, t) =
t\int
0
Bx
\gamma U(x, t, \tau ) d\tau .
Составим выражение
L1
\gamma (w) =
\biggl(
\partial
\partial t
- Bx
\gamma
\biggr)
U =
t\int
0
L1
\gamma
\bigl(
U(x, t, \tau )
\bigr)
d\tau .
Повторяя этот процесс m - 1 раз, с учетом (37) получаем
Lm - 1
\gamma (w) =
\biggl(
\partial
\partial t
- Bx
\gamma
\biggr) m - 1
w =
t\int
0
Lm - 1
\gamma
\bigl(
U(x, t, \tau )
\bigr)
d\tau . (39)
Далее, дифференцируя (39) по t, находим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ АНАЛОГА ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ПОЛИКАЛОРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1381
\partial
\partial t
Lm - 1
\gamma (w) = Lm - 1
\gamma
\bigl(
U(x, t, \tau )
\bigr) \bigm| \bigm|
\tau =t
+
t\int
0
\partial
\partial t
Lm - 1
\gamma
\bigl(
U(x, t, \tau )
\bigr)
d\tau . (40)
В силу последнего из условий (37) имеем
Lm - 1
\gamma
\bigl(
U(x, t, \tau )
\bigr) \bigm| \bigm|
\tau =t
=
\biggl(
\partial
\partial t
- Bx
\gamma
\biggr) m - 1
U
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\tau =t
=
=
m - 1\sum
k=0
Ck
m - 1[ - Bx
\gamma ]
m - k - 1 \partial kU
\partial tk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\tau =t
=
\partial m - 1U
\partial tm - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\tau =t
= f(x, t).
Принимая во внимание последнее равенство, из (40) получаем
\partial
\partial t
Lm - 1
\gamma (w) = f(x, t) +
t\int
0
\partial
\partial t
Lm - 1
\gamma
\bigl(
U(x, t, \tau )
\bigr)
d\tau . (41)
Применяя к равенству (39) оператор Bx
\gamma , а затем вычитая полученное равенство из (41) и
учитывая равенство Lm
\gamma (U) = 0, находим Lm
\gamma (w) = f(x, t).
Непосредственными вычислениями можно проверить, что функция w(x, t), определяемая
равенством (37), удовлетворяет граничным условиям (3) и начальным условиям (36).
Лемма 3 доказана.
Чтобы найти решение однородного уравнения Lm
\gamma (U) = 0, x > 0, t > \tau , удовлетворяющего
граничным условиям (3) и начальным условиям (36), выполним замену переменных t1 = t - \tau .
Тогда решение этой задачи определяется формулой (33), которая после возвращения к старым
переменным t и \tau принимает вид
U(x, t, \tau ) =
x - \gamma (t - \tau )m - 2
2(m - 1)!
+\infty \int
0
f(s, \tau )s\gamma +1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- x2 + s2
4(t - \tau )
\biggr)
I\gamma
\biggl(
xs
2(t - \tau )
\biggr)
ds.
Подставляя это выражение для функции U(x, t, \tau ) в (37), находим решение задачи (1), (3), (36)
в виде
w(x, t) = x - \gamma
t\int
0
(t - \tau )m - 2
2(m - 1)!
d\tau
+\infty \int
0
f(s, \tau )s\gamma +1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- x2 + s2
4(t - \tau )
\biggr)
I\gamma
\biggl(
xs
2(t - \tau )
\biggr)
ds. (42)
Замечание 2. При m = 1 и \gamma = - 1/2, уравнение (1) переходит в одномерное неодно-
родное уравнение теплопроводности в четверть плоскости, а формула (42), в силу I - 1/2(z) =
=
\sqrt{}
2/(\pi z) \mathrm{c}\mathrm{h}(z), — в известную формулу [1, c. 57]
w(x, t) =
1
2
\surd
\pi
t\int
0
d\tau \surd
t - \tau
+\infty \int
0
f(s, \tau )
\biggl\{
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
- (x - s)2
4(t - \tau )
\biggr]
+ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl[
- (x+ s)2
4(t - \tau )
\biggr] \biggr\}
ds.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1382 Ш. Т. КАРИМОВ
5. Однозначная разрешимость поставленной задачи (1) – (3). Покажем, что в задаче (1) –
(3) вместо граничного условия (3) можно взять условие
\partial
\partial x
[Bx
\gamma ]
ku(x, t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=0
= 0, \gamma = \alpha - 1/2, t > 0, k = 0,m - 1. (43)
Лемма 4. Если u(x, t) является решением задачи (1) – (3), то она будет и решением зада-
чи (1), (2), (43) и наоборот.
Доказательство. При выполнении граничного условия (10) из теоремы 1 при \eta = - 1/2
следует справедливость равенства
\bigl[
Bx
\alpha - 1/2
\bigr] k
u(x, t) =
\bigl[
Bx
\alpha - 1/2
\bigr] k
I - 1/2,\alpha v(x, t) = I - 1/2,\alpha
\partial 2kv
\partial x2k
.
Дифференцируя последнее равенство по x, а затем полагая x = 0, получаем
\partial
\partial x
\bigl[
Bx
\gamma
\bigr] k
u(x, t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=0
=
1
\Gamma (1 + \alpha )
\partial 2k+1v
\partial x2k+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=0
= 0. (44)
С другой стороны, непосредственными вычислениями из (7) находим
\partial 2k+1u
\partial x2k+1
=
\partial 2k+1
\partial x2k+1
Ix - 1/2, \alpha v(x, t) =
2
\Gamma (\alpha )
1\int
0
(1 - s2)\alpha - 1s2k+1 \partial 2k+1v
\partial \xi 2k+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\xi =xs
ds.
Отсюда при x = 0 имеем
\partial 2k+1u
\partial x2k+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=0
=
k!
\Gamma (\alpha + k + 1)
\partial 2k+1v
\partial \xi 2k+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\xi =0
= 0, t \geq 0, k = 0,m - 1. (45)
Сравнивая (44) и (45), получаем
\partial
\partial x
\bigl[
Bx
\gamma
\bigr] k
u(x, t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=0
=
(\alpha + 1)k
k!
\partial 2k+1u
\partial x2k+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=0
= 0, k = 0,m - 1.
Последнее равенство означает, что решение задачи (1), (2), (43) является решением зада-
чи (1) – (3) и наоборот (так как в обоих случаях получим одну и ту же вспомогательную
задачу (8) – (10)).
Лемма 4 доказана.
Теперь докажем единственность решения задачи (1) – (3).
Теорема 3. Задача (1) – (3) не может иметь более одного решения.
Доказательство. Достаточно показать, что однородная задача
Lm
\gamma (u) \equiv
\biggl(
\partial
\partial t
- Bx
\gamma
\biggr) m
u(x, t) = 0, \gamma = \alpha - 1/2, (46)
\partial ku
\partial tk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
= 0, x \geq 0,
\partial 2k+1u
\partial x2k+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=0
= 0, t \geq 0, k = 0,m - 1, (47)
имеет лишь тривиальное решение. Докажем это.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ АНАЛОГА ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ПОЛИКАЛОРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1383
Пусть u1(x, t) = Lm - 1
\gamma (u). Тогда в силу леммы 4 из равенства
u1(x, t) = Lm - 1
\gamma (u) \equiv
\biggl(
\partial
\partial t
- Bx
\gamma
\biggr) m - 1
u(x, t) =
m - 1\sum
k=0
Ck
m - 1
\bigl[
- Bx
\gamma
\bigr] m - k - 1\partial ku
\partial tk
,
где Ck
m - 1 — биномиальные коэффициенты, учитывая (43), (46) и (47), получаем следующую
задачу относительно u1(x, t):
L1
\gamma (u1) = 0, u1(x, 0) = 0, x > 0, u1x(0, t) = 0, t > 0.
Как доказано в работе [7], эта задача в классе ограниченных функций имеет единственное
тривиальное решение, т. е. u1(x, t) \equiv 0.
Пусть теперь u2(x, t) = Lm - 2
\gamma (u). Тогда, учитывая u1(x, t) = Lm - 1
\gamma (u) = 0 и (37), имеем
L1
\gamma (u2) = 0, u2(x, 0) = 0, x > 0, u2x(0, t) = 0, t > 0, откуда следует, что u2(x, t) \equiv 0. Повторяя
этот прием еще m - 2 раза, получаем u(x, t) \equiv 0.
Теорема 3 доказана.
Из доказанного выше следует, что справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Пусть | \gamma | < 1/2, \varphi j(x) \in C2(m - j) - 1(R+), j = 0,m - 1, и все производные
функции \varphi j(x) до порядка 2(m - j) - 1, j = 0,m - 1, включительно, равны нулю при x = 0,
а функция f(x, t) непрерывна и ограничена в области R+ \times R+. Тогда сумма функций u(x, t)
и w(x, t), определяемых соответственно равенствами (33) и (42), является единственным
решением задачи (1) – (3).
Замечание 3. Этот метод можно применить и к решению задачи Коши для многомерного
полипараболического уравнения с оператором Бесселя, действующим по всем пространствен-
ным переменным.
Литература
1. Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. – М.: Физматлит, 2001. – 576 с.
2. Чупров И. Ф., Канева Е. А., Мордвинов А. А. Уравнения математической физики с приложениями к задачам
нефтедобычи и трубопроводного транспорта газа. – Ухта: УГТУ, 2004. – 128 с.
3. Крехивский В. В., Матийчук М. И. Фундаментальные решения и задача Коши для линейных параболических
систем с оператором Бесселя // Докл. АН СССР. – 1968. – 181, № 6. – С. 1320 – 1323.
4. Крехивский В. В., Матийчук М. И. О краевых задачах для параболических систем с оператором Бесселя //
Докл. АН СССР. – 1971. – 139, № 4. – С. 773 – 775.
5. Colton D. Cauchy’s problem for a singular parabolic differential equation // J. Different. Equat. – 1970. – 8. –
P. 250 – 257.
6. Arena O. On a singular parabolic equation related to axially symmetric heat potentials // Ann. Mat. Pura ed Appl. –
1975. – 105, № 1. – P. 347 – 393.
7. Киприянов И. А., Катрахов В. В., Ляпин В. М. О краевых задачах в области общего вида для сингулярных
параболических систем уравнений // Докл. АН СССР. – 1976. – 230, № 6. – С. 1271 – 1274.
8. Кочубей А. Н. Сингулярные параболические уравнения и марковские процессы // Изв. АН СССР. Сер. мат. –
1984. – 48, вып. 1. – С. 77 – 103.
9. Крехивский В. В. Теоремы единственности решений задачи Коши для уравнений с оператором Бесселя // Мат.
моделирование физических процессов. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1989. – С. 82 – 86.
10. Веренич И. И. Внутренние оценки решений параболических уравнений с оператором Бесселя // Докл.
АН УССР. – 1977. – № 11. – С. 969 – 974.
11. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. – Новосибирск: Наука,
1985. – 105 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
1384 Ш. Т. КАРИМОВ
12. Ивасишен С. Д., Лавренчук В. П. Об интегральном представлении решений параболической системы с опера-
тором Бесселя // Нелинейные граничные задачи. – 1992. – Вып. 4. – С. 19 – 25.
13. Муравник А. Б. Функционально-дифференциальные параболические уравнения: интегральные представления
и качественные свойства решений задачи Коши // Соврем. математика. Фундам. направления. – 2014. – 52. –
С. 3 – 141.
14. Житомирский Я. И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с дифференциаль-
ным оператором Бесселя // Мат. сб. – 1955. – 36. – № 2. – С. 299 – 310.
15. Городецкий В. В., Житарюк I. В. Задача Кошi для одного класу параболiчних систем з оператором Бесселя в
просторах узагальнених функцiй // Доп. АН УРСР. – 1991. – № 7. – С. 20 – 23.
16. Горбачук М. Л., Горбачук В. И. О решениях дифференциальных уравнений эллиптического типа в банаховом
пространстве на полуоси // Мат. методы и физ.-мех. поля. – 2008. – 51, № 2. – С. 14 – 25.
17. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и их приложения. –
Минск: Наука и техника, 1987. – 702 с.
18. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функци: В 3 т. – М.: Наука, 1973. – Т. 1. – 296 с.
19. Каримов Ш. Т. Новые свойства обобщенного оператора Эрдейи – Кобера и их приложения // Докл. АН РУз. –
2014. – № 5. – С. 11 – 13.
20. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Т. 1. Элементарные функции. – 2-е изд.,
исправ. – М.: Физматлит, 2002. – 632 с.
21. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2 ч. – 7-е изд. – М.: Физматлит, 2005. – Ч. 1. –
648 с.
Получено 29.01.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-1788 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:12:39Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/80/c7820d7ddd67acba678eba13c3304480.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17882019-12-05T09:26:39Z On one method for the solution of an analog of the Cauchy problem for a polycaloric equation with singular Bessel operator Об одном методе решения аналога задачи Коши для поликалорического уравнения с сингулярным оператором Бесселя Karimov, Sh. T. Каримов, Ш. Т. Каримов, Ш. Т. We study an analog of the Cauchy problem for an inhomogeneous singular polycaloric (polyparabolic) equation with Bessel operator. By using the Erd´elyi–Kober operator of the fractional order, we deduce an explicit formula for the solution of the formulated problem. Дослiджується аналог задачi Кошi для неоднорiдного сингулярного полiкалоричного (полiпараболiчного) рiвняння з оператором Бесселя. З допомогою оператора Ердеї – Кобера дробового порядку побудовано явну формулу розв’язку цiєї задачi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1788 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 10 (2017); 1372-1384 Український математичний журнал; Том 69 № 10 (2017); 1372-1384 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1788/770 Copyright (c) 2017 Karimov Sh. T. |
| spellingShingle | Karimov, Sh. T. Каримов, Ш. Т. Каримов, Ш. Т. On one method for the solution of an analog of the Cauchy problem for a polycaloric equation with singular Bessel operator |
| title | On one method for the solution of an analog of the Cauchy problem
for a polycaloric equation with singular Bessel operator |
| title_alt | Об одном методе решения аналога задачи Коши для поликалорического
уравнения с сингулярным оператором Бесселя |
| title_full | On one method for the solution of an analog of the Cauchy problem
for a polycaloric equation with singular Bessel operator |
| title_fullStr | On one method for the solution of an analog of the Cauchy problem
for a polycaloric equation with singular Bessel operator |
| title_full_unstemmed | On one method for the solution of an analog of the Cauchy problem
for a polycaloric equation with singular Bessel operator |
| title_short | On one method for the solution of an analog of the Cauchy problem
for a polycaloric equation with singular Bessel operator |
| title_sort | on one method for the solution of an analog of the cauchy problem
for a polycaloric equation with singular bessel operator |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1788 |
| work_keys_str_mv | AT karimovsht ononemethodforthesolutionofananalogofthecauchyproblemforapolycaloricequationwithsingularbesseloperator AT karimovšt ononemethodforthesolutionofananalogofthecauchyproblemforapolycaloricequationwithsingularbesseloperator AT karimovšt ononemethodforthesolutionofananalogofthecauchyproblemforapolycaloricequationwithsingularbesseloperator AT karimovsht obodnommetoderešeniâanalogazadačikošidlâpolikaloričeskogouravneniâssingulârnymoperatorombesselâ AT karimovšt obodnommetoderešeniâanalogazadačikošidlâpolikaloričeskogouravneniâssingulârnymoperatorombesselâ AT karimovšt obodnommetoderešeniâanalogazadačikošidlâpolikaloričeskogouravneniâssingulârnymoperatorombesselâ |